集合的表示方法
集合的三种表示法
集合的三种表示法：
1.列举法：列举法就是将集合的元素逐一列举出来的方式。
例如，光学中的三原色可以
用集合{红，绿，蓝}表示;由四个字母a, b, c, d组成的集合A可用A={a,b,c,d}表示，如此等等。
列举法还包括尽管集合的元素无法- -一列举，但可以将它们的变化规律表示出来的情况。
2.描述法：描述法的形式为{代表元素|满足的性质}。
设集合S是由具有某种性质P的元
素全体所构成的，则可以采用描述集合中元素公共属性的方法来表示集合: S={x|P(x)}。
图像法，图像法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面.上的点集表示集合的方法。
一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法。
3.符号法：有些集合可以用一些特殊符号表示，如: N: :非负整数集合或自然数集合
{0,1,2,3,.、Z:整数集合.-1,01,. Q:有理数集合、Q+: 正有理数集合、Q-: 负有理数集合、R:实数集合(包括有理数和无理数)。
1.1.2集合的表示方法
x
像这样， 将集合元素满足的特征性质或者条件用形式 写出来 表示集合的方法，叫做描述法. 其中，大括号内竖线左边的 是集合的代表元素， 竖线右边的 是集合的元素 满足的特征性质或者条件.
例2 . 用描述法表示下列集合： （1）大于2的整数组成的集合； （2）不等式 x 2 3 的解集； （3）所有直角三角形组成的集合. 解： （1） a a 2, 且 a Z （2）x （3）
（5）在直角坐标系中，由第一象限所 有点组成的.
解：（1）小于5的有理数组成的集合为：x
（2） x 1 2 不等式 的解集为：
பைடு நூலகம்
x 5, 且 x Q
x
x 1, 且 x R 或写成
x
x 1
x x 2 n , n N （3）所有的正偶数组成的集合为：
§1.1.2 集合的表示方法
一、复习引入：
1．集合的概念
某些确定的对象组成一个整体。 2．集合中元素有那些性质？ 确定性、互异性、无序性 3．空集、有限集和无 限集的概念 不含任何元素的集合叫做空集，含有有限个元素的集 合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。
一．集合的表示法
集合的表示方法，常用的有列举法和描述法。
A 与 b A 也可已写成： b A 有限集、无限集、空集（ ） ：
集合与元素的关系：a 有限集：元素个数是有限个的集合。 无限集：元素个数有无限个的集合。 空集 （ ） ： 没有任何元素的集合。 集合的常用表示： 列举法 与 描述法
列举法： 将集合中的元素一一列举出来， 用一个大括号括起来表示集合的方法。
( x, y ) x 0, y 0 （5）第一象限所有点组成的集合为 ：
集合的描述
集合的描述集合是数学中的一个基本概念，它是由一些特定元素组成的整体。
在集合论中，集合用大写字母表示，元素用小写字母表示。
一个元素是否属于一个集合，可以用符号∈表示，不属于则用符号∉表示。
集合的描述有多种形式。
一种常见的描述方法是列举法，即将集合中的元素一一列举出来。
例如，集合A={1,2,3,4,5}表示集合A由元素1、2、3、4、5组成。
这种描述方法适用于元素个数较少的集合。
另一种描述方法是陈述法，即通过一定的条件来描述集合中的元素。
例如，集合B={x|x是正整数，且x<10}表示集合B中的元素是满足条件"x是正整数，且x小于10"的数。
这种描述方法适用于元素个数较多的集合。
在集合中，元素的顺序是无关紧要的，也就是说集合中的元素是无序的。
同一个集合中的元素是互不相同的，即集合中不会出现重复的元素。
集合的运算包括并集、交集、差集和补集。
并集是指将两个集合中的所有元素合并在一起构成的集合。
交集是指两个集合中共有的元素构成的集合。
差集是指一个集合中去掉另一个集合中共有的元素后剩下的元素构成的集合。
补集是指在某个全集中，不属于给定集合的所有元素构成的集合。
集合的大小可以用基数来表示，即集合中元素的个数。
如果集合A 的基数为n，可以用符号|A|=n来表示。
集合还有一些特殊的类型，如空集和全集。
空集是不包含任何元素的集合，用符号∅表示。
全集是包含所有可能元素的集合，一般用符号U表示。
集合论在数学和其他领域有着广泛的应用。
在数学中，集合论是构建整个数学体系的基础。
在计算机科学中，集合论是构建数据结构和算法的基础。
在统计学和概率论中，集合论是描述随机事件和概率的基础。
在人工智能和机器学习中，集合论是描述数据和特征的基础。
集合是数学中非常重要的概念，它可以用来描述和处理各种各样的问题。
通过对集合的描述和运算，我们可以更好地理解和解决现实世界中的问题。
无论是在数学领域还是其他领域，集合论都有着重要的地位和作用。
1.1.2 集合的表示方法
