大学物理稳恒磁场习题课

C
O 2
B 1 I A
a
P
此结果与安培环路定理（ B dl 0 I C 这是什么缘故?
）不一致，
17
答：安培环路定理 仅适用于稳恒电流， 而稳恒电流必定是闭合的。
☆
若 AB 中电流是稳恒的，
则上面计算的磁场只是
C
O 2
a
P
闭合电流磁场的一部分，
而安培环路定理中的
对 S1 面上各点，
L
H
因此
B
0
M
M
，
L
0
S1
S2

S1
H dS
B
S1
0
dS M dS M dS
S1 S1
对 S2 上各点，
L
B
☆
M 0
因此
H
M
0
L
dS
S1
I1dl1 在 I 2dl2 处产生的
I 2dl2 所受作用力大小为
0 I1dl1 B12 4 r 2
方向垂直向里
dF 12 I 2 dl2 B 12
方向如图所示
I1dl1
r
B12
dF12
I 2dl2
I 2dl2 在I1dl1 处产生的
磁场大小为
dF12
I 2dl2
4．在没有电流分布的空间区域里， 是否能存在这样的稳恒磁场： 其磁感应线为一系列不均匀分布的平行直线。
☆
B
答：不存在。 假设存在如问题中所描述的磁场， 磁感应线如图所示。 沿磁感应线做一柱形高斯面， 如图由磁场的高斯定理 B d S 0
S
S
B
所表达的是
闭合电路磁场的全部， 故两者不相一致。
B 1 I A
18
3．两电流元 I1dl1 和 I 2dl2
距离为 r ，并互相垂直， 两电流元之间的相互 作用力是否大小相等、 方向相反? 如果不是，那么是否违反牛顿第三定律?
I1dl1
☆
r
I 2dl2
答：由毕奥一萨伐尔定律， 场强大小为
稳恒磁场习题课
王硕
一、内容提要 1．磁场、磁感应强度
磁场 在运动电荷(电流)周围，除了形成电场，还形成磁场。 磁场的基本性质之一是 它对置于其中的运动电荷或电流施加作用力。 与电场一样，磁场也是一种特殊物质。 磁感应强度 是描述磁场对运动电荷或电流 有作用力的性质的物理量
B
磁感应强度的单位是特斯拉(
穿出以 L 为边界的各曲面的磁感应线的数目是相同的
但对于 H 则不同，因为
B 0 (1 m )H 0r H H
☆
所以，由磁高斯定理得到
B d S 0 r H d S 0
S S
如果不能保证任何闭合曲面上各点的 就不能将 r 移到积分号外，
0 Idl r dB 3 4 r
为电流元到空间任一点(场点)的有向线段， r 当 Idl 与 r 的夹角 为0或 时，
0 Idl dB sin 0 2 4 r
在电流元 Idl 的延长线上各点，电流元不能激起磁场。 在线电流元周围空间的其他位置上，是能够激发磁场的。
这可以从公式 H B

或
H
B
0
M
中看出
6．在一载流螺线管外， 做一平面圆回路 L ， I 且其平面垂直于螺线管的轴， 圆心在轴上。 B dl 则环路积分 L 等于多少?
有人说， B dl 0
☆
I
L
， L 有人根据安培环路定理认为 B dl 0 I ， L 究竟哪种说法 正确?
☆ 磁场叠加原理 导线 L 中的电流在 P 点产生的磁感应强度 等于每个电流元单独存在时， 在 P 点所产生的磁感应强度的矢量和
0 Idl r B dB 3 4 r
若空间存在若干载流导线， 则
每一导线在 P 点所产生的磁感应强度为 B ， i
P 点的磁感应强度为
☆
C
B dl 0 I i
它表明磁场是“有旋”场。
安培环路定理 可用来计算某些具有高度对称性的磁场分布。
5．带电粒子在磁场中的运动
☆
洛仑兹力 电荷为 Q 的粒子以速度 v 在磁场中运动时所受磁力
F Qv B
洛仑兹力对运动电荷不做功
圆周运动
Q 质量为 m、电荷为 的粒子以速度 进入 v 磁感应强度为 B 的匀强磁场，
r
B r B0
相对磁导率 顺磁质
r 1
抗磁质
铁磁质
r 1
r 1
磁化强度 磁化强度是表征介质磁化程度的物理量， 用单位体积的分子磁矩的矢量和来表示 Pm M lim V 0 V 对顺磁质，
☆
M 的方向与外磁场方向相同
对抗磁质，
Pm 为有矩分子的固有磁矩，
S2

