2020届高考数学专题七解三角形精准培优专练理
2020年高考数学(文数)解答题强化专练——解三角形含答案
（文数）解答题强化专练——解三角形一、解答题（本大题共10小题，共120.0分）1.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a-c=2b cos C．（1）求的值；（2）若b=，求c-a的取值范围．2.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=7，c（-cos A）=a cos C．（1）求c；（2）若B=，点D在边BC上，且AD=5，求△ADC的面积．3.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且．（1）求△ABC外接圆的半径；（2）若c＝3，求△ABC的面积．4.已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2A+sin2C-sin A sin C=sin2B．（1）求sin B的值；（2）若b=2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＝1－.(1)证明：sin A＝；(2)若sin2B＋sin2C－sin2A＝sin B sin C，求tan B .6.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求角A的大小；（2）若，，求的面积．7.已知，，分别是的内角，，所对的边，.（1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值.8.已知在中，角，，所对的边分别为，，，的面积为．（1）求的值；（2）若，，且的中点为，求的周长．9.已知中，角的对边分别为，.（1）求角的大小；（2）若，，求的面积.10.如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=.（1）求cos∠CAD的值;（2）若cos∠BAD=-，sin∠CBA=，求BC的长.答案和解析1.【答案】解：（1）因为2a-c=2b cos C=，整理可得，a2+c2-b2=ac，由余弦定理可得，cos B=，故B=60°，A+C=120°，所以=sin120°=；（2）由正弦定理可得，，所以a=2sin A，c=2sin C，所以c-a=2sin C-2sin A=2sin C-2sin（120°-C）=sin C-cos C，=sin（C-60°），因为0°＜C＜120°，所以-60°＜C-60°＜60°，所以，故【解析】（1）由已知结合余弦定理进行化简求解cos B，进而可求B，代入即可求解；（2）由已知结合正弦定理可表示c-a，然后结合和差角公式及正弦函数的性质即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理及和差角公式及辅助角公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．2.【答案】解：（1）∵b=7，c（-cos A）=a cos C．∴=a cos C+c cos A，由正弦定理可得=sin A cos C+sin C cos A，∴=sin（A+C）=sin B，由正弦定理可得=b=7，∴解得c=5．（2）∵B=，点D在边BC上，且AD=5，c=5，∴△ABD为等边三角形，∴在△ABC中，由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B，可得72=52+a2-2×，可得a2-5a-24=0，∴解得a=8，或-3（舍去），∴CD=a-BD=8-5=3，∴S△ACD=AD•CD•sin∠ADC=sin120°=．【解析】（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式即可求解c的值．（2）由已知可求△ABD为等边三角形，在△ABC中，由余弦定理可得a的值，进而解得CD的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．3.【答案】解:(1)依题意，由正弦定理化简得,即=,=-1,整理得整理得+-=-bc,所以A==-,因为,所以A=,故所求外接圆半径r===;(2)因为a=,c=3,A=,所以由余弦定理=+-2bc A,得13=+9-23b,解得b=1或b=-4(舍），则=13=.【解析】【分析】本题主要考查三角函数的和角公式、以及正、余弦定理等知识，考查了运算求解能力及化归与转化能力，属于中档题．（1）利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，正弦定理化简已知等式可得+-=-bc,结合余弦定理，可求A==-即可得角A的值及外接圆半径r．（2）利用余弦定理，=+-2bc A,求解b值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．4.【答案】解：（1）因为sin2A+sin2C-sin A sin C=sin2B．由正弦定理可得，，由余弦定理可得，cos B=，故sin B=；（2）∵S△ABC===，所以ac=3，因为，所以=4+8=12，所以a+c+b=2+2．【解析】（1）由已知结合正弦定理及余弦定理可求cos B，然后结合同角平方关系可求sin B；（2）由已知结合三角形的面积公式可求ac，然后结合余弦定理即可求解a+c，进而可求三角形的周长．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式的综合应用，属于中档试题．5.【答案】(1)证明:因为＝1－，所以＋＝1，所以＋＝1，所以sin A cos B＋cos A sin B＝sin A sin B，所以sin(A＋B)＝sin A sin B，在△ABC中，A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，所以sin A sin B＝sin C，根据正弦定理可得b sin A＝c，即sin A＝;(2)解:因为sin2B＋sin2C－sin2A＝sin B sin C，根据正弦定理得b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理，可得cos A＝＝＝，又在△ABC中，所以sin A＝＝,由(1)知sin A cos B＋cos A sin B＝sin A sin B，所以sin B＝cos B＋sin B，所以－sin B＝cos B，故tan B＝＝－.【解析】本题考查正弦定理、余弦定理，考查同角三角函数的基本关系以及两角和与差的三角函数公式，属于中档题.(1)由同角三角函数的基本关系以及两角和与差的三角函数公式,结合已知得sin A sin B＝sin C，然后由正弦定理求解即可;(2)由已知结合正弦定理和余弦定理,得cos A,根据同角三角函数的基本关系求出sin A，然后利用(1)中的结论求解即可.6.【答案】解：（1）已知等式a sin B+b cos A=0，利用正弦定理化简得：sin A sin B+sin B cos A=0，∵sin B≠0，∴sin A+cos A=0，则.(2)由，，，∴由余弦定理得：a2=b2+c2-2bc cos A，即得或故【解析】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式（1）已知等式利用正弦定理化简，根据sin B不为0即可确定出角A的大小；（2）由cos A，a，b的值，利用余弦定理求出c的值，再由b，c，sin A的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．7.【答案】解：（1）在△ABC中，由正弦定理得，得b sin A＝a sin B，又∴a sin B＝，即sin B＝＝，∴tan B＝，又B∈（0，π），∴B＝；（2）由余弦定理可知，所以，当且仅当时等号成立，所以，所以△ABC面积的最大值为．【解析】本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，两角和与差的三角函数公式，利用基本不等式求最值,属于基础题.（1）由正弦定理得b sin A＝a sin B，结合已知，可得sin B＝＝，易得角B的大小；（2）结合余弦定理以及基本不等式可得，根据三角形面积公式，即可求得△ABC 面积的最大值．8.【答案】解：（1）由△ABC的面积为ac sin B=ac sin2B．得sin B=2sin B cosB，∵0＜B＜π，∴sin B＞0，故cos B=，∴sin B==；（2）由（1）和 3sin2C=5sin2B•sin2A得16sin2C=25sin2A，由正弦定理得16c2=25a2，∵c=5，∴a=4，BD=a=2，在△ABD中，由余弦定理得：AD2=c2+BD2-2c•BD•cos B=25+4-2×5×2×=24∴AD=2，∴△ABD的周长为c BD+AD=7+2．【解析】本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，考查二倍角的正弦公式和同角的平方关系，属于中档题．（1）运用三角形的面积公式和正弦定理、二倍角正弦公式，化简整理，即可得到的值；（2）运用正弦定理和（1）的结论，首先求得边a与线段BD的长，再根据余弦定理即可得到AD的长，从而得到所求周长．9.【答案】解：（1），由正弦定理可得，，，又，，，∵,∴；（2）由余弦定理可得，又，解得，，的面积为.【解析】本题考查正弦余弦定理及面积公式.（1）利用正弦定理及两角和与差的三角函数公式化简整理得出cos C,即可求出C；（2）利用余弦定理及三角形面积公式计算即可.10.【答案】解：(1)由题意，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=，在△ADC中，由余弦定理得，cos∠CAD＝＝＝；(2)设∠BAC＝α，则α＝∠BAD－∠CAD.因为cos∠CAD＝，cos∠BAD＝－，且∠CAD和∠BAD均为三角形内角，所以sin∠CAD＝，sin∠BAD＝，于是sinα＝sin (∠BAD－∠CAD)＝sin∠BAD cos∠CAD－cos∠BAD sin∠CAD＝×－(－)×＝，在△ABC中，由正弦定理，得＝，故BC＝＝＝3.【解析】本题考查正弦定理，余弦定理，考查同角三角函数的基本关系，两角和与差的三角函数公式，属于中档题.（1）直接利用余弦定理即可求得结果；（2）设∠BAC＝α，则α＝∠BAD－∠CAD，求得sinα的值，在△ABC中，利用正弦定理便可求得BC的长.。
2020衡水名师原创理科数学专题卷：专题七《三角恒等变换与解三角形》 含答案解析
2020衡水名师原创理科数学专题卷 专题七 三角恒等变换与解三角形考点19：三角恒等变换（1-6题，13,14题，17,18题）考点20：正，余弦定理及解三角形（7-12题，15,16题，19-22题）考试时间：120分钟 满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I 卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
） 1．【来源】2015-2016学年湖北省黄冈市蕲春县高一下期中 考点19 易已知，，则求= （ ）A ．B ．C ．D ．2．【来源2016届宁夏�海南高三三轮冲刺猜三 考点19 易已知，则 sin β=（ ）A ．B ．C ．D ．3．【来源】2016届辽宁省大连师大附中高三下学期精品 考点19 中难已知则（ ）A ．B ．C ．D ．4．【来源】2015-2016学年内蒙古巴彦淖尔一中高一期末 考点19中难设， οο13cos 13sin 2=b ，，则有（ ）A ． c b a >>B ． c b a <<C ． a c b <<D ． b c a << 5．【来源】2016届河北省邯郸市高三下第二次模拟考试 考点19 中难已知，则 cos x 等于（ ）A ．B ．C ．D ．6．【来源】2016届海南省华侨中学高三考前模拟 考点19 中难的值是（ ）A ．B ．C ． 3D ．27．【2017山东，理9】 考点20 易在 C ∆AB 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ．若 C ∆AB 为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是（ ）A 2a b =B 2b a =C 2A =BD 2B =A8．【来源】2017届广西名校高三第一次摸底考试 考点20 易在 ABC ∆中，已知，若 ABC ∆最长边为10，则最短边长为（ ）A ． 2B ． 3C ． 5D ．229．【来源】2017届甘肃高台县一中高三上第三次检测 考点20 易在 ABC ∆中，关于 x 的方程 22(1)sin 2sin (1)sin 0x A x B x C +++-=有两个不等的实数根，则角 A 为（ ）A ．锐角B ．直角 C. 钝角 D ．不存在 10．【来源】2017届福建福州外国语学校高三适应性考试四 考点20 中难已知 ABC ∆中， a ， b ， c 分别为内角 A ， B ， C 所对的边长，且 4a =， 5b c +=， tan tan 33tan tan A B A B ++=，则 ABC ∆的面积为（ ）A ．B ．33 C ．D ．11．【来源】2016-2017学年广东湛江一中高二上大考一 考点20 中难 已知 ABC ∆是锐角三角形，若 B A 2=，则的取值范围是（ ）A. )3,2(B. )2,2(C.)3,1( D. )2,1(12．【来源】2016-2017学年河南郑州市七校联考高二上期中考试 考点20 中难如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B , C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60 m ，则河流的宽度 BC 等于（ ）A ． 240(31)m +B ．180(21)m - C. 120(31)m - D ．30(31)m +第Ⅱ卷（非选择题）二.填空题（每题5分，共20分） 13．【2017江苏，5】考点19 易 若则 tan α= ▲ . 14．【来源】2017届广西陆川县中学高三8月月考 考点19 难 ABC ∆中，角 ,,A B C 所对的边分别为 ,,a b c ，向量(2,1)q a =r，(2,cos )p b c C =-u r，且//p qu r r，三角函数式的取值范围是 .15．【来源】2017届河北衡水中学高三上学期一调考试 考点20 中难 已知 ABC ∆的三边 a b c ，，满足，则角 B =__________．16．【来源】2017届河南息县第一高级中学高三上段测三试 考点20难 在 ABC ∆中，边 AB 的垂直平分线交边 AC 于 D ，若,则 ABC ∆的面积为 .三.解答题（共70分） 17．（本题满分10分）【来源】2016届山东省枣庄八中高三上12月月考 考点19 易 已知函数f （x ）=2sin ωxcos ωx ﹣2sin 2ωx+（ω＞0），直线x=x 1，x=x 2是函数y=f（x ）的图象的任意两条对称轴，且|x 1﹣x 2|的最小值为．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数f （x ）的单调增区间；（Ⅲ）若f （α）=，求sin （π﹣4α）的值．18．（本小题满分12分）【来源】2016届河南省中原名校高三上学期第一次联考 考点19 中难已知向量，．（1）当b a //时，求 x x 2sin cos 2-的值；（2）设函数，已知在 ABC ∆中，内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、c ，若 3=a ， 2=b ，，求当时，的取值范围． 19．（本题满分12分）【2017课标1，理17】考点20 易△ABC 的内角A ，B ， C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长.20．（本题满分12分）【来源】2017届河南郑州一中高三理上期中 考点20 中难“郑一”号宇宙飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员求出，地面指挥中心的在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心（记为 ,,B C D ）．当返回舱距地面1万米的 P 点的时（假定以后垂直下落，并在 A 点着陆）， C 救援中心测得飞船位于其南偏东60°方向，仰角为60°， B 救援中心测得飞船位于其南偏西30°方向，仰角为30°， D 救援中心测得着陆点 A 位于其正东方向．（1）求 ,B C 两救援中心间的距离；（2） D 救援中心与着陆点 A 间的距离．21．（本题满分12分）【2017课标3，理17】 考点20 中难△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知 sin 3cos 0A A +=，a =27,b =2.（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC,求△ABD 的面积.22．（本题满分12分）【来源】2017届四川绵阳市高三一诊考试 考点20 难在 ABC ∆中，角 C B A ,,所对的边分别为 c b a ,,，已知 12=c ，64=b ， O 为 ABC ∆的外接圆圆心.（1）若，求 ABC ∆的面积 S ；sin的值. （2）若点D为BC边上的任意一点，，求B参考答案1．D【解析】，，，故选D ．2．D【解析】因为，结合 22sin cos 1αα+=及，得，又，所以，所以3．A 3．A 【解析】4．D 【解析】sin30cos6cos30sin 6sin 24a =︒︒-︒︒=︒， sin 26b =︒，ｃ＝，因为 242526︒<︒<︒，所以 sin 24sin 25sin 26︒<︒<︒，即 a c b <<． 5．A【解析】因，化简得,故应选A.6．C【解析】，选C.7．【答案】A【解析】 sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+ 所以 2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A. 8．A【解析】由，得，由，得，于是，即 C∠为最大角，故有10=c ，最短边为 b ，于是由正弦定理，求得2=b ．9．A 【解析】22(1)sin 2sin (1)sin 0x A x B x C +++-=，由22224sin 4(sin sin )(sin sin )4(sin sin sin )0B AC A C B A C ∆=--+=-+>得222sin sin sin B C A +>，由正弦定理得 222b c a +>，所以，所以 A 为锐角，故选A. 10．C【解析】由tan tan 33tan tan A B A B ++=可设 3)tan(-=+B A ，则，所以．由余弦定理可得，即bb b 416)5(22-+=-，解得，所以＝.11．A【解析】由题意得，在 ABC ∆中，由正弦定理可得，又因为 B A 2=，所以，又因为锐角三角形，所以且，所以，所以2cos (2,3)B ∈，所以的取值范围是)3,2(，故选A ．12．C 【解析】在直角DAC∆中，60DAC ∠=，所以0tan 60tan 60603CD AD DAC =⋅∠=⋅=，在直角 DAB ∆中，15=∠DAB，所以0tan 60tan1560(23)BD AD DAB =⋅∠=⋅=-,所以河流的宽度60360(23)120(31)BC CD BD m=-=--=-，故选C.13．【答案】【解析】．故答案为．14． (1,2]-【解析】 试题分析：由 //p qu r r且(2,1)q a =r，(2,cos )p b c C =-u r，所以 2cos 1(2)a C b c =⨯-，由正弦定理，得2sin cos 2sin sin A C B C=-，又因为sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，所以2cos sin sin 0A C C -=，所以，即，所以，又由，所以，因为，得，所以，可得，，即三角式的取值范围是(1,2]-.15．【解析】由 ABC ∆的三边 a b c ，，满足，所以，所以，所以 ()()()()c b c a a b a b b c +++=++，即为 222b ac ac =+-，所以，所以．16． 203或243【解析】C CB CD CB CD BD cos 2222•-+= 22CD 648CD 49CD 8CD 150=+-=⇒-+=203或 243．17．（Ⅰ）1； （Ⅱ）见解析；（Ⅲ）﹣． 【解析】（I ）∵f （x ）=2sin ωxcos ωx ﹣2sin 2ωx+=sin2ωx+cos2ωx=2sin （2ωx+）∵直线x=x 1，x=x 2是函数y=f （x ）的图象的任意两条对称轴，且|x 1﹣x 2|的最小值为，∴函数的最小正周期为π ∴=π ∴ω=1……………………………..3分（II ）由（I ）知，f （x ）=2sin （2x+）∴﹣+2k π≤2x+≤+2k π，k ∈Z ∴﹣+k π≤x ≤+k π，k ∈Z∴函数f （x ）的单调增区间为[﹣+k π， +k π]，k ∈Z ；………………………..6分 （III ）∵f （a ）=，∴sin （2a+）=∴sin （π﹣4a ）=sin[﹣2（2a+）]=﹣cos[2（2a+）]=2sin 2（2a+）﹣1=﹣．…………………………………………………………………………………………...10分18．（1）；（2）．【解析】（1） b a //Θ，，，=-∴x x 2sin cos 2……………………..4分（2）由正弦定理得，得或， a b >Θ，………………………………………………8分因此，，,即()∈x g ．…………………..12分19.20．（1）万米；（2）万米．【解析】（1）由题意知 ,PA AB PA AC ⊥⊥，则 ,PAC PAB ∆∆均为直角三角形，在 Rt PAC ∆中， 01,60PA PCA =∠=，解得在 Rt PAB ∆中， 01,30PA PBA =∠=，解得 3AB =又万米．………………………………………6分（2），又 030CAD ∠=，所以在 ADC ∆中，由正弦定理，万米．……………………………………..12分21．【答案】(1) 4c = ；3【解析】（1）由已知得tan 3A =-，所以.在 △ABC 中，由余弦定理得，即 22240c c +-=.解得： 6c =- (舍去)， 4c = .…………5分…………………………………………………………………………………………12分 22．（1）（2）【解析】 (1)由得，∴． ……………………………3分(2)由， 可得，于是，即，① 又O 为△ABC 的的外接圆圆心，则，=，②将①代入②得到 401624=+=解得．由正弦定理得可解得． (12)分。
高考专题7解三角形精准培优专练
