极限的四则运算(数列极限、函数极限)
(完整版)数列极限的四则运算
lim qn 0 ( q 1)
n
2．运算法则：
lim a a(a为常数)
n
如果 lim an A lim bn B
n
n
则： lim (an bn ) A B n
lim (an bn ) A B
n
lim a n A , (B 0) b n n B
3．语言表达（见教材，略）
此法则可以推广到有限多个数列的情形
n
1 q
n
1 q
1 q
当
q
1
时，
lim
n
T
n
n
lim
1
n n 1
当
q
1
时，
lim
n
Tn
不存在
四、小结：运算法则、常用极限及手段
五、作业：练习 1、2 习题 1
补充：（附纸）
2
3． lim 5n3 n2 4 n 6n5 n 1
5 1 4
解：原式= lim n n3
5
n
6
1 n2
1 n3
6
514
解：原式= lim
n2
n3
n5
0 0
n 6 1 1
6
n4 n5
a0
小．结．：．lim n
a0 x p b0 x q
a1 x p1 b1 x q1
a2 x p2 b2 x q2
例三（机动，作巩固用）求下列数列的极限：
1． lim 2n 1 n 3n 2
解：原式= lim
2
1 n
lim (2
n
1) n
lim 2 lim 1
n
n n
20
2
极限四则运算法则
极限四则运算法则由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法来求极限。
定理1：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)]()(lim[x g x f ±存在，且)(lim )(lim )]()(lim[x g x f B A x g x f ±=±=±。
证明： 只证B A x g x f +=+)]()(lim[，过程为0x x →，对0,01>∃>∀δε，当100δ<-<x x 时，有2)(ε<-A x f ，对此ε，02>∃δ，当200δ<-<x x 时，有2)(ε<-B x g ，取},m in{21δδδ=，当δ<-<00x x 时，有εεε=+<-+-≤-+-=+-+22)()())(())(()())()((B x g A x f B x g A x f B A x g x f所以B A x g x f x x +=+→))()((lim 0。
其它情况类似可证。
注：本定理可推广到有限个函数的情形。
定理2：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)()(lim x g x f ⋅存在，且)(lim )(lim )()(lim x g x f AB x g x f ⋅==。
证明：因为B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，⇒,)(,)(βα+=+=B x g A x f （βα,均为无穷小）)())(()()(αβαββα+++=++=⇒B A AB B A x g x f ，记αβαβγ++=B A ， γ⇒为无穷小， AB x g x f =⇒)()(lim 。
推论1：)(lim )](lim[x f c x cf =（c 为常数）。
推论2：n n x f x f )]([lim )](lim [=（n 为正整数）。
极限的四则运算(1)
例3
求
x2 16
lim
.
x4 x 4
解：lim x 2 16 x4 x 4
( x 4)( x 4) lim
x4 ( x 4)
lim( x 4) x4
lim( x 4) 4 4 8. x4
教材95页练习：
1.求下列极限：
(1) lim(3x2 2x 1) 312 21 1 2 ; x1
(2) lim 2x 1 2 2 1 1 ; x2 3x 1 3 2 1
(3) lim ( x 3)(2x 1) (1 3)(2 1) 3 ; x1 ( x 5)( x 6) (1 5)(1 6) 14
2.4 极限的四则运算（1）
对于一些简单的函数，可以从自变量的值按
某种规定无限变化时相应的函数值的变化趋势找 出函数的极限. 例如，简单函数的极限：
(1)若f ( x) C(C为常数),则lim f ( x) C . x
(2) lim C 0 .
x x
若 0 p 1, 则 lim px 0,lim px不存在.
x
x
解：
3x 2 lim
x
x
lim (3 2) lim 3 lim 2
x
x
x
x x
3 0 3.
