几何的五大模型 ppt课件
几何五大模型
、等面积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等；反之，如果S A ACD BCD，则可知直线AB平行于CD等底等高长方形-平行四边形-梯形的面积相等；三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如上图S =a :b、共角定理（鸟头定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。
如图，在△ ABC中，D,E分别是AB,AC上的点（如图1）或D在BA的延长线上，E在AC上（如图2)，则SA ABC :SA ADE 二(AB AC)：(AD AE)三、蝴蝶定理模型（不规则四边形的面积问题）①或者s S3P S4 ② AO:OC =I S S2 ： S4 S3梯形中：①S I：S B二a2：b2图2②S!: S3 : S2: S4 =a2 :b2: ab: ab ；不论大小怎样改变它③梯形S 的对应份数为a b 2四、相似模型B G金字塔模型① AD _ AE _ DE _ AF AB AC BC AG所谓的相似三角形， 就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变, 们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
五、燕尾定理模型B E CS A ABG : S A AGC =S A BGE : S A EGC = BE ：ECS A BGA : S A BGC =S A AGF ： S^FGC =AF : FCS A AGC : S ABCG =S A ADG ：&DGB =AD : DB ② S ^ADE :S ^ABC 二 AF 2: AG 2。
沙漏模型0.15倍，黄色三角形的面积是 如图，三角形田地中有两条小路 AE 和CF ,交叉处为D ,张大伯常走这两条小路, 且AD = 2DE 。
几何的五大模型课件
特性 平行线永不相交。
欧几里得几何的应用
01
02
03
建筑学
欧几里得几何在建筑设计 中广泛应用，如确定建筑 物的位置、方向和尺寸等。
工程学
在机械工程、航空航天和 交通运输等领域，欧几里 得几何用于指导实际物体 的设计和制造。
日常生活
在日常生活中，人们常常 利用欧几里得几何知识解 决实际问题，如测量距离、 计算角度等。
定义
连续性
等价关系
不变性
拓扑几何是研究图形在 连续变形下保持不变的 性质和不变量的几何分支。
拓扑变换是连续的，不 改变图形的基本性质。
同胚的图形被视为等价， 具有相同的拓扑性质。
某些拓扑性质在连续变 形下保持不变。
拓扑几何的应用
网络分析
拓扑几何用于分析网络结构，如 社交网络、互联网等。
数据可视化
通过拓扑结构表示复杂数据，帮 助理解数据内在关系。
欧几里得几何的局限性
现实世界的复杂性
欧几里得几何在描述现实世界的一些 现象时存在局限性，如弯曲的空间、 微观粒子的运动等。
非绝对性
无法解释某些自然现象
在解释一些自然现象，如地壳运动、 电磁波传播等方面，欧几里得几何显 得力不从心。
欧几里得几何基于一些假设和公理， 其绝对性和客观性存在争议。
CHAPTER
对初学者的挑战
解析几何需要较高的数学基础和思 维能力，对于初学者来说可能存在 学习难度。CHAPTER定来自与特性微分几何模型的定 义
微分几何模型是一种使用微积分和线 性代数工具来研究形状、曲线和曲面 几何特性的数学模型。
微分几何模型的特性
微分几何模型强调局部性质，通过研 究曲线和曲面的切线、法线、曲率等 局部几何量来描述物体的形状和运动 规律。
小学数学几何必考五大模型 ppt课件
典型例题
【例1】如图，正方形ABCD的边长为6，AE= 1.5，CF= 2．长方形EFGH的面积为
？
H
H
A
D
A
D
E
E
G
G
B FC
B FC
【解析】连接DE，DF，则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍． 三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积， ,所以长方形EFGH面积为33．
五、燕尾定理（共边定理、燕尾模型和风筝模型）
在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么
．
上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为和的形状很象燕子的尾巴， 所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在 于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联 系的途径.
