5变形能与位移变分方程

U1 U1 U1 δ yz δ zx δ xy yz zx xy

dxdydz

s x δe x s y δe y s z δe z
t yz δ yz t zx δ zx t xy δ xy
dxdydz
弹性力学
ELASTICITY
取 u = v = w = 0 时的自然状态下的势能为零，外力的势能为


V f xu f y v f z w dxdydz f xu f y v f z w dS
δ U V 0
即：应变能 U 与外力势能 V 的总和的变分为零。 意义：在给定的外力作用下，在满足位移边界条件的各组位移中，实际 存在的一组位移应使总势能为最小，即最小势能原理。
将几何方程代入，应变能用位移分量表示为
u v w u v w E U 2(1 ) 1 2 x y z x y z 1 w v 1 u w 1 v u 2 y z 2 z x 2 x y
设弹性体在一定外力作用下，处于平衡状态，发生的真实位移为 u、v、w，它们满足位移分量表示的平衡方程，并满足位移边界条件 和用位移表示的应力边界条件。假设位移分量发生了位移边界条件
所容许的微小改变（虚位移）u 、v、w，则外力在虚位移上作虚
功和应变能泛函的增加相等，即
δU f x δu f y δv f z δw dxdydz f x δu f y δv f z δw dS
U
E 1 2 2 2 2 2 2 2 e e e x y z yz zx xy dxdydz 2 1 1 2 2
弹性力学
ELASTICITY
E 1 2 2 2 2 2 2 2 U e x e y e z yz zx xy dxdydz 2 1 1 2 2
应变能密度是以应变分量为自变量的泛函，利用物理方程，弹性体
的应变能密度表示为
E 1 2 2 2 2 2 2 2 U1 e x e y e z yz zx xy 2 1 1 2 2
体应变：
ex e y ez
弹性力学
ELASTICITY
5.1 弹性体的应变能
变分法：
研究泛函及其极值的求解方法。 泛函：以函数为自变量的一类函数，即函数的函数。
称 y ( x ) 为y（x）的变分，它是一个无穷小的任意函数。
弹性力学
ELASTICITY
弹性力学变分法的本质就是把弹性力学基本方程的定解问题，变为 求泛函的极值问题，而在求问题的近似解时，泛函的极值问题又变成函 数的极值问题，因此，最后把问题归结为求解线性代数方程组。 弹性力学变分法中研究的泛函就是弹性体的能量（应变能、外力势 能等）。 弹性力学中的变分法又称能量法。能量法是有限单元法的重要基础。
E 1 2 2 2 U e e y 2e x e y xy dxdy 2 x 2 2 1
应变能用位移分量表示为
2 2 2 E u v 1 v u u v U d xd yd z 2 2 2(1 ) x y 2 x y x y
—— 虚功方程。 即：如果在虚位移发生之前，弹性体是处于平衡状态，那么，在
虚位移过程中，外力在虚位移上所做的虚功就等于应力在相应的虚应
变上所做的虚功。
弹性力学
ELASTICITY
3. 最小势能原理
δU f x δu f y δv f z δw dxdydz f x δu f y δv f z δw dS
U1 sy e y
U1 t zx zx U1 sz e z
U1 G yz t yz yz
U1 t xy xy
弹性体的应变能密度对于任一应变分量的改变率就等于相应的应力分量。
弹性力学
ELASTICITY
1 U1 s xe x s ye y s ze z t yz yz t zx zx t xy xy 2
Ve = W
—— 功能原理
弹性力学
ELASTICITY
应变能密度：单位体积的应变能。 设弹性体只在某一方向，如 x 方向，受均匀的正应力sx，相应的线应 变为 ex，则其单位体积内具有的应变能，即应变能密度为
1 U1 s x de x s xe x 0 2
ex
sx
应变能密度是以应变分量为自变量的泛函。
δU f x δu f y δv f z δw dxdydz f x δu f y δv f z δw dS
δU s x δe x s y δe y s z δe z t yz δ yz t zx δ zx t xy δ xy dxdydz
δ f x u f y v f z w dxdydz δ f xu f y v f z w dS
δ f u f v f w d x d y d z f u f v f w d S x y z x y z 0 δU δ f u f v f w d x d y d z f u f v f w d S x y z x y z
f δu f δv f δw dxdydz f δu f δv f δwdS s δe s δe s δe t δ t δ t δ dxdydz
x y z x y z x x y y z z yz yz zx zx xy xy
弹性力学
ELASTICITY
0 δU δ f u f v f w d x d y d z f u f v f w d S x y z x y z
0 δ U f u f v f w d x d y d z f u f v f w d S x y z x y z
sx ex
U1
dex
ex
弹性力学
ELASTICITY
在复杂应力状态下，设弹性体受有全部六个应力分量 sx 、sy 、sz 、
tyz 、tzx、txy。根据能量守恒定理，形变势能的多少与弹性体受力的次序
无关，而完全确定于应力及变形的最终大小。弹性体的应变能密度
1 U1 s xe x s ye y s ze z t yz yz t zx zx t xy xy 2
由于虚位移是微小的，因此在虚位移的过程中，外力的大小和方向 可以视为保持不变，只是作用点有了改变。利用变分的性质，位移变分 方程可改写为：
δU δ f xu δ f y v δ f z w dxdydz dS δ f u δ f v δ f w x y z
—— 位移变分方程或拉格朗日变分方程。 利用变分的性质
δU e δ U1dxdydz δU1dxdydz
弹性力学
ELASTICITY
应变能密度视为应变分量的函数
δU δU1dxdydz


U1 U1 U1 δe x δe y δe z e x e y e z
弹性力学
ELASTICITY 应变能：
弹性体受外力作用后要发生变形，同时弹性体内将积蓄能量。卸载后， 这种能量又随变形的消失而全部转换为其他形式的能量。这种随弹性变形 的增减而改变的能量称为应变能。 弹性体在受外力作用而变形时，外力和内力均将作功。对于弹性体， 外力在相应位移上作的功，在数值上就等于积蓄在物体内的应变能。
弹性力学
ELASTICITY
实际存在的位移，除了满足位移边界条件以外，还应当满足位移 表示的平衡方程和应力边界条件。
能量原理与变分法中，实际存在的位移，除了满足位移边界条件
外，还满足位移变分方程。而且，可以从位移变分方程导出用位移表 示的平衡微分方程和应力边界条件。 位移变分方程可以代替平衡微分方程和应力边界条件。
弹性力学
ELASTICITY
E 1 2 2 2 2 2 2 2 U1 e x e y e z yz zx xy 2 1 1 2 2 E 对应变分量求导，得 拉梅常数： 1 1 2 U1 E e x 2Ge x s x e x 1 1 2
弹性力学
ELASTICITY
5.2 位移变分方程
1. 变分及其性质
微分是变量的增量，变分是函数的增量，通常用 表示。变分具有
以下的性质：
δ(u w) δu δw u δ δu x x δ udS δu d S
弹性力学
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2. 位移变分方程
2 2 2
Hale Waihona Puke Baidu
2
2
2
2
d xd yd z
弹性力学
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平面问题 sz = 0（平面应力）或 ez = 0（平面应变）， zx = yz = 0
1 U1 s xe x s ye y t xy xy 2 U 1 s xe x s ye y t xy xy dxdy 2
E 1 2 2 2 2 2 2 2 U1 e x e y e z yz zx xy 2 1 1 2 2
弹性体的应变能等于应变能密度在整个弹性体的体积内的积分
U U1dxdydz
1 U s xe x s ye y s ze z t yz yz t zx zx t xy xy dxdydz 2