培优点七 解三角形1．解三角形中的要素例1：ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2c =，6b =，60B =o ，则C =_____． 【答案】30C =o【解析】（1）由已知B ，b ，c 求C 可联想到使用正弦定理：sin sin sin sin b c c BC B C b=⇒=， 代入可解得：1sin 2C =．由c b <可得：60C B <=o ，所以30C =o ．2．恒等式背景例2：已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边， 且有cos 3sin 0a C a C b c +--=． （1）求A ；（2）若2a =，且ABC △的面积为3，求b ，c ． 【答案】（1）3π；（2）2，2． 【解析】（1）cos 3sin 0a C a C b c +--= sin cos 3sin sin sin sin 0A C A C B C ⇒+--=()sin cos 3sin sin sin sin 0A C A C A C C ⇒+-+-=sin cos 3sin sin sin cos sin cos sin 0A C A C A C C A C ⇒+---=，即13sin cos 12sin 1sin 662A A A A ππ⎛⎫⎛⎫-=⇒-=⇒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴66A ππ-=或566A ππ-=（舍），∴3A π=；（2）1sin 342ABC S bc A bc ==⇒=△，222222cos 4a b c bc A b c bc =+-⇒=+-，∴22224844b c bc b c bc bc ⎧⎧+-=+=⇒⎨⎨==⎩⎩，可解得22b c =⎧⎨=⎩．一、单选题1．在ABC △中，1a =，6A π∠=，4B π∠=，则c =（ ） A ．622+ B ．622- C ．62D ．22【答案】A【解析】由正弦定理sin sin a bA B =可得1sinsin 42sin sin 6a Bb A π⨯===π，且()()62cos cos cos cos sin sin 4C A B A B A B -=-+=--=-， 由余弦定理可得：2262622cos 1221242c a b ab C -+=+-=++⨯⨯⨯=．故选A ． 2．在ABC △中，三边长7AB =，5BC =，6AC =，则AB BC ⋅uu u v uu u v等于（ ）A ．19B ．19-C ．18D ．18-【答案】B【解析】∵三边长7AB =，5BC =，6AC =，∴22222275619cos 227535AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯， ()19cos 751935AB BC AB BC B ⎛⎫⋅=⋅π-=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭uu u v uu u v ．故选B ．3．在ABC △中，角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，若2cos c a B =，则三角形一定是（ ）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形【答案】C【解析】∵2cos c a B =，由正弦定理2sin c R C =，2sin a R A =，∴sin 2sin cos C A B =， ∵A ，B ，C 为ABC △的内角，∴()sin sin C A B =+，A ，()0,B ∈π，∴()sin 2sin cos A B A B +=，sin cos cos sin 2sin cos A B A B A B +=，整理得()sin 0A B -=， ∴0A B -=，即A B =．故ABC △一定是等腰三角形．故选C ．对点增分集训4．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3C π=，7c =，3b a =，则ABC △的面积为（ ） A ．334B ．234- C ．2 D ．234+ 【答案】A 【解析】已知3C π=，7c =，3b a =， ∴由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，可得：2222227937a b ab a a a a =+-=+-=， 解得：1a =，3b =，∴11333sin 132224ABC S ab C ==⨯⨯⨯=V ．故选A ． 5．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22a b bc -=，sin 23sin C B =，则A =（ ） A ．30︒ B ．60︒ C ．120︒ D ．150︒【答案】A【解析】根据正弦定理由sin 23sin C B =得：23c b =， 所以2223323a b bc b =⋅=-，即227a b =， 则22222221273cos 2243b c a b b b A bc b +-+-===，又()0,A ∈π，所以6A π=．故选A ． 6．设ABC △的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果()()3a b c b c a bc +++-=，且3a =，那么ABC △外接圆的半径为（ ） A ．1 B ．2 C ．2D ．4【答案】A【解析】因为()()3a b c b c a bc +++-=，所以()223b c a bc +-=，化为222b c a bc +-=，所以2221cos 22b c a A bc +-==，又因为()0,A ∈π，所以3A π=， 由正弦定理可得322sin 32aR A===，所以1R =，故选A ．7．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且222b c a bc +=+，若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC △的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形【答案】C【解析】因为2sin sin sin B C A ⋅=，所以2222b c a R R R ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭， 也就是2a bc =，所以222b c bc +=，从而b c =， 故a b c ==，ABC △为等边三角形．故选C ．8．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 且满足cos cos a B b A c -=，则ABC △是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形【答案】B【解析】利用正弦定理sin sin sin a b cA B C==化简已知的等式得： sin cos sin cos sin A B B A C -=，即()sin sin A B C -=， ∵A ，B ，C 为三角形的内角，∴A B C -=，即2A B C π=+=， 则ABC △为直角三角形，故选B ．9．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为315，2b c -=，1cos 4A =-，则a 的值为（ ）A ．8B ．16C ．32D ．64【答案】A【解析】因为0A <<π，所以215sin 1cos 4A A =-=， 又115sin 31528ABC S bc A bc ===V ，∴24bc =，解方程组224b c bc -=⎧⎨=⎩得6b =，4c =， 由余弦定理得2222212cos 64264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以8a =．故选A ．10．在ABC △中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边．若()sin cos 0b a C C +-=，则A =（ ） A ．4π B ．3π C ．34π D ．23π 【答案】C【解析】()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，∵()sin cos 0b a C C +-=，可得：()sin sin sin cos 0B A CC +=﹣，∴sin cos cos sin sin sin sin cos 0A C A C A C A C ++-=，∴cos sin sin sin 0A C A C +=， ∵sin 0C ≠，∴cos sin A A =-，∴tan 1A =-， ∵2A π<<π，∴34A =π．故答案为C ． 11．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c o s c o s c o s ab c A B C==，则ABC△是（ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形【答案】D 【解析】∵cos cos cos a b cA B C==，由正弦定理得：2sin a R A =⋅，2sin b R B =⋅，2sin c R C =⋅代入， 得sin sin sin cos cos cos A B CA B C==，∴进而可得tan tan tan A B C ==， ∴A B C ==，则ABC △是等边三角形．故选D ．12．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知23a =，22c =，tan 21tan A cB b+=， 则C ∠=（ ） A ．6π B ．4π C ．4π或34π D ．3π【答案】B【解析】利用正弦定理，同角三角函数关系，原式可化为：sin cos 2sin 1cos sin sin A B CA B B+=，去分母移项得：sin cos sin cos 2sin cos B A A B C A +=， 所以()sin sin 2sin cos A B C C A +==，所以1cos 2A =．由同角三角函数得3sin 2A =，由正弦定理sin sin a c A C =，解得2sin 2C =所以4C π∠=或34π（舍）．故选B ．二、填空题13．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，22c =，2216b a -=，则角C 的最大值为_____； 【答案】6π【解析】在ABC △中，由角C 的余弦定理可知222222222332cos 2242b a a b a bc a b C ab ab ab -+-+-+===≥， 又因为0C <<π，所以max 6C π=．当且仅当22a =，26b =时等号成立．14．已知ABC △的三边a ，b ，c 成等比数列，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，则sin cos B B +的取值范围是_________． 【答案】(12⎤⎦，【解析】∵ABC △的三边a ，b ，c 成等比数列，∴2222cos 22cos ac b a c ac B ac ac B ==+-≥-，得1cos 2B ≥，又∵0B <<π，∴03B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，74412B πππ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦，，可得(sin cos 2sin 124B B B π⎛⎫⎤+=+∈ ⎪⎦⎝⎭，，故答案为(12⎤⎦，． 15．在ABC △中三个内角A ∠，B ∠，C ∠，所对的边分别是a ，b ，c ，若()2s i nc o s 2s i n c o s b C A A C +=-，且23a =，则ABC △面积的最大值是________【答案】3【解析】∵()2sin cos 2sin cos b C A A C +=-，∴()()cos 2sin cos sin cos 2sin 2sin b A C A A C A C B =-+=-+=-， 则2sin cos b B A -=，结合正弦定理得223cos sin sin a A A A-==，即tan 3A =-，23A ∠=π 由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==-，化简得22122b c bc bc +=-≥， 故4bc ≤，113sin 43222ABC S bc A =≤⨯⨯=△，故答案为3．16．在锐角ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，3b =，则ABC △面积的取值范围是__________． 【答案】33324⎛⎤⎥ ⎝⎦，【解析】∵ABC △中A ，B ，C 成等差数列，∴3B π=．由正弦定理得32sin sin sin sin 3a c b A C B ====π，∴2sin a A =，2sin c C =， ∴132sin 3sin sin 3sin sin 243ABC S ac B ac A C A A π⎛⎫====- ⎪⎝⎭△ 23133331cos 23sin cos sin sin cos sin sin 22222422AA A A A A A A ⎛⎫-=+=+=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭ 33333sin 2cos 2sin 2444264A A A π⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭， ∵ABC △为锐角三角形，∴022032A A π⎧<<⎪⎪⎨ππ⎪<-<⎪⎩，解得62A ππ<<．∴52666A πππ<-<，∴1sin 2126A π⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，∴33333sin 222644A π⎛⎫<-+≤ ⎪⎝⎭，故ABC △面积的取值范围是33324⎛⎤ ⎥ ⎝⎦，．三、解答题17．己知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，且3cos 2sin a A c C+=． （1）求角A 的大小；（2）若5b c +=，且ABC △的面积为3，求a 的值． 【答案】（1）23π；（2）21． 【解析】（1）由正弦定理得，3sin cos 2sin sin A A C C+=， ∵sin 0C ≠，∴3sin cos 2A A -=，即sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．∵0A <<π∴666A ππ5π-<-<，∴62A ππ-=，∴23A π=．（2）由3ABC S =△可得1sin 32S bc A ==．∴4bc =，∵5b c +=，∴由余弦定理得：()22222cos 21a b c bc A b c bc =+-=+-=， ∴21a =．18．如图，在ABC △中，点D 在BC 边上，60ADC ∠=︒，27AB =，4BD =．．（1）求ABD △的面积．（2）若120BAC ∠=o ，求AC 的长． 【答案】（1）23；（2）7． 【解析】（1）由题意，120BDA ∠=︒在ABD △中，由余弦定理可得2222cos120AB BD AD BD AD =+-⋅⋅︒ 即2281642AD AD AD =++⇒=或6AD =-（舍），∴ABD △的面积113sin 4223222S DB DA ADB =⋅⋅⋅∠=⨯⨯⨯=． （2）在ABD △中，由正弦定理得sin sin AD ABB BDA=∠， 代入得21sin 14B =，由B 为锐角，故57cos 14B =，所以()21sin sin 60sin 60cos cos60sin 7C B B B =︒-=︒-︒=， 在ADC △中，由正弦定理得sin sin AD ACC CDA=∠， ∴221372AC=，解得7AC =．。
高三数学数学三角函数与解三角形多选题的专项培优练习题(及答案
高三数学数学三角函数与解三角形多选题的专项培优练习题(及答案一、三角函数与解三角形多选题1．设函数()2sin sin 2cos2f x x x =++，给出下列四个结论：则正确结论的序号为（ ） A ．()20f >B ．()f x 在53,2ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递增 C ．()f x 的值域为[]12cos2,32cos2-++ D ．()f x 在[]0,2π上的所有零点之和为4π 【答案】ABD 【分析】由()23sin 22cos2f =+，结合3224ππ<<，可判定A 正确；作出函数2sin sin y x x =+的图象，可得函数()f x 的值域及单调性，可判定B 正确，C 不正确；结合函数的图象，可得()f x 在[]0,2π上的所有零点之和，可判定D 正确. 【详解】由题意，函数()2sin sin 2cos2f x x x =++， 可得()22sin 2sin 22cos23sin 22cos2f =++=+ 因为3224ππ<<，所以sin 2cos20>->，所以()20f >，所以A 正确； 由3sin ,222sin sin ,sin ,222x k x k y x x k Z x k x k πππππππ≤≤+⎧=+=∈⎨-+≤≤+⎩，作出函数2sin sin y x x =+的图象，如图所示， 可得函数()f x 是以2π为周期的周期函数，由函数2sin sin y x x =+的图象可知，函数()f x 在3(,)2ππ上单调递增， 又由()f x 是以2π为周期的周期函数，可得函数()f x 在5(3,)2ππ--上单调递增， 所以B 是正确的；由由函数2sin sin y x x =+的图象可知，函数()f x 的值域为[2cos 2,32cos 2]+， 所以C 不正确； 又由2223ππ<<，所以1cos 202-<<，则02cos21<-<， 令()0f x =，可得2sin sin 2cos2x x +=-，由图象可知，函数()f x 在[]0,2π上的所有零点之和为4π，所以D 正确. 故选：ABD.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查转化思想，以及数形结合思想的应用，以及推理与运算能力，属于中档试题.2．已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x B A ωϕωϕ=++>><<的部分自变量、函数值如下表所示，下列结论正确的是（ ）．xπ3 7π12x ωϕ+0 π2π3π22π()f x 25A ．函数解析式为()5π3sin 226f x x ⎛⎫ ⎝=⎪⎭++ B ．函数()f x 图象的一条对称轴为2π3x =- C ．5π,012⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心 D ．函数()f x 的图象左平移π12个单位，再向下移2个单位所得的函数为奇函数 【答案】ABD 【分析】首先根据表格，利用最值求A 和B ，再根据周期求ω，以及根据最小值点求ϕ，求得函数的解析式，再分别代入23x π=-和512x π=-，判断BC 选项，最后根据平移规律求平移后的解析式. 【详解】由表格可知，2B =， 函数的最大值是5，所以25A B A +=+=，即3A =，当3x π=时，函数取得最小值，最小值点和相邻的零点间的距离是71234πππ-=，所以12244ππωω⨯=⇒=， 当3x π=时，322,32k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得：526k πϕπ=+，0ϕπ<<， 56πϕ∴=，所以函数()53sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故A 正确； B.当23x π=-时，252362πππ⎛⎫⨯-+=- ⎪⎝⎭，能使函数取得最小值，所以23x π=-是函数的一条对称轴，故B 正确； C.当512x π=-时，5520126ππ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，此时2y =，所以5,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数的一个对称中心，故C 不正确； D.函数向左平移12π个单位后，再向下平移2个单位后，得()53sin 2223sin 23sin 2126y x x x πππ⎡⎤⎛⎫=+++-=+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，函数是奇函数，故D 正确.故选：ABD 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证次区间是否是函数sin y x =的增或减区间．3．将函数()2πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度后得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．π4g ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．π,06⎛⎫⎪⎝⎭是函数()g x 图象的一个对称中心 C ．函数()g x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．函数()g x 在ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是⎡⎢⎣⎦【答案】BC 【分析】首先求得函数()sin 23g x x π=-⎛⎫⎪⎝⎭，再根据选项，整体代入，判断函数的性质. 【详解】()2sin 2sin 2633g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1sin 462g ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；sin 0633g πππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,,33622x πππππ⎡⎤⎡⎤-∈-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以函数()g x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增，故C 正确；,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当232x ππ-=-时，函数取得最小值-1，当233x ππ-=时，函数取得最大值2，所以函数的值域是1,2⎡-⎢⎣⎦.故选：BC 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.4．已知函数()()3sin 222f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线3x π=对称，则（ ）A ．函数12f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数 B ．函数()f x 在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．函数()f x 的图象向右平移()0a a >个单位长度得到的函数的图象关于6x π=对称，则a 的最小值是3πD ．若方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不同实根1x ，2x ，则12x x -的最大值为3π【答案】ACD 【分析】 由条件可得13f π⎛⎫=±⎪⎝⎭，可得6πϕ=-从而得出()f x 的解析式, 选项A 先得出12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的表达式，可判断；选项B 求出函数的单调区间，可判断；选项C 根据图象平移变换得出解析式，可得答案；选项D 作出函数的图像，根据图象可判断. 【详解】 根据条件可得23sin 333f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2,32k k Z ππϕπ+=+∈ 则,6k k Z πϕπ=-∈，由22ππϕ-<<，所以6πϕ=-所以()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭选项A. 3sin 212f x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭为奇函数，故A 正确. 选项B. 由3222262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 2522233k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 536k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 当0k =时，536x ππ≤≤，所以函数()f x 在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故选项B 不正确. 选项C. 