垂径定理推论证明
垂径定理
垂径定理垂径定理内容：垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。
数学表达为：如右图，DC为圆O的直径，直径DC垂直于弦AB，则AE=EB，劣弧AC等于劣弧BC。
1定义垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧2证明如图，在⊙O中，DC为直径，AB是弦，AB⊥DC于点E，AB、CD交于E，求证：AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD= 弧BD垂径定理证明图证明：连OA、OB分别交于点A、点B.∵OA、OB是⊙O的半径∴OA=OB∴△OAB是等腰三角形∵AB⊥DC∴AE=BE，∠AOE=∠BOE（等腰三角形的三线合一性质）∴弧AD=弧BD，∠AOC= 角BOC∴弧AC=弧BC3推论推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等(证明时的理论依据就是上面的五条定理)但是在做不需要写证明过程的题目中,可以用下面的方法进行判断:一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论1.平分弦所对的优弧2.平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）3.平分弦(不是直径)4.垂直于弦5.经过圆心4有关性质知识点圆、圆的对称性、点和圆的位置关系、不在同一直线上的三点确定一个圆、三角形的外接圆、垂径定理逆定理、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系、圆周角定理、圆内接四边形的性质大纲要求1．正确理解和应用圆的点集定义，掌握点和圆的位置关系；2．熟练地掌握确定一个圆的条件，即圆心、半径；直径；不在同一直线上三点。
一个圆的圆心只确定圆的位置，而半径也只能确定圆的大小，两个条件确定一条直线，三个条件确定一个圆，过三角形的三个顶点的圆存在并且唯一；3．熟练地掌握和灵活应用圆的有关性质：同（等）圆中半径相等、直径相等直径是半径的2倍；直径是最大的弦；圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线都是对称轴；圆是中心对称图形，圆心是对称中心；圆具有旋转不变性；垂径定理及其推论；圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间的关系；4．掌握和圆有关的角：圆心角、圆周角的定义及其度量；圆心角等于同（等）弧上的圆周角的2倍；同（等）弧上的圆周角相等；直径（半圆）上的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；5．掌握圆内接四边形的性质定理：它沟通了圆内外图形的关系，并能应用它解决有关问题；6．注意：（1）垂径定理及其推论是指：一条弦①在“过圆心”②“垂直于另一条弦”③“平分这另一条弦”④“平分这另一条弦所对的劣弧”⑤“平分这另一条弦所对的优弧”的五个条件中任意具有两个条件，则必具有另外三个结论（当①③为条件时要对另一条弦增加它不是直径的限制），条理性的记忆，不但简化了对它实际代表的10条定理的记忆且便于解题时的灵活应用，垂径定理提供了证明线段相等、角相等、垂直关系等的重要依据；（2）有弦可作弦心距组成垂径定理图形；见到直径要想到它所对的圆周角是直角，想垂径定理；想到过它的端点若有切线，则与它垂直，反之，若有垂线则是切线，想到它被圆心所平分；（3）见到四个点在圆上想到有4组相等的同弧所对的圆周角，要想到应用圆内接四边形的性质。
垂径定理讲解
垂径定律1.定义垂径定理（Vertical Theorem）的通俗表达是：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
用数学语言表示，如果在一个圆中，直径DC垂直于弦AB于点E，则弦AB被点E平分（即AE=EB），且弦AB所对的两段弧AD和BD（包括优弧和劣弧）也被平分2.性质垂径定理包含多个重要的性质和推论，这些性质和推论在解决与圆相关的几何问题时非常有用。
1)基本性质：平分弦：垂直于弦的直径将弦平分为两段相等的部分。
平分弧：该直径还平分弦所对的两条弧，无论是优弧还是劣弧。
推论一：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧。
这个推论是垂径定理的逆命题之一，它表明如果一条直径平分了一条非直径的弦，那么这条直径必然垂直于这条弦，并且平分弦所对的两段弧推论二：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧。
这个推论进一步强化了垂径定理与圆的中心性质之间的联系，指出弦的垂直平分线不仅平分弦，还经过圆心，并平分弦所对的弧。
推论三：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平分这条弦所对的另一条弧。
这个推论是垂径定理的另一种逆命题形式，它说明如果一条直径平分了弦所对的一条弧，那么这条直径也垂直平分这条弦，并平分弦所对的另一条弧。
推论四：在同圆或者等圆中，两条平行弦所夹的弧相等。
这个推论虽然不直接由垂径定理推导出来，但它与垂径定理共同构成了圆内线段和弧之间关系的重要框架。
平行弦的性质与垂径定理相结合，为解决复杂的圆内几何问题提供了有力工具。
3.数学证明垂径定理的证明通常依赖于圆的基本性质，如半径相等、等腰三角形的性质等。
以下是一个简化的证明过程：设⊙O为给定的圆，DC为⊙O的直径，AB为⊙O内的一条弦，且DC⊥AB于点E。
连接OA和OB。
由于OA和OB都是⊙O的半径，所以OA=OB。
△OAB是一个等腰三角形，因为两边相等（OA=OB）。
由于AB⊥DC，根据等腰三角形的性质，等腰三角形底边上的高、中线和顶角的角平分线重合。
2.11垂径模型
垂径模型一、三种常见的类型：1、类型一：垂径定理。
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
几何语言：∵弦CD⊥直径AB 于点E∴CE=ED,弧AC=弧AD,弧CB=弧DB.说明：垂径定理的证明比较简单，理论依据就是圆的对称性，因此可以根据圆的对称性或等腰三角形（连CO、DO）的对称性来证明。
垂径定理的应用非常广泛，主要结构是Rt△CEO,借助勾股定理来进行计算，求弦长CD、半径CO 或者弦心距OE。
2、类型二：垂径定理推论。
垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
几何语言：∵AB 为直径，CE=ED∴CD⊥AB,弧AC=弧AD,弧CB=弧DB.说明：垂径定理的推论特别要注意的是已知条件中平分弦是有限制的，必须是非直径弦。
理论依据依然是圆的对称性。
垂径定理推论的应用也非常广泛，与垂径定理的结构完全相同，只是有一个条件不同而已。
3、类型三：垂径定理外延。
知二推三：一条直线，以下五个条件中，只要已知其中任意两个，则另外三个全部成立。
①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