法2：lim 3 x 2 3 .
x
x
（3）lim x
5x4 2x
7 4
x x
3 1 4
.
x1 2x2 1
极限四则运算法则
DOCS SMART CREATE
极限四则运算法则
DOCS
01
极限四则运算的基本概念
极限的定义与性质
极限的定义
• 数列极限：当自变量趋向某一值时，数列的项趋向另一值
• 函数极限：当自变量趋向某一值时，函数的值趋向另一值
极限的性质
• 极限存在唯一性：如果一个函数在某个点存在极限，那么这个极限是唯一的
DOCS
间接法求解极限的步骤
• 通过已知条件和极限的性质，间接求出极限的值
• 分析已知条件，找出与极限相关的表达式
• 根据极限的性质，将表达式变形
• 求出极限的值
无穷小量与无穷大量在极限运算中的应用
无穷小量的概念
• 当自变量趋向某一值时，函数值趋向于0，但永远无法等于0
无穷大量的概念
• 当自变量趋向某一值时，函数值趋向于无穷大，但永远无法等于无穷
• 将复杂的极限问题转化为导数问题
过求导数的方法求解极限
• 通过洛必达法则求解极限，简化运算过程
对数函数与指数函数在极限运算中的技巧
对数函数与指数函数在极限运算中的性质
• 对数函数的极限：当自变量趋向于无穷大时，对数函数的极限等于无穷小量
• 指数函数的极限：当自变量趋向于无穷大时，指数函数的极限等于无穷大量
对数函数与指数函数在极限运算中的应用
• 利用对数函数和指数函数的性质，简化极限运算
• 通过变换函数形式，将复杂的极限问题转化为简单的极限问题
04
极限四则运算的案例分析
连续函数与间断函数的极限分析
连续函数的极限分析
断续函数的极限分析
• 连续函数在一点的极限等于函数在该点的值
《高等数学》极限的四则运算
（1）
lim
x2
x2 x2
5 3
（3）
lim
x0
4
x3 3x2
2x2 2x
x
（5） lim (x h)2 x2
h0
h
（2）
lim
x 3
x2 x2
3 1
（4） lim x1
x2
2x 1 x2 1
（6） lim x 1 x1 x 1
《高等数学》 1.5 极限的四则运算
【例1.5.3】 求下列极限
（1）
lim
x
x2 2x
3x 2x
5 3
（2）
lim
x
x2 3x 5 2x3 x2 3
解(1)：原式
lim
x
1 2
3
x 1
x
5 式
lim x
lim x
1 x
3 x2
5 x3
2 2
1 1x x
3 x33 x3
1 x
3 x2
5 x3
0
定理1 （极限的四则运算法则）设极限 lim f (x) 与 lim g(x) 均存在 ，则
（1） lim[ f (x) g(x)] lim f (x) lim g(x) （2） lim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x) （3） lim f (x) lim f (x) ，(lim g(x) 0)
《高等数学》
【练习2】求下列极限
（1）
lim
x
2x2 3x2
5x 2x
1 3
（2）
lim
x
4
x3 3x2
2x2 2
x
x
（3）
1.5 极限的运算法则
o
x
例11
当a0 0, b0 0, m和n为非负整数时求 , a0 x m a1 x m 1 am lim 。 n n 1 x b x b x bn 0 1
x m a0 a1 x 1 am x m ) 解 原 式 l i m( n 1 n x x b0 b1 x bn x
单侧极限为 解 x 0是函数的分段点，两个
x 0
lim f ( x ) lim (1 x ) 1,
x 0
x 0
lim f ( x ) lim ( x 1) 1,
2 x 0
y 1 x
y x2 1
y
左右极限存在且相等,
1
故 lim f ( x ) 1.
n n
(1) lim ( xn yn ) A B
n
(2) lim xn yn AB
n
xn A (3) 当 yn 0 且 B 0时, lim n y n B
提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由 定理2.1/2.2 直接得出结论 .