函数()f x 的图象向右平移()0a a >个单位长度得到, ()3sin 23sin 2266y x a x a ππ⎡⎤⎛⎫=--=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ 根据条件可得当6x π=时，3sin 23sin 23366a a πππ⎛⎫⎛⎫--=-=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2,62a k k Z πππ-=+∈,则1,26a k k Z ππ=--∈ 由0a >，则当1k =-时，a 有的最小值是3π，故C 正确. 选项D. 作出()3sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，如图当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由()3f x =，可得3x π= 由33sin 662f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由()32f x =，可得2x π= 当332a ≤<时，方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不同实根1x ，2x ，则1x +223x π= 设1x <2x ，则1211122233x x x x x ππ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，162x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，如图当32a =时，1x ，2x 分别为6π，2π时，12x x -最大，最大值为3π，故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点睛：本题考查三角函数()sin y A x ωϕ=+的图像性质，考查三角函数的图象变换，解答本题的关键是根据正弦型函数的对称性求出ϕ的值，根据三角函数的对称性得到1211122233x x x x x ππ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，162x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，，属于中档题.5．下列结论正确的是（ ）A ．在三角形ABC 中，若AB >，则sin sin A B > B ．在锐角三角形ABC 中，不等式2220b c a +->恒成立 C ．若sin 2sin 2A B =，则三角形ABC 为等腰三角形D ．在锐角三角形ABC 中,sin sin cos cos A B A B +>+ 【答案】ABD 【分析】由正弦定理及三角形性质判断A ，由余弦定理判断B ，由正弦函数性质判断C ，利用锐角△ABC 这个条件,可得2A B π+>，结合三角函数的单调性比较sin A 与cos B 大小即可判断D ． 【详解】ABC 中，A B a b >⇔>，由sin sin a bA B=，得sin sin A B >，A 正确； 在锐角三角形ABC 中，222222cos 0,02b c a A b c a bc+-=>∴+->，B 正确；ABC 中，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22180A B ︒+=，即A B =或90A B ︒+=，ABC 为等腰三角形或直角三角形，C 错误；在锐角三角形ABC 中,2A B π+>,022A B ππ∴>>->,sin sin 2A B π⎛⎫∴>- ⎪⎝⎭,即sin cos A B >，同理：sin cos B A >sin sin cos cos A B A B ∴+>+，D 正确.故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题考查正弦定理，余弦定理，正弦函数的性质，诱导公式等，学会公式的灵活应用是解答本题的关键.6．已知函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．23ϕπ=B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 的图象关于直线12x π=对称D ．()f x 的图象关于点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】BCD利用图象，把(代入求ϕ,利用周期求出2ω=，从而2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，研究对称轴和对称中心. 【详解】由图可知2sin ϕ=sin 2ϕ=，根据图象可知0x =在()f x 的单调递增区间上，又0ϕπ<<，所以3πϕ=，A 项错误；因为()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以结合图像，由五点法得33ωπππ+=，解得2ω=，则()f x 的最小正周期2T ππω==，B 项正确；将12x π=代入2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得2sin 21263f πππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象关于直线12x π=对称，C 项正确﹔将56x π=代入可得552sin 0633f πππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点5,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，D 项正确. 故选：BCD. 【点睛】求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.7．设函数()()1sin 022f x x x πωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[]0,π有且仅有3个零点，则（ ）A ．在()0,π上存在1x 、2x ，满足()()122f x f x -=B ．()f x 在()0,π有且仅有1个最小值点C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D ．ω的取值范围是1723,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】AD化简函数()f x 的解析式为()sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令6t x πω=+，由[]0,x π∈可求得,66t ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，作出函数sin ,066y t t ππωπω⎛⎫=≤≤+> ⎪⎝⎭的图象，可判断AB 选项的正误；由图象得出346ππωππ≤+<可判断D 选项的正误；取3ω=，利用正弦型函数的单调性可判断C 选项的正误. 【详解】()3131sin sin sin cos sin 2226f x x x x x x ππωωωωω⎛⎫⎛⎫=++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当[]0,x π∈时，,666x πππωωπ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，令6t x πω=+，则,66t ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，作出函数sin ,066y t t ππωπω⎛⎫=≤≤+> ⎪⎝⎭的图象如下图所示：对于A 选项，由图象可知，max 1y =，min 1y =-，所以，在()0,π上存在1x 、2x ，满足()()122f x f x -=，A 选项正确； 对于B 选项，()f x 在()0,π上有1个或2个最小值点，B 选项错误； 对于D 选项，由于函数()f x 在[]0,π有且仅有3个零点，则346ππωππ≤+<，解得172366ω≤<，D 选项正确； 对于C 选项，由于172366ω≤<，取3ω=，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，53663x πππ<+<， 此时，函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，C 选项错误. 故选：AD. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用正弦型函数在区间上的零点个数判断正弦型函数的基本性质，解本题的关键在于换元6t x πω=+，将问题转化为函数sin y t =在区间,66ππωπ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的零点个数问题，数形结合来求解.8．已知函数()cos f x x x =-，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称B ．()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 C ．()f x 在()0,2π上有且仅有1个最小值点 D ．()f x 的值域为[]1,2- 【答案】BC 【分析】利用特殊值法可判断A 选项的正误；化简函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的解析式，利用正弦型函数的单调性可判断B 选项的正误；由()()f x f x π+=可得()f x 的周期为π，再在[]0,π上讨论函数()f x 的单调性、最值，可判断CD 选项的正误.【详解】对于A 选项，因为06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭62f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 的图象不关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，故A 错误；对于B 选项，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，27,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以，函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，B 选项正确； 对于C 选项，()()()cos sin cos f x x x x x πππ+=+-+=--()cos x x f x =-=，所以π为函数()f x 的周期.当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()()min 01f x f ==-，()max 2f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭ 由B 选项可知，函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()max 2f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭()()min1f x f π==-.所以，函数()f x 在()0,2π上有且只有1个最小值点，C 选项正确；对于D 选项，由C 选项可知，函数()f x 的值域为⎡-⎣，D 选项错误.故选：BC. 【点睛】方法点睛：求函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间[],a b 上值域的一般步骤： 第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或()cos y A x k ωϕ=++的形式；第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或()cos x ωϕ+)的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值）.二、数列多选题9．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，*n ∈N ，下列四个命题中不正确的有（ ） A ．若0q ≠，且对于*212,n n n n a a a ++∀∈=N ，则数列{}n a 为等比数列B ．若nn S Aq B =+（非零常数q ，A ，B 满足1q ≠，0A B +=），则数列{}n a 为等比数列C ．若数列{}n a 为等比数列，则232,,,n n n n n S S S S S --仍为等比数列D ．设数列{}n a 是等比数列，若123a a a <<，则{}n a 为递增数列 【答案】AC 【分析】若0n a =，满足对于*212,n n n n a a a ++∀∈=N ，但数列{}n a 不是等比数列，可判断A ；利用n a 与n S 的关系，可求得数列{}n a 的通项公式，可判断B ；若数列{}n a 为等比数列，当公比1q =-，且n 为偶数时，此时232,,,n n n n n S S S S S --均为0，可判断C ；设数列{}n a 是等比数列，且公比为q ，若123a a a <<，即1211a a q a q <<，分类讨论10a >与10a <两种情况，可判断D ； 【详解】对于A ，若0n a =，满足对于*212,n n n n a a a ++∀∈=N ，但数列{}n a 不是等比数列，故A 错误；对于B ，当2n ≥时，()111(1)nn n n n n a S S Aq B AqB Aq q ---=-=+-+=-且1q ≠；当1n =时，0A B +=，则()111a S Aq B A q ==+=-符合上式，故数列{}n a 是首项为()1A q -公比为q 的等比数列，故B 正确；对于C ，若数列{}n a 为等比数列，当公比1q =-，且n 为偶数时，此时232,,,n n n n n S S S S S --均为0，不为等比数列，故C 错误；对于D ，设数列{}n a 是等比数列，且公比为q ，若123a a a <<，即1211a a q a q <<，若10a >，可得21q q <<，即1q >，则{}n a 为递增数列；若10a <，可得21q q >>，即01q <<，则{}n a 为递增数列；故D 正确；故选：AC 【点睛】结论点睛：本题考查等比数列通项公式及和的性质，等比数列和的性质：公比为1q ≠-的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则232,,,n n n n n S S S S S --仍成等比数列，其公比为n q ；同理等差数列和的性质：公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列232,,,m m m m m S S S S S --构成等差数列，公差为md ，考查学生的分析能力，属于中档题.10．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，且112n n n S a a +=⋅-，则（ ）A ．12d =B ．11a =C ．数列{}n a 中可以取出无穷多项构成等比数列D ．设(1)nn n b a =-⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2n T n =【答案】AC 【分析】利用已知条件可得11212n n n S a a +++=-与已知条件两式相减，结合{}n a 是等差数列，可求d的值即可判断选项A ，令1n =即可求1a 的值，可判断选项B ，分别计算{}n a 的通项即可判断选项C ，分别讨论两种情况下21212n n b b -+=，即可求2n T 可判断选项D. 【详解】 因为112n n n S a a +=-，所以11212n n n S a a +++=-， 两式相减，得()11212n n n n n a a a a da ++++=-=， 因为0d ≠，所以21d =，12d =，故选项 A 正确；当1n =时，1111122a a a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，易解得11a =或112a =-，故选项B 不正确；由选项A 、B 可知，当112a =-，12d =时，()1111222n na n =-+-⨯=-，{}n a 可取遍所有正整数，所以可取出无穷多项成等比数列，同理当()()1111122n a n n =+-⨯=+时也可以取出无穷多项成等比数列，故选项C 正确； 当()112n a n =+时，()221212n n b a n ==+，()212112112n n b a n n --=-=--+=-， 因为21221212n n n n b b a a --+=-+=， 所以()()()212342122n n n n T b b b b b b -=++++++=， 当12n n a =-时，2212112n n b a n n ==⨯-=-，2121213122n n n b a n ---⎛⎫=-=--=- ⎪⎝⎭， 所以22131122n n b b n n -+=-+-=， 此时()()()22212223212n n n n n nT b b b b b b ---=++++++=， 所以2n T n ≠，故选项D 不正确． 故选：AC. 【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解.。
2020年高考理科数学 《解三角形》题型归纳与训练及答案解析
2020年高考理科数学 《解三角形》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 正弦定理、余弦定理的直接应用例1ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin()8sin2BA C +=． (1)求cos B(2)若6a c +=，ABC ∆面积为2，求b ． 【答案】（1）15cos 17B =（2）2b =． 【解析】由题设及A B C π++=得2sin 8sin2BB =，故sin 4(1cos )B B =-． 上式两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=， 解得cos 1B =（舍去），15cos 17B =.（2）由15cos 17B =得8sin 17B =，故14sin 217ABC S ac B ac ∆==． 又2ABC S ∆=，则172ac =． 由余弦定理及6a c +=得22222cos ()2(1cos )b a c ac B a c ac B =+-=+-+1715362(1)4217=-⨯⨯+=． 所以2b =．【易错点】二倍角公式的应用不熟练，正余弦定理不确定何时运用 【思维点拨】利用正弦定理列出等式直接求出例2 ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos b B a C c A =+,则B = . 【答案】π3【解析】1π2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23B B AC C A A C B B B =+=+=⇒=⇒=.【易错点】不会把边角互换，尤其三角恒等变化时，注意符号。
【思维点拨】边角互换时，一般遵循求角时，把边换成角；求边时，把角转换成边。
例3在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若b ＝1，c ＝3，C ＝23π，则S △ABC ＝________.【答案】34【解析】因为c ＞b ，所以B ＜C ，所以由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，即1sin B ＝3sin 2π3＝2，即sin B ＝12，所以B＝π6，所以A ＝π－π6－2π3＝π6.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×12＝34. 【易错点】大边对大角，应注意角的取值范围【思维点拨】求面积选取公式时注意，一般选取已知角的公式，然后再求取边长。
20届高三北清华五精准培优专练数学(理)
A． f 0 f (6.5) f (1)
B． f (6.5) f 0 f (1)
C． f (1) f (6.5) f 0
D． f (1) f 0 f (6.5)
11．对任意的实数 x 都有 f (x 2) f x 2 f 1 ，若 y f (x 1) 的图象关于 x 1 对称，且 f 0 2 ，
函数 g x f x ax 有三个不同零点，则实数 a 的取值范围是（ ）
A．
ln 3 3
,
1 e
3．零点的性质
B．
ln 3 9
,
1 3e
C．
ln 3 9
,
1 2e
D．
ln 3 9
,
ln 3 3
例
3：已知定义在 R
上的函数
D．
1 2
,
2 3
５．轴对称
例５：已知定义域为 R 的函数 y f x 在 0,7 上只有 1 和 3 两个零点，且 y f x 2 与 y f x 7
都是偶函数，则函数 y f x 在 0, 2013 上的零点个数为（ ）
D． 2 2, 2 2
二、填空题
1
13．设函数 f x 0
1
x0
x 0 ， g x x2 f (x 1) ，则函数 g x 的递减区间是_______．
x0
14．若函数
f
x
(x R) 是周期为 4 的奇函数，且在[0, 2] 上的解析式为
f
x
满足：
f
x
2020届高考数学专题七解三角形精准培优专练理
培优点七 解三角形例1：ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos 2sin a C c A b A +=，则A 的值 为（）A ．5π6B ．π6C ．2π3D ．π6或5π6【答案】D【解析】由cos cos 2sin a C c A b A +=，结合正弦定理可得sin cos sin cos 2sin sin A C C A B A +=． 即sin()2sin sin A C B A +=，故sin 2sin sin B B A =．又sin 0B ≠，可得1sin 2A =，故π6A =或5π6．故选D ．例2：在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1bc =，2cos 0b c A +=，则当角B 取得最大值时，ABC △的周长为（）A ．2B ．2+C ．3D ．3+【答案】A 【解析】由已知2cos 0b c A +=，得222202b c a b c bc+-+⋅=，整理得2222b a c =-． 二、余弦定理的运用 一、正弦定理的运用由余弦定理，得222223cos 24a c b a c B ac ac +-+==≥=a =时等号成立， 此时角B取得最大值，将a =，代入2222b a c =-，可得b c =． 又1bc =，所以1b c ==，a =ABC △的周长为2+．故选A ．例3：在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b ac =，且sin C B =，则ABC △的最小内角的余弦值为（） A ． B C D ．34【答案】C【解析】由sin C B =及正弦定理，得c =．又2b ac =，所以b =，所以2c a =，所以A 为ABC △的最小内角． 由余弦定理，知222222cos 28b c a A bc +-===，故选C ．一、选择题 1．在平面四边形ABCD 中，90D ∠=︒，120BAD ∠=︒，1AD =，2AC =，3AB =，对点增分集训三、正弦定理与余弦定理的综合则BC =（）A B C D ．【答案】C【解析】如图，在ACD △中，90D ∠=︒，1AD =，2AC =，所以60CAD ∠=︒．又120BAD ∠=︒，所以60BAC BAD CAD ∠=∠-∠=︒．在ABC △中，由余弦定理得2222cos 7BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=，所以BC =C ．2．在ABC △中，三边长分别为a ，2a +，4a +，最小角的余弦值为1314，则这个三角形的面积为（）A ．4B ．154C ．4D ．4 【答案】A【解析】由条件知长为a 的边对应的角最小，设为A ，则由余弦定理，得222(2)(4)13cos 2(2)(4)14a a a A a a +++-==++，解得3a =或2a =-（舍去），。
