数列求和完整ppt课件

(3)一些常见的数列的前 n 项和：
①1＋2＋3＋…＋n＝_n__n__＋__1__； ②2＋4＋6＋…＋2n＝ n(2n＋1)； ③1＋3＋5＋…＋2n－1＝ n2
二．几种数列求和的常用方法
1、分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比
或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求
和而后相加减．
(教材习题改编)数列 112，341，518，7116，…，(2n－1)＋21n，…的
前 n 项和 Sn 的值等于________．
答案：n2＋1－21n
2．倒序相加法与并项求和法 (1)倒序相加法 如果一个数列{an}的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和相 等或等于 同一个常数 ，那么求这个数列的前 n 项和可用倒序相加 法，如等差数列的前 n 项和公式即是用此法推导的．
(2)(2016·高考山东卷)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝3n2＋8n，{bn} 是等差数列，且 an＝bn＋bn＋1. ①求数列{bn}的通项公式； ②令解：cn①＝由abn题＋n＋意12知n＋n当1，n求≥数2 列时，{cna}n的＝S前n－nS项n－和 1＝T6nn.＋5，
考数列或等差数列求和 点 2.转化为等比数列求和
[例 1] (1)已知函数 f(n)＝n－2n当2n当为n奇为数偶时数时，， 且 an＝f(n)＋f(n
＋1)，则 a1＋a2＋a3＋…＋a100 等于( )
A．0
B．100
C．－100
D．10 200
f(x)2 x ,求 f( 5 )f( 4 ) ...f(4 )f(5 )的值 2 x 1
答案：5.5
(2)并项求和法 在一个数列的前 n 项和中，可 两两结合求解，则称之为并项求和． 形如 an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982 －972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.
解析：由题意，得 a1＋a2＋a3＋…＋a100 ＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012 ＝－(1＋2)＋(3＋2)＋…－(99＋100)＋(101＋100) ＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101) ＝－1＋101＝100.故选 B.
2．数列{an}的通项公式为 an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前 100 项
之和 S100 等于( )
A．200
B．－200
C．400
D．－400
解析：选 B.S100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100 －3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.
考点二 错位相减法求和 命 题 对于“an·bn” 型的数列求和 点
[例 2] (1)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn 且 an＝n·2n，则 Sn＝ ________.
解析：∵an＝n×2n ∴Sn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n－1)×2n－1＋n×2n① ∴2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1② ①－②得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝2×1－1－2 2n－n×2n＋ 1＝2n＋1－2－n×2n＋1 ∴Sn＝(n－1)×2n＋1＋2. 答案：(n－1)×2n＋1＋2
解析：∵32＝1＋12，94＝2＋14，285＝3＋18， 6156＝4＋116，… ∴Sn＝32＋94＋285＋6156＋…＋n＋21n ＝(1＋2＋3＋…＋n)＋12＋212＋213＋…＋21n ＝nn＋ 2 1＋1211－－1212n＝nn＋ 2 1＋1－21n. 答案：nn＋ 2 1＋1－21n
(2)数列{an}满足 an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前 60 项和为 ________．
解析：利用数列的递推式的意义结合等差数列求和公式求解． ∵an＋1＋(－1)nan＝2n－1， ∴a2＝1＋a1，a3＝2－a1，a4＝7－a1，a5＝a1，a6＝9＋a1， a7＝2－a1，a8＝15－a1，a9＝a1，a10＝17＋a1，a11＝2－a1，a12＝ 23－a1，…，a57＝a1，a58＝113＋a1，a59＝2－a1，a60＝119－a1， ∴a1＋a2＋…＋a60＝(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7＋a8)＋…＋(a57 ＋a58＋a59＋a60)＝10＋26＋42＋…＋234 ＝15×102＋234＝1 830. 答案：1 830
④
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n.
⑤ n1 n2(n 2)2
11 4(n2
(n12)2 )
⑥ (2n
2n 1)(2n1
1)
2n112n11 1
4．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项 之积构成的，那么这个数列的前 n 项和即可用此法来求，如等比 数列的前 n 项和公式就是用此法推导的．
数 {n列 } a 中 a1 ， 2 ,a n 1 a n4 n 3 ,求数 n 项 列 sn
3．裂项相消法 (1)把数列的通项拆成 两项之差 ，在求和时中间的一些项可以相
互抵消，从而求得其和． (2)常见的裂项技巧 ①nn1＋1＝1n－n＋1 1. ②nn1＋2＝121n－n＋1 2.
③2n－112n＋1＝122n1－1－2n1＋1.
第四节
数列求和
(一1)．等公差式数法列{an}的前n项和Sn＝__n__a_1_2＋__a_n_ ＝___n_a_1_＋__n_n__－2__1_d_. 推导方法：倒序相加法． na1，q＝1，
(2)等比数列{an}的前n项和Sn＝_____a_1_1_1－_－_q_q_n_，__q_≠__1_. 推导方法：乘公比，错位相减法．
[方法引航] 分组转化法求和的常见类型 (1)若 an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组转 化法求{an}的前 n 项和． (2)通项公式为 an＝bcnn，，nn为为偶奇数数， 的数列，其中数列{bn}，{cn} 是等比或等差数列，可采用分组转化法求和．
1．数列32，94，285，6156，…的前 n 项和 Sn 为________．