第五节 极限的运算法则
一、极限的四则运算法则 二 、极限的复合运算法则 三、数列极限与函数极限的关系
第一章
一、 极限的四则运算法则
定理 1 . 若 lim f ( x) A , lim g ( x) B , 则有 证: 因 lim f ( x) A , lim g ( x) B , 则有
例2. 设有分式函数
其中
都是
多项式 , 若
证:
试证:
x x0 x x0
x x0
lim R( x)
极限四则运算
(3n 2)(3n 1)
1/3
例4： 已知lim x2 ax 3 b， 求常数a,b的值
x1
x 1
a=－2;b=－4
例5： 在半径为R的圆内接正n边形中，r 是边心距， n
p 是周长，S 是面积
n
n
1） S 与p 有什么关系
n
n
2）
求 lim
rn与lim
p n
n
n
3） 利用1),2)的结果， 说明圆面积公式S R2
例6：1） 已知首项为a , 公比 1
为q(0 | q | 1)的无穷递缩等
比数列的前n项和为S ， n
求 lim
S n
n
R O rn
2)如图， 在直角坐标平面内， 动点P由原点O出发，
沿x轴正方向前进a个单位， 到达P点， 接着沿y轴 1
的正方向前进a 个单位， 到达P点， 而后又沿x轴
2
2
的负方向前进个 a 单位， 到达P点， 再沿y轴的负
22
3
方向前进 a 个单位到达P点，
23
4
y
以后将以上述方式运动无限继续
下去， 试求点P的极限位置。
P3
P2
P4 P5
作业：练习：P91 4a , 2a O 5 5
P1 x
极限的 四则运算
引入 1、当 x
∞时， 函数f(x)的极限
lim f ( x) lim f (x) a lim f ( x) a
x
x
x
x x 2 、 当
0 时，函数f(x)的极限
lim f (x) lim f (x) a lim f (x) a
极限的四则运算
极限四则运算：
定义：所谓的极限四则运算法则：需要具有两个极限同时存在，如果有一个极限自身不存在的时候，四则运算法则无法成立。
性质：唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等。
有界性：如果一个数列’收敛‘（有极限），那么这个数列一定有界。
保不等式性：设数列{xₙ} 与{yₙ}均收敛。
若存在正数N ，使得当n>N时有xₙ≥yₙ，则（若条件换为xₙ>yₙ，结论不变）。
和实数运算的相容性：如果两个数列{xₙ} ，{yₙ} 都收敛，那么数列{x ₙ+yₙ}也收敛，而且它的极限等于{xₙ} 的极限和{yₙ} 的极限的和。
其中我们可以设：limf（x）和limg（x）存在
令：limf（x）=A，limg（x）=B，其中，B≠0；c是一个常数
备注：四则运算可以相互带入数值进行互算，第四带入数值B不能为0不然等式不能成立。
极限四则运算(201908)
引入 1、当 x
∞时， 函数f(x)的极限
lim f (x) lim f (x) a lim f ( x) a
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
x
x x 2 、 当
0 时，函数f(x)的极限
lim f (x) lim f (x) a lim f (x) a
x x0
x x0
x x0
函数极限的四则运算：
如果 lim f ( x) a lim g( x) b 那么
x x0
x x0
lim [ f ( x) g( x)] a b x x0
lim [ f ( x) g ( x)] a b
lim xx0 f ( x) a (b 0)
xx0 g ( x) b
lim C f ( x) C a
x x0
lim [ f ( x)]n [lim f ( x)]n (n N )
x x0
x x0
注：1、上述法则可推广到有限个函数的加，减，乘，除。
2、上述法则对 x 的情况仍然成立。
； / 美乐家 ；
占曰 是后 故元帝渡江左以后 辰星庙也 北夷之气如牛羊群畜穹庐 长八寸 三百七十八日十六万六千二百七十二分 以馀数乘之 讨公孙文懿 汉朝所从 三曰天棓 九年正月 是故天子常以冬夏至日御前殿 黄 十一年三月戊申 为兵丧 五岳视三公 图纬皆云 有桃印 以馀数乘之 魏氏受禅 上 生中吕 襄阳〔侯相 流星晖然有光 如月周得一 推卦用事日 日行十四分 信陵 差法除之 景福来造 五年二月甲子 谋慕容皝 出东方 重黎司晷 历数之纲纪 阳气微 桐 有兵丧 独是莫晓 内乱兵起 即为悉应律也 皆临大海 赵王废后 流为天棓 日蚀于朔 皆将士精勇 五年 馀命以纪
极限的运算法则及
(5)
又存在正整数 2，当 > N2时，恒有 N n
即
a − ε < zn < a + ε.