江苏省2020届高考数学二轮复习 专题7 三角恒等变换与解三角形
江苏省2020届高考数学（苏教版）二轮复习专题7 三角恒等变换与解三角形回顾2020～2020年的考题，在填空题中主要考查了三角公式的运用、正、余弦定理的运用.在解答题中有2020、2020年主要考查了三角化简求值，2020年考查了向量与三角化简的综合问题，2020年考查角的恒等变换及正、余弦定理.在近五年的应用题考查中，有两年考查了与三角函数有关的应用题.,在近四年的考查中，同角三角函数关系与诱导公式没有两角和与差的公式考查力度大，但作为三角化简的基本功还是要掌握的.预测在2020年的高考题中：1填空题依然是考查简单的三角函数化简、解三角形，随着题目设置的顺序，难度不一.2在解答题中，三角函数的化简、三角函数的性质与解三角形和平面向量的交汇问题仍是考查的重点.1．(2020·南京名校4月阶段性考试)若sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.解析：由题意得tan α＋1tan α－1＝3.所以tan α＝2.又tan(α－β)＝2，所以tan(β－α)＝－2. 所以(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝tan β－α－tan α1＋tan β－αtan α＝43.答案：432.1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°(tan －15°－tan 5°)＝________.解析：原式＝2cos 210°4sin 10°cos 10°－sin 10°⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 5°sin 5°－sin 5°cos 5°＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin 30°－10°2sin 10°＝cos 10°－2sin 30° cos 10°＋2cos 30° sin 10°2sin 10°＝cos 30°＝32. 答案：323．在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则ACcos A 的值等于________，AC 的取值范围为________．解析：设A ＝θ，则B ＝2θ.由正弦定理得AC sin 2θ＝BCsin θ，∴AC2cos θ＝1⇒ACcos θ＝2. 由锐角△ABC 得0°<2θ<90°⇒0°<θ<45°，又0°<180°－3θ<90°⇒30°<θ<60°，故30°<θ<45°⇒22<cos θ<32， ∴AC ＝2cos θ∈(2，3)． 答案：2 (2，3)4．(2020·西安名校三检)在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 所对的边，S 为△ABC 的面积．若向量p ＝(4，a 2＋b 2－c 2)，q ＝(3，S )，满足p ∥q ，则∠C ＝________.解析：由p ∥q ⇒4S －3(a 2＋b 2－c 2)＝0，又4S ＝4×12ab sin ∠C ＝3(a 2＋b 2－c 2)，可得sin ∠C ＝3×a 2＋b 2－c 22ab ＝3cos ∠C ，即tan ∠C ＝3，故∠C ＝π3.答案：π35．在△ABC 中，A 为最小角，C 为最大角，已知cos(2A ＋C )＝－43，sin B ＝45，则cos 2(B＋C )＝________.解析：∵A 为最小角，∴2A ＋C ＝A ＋A ＋C <A ＋B ＋C ＝180°. ∵cos(2A ＋C )＝－45，∴sin(2A ＋C )＝35.∵C 为最大角，∴B 为锐角． 又sin B ＝45，故cos B ＝35.即sin(A ＋C )＝45，cos(A ＋C )＝－35.∵cos(B ＋C )＝－cos A ＝－cos[(2A ＋C )－(A ＋C )]＝－2425，∴cos 2(B ＋C )＝2cos 2(B ＋C )－1＝527625.答案：527625[典例1]已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35.(1)用α＋β，α－β表示2α；(2)求sin 2α，cos 2α的值． [解] (1)2α＝(α－β)＋(α＋β)．(2)因为π2<β<α<3π4，所以0<α－β<π4，π<α＋β<3π2.又因为cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，所以sin(α－β)＝1－cos 2α－β＝513，cos(α＋β)＝－1－sin 2α＋β＝－45. 所以sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β) ＝513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－5665， cos 2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)]＝cos(α－β)cos(α＋β)－sin(α－β)sin(α＋β) ＝1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－3365.三角函数式的化简、求值，常从角的差异入手，寻求条件与结论之间的关系，通过三角恒等变换消除差异，使问题获解．[演练1]已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝14，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－x ＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫11π6－x 的值为________．解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－x ＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫11π6－x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＋sin 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝516.答案：516[典例2](2020·南通第一次调研)在斜三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . (1)若2sin A cos C ＝sin B ，求a c的值； (2)若sin(2A ＋B )＝3sin B ，求tan Atan C 的值．[解] (1)由正弦定理得sin A sin B ＝ab.从而2sin A cos C ＝sin B 可化为2a cos C ＝b .由余弦定理得2a ×a 2＋b 2－c 22ab＝b .整理得a ＝c ，即ac＝1.(2)在斜三角形ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以sin(2A ＋B )＝3sin B 可化为sin[π＋(A －C )]＝3sin[π－(A ＋C )]， 即－sin(A －C )＝3sin(A ＋C )．故－sin A cos C ＋cos A sin C ＝3(sin A cos C ＋cos A sin C )． 整理得4sin A cos C ＝－2cos A sin C ， 因为△ABC 是斜三角形，所以cos A cos C ≠0， 所以tan A tan C ＝－12.解三角形常用的工具是正弦定理和余弦定理，要熟悉它们的使用的条件，合理选用．解三角形常与三角恒等变换、三角求值综合考查，要注意三角形中角的限制条件．[演练2]在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若1＋tan A tan B ＝2cb ，则角A 的大小为________．解析：由1＋tan A tan B ＝2c b ，得sin A ＋B cos A sin B ＝2sin Csin B ，即cos A ＝12，故A ＝π3.答案：π3[典例3](2020·安徽高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ；则下列命题正确的是________．①若ab >c 2，则C <π3；②若a ＋b >2c ，则C <π3；③若a 3＋b 3＝c 3，则C <π2；④若(a ＋b )c <2ab ，则C >π2；⑤若(a 2＋b 2)c 2<2a 2b 2，则C >π3. [解析] ①ab >c 2⇒cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab >2ab －ab 2ab ＝12⇒C <π3；②a ＋b >2c ⇒cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab >4a 2＋b 2－a ＋b28ab≥12⇒C <π3； ③当C ≥π2时，c 2≥a 2＋b 2⇒c 3≥a 2c ＋b 2c >a 3＋b 3与a 3＋b 3＝c 3矛盾；④取a ＝b ＝2，c ＝1满足(a ＋b )c <2ab 得C <π2；⑤取a ＝b ＝2，c ＝1满足(a 2＋b 2)c 2<2a 2b 2得C <π3.[答案] ①②③利用正、余弦定理可实现三角形中的边角转化，常用方法是：①化边为角结合内角和定理求解；②化角为边结合勾股定理、三边关系求解．[演练3]在△ABC 中，sin A ＝sin B ＋sin Ccos B ＋cos C ，判断这个三角形的形状．解：应用正弦定理、余弦定理，可得a ＝b ＋c c 2＋a 2－b 22ca ＋a 2＋b 2－c22ab，所以b (a 2－b 2)＋c (a 2－c 2)＝bc (b ＋c )．所以(b ＋c )a 2＝(b 3＋c 3)＋bc (b ＋c )． 所以a 2＝b 2－bc ＋c 2＋bc .所以a 2＝b 2＋c 2. 所以△ABC 是直角三角形．[专题技法归纳](1)在三角化简、求值、证明中，表达式往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中的角，使问题获解．如角的变形：15°＝45°－30°＝60°－45°＝30°2，α＝(α＋β)－β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β－⎝⎛⎭⎪⎫β－α2，2α＝(α＋β)＋(α－β)＝⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α.特别地，π4＋α与π4－α为互余角，它们之间可以互相转化，在三角变形中使用频率高．(2)两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视，通过向量的数量积把三角形和三角函数联系起来，用向量方法证明两定理，突出了向量的工具性，是向量知识应用的实例．另外，利用正弦定理解三角形时可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解．1．(2020·连云港调研)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋bc ，sin C ＝2sin B ，则A ＝________.解析：由sin C ＝2sin B ，得c ＝2b .又a 2＝b 2＋bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝c 2－bc 2bc ＝4b 2－2b 24b2＝12，所以A ＝π3. 答案：π32．设α∈⎝⎛⎭⎪⎫π4，3π4，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝513，则sin(α＋β)＝________.解析：α∈⎝⎛⎭⎪⎫π4，3π4，α－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，又cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝45.∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴3π4＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝513，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－1213.∴sin(α＋β)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β－π2 ＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋45×513＝5665. 即sin(α＋β)＝5665.答案：56653．已知sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan(π－β)＝12，则tan(α－2β)＝________. 解析：∵sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－45. 则tan α＝－34.由tan(π－β)＝12，可得tan β＝－12，tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－121－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝－43. tan(α－2β)＝tan α－tan 2β1＋tan α·tan 2β＝－34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－431＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝724.答案：7244.如图，l 1、l 2、l 3是同一平面内的三条平行直线，l 1与l 2间的距离是1，l 2与l 3间的距离是2，正三角形ABC 的三顶点分别在l 1、l 2、l 3上，则△ABC 的边长是________．解析：因为l 1、l 2、l 3是同一平面内的三条平行直线，l 1与l 2间的距离是1，l 2与l 3间的距离是2，所以过A 作l 2的垂线，交l 2、l 3分别于点D 、E ，如图，则∠BAD ＝∠BAC ＋∠CAE ，即∠BAD ＝60°＋∠CAE ，记正三角形ABC 的边长为a ，两边取余弦得1a ＝cos 60°·cos ∠CAE －sin 60°sin ∠CAE ，即1a ＝12×3a －32×a 2－32a 整理得，3a 2－9＝1，解之得，a ＝2213.答案：22135．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值是________．解析：tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan α－β＋tan β1－tan α－βtan β＝13，tan(2α－β)＝tan α－β＋tan α1－tan α－βtan α＝1.∵tan β＝－17，∴β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π， ∴2α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π4.∴2α－β＝－3π4.答案：－3π46．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，B ＝30°，△ABC 的面积为32，那么b ＝________.解析：∵2b ＝a ＋c ，∴a 2＋c 2＝(a ＋c )2－2ac ＝4b 2－2ac .在△ABC 中，B ＝30°，△ABC 的面积32，所以12ac sin B ＝32，即a c ＝6，于是a 2＋c 2＝4b 2－12，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32，即4b 2－12－b 212＝32，解得b 2＝4＋23，于是b ＝1＋ 3. 答案：1＋ 37．△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，tan C ＝sin A ＋sin B cos A ＋cos B，sin(B －A )＝cosC ．则B ＝________.解析：因为tan C ＝sin A ＋sin B cos A ＋cos B ，即sin C cos C ＝sin A ＋sin Bcos A ＋cos B ，所以sin C cos A ＋sin C cos B ＝cos C sin A ＋cos C sin B ， 即sin C cos A －cos C sin A ＝cos C sin B －sin C cos B ， 得sin(C －A )＝sin(B －C )，所以C －A ＝B －C 或C －A ＝π－(B －C )(不成立)． 即2C ＝A ＋B ，得C ＝π3，所以B ＋A ＝2π3.又因为sin(B －A )＝cos C ＝12，则B －A ＝π6或B －A ＝5π6(舍去)，得A ＝π4，B ＝5π12.答案：5π12 8．已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，则四边形ABCD 的面积为________．解析：如图：连结BD ，则有四边形ABCD 的面积S ＝S △ABD ＋S △CDB ＝12·AB ·AD sin A ＋12·BC ·CD ·sin C .∵A ＋C ＝180°，∴sin A ＝sin C .故S ＝12(AB ·AD ＋BC ·CD )sin A ＝12(2×4＋6×4)·sin A ＝16sin A .由余弦定理，在△ABD 中，BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos A ＝20－16cos A ，在△CDB 中，BD 2＝CB 2＋CD 2－2CB ·CD ·cos C ＝52－48cos C ，∴20－16cos A ＝52－48cos C ．∵cos C ＝－cos A ，∴64cos A ＝－32，cos A ＝－12. 又0°<A <180°，∴A ＝120°，故S ＝16sin 120°＝8 3.答案：8 39．在正三角形ABC 的边AB 、AC 上分别取D 、E 两点，使沿线段DE 折叠三角形时，顶点A 正好落在边BC 上，在这种情况下，若要使AD 最小，则AD ∶AB ＝________.解析：按题意，设折叠后A 点落在边BC 上改称P 点，显然A 、P 两点关于折线DE 对称，又设∠BAP ＝θ，∴∠DPA ＝θ，∠BDP ＝2θ，再设AB ＝a ，AD ＝x ，∴DP ＝x .在△ABC 中，∠APB ＝180°－∠ABP －∠BAP ＝120°－θ，由正弦定理知：BP sin ∠BAP ＝AB sin ∠APB. ∴BP ＝a sin θsin 120°－θ.在△PBD 中，DP sin ∠DBP ＝BP sin ∠BDP， 所以BP ＝x ·sin 2θsin 60°，从而a sin θsin 120°－θ＝x sin 2θsin 60°， ∴x ＝a sin θ·sin 60°sin 2θ·sin 120°－θ＝3a 2sin 60°＋2θ＋3. ∵0°≤θ≤60°，∴60°≤60°＋2θ≤180°.∴当60°＋2θ＝90°，即θ＝15°时，sin(60°＋2θ)＝1，此时x 取得最小值3a 2＋3＝(23－3)a ，即AD 最小， ∴AD ∶DB ＝23－3.答案：23－310．(2020·江苏高考)设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为________． 解析：因为α为锐角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2425，cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝725，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4＝22×1725＝17250. 答案：1725011．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足A ＋C ＝2B .1cos A ＋1cos C ＝－2cos B ，求cos A －C 2的值． 解：由题设条件知B ＝60°，A ＋C ＝120°设α＝A －C2，则A －C ＝2α，可得A ＝60°＋α，C ＝60°－α，所以1cos A ＋1cos C ＝1cos 60°＋α＋1cos60°－α ＝112cos α－32sin α＋112cos α＋32sin α ＝cos α14cos 2α－34sin 2α＝cos αcos 2α－34， 依题设条件有cos αcos 2α－34＝－2cos B ， 又cos B ＝12，∴cos αcos 2α－34＝－2 2. 整理得42cos 2α＋2cos α－32＝0，即(2cos α－2)(22cos α＋3)＝0.∵22cos α＋3≠0，∴2cos α－2＝0.从而得cos A －C2＝22.12.(2020·苏锡调研)如图，在四边形ABCD 中，已知AB ＝13，AC ＝10，AD ＝5，CD ＝65，AB u u u r ·AC u u u r ＝50. (1)求cos ∠BAC 的值； (2)求sin ∠CAD 的值；(3)求△BAD 的面积．解：(1)因为AB u u u r ·AC u u u r ＝| AB u u u r || AC u u u r |cos ∠BAC ，所以cos ∠BAC ＝AB u u u r ·AC u u u r | AB u u u r || AC u u u r |＝5013×10＝513. (2)在△ADC 中，AC ＝10，AD ＝5，CD ＝65，由余弦定理得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝102＋52－6522×10×5＝35. 因为∠CAD ∈(0，π)，所以sin ∠CAD ＝ 1－cos 2∠CAD ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45. (3)由(1)知，cos ∠BAC ＝AB u u u r ·AC u u u r | AB u u u r || AC u u u r |＝513. 因为∠BAC ∈(0，π)，所以sin ∠BAC ＝1－cos 2∠BAC＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝1213. 从而sin ∠BAD ＝sin(∠BAC ＋∠CAD )＝sin ∠BAC ·cos ∠CAD ＋cos ∠BAC sin ∠CAD＝1213×35＋513×45＝5665. 所以S △BAD ＝12AB ·AD ·sin ∠BAD ＝12×13×5×5665＝28.。
2020版高考数学培优考前练理科通用版课件：3.2 解三角形基础题
解析:∵b2=a2+c2-2accos B, ∴(2c)2+c2-2×2c×c×12=62,
即 3c2=36,解得 c=2 3或 c=-2 3(舍去).
∴a=2c=4 3.
∴S△ABC=12acsin B=12×4 3×2 3 × 23=6 3.
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高考真题体验
典题演练提能
1.在△ABC中,若原点到直线xsin A+ysin B+sin C=0的距离为1,则此
与三角形有关的最值和范围问题
1.(2015全国Ⅰ·16)在平面四边形ABCD
中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB的取值范围是
答案:( 6 − 2, 6 + 2)
解析:如图. 作CE∥AD交AB于E, 则∠CEB=75°,∠ECB=30°.
在△CBE 中,由正弦定理得,EB= 6 − 2. 延长 CD 交 BA 的延长线于 F,则∠F=30°. 在△BCF 中,由正弦定理得,BF= 6 + 2, 所以 AB 的取值范围为( 6 − 2, 6 + 2).