S2
H dS
0
B
S2
0
0

S1

S1
H dS M dS
磁感应通量 磁高斯定理
S
dm B dS
m B dS
S
B d S 0
它表达了磁场是“无源的”这一特征
4．安培环路定理
真空磁场中，磁感应强度 B 沿任意闭合路径 C 的 环流等于正向通过环路 C 所围曲面 S 的电流的
代数和乘以 0
T
)
2．毕奥一萨伐尔定律
电流元
电流元
☆
Idl
是矢量， 与
大小等于电流 I
导线元长度 dl 的乘积，
方向沿电流正方向。
毕奥一萨伐尔定律 电流元 Idl 在
P 点产生的磁感应强度为
0 4 107 N A2
0 Idl r 0 Idl r ˆ dB 3 2 4 r 4 r
S
当 S 很小时，可得
B2S B1S 0
B1
B2
B
有 B2 B1 ，即同一条磁感应线上的
B
相等
如再在该磁场中做一有向矩形安培环路 abcda ， ☆ bc 、 让 ab 、cd 与磁感应线平行， da 与磁感应线垂直。 / 设沿 ab 段磁感应强度为 B ，沿 cd 段磁感应强度为 B ， 由磁感应线疏密不均匀可知 ， 磁感应强度沿该回路的线积分为 / B d l B ab B cd 0
两者不等，并不违反牛顿第三定律
☆ 实际上，电流元 I 2dl2 受到当地磁场的力， 施力者是磁场，受力者是电流元 I 2dl2 ， / dF12 的反作用力是电流元 I 2dl2 给磁场的力 dF 12 ，
dF 12 I 2 dl2 B 12
I1dl1
dF21 0
r
B12
B 0 (1 m )H 0r H H
称为介质的磁导率
在稳恒磁场中， B 矢量沿任意闭合路径 C 的线积分 等于正向通过以 C 为边界的任一曲面的传导电流代数和 H dl I o
L
介质中的安培环路定理
☆
铁磁质 (1)

B
铁磁质有下列特性：

2．按毕奥一萨伐尔定律可求得真空中一有限载流 直导线 AB 在空间 P 点产生的磁感应强度大小
☆
方向垂直于 OP ， C 今Байду номын сангаас如图中圆形环路 做 B 的线积分，得到 0 I cos1 cos2 B dl 2 C
0 I cos1 cos 2 B 4 a
F dF Id l B
均匀磁场中导线受力
l 为从电流起点指向终点的有向线段
F Il B
磁矩 载流平面线圈的磁矩的大小 等于电流乘以线圈平面的面积， 方向按右手螺旋法则确定。
I
磁力矩
Pm ISn M Pm B
M 的方向与外磁场方向相反
Pm 为无矩分子在外磁场中出则的附加磁矩，
磁场强度 引入磁场强度辅助矢量 H
H
B
☆
在各向同性均匀介质中 M m H
m 称为磁化率，是一个纯数。
0
M
顺磁质中
m 1，抗磁质中 m 1 。 H 和 B 的关系为
与 H 不成比例关系， 不是常数， 与 H 有关；
(2)有剩磁现象； (3)有一临界温度(居里点)， 超过此温度时转变为顺磁质。
二、问题讨论
1．静止的点电荷能在它的周围空间任一点激起电场； 线电流元是否也能在它的周围空间任一点激起磁场?
答：不一定。 电流元激起的磁场由 毕奥-萨伐尔定律给出
i
L
H 只与传导电流有关，与分子电流无关 这是否可以说，
答：不可以这样认为。
介质中的安培环路定理说明磁场强度 H 的环路积分 只与穿过环路的传导电流有关，与分子电流无关， 但不能由此得出 H 本身与分子电流无关
或与磁介质无关的结论。
在一般情况下， H 是与分子电流有关的，
因为介质磁化产生的分子电流也激发磁场。
当 v B 时，粒子作匀速圆周运动
m v 半径 r QB
回转周期
2 r 2 m T v QB
6．磁场对电流的作用
安培定律
☆
电流元 Idl 在磁场中受磁力即安培力为
Idl 所在处的磁感应强度。 一般任意形状的载流导线在磁场中受到的安培力
B为
dF Idl B
也就不能推出 H d S 0
S
r 都相等，
。
因此，一般说来，不能得出 通过以闭合曲线 L 为边界的各曲面的通量均相等的结论
例如，一永磁棒，设棒内 M 为一常值，
对以 L 为边界的二曲面 S1 和S2 ，有
☆

