罗尔定理

至少存在一个 使得f ' ( )=0. 2、罗尔定理的结论
几何意义:曲线有水平切线. 3 、罗尔定理的条件是充分非必要条件. ' 4、罗尔定理研究的是导数方程 f (x)=0 的 根的存在性问题。
0
1
x
例2
f ( x) x , x [1,1] (略)
y
(1) f ( x ) C[1,1]; ( 2) f ( x ) D( 1,1); ( 3) f ( 1) f (1).
例3
1
0
1
x
f ( x) x, x [0,1] (略)
y
(1) f ( x ) C[0,1]; ( 2) f ( x ) D(0,1); ( 3) f (0) f (1).
0
1
x
四、罗尔定理的初步应用
例1：验证下面的函数是否满足rolle定理的条件， 若满足，求出使 f ( ) 0 的点。
f ( x ) x 2 2 x 3 ( x 3)( x 1). 在区间[-1,3]上。
解：( x)在[1,3]上连续, f
在( 1,3)上可导,
一、罗 尔（Rolle） 定 理
主讲人: 龙薇 (惠州广播电视大学)
罗尔简介
罗尔(1652-1719)法国数学家
罗尔年轻时因家境贫困，仅受过初等教育，靠自学精通了代数 和丢蕃图方程分析理论。1682年，他解决了数学家奥扎南提出的 一个数学难题，受到学术界的好评，从此他的生活有了转机。 罗尔在数学上的成就主要是在代数学方面，专长于丢蕃图方程 的研究。他在1691年出版了论著《方程的解法》这本论著本来和 微分学没有关系（当时还没有导数的概念和符号，不过根据定理 的结论恰好相当于多项式的导数）。 但在一百多年后，龙斯托.伯 拉维提斯将《方程的解法》中的一个定理推广到可微函数，并把 此定理命名为罗尔定理.
f ( ) 0
'
y
C
y f ( x)
几何意义
符合罗尔定理条件的曲线 至少有一条水平切线
o
a
1
2 b
x
三、Rolle 定理的条件的讨论
x 0 x 1时 例1 f ( x ) x 1时 0 y (1) f ( x ) C[0,1];
( 2) f ( x ) D(0,1); ( 3) f (0) f (1).
主要内容：
一、相关知识点回顾
二、罗尔定理及其证明 三、罗尔定理的条件的讨论 四、罗尔定理的初步应用
一、相关知识点回顾
1、闭区间上连续函数的性质
（1）（最大值和最小值定理）设f（x）在［a，b］ 连续，则f（x）在［a，b］上可以取到最大值和最小值。
（2）（零点定理）设f（x）在［a，b］连续，且 f（a）f（b） ，则至少存在一点，使得f（） <0 =0
至少存在一个 (在 x0 , x1 之间), 使得 f ( ) 0.
但 f ( x ) 5( x 4 1) 0, ( x (0,1)) 矛盾, x0为唯一实根.
小结：
1、罗尔定理的三个条件 （1）f(x)在 [a ,b]上连续； （2）f(x)在(a,b)内可导； （3）f(a)=f(b)
2、费马（Fermat)引理
若函数 f ( x )在 ( a , b )内一点 x0取得最值， 且f ( x )在点x0可微，则 f ( x0 ) 0
y
y f ( x)
o a
wenku.baidu.com
1
2 b
x
二、
罗尔(Rolle)定理
如果函数 f ( x ) (1).在[a , b]上连续; (2).在( a , b ) 内可导; (3). f ( a ) f ( b ) . 那 么 在 ( a , b ) 内 至 少 有 一 点 ( a b ) , 使 得
则 f ( x )在[0,1]连续,
由介值定理
且 f (0) 1, f (1) 3.
x 0 (0,1), 使 f ( x 0 ) 0. 即为方程的小于1的正实根.
设另有 x1 (0,1), x1 x 0 , 使 f ( x1 ) 0.
f ( x ) 在 x0 , x1 之间满足罗尔定理的条件,
且 f ( 1) f ( 3) 0, 满足rolle定理的条件.
f ( x ) 2( x 1),
取 1, (1 ( 1,3))
则f ( ) 0.
例2 证明方程 x 5 x 1 0 有且仅有一个 小于 1 的正实根.
5
设 证： f ( x ) x 5 5 x 1,