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高考真题体验
典题演练提能
6.(2019 安徽宣城高三二调)在△ABC 中,角 A,B,C 成等差数列,且对边
分别为 a,b,c,若������������ ·������������=20,b=7,则△ABC 的内切圆的半径为( )
A. 3 答案:A
B.7 3 3
C.2
D.3
解析:∵角 A,B,C 成等差数列, ∴∴2������B������=·A������+������C==cπa-cBo,s即π3=B20=,π3即, ca=40,由余弦定理 b2=c2+a2-2cacos B,
2020年高考数学(理数)选择题强化专练——解析几何、立体几何、三角函数与解三角形、函数与导数含答案
（理数）选择题强化专练——解析几何、立体几何、三角函数与解三角形、函数与导数一、选择题（本大题共20小题，共100.0分）1.若双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被曲线x2+y2-4x+2=0所截得的弦长为2．则双曲线C的离心率为（）A. B. C. D.2.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l过焦点F与抛物线C分别交于A，B两点，且直线l不与x轴垂直，线段AB的垂直平分线与x轴交于点T（5，0），则S△AOB=（）A. B. C. D.3.已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点为M，上顶点为N，右焦点为F，若•=0，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.4.若直线x-my+m=0与圆（x-1）2+y2=1相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则m的取值范围是（）A. （0，1）B. （0，2）C. （-1，0）D. （-2，0）5.已知P为双曲线C：（a＞0，b＞0）上一点，F1，F2为双曲线C的左、右焦点，若|PF1|=|F1F2|，且直线PF2与以C的实轴为直径的圆相切，则C的渐近线方程为（）A. B. C. D.6.已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A. 若m∥α，n∥α，则m∥nB. 若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC. 若m∥α，n∥α，且m⊂β，n⊂β，则α∥βD. 若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n7.如图，PA⊥平面ABCD，ABCD为正方形，且PA=AD，E，F分别是线段PA，CD的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为（）A.B.C.D.8.已知正方体的棱长为1，平面α过正方体的一个顶点，且与正方体每条棱所在直线所成的角相等，则该正方体在平面α内的正投影面积是（）A. B. C. D.9.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=8，AD=6，异面直线BD与AC1所成角的余弦值为，则该长方体外接球的表面积为（）A. 98πB. 196πC. 784πD.10.我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥现有一如图所示的堑堵，AC⊥BC，若A1A=AB=2，当阳马B-A1ACC1体积最大时，则堑堵ABC-A1B1C1的外接球的体积为（）A.B.C.D.11.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值为（）A. B. C. D.12.将函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数f（x）的一个单调减区间为（）A. B. C. D.13.△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a=，b cos A=sin B，则A=（）A. B. C. D.14.如图所示，函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜π）的图象过点，若将f（x）的图象上所有点向右平移个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数为g（x），则g（0）=（）A. 1B. 1C. 1或1D.15.在△ABC中，AB+AC=8，BC=4，D为BC的中点，当AD长度最小时，△ABC的面积为（）A. B. 4 C. D.16.若，则的大小关系为（）A. B. C. D.17.已知函数f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）=，则函数g（x）=8f2（x）-6f（x）+1的零点个数为（）A. 20B. 18C. 16D. 1418.设函数f（x）的定义域为R，满足2f（x+1）=f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）=-x（x-1）．若对任意x∈[m，+∞），都有，则m的取值范围是（）A. B. C. D.19.已知曲线在区间内存在垂直于轴的切线，则的取值范围为（）A. B. C. D.20.已知f（x）=（ax+ln x+1）（x+ln x+1）与g（x）=x2的图象至少有三个不同的公共点，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.答案和解析1.【答案】B【解析】解：双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线不妨为：bx+ay=0，圆x2+y2-4x+2=0即为（x-2）2+y2=2的圆心（2，0），半径为，双曲线的一条渐近线被圆x2+y2-4x+2=0所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为：=1=，，解得：e==，故选：B．通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，主要是离心率的求法，考查圆的方程的应用，考查计算能力．2.【答案】A【解析】【分析】如图所示，F（1，0）．设直线l的方程为：y=k（x-1），（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点E（x0，y0）．线段AB的垂直平分线的方程为y=-（x-5）.直线l的方程与抛物线方程联立化为：ky2-4y-4k=0，利用根与系数的关系、中点坐标公式、可得E坐标．把E代入线段AB的垂直平分线的方程可得：k．再利用S△OAB==即可得出．本题考查了抛物线的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解答】解：如图所示，F（1，0）．设直线l的方程为：y=k（x-1），（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点E（x0，y0）．线段AB的垂直平分线的方程为：y=-（x-5）．联立，化为：ky2-4y-4k=0，∴y1+y2=，y1y2=-4，∴y0=（y1+y2）=，x0=+1=+1，把E（，+1）代入线段AB的垂直平分线的方程：y=-（x-5）．可得：=-（+1-5），解得：k2=1．S△OAB====2．故选：A．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查椭圆的简单性质的应用，向量的垂直，考查转化思想以及计算能力，属于基础题．利用椭圆的性质，通过•=0，推出a、c关系，求解即可．【解答】解：椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点为M（-a，0），上顶点为N（0，b），右焦点为F（c，0），若•=0，可知NM⊥NF，可得：a2+b2+b2+c2=（a+c）2，又a2=b2+c2，所以a2-c2=ac，即e2+e-1=0，e∈（0，1），解得e=，故选：D．4.【答案】D【解析】解：根据题意，圆（x-1）2+y2=1的圆心为（1，0），半径r=1，与x轴的交点为（0，0），（2，0），设B为（2，0）；直线x-my+m=0，即x-m（y-1）=0，恒经过点（0，1），设A（0，1）；当直线经过点A、B时，即m=-2，若直线与圆相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，必有-2＜m＜0，即m的取值范围为（-2，0）；故选：D．根据题意，分析圆的圆心与半径，进而可得圆与x轴的交点坐标为（0，0），（2，0），设交点（2，0）为B，求出同时过点（0，1）与（2，0）时的m值，结合直线与圆的位置关系即可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，注意分析直线所过的定点，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：设直线PF2与圆x2+y2=a2相切于点M，则|OM|=a，OM⊥PF2，取PF2的中点N，连接NF2，由于|PF1|=|F1F2|=2c，则NF1⊥PF2，|NP|=|NF2|，由|NF1|=2|OM|=2a，则|NP|==2b，即有|PF2|=4b，由双曲线的定义可得|PF2|-|PF1|=2a，即4b-2c=2a，即2b=c+a，4b2-4ab+a2=b2+a2，4（c-a）=c+a，即3b=4a，则=．则C的渐近线方程为：．故选：A．设直线PF2与圆x2+y2=a2相切于点M，取PF2的中点N，连接NF2，由切线的性质和等腰三角形的三线合一，运用中位线定理和勾股定理，可得|PF2|=4b，再由双曲线的定义和a，b，c的关系，计算即可得到渐近线方程．本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法．中位线定理和双曲线的定义是解题的关键．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．在A中，m与n相交、平行或异面；在B中，α与β相交或平行；在C中，α与β相交或平行；在D中，由线面垂直、面面垂直的性质定理得m⊥n．【解答】解：由m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，知：在A中，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故A错误；在B中，若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若m∥α，n∥α，且m⊂β，n⊂β，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则线面垂直、面面垂直的性质定理得m⊥n，故D正确．故选D．7.【答案】C【解析】解：如图，取BC的中点G，连结FG，EG，则BD∥FG，通过异面直线所成角的性质可知∠EFG是异面直线EF与BD所成的角，设AD=2，则EF==，同理可得EG=，又FG==，∴在△EFG中，cos∠EFG==，∴异面直线EF与BD所成角的余弦值为．故选：C．取BC的中点G，连结FG，EG，则BD∥FG，∠EFG是异面直线EF与BD所成的角，由此能求出异面直线EF与BD所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8.【答案】B【解析】解：正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，如图：所示的正三角形所在平面或其平行平面为平面α时，满足平面α与正方体每条棱所成的角均相等，并且如图所示的正三角形，为平面α截正方体所形成的三角形截面中，截面面积最大者．因为正三角形的边长为，正方体ABCD-A1B1C1D1的三个面在平面α内的正投影是三个全等的菱形（如图所示），可以看成两个边长为的等边三角形，所以正方体在平面α内的正投影面积是S=2×=．故选：B．利用正方体棱的关系，判断平面α所成的角都相等的位置，正方体ABCD-A1B1C1D1的三个面在平面α内的正投影是三个全等的菱形，可以看成两个边长为的等边三角形，由此求出正方体在平面α内的正投影面积．本题考查直线与平面所成角的大小关系，考查空间想象能力以及计算能力，属于难题．9.【答案】B【解析】解：由题意建立如图所示的空间直角坐标系，DA为x轴，DC为y轴DD1为z轴，D为坐标原点，由题意知A（6，0，0），B（6，8，0），D（0，0，0），设D（0，0，a），则C1（0，8，a），∴=（6，8，0），=（-6，8，a），∴cos===，由题意可得：=，解得：a2=96，由题意长方体的对角线等于外接球的直径，设外接球的半径为R，则（2R）2=82+62+a2=196，所以该长方体的外接球的表面积S=4πR2=196π，故选：B．由题意建立空间直角坐标系，由异面直线的余弦值求出长方体的高，由题意长方体的对角线等于外接球的直径，进而求出外接球的半径，求出外接球的表面积．考查异面直线的夹角即外接球的表面积公式，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：设AC=x，BC=y，由题意得x＞0，y＞0，x2+y2=4，∵当阳马B-A1ACC1体积最大，∴V=×2x×y=xy取最大值，∵xy≤=2，当且仅当x=y=时，取等号，∴当阳马B-A1ACC1体积最大时，AC=BC=，以CA、CB、CC1为棱构造长方体，则这个长方体的外接球就是堑堵ABC-A1B1C1的外接球，∴堑堵ABC-A1B1C1的外接球的半径R==，∴堑堵ABC-A1B1C1的外接球的体积V==．故选：B．设AC=x，BC=y，由阳马B-A1ACC1体积最大，得到AC=BC=，由此能求出堑堵ABC-A1B1C1的外接球的体积．本题考查几何体的外接球的体积的求法，考空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．11.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了根据角终边过点可得出角的正弦和余弦值,再利用二倍角公式计算可得,属于基础题．【解答】解：∵角的终边经过点，∴，∴.故选D.12.【答案】A【解析】【分析】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题．利用三角函数的平移变换的应用和正弦型函数的整体思想的应用求出结果．【解答】解：函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，即：把函数的图象，向左平移个单位，即得到f（x）的图象，故：=sin（2x+），∴令：（k∈），解得：（k∈），当k=0时，，故选A．13.【答案】D【解析】解：∵a=，b cos A=sin B，∴b cos A=a sin B，∴由正弦定理可得sin A sin B=sin B cos A，∵B是三角形内角，sin B≠0，∴tan A=，∴由A是三角形内角，可得：A=．故选：D．利用正弦定理化简已知条件，通过三角形内角求解A的大小即可．本题考查正弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查计算能力和转化思想，属于基础题．14.【答案】A【解析】解：∵函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜π）的图象过点，且在递减区间内，2×+φ=π+2k，，，∴φ=，f（x）=sin（2x+）．若将f（x）的图象上所有点向右平移个单位长度，可得y=sin（2x-+）=sin（2x+）的图象，然后再向上平移1个单位长度，可得y=sin（2x+）+1的图象．故所得图象对应的函数为g（x）=sin（2x+）+1，则g（0）=sin（0+）+1=1+，故选：A．根据函数的图象经过点，求得φ的值，再利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，从而求得g（0）的值．本题主要考查正弦函数的图象和性质，函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．15.【答案】D【解析】解：在△ABC中，设AB=x，AC=y，AD=m，∠ADB=θ，则∠ADC=π-θ，在△ABD中，由余弦定理得：m2+4-4m cosθ=x2（1），在△ACD中，由余弦定理得：m2+4-4m cos（π-θ）=y2，即m2+4+4m cosθ=y2（2），由（1）（2）得：2m2+8=x2+y2，又x+y=8，所以2m2+8=（8-y）2+y2=2y2-16y+64，所以m2=y2-8y+28，所以当y=4时，m的最小值为，即AD长度的最小值为，此时AB=AC=BC=4，△ABC是等边三角形，易得其面积为．故选D．另解：由BC=4，AB+AC=8，则点A在以B，C为焦点，焦距2c=4，长轴长2a=8的椭圆上运动，易知当点A运动到短轴端点时，AD最短为，此时AD⊥BC，．故选：D．法一：由已知结合余弦定理及二次函数的性质可求面积的最小值；法二：由已知结合椭圆的定义及椭圆的性质可求面积的最小值．本题主要考查了余弦定理在求解三角形中的应用，要注意解法二中椭圆定义的灵活应用．16.【答案】B【解析】【分析】本题考查对数值的大小比较，考查指数函数、对数函数的性质，是基础题．对a、b、c三个数，利用指数函数、对数函数的性质进行估算，和0、1比较即可．【解答】解：,,,所以.故选B.17.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数与方程的关系，分段函数的应用，函数的解析式的应用，考查计算能力．利用分段函数画出函数的图象，利用数形结合转化求解即可．【解答】解：∵x∈（0，2]时，f（x）=（x-1）2，又，∴当x∈（0，+∞）时，即将f（x）在区间（0，2]图象依次向右移2个单位的同时再将纵坐标缩短为原来的倍，得到函数f（x）在（0，+∞）上的图象．关于y轴对称得到（-∞，0）的图象．如图所示：令g（x）=0，得或，即与两条直线截函数y=f（x）图象共16个交点，所以函数g（x）共有16个零点．故选：C．18.【答案】D【解析】解：作出当x∈（0，1]时，f（x）=-x（x-1）的图象，由2f（x+1）=f（x），可得将y=f（x）在（0，1]的图象向左平移1个，2个，3个单位，同时点的纵坐标伸长到原来的2倍，4倍，8倍，将y=f（x）在（0，1]的图象每向右平移1个，2个，3个单位，同时点的纵坐标缩短到原来的倍，倍，倍，作出直线y=，如图所示：对任意x∈[m，+∞），都有，可得只要找直线y=与f（x）（-2＜x＜-1）的右边的交点，由-4（x+1）（x+2）=，解得x=-（-舍去），则m≥-，故选：D．作出当x∈（0，1]时，f（x）=-x（x-1）的图象，由图象变换，作出y=f（x）的图象，以及直线y=，通过图象观察，解方程可得所求m的最小值．本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用数形结合思想和图象变换，考查运算能力和观察能力、推理能力，属于中档题．19.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了导数的几何意义，属于中档题.依题意可得在区间内有解，求出的值域即可得解.【解答】解：依题意，可得，即在区间内有解，设，由题意函数为增函数，且所以，故选D.20.【答案】B【解析】解：方程f（x）=g（x）即为（ax+ln x+1）（x+ln x+1）=x2，则方程至少有三个不相等的实根，令得t2+（a+1）t+a-1=0①，且，∴函数t（x）在（0，1）上单增，在（1，+∞）上单减，故t（x）max=t（1）=1，且t→+∞时，t（x）→0，∴方程①的两个根t1，t2的情况是：（i）若t1，t2∈（0，1），t1≠t2，则f（x）与g（x）的图象有四个不同的公共点，则，此时无解；（ii）若t1∈（0，1）且t2=1或t2=0，则f（x）与g（x）的图象有三个不同的公共点，则a无解；（iii）若t1∈（0，1）且t2＜0，则f（x）与g（x）的图象有三个不同的公共点，令h（t）=t2+（a+1）t+a-1，则，解得．故选：B．依题意，方程至少有三个不相等的实根，令，利用导数研究函数t（x）的单调性及最值情况，再分类讨论得解．本题考查函数零点与方程根的关系，考查分类讨论思想，旨在锻炼学生的推理论证能力，属于中档题．。
2020年高考数学(理数)解答题强化专练——解三角形含答案