1.1.2 集合的表示方法教材知识检索考点知识清单 1．列举法将集合中的元素____，写在____表示集合的方法． 2．描述法描述法的一般形式为 ，其意义是表示由集合I 中具r 有性质____的所有元素构成的集合．要点核心解读1.集合常用的表示方法有列举法、描述法(1)列举法，把集会中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法，叫列举法，例，如，A={指南针：，造纸，火药，印刷｝.列举法适合表示有限集，当集合中元素的个数较少时，用列举法表示这榉的集合较为方便，而且使人一目了然．(2)描述法，把集合中元素的公共 属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法，叫做描述法 ，它的一般形式为)},(|{x P x 竖线前面的x 表示集合中元素的一般形式，而后面的P(x)表示集合元素x 的公共属性，例如,n {z n A ∈=}.8<n 在不引起混淆的情况下，为了简便，有些集合用描述法表示时,可省去竖线及左边的部分，例如由所有圆组成的集合，可表示为{圆}．如表示由直线y=x 上所有的点构成的集合，可用下列三种方法： ①文学语言形式：直线y=x 上所有的点构成的集合； ②符号语言形式：};|),{(x y y x =③图形语言形式：在平面直角坐标系内画出直线x y =（图略）．2．对集合表示法的理解(1)列举法可以看清集合的元贰描述法可以看清集合元素的特征．(2)两种表示法里的“{ }”都有“全体”“集合”的含义，因此，{全体整数}中的“全体”二字是多余的，应改为{ 整数}．(3)除了用列举法和描述法来表示集合，还可以利用图形表示集合，也可以通过集合的运算来表示集合，例如 }2,1{=A ⋅}3,2{3．选择适当的方法表示集合的规律集合的常用表示方法：列举法和描述法，在集合的运算中经常用到，在具体解题中：要根据题目的特点，选用适当的方法表示集合．(1)对于有限集或元素间存在明显规律的无限集，可采用列举法．(2 )对于无明显规律的无限集，不能将它们一一列举出来，可以通过将集合中元素（只有这个集合才有）的共同特征描述出来，即采用描述法．(3)有些集合既可用列举法，又可用描述法．典例分类剖析考点1集合的表示方法[例1]用适当的方法表示下列集合： (1)所有非负偶数组成的集合；(2)所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合；9)3(2-x 的一次因式组成的集合；(4)方程0)5)(2)(1(2=---x x x 的解组成的集合； (5)直角坐标系内第三象限的点组成的集合． [解析] };,8,6,4,2,0{},2|){1( 或N n n x x ∈=};3,3){3(};19,17,13,11,7,5,3){2(+-x x⋅<<-}0,0|),){(5(};5,5,2,1){4(y x y x[点拨]这里(1)中第二种表示法及(2)、(3)、(4)为列举法，而(1)中第一种表示法和(5)为描述法．实数的集合、点的集合是集合的两种重要形式，通过本例，读者要学会熟练地写出一定条件下的这两种形式的集合，为今后的学习奠定基础．母题迁徙1．分别用自然语言、图形语言、集合语言表示“直线y=x 上所有点构成的集合”． 考点2 列举法与描述法的转换[例2] (1)已知集合},16|{z xN x M ∈+∈=求M ； (2)已知集合},|16{N x z xC ∈∈+=求C ． [解析] 集合M 、C 中元素的形式不一致，要正确认识。
集合的使用方法
集合的使用方法
集合，是数学中的一个基本概念，可以用来描述几个元素的总体，一般表示为一个大括号内部用逗号分隔开的元素列表。
比如说，
{1,2,3,4,5}就是一个由5个数字构成的集合。
使用集合的方法包括：
1. 列出集合中的元素，用逗号隔开，并用大括号括起来表示。
2. 记号：如果一个元素x属于一个集合A，我们用符号x∈A表示。
如果一个元素y不属于集合A，我们用符号y∉A表示。
3. 集合的大小：一个集合中的元素个数叫做集合的大小。
比如说，{1,2,3,4,5}这个集合的大小就是5。
4. 集合的运算：常见的集合运算包括并集、交集、差集、对称差等。
a. 并集：两个集合A和B的并集是一个集合，其中的元素都属于A或B，用符号A∪B表示。
b. 交集：两个集合A和B的交集是一个集合，其中的元素都同时属于A和B，用符号A∩B表示。
c. 差集：两个集合A和B的差集是一个集合，其中的元素属于A 但不属于B，用符号A-B表示。
d. 对称差：两个集合A和B的对称差是一个集合，其中的元素要么属于A但不属于B，要么属于B但不属于A，用符号A△B表示。
以上就是集合的基本用法。
在实际应用中，集合常被用于数据的分类、运算和处理等方面。
集合的表示方法
重难点：集合的表示方法
集合的表示方法：
（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法.用列举法表示
集合时，元素之间用逗号隔开.
例如：所有小于5的自然数组成的集合是{}4,3,2,1,0.
（2）描述法：把集合中元素的共同性质描述出来，写在大括号内表示集合的方法.它的一般形式是：{}p x x A 满足条件=.
例如：比-5大的实数组成的集合可表示为{}R x x x ∈->,5
有些集合既可以用列举法表示，也可以用描述法表示.
例如：所有小于5的自然数的集合，列举法可表示为{}4,3,2,1,0，描述法可表示为{}N x x x ∈<,5.
