垂径定理推论证明
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一、
③AE=BE
①⌒AC = ⌒BC
④CD ⊥AB ②⌒AD = ⌒BD
⑤CD 过圆心（即CD 是直径） 证明：∵⌒AC = ⌒BC ，⌒AD = ⌒BD
∴⌒CAD = ⌒CBD = 圆周
∴ CD 过圆心（即CD 是直径）
连接OA ，OB
∵⌒AD = ⌒BD
∴∠AOD=∠BOD
在△AOE 和△BOE 中
OA=OB
∠AOE=∠BOE
OE=OE
∴△AOE ≌△BOE （SAS ）
∴AE=BE ，∠AEO=∠BEO=90°
∴CD ⊥AB
二、
②⌒AD = ⌒BD
①⌒AC = ⌒BC ④CD ⊥AB
③AE=BE ⑤CD 过圆心（即CD 是直径）
证明：连接OA ，OB
在△AOE 和△BOE 中
OA=OB
AE=BE
OE=OE
∴△AOE ≌△BOE （SSS ）
∴∠AOE=∠BOE ，∠AEO=∠BEO=90°
∵∠AOE=∠BOE ∴⌒AD = ⌒BD
∵⌒AC = ⌒BC ，⌒AD = ⌒BD
∴⌒CAD = ⌒CBD = 圆周
∴ CD 过圆心（即CD 是直径）
∵∠AEO=∠BEO=90° ∴CD ⊥AB
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三、 ①⌒AC = ⌒BC ②⌒AD = ⌒BD ④CD ⊥AB ③⑤CD 过圆心（即CD 是直径）
证明过程同上
四、
②⌒AD = ⌒BD
①⌒AC = ⌒BC
③AE=BE ④CD ⊥AB ⑤CD 过圆心（即CD 是直径）
证明：连接OA ，OB
∵CD ⊥AB
∴∠AEO=∠BEO=90°
在Rt △AOE 和Rt △BOE 中
OA=OB
OE=OE
∴Rt △AOE ≌Rt △BOE （HL ）
∴∠AOE=∠BOE ，AE=∠BE
∵∠AOE=∠BOE
∴⌒AD = ⌒BD
∵⌒AC = ⌒BC ，⌒AD = ⌒BD
∴⌒CAD = ⌒CBD = 圆周 ∴ CD 过圆心（即CD 是直径）
五、 ①⌒AC = ⌒BC
②⌒AD = ⌒BD
③AE=BE ④CD ⊥AB ⑤CD 过圆心（即CD 是直径）
证明过程同上
六、 ②⌒AD = ⌒BD
①⌒AC = ⌒BC
③AE=BE ⑤CD 过圆心（即CD 是直径） ④CD ⊥AB
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1
证明：连接OA ，OB
∵CD 过圆心（即CD 是直径） ∴⌒CAD = ⌒CBD = 圆周 ∵⌒AC = ⌒BC
∴⌒AD = ⌒BD
∴∠AOE=∠BOE
在△AOE 和△BOE 中
OA=OB
∠AOE=∠BOE
OE=OE
∴△AOE ≌△BOE （SAS ）
∴AE=BE ，∠AEO=∠BEO=90° ∴CD ⊥AB
七、 ①⌒AC = ⌒BC
②⌒AD = ⌒BD
③AE=BE ⑤CD 过圆心（即CD 是直径） ④CD ⊥AB
证明过程同上
八、 ①⌒AC = ⌒BC
③AE=BE ②⌒AD = ⌒BD
④CD ⊥AB ⑤CD 过圆心（即CD 是直径）
证明：连接OA ，OB
∵OA=OB
∴△OAB 为等腰三角形
∵AE=BE ，CD ⊥AB
∴OD 平分∠AOB 且CD 过圆心
∴∠AOD=∠BOD
∴⌒AD = ⌒BD
∵CD 过圆心（即CD 是直径）
∴⌒CAD = ⌒CBD
= 圆周 ∵⌒AD = ⌒BD ∴⌒AC = ⌒BC
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1
九、 ①⌒AC = ⌒BC ③AE=BE ②⌒AD = ⌒BD
⑤CD 过圆心（即CD 是直径） ④CD ⊥AB
证明：连接OA ，OB
在△AOE 和△BOE 中
OA=OB
AE=BE
OE=OE
∴△AOE ≌△BOE （SAS ）
∴∠AOE=∠BOE ，∠AEO=∠BEO=90°
∵CD 过圆心
∴∠AOD=∠BOD ，CD ⊥AB
∴⌒AD = ⌒BD
∵CD 过圆心（即CD 是直径）
∴⌒CAD = ⌒CBD = 圆周
∵⌒AD = ⌒BD
∴⌒AC = ⌒BC
十、
①⌒AC = ⌒BC ④CD ⊥AB
②⌒AD = ⌒BD ⑤CD 过圆心（即CD 是直径）
③AE=BE 证明：连接OA ，OB
∵CD ⊥AB
∴∠AEO=∠BEO=90°
在Rt △AOE 和Rt △BOE 中
OA=OB
OE=OE
∴Rt △AOE ≌Rt △BOE （HL ）
∴∠AOE=∠BOE ，AE=∠BE
∵∠AOE=∠BOE ，CD 过圆心
∴∠AOD=∠BOD ∴⌒AD = ⌒BD
∵CD 过圆心（即CD 是直径）
∴⌒CAD = ⌒CBD = 圆周
∵⌒AD = ⌒BD ∴⌒AC = ⌒BC 21
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