（理数）解答题强化专练——解三角形一、解答题（本大题共10小题，共120.0分）1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin A=sin B且b=c．（1）求角A的大小；（2）若a=2，角B的平分线交AC于点D，求△ABD的面积．2.已知函数的最大值为1．（1）求t的值；（2）设锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2，△ABC的面积为，且f（A）=，求b+c的值．3.如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，AB=14，BD=6，．（1）若C＞B，且cos（C-B）=，求角C；（2）若△ACD的面积为S，且，求AC的长度．4.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2a+b=2c cos B，．（1）求角C；（2）延长线段AC到点D，使CD=CB，求△ABD周长的取值范围．5.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（sin A+sin B）（a-b）+b sin C=c sin C．（1）求A；（2）若b=2c，点D为边BC的中点，且，求△ABC的面积．6.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求A；（2）若a=1，求△ABC面积的最大值．7.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=，且=．（1）求△ABC外接圆的半径；（2）若c=3，求△ABC的面积．8.已知分别为三个内角的对边，且.（1）求角；（2）若,的面积为，求的周长.9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求sin A的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为，且sin B=3sin C，求△ABC的周长.10.△ABC的内角为A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求角B；（2）若，当△ABC的面积最大值．答案和解析1.【答案】解：（1）由sin A=sin B及正弦定理知a=b，又b=c，由余弦定理得cos A==，A∈（0，π），A=；（2）由（1）知B=C=，又a=2，在△ABC中，由正弦定理知：AB=2，在△ABD中，由正弦定理及∠ABD=，∠BDC=解得AD=-1，故S△ABD===．【解析】（1）由正弦定理及其余弦定理，求出角A即可；（2）由（1）求出B，C，再由及∠ABD=，∠BDC=，求出AD，再求出面积．考查正余弦定理的应用，中档题．2.【答案】解：（1）=，∵f（x）的最大值为1，∴，解得，（2）∵，∴，又△ABC是锐角三角形，得，．∴，解得，由三角形面积公式得，，可得bc=4，由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A，可得8=（b+c）2-3bc，（b+c）2=20，而b+c＞0，∴．【解析】（1）对f（x）化简，利用f（x）最大值为1，求出t；（2）由，求出A，利用面积公式，结合余弦定理求出b+c．考查两角和与差公式的应用，正弦函数的性质，三角形面积公式，正余弦定理等，中档题．3.【答案】解：（1）∵AB=14，BD=6，，∴•=AB•BD•cos B=14×6×cos B=66，∴解得cos B=，∵△ABC中，C＞B，且B+C+∠ABC=π，∴B，∴sin B==，∵C-B∈（0，π），cos（C-B）=，∴cos C=cos[（C-B）+B]=cos（C-B）cos B-sin（C-B）sin B=-=，在△ABC中，∵C∈（0，π），∴C=．（2）∵△ACD的面积，∴CD•CA•sin C=AC•CD•cos C，∴sin C=cos C，∵△ACD中，C∈（0，π），∴sin C≠0，则cos C≠0，可得tan C=1，可得C=，在△ABC中，由正弦定理可得，又∵sin B=，AB=14，sin C=sin=，∴=，解得AC=5．【解析】（1）利用平面向量数量积的运算可求cos B的值，利用同角三角函数基本关系式可求sin B的值，由已知利用两角和的余弦函数公式可求cos C的值，结合C的范围可求C的值．（2）由已知利用三角形的面积公式，平面向量数量积的运算，同角三角函数基本关系式可求tan C=1，可得C=，在△ABC中，由正弦定理可得AC的值．本题主要考查了平面向量数量积的运算，同角三角函数基本关系式，两角和的余弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．4.【答案】解：（1）根据余弦定理得，整理得：a2+b2-c2=-ab，由余弦定理可得cos C===-，由于C∈（0，π），可得C=．（2）由于C=，即∠BCD=，又CD=CB，可得△BCD为等边三角形，可得BD=CD=a，所以△ABD的周长L=2a+b+，由正弦定理，所以：a=2sin A，b=2sin B，因为：A=-B，又B∈（0，），可得cos B∈（，1），所以2a+b=4sin A+2sin B=4sin（-B）+2sin B=4（cos B-sin B）+2sin B=2cos B，所以，所以周长L=2a+b+的取值范围是（2，3）．【解析】（1）由已知利用余弦定理可得cos C=-，结合范围C∈（0，π），可求C=．（2）由已知可得△BCD为等边三角形，可得BD=CD=a，可求△ABD的周长L=2a+b+，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求2a+b=2cos B，根据B的范围，根据余弦函数的性质可求，即可求得周长的范围．本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角函数恒等变换的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等．5.【答案】解：（1）由（sin A+sin B）（a-b）+b sin C=c sin C，可得a2-b2+bc=c2，由余弦定理可得，故．（2）因为AD为△ABC的中线，所以，两边同时平方可得，故28=c2+b2+bc．因为b=2c，所以c=2，b=4．所以△ABC的面积．【解析】（1）直接利用正弦定理余弦定理的应用求出结果．（2）利用余弦定理和向量的应用求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．6.【答案】解：（1）由及正弦定理可得，整理可得，sin A cos B+sin B cos A=2sin C cos A，即sin（A+B）=sin C=2sin C cos A，因为sin C≠0，所以cos A=，所以A=，（2）由余弦定理可得，=，所以b2+c2=1+bc≥2bc，当且仅当b=c时取等号，所以bc≤1，即bc的最大值为1，此时三角形的面积取得最大值S==．【解析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简即可求解cos A，进而可求A；（2）由余弦定理结合基本不等式可求bc的最大值，然后结合三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理及和差角公式在三角化简中的应用，还考查了三角形的面积公式的应用，属于中等试题．7.【答案】解：（1）∵=，∴=，由正弦定理可得，，所以（a-b）b=（c+a）（c+b-a），整理可得，c2+b2-a2=-bc，由余弦定理可得，cos A==-所以A=，由正弦定理可得2R==，即外接圆半径R=；（2）由c2+b2-a2=-bc，a=，c=3可得，9+b2-13=-3b，解可得，b=1，所以S△ABC===．【解析】（1）由已知结合正弦定理余弦定理及和差角公式进行化简即可求解A，然后再由正弦定理即可求解；（2）结合（1）中的三边关系时即可求解b，然后结合三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．8.【答案】解：（1）由正弦定理有，化简得，∵，∴,又，∴,（2），即，，又由余弦定理有，，则的周长为.【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于中档题. （1）根据已知及正弦定理的计算，求出角A的值，（2）根据已知及余弦定理，三角形面积公式的计算，求出△ABC的周长.9.【答案】解：（Ⅰ）∵，∴由余弦定理可得2bc cos A=bc，∴cos A=，∴在△ABC中，sin A==．（Ⅱ）∵△ABC的面积为，∴bc sin A=bc=，即bc=6，又∵sin B=3sin C，∴由正弦定理可得b=3c，∴b=3，c=2，∴由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A=6，∴a=，∴△ABC的周长为2+3+．【解析】本题考查了余弦定理，同角三角函数的基本关系式，三角形的面积公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．（Ⅰ）由已知利用余弦定理可求cos A的值，进而根据同角三角函数的基本关系式可求sin A的值．（Ⅱ）利用三角形的面积公式可求bc的值，由正弦定理化简已知等式可得b=3c，解得b，c的值，根据余弦定理可求a的值，即可求解三角形的周长．10.【答案】解：（1）根据题意，△ABC中，，即=，即a=b cos C+c sin B，由正弦定理可得：sin A=sin B cos C+sin C sin B，则有sin（B+C）=sin B cos C+sin C sin B，变形可得：sin B cos C+cos B sin C=sin B cos C+sin C sin B，化简可得：sin B=cos B，所以；（2）由（1）的结论，B=，由余弦定理可得：b2=a2+c2-2ac cos B，则有2=a2+c2-ac，即有2+ac=a2+c2，又由a2+c2≥2ac，则有2+ac≥2ac，变形可得：ac≤=2+，则S=ac sin B=ac≤．即△ABC的面积最大值为．【解析】（1）根据题意，将变形可得=，结合正弦定理变形可得sin A=sin B cos C+sin C sin B，进而可得sin B cos C+cos B sin C=sin B cos C+sin C sin B，即sin B=cos B，分析可得tan B=1，分析可得B 的值，（2）根据题意，由余弦定理可得b2=a2+c2-2ac cos B，即2=a2+c2-ac，变形可得2+ac=a2+c2，结合基本不等式的性质可得ac≤=2+，由三角形面积公式计算可得答案．本题考查三角形中的几何计算，关键是掌握正弦定理、余弦定理的形式．。
【名师推荐】湘教版2020届高考数学《第7讲解三角形应用举例》测试训练题.doc
湘教版2020届高考数学《第7讲解三角形应用举例》测试训练题A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为( )．A．1 B．2sin10°C．2cos10°D．cos20°解析如图，∠ABC＝20°，AB＝1，∠ADC＝10°，∴∠ABD＝160°.在△ABD中，由正弦定理得ADsin 160°＝ABsin 10°，∴AD＝AB·sin 160°sin 10°＝sin 20°sin 10°＝2cos10°.答案 C2．某人向正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好是3km，那么x的值为( )．A. 3 B．2 3 C.3或2 3 D．3解析如图所示，设此人从A出发，则AB＝x，BC＝3，AC＝3，∠ABC＝30°，由余弦定理得(3)2＝x2＋32－2x·3·cos30°，整理得x2－33x＋6＝0，解得x＝3或2 3.答案 C3．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )．A ．102海里B ．103海里C ．203海里D ．202海里解析 如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20海里，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BCsin 30°＝AB sin 45°，解得BC ＝102(海里)．答案 A 4.如图，两座相距60m 的建筑物AB 、CD 的高度分别为20m 、50m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A看建筑物CD 的张角为( )．A ．30°B ．45°C ．60°D ．75° 解析 依题意可得AD ＝2010(m)，AC ＝305(m)，又CD ＝50(m)，所以在△ACD 中，由余弦定理得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD＝3052＋20102－5022×305×2010＝ 6 0006 0002＝22，又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°，所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)5．在相距2千米的A ，B 两点处测量目标点C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A ，C 两点之间的距离为________千米．解析 由已知条件∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，得∠ACB ＝45°.结合正弦定理得AB sin ∠ACB ＝AC sin ∠CBA ，即2sin 45°＝AC sin 60°，解得AC ＝6(千米)． 答案 66.如图，一艘船上午9：30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距。
2020届高三精准培优专练七 解三角形(文) 教师版
2020届高三好教育精准培优专练例1：ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3cos cos cos a A b C c B =+，3b c +=，则a 的最小值为（ ）A ．1B ．3C ．2D ．3【答案】B【解析】在ABC △中，∵3cos cos cos a A b C c B =+，由正弦定理可得3sin cos sin cos sin cos sin()sin A A B C C B B C A =+=+=， 即3sin cos sin A A A =，又(0,π)A ∈，∴sin 0A ≠，∴1cos 3A =． 因为3b c +=，所以两边平方可得2229b c bc ++=， 由222b c bc +≥，可得9224bc bc bc ≥+=，解得94bc ≤， 当且仅当32b c ==时等号成立， 又∵2222cos a b c bc A =+-，∴22222889()933334bc a b c bc b c =+-=+-≥-⨯=， 所以a 的最小值为3．故选B ．例2：已知函数π()2sin()cos 3f x x x =+⋅． （1）若π02x ≤≤，求函数()f x 的值域； （2）设ABC △的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A 为锐角且3()2f A =， 培优点七 解三角形一、正余弦定理的综合应用二、正余弦定理与三角函数图象性质的综合应用2b =，3c =，求cos()A B -的值．【答案】（1）30,12⎡⎤+⎢⎥⎣⎦；（2）57． 【解析】（1）2π()2sin()cos (sin 3cos )cos sin cos 3cos 3f x x x x x x x x x =+⋅=+⋅=+133π3sin 2cos 2sin(2)23x x x =++=++， 由π02x ≤≤，得ππ4π2333x ≤+≤，∴3πsin(2)13x -≤+≤， ∴π330sin(2)1322x ≤++≤+，即函数()f x 的值域为30,1⎡⎤+⎢⎥⎣⎦． （2）由π33()sin(2)322f A A =++=，得πsin(2)03A +=， 又由π02A <<，∴ππ4π2333A <+<，∴π2π3A +=，解得π3A =， 在ABC △中，由余弦定理2222cos 7a b c bc A =+-=，解得7a =，由正弦定理sin sin a b A B =，得sin 21sin 7b A B a ==， ∵b a <，∴B A <，∴27cos 7B =， ∴12732157cos()cos cos sin sin 27A B A B A B -=+=⨯+⨯=．例3：某动物园管理处计划利用空地建设一个开放性的三角形场地（如图ABC △），测得2km AB =，90ABC ∠=︒，30ACB ∠=︒，在此三角形场地中挖去一个正三角形形状（如图PMN △）的人工湖，该正三角形的顶点在场地的边界线上，则人工湖面积的最小值为 2km ．三、三角函数模型及其应用33【解析】由题知ABC △为直角三角形，且90ABC ∠=︒，且30ACB ∠=︒， 所以23BC =4AC =．设正三角形PMN 的边长为t ，BPM θ∠=， 则90PMB θ∠=︒-，而60MPN MNP PMN ∠=∠=∠=︒，所以30NMC θ∠=︒+，PNA θ∠=，120NPA θ∠=︒-． 在PBM Rt △中，sin BM t θ=，cos PB t θ=． 在PAN △中，由正弦定理sin sin PN APPAN PNA=∠∠，得sin 60sin t AP θ=︒，解得sin 3sin sin 603t AP θθ==︒，所以23cos sin 23AB BP PA t θθ=+=+=， 解得23233cos 2sin cos sin 3t θθθθ==++． 而PMN △的面积222332333(443cos 2sin [7sin()]S t θθθβ===++2337sin ()θβ=+ （其中3sin 7β=，cos 7β=）．因为2sin ()1θβ+≤，所以S 233km ．一、选择题1．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1b =，(2sin 3cos )3cos a B C c A -=，点G 是ABC △的重心，且133AG =，则ABC △的面积 为（ ） A ．3 B ．3 C ．3或23D ．33或3 【答案】D【解析】由正弦定理得2sin sin 3sin cos 3sin cos A B A C C A -=， ∴2sin sin 3sin()3sin A B A C B =+=，∴3sin A =，∴π3A =或2π3，又13AG =，延长AG 交BC 于点D ，∴13AD =， ∵1()2AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，∴222211()(2cos )44AD AB AC b c bc A =+=++u u u r u u u r u u u r ，当π3A =时，3c =，∴ABC △的面积为133sin 24bc A =； 当2π3A =时，4c =，∴ABC △的面积为1sin 32bc A =， 故选D ．2．在ABC △中，已知32sin 4cos2B B +=，且B 为锐角．若(415)sin (sin sin )B AC A C +=⋅+，且ABC △的面积为15，则ABC △的周长为（ ） A ．725+ B ．825+C ．515+D ．615+【答案】C对点增分集训【解析】ABC △中，232sin 4cos 24(12sin )B B B +==-．解得1sin 4B =或1sin 2B =-， 又B 为锐角，∴1sin 4B =． 设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∵(415)sin (sin sin )B AC A C +=⋅+，∴(415)()b b a c +=⋅+，∴415a c +=+ 又∵ABC △的面积为152，∴11115sin 2242ac B ac =⨯=，∴415ac =∵B 为锐角，∴15cos 4B =， 由余弦定理得2222152cos ()221b a c ac B a c ac ac =+-=+--=，解得1b =， ∴ABC △的周长为515+3．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知sin()sin()3sin 2B A B A A ++-=，且7c =π3C =，则ABC △的面积是（ ） A 33B 73C 33或213D 3373【答案】D【解析】依题意由sin cos cos sin sin cos cos sin 6sin cos B A B A B A B A A A ++-=， 即sin 3sin B A =或cos 0A =．当sin 3sin B A =时，由正弦定理得3b a =，① 由余弦定理得222π(7)2cos3a b ab =+-，② 解由①②组成的方程组得1a =，3b =，所以三角形面积为1π1333sin 13232S ab ==⨯⨯=． 当cos 0A =时，π2A =时，三角形为直角三角形，32133b c ==，故三角形面积11217372236S bc ==⨯=． 3373，故选D ． 4．已知函数π()2cos(2)2cos 213f x x x =+-+．若锐角ABC △中角A ，B ，C 所对的边分别为a 、b 、c ，且()0f A =，则bc的取值范围是（ ）A ．(1,2)B ．1(,2)2C ．(1,3)D ．3(,3)2【答案】B【解析】π()2cos(2)2cos 2132cos 213f x x x x x =+-+=--+π2sin(2)16x =-++，由π()2sin(2)106f A A =-++=，解得π3A =，2π3B C +=，∴2πsin()sin 313sin sin 2C bBcCC -===， 又ABC △为锐角三角形，故ππ62C <<，∴131222tan 2b c C <=+<， 于是b c 的取值范围是1(,2)2． 5．如图，公路AM ，AN 围成的是一块耕地，其中tan 3A =-，在该块土地中，P 处有一小型建筑物，经测量，它到公路AM ，AN 的距离分别为3km 5km ，现在要过点P 修建一条直线公路BC ，将三条公路围成的区域ABC 建成一个工业园．为节省耕地，则工业园的最小面积为（ ）2km ．A ．2B ．3C ．20D ．5【答案】A【解析】过点P 作PE AM ⊥，PF AN ⊥，垂足分别为E ，F ，连接PA ． 设AB x =，AC y =（x ，0y ≠）， 则11135(35)222ABC PAB PAC S S S x y x y =+=⋅⋅+⋅=△△△，① ∵tan 3A =-，∴sin 10A =1210ABC S =△，②由①②得11(35)2210x +=，即3510x += 又35235x xy ≥23510xy ≥4053xy ≥ 当且仅当35x =，即1023x =210y =时取等号， ∴114051022231010ABC S =≥=△22km ． 6．在ABC △中，若tan tan tan tan 5tan tan A C A B B C +=，则sin A 的最大值为（ ） A 25B 35C 25D 5【答案】B【解析】已知条件得sin sin sin sin 5sin sin cos cos cos cos cos cos A C A B B CA C AB B C+=，∴sin (sin cos cos sin )5sin sin cos cos cos cos cos A C B C B B C A B C B C +=，∴sin sin 5sin sin cos A AB C A=， 即222252b c a a bc bc+-=，∴22275()a b c =+，∴22222222252()()277cos 2227b c b c b c b c a A bc bc bc +-+++-===≥， 当且仅当b c =时取等号，∴235sin 1cos A A =-． 7．在ABC △中，角A 、B 、C 的对边是a ，b ，c ，若cos cos 2c a B b A -=， 则cos cos cos a A b Ba B+的最小值为（ ）A 3B ．33C ．33D ．