证明：连接AG（我们通过△ABG把这两个长方形和正方形联系在一起）
∴ 正方形ABCD与长方形EFGB面积相等。长方形的宽=8 ×8÷10=6.4（厘米）
【例2】长方形ABCD的面积为36cm2，E 、F、G为各边中点，H为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？
【解析】解法一：寻找可利用的条件，连接BH ,HC ，如下图：
S1 S2
如右图
a
b
C
D
③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图
；
反之，如果
，则可知直线 平行于 。
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于
平面几何五种模型
② AO : OC S1 S2 : S4 S3
【上下比】
=
=
=
【上上比】
=
=
=
由上述比例可以按数学运算原则推出很多规则：如
面积交叉相乘的乘积相等
=
= S1 S3 S2 S4
梯形蝴蝶定理（ 梯蝴蝶 ）
① S1 : S3 a2 : b2 →上：下 = a2 : b2
② S1 : S3 : S2 : S4 a2 : b2 : ab : ab →上：下：左：右 = a2 : b2 : ab : ab
+
+
=1
2
③ S 的对应份数为 a b →a2+2ab+b2=a2+b2+ab+ab 有木有↑
4 相似三角形 形状相同，大小不同的三角形，只要形状不变，无论大小怎么改变，他们都相似。 1 相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且 =它们的相似比 2 相似三角形的面积比 =相似比的平方
3 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 三角形中位线定理：三角形的中位线长 =它所对应的底边长的一半 就是三角形任 2 边中点连出来的中位线就是第三边长的一半！ 出题几率：多产生于 2 条平行线造成的相似三角形
等于浅紫色三角形是“嵌入”在大三角形 ABC里面，注意，鸟头定理用的是乘积比！不是
单独的线段比 ~
记忆上用 夹角 2 边
最好记，这里等于
E
D
A 对顶角
D E
A
B
C
B
C
D 互补角 A
E
D
A
E
B
CB
C
鸟头定理的证明，写出来是因为很多题目的解题过程，都需要补这么一条辅助线来过度连
几何的五大模型
几何的五大模型一、等积变换模型(1)等底等高的两个三角形面积相等(2)两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比(3)两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比如左图S1: S2=a:b(4)夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图，SAABC= S △ BAD反之，如果S △ BCD则可知直线AB平行于CD (AB// CDSAABC=二、鸟头定理(共角定理)模型(1)两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
(2)共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图在△ ABC中，D, E分别是AB AC上的点如图•(或D在BA的延长线上，E 在AC 上)，贝s S ABO :S AADE=(AB X AC)：(AD X AE)T D图CoJI/u//\//（B・....................推理过程连接BE再利用等积变换模型即可。
证明：图(1)中设：过顶点D做底边AE的高为H1 ；过顶点B做底边AC的高为H2△ ABE 中SA ADE SA ABE=AD AB同理SAADE SAABE=HI H2 AD : AB= HI： H2 }又因SAADE=AE*H1*1^ AA S AABC=AC*H2*V2 得出SAADE SAABC=AE*H1 AC*H2所以SAADE SA ABC=(Ax AC):(AD x AE)图(2)中设过顶点D作底边AE的高为H1，过顶点B做底边AC的高为H2ADBE 中，SA ADE SA ABE=AD ABS A ADE SA ABE= H1: H2 AD : AB= H1: H2又因SAADE=AE*H1*V2S AABC=AC*H2*V2 得岀SAADE SAABC=AE*H1 AC*H2所以SA ADE SA ABC=(Ax AC):(ADx AE)三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例矢系(“蝴蝶定理”)①S1 :S2=S4:S3 或者S1 X S3=S2x S4②AO:OC=(S1+S2)：(S4+S3)证明(1):在乂 ABD 中，S1： S2=DO:OB在厶DCB 中，S4: S3=DO OB 得至(J S1 :S2=S4:S3 或者S1 x S3=S2X S4(十字相乘法)证明(2): 设过D点作底边AC的高为H1,过B点作底边AC的高为H2(S1+S2):(S4+S3)= ( AO*H1*1^+AO*H2*V2) : ( OC*H1*1^+ OC*H2*V2)约分得到:(S1+S2):(S4+S3)=AO : OC蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