说明：（1）①+②→③④⑤就是垂径定理；①+③（非直径）→②④⑤就是垂径定理推论；（2）知二推三共有10种，除垂径定理及推论外，还有8种，常见的还有两种：一是已知①⑤；二是已知②③（相当于弦的垂直平分线）。
二、垂径模型的综合应用及延伸：1、已知：如图，在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，AB ⊥CD 于M ，CD=15cm ，OM ：OC=3：5。
求弦AB 的长。
分析：先求OM、OA；再利用勾股定理求半弦AM 长；最后再利用垂径定理求出弦AB 的长。
说明：此题为模型一垂径定理的直接应用。
2、已知：如图，在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C、D 两点，AC 与BD 相等吗?为什么?分析：题目已知中有圆心、弦，这就告诉我们还缺少垂线就可用垂径定理；于是作垂线，在大圆和小圆中分别用垂径定理，两式相减可得到AC=BD。
垂径定理的结论
垂径定理的结论在圆的世界里，垂径定理是一个极其重要的性质，它就像一把神奇的钥匙，能够帮助我们解开许多与圆相关的几何谜题。
垂径定理的表述为：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。
这看似简单的一句话，却蕴含着丰富而深刻的数学内涵。
我们先来理解“垂直于弦的直径”这一前提条件。
直径是通过圆心的线段，它是圆中最长的弦。
而垂直于弦，则意味着直径与弦形成了一个直角。
想象一下，在一个圆中，一条直径稳稳地立在一条弦上，并且与弦相互垂直，这样的画面是不是很清晰？接下来，我们看“平分弦”这一结论。
直径将弦分成了两段相等的部分。
比如说，有一条弦的长度是 10 厘米，那么被直径平分后，两段的长度都是 5 厘米。
这就好像是一把公平的尺子，把弦平均地分成了两份。
再说说“平分这条弦所对的两条弧”。
弦在圆中把圆分成了两条弧，一条优弧和一条劣弧。
而垂径定理告诉我们，垂直于弦的直径会把这两条弧也分成相等的两部分。
这就好比是把一块蛋糕沿着中间切一刀，两边的大小完全相同。
垂径定理的证明其实并不复杂。
假设圆的圆心为 O，弦为 AB，直径为 CD 且垂直于 AB 于点 E。
因为圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条经过圆心的直线。
而直径 CD 正是经过圆心的直线，所以沿着 CD对折，点 A 会与点 B 重合，弧 ACB 会与弧 ADB 重合。
这就直观地证明了直径 CD 平分弦 AB 以及弦 AB 所对的两条弧。
垂径定理在解决实际问题中有着广泛的应用。
比如，在建筑工程中，设计师们常常需要根据圆的特性来设计圆形的结构。
当需要确定某个圆弧形构件的弦长或者弧长时，垂径定理就能发挥重要作用。
通过测量圆的直径以及弦与直径的垂直距离，就能够计算出弦长和弧长，从而保证构件的尺寸准确无误。
在数学考试中，垂径定理也是经常出现的考点。
例如，给出一个圆的直径和弦的长度，让求弦所对的弧的长度；或者已知弦的长度和弧的度数，让求圆的直径等等。
我们再深入思考一下垂径定理的逆定理。
垂径定理及其推论
则OE＝3cm，AE＝BE．
∵AB＝16cm ∴AE＝8cm
在Rt△AOE中，根据勾股定理有OA＝10cm
∴⊙O的半径为10cm．
.
26
4、如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD
于E，CE=1，AB=10，求直径CD的长。
解：连接OA，
A
∵ CD是直径，OE⊥AB
C E O·
D
∴ AE=1/2 AB=5 B
③④ ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦
③⑤ ①②④ ，并且平分弦所对的另一条弧．
④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的.直线经过圆心，并且垂直平分弦．22
4． 解决有关弦的问题
经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦
的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理
创造条件．
.
23
随堂练习
条件 结论
命题
①③ ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧．
①④ ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对
①⑤ ②③④ 的另一条弧．
②③ ①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧．
②④ ①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平 ②⑤ ①③④ 分弦和所对的另一条弧．
知识要点
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分 弦所对的两条弧．
C
O
E
A
B
.D
1
垂径定理 C
O
E
A
B
排列CD这组是五合直条，径进会，行出AB是弦， D 现多CD少⊥个A命B题？
AE＝BE 将A题⌒C设＝与B⌒C结论调换 过A来⌒D，＝还B⌒D成立吗？
垂径定理及推论证明方法
垂径定理及推论证明方法一、垂径定理的内容。
1.1 垂径定理简单来说就是在圆中，垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。
这就像是一个圆里的“公平分配原则”，直径就像一个公正的裁判，只要它垂直于弦，就会把弦和对应的弧都平均分成两份。
1.2 例如，我们有一个圆，画一条弦AB，再画一条直径CD，让CD垂直于AB于点E。
那么根据垂径定理，AE就等于BE，弧AC等于弧BC，弧AD等于弧BD。
这就好像把一块圆形的蛋糕（圆），用一把垂直于蛋糕中间一条线（弦）的长刀（直径）切开，两边的蛋糕（弧）和中间的线（弦）都被平均分开了。
二、垂径定理的证明方法。
2.1 我们可以利用等腰三角形的性质来证明。
连接圆心O与弦AB的两个端点A和B，这样就形成了两个等腰三角形，即△OAB。
因为OA = OB（圆的半径都相等，这是圆的基本性质，就像一个家族里的兄弟姐妹都有相同的地位一样），直径CD垂直于AB，根据等腰三角形三线合一的性质（这可是三角形里的一个“法宝”性质），就可以得出AE = BE，从而证明了垂径定理平分弦这一部分。
2.2 对于平分弧的证明，我们可以利用圆的对称性。
圆是一个非常对称的图形，就像一个完美的圆形镜子，任何一条直径都是它的对称轴。
因为直径CD垂直于弦AB，那么沿着直径CD对折这个圆，弧AC和弧BC会完全重合，弧AD和弧BD也会完全重合，这就证明了直径平分弦所对的两条弧。
这就好比把一张圆形的纸沿着直径对折，两边的图案（弧）会严丝合缝地重合在一起，这就是圆的对称性在起作用。
2.3 从全等三角形的角度也能证明。
在前面连接OA、OB后，在Rt△OAE和Rt△OBE中，OA = OB（半径），OE是公共边，根据HL（斜边直角边）定理，可以得出这两个直角三角形全等。
全等三角形对应边相等，所以AE = BE。
而且全等三角形对应角相等，那么对应的圆心角相等，圆心角相等所对的弧就相等，也就证明了弧AC等于弧BC，弧AD等于弧BD。
椭圆中的垂径定理
椭圆中的垂径定理椭圆的定义椭圆是一个几何图形，它由一个平面上的点集构成，这些点到两个定点的距离之和保持不变。