(6)
取N = max{N0 , N1, N2}, 当n>N时，(5)式与(6)式
同时成立，又由条件(1)可得
a − ε < yn ≤ xn ≤ zn < a + ε ,
即得 | xn − a |< ε.
则有
x→x0
lim f (x) = lim (a0 xn + a1xn−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + an−1x + an )
x→x0
= a0 lim xn + a1 lim xn−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + an−1 lim x + an
x→x0
n
x→x0
x→x0
= a0 x0 + a1x0 = f (x0 ).
| [ f (x) + g(x)] − ( A + B) | ≤| f (x) − A | + | g(x) − B |
< + = ε, 2 2
ε ε
故 lim[ f (x) + g(x)] = A + B.
x→x0
定理2.8中的(1)和(2)可以推广到有限个函数的代 数和及乘积的极限情况.结论(2)还有如下常用的推论. 推论1 设limf(x)存在，则对于常数c，有
第三节 极限的运算法则及 存在准则
一、极限的四则运算 二、极限的存在准则 三、两个重要极限
一、极限的四则运算
下面的定理，仅就函数极限的情形给出，所得的结 论对数列极限也成立. 定理2.8 设 f (x) = A, limg(x) = B，则 lim
数学分析中求极限的方法总结(最新整理)
,(
型).
定理 6.2：设（1）当 x 时,函数 f x 和 F x 都趋于零;
f (x)
（2）在
a
点的某去心邻域内,
f
'x和
F
'x
都存在且
F
'x
0
;（3）
lim
xa
( x )
F
( x)
存在
(或无穷大),
则
定义 6.3：这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达 法则.
lim
1 1 x2
lim
1
1
解原式 x
1
x
1 x x2
x
1 x2
1
.
型：
lim sec x tan x
例 13 求 x
.
2
sec x tan x 1 sin x 1 sin x
解
cos x cos x cos x ，
lim 1 sin x lim cos x 0
故原式 x cos x x sin x .
x
x
故 x 在 x 时是无穷小量。 1 x3
利用无穷小量与有界函数的乘积还是无穷小量。
所以
1
x sin
lim
x 0
x 1 x 3
.
10.利用等价无穷小的代换求极限
利用等价无穷小代换求函数的极限时，一般只在以乘除形式出现时使用，若以和、差形式出现时，不
要轻易代换，因为经此代换后，往往会改变无穷小之比的阶数，故此慎用为好。常见等价无穷小量(
数学分析中求极限的方法总结
精心整理
1 利用极限的四则运算法则和简单技巧 极限的四则运算法则叙述如下：
2.4极限的四则运算(2)
2011-4-10
1+ 2 + 3 +⋯+ n 求 . 例3 、 lim 2 n →∞ n
1+ 2 + 3 +⋯+ n lim n →∞ n2 n 1 2 = lim 2 + lim 2 + ⋯ + lim 2 n →∞ n n →∞ n n →∞ n = 0 + 0 +⋯+ 0 =0
1+ 2 + 3 +⋯+ n lim n →∞ n2 1 n( n + 1) = lim 2 2 n →∞ n n +1 1 = lim = n →∞ 2n 2
0 0
lim [ f ( x)] = lim f ( x) = a n n ∈ N * （2）x→ x ） x → x0 0
n
2011-4-10
n
(
)
2、函数极限的四则运算法则：x → x0 ) 函数极限的四则运算法则： (
+
如果 lim f (x) = a, lim g(x) = b，那么 + +
练习4： 练习 ： 化下列循环小数为分数: 化下列循环小数为分数
(1)0.7； (2)0.28.