人教版六年级下册数学小升初奥数：几何五大模型模型(课件)
02 三角形：燕尾模型
A
O
B
D
A
F
E O
B D
S△ABD：S△ACD=BD：CD S△OBD：S△OC?B：D?：CD
C
S△ABO：S△CBO=AE：CE S△ACO：S△BCO=AF：BF S△ABO：S△ACO=BD：CD
C
02 三角形：燕尾模型
（1）
例、如图，已知 BD=DC，EC=2AE，三角形 是 30，求阴影部分面积？
01 长方形：一半模型（犬齿模型）
（1）
1 S阴影 2 S长方形
例 、（长郡系）如图，ABFE 和 CDEF 都是矩形，AB 的长是 4 厘米， BC 的长是 3 厘米，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米。
解题思路： 将大长方形分成若干个小长方形；
每个阴影面积都=对应长方形的一半； 全部阴影面积=长方形ABCD的一半； S阴影=3×4÷2=6cm2；
几何五大模型
二、鸟头（共角）定理模型
1、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形； 2、共角三角形的面积之比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。
如图下图三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上或AB、AC延长线上的点
则有：S△ABC：S△ADE=（AB×AC）：（AD×AE）
ABC
的面积
1 G①
③ ②
③ ⑥③
解题思路： 构建完整燕尾模型，利用份数思维；
AE:CE=1:2
BD:CD=1:1
2
AE:CE=1:2
设S△AEF为1份，则S△CEF为2份 S△ABF:S△ACF=1:1，S△ABF为3份 S△ABF:S△CBF=1:2，S△CBF为6份
1数学几何五大模型
数 学 几 何 五 大 模 型一、等积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等；其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如上图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACDBCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； 二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△1S 2S 1S 2S ab图1 图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：（1） 1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯（2）()()1243::AO OC S S S S =++ 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)（1）2213::S S a b =（2）221324::::::S S S S a b ab ab =；（3）梯形S 的对应份数为()2a b +。
四、相似模型相似三角形性质：金字塔模型 沙漏模型（1）AD AE DE AFAB AC BC AG===； （2）22::ADE ABCS S AF AG =△△。
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
几何的五大模型
利用燕尾定理，连接FC，BFD面积/BFC面积=DE/EC=1/2，如果BFD面积为1份的话，BFC为2份；又DF=FG，所以BFG面积与BFD面积相等也是1份，故FGC面积是2-1=1份，那么BG=GC；再利用燕尾定理，DFC的面积与DFB相等也是1份，BDC的面积是4份=6，故一份面积是6/4=1.5，阴影部分是1+2/3=5/3份，面积是1.5×5/3=2关系是一样的。）
四、相似三角形模型
相似三角形：是形状相同，但大小不同的三角形叫相似三角形。
相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比。
相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
五、燕尾定理模型
解析：
因为阴影部分比三角形EFG的面积大10厘米2，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米2，所以平行四边形ABCD的面积等于10×8÷2+10=50厘米2。
几何的五大模型
一、等积变换模型
1、等底等高的两个三角形面积相等。
2、两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比。
3、两个三角形底相等，面积比等于它的的高之比。
二、共角定理模型