其中，这两个定点称为焦点，而这个距离之和称为焦距。
通过运用垂径定理，可以探讨椭圆的性质和特点。
垂径定理垂径定理是指，椭圆上的任何一条线段与圆心到该线段中点的连线垂直。
也就是说，如果我们在椭圆上选择一个点，然后从圆心到该点作一条线段，该线段与椭圆上的切线垂直。
垂径定理的分析证明为了证明垂径定理，我们需要运用一些数学知识和推理。
设想一个椭圆，然后取圆心C和椭圆上的一点D。
我们需要证明线段CD与切线ACB垂直。
设椭圆的焦点为F1和F2，椭圆的半径长度为a和b（a大于b）。
假设椭圆上的点D坐标为(x,y)，圆心C的坐标为(0,0)。
由椭圆的定义可知，焦点F1的坐标为(c,0)，焦点F2的坐标为(-c,0)。
设椭圆的方程为x2/a2 + y2/b2 = 1。
根据椭圆的定义，我们可以求解出点D的坐标(x,y)。
根据点D处的切线方程可得斜率为k，切线方程为y = kx + b1。
其中，b1为切线的截距。
利用数学知识和推导，我们可以得出椭圆的半焦距为c = sqrt(a^2 - b^2)。
由此可得出切线的斜率为k = -x y/(b^2 sqrt(a^2 - x^2))。
将点D的坐标(x,y)带入切线方程可得y = -x b^2 sqrt(a^2 - x2)/(b2 * sqrt(a^2 - x^2)) = -x。
这表明切线与x轴垂直，证明垂径定理。
椭圆的特性应用垂径定理的实际应用非常广泛。
在数学、物理、工程等领域中，我们经常需要利用椭圆的特性来解决实际问题。
以下是椭圆的一些特性及其应用场景：1.椭圆的离心率：离心率是椭圆的一个重要特性，它描述了椭圆的扁平程度。
离心率越接近于0，椭圆越接近于圆形；离心率越接近于1，椭圆越扁平。
离心率的计算与垂径定理的应用息息相关，可用于工程测量和轨道设计等领域。
2.椭圆的焦距：焦距是椭圆的另一个重要特性，它描述了一个点到两个焦点的距离之和。
垂径定理九年级数学知识点
垂径定理九年级数学知识点垂径定理是九年级数学中的一个重要知识点，它涉及到平面几何的基本概念和性质。
在学习垂径定理之前，我们先来了解一下什么是垂径。
一、垂径的定义和性质垂径是在平面上与一条直线垂直相交的线段。
根据垂径的定义，我们可以得到以下性质：1. 一个点到直线的垂径只有一个。
2. 直径的两个垂径互相垂直。
3. 如果两条直径互相垂直，那么它们一定相交于圆的圆心上。
了解了垂径的定义和性质，我们就可以进一步探讨垂径定理了。
二、垂径定理的表述垂径定理是指：如果一条直径和一条垂径相交于圆上的一个点，那么这条垂径所对的弧就是直径所对的弧的一半。
换句话说，直径和垂径所对的弧互为一半。
三、垂径定理的证明垂径定理的证明可以通过利用圆的基本性质和几何知识来完成。
下面我们通过具体的例子来进行证明。
假设在圆O中，AB是直径，CD是与AB垂直相交于点E的垂径。
我们要证明的是：弧CD是弧AB的一半。
首先，连接OA和OB。
根据垂径的性质，我们知道OA和CD互相垂直，所以OA和CD构成一对垂直线段。
同样地，OB和CD也构成一对垂直线段。
由于OA和OB是圆的直径，所以它们穿过圆心O，并且与圆相交于圆上的两个点A和B。
根据圆的性质，直径的两条垂径与圆相交的弧互为一半。
因此，我们可以得出结论：弧CA等于弧CB的一半。
根据弧度的性质，我们知道弧度等于圆心角的度数。
所以弧度CA等于角CBA的度数。
同理，弧度CB等于角CAB的度数。
既然我们已经知道角CBA和角CAB是互补角，而且它们的两条弧互为一半。
所以我们可以得出结论：弧CD等于弧AB的一半。
四、垂径定理的应用垂径定理的应用非常广泛，不仅在九年级的几何学中常常被使用，而且在实际生活中也可以见到它的应用。
例如，在建筑设计中，我们经常会使用垂径定理来确定建筑物的位置和相对位置。
通过利用垂径定理，我们可以确定建筑物的中心位置，从而达到平衡和美观的效果。
此外，在航空和导航领域，垂径定理也被广泛运用。
人教版数学九年级上册课件垂径定理的推论
的半径．
解:连接OC．
C E
F ●O D
7． 已知在⊙O中，弦AB A
E
B
的长为8cm，圆心O到AB的距
离为3cm，求⊙O的半径． （5）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧．
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
．
O
则AE＝BE，CE＝DE．
（
）
赵州桥主桥拱的半径是多少？
在Rt△AOE中，根据勾股定理有OA＝5cm
∴⊙O的半径为5cm．
8． 在以O为圆心的两个
同心圆中，大圆的弦AB交小圆
O．
于C，D两点．
A
E C
DB
求证：AC＝BD．
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE．
AE－CE＝BE－DE．
所以，AC＝BD
的主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为 37，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m．
解：用 表示主桥拱，设 所在圆的圆心为 O，半径为R．
经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足， OC与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是 AB 的中点，C是 的中点，CD 就是拱高．
AB=37.4，CD=7.2，
C
① 直径过圆心 ④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
已知：AB是弦，CD平分AB，CD⊥AB，
O
求证：CD是直径，A⌒D＝B⌒D，A⌒C＝B⌒C
E
A
B
D
（5）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分 弦所对的两条弧．
② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧
① 直径过圆心 ③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
垂径定理
一、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.符号语言表述为：如图，在中，若⊙O 直径CD ⊥AB ，则AE=BE ，弧AD=弧BD,弧AC=弧BC 。
诠释：垂径定理可改述为：一条直线若满足：①过圆心（CD 是直径）；②垂直于弦（CD ⊥AB ）；则可推出：③平分弦（AE=BE ）；④平分弦所对的优弧（弧AC=弧BC ）；⑤平分弦所对的劣弧（弧AD=弧BD ）.事实上，对于一个圆和一条直线，只要具备上述五个条件中的任何两个，就可以推出其余三个。