. . .
注意: 注意 由上知化循环小数为分数,实际上就是求无穷等比 由上知化循环小数为分数 实际上就是求无穷等比 数列的各项之和： 数列的各项之和：
S = lim S n
n→ ∞
a1 ( q < 1) = 1−q
2
lim = n→∞
n 4n 2 + n + 2n
1 1 4+ +2 n
函数极限的四则运算法则
极限的四则运算法则：极限的四则运算法则是在学习了极限概念和无穷小量与无穷大量之后的又一重要内容，也是学习导数和微分的重要基础知识。
在进行极限的四则运算法则之前，需要对极限的概念、无穷小量和无穷大量的概念、无穷小量的运算性质、无穷小量和无穷大量的关系等基本内容都有初步学习和了解，而对于如何利用无穷小量的运算法则、无穷小量与无穷大量之间的关系求取函数的极限，以及利用观察法求取数列的极限和简单函数的极限，需要进行进一步的学习与掌握。
极限的四则运算公式表公式加减法，，则乘法，，则除法，，且y≠0，B≠0，则极限的四则运算法则是两个函数的极限都存在，并且分母的极限还不等于0的情况下，当这两个条件都满足的，那么两个函数在和、差、积、商的极限和这两个函数的极限的和、差、积、商都相等；对于一个常数与一个函数的乘积的极限的情况，其结果等于这个常数与这个函数的极限乘积；并且一个函数的乘方的极限和这个函数的极限乘方也是相等的。
在解决具体问题时，需要根据实际情况进行运算和解答，重视实际应用。
当极限的函数是一个整式，可以直接运用极限的四则运算法则来进行计算。
例如，当x趋近于1时，分母的极限不是0，可以直接对法则进行运用和计算。
例：= =三极限的四则运算法则在进行函数极限求解时需要注意的事项第一，对于分式来说，当其分母的极限不等于0时，才能直接运用四则运算法则进行求解。
第二，避免一些常见的错误的认识，例如对c/0=∞，（c为任意的常数），∞-∞=0，∞/∞=0等。
第三，对于无穷多个无穷小量来说，其和未必是无穷小量。
四极限的四则运算法则的归类1.x→x0这种情况第一，当函数f（x）是一个整式，可以对极限的四则运算法则进行直接的运用和计算，或是直接对f（x0）进行求解。
第二，当函数f（x）是一个分式，其分母的极限等于0，而要注意分子的极限并不等于0，那么便可以对极限的四则运算法则进行直接的运用并计算，或者求出f（x0）。
第三，在函数f（x）是个分式的情况下，当分母的极限为0时，那么分子的极限不等于0，可以先对lim =0进行求解，再根据无穷小量和无穷大量这之间的关系来进行计算。
极限的性质与四则运算法则
例
求 极li限 m2x53x21。 x4x5 x3 7
计算过程
练习 求 极ln i限 m3n4n57n132。 答案 0 很容易可以看出，这一类的极限只和分子、分母的次数 以及(次数相等时)最高次项的系数有关。
例4 求xl i m27xx3334xx2215.
解 xl im 27xx3334xx2215xl im 72xx43xx1533
limf1(x)limf2(x)limfn(x)
推论4 如果 limf(x)存在 ,而k是正整 ,则数 limf[(x)]k [limf(x)]k.
推论5 如果 limf(x)存在且,不 而 k是 为正 零,整 则数 limf([x) ]k [lim f(x) ]k.