33【答案】D【解析】∵cos cos 2c a B b A -=，∴由正弦定理化简得：1sin cos sin cos sin 2A B B A C -=111sin()sin cos cos sin 222A B A B A B =+=+， 整理得sin cos 3cos sin A B A B =， ∴cos cos 0A B >，∴tan 3tan A B =， ∴cos cos cos cos cos a A b B A ba B B a+=+cos sin cos sin tan 12322cos sin cos sin tan 3A B A B B B A B A A =+≥⋅===， 当且仅当cos sin cos sin A B B A =，即π2A B +=时取等号．∴可得cos cos cos a A b B a B +23，故选D ．8．若函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，ππ22ϕ-<<）的部分图象如图所示，M ，N 分别是图象的最低点和最高点，其中2π164MN =+ABC △中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，且()3f A =2a =，则ABC △周长的取值范围是（ ）A ．(4,6]B ．(4,63]+C ．(23,6]+D ．(23,63]++【答案】C【解析】由图象可得：()f x 的周期45ππ[()]π3123T =--=，即2ππω=，得2ω=， 又由于π(,)12M A --，5π(,)12N A ，∴222ππ4()1624MN A =+=+，∴2A =，又将5π(,2)12N ，代入()2sin(2)f x x ϕ=+，5π2sin(2)212ϕ⨯+=， ∵ππ22ϕ-<<，解得π3ϕ=-，∴π()2sin(2)3f x x =-． 由π()2sin(2)33f A A =-=∴ππ233A -=或π2π233A -=，解得π3A =或π2A =（舍去），由正弦定理43sin sin sin b c a B C A ===， 得4343ππsin )sin()]4sin()36b c B C B B B +=+=++=+， ∵ABC △是锐角三角形，2π3B C +=，π02B <<，π02C <<， ∴ππ62B <<，ππ2π363B <+<，∴234b c +≤， ∴ABC △周长的取值范围为(223,6]+．二、填空题9．如图所示，在一个坡度一定的山坡AC 的顶上有一高度为25m 的建筑物CD ，为了测量该山坡相对水平地面的坡角θ，在山坡的A 处测得15DAC ∠=︒，沿山坡前进50m 到达B 处，又测得45DBC ∠=︒，根据以上数据可得cos θ= ．31【解析】因为15DAC ∠=︒，45DBC ∠=︒，∴30ADB ∠=︒，在ABD △中，由正弦定理得sin sin AB BDADB BAD =∠∠，即501622=-， ∴62)BD =．在BCD △中，由正弦定理得sin sin CD BD DBC BCD=∠∠25(62)2-=，∴sin 31BCD ∠=，∴cos sin(π)sin 31BCD BCD θ=-∠=∠=．10．在ABC △中，D 为AB 的中点，若23BA DC AB AC ⋅=⋅u u u r u u u ru u u r u u u r，则tan tan tan A B C ++的最小值是 ． 153【解析】根据D 为AB 的中点，若23BA DC AB AC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，得到()3AB CA CB AB AC ⋅+=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，化简整理得4BA BC AB AC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，即cos 4cos ca B cb A =，根据正弦定理得sin cos 4sin cos A B B A =，进一步求得tan 4tan A B =，∴322tan tan 5tan 20tan tan tan tan tan tan 5tan 1tan tan 14tan 14tan A B B BA B C A B B A B B B+-++=+-=-=---， 令tan t B =，构造函数3220t ()14f t t-=-，∴222220t (43)()(14)t f t t -'=-， 令()0f t '=，可知当32t =时，min 332015383144()f t -⨯=-=⨯ ∴tan tan tan A B C ++153． 11．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，点O 为ABC △外接圆的圆心， 若3a =232c C b +=，AO mAB nAC =+u u u r u u u r u u u r，则m n +的最大值为 ．【答案】23【解析】由232c C b +=，可得2222322a b c c b ab+-+=，即22223()2abc a b c ab ++-=．∵3a =2221πcos 23b c a bc A A +-=⇒=⇒=， 由正弦定理可得圆O 半径为112sin aA⨯=，即1AO OB OC ===u u u r u u u r u u u r ， 根据余弦定理可知：2221131cos 222OB OC a BOC OB OC+-+-∠===-u u u r u u u r u u u r u u u r，∴2π3BOC ∠=． 又()()()AO mAB nAC m OB OA n OC OA mOB nOC m n AO =+=-+-=+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，∴(1)m n AO mOB nOC --=+u u u r u u u r u u u r．∴222222(1)2cos m n AO m OB n OC mn OB OC BOC --=++⋅∠u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴222(1)m n m n mn --=+-，整理可得3221mn m n =+-， 又2()2m n mn +≤，得232()1()4m n m n +-≤+，解得23m n +≤或2m n +≥， 当2m n +≥时，点O 在ABC △外部，且πBOC A ∠+∠=， 所以B ，O ，C ，A 四点共圆，不满足题意，舍去，∴23m n +≤（当且仅当13m n ==时取等号）， 即m n +的最大值为23． 12．如图，在ABC △中，3sin2ABC ∠=D 在线段AC 上，且2AD DC =，43BD =， 则ABC △的面积的最大值为 ．【答案】32【解析】由3sin2ABC ∠=6cos 2ABC ∠= 则22sin 2sincos 22ABC ABC ABC ∠∠∠==． 由32sin232ABC ∠=<，可知452ABC ∠<︒，则90ABC ∠<︒， 由同角三角函数基本关系可知：1cos 3ABC ∠=． 设AB x =，BC y =，3AC z =（0x >，0y >，0z >），在ABD △中由余弦定理可得：2216(2)3cos 4322z x BDA z+-∠=⨯⨯在CBD △中由余弦定理可得：22163cos 432z y BDC z+-∠=⨯⨯由于180BDA BDC ∠+∠=︒，故cos cos BDA BDC ∠=-∠，22221616(2)334343222z x z y z z+-+-=⨯⨯⨯⨯，整理可得22216620z x y +--=，①在ABC △中，由余弦定理可知：22212(3)3x y xy z +-⨯=， 则2222246339z x y xy =+-，代入①式整理计算可得2214416339x y xy ++=， 由均值不等式的结论可得2214416163399x y xy xy ≥⨯=， 故9xy ≤，当且仅当32x =322y =∴1122sin 93222ABC S xy ABC =⋅∠≤⨯=△ABC △面积的最大值为32三、解答题13．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且cos cos 3cos c B b C a B +=． （1）求cos B 的值；（2）若2CA CB -=u u u r u u u r，ABC △的面积为22b ．【答案】（1）13；（2）3b =． 【解析】（1）由cos cos 3cos c B b C a B +=及余弦定理得：2222222223222a c b a b c a c b c b aac ab ac +-+-+-+=，整理得22223ac a c b =+-， ∴由余弦定理得222213cos 223aca cb B ac ac +-===．（2）∵在ABC △中，(0,π)B ∈， 又∵1cos 3B =，∴22122sin 1cos 1()3B B =-=-= 由2CA CB -=u u u r u u u r 得2BA =u u u r ，即2c =，由1sin 222S ac B ==，可得3a =，由余弦定理得2222212sin 3223203b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，∴3b =． 14．已知函数3π()322sin()sin(π)2f x x x x =++-，x ∈R ． （1）最小正周期及对称轴方程；（2）已知锐角ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()3f A =，3a =， 求BC 边上的高的最大值．【答案】（1）πT =，对称轴方程为ππ()212k x k =-∈Z ；（2）332．【解析】（1）3π()322sin()sin(π)322cos sin 2f x x x x x x x =++-=- 31π32sin 22(2sin 2)2cos(2)26x x x x x =-=-=+， ∴2ππ2T ==，令π2π()6x k k +=∈Z ，即ππ()212k x k =-∈Z ，∴函数()f x 的对称轴方程为ππ()212k x k =-∈Z ． （2）∵π()2cos(2)6f x x =+，∴π()2cos(2)36f A A =+=-π3cos(2)6A +=， ∵π02A <<，∴ππ7π2666A <+<，∴π5π266A +=，∴π3A =． 设BC 边上的高为h ，则11sin 22ABC S bc A a h ==⋅△，即3bc h =，36h =， ∵2222291cos 222b c a b c A bc bc +-+-===，∴2292bc b c bc +=+≥，∴9bc ≤，当且仅当3b c ==时取等号． ∵π3A =，∴3b c a ===，等号能成立，∴此时33h =，∴h 33． 15．如图，某市在海岛A 上建了一水产养殖中心．在海岸线l 上有相距70公里的B 、C 两个小镇，并且30AB =公里，80AC =公里，已知B 镇在养殖中心工作的员工有3百人，C 镇在养殖中心的员工有5百人．现欲在BC 之间建一个码头D ，运送来自两镇的员工去养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为1:2．（1）求sin ABC ∠的大小；（2）设ADB θ∠=，试确定θ的大小，使得单程运输总成本最少． 【答案】（143；（2）π3θ=．【解析】（1）在ABC △中，900490064001cos 230707ABC +-∠==-⨯⨯，∴43sin ABC ∠=．（2）在ABD △中，由30sin 43143sin cos θθθ==-+，得1203AD =，1203cos 307BD θ=．设水路运输的每百人每公里的费用为k 元，陆路运输的每百人每公里的费用为2k 元， 则单程运输总费用62432cos (53)2820(35)7sin y CD BD k k AD k θθ-=+⨯+⨯=+， 令2cos ()sin H θθθ-=，则212cos ()sin H θθθ-'=，当π03θ<<时，()0H θ'<，()H θ单调递减； 当ππ32θ<<时，()0H θ'>，()H θ单调递增， ∴π3θ=时，()H θ取最小值，同时y也取得最小值，此时907BD=，满足900707<<，所以点D落在BC之间．∴π3θ=时，运输总成本最小．。
2020届高三精准培优专练七 解三角形(理) 教师版
2020届高三好教育精准培优专练例1：ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos 2sin a C c A b A +=，则A 的值 为（ ） A ．5π6B ．π6C ．2π3D ．π6或5π6【答案】D【解析】由cos cos 2sin a C c A b A +=，结合正弦定理可得sin cos sin cos 2sin sin A C C A B A +=． 即sin()2sin sin A C B A +=，故sin 2sin sin B B A =． 又sin 0B ≠，可得1sin 2A =，故π6A =或5π6．故选D ．例2：在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1bc =，2cos 0b c A +=，则当角B 取得最大值时，ABC △的周长为（ ） A ．2+ B ．2C ．3D ．3【答案】A【解析】由已知2cos 0b c A +=，得222202b c a b c bc+-+⋅=，整理得2222b a c =-． 由余弦定理，得222223cos 2442a cb ac B ac ac ac +-+==≥=a =时等号成立，此时角B 取得最大值，将a =，代入2222b a c =-，可得b c =．又1bc =，所以1b c ==，a =ABC △的周长为2．故选A ．二、余弦定理的运用一、正弦定理的运用培优点七 解三角形例3：在ABC△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2b ac=，且sin C B=，则ABC△的最小内角的余弦值为（）A．4-B．4C．8D．34【答案】C【解析】由sin C B=及正弦定理，得c=．又2b ac=，所以b=，所以2c a=，所以A为ABC△的最小内角．由余弦定理，知222222cos28b c aAbc+-===，故选C．一、选择题1．在平面四边形ABCD中，90D∠=︒，120BAD∠=︒，1AD=，2AC=，3AB=，则BC=（）A B C D．【答案】C【解析】如图，在ACD△中，90D∠=︒，1AD=，2AC=，所以60CAD∠=︒．又120BAD∠=︒，所以60BAC BAD CAD∠=∠-∠=︒．在ABC△中，由余弦定理得2222cos7BC AB AC AB AC BAC=+-⋅∠=，对点增分集训三、正弦定理与余弦定理的综合所以BC =C ．2．在ABC △中，三边长分别为a ，2a +，4a +，最小角的余弦值为1314，则这个三角形的面积为（ ）A ．4B ．154C ．4D ．4【答案】A【解析】由条件知长为a 的边对应的角最小，设为A ，则由余弦定理，得222(2)(4)13cos 2(2)(4)14a a a A a a +++-==++，解得3a =或2a =-（舍去），则三边长分别为3，5，7，且sin A =所以ABC △的面积1572S =⨯⨯=A ． 3．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1sin cos sin cos 2a B C c B Ab +=， 且a b >，则B =（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】A【解析】由1sin cos sin cos 2a B C c B A b +=及正弦定理， 可得1sin sin cos sin sin cos sin 2A B C C B A B +=， 即1sin (sin cos sin cos )sin 2B A C C A B +=，则1sin sin()sin 2B AC B +=． 因为sin 0B ≠，所以1sin()2A C +=，即1sin 2B =．因为a b >，所以A B >，所以B 为锐角，所以π6B =．故选A ． 4．已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，2b =，则ABC △的面积的最大值是（ ）A ．1 BC ．2D ．4【答案】B【解析】∵2cos cos cos b B a C c A =+，∴2sin cos sin cos sin cos sin()sin B B A C C A A C B =+=+=． ∵0πB <<，∴1cos 2B =，∴π3B =． ∵2221cos 22a cb B ac +-==，2b =，∴224a c ac +-=． ∵222a c ac +≥，∴24ac ac -≤，即4ac ≤，当且仅当a c =时等号成立，∴11sin 4222ABC S ac B =≤⨯⨯=△ABC △． 5．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，三内角A ，B ，C 成等差数列，若1b =，则ABC △周长的取值范围为（ ） A ．(1,2) B ．(1,3)C ．(2,3]D ．(1,3]【答案】C【解析】方法一：由A ，B ，C 成等差数列，πA B C ++=，得π3B =． 由正弦定理，得sin sin sin a b c A B C ===， 所以2ππsin )1sin()]12sin()136a b c A C A A A ++=++=+-+=++．因为2π03A <<，所以π22sin()136A <++≤，故选C ．方法二：由A ，B ，C 成等差数列，πA B C ++=，得π3B =， 又2222222π3()()2cos ()3()344a c a cb ac ac a c ac a c ++=+-=+-≥+-=，当且仅当a c =时等号成立，∴2a c +≤， 又1a c b +>=，则23a b c <++≤，故选C ．6．在锐角三角形ABC 中，tan A =，sin B C =，则sin sin A C=（ ）A ．12B ．2C D【答案】B【解析】由sin tan cos 3A A A ==，22sin cos 1A A +=，解得cos 4A =（cos 4A =-舍去）． 记内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由sin B C =及正弦定理可得b =，由余弦定理可得22222222cos 644a b c bc A c c c =+-=+-⨯=， 得2a c =，所以sin 2sin A aC c==． 7．若ABC △的三个内角满足6sin 4sin 3sin A B C ==，则ABC △是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．以上都有可能【答案】C【解析】由题意，利用正弦定理可得643a b c ==，则可设2a k =，3b k =，4c k =，0k >，则2224916cos 0223k k k C k k+-=<⨯⨯， 所以C 是钝角，所以ABC △是钝角三角形，故选C ．8．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a =，π2A B -=，则C =（ ）A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【答案】B【解析】因为ABC △中，π2A B -=，所以π2A B =+， 所以πsin sin()cos 2A B B =+=．因为a =，所以由正弦定理得sin A B =，所以cos B B =，所以tan B =． 因为(0,π)B ∈，所以π6B =，所以πππππ()6266C =-+-=，故选B ．9．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列， 且22a c ac bc =+-，则sin cb B=（ ）A．2B．3C．3D【答案】B【解析】由a ，b ，c 成等比数列得2b ac =，则有222a cb bc =+-，由余弦定理得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，故π3A =， 对于2b ac =，由正弦定理得，2sin sin sin sin B A C C ==，由正弦定理得，2sin sin sin 3c C b B B ===．故选B ． 10．已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且222sin sin sin sin sin cos cos A B C A Bc a B b A+-=+，若4a b +=，则c 的取值范围为（ ）A ．(0,4)B ．[2,4)C ．[1,4)D ．(2,4]【答案】B【解析】根据正弦定理可得222sin sin sin sin sin sin sin cos cos sin A B C A BC A B A B+-=+，即222sin sin sin sin sin sin sin()A B C A BC A B +-=+，由三角形内角和定理可得sin()sin A B C +=，所以222sin sin sin sin sin A B C A B +-=．再根据正弦定理可得222a b c ab +-=，因为4a b +=，a b +≥，所以4ab ≤，2()16a b +=，得到22162a b ab +=-，所以2162ab c ab --=，所以2163c ab -=， 故21612c -≤，24c ≥，2c ≥，故24c ≤<，故选B ．11．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(cos )b a C C =，2a =，c =则角C =（ ） A ．3π4B ．π3C ．π6D ．π4【答案】D【解析】由(cos )3b a C C =+，得sin sin (cos )3B A C C =+， 因为sin sin[π()]sin()B A C A C =-+=+，所以sin cos cos sin sin cos sin (sin 0)3A C A C A C A C C +=+≠，即cos 3A A =，所以tan A = 因为0πA <<，所以π3A =． 由余弦定理sin sin a c A C=，得sin 2C =．因为2π03C <<，所以π4C =．故选D ． 12．某小区拟将如图的一直角三角形ABC 区域进行改建：在三边上各选一点连成等边三角形DEF ， 在其内建造文化景观．已知20m AB =，10m AC =，则DEF △区域面积（单位：2m ）的最小值为（ ）A．