譬如：（1）①② ⇒③④⑤（即是定理）；（2）①③ ⇒②④⑤.即：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（3）②③ ⇒①④⑤.即：弦的垂直平分线必过圆心，并且平分弦所对的两条弧. （4）①④ ⇒②③⑤.即：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.通常把上面的（2）、（3）、（4）叫做垂径定理的推论. 聪明的读者朋友，相信你还能写出余下的结论.特别说明：（1）推论“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”中“弦不是直径”是它的重要条件，因为一个圆的任意两条直径总是互相平分的，但是它们未必垂直.（2）垂径定理是根据圆是对称性推导出来的，该定理及其推论是证明线段相等、角相等、垂直关系、弧 相等和一条弦是直径的重要依据. 【应用】例（福建福州）. 如图，⊙O 中，弦AB 的长为6cm ，圆心O 到AB 的距离为4cm ，则⊙O 的半径长为（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm 解析：过圆心O 作OC AB ⊥于C ，（如图3）则4OC cm =又由垂径定理得12AC AB ==3cm ， 在Rt AOC 中，由勾股定理得：2222345OA AC OC =+=+=即⊙O 的半径长为5cm ，选C.点评：（1）解有关圆的问题时，时常需要添加辅助线，针对各种具体情况，辅助线的添加有一定规律，利用垂径定理常作“垂直于弦的直径”（往往又只是作圆心到弦的垂线段，如本例）；（2）垂径定理常与勾股定理结合在一起，进行有关圆的半径R 、圆心到弦的距离OB Ad 、弦长a 和弓形高h 等数量的计算.这些量之间的关系是222()2ar d =+，r d h =+.根据这些关系，在a 、r 、d 、h 四个量中，知道其中任何两个量，就可以求出其余的两个量.【练习】1、（江西无锡）如图1，AB 是⊙O 的弦，OC AB ⊥于C ，若25cm AB =，1cm OC =，则⊙O 的半径长为cm ． 2、湖南怀化）圆的半径为13cm ，两弦AB CD ∥，24cm AB =，10cm CD =，则两弦AB CD ，的距离是（ ） Ａ．7cm Ｂ．17cm Ｃ．12cm Ｄ．7cm 或17cm .3、小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图2所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ）A ．第①块B ．第②块C ．第③块D ．第④块图14、高速公路的隧道和桥梁最多．如图3是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =10米，净高CD =7米，则此圆的半径OA =（ ） A.5 B.7 C.537 D. 737 5、兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图4所示，已知AB =16m ，半径 OA =10m ，高度CD 为_____m ．6、如图是“明清影视城”的圆弧形门，黄红同学到影视城游玩，很想知道这扇门的相关数据，于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=20 cm ，BD=200cm ，且AB ，CD 与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮助黄红同学计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少？ 7、每位同学都看到过日出时美丽的景色.图6是一位同学从照片上剪切下来的画面，“图上”太阳与海平线交于A 、B 两点，他测得“图上”圆的半径为5厘米，AB=8厘米，若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（ ） A. 0.4厘米/分 B. 0.5厘米/分 C. 0.6厘米/分 D. 0.7厘米/分图6 OD ABC图3 DBAO C图4OMN G图5图2二、垂径定理解题应用举例（一）利用垂径平分弦所对的弧，来处理角的关系 【例1】 (重庆市)如图1，⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G ，∠EOD ＝40°,则∠DCF 等于（ ）A.80°B. 50°C. 40°D. 20° 分析：本题可由②③⇒①④⑤，所以可得ED DF =，从而得出∠DCF 与∠EOD 的关系。
垂径定理—知识讲解(提高)
垂径定理—知识讲解（提高）责编：康红梅【学习目标】1．理解圆的对称性；2．掌握垂径定理及其推论；3．学会运用垂径定理及其推论解决有关的计算、证明和作图问题．【要点梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.（4）圆的两条平行弦所夹的弧相等.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1. 如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，则⊙O的半径是．【答案】5.【解析】作OM⊥AB于M、ON⊥CD于N，连结OA，∵AB=CD，CE=1，ED=3，∴OM=EN=1，AM=2，∴OA=222+1=5.【点评】对于垂径定理的使用，一般多用于解决有关半径、弦长、弦心距之间的运算(配合勾股定理)问题.举一反三：【变式1】如图所示，⊙O两弦AB、CD垂直相交于H，AH＝4，BH＝6，CH＝3，DH＝8，求⊙O半径．【答案】如图所示，过点O分别作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，则四边形MONH为矩形，连结OB，∴12MO HN CN CH CD CH==-=-11()(38)3 2.522CH DH CH=+-=+-=，111()(46)5222BM AB BH AH==+=+=，∴在Rt△BOM中，22552OB BM OM=+=．【高清ID号：356965 关联的位置名称（播放点名称）：例2-例3】【变式2】（2015春•安岳县月考）如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．【答案与解析】解：过O作OF⊥CD，交CD于点F，连接OD，∴F为CD的中点，即CF=DF，∵AE=2，EB=6，∴AB=AE+EB=2+6=8，∴OA=4，∴OE=OA﹣AE=4﹣2=2，在Rt△OEF中，∠DEB=30°，∴OF=OE=1，在Rt△ODF中，OF=1，OD=4，根据勾股定理得：DF==，则CD=2DF=2．【高清ID号：356965 关联的位置名称（播放点名称）：例2-例3】2.已知：⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离.【思路点拨】在⊙O中，两平行弦AB、CD间的距离就是它们的公垂线段的长度，若分别作弦AB、CD的弦心距，则可用弦心距的长表示这两条平行弦AB、CD间的距离.【答案与解析】(1)如图1，当⊙O的圆心O位于AB、CD之间时，作OM⊥AB于点M，并延长MO，交CD于N点.分别连结AO、CO.∵AB∥CD∴ON⊥CD，即ON为弦CD的弦心距.∵AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm，=8+6=14(cm)图1 图2(2)如图2所示，当⊙O的圆心O不在两平行弦AB、CD之间(即弦AB、CD在圆心O的同侧)时，同理可得：MN=OM-ON=8-6=2(cm)∴⊙O中，平行弦AB、CD间的距离是14cm或2cm.