矩阵论 线性空间与线性变换概述
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前言
一、矩阵论内容介绍 研究内容：
矩阵与线性空间和线性变换
• 以矩阵为工具研究问题 • 在其中发展矩阵理论
矩阵在各种意义下的化简与分解 矩阵的分析理论 各类矩阵的性质研究
矩阵被认为是最有用的数学工具，既适用于 应用问题，又适合现代理论数学的抽象结构。
矩阵论应用介绍
Scientific computing libraries began growing around matrix calculus. The maximum principle is related to nonnegative matrices. Control theory and stabilization of system with finitely many degrees of freedom involve spectral analysis of matrices. Statistics is widely based on correlation matrices. The discrete Fourier transform, including the fast Fourier transform, make use of Toeplitz matrices. The generalized inverse is involved in least-squares approximation.
余鄂西，矩阵论，高等教育出版社，1995。 方保熔等，矩阵论，清华大学出版社，2004。 Fuzhen Zhang，Matrix Theory，Springer，1999。 Denis Serre， Matrices Theory and Applications， Springer，2002。 R. A. Hom et al, Matrix Analysis, Cambridge University Press, (卷1：人民邮电出版社，2005）
n 1
F=R或C
运算：多项式的加法和数乘
•C[a，b]={f（x）：f（x）在[a，b]上连续}
运算：函数的加法和数乘
•eg5： V=R+，F=R， a b=ab， a=a
线性空间的抽象：
线性空间的一般形式：
V（F），元素被统称为向量：， ，，
线性空间的简单性质（共性）： 定理1 . 1：V（F）具有性质： （1） V（F）中的零元素是惟一的。 （2） V（F）中任何元素的负元素是惟一的。 （3）数零和零元素的性质： 数0 0=0，k0=0，k =0 =0 或k=0 （ 4 ） = （ 1）
矩阵论应用介绍 Symmetric matrices are inertia deformation,viscous tensors in continuum mechanics. Graphs can be described in a useful way by square matrices. Markov processes involve stochastic or bistochastic matrices. Quantum chemistry is intimately to matrix group and their representation. Quantum mechanics was called “mechanics of matrices”
不交作业，但应该重视练习环节。
第1章：线性空间与线性变换
内容： 线性空间的一般概念
重点：空间的代数与几何结构，与向量空间R n 的关系 线性变换 重点：其中的矩阵处理方法 特点： 研究代数结构——具有线性运算的集合。 研究几何结构——空间的维数和基 看重的不是研究对象本身，而是对象之间的结构关系。 研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理。 学习特点：具有抽象性和一般性。
1.1 线性空间
一、线性空间的概念 回顾n 维向量空间Rn 推广思想：
抽象出线性运算的本质，在任意研究对象的集 合上定义具有线性运算的代数结构。
定义1.1（P .1）
要点：
• 集合V 与数域F • 向量的加法和数乘向量运算 • 运算性质的公理定义
常见的线性空间
F n={X=（x1，x2，…，xn）T：x F} 运算：向量加法和数乘向量 F mn = {A=[aij]mn：a ijF}； 运算：矩阵的加法和数乘矩阵 i 1 R mn ；C mn 。 ix a i aiR} Pn [x]={p(x)= ：
二、教学安排
学时配置 讲授第1章至第6章 (48学时) 第1章：10学时; 第2章：8学时 第3章：8学时； 第4章：6学时； 第5章：8学时； 第6章：6学时
考核方式：课程结束考试
卷面成绩为最终成 绩
三、教学指导意见
背景要求：线性代数 矩阵与计算工具：MATLAB，MAPLE, … 矩阵与现代应用：应用选讲 教学参考书：
V n （F）表示数域F上的 n 维线性空间。 只研究有限维线性空间。
三、坐标
1 定义 1 .3 （P . 3)设{1，2，…， n } 是空间 n Vn ( F ) 的一组基， Vn ( F ) ， = xi i ，则x1 ， i 1 x2， …， xn 是在基{i}下的坐标。
向量0
二、线性空间的基和维数
向量的线性相关与线性无关：
定义形式和向量空间Rn中的定义一样。 有关性质与定理和Rn中的结果一样。
ຫໍສະໝຸດ Baidu
例题1 证明C[0，1]空间中的向量组 {ex，e2x，e3x …，enx}，x[0，1] 线性无关。
二、线性空间的基和维数
基与维数的概念：P . 2，定义1 . 2 常见线性空间的基与维数： Fn，自然基{e1，e2，…,en}，dim Fn =n Rmn ，自然基{Eij}，dim Rmn =mn。 Pn [x] ，自然基{1，x，x2，x3…,x n-1}，dimPn [x] =n C[a，b]， {1，x，x2，x3…x n-1 …}C[a,b]， dim C[a，b]= 约定：
一、矩阵论内容介绍 研究内容：
矩阵与线性空间和线性变换
• 以矩阵为工具研究问题 • 在其中发展矩阵理论
矩阵在各种意义下的化简与分解 矩阵的分析理论 各类矩阵的性质研究
矩阵被认为是最有用的数学工具，既适用于 应用问题，又适合现代理论数学的抽象结构。
矩阵论应用介绍
Scientific computing libraries began growing around matrix calculus. The maximum principle is related to nonnegative matrices. Control theory and stabilization of system with finitely many degrees of freedom involve spectral analysis of matrices. Statistics is widely based on correlation matrices. The discrete Fourier transform, including the fast Fourier transform, make use of Toeplitz matrices. The generalized inverse is involved in least-squares approximation.