S1
B dS B dS
S2
B Bi
三种特殊形状载流导线的磁场：
☆
B
I
(1)“无限长”直线电流周围的磁场
0 I B 2 a
(2)载流圆线圈中心处磁场
a
B
0 I
2R
I
B
R
O
(3)均匀密绕“无限长”直载流螺线管内的磁场
B 0 nI
n 为螺丝管单位长度的匝数
3．磁高斯定理
☆
磁感应线 磁感应线是一些有向曲线， 其上各点切线方向表示该点磁感应强度的方向。 稳恒磁场中每一条磁感应线都是与电流套合的 无头无尾的闭合曲线
B21 0
I1dl1 所受作用力大小为
I1dl1
r
B12
dF12
☆
I 2dl2
dF21 0
dF 12 I 2 dl2 B 12
由此可见，这两个电流元之间的相互作用力 不遵守牛顿第三定律
/ dF12 和 dF 12 才是一对作用力和反作用力。 因为 dF 和 dF 不是一对作用力和反作用力， 12 21

S
Pm
☆
磁力矩总是力图使磁矩转向磁感应强度的方向
磁力的功 载流线圈在恒定磁场中转动时，磁力矩所做的功
A Im
m 表示通过线圈平面的磁感应通量的增量
7．介质中的磁场
相对磁导率
☆
介质在磁场中被磁化， 介质表面出现分子电流，改变了原来的磁场。 在充满各向同性均匀介质的情况下，磁感应强度为
L
30
7．在稳恒磁场中，穿出以封闭曲线 L为边界的 ☆ 各曲面的 B 通量是否均相等? 穿出以封闭曲线 L为边界的各曲面的 H 通量是否均相等
B
B
S1
L L
答：因为磁场是涡旋场，
根据磁高斯定理， 对任意闭合曲面均有
B d S 0
S
，
因此正向穿出以 L 为边界的 诸曲面的磁通量相等。 或者形象地说磁感应线是闭合的，不能中断，
abcda
而根据安培环路定理， 考虑到环路 abcda 中 不包围电流，应有
abcda
a b B
B dl
0
/ d B
B
c
说明假想的磁场不遵守稳恒磁场的安培环路定理， 即这样的稳恒磁场并不存在
5．介质中安培环路定理为， H dl Ii
☆
I为正向穿过闭合回路的传导电流的代数和，
答：密绕的无限长螺线管，常用紧密排列的封闭
圆电流组来近似，因而管内 B 0nI ，管外 B 0 。
所以，紧密排列的封闭圆电流组产生的磁场中，
在管外绕一周，积分
B dl 0
L
。
☆
I
L
I
但实际的螺线管并不等同于紧密排列的封闭圆电流组， 电流总是从一端输入，一端输出，
以管外任一闭合回路为边界的曲面总和一根电线相交， 因而 B dl 0 I 。