【点评】解这类问题时，要按平行线与圆心间的位置关系，分类讨论，千万别丢解.举一反三：【变式】在⊙O中，直径MN⊥AB，垂足为C，MN=10，AB=8，则MC=_________．【答案】2或8．类型二、垂径定理的综合应用3.（2016•乐山模拟）李明到某影剧城游玩，看见一圆弧形门如图所示，李明想知道这扇门的相关数据．于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=40cm，BD=320cm，且AB，CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮助李明计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少？【思路点拨】如图，连接AC，作AC的中垂线交AC于G，交BD于N，交圆的另一点为M．则MN 为直径．取MN的中点O，则O为圆心，连接OA、OC．运用垂径定理和勾股定理即可求解．【答案与解析】解：如图，连接AC，作AC的中垂线交AC于G，交BD于N，交圆的另一点为M．则MN为直径．取MN的中点O，则O为圆心，连接OA、OC．∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴AB∥CD∵AB=CD∴ABCD为矩形∴AC=BD=320cm，GN=AB=CD=40cm∴AG=GC=160cm，设⊙O的半径为R，得R2=（R﹣40）2+1602，解得R=340cm，340×2=680（cm）．答：这个圆弧形门的最高点离地面的高度为680cm．【点评】本题考查了垂径定理的应用，解答本题的关键是熟练勾股定理的表达式及垂径定理的内容，注意构造直角三角形．4. 不过圆心的直线l交⊙O于C、D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥l于E，BF⊥l于F．(1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；(2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(OA＝OB除外)(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)；(3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论．【答案与解析】(1)如图所示，在图①中AB、CD延长线交于⊙O外一点；在图②中AB、CD交于⊙O内一点；在图③中AB∥CD．(2)在三个图形中均有结论：线段EC＝DF．(3)证明：过O作OG⊥l于G．由垂径定理知CG＝GD．∵ AE⊥l于E，BF⊥l于F，∴ AE∥OG∥BF．∵ AB为直径，∴ AO＝OB，∴ EG＝GF，∴ EC＝EG－CG＝GF－GD＝DF．【点评】在运用垂径定理解题时，常用的辅助线是过圆心作弦的垂线，构造出垂径定理的基本图形.。
垂径定理及推论
垂径定理及推论
垂径定理是数学中比较重要的定理之一。
它是欧几里得第九定理的一个特殊情况，它描述了连接两个点的距离与这两个点在一条直线上的距离关系。
垂径定理可以概述为：对于任意一条线段AB，在AB垂直延长线上任取一点C，连接AC和BC所得的距离AC、BC之和为AB的两倍，即：AC+BC=2AB。
垂径定理的证明：在矩形ABCD中，AB=CD，BC=DA，AC=DB，则构成一个等腰直角三角形ABC，可得： AC^2+BC^2=AB^2，即：AC+BC=2AB。
垂径定理在实际中有着广泛的应用，可以解决各种问题。
以三角形的最大边长为例，在三角形的两个顶点A和B之间有一个顶点C，若知道C在AB之间的距离AC和BC，则可以用垂径定理求出三角形最大边长为：AB=AC+BC/2。
再以圆形的周长计算为例：以给定的圆心O为原点，延长圆上任意一点M到MO上取一点N，使得ON=NM，由垂径定理可知：ON+MN=2MN，带入圆的半径为R，则得出圆的周长为2πR。
垂径定理还可以推广到更高维数，比如十维空间。
十维空间中，垂径定理可表示为：连接点A、B、C之间的距离之和为AB与AC两倍，即：AC+BC=2AB。
因此，可以看出，垂径定理是数学中思想方式独特、重要又有用的定理，它可以帮助我们正确理解和解决实际中出现的问题，可谓是数学科学的一颗璀璨之星。
中考数学垂径定理
中考数学垂径定理
一、垂径定理基本形式
垂径定理是圆的基本性质之一，它指出：通过圆心且垂直于任意弦的直径将该弦平分。
用数学语言表示就是：如果一条直径通过圆心O，并且垂直于弦AB，那么它将弦AB平分于点C。
即 AC = CB。
二、圆心到弦的垂线性质
根据垂径定理，我们可以推导出圆心到弦的垂线性质。
如果一条弦通过圆心O，且圆心到弦的垂线交弦于点C，那么这条垂线将弦分为两段相等的部分。
即 AC = CB。
同时，这条垂线也是该弦所对的圆周角平分线。
三、圆心到切线的性质
圆心到切线的性质是指：通过圆心的直线与圆的切线垂直。
如果一条直线通过圆心O，且与圆相切于点P，那么这条直线与切线垂直。
即OP与AP垂直。
同时，切线与过切点的半径也垂直。
四、切线长定理
切线长定理是指：过圆上一点作圆的切线，则切线长相等。
具体来说，如果圆上有点A，且过点A分
别作圆的两条切线AB和AC，那么这两条切线的长度相等。
即 AB = AC。
这个定理可以用来证明一些与切线相关的几何问题。
垂径定理—知识讲解(基础)
垂径定理—知识讲解（基础）【学习目标】1.理解圆的对称性；2.掌握垂径定理及其推论；3.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.【要点梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝6 cm，OD＝4 cm，则DC的长为（）A．5 cm B．2.5 cm C．2 cm D．1 cm【思路点拨】欲求CD 的长，只要求出⊙O 的半径r 即可，可以连结OA ，在Rt △AOD 中，由勾股定理求出OA.【答案】D ；【解析】连OA ，由垂径定理知13cm 2AD AB ==，所以在Rt △AOD 中，5AO ==（cm ）．所以DC ＝OC －OD ＝OA －OD ＝5－4＝1（cm ）.【点评】主要是解由半径、弦的一半和弦心距（圆心到弦的垂线段的长度）构成的直角三角形。
举一反三：【变式】如图，⊙O 中，弦AB ⊥弦CD 于E ，且AE=3cm ，BE=5cm ，求圆心O 到弦CD 距离。