（3）Venn 图示法：用封闭曲线所围成的图形表示集合的方法.
历年真题：
1. （2015）用列举法表示“大于3且小于10的奇数的全体”构成的集合是（）
A. ∅
B.{}9,7,5
C.{}8,6,4
D.{}9,8,7,6,5,4
2.（2016）用列举法表示“大于2且小于9的偶数的全体”构成的集合是（）
A. ∅
B.{}8,6,4
C.{}7,5,3
D.{}8,7,6,5,4,3
3.（2017）用列举法表示“方程0652=+-x x 的所有解”构成的集合是（）
A. {}2
B.∅
C.{}3
D.{}3,2。
集合的表示方法
例题
4.用适当的方法表示下列集合 （1）一年中有31天的月份构成的集合A （2）方程 -x=0的解集B （3）使分式 有意义的x的集合C （4）被3除余1的自然数组成的集合D （5）-2与4之间奇数的集合E （6）非负数的集合F （7）不大于0.5且大于-1的实数集合G （8）在平面直角坐标系内，坐标轴上到原点的距离 等于1的点的坐标组成的集合H
描述法
问：小于5的实数所组成的集合B中有哪些元素？
描述法——写出集合中元素所 共同具有的特征．
A={x | x满足的性质}.
例如：1.小于5的实数所组成的集合 2.使x-7＜3的解的集合（解集）
归纳
集合的两种表示方法：
பைடு நூலகம்
1.列举法：元素一一列举 1.描述法：无法一一列举，描述其特征性质 各自的优缺点：
列举法
学校为了丰富学生的课余生活开设了5个兴趣小组：
足球、摄影、围棋、民乐、书法
如果用M来表示这五个兴趣小组的集合，并将 兴趣小组一一列出来，写在大括号内，
M=｛足球，摄影，围棋，民乐，书法｝
列举法——把集合中的元素一一列举出来，并且 写在大括号内的表示集合的方法。
例如：24的所有正因数构成的集合
课堂练习
1.1（2）1、2、3
作业
习题册P2
习题1.1（2）A组/1、2、3、4、5
集合的表示方法
(3) 小于 8 的素数组成的集合 ；
(4) 一次函数 = + 3 与 = −2 + 6 的图象的交点组成的集合 。
9. 用描述法表示下列集合：
(1) 函数 = −22 + 图象上的所有点组成的集合；
(2) 不等式 2 − 3 < 5 的解组成的集合；
讲义模板
C. { = 2, = 3}
第2页
共2页
D. (2, 3)
(3) 方程组 {
2 + = 8
− = 1
的解组成的集合；
(4) 15 的正约数组成的集合 .
8. 用列举法表示下列集合：
(1) 大于 1 且小于 6 的整数组成的集合 ；
(2) 方程 2 − 9 = 0 的实数根组成的集合 ；
讲义模板
第1页
共2页
D. {1, 2, 3, 4, 5}
D. = {2, 3} , = {(2, 3)}
15. 已知集合 = {4, }, = {2, }, 若 和 的元素相同, 则 + =
16. 将集合 { (, ) ∣ {
A. {2, 3}
+ = 5
2 3)}
取值范围;
(2) 已知集合 = { ∈ |2 − 2 + 3 = 0, ∈ } , 若 中元素恰有一个, 求 的取值
范围;
(3) 已知集合 = { ∈ |2 − 2 + 3 = 0, ∈ } , 若 中元素至少有一个, 求 的取
值范围。
四. 跟踪训练, 巩固双基
(1) 一个集合可以表示为 {, , , }
(
)
(2) 集合 { 5, 8} 和 {( 5, 8)} 表示同一个集合
常见集合的字母表示方法
常见集合的字母表示方法常见集合的字母表示方法在数学中，集合是由一组具有共同性质的对象组成的，这些对象被称为集合的元素。
为了方便表示和描述集合，人们使用了一种字母表示方法。
本文将介绍常见集合的字母表示方法，并探讨一些与之相关的概念和应用。
一、整数集合（Z）整数集合是所有整数的集合。
通常用大写字母Z表示整数集合，其中Z的定义如下：Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}其中"..."表示整数集合的无穷延伸。
整数集合是一个无限集合，包括负整数、零和正整数。
二、自然数集合（N）自然数集合是所有正整数的集合。
通常用大写字母N表示自然数集合，其中N的定义如下：N = {1, 2, 3, ...}自然数集合是一个无穷集合，包括所有大于等于1的整数。
三、实数集合（R）实数集合是包括有理数和无理数的集合。
通常用大写字母R表示实数集合，其中R的定义如下：R = {x | x是一个实数}实数集合是一个连续的集合，包括所有实数，无论是有理数还是无理数。
四、有理数集合（Q）有理数集合是可以表示为两个整数之比的数的集合。
通常用大写字母Q表示有理数集合，其中Q的定义如下：Q = {p/q | p和q是整数，且q≠0}有理数集合包括所有整数和所有可以表示为两个整数之比的数，如分数等。