余鄂西，矩阵论，高等教育出版社，1995。 方保熔等，矩阵论，清华大学出版社，2004。 Fuzhen Zhang，Matrix Theory，Springer，1999。 Denis Serre， Matrices Theory and Applications， Springer，2002。 R. A. Hom et al, Matrix Analysis, Cambridge University Press, (卷1：人民邮电出版社，2005）
n 1
F=R或C
运算：多项式的加法和数乘
•C[a，b]={f（x）：f（x）在[a，b]上连续}
运算：函数的加法和数乘
•eg5： V=R+，F=R， a b=ab， a=a
线性空间的抽象：
线性空间的一般形式：
V（F），元素被统称为向量：， ，，
线性空间的简单性质（共性）： 定理1 . 1：V（F）具有性质： （1） V（F）中的零元素是惟一的。 （2） V（F）中任何元素的负元素是惟一的。 （3）数零和零元素的性质： 数0 0=0，k0=0，k =0 =0 或k=0 （ 4 ） = （ 1）
矩阵论应用介绍 Symmetric matrices are inertia deformation,viscous tensors in continuum mechanics. Graphs can be described in a useful way by square matrices. Markov processes involve stochastic or bistochastic matrices. Quantum chemistry is intimately to matrix group and their representation. Quantum mechanics was called “mechanics of matrices”
不交作业，但应该重视练习环节。
第1章：线性空间与线性变换
内容： 线性空间的一般概念
重点：空间的代数与几何结构，与向量空间R n 的关系 线性变换 重点：其中的矩阵处理方法 特点： 研究代数结构——具有线性运算的集合。 研究几何结构——空间的维数和基 看重的不是研究对象本身，而是对象之间的结构关系。 研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理。 学习特点：具有抽象性和一般性。
1.1 线性空间
一、线性空间的概念 回顾n 维向量空间Rn 推广思想：
抽象出线性运算的本质，在任意研究对象的集 合上定义具有线性运算的代数结构。
定义1.1（P .1）
要点：
• 集合V 与数域F • 向量的加法和数乘向量运算 • 运算性质的公理定义
常见的线性空间
F n={X=（x1，x2，…，xn）T：x F} 运算：向量加法和数乘向量 F mn = {A=[aij]mn：a ijF}； 运算：矩阵的加法和数乘矩阵 i 1 R mn ；C mn 。 ix a i aiR} Pn [x]={p(x)= ：
二、教学安排
学时配置 讲授第1章至第6章 (48学时) 第1章：10学时; 第2章：8学时 第3章：8学时； 第4章：6学时； 第5章：8学时； 第6章：6学时
考核方式：课程结束考试
卷面成绩为最终成 绩
三、教学指导意见
背景要求：线性代数 矩阵与计算工具：MATLAB，MAPLE, … 矩阵与现代应用：应用选讲 教学参考书：
V n （F）表示数域F上的 n 维线性空间。 只研究有限维线性空间。
三、坐标
1 定义 1 .3 （P . 3)设{1，2，…， n } 是空间 n Vn ( F ) 的一组基， Vn ( F ) ， = xi i ，则x1 ， i 1 x2， …， xn 是在基{i}下的坐标。
向量0
二、线性空间的基和维数
向量的线性相关与线性无关：
定义形式和向量空间Rn中的定义一样。 有关性质与定理和Rn中的结果一样。
ຫໍສະໝຸດ Baidu
例题1 证明C[0，1]空间中的向量组 {ex，e2x，e3x …，enx}，x[0，1] 线性无关。
二、线性空间的基和维数
基与维数的概念：P . 2，定义1 . 2 常见线性空间的基与维数： Fn，自然基{e1，e2，…,en}，dim Fn =n Rmn ，自然基{Eij}，dim Rmn =mn。 Pn [x] ，自然基{1，x，x2，x3…,x n-1}，dimPn [x] =n C[a，b]， {1，x，x2，x3…x n-1 …}C[a,b]， dim C[a，b]= 约定：