注 ⑴应用时必须注意条件，如极限存在、分母不为 零、偶次根号下非负等；
答案 a b
当x→-∞时结果为-(a+b)，故x→∞ 时极限不存在
例7 求limx2 2x. x2 x2
解 原 l式 im x 2 2 xx 2 2 x x 2 x 2 x 2 2 x
lim x22x x 2x2 x2 2x
23 1 3
7. 3
x2
例2 求xl im 1x24x2x13.
解 lim (x22x3) 0, x 1
又 lim (4x1) 30,
x 1
limx22x3 0 0. x1 4x1 3
商的法则不能用
由无穷小与无穷大的关系,得 xl im 1x24x2x13.
0
lx i m b am nxxm n a bm n 1 1xxn m 11 a b00
a b
n m
证明极限的几种方法
证明极限的几种方法一、数列极限法数列极限法是证明极限的常用方法之一。
对于数列 {an}，如果存在实数 a，使得当 n 趋向于无穷大时，数列 {an} 的每一项与 a 的差的绝对值趋近于零，即lim(n→∞)（an - a）= 0，那么我们称数列 {an} 的极限为 a。
例如，考虑数列 {1/n}，当 n 趋向于无穷大时，数列的每一项与 0 的差的绝对值趋近于零，即lim(n→∞)（1/n - 0）= 0。
因此，数列 {1/n} 的极限为 0。
二、函数极限法函数极限法是证明极限的另一种常用方法。
对于函数 f(x)，如果存在实数 a，使得当 x 趋向于某一点 x0 时，函数 f(x) 的取值趋近于 a，即lim(x→x0) f(x) = a，那么我们称函数 f(x) 在 x0 处的极限为 a。
例如，考虑函数 f(x) = 1/x，当 x 趋向于无穷大时，函数的取值趋近于 0，即lim(x→∞) 1/x = 0。
因此，函数 f(x) 在x = ∞ 处的极限为 0。
三、夹逼定理夹逼定理是一种常用的证明极限的方法，适用于一些比较复杂的函数。
夹逼定理的核心思想是找到两个函数 g(x) 和 h(x)，使得对于给定的 x，有g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)，且当 x 趋向于某一点 x0 时，g(x) 和 h(x) 的极限相等，即lim(x→x0) g(x) = lim(x→x0) h(x) = a。
例如，考虑函数 f(x) = x^2sin(1/x)，我们想证明当 x 趋向于 0 时，f(x) 的极限为 0。
为了使用夹逼定理，我们可以找到两个函数g(x) = -x^2 和 h(x) = x^2，使得对于任意 x，有g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)。
当 x 趋向于 0 时，g(x) 和 h(x) 的极限都为 0。
因此，根据夹逼定理，我们可以得出lim(x→0) f(x) = 0。
四、极限的代数运算法则极限的代数运算法则是一组用于计算极限的规则。
极限的四则运算
一、数列的极限：1.极限的概念和运算法则数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n }的项a n 无限地趋近于某个常数a ，那么就说数列{a n }以a 为极限.数列极限的运算法则：如果A a n n =∞→lim ，Bb n n =∞→lim .则 ① ()B A b a n n n +=+∞→lim .② ()AB b a n n n =∞→lim .② ()0,0lim ≠≠=∞→B b B A b a n n n n .（注意：和与积中包含的数列个数必须是有限的，另外这些运算法则逆命题并不一定成立，例如，若已知()n n n b a ∞→lim 存在，n n a ∞→lim ，nn b ∞→lim 不一定存在，可以进行这样的改编，让学生自行判断和举反例。