BCD【答案】D【解析】根据题意知在直角三角形ABC 中，π6B ∠=， 设DEC θ∠=，m DE a =，则cos m CE a θ=，π2ππ()33FEB θθ∠=-+=-， 所以5πππ()66EFB θθ∠=--=+， 在BFE △中，ππsin()sin 66EB a θ=+，所以πsin()π62sin()π6sin 6a EB a θθ+==+，所以πcos 2sin()6BC CE EB a a θθ=+=++=所以cos 2sin()6a θθ===≥++tan 3ϕ=），所以正三角形DEF的面积2221π300sin 2344477S a a ==≥==．二、填空题13．在ABC △中，90ABC ∠=︒，延长AC 到D ，使得1CD AB ==，若30CBD ∠=︒， 则AC = ．【解析】设(0)AC x x =>，在BCD △中，由正弦定理得sin sin BD CDBCD CBD=∠∠，所以2sin BD BCD =∠， 又1sin sin BCD ACB x ∠=∠=，所以2BD x=． 在ABD △中，2222(1)12cos(9030)x x x ⎛⎫+=+-⋅⋅︒+︒ ⎪⎝⎭，化简得22242x x x x ++=， 即32x =，故x =AC =．14．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若a =2c =，2(cos sin )b A A =+，则b = ．1【解析】因为2c =，2(cos sin )b A A =+，所以sin sin (cos sin )B C A A =+， 即sin()sin cos sin sin A C C A A C +=+，化简并整理得sin cos sin sin A C C A =， 又sin 0A ≠，所以sin cos C C =，所以π4C =．由正弦定理，得sin 2A =sin A =，则1cos 2A =±．所以2(cos sin )1b A A =+=．15．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos()2cos()0a B b A c θθ-+++=， 则cos θ的值为 ． 【答案】12-【解析】由正弦定理，得2sin cos()2sin cos()sin 0A B B A C θθ-+++=，展开得到2sin cos cos 2sin sin sin 2sin cos cos 2sin sin sin sin 0A B A B B A B A C θθθθ++⋅-+= 化简得2cos (sin cos sin cos )sin 0A B B A C θ++=，即2cos sin()sin 0A B C θ++=． 由三角形内角和定理，得sin()sin 0A B C +=≠，故1cos 2θ=-． 16．在ABC △中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若cos cos 2cos c B b C a A +=，2133AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r，且1AM =，则2b c +的最大值是 ．【答案】【解析】∵cos cos 2cos c B b C a A +=，∴2222222cos 22a c b a b c a A a a+-+-+=，2cos a a A =， ∴1cos 2A =． ∵0πA <<，∴π3A =．∵2133AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r ，且1AM =，∴221()133AB AC +=u u u r u u u r ，∴224211999c bc b ++=，即22429c bc b ++=．∵2(2)24b c bc +≤，∴22223942(2)2(2)4c bc b b c bc b c =++=+-≥+，∴2b c +≤2b c =，即2b c ⎧=⎪⎨=⎪⎩时等号成立，∴2b c +的最大值为三、解答题17．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1sincos 224B B -=． （1）求cos B 的值；（2）若224b a -=，求sin sin C A的值． 【答案】（1）16-；（2）8． 【解析】（1）将1sin cos 224B B -=两边同时平方，得11sin 16B -=，得15sin 16B =，故cos B =± 又1sin cos 0224B B -=>，所以sin cos 22B B >， 所以ππ(,)242B ∈，所以π(,π)2B ∈，故cos 16B =-． （2）由余弦定理得22222cos 4b ac ac B a ac =+-=+，2cos c a B c =-=+，所以c =，故sin sin C A =． 18．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2222cos cos b c a ac C c A +-=+．（1）求角A 的大小；（2）若ABC △的面积ABC S =△，且5a =，求sin sin B C +．【答案】（1）π3；（2 【解析】（1）∵2222cos cos b c a ac C c A +-=+，∴22cos cos cos bc A ac C c A =+．∵0c >，∴2cos cos cos b A a C c A =+，由正弦定理得2sin cos sin cos sin cos B A A C C A =+，即2sin cos sin()B A A C =+． ∵sin()sin()sin A C B B π+=-=，∴2sin cos sin B A B =，即sin (2cos 1)0B A -=，∵0πB <<，∴sin 0B ≠，∴1cos 2A =， ∵0πA <<，∴π3A =．（2）∵1sin 2ABC S bc A ===△，∴25bc =． ∵22222251cos 22252b c a b c A bc +-+-===⨯，∴2250b c +=， ∴2()50225100b c +=+⨯=，即10b c +=（或求出5b c ==），∴sin sin sin 2sin sin ()105A A A B C b c b c a a a +=⋅+⋅=+⋅=⨯=。
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培优点七 解三角形例1：ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos 2sin a C c A b A +=，则A 的值 为（）A ．5π6B ．π6C ．2π3D ．π6或5π6【答案】D【解析】由cos cos 2sin a C c A b A +=，结合正弦定理可得sin cos sin cos 2sin sin A C C A B A +=． 即sin()2sin sin A C B A +=，故sin 2sin sin B B A =．又sin 0B ≠，可得1sin 2A =，故π6A =或5π6．故选D ．例2：在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1bc =，2cos 0b c A +=，则当角B 取得最大值时，ABC △的周长为（） A ．2 B ．2+C ．3D ．3【答案】A【解析】由已知2cos 0b c A +=，得222202b c a b c bc+-+⋅=，整理得2222b a c =-． 二、余弦定理的运用一、正弦定理的运用由余弦定理，得222223cos 24a c b a c B ac ac +-+==≥=a =时等号成立，此时角B取得最大值，将a =，代入2222b a c =-，可得b c =．又1bc =，所以1b c ==，a =ABC △的周长为2+．故选A ．例3：在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b ac =，且sin C B =，则ABC △的最小内角的余弦值为（）A ．BCD ．34【答案】C【解析】由sin C B =及正弦定理，得c =．又2b ac =，所以b =，所以2c a =，所以A 为ABC △的最小内角．由余弦定理，知222222cos 28b c a A bc +-===，故选C ．一、选择题1．在平面四边形ABCD 中，90D ∠=︒，120BAD ∠=︒，1AD =，2AC =，3AB =，对点增分集训三、正弦定理与余弦定理的综合则BC =（）A BCD ．【答案】C 【解析】如图，在ACD △中，90D ∠=︒，1AD =，2AC =，所以60CAD ∠=︒． 又120BAD ∠=︒，所以60BAC BAD CAD ∠=∠-∠=︒．在ABC △中，由余弦定理得2222cos 7BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=，所以BC =C ．2．在ABC △中，三边长分别为a ，2a +，4a +，最小角的余弦值为1314，则这个三角形的面积为（）A ．4B ．154C ．4D ．4【答案】A【解析】由条件知长为a 的边对应的角最小，设为A ，则由余弦定理，得222(2)(4)13cos 2(2)(4)14a a a A a a +++-==++，解得3a =或2a =-（舍去），则三边长分别为3，5，7，且sin 14A =，所以ABC △的面积1572144S =⨯⨯⨯=，故选A ． 3．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1sin cos sin cos 2a B C c B Ab +=， 且a b >，则B =（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】A【解析】由1sin cos sin cos 2a B C c B Ab +=及正弦定理， 可得1sin sin cos sin sin cos sin 2A B C C B A B +=， 即1sin (sin cos sin cos )sin 2B A C C A B +=，则1sin sin()sin 2B AC B +=． 因为sin 0B ≠，所以1sin()2A C +=，即1sin 2B =．因为a b >，所以A B >，所以B 为锐角，所以π6B =．故选A ． 4．已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，2b =，则ABC △的面积的最大值是（）A ．1BC ．2D ．4【答案】B【解析】∵2cos cos cos b B a C c A =+，∴2sin cos sin cos sin cos sin()sin B B A C C A A C B =+=+=．∵0πB <<，∴1cos 2B =，∴π3B =． ∵2221cos 22a cb B ac +-==，2b =，∴224a c ac +-=． ∵222a c ac +≥，∴24ac ac -≤，即4ac ≤，当且仅当a c =时等号成立，∴11sin 4222ABC S ac B =≤⨯⨯=△ABC △． 5．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，三内角A ，B ，C 成等差数列，若1b =，则ABC △周长的取值范围为（） A ．(1,2)B ．(1,3)C ．(2,3]D ．(1,3]【答案】C【解析】方法一：由A ，B ，C 成等差数列，πA B C ++=，得π3B =． 由正弦定理，得sin sin sin a b c A B C === 所以2ππsin )1sin()]12sin()136a b c A C A A A ++=++=+-+=++．因为2π03A <<，所以π22sin()136A <++≤，故选C ．方法二：由A ，B ，C 成等差数列，πA B C ++=，得π3B =， 又2222222π3()()2cos ()3()344a c a cb ac ac a c ac a c ++=+-=+-≥+-=，当且仅当a c =时等号成立，∴2a c +≤， 又1a c b +>=，则23a b c <++≤，故选C ．6．在锐角三角形ABC 中，tan A =，sin B C =，则sin sin A C=（）A ．12B ．2C D【答案】B【解析】由sin tan cos 3A A A ==，22sin cos 1A A +=，解得cos 4A =（cos 4A =-舍去）． 记内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由sin B C =及正弦定理可得b =，由余弦定理可得22222222cos 644a b c bc A c c c =+-=+-⨯=， 得2a c =，所以sin 2sin A aC c==． 7．若ABC △的三个内角满足6sin 4sin 3sin A B C ==，则ABC △是（） A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．以上都有可能【答案】C【解析】由题意，利用正弦定理可得643a b c ==，则可设2a k =，3b k =，4c k =，0k >，则2224916cos 0223k k k C k k+-=<⨯⨯， 所以C 是钝角，所以ABC △是钝角三角形，故选C ．8．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a =，π2A B -=，则C =（）A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【答案】B【解析】因为ABC △中，π2A B -=，所以π2A B =+， 所以πsin sin()cos 2A B B =+=．因为a =，所以由正弦定理得sin A B =，所以cos B B =，所以tan 3B =． 因为(0,π)B ∈，所以π6B =，所以πππππ()6266C =-+-=，故选B ．9．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且22a c ac bc =+-，则sin cb B=（）A B C D【答案】B【解析】由a ，b ，c 成等比数列得2b ac =，则有222a cb bc =+-，由余弦定理得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，故π3A =， 对于2b ac =，由正弦定理得，2sin sin sin sin 2B AC C ==⋅，由正弦定理得，2sin sin sin c C b B B ===．故选B ． 10．已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且222sin sin sin sin sin cos cos A B C A Bc a B b A+-=+，若4a b +=，则c 的取值范围为（）A ．(0,4)B ．[2,4)C ．[1,4)D ．(2,4]【答案】B【解析】根据正弦定理可得222sin sin sin sin sin sin sin cos cos sin A B C A BC A B A B+-=+，即222sin sin sin sin sin sin sin()A B C A BC A B +-=+，由三角形内角和定理可得sin()sin A B C +=，所以222sin sin sin sin sin A B C A B +-=．再根据正弦定理可得222a b c ab +-=，因为4a b +=，a b +≥，所以4ab ≤，2()16a b +=，得到22162a b ab +=-，所以2162ab c ab --=，所以2163c ab -=，故21612c -≤，24c ≥，2c ≥，故24c ≤<，故选B ．11．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(cos )3b a C C =+，2a =，3c =，则角C =（）A ．3π4B ．π3C ．π6D ．π4【答案】D【解析】由(cos )3b a C C =+，得sin sin (cos )B A C C =， 因为sin sin[π()]sin()B A C A C =-+=+，所以sin cos cos sin sin cos sin (sin 0)3A C A C A C A C C +=+≠，即cos A A =，所以tan A = 因为0πA <<，所以π3A =．由余弦定理sin sin a c A C=，得sin C =．因为2π03C <<，所以π4C =．故选D ． 12．某小区拟将如图的一直角三角形ABC 区域进行改建：在三边上各选一点连成等边三角形DEF ， 在其内建造文化景观．已知20m AB =，10m AC =，则DEF △区域面积（单位：2m ）的最小值 为（）A．B．14C．7D．7【答案】D【解析】根据题意知在直角三角形ABC 中，π6B ∠=， 设DEC θ∠=，m DE a =，则cos m CE a θ=，π2ππ()33FEB θθ∠=-+=-， 所以5πππ()66EFB θθ∠=--=+， 在BFE △中，ππsin()sin 66EB a θ=+，所以πsin()π62sin()π6sin 6a EB a θθ+==+，所以πcos 2sin()6BC CE EB a a θθ=+=++=所以cos 2sin()6a θθ===≥++tan ϕ=）， 所以正三角形DEF的面积2221π300sin 237S a ==≥==．二、填空题13．在ABC △中，90ABC ∠=︒，延长AC 到D ，使得1CD AB ==，若30CBD ∠=︒，则AC =．【解析】设(0)AC x x =>，在BCD △中，由正弦定理得sin sin BD CD BCD CBD=∠∠， 所以2sin BD BCD =∠， 又1sin sin BCD ACB x ∠=∠=，所以2BD x=． 在ABD △中，2222(1)12cos(9030)x x x ⎛⎫+=+-⋅⋅︒+︒ ⎪⎝⎭，化简得22242x x x x ++=， 即32x =，故x =AC =14．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若a =2c =，2(cos sin )b A A =+， 则b =．1【解析】因为2c =，2(cos sin )b A A =+，所以sin sin (cos sin )B C A A =+，即sin()sin cos sin sin A C C A A C +=+，化简并整理得sin cos sin sin A C C A =，又sin 0A ≠，所以sin cos C C =，所以π4C =．2=sin A =，则1cos 2A =±．所以2(cos sin )1b A A =+=． 15．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos()2cos()0a B b A c θθ-+++=， 则cos θ的值为． 【答案】12- 【解析】由正弦定理，得2sin cos()2sin cos()sin 0A B B A C θθ-+++=，展开得到2sin cos cos 2sin sin sin 2sin cos cos 2sin sin sin sin 0A B A B B A B A C θθθθ++⋅-+= 化简得2cos (sin cos sin cos )sin 0A B B A C θ++=，即2cos sin()sin 0A B C θ++=．由三角形内角和定理，得sin()sin 0A B C +=≠，故1cos 2θ=-． 16．在ABC △中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若cos cos 2cos c B b C a A +=，2133AM AB AC =+，且1AM =，则2b c +的最大值是．【答案】【解析】∵cos cos 2cos c B b C a A +=，∴2222222cos 22a c b a b c a A a a+-+-+=，2cos a a A =， ∴1cos 2A =． ∵0πA <<，∴π3A =．∵2133AM AB AC =+， 且1AM =，∴221()133AB AC +=，∴224211999c bc b ++=，即22429c bc b ++=． ∵2(2)24b c bc +≤，∴22223942(2)2(2)4c bc b b c bc b c =++=+-≥+，∴2b c +≤2b c =，即2b c ⎧=⎪⎨=⎪⎩时等号成立，∴2b c +的最大值为三、解答题17．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1sin cos 224B B -=． （1）求cos B 的值；（2）若22b a -=，求sin sin C A的值． 【答案】（1）16-；（2）8．【解析】（1）将1sin cos 224B B -=两边同时平方，得11sin 16B -=，得15sin 16B =，故cos 16B =±， 又1sin cos 0224B B -=>，所以sin cos 22B B >，所以ππ(,)242B ∈，所以π(,π)2B ∈，故cos B =．（2）由余弦定理得22222cos b a c ac B a =+-=+，所以2cos 48c a B c a =-=+，所以8c a =，故sin sin 8C A =． 18．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2222cos cos b c a ac C c A +-=+．（1）求角A 的大小；（2）若ABC △的面积4ABC S =△，且5a =，求sin sin B C +．【答案】（1）π3；（2 【解析】（1）∵2222cos cos b c a ac C c A +-=+，∴22cos cos cos bc A ac C c A =+．∵0c >，∴2cos cos cos b A a C c A =+，由正弦定理得2sin cos sin cos sin cos B A A C C A =+，即2sin cos sin()B A A C =+． ∵sin()sin()sin A C B B π+=-=，∴2sin cos sin B A B =，即sin (2cos 1)0B A -=，∵0πB <<，∴sin 0B ≠，∴1cos 2A =， ∵0πA <<，∴π3A =． （2）∵1sin 2ABC S bc A ===△，∴25bc =． ∵22222251cos 22252b c a b c A bc +-+-===⨯，∴2250b c +=， ∴2()50225100b c +=+⨯=，即10b c +=（或求出5b c ==），∴sin sin sin 2sin sin ()105A A ABC b c b c a a a +=⋅+⋅=+⋅=⨯=。