【答案】1cm ．2．如图所示，直线与两个同心圆分别交于图示的各点，则正确的是（ ）A ．MP 与RN 的大小关系不定B ．MP ＝RNC ．MP ＜RND ．MP ＞RN【答案】B ；【解析】比较线段MP 与RN 的大小关系，首先可通过测量猜测MP 与RN 相等，而证明两条线段相等通常利用全等三角形，即证△OMP ≌△ONR ，如果联想到垂径定理，可过O 作OE ⊥MN 于E ，则ME ＝NE ，PE ＝RE ，∴ ME －PE ＝NE －RE ，即MP ＝RN ．【点评】在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径”.举一反三：【变式】已知：如图，割线AC 与圆O 交于点B 、C ，割线AD 过圆心O. 若圆O 的半径是5，且30DAC ︒∠=，AD=13. 求弦BC 的长.【答案】6.类型二、垂径定理的综合应用3．如图1，某公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24m，拱的半径为13m，则拱高为（）A．5m B．8m C．7m D．【思路点拨】解决此题的关键是将这样的实际问题转化为数学问题，即能够把题目中的已知条件和要求的问题转化为数学问题中的已知条件和问题．【答案】B；【解析】如图2，AB表示桥拱，弦AB的长表示桥的跨度，C为AB的中点，CD⊥AB于D，CD表示拱高，O为AB的圆心，根据垂径定理的推论可知，C、D、O三点共线，且OC平分AB．在Rt△AOD中，OA＝13，AD＝12，则OD2＝OA2－AD2＝132－122＝25．∴ OD＝5，∴ CD＝OC－OD＝13－5＝8，即拱高为8m．【点评】在解答有关弓形问题时，首先应找弓形的弧所在圆的圆心，然后构造直角三角形，运用垂径定理（推论）及勾股定理求解.4．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中，点O是的圆心，•其中CD=600m，E为上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m，求这段弯路的半径．【答案与解析】如图，连接OC，设弯路的半径为R，则OF=(R-90)m，∵OE⊥CD，∴CF=12CD=12×600=300(m)，根据勾股定理，得：OC2=CF2+OF2即R2=3002+(R-90)2，解得R=545，∴这段弯路的半径为545m．【点评】构造直角三角形，利用垂径定理、勾股定理，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题的数学方法一定要掌握．举一反三：【变式】有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB=60m，水面到拱顶距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面距拱顶不超过3m时拱桥就有危险，现在水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．【答案】不需要采取紧急措施设OA=R，在Rt△AOC中，AC=30，OC=OD-CD=R-18，R2=302+(R-18)2， R2=900+R2-36R+324，解得R=34(m).连接OM，设DE=x，在Rt△MOE中，ME=16，342=162+(34-x)2，x2-68x+256=0，解得x1=4，x2=64(不合题意，舍)，∴DE=4m＞3m，∴不需采取紧急措施．。
垂径定理推论证明新选
一、③AE=BE①⌒AC = ⌒BC④CD ⊥AB ②⌒AD = ⌒BD⑤CD 过圆心（即CD 是直径） 证明：∵⌒AC = ⌒BC ，⌒AD = ⌒BD∴⌒CAD = ⌒CBD = 圆周∴ CD 过圆心（即CD 是直径）连接OA ，OB∵⌒AD = ⌒BD∴∠AOD=∠BOD在△AOE 和△BOE 中OA=OB∠AOE=∠BOEOE=OE∴△AOE ≌△BOE （SAS ）∴AE=BE ，∠AEO=∠BEO=90°∴CD ⊥AB二、②⌒AD = ⌒BD①⌒AC = ⌒BC ④CD ⊥AB③AE=BE ⑤CD 过圆心（即CD 是直径）证明：连接OA ，OB在△AOE 和△BOE 中OA=OBAE=BEOE=OE∴△AOE ≌△BOE （SSS ）∴∠AOE=∠BOE ，∠AEO=∠BEO=90°∵∠AOE=∠BOE ∴⌒AD = ⌒BD∵⌒AC = ⌒BC ，⌒AD = ⌒BD∴⌒CAD = ⌒CBD = 圆周∴ CD 过圆心（即CD 是直径）∵∠AEO=∠BEO=90° ∴CD ⊥AB2121三、 ①⌒AC = ⌒BC ②⌒AD = ⌒BD ④CD ⊥AB ③⑤CD 过圆心（即CD 是直径）证明过程同上四、②⌒AD = ⌒BD①⌒AC = ⌒BC③AE=BE ④CD ⊥AB ⑤CD 过圆心（即CD 是直径）证明：连接OA ，OB∵CD ⊥AB∴∠AEO=∠BEO=90°在Rt △AOE 和Rt △BOE 中OA=OBOE=OE∴Rt △AOE ≌Rt △BOE （HL ）∴∠AOE=∠BOE ，AE=∠BE∵∠AOE=∠BOE∴⌒AD = ⌒BD∵⌒AC = ⌒BC ，⌒AD = ⌒BD∴⌒CAD = ⌒CBD = 圆周 ∴ CD 过圆心（即CD 是直径）五、 ①⌒AC = ⌒BC②⌒AD = ⌒BD③AE=BE ④CD ⊥AB ⑤CD 过圆心（即CD 是直径）证明过程同上六、 ②⌒AD = ⌒BD①⌒AC = ⌒BC③AE=BE ⑤CD 过圆心（即CD 是直径） ④CD ⊥AB21证明：连接OA ，OB∵CD 过圆心（即CD 是直径） ∴⌒CAD = ⌒CBD = 圆周 ∵⌒AC = ⌒BC∴⌒AD = ⌒BD∴∠AOE=∠BOE在△AOE 和△BOE 中OA=OB∠AOE=∠BOEOE=OE∴△AOE ≌△BOE （SAS ）∴AE=BE ，∠AEO=∠BEO=90° ∴CD ⊥AB七、 ①⌒AC = ⌒BC②⌒AD = ⌒BD③AE=BE ⑤CD 过圆心（即CD 是直径） ④CD ⊥AB证明过程同上八、 ①⌒AC = ⌒BC③AE=BE ②⌒AD = ⌒BD④CD ⊥AB ⑤CD 过圆心（即CD 是直径）证明：连接OA ，OB∵OA=OB∴△OAB 为等腰三角形∵AE=BE ，CD ⊥AB∴OD 平分∠AOB 且CD 过圆心∴∠AOD=∠BOD∴⌒AD = ⌒BD∵CD 过圆心（即CD 是直径）∴⌒CAD = ⌒CBD = 圆周 ∵⌒AD = ⌒BD ∴⌒AC = ⌒BC2121九、 ①⌒AC = ⌒BC ③AE=BE ②⌒AD = ⌒BD⑤CD 过圆心（即CD 是直径） ④CD ⊥AB证明：连接OA ，OB在△AOE 和△BOE 中OA=OBAE=BEOE=OE∴△AOE ≌△BOE （SAS ）∴∠AOE=∠BOE ，∠AEO=∠BEO=90°∵CD 过圆心∴∠AOD=∠BOD ，CD ⊥AB∴⌒AD = ⌒BD∵CD 过圆心（即CD 是直径）∴⌒CAD = ⌒CBD = 圆周∵⌒AD = ⌒BD∴⌒AC = ⌒BC十、①⌒AC = ⌒BC ④CD ⊥AB②⌒AD = ⌒BD ⑤CD 过圆心（即CD 是直径）③AE=BE证明：连接OA ，OB∵CD ⊥AB∴∠AEO=∠BEO=90°在Rt △AOE 和Rt △BOE 中OA=OBOE=OE∴Rt △AOE ≌Rt △BOE （HL ）∴∠AOE=∠BOE ，AE=∠BE∵∠AOE=∠BOE ，CD 过圆心∴∠AOD=∠BOD ∴⌒AD = ⌒BD∵CD 过圆心（即CD 是直径）∴⌒CAD = ⌒CBD = 圆周∵⌒AD = ⌒BD ∴⌒AC = ⌒BC2121最新文件仅供参考已改成word文本。
垂径定理—知识讲解(基础)
垂径定理—知识讲解（基础）【学习目标】1.理解圆的对称性；2.掌握垂径定理及其推论；3.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.【要点梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝6 cm，OD＝4 cm，则DC的长为（）A．5 cm B．2.5 cm C．2 cm D．1 cm【思路点拨】欲求CD 的长，只要求出⊙O 的半径r 即可，可以连结OA ，在Rt △AOD 中，由勾股定理求出OA.【答案】D ；【解析】连OA ，由垂径定理知13cm 2AD AB ==， 所以在Rt △AOD 中，2222435AO OD AD =+=+=（cm ）．所以DC ＝OC －OD ＝OA －OD ＝5－4＝1（cm ）.【点评】主要是解由半径、弦的一半和弦心距（圆心到弦的垂线段的长度）构成的直角三角形。