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等到于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。
三、蝴蝶定理模型
显然，最大的三角形的面积为21公顷．
解析：
如图所示，设上底为a，则下底为2a，梯形的高为h，则EF= （a+2a）= ，所以，
。所以
阴影部分
= 即 ，梯形 ABCD的面积=
如下图所示，为了方便叙述，将某些点标上字母．
几何的五大模型
几何的五大模型一、等积变换模型(1)等底等高的两个三角形面积相等⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比⑶两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比如左图S1: S2=a:b(4)夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图，S AABC= S △BAD反之，如果S\ABC= S ABCD,则可知直线AB平行于CD (AB// CD二、鸟头定理(共角定理)模型(1)两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
(2)共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图在△ ABC中, D, E分别是AB, AC上的点如图.(或D在BA的延长线上, E在AC上)，贝卩S AABC： S AD E=(AB X AC):(AD X AE)推理过程连接BE再利用等积变换模型即可。
证明：图(1)中设：过顶点D做底边AE的高为H1;过顶点B做底边AC的高为H2△ ABE中SA ADE SA ABE=A：AB同理SA ADE SA ABE=H1 H2 AD : AB= H1: H2 L又因SAADE=AE*H1*1/2S △ ABC=AC*H2*1/2 得出SA ADE SA ABC=AE*H1 AC*H2所以SA ADE SA ABC=(AX AC):(AD X AE)图(2)中设过顶点D作底边AE的高为H1,过顶点B做底边AC的高为H2△ DBE中，SA ADE SA ABE二AD ABS A ADE SA ABE= H1 H2 AD : AB= HI: H2又因SAADE=AE*H1*1/2S A ABC=AC*H2*1/2 得出SA ADE SA ABC=AE*H1 AC*H2所以SA ADE SA ABC=(AB< AC):(AD X AE)三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)①S1:S2=S4:S3 或者S1 X S3=S2X S4②AO:OC=(S1+S2):(S4+S3)证明(1):在A ABD中, S1 : S2=DO:OB在A DCB中, S4: S3二DO OB 得至U S1:S2=S4:S3 或者S1 X S3=S2X S4(十字相乘法)证明(2):设过D点作底边AC的高为H1,过B点作底边AC的高为H2(S1+S2):(S4+S3)= (AO*H1*1/2+AO*H2*1/2): ( OC*H1*1/2+ OC*H2*1/2) 约分得到：(S1+S2):(S4+S3)=AO : OC蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
小学数学几何必考五大模型优秀课件
8 典型例题
【例1】如图，正方形ABCD的边长为6，AE= 1.5，CF= 2．长方形EFGH的面积为？
H
H
A
D
A
D
E
E
G
G
B FC
B FC
【解析】连接DE，DF，则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍． 三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积， ,所以长方形EFGH面积为33．
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在学习小学数学的时候，几何模型算是比较新颖的一个模块，学生们熟 练掌握五大面积模型，并掌握五大面积模型的各种变形，
今天就为大家推荐一篇小学数学几何五大模型的内容。
2
3 一、等积模型
A
B
①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
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证明：连接AG（我们通过△ABG把这两个长方形和正方形联系在一起）
∴ 正方形ABCD与长方形EFGB面积相等。长方形的宽=8 ×8÷10=6.4（厘米）
11 【例2】长方形ABCD的面积为36cm2，E 、F、G为各边中点，H为AD边上 任意一点，问阴影部分面积是多少？
【解析】解法一：寻找可利用的条件，连接BH ,HC ，如下图：
它们的高之比．
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二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．