五、正整数集合（Z+）正整数集合是所有大于零的整数的集合。
通常用大写字母Z+表示正整数集合，其中Z+的定义如下：Z+ = {1, 2, 3, ...}正整数集合是一个无穷集合，只包括大于零的整数。
在数学中，集合的字母表示方法不仅能够方便地表示和描述集合，还能够帮助我们更好地理解和应用集合的概念。
通过对常见集合的字母表示方法的介绍，我们可以更清楚地了解整数、自然数、实数、有理数和正整数等集合之间的关系和特点。
总结回顾：- 整数集合Z是包括负整数、零和正整数的集合。
- 自然数集合N是所有大于等于1的整数的集合。
集合的表示方法
用列举法表示下列集合
（1）我国古代四大发明组成的集合； （2）大于2且小于15的所有素数组成的集合； （3）方程x2=4的所有实数解组成的集合； （4）所有正偶数组成的集合
（1）{造纸术，印刷术，指南针，火药}； （2）{3，5，7，11，13，}； （3）{2，-2}； （4）{2，4，6，…，2n，…}
（1）[-1，3]; （2）（0，1]; （3）[2，5）； （4）（0，2）； （5）（-∞，3）； （6）[2，+∞）；
（2）{x|0<x≤1}; （4）{x|0<x<2}; （6）{x|x≥2};
小结
（1）列举法表示集合； （2）描述法表示集合； （3）运用区间表示集合；
Thank s
ห้องสมุดไป่ตู้
区间及其表示2
（5）集合{x|x≥a}可以简写为[a，+∞）； （6）集合{x|x>a}可以简写为(a，+∞）； （7）集合{x|x≤a}可以简写为（-∞，a]； （8）集合{x|x<a}可以简写为（-∞，a)；
用区间表示下列集合
（1）{x|-1≤x≤3} ; （3）{x|2≤x<5}; （5）{x|x<3};
（1）∉； （2）∉； （3）∉； （4）∉；
例1：用适当的方法表示下列集合
（1）方程x（x-1）=0的所有解组成的集合A； （2）平面直角坐标系中，第一象限内所有点组成的集合B；
解：（1）因为0和1都是方程x（x-1）=0的解，而且这个方程只有两个 解，所以A={0，1}； （2）因为集合B的特征性质是横坐标与纵坐标都大于零，因此 B={（x，y）|x>0，y>0};
描述法
（1）格式1：{x|p（x）}，p（x）称为集合A的一个特征性质。如： 所有平行四边形组成的集合可以表示为：{x|x是一组对边平行且相等的 四边形}； 所有能被3整除的整数组成的集合可以表示为：{x|x=3n，n∈Z}； 所有被3除余1的自然数组成的集合可以表示为：{x|x=3n+1，n∈N}； （2）格式2：{x∈I|p（x）}，表示在集合I中，具有特征p（x）的所有 元素组成的集合。如： 所有被3除余1的自然数组成的集合既可以表示为：{x|x=3n+1，n∈N}， 也可以表示为{x∈N|x=3n+1，n∈Z}。
1.1.2 集合的表示方法
典型例题
例6 用列举法表示下列集合： (1)大于10小于30的所有3的倍数； (2)方程 x2 + 3x + 2 = 0 的解； (3) 小于100的所有奇数．
（2）符号描述法——用符号把元素所具 有的属性描述出来，即
{x| P（x）}或{x∈A| P（x）}等． 含义：在集合A中满足条件P（x）的x的 集合．
典型例题
例7 使用描述法表示下列集合： （1) 不等式2x-1>3的解集； （2）不超过30的所有非负偶数的集合；
（3）方程 2x2 +1 = 9 的所有实数43; 2y = 2 （5）方程组 2x + 3y = 27 的解集.
二、集合的分类
有限集、无限集和空集 ①有限集：含有有限个元素的集合． ② 无限集：含有无限个元素的集合． ③空集：不含任何元素的集合，记作Φ 或{ }．
如： {x R | x2 + 1 = 0}.
集合{y | y = x2 + 1}与集合 {(x, y) | y = x2 + 1} 是同一集合吗？
答：不是.集合 {(x, y) | y = x2 + 1} 是点集,集合 {y | y = x2 + 1} = {y | y 1}
是数集．
课堂练习
1.填空：
（1）由实数 x,-x,| x |, x2 ,- 3 x3 所组成的集
注意
（1）大括号不能缺失. （2）有些集合元素个数较多，元素又呈现出一定的 规律，在不至于发生误解的情况下，亦可如下表示： 从1到100的所有整数组成的集合：{1，2，3，…，100} 自然数集N：{1，2，3，4，…,n,…} （3）区分a与{a}：{a}表示一个集合，该集合只有一 个元素.a表示这个集合的一个元素. 请问：{a}与{{a}}是什么关系？ （4）用列举法表示集合时不必考虑元素的前后次序. 相同的元素不能出现两次.