）2.基本数列极限①为常数）；C C C n (lim =∞→ ②）；*(01lim N n n n ∈=∞→ ③）；1|(|0lim <=∞→q q n n 而对于n n q lim ∞→，当1=q 时，1lim =∞→n n q ；当1||>q 或1-=q 时，n n q lim ∞→极限不存在。
3.无穷等比数列各项和当公比1||0<<q 时,无穷等比数列ΛΛn a a a a ,,,321的各项和为:）；1||0(11lim <<-==∞→q q a S S n n（可以让学生解释各项和怎么由前n 项和公式演变而来，注意适用范围及两者区别）4.常见的数列极限可以归纳为两大类:第一类是两个关于自然数n 的多项式的商的极限:)0,0,,(.0;,*01110111lim ≠≠∈⎪⎩⎪⎨⎧>==++++++++----∞→l k l l l l k k k k n b a N l k k l k l b a b n b n b n b a n a n a n a 时，当时当ΛΛ当l k >时,上述极限不存在.第二类是关于n 的指数式的极限: ⎩⎨⎧=<=∞→时，当时；当111||,0lim q q q nn当1||>q或1-=q时,上述极限不存在（注意：求极限时，把常数项提到极限记号外面可以使运算变得很简洁。
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a
k
，lim（C n
an）
Ca
。
例1、已知 lnim(6an bn ) 11 lnim(3an 2bn ) 7
求 lnim(2an bn ) 的值。
解：2an+bn=
1 15
(6an-bn)+
8 15
(3an+bn),
∴ lnim(2an bn )
3)
lim (
x
x3 2x2 1
x2 2x
) 1
KEY：1) 0（分子分母同除以x4)； 2）0(分子有理化） 3）1/4（通分）
例3、（1）求
lim
x1
2x2 x3
x 1 2x2 1
的值。
x2 1
（2）求
lim
x1
2x2
x 1
的值
（见课本P87，注意其中的说明。）
3 5
( 2)n1 5
[1 ( 2)n ] 5
2
3 [(2)n1 55
( 2)2n1] 5
∴
lim
n
Tn
3 5
[ 1
1
2
5 1
4
]
3 (5 10) 5 . 5 3 21 7
5 25
例5、有一个边长为1的正方形，以其四边中点为顶点画 第二个正方形，再以第二个正方形的四边中点为顶点画
=
lim[ 1 n 15
(6an
bn
)
185（3an
2bn
)]
=
1 15
×11+
185×(-7)
= -3 .
∴ lnim(2an bn ) = -3 .
例2、求下列数列的极限
1
lim (
n
1 n2
2) n
2lim n
2n2 3n2
n 2
3
lim
n
3n3 2n4
那么 xlimxo（f(x)±g(x)）=a+b；
xlimxo（f(x) ·g(x)）=a·b；
lim
x xo
f(x) g(x)
=
a b
(b≠0)
例1、求 lim x
x2 3 3 x3 1
，lim x
x2 3 3 x3 1
及
lim
x
3
x2 3 x3 1
。
解： lim x
极限的四则运算
一、数列极限的四则运算法则：
如果：
lim
n
an
a
lim
n
bn
b
那么： lnim(an bn ) a b
lnim(an bn ) a b
lim an a (b 0)
b n n
b
注：1）可推广到有限个数列的极限运算；
2）由此可得： lnim(an )k
1lim 1 2 3 n
n
n2
2lim ( 1
n 2n
3 4n
7 8n
2n 2n
1) n
3lim[ 1
n 2 5
1 58
1 8 11
3n
1
13n
2]
注：对于无穷项数列的极限，不能直接使用运算法则 计算每一部分的极限之和，只能先求和再求极限。
n
nan Sn
lim
n
2d 2(a1 d ) n
d 2a1 d
2。
n
2、等差数列{an}与{bn}的前项和分别为Sn和Tn，
若
Sn Tn
2n 3n 1
，求
lim an b n
n
的值.
