运筹学04-整数规划-匈牙利解法

匈牙利数学家考尼格（Konig）提出的，得名匈牙利解法 （the Hungarian Method of Assignment） 1、匈牙利解法的基本思想---适用条件 基于任务分配问题的标准型，标准型要满足下述三个条件： （1）目标要求为min （2）效率矩阵{aij}为n阶方阵 （3）阵中所有元素aij≥0,且为常数
表
非最优阵的变换
第四章 整数规划
3、匈牙利解法的计算步骤： 第四步：重新标号
抹掉原来的标号，回到最优性检验，并进行重新标号，直到得到最优解
表
0 2 1 // 0
// 0
试分配过程
// 0
7
4 0 2
0
2 4
2 4 0 0
0 2 1 0 //
/ 0
7
第四章 整数规划
最优性检验后可能可能出现的情况
① 每行都有一个零元素标有括号，显然这些括号零在不同行 和不同列，因此得到最优解。 ②每行、每列都有两个或更多的零，这是从剩有零元素最少的 行开始，比较这行各零元素所在列中零元素的个数，选择零 元素少的那列的这个零元素打括号，划掉同行同列的其他零 元素，然后重复以上步骤，直到所有零都做了标记。 ③矩阵中所有零都做了标记，但标有（）的零元素个数少于 m，此时就可以找出能覆盖矩阵中所有零元素的最少直线的 集合。 步骤如下：
即甲安排做第二项工作、乙做第一项、丙做第四项、丁做 第三项, 最高总分Z＝92＋95＋90＋80＝357
分配问题与匈牙利法
2. 不平衡的指派问题
当人数m大于工作数n时，加上m－n项虚拟工作，例如：
5 11 8 6 3 9 6 14 4 2 10 3 17 5 1 5 11 8 6 3 9 6 14 4 2 10 3 17 5 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
由于maxf(x)与求 -min[-f(x)]相同，所以将 max型的效率矩阵{aij}变为{ — aij}求min问 题，如下页表
第四章 整数规划
表
任务分配的权益表
表
变换为求最大问题
机器 人员 甲 乙 丙 丁 机器
A 14 11 13 17 1
B 9 7 2 9 1
C 4 9 10 15 1
D 15 10 5 13 1
m
m
a ij x ij
这样得到新效率矩阵的最优解，根据定理 1，他也是原问题的最优解。 （3）验证最优解的方法：设法用最少的直线数覆盖方阵中位于不同行、 不同列的零元素。 如果覆盖所有零元素的最少直线数等于m，则得到最优解，否则不是
第四章 整数规划
3、匈牙利解法的计算步骤： 第一步：效率矩阵的初始变换----零元素的获得 （1）行变换：找出每行的最小元素，该行各元素减去这个最小元素。 （2）列变换：找出每列的最小元素，该列各元素减去这个最小元素。
7
4
0
4
0 2
2
2 4 // 0 0
0 2 1 0//
// 0
7
4
0
4
0 2
2
2 4 // 0 0
第四章 整数规划
D、目标函数为最大的任务分配问题
如果目标函数为MAX型，则不属于标准的任务分配模型，不 能直接运用匈牙利解法求解，这就需要先对max模型进行变换， 然后再求解。 例：有甲、乙、丙、丁4人分别操作4台机器，每个工人操作不 同机器时的产值如表，求对4个工人分配不同机器时总产 值最大的方案。
分配问题与匈牙利法
4. 某事一定不能由某人做的指派问题
将该人做此事的效率系数取做足够大的数，可用M表示
。
例 分配甲、乙、丙、丁四个人去完成A、B、C、D、E五 项任务。每个人完成各项任务的时间如表所示。由于任务 数多于人数，考虑任务E必须完成，其他4项中可任选3项完 成。试确定最优分配方案，使完成任务的总时间最少。
分配问题与匈牙利法
1. 最大化指派问题
处理方法：设m为最大化指派问题系数矩阵C中最大元素。
令矩阵B＝（m-cij）nn则以B为系数矩阵的最小化指派问题 和原问题有相同的最优解。
例 某人事部门拟招聘4人任职4项工作，对他们综合 考评的 得分如下表（满分100分），如何安排工作使 总分最多。
甲 85 乙 95 C＝ 丙 82 丁 86 92 87 83 90 73 78 79 80 90 95 90 88
若某人可做几件事，则将该人化作相同的几个“人”来接受 指派，且费用系数取值相同。 例如：丙可以同时任职A和C工作，求最优指派方案。
甲 乙 丙 15 6 10 20 5 13 10 4 16 9 7 17
15 6 10 10 20 5 13 13 10 4 16 16 9 7 17 17
2、匈牙利解法的基本思路：
（1）按照定理1中所述方法不断变化效率，设法在原有效率矩阵基础上经 变换后找出一组有m个不同行、不同列零元素的新效率矩阵。 （2）新效率矩阵中，令对应于不同行、不同列的的那组零元素所对应的 xij=1，其余xij=0，由此计算出目标函数为：
minf(x)


i 1 j 1
第四章 整数规划
例：有甲、乙、丙、丁四个熟练工人，他们都是多面手， 有4个任务要他们完成，若规定每人只分配一次任务， 而每项任务只能由一个人完成，每人未完成每项任务的 工时耗费如表所示，问如何分配使完成任务的总工时耗 费最少？
表 零件机床 甲 乙 丙 丁 零件 A 4 9 8 6 1 任务分配工时耗费表 B 1 8 4 5 1 C 8 4 6 7 1 D 2 7 3 2 1 机床 1 1 1 1
minf
m
x