高中数学之集合的表示方法
课后作业
课本p5 ５：（1）、（3）、（6）、(7) ６：（３）、（４） ７： （2）、（4）、（5）
Exit
Exit
2.性质描述法：
格式：{x∈A| P（x）}
含义：在集合A中满足条件P（x）的x的 集合。
P（x）叫做集合A的特征性质
Exit
例: 集合A={x∈R | x2-1=0}, 表示在实数范围内，所有满足方程 x2-1=0的x的集合。
例2
方程x2+5x+6=0的解集 方程x3-88x2+5x=0的解集 大于3的全体实数构成的集合 不等式2x-3>0的解集 绝对值为8的实数的全体 等腰三角形 矩形
用性质描述法表示下列集合：
Exit
做一做
方程x2-5x+6=0的解集 方程x3-99x2+6=0的解集 方程x6-x+6x2=0的解集 不等式5x+9>0的解集 大于3且小于10的取值集合可省 略不写。如在实数R中取值，集合 A={x∈R | x2-1=0}中 x∈R省略不写，写作 {x|x2-1=0} （2）在不致混淆的情况下，可以省去竖 线及左边部分。 如：{直角三角形}；{平行四边形}
集合及其表示方法
1. 集合的概念
2.集合的表示方法
Exit
集合的表示方法
1.列举法：把集合中的元素一 一列举出来，写在大括号{} 例如，中国的四大发明 {造纸术、活字印刷术、火药、 指南针}
Exit
当有些集合元素较多时, 亦可如下表示：
从51到100的所有整数组成的集合： {51，52，53，…，100} 自然数集N: {0，1，2，3，…，n，…}
Exit
集合的介绍与表示方法
集合的介绍与表示方法集合在数学中是一种基本的概念，广泛应用于各个领域，如数学、计算机科学、物理学等。
本文将介绍集合的基本概念、性质以及几种常见的表示方法。
一、集合的基本概念集合是由一些具有共同性质的对象组成的整体。
这些对象可以是数字、字母、符号等。
集合中的对象称为元素，用小写字母表示。
例如，集合A={1, 2, 3}表示包含了元素1、2和3的集合。
如果一个元素x属于集合A，我们可以用x∈A表示。
集合的特点是无序性，即集合中的元素没有先后之分；独一性，即集合中的元素不会重复出现。
二、集合的性质1. 子集关系：如果集合B的所有元素都属于集合A，则称B是A的子集，用B⊆A表示。
例如，如果A={1, 2, 3}，B={1, 3}，则B是A的子集。
2. 并集和交集：并集即两个集合合并在一起，交集即两个集合共有的元素。
如果A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A∪B={1, 2, 3, 4, 5}表示A和B的并集，A∩B={3}表示A和B的交集。
3. 补集：对于给定的一个集合A和所在的全集U，集合A对于U的补集即U中不属于A的元素构成的集合。
用A'表示，例如，如果全集U={1, 2, 3, 4, 5}，A={1, 2}，则A'={3, 4, 5}。
三、集合的表示方法1. 列举法：通过直接列举集合中的元素来表示集合。
例如，集合A={1, 2, 3}表示包含元素1、2和3的集合。
2. 描述法：通过给出集合中元素的属性或特征来表示集合。
例如，A={x | x是偶数，x>0}表示由所有大于0的偶数构成的集合。
3. 结论法：通过得出一些结论，将满足条件的元素组成集合。
例如，设集合A={x | x^2=1}，则A={-1, 1}表示满足平方等于1的元素构成的集合。
4. 包含法：通过规定元素属于某个集合，定义包含关系。
例如，全集为U，集合A={x | x∈U, x是奇数}表示U中的奇数构成的集合。
集合的表示方法：列举法
集合的表示方法：列举法摘要：一、集合的定义与作用二、集合的表示方法：列举法1.基本概念2.应用场景3.列举法的优点与局限性三、列举法的实践案例四、总结与展望正文：一、集合的定义与作用集合是数学中的一个基本概念，它由具有某种特定性质的对象组成。
集合论是数学的基础，研究集合的性质和运算，具有广泛的应用，如概率论、组合数学、计算机科学等领域。
二、集合的表示方法：列举法1.基本概念列举法是一种表示集合的方法，它通过列出集合中的所有元素来表示该集合。
列举法清晰地展示了集合中的元素，便于理解和识别。
2.应用场景列举法适用于较小规模的集合，特别是在需要展示集合元素具体内容的情况下。
例如，用列举法表示一个班级的学生名单，可以清晰地了解每个学生的姓名。
3.列举法的优点与局限性优点：直观、清晰，易于理解。
局限性：当集合规模较大时，列举法可能显得繁琐，不易于展示。
此外，对于动态变化的集合，列举法难以反映集合的实时状态。
三、列举法的实践案例在实际应用中，列举法可以帮助我们更好地理解和分析问题。
以下是一个实践案例：假设有一个包含水果的集合，我们需要找出其中的苹果和橙子。
通过列举法，我们可以将集合表示为：{苹果，橙子，香蕉，葡萄，柠檬}这样，我们可以清晰地看到集合中的水果种类，便于进行进一步的分析和操作。