A
D
D E
A E
几何五大模型
一、等积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等；其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如上图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△五大模型1S 2S图1 图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形S 的对应份数为()2a b +。
四、相似模型相似三角形性质：金字塔模型 沙漏模型①AD AEDE AFAB AC BC AG===； ②22::ADE ABC S S AF AG =△△。
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
几何的五大模型
几何的五大模型一、等积变换模型(1)等底等高的两个三角形面积相等(2)两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比(3)两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比如左图S1：S2=a:b(4)夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图，S△ABC= S△BAD反之，如果S△ABC= S△BCD，则可知直线AB平行于CD （AB∥CD）二、鸟头定理(共角定理)模型(1)两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
(2)共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点如图.(或D在BA的延长线上，E在AC上)，则S△ABC：S△ADE=(AB×AC):(AD×AE)推理过程连接BE，再利用等积变换模型即可。
证明：图（1）中设：过顶点D做底边AE的高为H1；过顶点B做底边AC的高为H2△ABE中S△ADE：S△ABE=AD：AB同理S△ADE：S△ABE=H1：H2 AD：AB= H1：H2又因S△ADE=AE*H1*1/2S△ABC=AC*H2*1/2 得出S△ADE：S△ABC=AE*H1：AC*H2 所以S△ADE：S△ABC=(AB×AC):(AD×AE)图（2）中设过顶点D作底边AE的高为H1，过顶点B做底边AC的高为H2△DBE中，S△ADE：S△ABE=AD：ABS△ADE：S△ABE= H1：H2 AD：AB= H1：H2又因S△ADE=AE*H1*1/2S△ABC=AC*H2*1/2 得出S△ADE：S△ABC=AE*H1：AC*H2所以S△ADE：S△ABC=(AB×AC):(AD×AE)三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)①S1:S2=S4:S3 或者 S1×S3=S2×S4②AO:OC=(S1+S2):(S4+S3)证明（1）：在△ABD中，S1：S2=DO:OB在△DCB中，S4：S3=DO：OB 得到S1:S2=S4:S3或者 S1×S3=S2×S4(十字相乘法)证明（2）：设过D点作底边AC的高为H1，过B点作底边AC的高为H2(S1+S2):(S4+S3)=（AO*H1*1/2+AO*H2*1/2）：（OC*H1*1/2+ OC*H2*1/2）约分得到：(S1+S2):(S4+S3)=AO：OC蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
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G
B
E
C
1）翅膀之比等于尾巴之比 SΔABG： SΔACG= SΔBGE： SΔCGE =BE:CE SΔBGA： SΔBGC= SΔGAF： SΔGCF =AF:CF SΔAGC： SΔBGC= SΔAGD： SΔBGD =AD:BD
2）翅膀面积之和：尾巴面积=翅骨：尾骨
（SΔABG+ SΔACG）： SΔBGC=AG:GE
黄
50%-15%=35% 因此，长方形面积=21÷35%=60cm2
红
红
绿
PPT课件
7
例题：等积变换
例题2：图中ABCD是个直角梯形，以AD为一边向外作长方形ADEF， 其面积为6.36平方厘米，连接BE交AD于P，再连接PC，则图 中阴影部分的面积是多少平方厘米？
分析： 1、连接AE、BD，作两条平行线
思考：怎样用等积变换模型来证明这个模型
PPT课件
3
概念
3、蝴蝶定理模型（任意四边形中的比例关系）
1）不规则四边形
a A
S1
S2 O
D S4
S1：S2=S4：S3 AO：OC=(S1+S2)：(S3+S4)
S3
B b
C
1）梯形
A
a
D
S1
S1：S3=a2：b2
S2
S4 O
S1：S3：S2：S4=S3=a2：b2：ab：ab
2、PD//BC ，根据等积变换模型 S ΔPBD= S ΔPCD AB//ED ,根据等积变换模型S ΔAEP= S ΔPDB
F
E
APD
B
C
3、根据如此等积变换，阴影部分面积与三角形ADE相等，即： S阴影=SADEF÷2=3.18