i 1 j 1
m m
a ij x ij
x 1 ij j 1 m x ij 1 i 1 x 0 ij
i 1,2, , m j 1,2, , m
或1
第四章 整数规划
C、任务分配问题的解法-----匈牙利解法
经变换后的效率矩阵，其每行、每列至少有一个零元素。
4 9 8 6
1
8 4 5
8
4
6 7
2 3 7 5 3 5 2 4
0 4 1 3
7 0 3 5
1 0 3 2 0 2 1 0
0 4 1 3
7 0 3 5
1 3 0 0
表 效ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 矩阵 的 初始 变换
第二步：最优性检验
检查能否找到m个位于不同行、不同列的零元素，即检查覆盖所有零元 素的直线是否为m条
第四章 整数规划
3、匈牙利解法的计算步骤： （1）逐行检查：从第一行开始，如果该行只有一个零元素，就在这个
第四章 整数规划
步骤如下： 对无（）的行打√ 对打√行上所有零元素的列打√ 在打√的列上有（）的行打√ 重复步骤，直到过程结束 对没有打√的行划横线，对所有打√的列划垂线，这时得 到覆盖矩阵中所有零的最少直线数
（ 0） 2 2 1 1 4 (0) 3 1 3 (0) // 3 5 0 0// 7 （ 0） 2 2 1 1 4 (0) 3 1 3 (0) 3 5 0 0 7
0
1 8 4
0
7 4
0
表所示，最终表为最优解，此时甲→D，乙→B，丙→A，丁→C 目标函数为 maxf(x)=15+7+13+15=50
分配问题与匈牙利法
非标准型的指派问题： 匈牙利法的条件是：模型求最小值、效率cij≥0。 当遇到各种非标准形式的指派问题时，处理方 法是先将其转化为标准形式，然后用匈牙利法 来求解。
第四章 整数规划
B、任务分配问题的数学模型
设：xij为第i个工人分配去做第j项任务 aij为第i个工人为完成第 j 项任务时的工时消耗。则
1 当分配第j项任务给第i个工人时 x ij 0 当不分配第j项任务给第i个工人时
i,j=1,2,…,n
由于每人只允许分 配一项任务， 且每项任务只能由 一人来完成， 故其数学模型、目 标函数及约束条件 如下：
人员 任务 A 25 B 29 C 31 D 42 E 37
甲
乙
丙 丁
39
34 24
38
27 42
26
28 36
20
40 23
33
32 45
分配问题与匈牙利法
解: 1) 这是不平衡的指派问题，首先转换为标准型，再用 匈牙利法求解。 2) 由于任务数多于人数，所以假定一名虚拟人，设为戊。 因为工作E必须完成，故设戊完成E的时间为M（M为非 常大的数），其余效率系数为0，则标准型的效率矩阵表 示为：
13 8 7 2
2
1 7 0 12 0 0 4 2
6
11
0
4 2
11 8 9 0 1 3 2
1 8 4
0 1 1 0 8 0 0 4
④ 只有一条直线覆盖的元素的值保持不变。 由此，得到新的效率矩阵，以此更易标出m个不同的行和列的零元素。
0 2 2 1
0 4 1 3
7 0 3 5
1 0 3 2 0 1 0 0
0 4 0 2
7 0 2 4
2 4 0 0
分配问题与匈牙利法
C (95 c ij )
解: M＝95，令
10 0 C ＝ 13 9
0 1 X＝ 0 0
3 8 12 5
22 17 16 15
5 0 5 7
0 0 1 0
用匈牙利法求解C’，最优解为：
1 0 0 0 0 0 0 1
第四章 整数规划
3、匈牙利解法的计算步骤： 第三步：非最优阵的变换——零元素的移动
当表中的覆盖所有零的直线数小于m时，得到的不是最优解，因此需要 对表中矩阵进一步进行变换，过程如下： ① 在未被直线覆盖的所有元素中找出最小元素 ② 所有未被直线覆盖的元素都减去这个最小元素 ③ 覆盖线十字交叉处的元素都加上这个最小元素
人 员 1 1 1 1
机器 人员
A
B
C
D
甲
乙 丙 丁
-14
-11 -13 -17
-9
-7 -2 -9
-4
-9 -10 -15
-15
-10 -5 -13
第四章 整数规划
求解过程
3 6 4 0 1 0 0 0 2 0 7 4
8 10 15 8 9 0 1 0
当人数m小于工作数n时，加上n－m个人，例如
15 6 10 20 5 13 10 4 16 9 7 17
15 6 10 0 20 5 13 0 10 4 16 0 9 7 17 0
分配问题与匈牙利法
3. 一个人可做几件事的指派问题
定理1
设一个任务分配问题的效率矩阵为{aij}，若{aij}中每一行元素分别减去 一个常数ui，每一列元素分别减去一个常数vj，得到一个新的效率矩阵{bij}， 其中一个元素bij=aij-ui-vj，则{bij}的最优解等价于{aij}的最优解。
第四章 整数规划
定理2
若一个方阵中的一部分元素为零，一部分元素非零，则覆盖方阵中所 有元素的最少直线等于位于不同行、不同列的零元素最多个数。
零元素上打上括号，并划去打括号零元素同列的其他零元素。 如果该行没有零元素，或有两个或多个零元素（已划去的不记在 内），则转下行 （2）逐列检查：依照行检查的方法从第一列开始逐列检查。
表 最优性检验
0 2 2 1 0 7 1 （0） 4 0 3 2 1 3 0 2 3 5 0 1 1 4 (0) 3 1 3 ( 0) 3 5 0 /
人员 任务 A 25 B 29 C 31 D 42 E 37