四、总结与展望作为一种表示集合的方法，列举法在实际应用中具有重要作用。
然而，随着集合规模的扩大和动态变化，列举法的局限性也逐渐显现。
因此，研究更多有效的集合表示方法和完善集合论，对于数学及相关领域的发展具有重要意义。
列举法描述法集合的表示方法
列举法描述法集合的表示方法
一。
集合是数学中一个非常重要的概念，它就像是一个装着各种元素的“大口袋”。
咱们先来说说列举法。
1.1 列举法那可真是简单直接，一目了然。
比如说一个集合里有数字 1、2、3，那就直接写成{1, 2, 3}，清清楚楚，明明白白。
就像咱把兜里的东西一股脑儿倒出来给人看，一点儿不藏着掖着。
1.2 再比如集合里有字母 a、b、c，那就是{a, b, c}。
这种方法简单粗暴，谁都能看懂。
二。
接下来是描述法。
2.1 描述法呢，就像是给集合画了一幅“画像”。
比如说{x x 是大于 5 的整数}，这就告诉咱，这个集合里装的都是大于 5 的整数。
2.2 再比如{y y = 2x + 1，x 是自然数}，这就像是给了个“配方”，按照这个“配方”能找到集合里的元素。
2.3 描述法能更准确地表达集合的特征，让咱一下子就明白这个集合里的元素是咋来的。
三。
这两种表示方法各有各的妙处。
3.1 列举法在元素比较少，而且容易写清楚的时候，那是相当好用，一眼就能看明白。
3.2 描述法在元素比较多，或者规律比较明显的时候，那就是“大显身手”啦，能把集合的特点说得清清楚楚。
集合的表示方法就像是我们手里的工具，得根据具体情况来选择，用对了才能事半功倍。
不管是列举法还是描述法，都是为了让我们更清楚地理解和处理集合这个数学概念。
就像俗话说的，“不管白猫黑猫，能抓住老鼠的就是好猫”，能把集合表示清楚的方法，就是好方法！。
集合的表示方法描述法
集合的表示方法描述法集合是数学中的一个概念，用于表示一组元素的整体。
在集合的表示方法中，描述法是一种常见且简洁的方式。
描述法可以通过描述元素的特点或满足某种条件来定义一个集合。
描述法的基本形式是：{ x | P(x) }。
其中，x是集合中的元素，P(x)是描述这些元素的条件或性质。
下面我们来详细讨论描述法的几种常见形式。
1.列举法描述法的一种直观而简单的形式是使用列举法。
这种方法通过列举集合中的元素来定义集合。
例如，{ 1, 2, 3, 4, 5 }表示一个包含数字1到5的集合。
2.区间法描述法的另一种常见形式是使用区间法。
这种方法适用于描述集合中的一系列连续的元素。
例如，{ x | a ≤ x ≤ b }表示一个包含从a到b之间所有整数的集合。
3.条件法描述法的一种较为抽象的形式是使用条件法。
这种方法通过描述元素必须满足的条件来定义集合。
例如，{ x | x > 0 }表示一个包含所有大于零的实数的集合。
4.函数法描述法的另一种常见形式是使用函数法。
这种方法通过使用函数来描述元素的性质或运算来定义集合。
例如，{ x | f(x) > 0 }表示一个包含使得函数f(x)大于零的所有值x的集合。
需要注意的是，描述法并非是集合论中唯一的表示方法。
集合还可以使用其他方式表示，例如集合的列表法、集合的运算法等。
但是描述法是一种通用且简洁的表达方式，能够清晰地描述集合中的元素所满足的条件。
在描述法中，我们可以使用逻辑符号和运算符来进行集合的定义。
常见的逻辑符号包括“∈”表示属于关系、“∉”表示不属于关系，以及常见的运算符包括并集“∪”、交集“∩”、差集“-”、补集“′”等。
总结起来，描述法是一种常见且简洁的集合表示方法。
通过描述元素的条件或特点，我们可以明确地定义一个集合。
描述法可以使用列举法、区间法、条件法、函数法等多种形式。
对于集合的描述法，我们还可以使用逻辑符号和运算符进行集合的定义和操作。
集合的表示方法
例3 用列举法表示下列集合. （1）A={x N|0<x≤5}； （2）B={x|x2-5x+6=0}. 例4 用描述法表示下列集合. （1）{-1,1}； （2）大于3的全体偶数组成的集合； （3）在平面α内，线是有限集，元素又不太多， 常常把集合的所有元素都列举出来，写在 花括号“{ }”内表示这个集合，这种表示集 合的方法叫做列举法.
使用列举法时应注意的问题
（1）适用情况： ①集合是有限集，元素又不太多. ②集合是有限集，元素较多，有一定的规律， 可列出几个元素作为代表，其他元素用省略 号表示. ③有规律的无限集.
使用描述法时应注意的问题
（1）特征性质必须明确. R”可以省略 （2）若元素范围为R，“ 不写. （3）有的集合也可以直接写出元素名称， 并用花括号括起来表示这类元素的全体.
例2 分别判断下列各组集合是否为同一个集合. （1）A={x|x+3>2} B={y|y+3>2} （2）A={(1，2)} B={1，2} （3）M={(x，y)|y=x2+1} N={y|y=x2+1} （4）R，实数集，{实数集}，{R}
（2）用列举法表示集合时，不必考虑元素的 前后顺序，要注意不重不漏.
