广东省高研会高考测评研究院2021届高三第一学期第一次检测调研卷数学试题(含答案和解析)
广东省2021届高三数学第一次质检试题(扫描版)
2020年下期高三级第一次质检试题数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.答案ADBBC BDA 解析： 1、【答案】A 2、【答案】D【详解】解：(12)2112(12)(12)55i i i z i i i i -===+++-，所以2155z i =- ∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为21,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限．3、【答案】B 9033222325=⋅⋅A A C C 4、【答案】B【详解】当120n =时,每个等腰三角形的顶角为360=3120︒︒,则其面积为21sin 32S r ∆=︒, 又因为等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积, 所以221120sin 3sin 30.052260r r ππ⨯︒≈⇒︒≈≈, 5、【答案】C【详解】充分性：若0d <，则10n n a a d +-=<，即1n n a a +<，122n n a a +∴<，即1n n b b +<， 所以，数列{}n b 为递减数列，充分性成立；必要性：若{}n b 为递减数列，则1n n b b +<，即122n n a a +<，1n n a a +∴<，则10n n a a d +-=<， 必要性成立.因此，“0d <”是“{}n b 为递减数列”充要条件.6、【答案】B【详解】因为l 1⊥l 2，所以sinα﹣3cosα=0，所以tanα=3， 所以22tan 3tan 2.14tan ααα==--7、【答案】D【详解】∵()AB AC AE AB AC AB AE ⋅+=⋅+⋅，由数量积的几何意义可得：AB AC ⋅的值为AB 与AC 在AB 方向投影的乘积， 又AC 在AB 方向的投影为12AB =2，∴428AB AC ⋅=⨯=，同理4312AB AE ⋅=⨯=，∴()81220AB AC AE ⋅+=+=，8、【答案】A【详解】当0x >时，'()22()2ln 220xx x x f x x x f x x =⋅=⋅⇒=+⋅⋅>，函数()f x 在0x >时，是增函数.因为()22()xx f x x x f x --=-⋅=-⋅=-，所以函数()f x 是奇函数，所以有33311(log )(log )(log 2)22b f f f =-=-=，因为33log lo ln31g 20>>>>，函数()f x 在0x >时，是增函数，所以c a b >>二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.答案：9、BD 10、ACD 11、ABD 12、AB 9、【答案】BD 【详解】对A ，()20E X =，∴1100205p p =⇒=，∴14()1001655D X =⋅⋅=，412()114D D X X ⎛⎫⎝+== ⎪⎭，故A 错误； 对B ，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，∴()||()f x f x =，()()22log 0|log |(1)f x f x f >⇔>，∴221log 11log 122x x x <⇔-<<⇔<<，故B 正确； 对C ，1102x x -<⇔<<，∴“0x >”推不出“02x <<”，而“02x <<”可以推出“0x >”，∴“0x >”是“11x -<”的必要不充分条件，故C 错误； 对D ，样本中心点为(), 2.8m -，∴0.3 2.84m m m ⋅-=-⇒=，故D 正确；10、【答案】ACD【详解】由函数的图象有112T =,则2T =，即22T πω==，所以ωπ=，则A 正确. 由图象可得，11()cos()=044f πϕ=+， 所以12.42k k Z ππϕπ+=+∈，即2.4k k Z πϕπ=+∈,由2πϕ<，所以4πϕ=，即()cos()4f x x ππ=+,所以B 不正确.所以函数()f x 的对称轴为：.4x k k Z ππππ+=+∈，即3.4x k k Z =+∈ 当时，34x =是函数()f x 的一条对称轴，所以C 正确.所以函数()f x 的对称中心满足：.42x k k Z ππππ+=+∈，即1.4x k k Z =+∈ 所以函数()f x 的对称轴心为1(,0)4+k ，k Z ∈，所以D 正确. 11、【答案】ABD【详解】A ，由题意可得抛物线的焦点F （2，0），所以A 正确；B ，由题意设直线PQ 的方程为：y 3=（x ﹣2），与抛物线联立整理可得：3x 2﹣20x +12＝0，解得：x 23=或6，代入直线PQ 方程可得y 分别为：43-，43， 由题意可得P （6，43），Q （23，43-）；所以|PQ |323=，所以B 正确； C ，如图M 在抛物线上，ME 垂直于准线交于E ，可得|MF |＝ME |，所以|MF |+|MN |＝|ME |+|MN |≥NE＝2+2＝4，当N ，M ，E 三点共线时，|MF |+|MN |最小，且最小值为4，所以C 不正确； D ，因为P （6，43），Q （23，43-），所以PF ，QF 的中点分别为：（４，23），（43，23-），所以由题意可得A （0，23），B （0，233-），所以|AB |＝22383333+=，所以D 正确；12、【答案】AB【详解】对于A 选项：12345678910111211,2,3,1,0,1,12310g