高考数学-高考必会题型-专题8-概率与统计-第36练-概率的两类模型

第36练 概率的两类模型

题型一 古典概型问题

例1 某班级的某一小组有6位学生，其中4位男生，2位女生，现从中选取2位学生参加班级志愿者小组，求下列事件的概率： (1)选取的2位学生都是男生；

(2)选取的2位学生一位是男生，另一位是女生．

破题切入点 先求出任取2位学生的基本事件的总数，然后分别求出所求的两个事件含有的基本事件数，再利用古典概型概率公式求解．

解 (1)设4位男生的编号分别为1,2,3,4,2位女生的编号分别为5,6.从6位学生中任取2位学生的所有可能结果为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种．

从6位学生中任取2位学生，所取的2位全是男生的方法数，即从4位男生中任取2个的方法数，共有6种，即(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)． 所以选取的2位学生全是男生的概率为P1＝615＝2

5.

(2)从6位学生中任取2位，其中一位是男生，而另一位是女生，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8种．

所以选取的2位学生一位是男生，另一位是女生的概率为P2＝8

15.

题型二 几何概型问题 例2 (2013·四川改编)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是________． 破题切入点 由几何概型的特点，利用数形结合即可求解． 答案 34 解析

设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为x 、y ，x 、y 相互独立，由题意可知⎩⎪⎨⎪

⎧

0≤x≤40≤y≤4|x －y|≤2，如图所示．∴两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P(|x －

y|≤2)＝S 正方形－2S △ABC S 正方形

＝

4×4－2×1

2×2×2

4×4

＝1216＝34.

题型三 古典概型与几何概型的综合问题

例3 已知关于x 的一元二次方程9x2＋6ax －b2＋4＝0，a ，b ∈R.

(1)若a 是从1,2,3三个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求已知方程有两个不相等实根的概率；

(2)若a 是从区间[0,3]内任取的一个数，b 是从区间[0,2]内任取的一个数，求已知方程有实数根的概率．

破题切入点 本题中含有两个参数，显然要将问题转化为含参数的一元二次方程有解的条件问题．

第(1)问利用列举法将基本事件罗列出来，再结合题意求解．

第(2)问将a ，b 满足的不等式转化为可行域——平面区域问题，从而利用几何概型的概率公式求解．

解 设事件A 为“方程9x2＋6ax －b2＋4＝0有两个不相等的实数根”；事件B 为“方程9x2＋6ax －b2＋4＝0有实数根”．

(1)由题意，知基本事件共9个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．

由Δ＝36a2－36(－b2＋4)＝36a2＋36b2－36×4>0，得a2＋b2>4.

事件A 要求a ，b 满足条件a2＋b2>4，可知包含6个基本事件：(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)， 所以方程有两个不相同实根的概率P(A)＝69＝23.

(2)由题意，方程有实根的区域为图中阴影部分， 故所求概率为： P(B)＝6－π6＝1－π6.

总结提高 (1)求解古典概型问题的三个步骤

①判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求事件A.

②分别计算基本事件的总数n 和所求事件A 所包含的基本事件的个数m.

③利用古典概型的概率公式P(A)＝m

n 求出事件A 的概率．若直接求解比较困难，则可以利用间接的方法，如逆向思维，先求其对立事件的概率，进而再求所求事件的概率．

(2)几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验，如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示，而所有基本结果对应于一个区域Ω，这时，与试验有关的问题即可利用几何概型来解决．

(3)几何概型的概率求解，一般要将问题转化为长度、面积或体积等几何问题．在转化中，面积问题的求解常常用到线性规划知识，也就是用二元一次不等式(或其他简单不等式)组表示区域．几何概型的试验中事件A 的概率P(A)只与其所表示的区域的几何度量(长度、面积或体积)有关，而与区域的位置和形状无关．

1．从标有1,2,3，…，7的7个小球中取出一球，记下它上面的数字，放回后再取出一球，记

下它上面的数字，然后把两数相加得和，则取得的两球上的数字之和大于11或者能被4整除的概率是________．

答案

16

49

2．已知实数a，b满足

⎩⎪

⎨

⎪⎧0≤a≤4，

0≤b≤4，

x1，x2是关于x的方程x2－2x＋b－a＋3＝0的两个实根，则不等式0

答案

3

32

解析由题意，关于x的方程x2－2x＋b－a＋3＝0对应的一元二次函数f(x)＝x2－2x＋b－a

＋3满足f(0)>0，f(1)<0，即

⎩⎪

⎨

⎪⎧b－a＋3>0，

b－a＋2<0，

建立平面直角坐标系如图．

满足题意的区域为图中阴影部分，故所求概率P＝

3

2

16＝

3

32.

3．(2014·陕西改编)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为________．

答案

3

5

解析取两个点的所有情况为10种，所有距离不小于正方形边长的情况有6种，概率为

6

10＝3

5.

4．有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．

答案

2

3

解析设点P到点O的距离小于等于1的概率为P1，由几何概型，则P1＝

V半球

V圆柱＝

2π

3×13

π×12×2＝

1

3，

故点P到点O的距离大于1的概率P＝1－

1

3＝

2

3.

5．在面积为S的矩形ABCD内随机取一点P，则△PBC的面积小于

S

4的概率是________．

答案

1

2

解析