解：∵数列{an}与{bn}都是等差数列，
∴ an S2n1 2(2n 1) 4n 2 , bn T2n1 3(2n 1) 1 6n 2
2
sin2 x cos2 x )
x 2
1
2
。
（4）若 lim ( x2 1 ax b) 0 ，求a,b。
x x 1
（提示：通分。a=1,b=-1)
例5、若
lim
x2
x2 ax b x2 x 2
2 ，求a,b的值。
解：x 2 时，分式的分母 x2 x 2 0 ，同时分母 中有因式 x 2。又由于分式的极限值是常数2，所以 分子中也应该有因式 x 2 ，需约去公因式 x 2 后，
第三个正方形，……，依次无限地进行下去，求所有这 些正方形面积之和。
解正：方设形第边n长个an正+1方= 形2边an长，为面a积n，bn面+1=积1为bbnn，，则第n+1个
2
2
1
∴数列{bn}是一个首项为1，公比为 的等比数列，
2
∴所有正方形面积之和为S=
1 1 1
2。
2
极限综合练习
1、的已前知n{a项n}和是，公求差不lnim为 n0Sa的nn 等的差值数。列，如果Sn是{an}
x2 3 3 x3 1
lim
1
3 x2
x
3
1
1 x3
lim
x
3
x2 x3
3 1
lim
1
3 x2
x
3
1
1 x3
x2 3
∵
lim
x
3 x3 1
≠ lim x2 3 x 3 x3 1
lim x
1
3 x2
lim
x
3
1
2 an an1 5 an (n N
)
∴又数由列S{nan}1是 32一a个n首a项1 为15332
a1
a1
3. 5
，公比为 2
5
的等比数列，
∴
an
3 5
(
2 5
)
n1，Sn
1
2 3
an 1
2 3
3 ( 2)n1 55
1 (2)n. 5
∴
an S n
1 x3
3
1 0 1 0
1
;
lim x
1
3 x2
lim
x
3
1
1 x3
3
1 0 1 0
1
;
x2 3
∴
lim x 3 x3 1
不存在。
例2、求极限：
1) lim x3 x 1 x 2x4 x 2
2) lim ( x2 1 x2 1) x
sin in2 x
x)
)
2
(3) lim ( sin x tan2 x)
x
cos2 x
lim ( sin x ) x 1 sin x
2
2
lim（sin x）
提示：（1）分子有理化。
x
（2）通分。
2
lim（1
sin
x）
（3）原式
sin x
lim
x
( c os2
x
lim (1 1 )n3 lim (1 1 )3
n n 3
n n 3
e1 e.
二、函数数列极限的四则运算法则：
（1）、当x时，函数f(x)极限的运算法则：
如果 xlimf(x)=a, xlimg(x)=b,
那么 xlim（f(x)±g(x)）=a+b；
例6、已知 lim (1 1)n e (e为常数),
n
n
求lim (1 1 )n 的值。 n n 3
解：∵ lim (1 1)n e ， n n
∴ lim (1 1 )n n n 3
lim (1 1 )n3 (1 1 )3
n n 3
n3
lim
n
5n an2 bn c
lim 25n2 (an2 bn c) n 5n an2 bn c
（25 a)n b c
lim
n 2
n
5
a
b n
c n2
25 a 0
b 2
5 a
解得： a=25,b=20。
例5、求下列数列的极限：
•
（1）0.9
••
（2）0. 21
••
（3）0.2 3 2
•
解： 0.9 0.9 0.09 0.009
0.9
1 ;
1 0.1
••
0.21 0.21 0.0021 0.000021
0.21 21 7 1 0.01 99 33
;
••
0.232 0.2 0.032 0.00032
例3、已知
2n an
lim
n
2n
an
1
，其中a∈R,则a的
取值范围为________.
(-2＜a＜2)
例4、已知 lim (5n an2 bn c ) 2 ，求a,b。 n
解：lim (5n an2 bn c ) n
(5n an2 bn c )(5n an2 bn c)
∴ lim an lim 4n 2 2。 n bn n 6n 2 3
lim ( 3 x2 2 3 x 4) x8 ( 1 x 3)