思考：几何问题经常要用到添加辅助线，这比较关键。
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8
例题：一半模型
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11
例题：鸟头（共角）模型
例题4：如图，已知三角形ABC面积为1，延长至D，使BD=AB，延长BC 至E，使CE=2BC，延长至F，使AF=3AC，求三角形DEF的面积
分析： 1、想想？∠ACB与∠FCE、 ∠CAB与∠FAD、
∠ABC与∠DBC是什么关系
F 2、互补。在共角模型中，共角三角形的面
3） BE CF AD 1 CE AF BD
PPT课件
6
例题：等积变换
例题1：一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形 面积的15%，黄色三角形面积是21cm2。问：长方形的面积是 多少平方厘米？
分析：SΔ黄+SΔ绿=S长方形÷2（=宽×长÷2）
黄色三角形面积21cm2，占长方形面积比例
分析：
ΔABD 的高是ΔCBD的一半，而底边相同 SΔCOD-SΔAOB=SΔCBD -SΔABD= SΔABD =15cm2 SΔAOB= SΔABD ÷2=7.5cm2
PPT课件
C
A
O
E
B
D 10
例题：等积变换模型
例题4：图中的E、F、G分别是正方形ABCD三条边的三等分点，如果正 方形的边长是12，那么阴影部分的面积是多少？
分析： 正方形的各条边边长相等，都为12，E、F、G为
三等分点，想想？可采用什么模型
A
6
HD
从图可知，存在等积等高，那试试等积变换模型 怎么变换呢？先画几条符合该模型的辅助线
5
E
1G
2
43
B
C
F
想想？ΔHBE与ΔHAB、 ΔHBF与ΔHBC、 ΔHDG与ΔHCD之间的比例关系
都存在1:3的关系
所以：S阴影是S正的三分之一，即S阴影=12×12÷3=48
9
例题：燕尾定理模型
例题4：如图E在AD上，AD⊥BC，AD=12cm，DE=3cm，求SΔABC是
SΔEBC的几倍？
A
分析： 根据燕尾定理模型，S翅膀：S尾巴=AE:ED
SΔABC= S翅膀+S尾巴
B
SΔEBC= S尾巴 SΔEBC÷ SΔEBC= 12÷3=4
翅E膀
尾巴
C D
例题5：如图，A、B、C都是正方形边的中点， ΔCOD比ΔAOB大15平方厘米的面积， ΔAOB的面积是多少平方厘米。
AB
S1 S2
a
b
CD
图1
图2
PPT课件
2
概念
2、鸟头定理（共角定理）模型
1）两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形
2）共角三角形的面积比等于对应交（相等或互补角）两夹边的乘积之比
D
E
A
D
A
A
E D
BC
E
B
CB
C
如图，在ΔABC中，D、E分别是AB、AC上的点，或D是BA延长线上， E在AC上，则有SΔABC ： SΔADE=(AB×AC)：(AD×AE)
例题3：如图ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘 米，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米。
分析：阴影部分是一个个三角形，矩形CDEF中阴影 A
B
部分的三角形底边长度为矩形的长，高与矩 E
F
形宽相等，根据面积公式可知S阴影=SEDCF÷2
D
C
思考：一半模型是什么意思？
PPT课件
S3
B b
S梯形的对应份数为（a+b）2
C
PPT课件
4
概念
4、相似模型
A
D
FE
B
G
C
金字塔模型
E FD A
B
G
C
沙漏模型
1）相似三角形线段关系 2）相似三角形面积关系
AD:AB=AE:AC=DE:BC=AF:AG SΔADE ： SΔABC=AF2：AG2
PPT课件
5
概念：
5、燕尾定理模型
A
D
F
积比等于对应交（相等或互补角）两夹边 的乘积之比
AC
E
B
3、SΔABC： SΔFCE=BC×CA：CE×AF
D
SΔFCE=8 SΔABC=8
同理可知： SΔFAD=6，SΔDBE=3
所以： SΔFDE=18
思考？共角模型可以用等积变换模型推导出来，请用等积变换模型试试
关键点：添加辅助线
PPT课件
1厘米的正方形ABCD中，E、F是DC边上的
三等分点，求阴影部分的面积。 分析： 1、看下图形，回忆下梯形蝴蝶定理模型
A
a
B
S1
2、S2=S4，S1：S3=a2：b2
O
S2 S4
S1：S3：S2：S4=S3=a2：b2：ab：ab
S3
3、蝴蝶定理模型，把梯形肢解模块化，我们
D
EbF
C
可以假设最小的三角形面积为1份。想想？其它各部分所占的份数
4、 ∵ a：b=3:1，∴S2=S4=3份，S1=9份
几何问题 --五大模型
风子编辑
PPT课件
1
概念
1、等积变换模型
1）等底等高的两个三角形面积相等 2）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比 如图1 S1：S2=a：b 3）夹在一组平行线之间的等积变形，如图2 SΔACD= SΔBCD 反之，如果SΔACD= SΔBCD，则有直线AB//CD