例1 分别用列举法表示下列集合： （1）我国现有的直辖市组成的集合A； （2）小于40的所有质数组成的集合B； （3）前100个自然数组成的集合C； （4）正的奇数集D.
描述法:
如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x 都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不 具有性质p(x），则性质p(x)叫做集合A的一 个特征性质.于是，集合A可以用它的特征性 质p(x)描述为：__________ 他表示集合A是由集合I中具有性质p(x)的所有 元素构成的.这一表示方法，叫做特征性质描 述法，简称描述法.
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练习
下列说法： (1)集合{x∈N|x ＝x}用列举法表示为{－1,0,1}； (2)实数集可以表示为{x|x 为所有实数}或{R}； x＋y＝3 (3)方程组 x－y＝－1 其中正确的有( A．3 个 C．1 个 ) B．2 个 D ．0 个 的解集为{x＝1，y＝2}．
3
【分析】对于用描述法表示集合，一清楚符号“{x|x的属
它表示集合A是由集合I中具有性质p(x)的所有元素构成的.
这种表示集合的方法，叫做特征性质描述法，简称描述法.
大于3小于10的实数组成的集合可表示为：
{ x∈R 3< x＜10 }
所有元素所共有 代表元素 的“特征性质”
注意：在不致发生误解时，x的取值集合可以省略不写. 例如，在实数集R中取值“∈R”常常省略不写，像上述 集合也可以写作{x|3<x＜10}.
PA＝PB
于是这个集合可以表示为
{点P∈平面 a ｜PA＝PB}.
技巧点拨：使用描述法时，还应注意以下几点：
①写清集合中代表元素的符号，如实数或实数对或点的坐 标表示； ②说明该集合中元素具有的特征性质，如方程、不等式、 函数或几何图形等；
③描述法的语言形式主要有两种：文字语言和符号语言，
如表示直角坐标轴上的点的集合． 文字语言：{点P|P是直角坐标轴上的点}； 符号语言：{(x，y)|xy＝0}．
练习:用描述法表示下列给定的集合： （1）不等式4x－5 < 3的解集.
{ x | x2 }
（2）二次函数y=x2-4的函数值组成的集合.
{ y | y 4 }
（3）反比例函数 y
{ x | x0 } （4）不等式 3x 4 2 x 的解集. 4 { x | x } 5
2 的自变量的值组成的集合. x
括起来表示集合的方法叫做列举法. 思考2 怎样用列举法来表示“由大于3小于
}”
10的整数组成的集合”？ 解答：{4，5，6，7，8，9}.
列举法的优点与适应范围： (1)优点:可以明确集合中具体的元素 及元素的个数. (2)使用列举法必须注意:
①元素间用“，”分隔.
②集合中的元素必须满足三个特性. ③元素不能遗漏. ④适用范围: ⅰ.含有有限个元素且个数较少的集合.
1.1.2 集合的表示方法
学习目标
1、知识目标：使学生掌握常用的集合表示方法，能选择自 然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不 同的具体问题； 2、能力目标：提高学生运用数学语言的能力，感受集合语
言的意义和作用，学习从数学的角度认识世界；
3、情感目标：通过合作学习，培养学生的合作精神.
x＋y＝3 (3)方程组 x－y＝－1
的解是有序实数对，而集合
{x＝1，y＝2}表示由两个等式组成的集合，方程组的解 x＝1 集正确的表示应为{(1,2)}或{(x，y)| y＝2 D. } .故选
拓展探究
集合{(x,y)|y = x 2 +1}与集合{y|y = x 2 +1}以及 {x|y = x 2 +1}是同一集合吗？
(2)这个集合的一个特征性质可以描述为
x>3，且x=2n,n∈N. 于是这个集合可以表示为 {x|x>3,且x=2n,n∈N}.
（3）设点P为线段AB的垂直平分线上任一 点，点P和线段AB都在平面 a 内，则这 个集合的特征性质可以描述为
在几何中， 通常用大写 字母表示点 （元素），用 小写字母表 示点的集合， 应注意区别.
数集、点集还是其他的类型．描述法多用于元素个数无
限的集合．
练习
3.用适当的方法表示下列集合：
y＝x (1)二元二次方程组 2 y＝x
的集合；
(2)大于 4 的全体奇数组成的集合； (3)A＝{(x，y)|x＋y＝3，x∈N，y∈N}； (4)一次函数 y＝2x＋1 图象上所有点组成的集合．
例3 用适当的方法表示下列集合： (1)比4大2的数； (2)方程x2+y2-4x+6y+13=0的解集； (3)不等式x－2>3的解的集合； (4)二次函数y＝x2－1图象上所有点组成的集合．
分析:由题目可获取以下主要信息： ①已知4个集合； ②用适当的方法表示各个集合．对于(1)，比4大2的数就
例2 用描述法表示下列集合: （1）{-1,1}； （2）大于3的全体偶数构成的集合； （3）在平面 a 内，线段AB的垂直平分线. 分析:对于用描述法表示的集合，要从本质上去认识它， 看清集合的“代表元素”，判断出我们要研究的集合元 素所共有的“特征性质”.