举一反三：【变式】如图，⊙O 中，弦AB ⊥弦CD 于E ，且AE=3cm ，BE=5cm ，求圆心O 到弦CD 距离。
【答案】1cm ．2．如图所示，直线与两个同心圆分别交于图示的各点，则正确的是（ ）A ．MP 与RN 的大小关系不定B ．MP ＝RNC ．MP ＜RND ．MP ＞RN【答案】B ；【解析】比较线段MP 与RN 的大小关系，首先可通过测量猜测MP 与RN 相等，而证明两条线段相等通常利用全等三角形，即证△OMP ≌△ONR ，如果联想到垂径定理，可过O 作OE ⊥MN 于E ，则ME ＝NE ，PE ＝RE ，∴ ME －PE ＝NE －RE ，即MP ＝RN ．【点评】在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径”.举一反三：【高清ID 号：356965 关联的位置名称（播放点名称）：例2-例3】【变式】已知：如图，割线AC 与圆O 交于点B 、C ，割线AD 过圆心O. 若圆O 的半径是5，且30DAC ︒∠=，AD=13. 求弦BC 的长.【答案】6.类型二、垂径定理的综合应用3．如图1，某公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24m，拱的半径为13m，则拱高为（）A．5m B．8m C．7m D．53m【思路点拨】解决此题的关键是将这样的实际问题转化为数学问题，即能够把题目中的已知条件和要求的问题转化为数学问题中的已知条件和问题．【答案】B；【解析】如图2，AB表示桥拱，弦AB的长表示桥的跨度，C为AB的中点，CD⊥AB于D，CD表示拱高，O为AB的圆心，根据垂径定理的推论可知，C、D、O三点共线，且OC平分AB．在Rt△AOD中，OA＝13，AD＝12，则OD2＝OA2－AD2＝132－122＝25．∴ OD＝5，∴ CD＝OC－OD＝13－5＝8，即拱高为8m．【点评】在解答有关弓形问题时，首先应找弓形的弧所在圆的圆心，然后构造直角三角形，运用垂径定理（推论）及勾股定理求解.4．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中，点O是的圆心，•其中CD=600m，E为上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m，求这段弯路的半径．【答案与解析】如图，连接OC，设弯路的半径为R，则OF=(R-90)m，∵OE⊥CD，∴CF=12CD=12×600=300(m)，根据勾股定理，得：OC2=CF2+OF2即R2=3002+(R-90)2，解得R=545，∴这段弯路的半径为545m．【点评】构造直角三角形，利用垂径定理、勾股定理，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题的数学方法一定要掌握．举一反三：【变式】有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB=60m，水面到拱顶距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面距拱顶不超过3m时拱桥就有危险，现在水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．【答案】不需要采取紧急措施设OA=R，在Rt△AOC中，AC=30，OC=OD-CD=R-18，R2=302+(R-18)2， R2=900+R2-36R+324，解得R=34(m).连接OM，设DE=x，在Rt△MOE中，ME=16，342=162+(34-x)2，x2-68x+256=0，解得x1=4，x2=64(不合题意，舍)，∴DE=4m＞3m，∴不需采取紧急措施．。
垂径定理证明方法
垂径定理证明方法嘿，咱今天就来说说垂径定理的证明方法。
你可别小瞧这垂径定理，它在数学里那可是相当重要呢！想象一下，有一个圆，就像一个超级大的甜甜圈。
然后有一条弦，就把它当成是甜甜圈上的一根彩带吧。
垂径定理说的就是这条弦被直径垂直平分。
那怎么证明呢？咱可以用反证法呀。
假设这条弦没有被直径垂直平分，那会出现啥情况呢？这就好像你吃甜甜圈的时候发现那根彩带歪歪扭扭的，不整齐，那肯定不对劲呀！还可以用几何图形来证明。
画个圆，标上直径和弦，通过各种角度和长度的关系来推导。
这就好比搭积木，一块一块地往上摆，最后就搭成了证明垂径定理的“大楼”。
再不然，咱可以从圆的对称性入手。
圆可是非常对称的哦，就像一个完美的艺术品。
利用这个对称性，不就能很好地说明垂径定理了嘛。
你说，这垂径定理是不是很神奇？它就像是圆这个神秘世界里的一把钥匙，能帮我们打开很多知识的大门呢。
而且啊，垂径定理在实际生活中也有很多用处呢。
比如说建桥的时候，工程师们就得考虑怎么让桥面更稳固，这时候垂径定理就能派上用场啦。
你想想，如果没有垂径定理，那我们很多数学问题该怎么解决呀？那可真是让人头疼呢！所以说，学会垂径定理的证明方法，那可太重要啦。
咱可不能小看这小小的定理，它背后蕴含着大大的智慧呢。
就像一颗小小的星星，虽然不起眼，但在夜空中却能闪闪发光。
大家一定要好好掌握垂径定理的证明方法呀，这可是数学世界里的宝贝呢！别等到要用的时候才发现自己没学好，那可就后悔莫及啦！现在就行动起来，把垂径定理学透学精，让自己在数学的海洋里畅游无阻吧！。
垂径定理的推论的证明
（1） 知①②推③④⑤已知CD 是圆的直径，CD ⊥AB 于点E ，求证：AE =BE ， AD BD ， AC BC证明：连接OA ,OB 在△OAB 中，∵OA =OB ,OD ⊥AB 于点E∴AE =BE ,∠AOE =∠BOE （等腰三角形三线合一） ∴∠AOC =∠BOC （等角的补角相等） ∴ AD BD ， AC BC垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧（2） 知①③推②④⑤已知CD 是圆的直径，AE =BE ，求证：OD ⊥AB ， AD BD ， AC BC证明：连接OA ,OB 在△OAB 中， ∵OA =OB ,AE=BE∴OE ⊥AB ,∠AOE =∠BOE （等腰三角形三线合一） ∴∠AOC =∠BOC （等角的补角相等） ∴ AD BD ， AC BC垂径定理知二推三（已知以下任意两个条件，可以推导出其他三个条件）：① CD 过圆心（CD 是圆的直径） ② CD ⊥AB 于点E ③ AE =BE④ AD BD ⑤ AC BC已知CD 是圆的直径， AD BD ，求证：CD ⊥AB ，AE =BE ， AC BC证明：连接OA ,OB,AD,BD ∵ AD BD∴AD =BD 又∵OA=OB∴CD 是AB 的垂直平分线 ∴CD ⊥AB, AE =BE ∴ AC BC（4） 知①⑤推②③④已知CD 是圆的直径， AC BC ，求证：OD ⊥AB ，AE =BE ， AD BD证明：连接OA ,OB,AC,BC ∵ AC BC∴AC =BC 又∵OA=OB∴CD 是AB 的垂直平分线 ∴CD ⊥AB, AE =BE ∴ AD BD（5） 知②③推①④⑤已知 CD ⊥AB ，AE =BE ，求证：CD 是圆的直径， AC BC ， AD BD证明：连接OA ,OB ∵CD ⊥AB ，AE =BE ∴CD 是AB 的垂直平分线 ∵OA=OB∴O 点在CD 上（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）即CD 为圆的直径 ∴ AC BC ， AD BD已知 CD ⊥AB ， AD BD 求证：CD 是圆的直径，AE =BE ， AC BC， 证明：连接AD 、BD 、OA 、OB∵ AD BD∴AD =BD ∵CD ⊥AB∴AE =BE ，∠ADC =∠BDC （等腰三角形三线合一） 即CD 是AB 的垂直平分线 ∵OA =OB ∴O 在CD 上 即CD 为☉O 直径∵∠AOC =2∠ADC ，∠BOC =2∠BDC ∴∠AOC =∠BOC ∴ AC BC（7） 知②⑤推①③④已知：CD ⊥AB ， AC BC ，求证：CD 是☉O 直径，AE =BE ， AD BD证明：连接AC 、BC 、OA 、OB ∵ AC BC∴AC =BC ∵CD ⊥AB∴AE =BE ，∠ACD =∠BCD （等腰三角形三线合一） 即CD 是AB 的垂直平分线 ∵OA =OB ∴O 在CD 上 即CD 为☉O 直径∵∠AOD =2∠ACD ，∠BOD =2∠BCD ∴∠AOD =∠BOD ∴ AD BD已知：AE =BE ， AD BD ，求证：CD 是☉O 直径，CD ⊥AB ， AC BC证明：连接AD 、BD 、OA 、OB ∵ AD BD∴AD =BD ∵AE =BE∴CD ⊥AB ，∠ADC =∠BDC （等腰三角形三线合一） 即CD 是AB 的垂直平分线 ∵OA =OB ∴O 在CD 上 即CD 为☉O 直径∵∠AOC =2∠ADC ，∠BOC =2∠BDC ∴∠AOC =∠BOC ∴ AC BC（9） 知③⑤推①②④已知AE =BE ， AC BC ，求证：CD 是☉O 直径，CD ⊥AB ， AD BD证明：连接AC 、BC 、OA 、OB ∵ AC BC∴AC =BC ∵AE =BE∴CD ⊥AB ，∠ACD =∠BCD （等腰三角形三线合一） 即CD 是AB 的垂直平分线 ∵OA =OB ∴O 在CD 上 即CD 为☉O 直径∵∠AOD =2∠ACD ，∠BOD =2∠BCD ∴∠AOD =∠BOD ∴ AD BD已知： AD BD ， AC BC，求证：CD 是☉O 直径，CD ⊥AB ，AE =BE 证明：连接AC 、BC 、AD 、BD ∵ AD BD ， AC BC∴AD =BD ，AC =BC∴CD ⊥AB ，AE =BE （垂直平分线的判定定理） ∵OA =OB ∴O 在CD 上 即CD 为☉O 直径。
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一、
③AE=BE
①⌒AC = ⌒BC
④CD ⊥AB ②⌒AD = ⌒BD
⑤CD 过圆心（即CD 是直径） 证明：∵⌒AC = ⌒BC ，⌒AD = ⌒BD
∴⌒CAD = ⌒CBD = 圆周
∴ CD 过圆心（即CD 是直径）
连接OA ，OB
∵⌒AD = ⌒BD
∴∠AOD=∠BOD
在△AOE 和△BOE 中
OA=OB
∠AOE=∠BOE
OE=OE
∴△AOE ≌△BOE （SAS ）
∴AE=BE ，∠AEO=∠BEO=90°
∴CD ⊥AB
二、
②⌒AD = ⌒BD
①⌒AC = ⌒BC ④CD ⊥AB
③AE=BE ⑤CD 过圆心（即CD 是直径）
证明：连接OA ，OB
在△AOE 和△BOE 中
OA=OB
AE=BE
OE=OE
∴△AOE ≌△BOE （SSS ）
∴∠AOE=∠BOE ，∠AEO=∠BEO=90°
∵∠AOE=∠BOE ∴⌒AD = ⌒BD
∵⌒AC = ⌒BC ，⌒AD = ⌒BD
∴⌒CAD = ⌒CBD = 圆周
∴ CD 过圆心（即CD 是直径）
∵∠AEO=∠BEO=90° ∴CD ⊥AB
21
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三、 ①⌒AC = ⌒BC ②⌒AD = ⌒BD ④CD ⊥AB ③⑤CD 过圆心（即CD 是直径）
证明过程同上
四、
②⌒AD = ⌒BD
①⌒AC = ⌒BC
③AE=BE ④CD ⊥AB ⑤CD 过圆心（即CD 是直径）
证明：连接OA ，OB
∵CD ⊥AB
∴∠AEO=∠BEO=90°
在Rt △AOE 和Rt △BOE 中
OA=OB
OE=OE
∴Rt △AOE ≌Rt △BOE （HL ）
∴∠AOE=∠BOE ，AE=∠BE
∵∠AOE=∠BOE
∴⌒AD = ⌒BD
∵⌒AC = ⌒BC ，⌒AD = ⌒BD
∴⌒CAD = ⌒CBD = 圆周 ∴ CD 过圆心（即CD 是直径）
五、 ①⌒AC = ⌒BC
②⌒AD = ⌒BD
③AE=BE ④CD ⊥AB ⑤CD 过圆心（即CD 是直径）
证明过程同上
六、 ②⌒AD = ⌒BD
①⌒AC = ⌒BC
③AE=BE ⑤CD 过圆心（即CD 是直径） ④CD ⊥AB
2
1
证明：连接OA ，OB
∵CD 过圆心（即CD 是直径） ∴⌒CAD = ⌒CBD = 圆周 ∵⌒AC = ⌒BC
∴⌒AD = ⌒BD
∴∠AOE=∠BOE
在△AOE 和△BOE 中
OA=OB
∠AOE=∠BOE
OE=OE
∴△AOE ≌△BOE （SAS ）
∴AE=BE ，∠AEO=∠BEO=90° ∴CD ⊥AB
七、 ①⌒AC = ⌒BC
②⌒AD = ⌒BD
③AE=BE ⑤CD 过圆心（即CD 是直径） ④CD ⊥AB
证明过程同上
八、 ①⌒AC = ⌒BC
③AE=BE ②⌒AD = ⌒BD
④CD ⊥AB ⑤CD 过圆心（即CD 是直径）
证明：连接OA ，OB
∵OA=OB
∴△OAB 为等腰三角形
∵AE=BE ，CD ⊥AB
∴OD 平分∠AOB 且CD 过圆心
∴∠AOD=∠BOD
∴⌒AD = ⌒BD
∵CD 过圆心（即CD 是直径）
∴⌒CAD = ⌒CBD
= 圆周 ∵⌒AD = ⌒BD ∴⌒AC = ⌒BC
2
12
1
九、 ①⌒AC = ⌒BC ③AE=BE ②⌒AD = ⌒BD
⑤CD 过圆心（即CD 是直径） ④CD ⊥AB
证明：连接OA ，OB
在△AOE 和△BOE 中
OA=OB
AE=BE
OE=OE
∴△AOE ≌△BOE （SAS ）
∴∠AOE=∠BOE ，∠AEO=∠BEO=90°
∵CD 过圆心
∴∠AOD=∠BOD ，CD ⊥AB
∴⌒AD = ⌒BD
∵CD 过圆心（即CD 是直径）
∴⌒CAD = ⌒CBD = 圆周
∵⌒AD = ⌒BD
∴⌒AC = ⌒BC
十、
①⌒AC = ⌒BC ④CD ⊥AB
②⌒AD = ⌒BD ⑤CD 过圆心（即CD 是直径）
③AE=BE 证明：连接OA ，OB
∵CD ⊥AB
∴∠AEO=∠BEO=90°
在Rt △AOE 和Rt △BOE 中
OA=OB
OE=OE
∴Rt △AOE ≌Rt △BOE （HL ）
∴∠AOE=∠BOE ，AE=∠BE
∵∠AOE=∠BOE ，CD 过圆心
∴∠AOD=∠BOD ∴⌒AD = ⌒BD
∵CD 过圆心（即CD 是直径）
∴⌒CAD = ⌒CBD = 圆周
∵⌒AD = ⌒BD ∴⌒AC = ⌒BC 21
21。