解: (1) 这个集合的一个特征性质可以描述为绝对值等于 1的实数，即|x|＝1于是这个集合可以表示为 {x||x|=1}.
解：他们是不同的集合. 集合 {(x,y)|y = x 2 +1} 是点集， 集合 {y|y = x 2 +1}与{x|y = x 2 +1} 是数集， 而集合 {y|y = x 2 +1}与{x|y = x 2 +1}的代表元素又是不一样的， 实际上前者可看成抛物线y = x 2 +1所有点的横坐标构成的集合， 后者是抛物线y = x 2 +1所有点的纵坐标组成的集合.
思考3
能不能用列举法表示“由大于3小于10的实数组成
的集合”? 解答：我们不能用列举法来表示大于3小于10的实数组成 的集合，因为这个集合的元素是列举不完的，而元素的排 列又不呈现明显的规律.
对于元素较多的集合或者根本就不能将元素一一列举的 集合用“描述法”来表示就显得简洁明了。
什么是描述法呢？ 一般地，如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都 具有性质p(x),而不属于集合A的元素都不具有性质p (x), 则性质p (x)叫做集合A的一个特征性质.于是，集合A可以 用它的特征性质p (x)描述为 {x∈I|p (x)}
｝”已包含“所有”的意思,
因而大括号内的文字描述,不应该再用“全体”， “全部”，“所有”或“集”等词语.
例1 用列举法表示下列集合： （1）A＝{x∈N｜0<x≤5 } ； （2）B＝{x |x2-5x+6 ＝0}. [分析]对于(1)集合A中“x∈N”且“0<x ≤5”共同限制了
集合元素的属性，而（2）中所求的也即是方程的解集，
是6，宜用列举法；对于(2)，方程为二元二次方程，可将
方程左边因式分解后求解，宜用列举法；对于(3)，不等 式的解有无数个，宜采用描述法；对于(4)，所给二次函 数图象上的点有无数个，宜采用描述法．
解：(1)比4大2的数显然是6，故可表示为{6}． (2)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为 (x－2)2＋(y＋3)2＝0，
解方程即得. 解：（1）A＝{1,2,3,4,5}； （2）B＝{2,3}.
练习:用列举法表示下列集合: （1）由x2-9=0方程的所有实数根组成的集合.
{3, 3}
（2）由小于8的所有素数组成的集合.
{2,3,5,7}
（3）一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点组成的集合.
{(1,4)}
x = 2 x = 2 ， ∴方程的解集为{ y = -3 y = -3
∴
}或{(2，－3)}．
(3)由x－2>3，得x>5.
故不等式的解集为{x|x>5}．
(4)“二次函数y＝x2－1的图象上的点”用描述法 表示为{(x，y)|y＝x2－1}．
规律总结：用什么方法表示集合，要具体问题具体分析： （1）列举法对于元素较少的集合可以一目了然，方便快 捷，但元素较多时就不太方便了. （2）用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的类型，是
1、用列举法表示集合的注意事项及适用范围：适合有限 集，元素逐一列举在“{ }”内.
2、用描述法表示集合的注意事项及适应范围：适合无限
集，{x|x的特征性质}. 关注两方面：代表元素（是点还是数还是其他）. 所有元素所共有的特征性质如何表示.
描述法的一般形式为： { x∈I|p(x)}
x为该集合 的代表元素
p(x)表示该集
合中的元素x
所具有的性质
使用描述法必须注意： ①写清该集合中元素的代表符号； ②准确说明该集合中元素的特征； ③应对代表元素与“或”；
⑤所有描述的内容都要写在“｛ ⑥集合符号“｛ ｝”内；
性}”表示的是所有具有某种属性的x的全体，而不是部分； 二从代表元素入手，弄清楚代表元素是什么． 解：(1)由x3=x，即x(x2-1)＝0，得x＝0或x＝1或x＝－1， 因为－1∉ N，故集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示为{0,1}．
(2)集合表示中的符号“{
}”已包含“所有”、“全体”
等含义，而符号“R” 表示所有的实数构成的集合，实数集 正确的表示应为{x|x为实数}或R.
ⅱ.有些集合的元素较多，元素的排列又呈现
一定的规律，在不致于发生误解的情况下，也可以列出 几个元素作为代表，其他元素用省略号表示. 例如:不大于100的自然数构成的集合可表示为 {0,1,2,3,„，100} ⅲ.无限集有时也可用上述的列举法表示. 例如:自然数集N可表示为{0,1,2,3,„，n,„}.
引入新课
前面我们学过，可以用自然语言
描述一个集合，也可以用一个 “{ }”来表示一个集合，元素
之间用逗号隔开，那表示一个集
合具体有哪些方法呢？这一节课 我们就来研究！
思考1
怎样表示“方程x2-5x=0 在实数内解的全体”
组成的集合C？ 解答：可以这样表示：C={0，5}.
像这样把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{
解：(1)列举法：{(0,0)，(1,1)}； (2)描述法：{x|x＝2k＋1，k≥2，k∈N}； (3)列举法：因为 x∈N，y∈N，x＋y＝3， x＝0 所以 y＝3