g g g g g g g g g g g ============，，，，， ，，所以数列{}n g 是以6为最小正周期的数列，又20196336+3=⨯，所以20192g =，故A 选项正确；对于C 选项：()()12320193361+1+2+3+1+0+1+1+22692g g g g ++++=⨯=，故C 选项错误；对于B 选项：斐波那契数列总有：+2+1+n n n f f f =，所以()()22222232122232221f f f f f f f f =-=-，()()22121222021222120f f f f f f f f =-=-，所以()()()()222123222022210f f f f f f -+-=，故B 正确； 对于D 选项：()212+2+1112+n n n f f f f f f f f ==∴=，，，()222312321f f f f f f f f =-=-，()233423432f f f f f f f f =-=-，，()2+112121n n n n n n n n f f f f f f f f +++++=-=-。
2020年10月广东省高研会高考测评研究院2021届高三第一次调研联考数学试题
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2021届高三毕业班上学期第一次调研联考
数学试题
2020年10月
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1. 已知集合 A = {x | x - 2 1}， B = {-3, -1, 0,1,3}，则 A
B = （ ） A {-3, -1} B {-1, 0,1} 2. 已知i 为虚数单位，复数 z =
1- 3i 3 + i
C {0,1} ， 则 z = （ ）
D {1, 3} A 1 B 2 C 2 D 3. 已知向量a = (1, 2), b = (-2, m ),且(a + b )/ /a ,则m 的值为（ ） A 1 B -1 C 4 D -4
4. 已知等差数列{a n }的前n 项为 S n , S 2n = 6 , S 3n = 12 ,则 S n 的值为（
） A 2 B 0 C 3 D 4
5. 如图,在一个凸四边形 ABCD 内,顺次连接四边形各边中点 E , F ,G , H 而成的四边形是一个平行四边形,这样的平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形. 如图,现有一个面积为12 的凸四边形 ABCD ,设其对应的瓦里尼翁平行四边形为 A 1B 1C 1D 1 ,记其面积为a 1 ,
四边形为 A 1B 1C 1D 1 对应的瓦里尼翁平行四边形为 A 2 B
2C 2
D 2 ,记其面积为 a 2 ,
,依次类推,则由此得到的第四个瓦里尼翁平行四边形 A 4 B 4C 4 D 4 的面积为（
）
A 1
B 4
27 3 C D 不确定
4 10。
广东省2021届高三数学上学期第一次质量检测试题 文
最新学年高三级第一学期第一次质检试题文科数学2019-10本试卷共4页，22小题， 满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．已知集合{}{}21,20A x x B x x x =≥=--<，则AB =（ ）． A.{}1x x ≥ B.{}12x x ≤< C. {}11x x -<≤ D.{}1x x >- 2．设复数z 满足(3)3i z i +=-，则||z =（ ）．A.12B.1 2 D. 23．为弘扬中华民族传统文化，某中学学生会对本校高一年级1000名学生课余时间参加传统文化活动的情况，随机抽取50名学生进行调查，将数据分组整理后，列表如下：参加场数12 3 4 567参加人数占调查人数的百分比 8% 10% 20%26%18%12% 4% 2%估计该校高一学生参加传统文化活动情况正确的是（ ）．A.参加活动次数是3场的学生约为360人B.参加活动次数是2场或4场的学生约为480人C.参加活动次数不高于2场的学生约为280人D.参加活动次数不低于4场的学生约为360人4．已知双曲线C :222210,0)x y a b a b-=>>（，直线y b =与C 的两条渐近线的交点分别为,M N ，O 为坐标原点．若OMN ∆为直角三角形，则C 的离心率为（ ）． 23C.255．已知数列{}n a 中，3=2a ，7=1a ．若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，则9a =（ ）．A.12B.54C.45D. 45-6．已知1sin()62πθ-=，且02πθ∈（，），则cos()3πθ-=（ ）．A. 0B.12 C.1 37．如图，线段MN 是半径为2的圆O 的一条弦，且MN 的长为2. 在圆O 内，将线段MN 绕N 点按逆时针方向转动，使点M 移动到圆O 上的新位置，继续将线段MN 绕M 点按逆时针方向转动，使点N 移动到圆O 上的新位置，依此继续转动……点M 的轨迹所围成的区域是图中阴影部分.若在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分内的概率为（）．A.4π-12π-C.2π-D.2π8．在边长为3的等边ABC ∆中，点M 满足2BM MA =，则CM CA ⋅=（ ）．A．2B ．C ．6D ．1529．已知函数()314,025,0x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪--+>⎩（），，当[],1x m m ∈+时，不等式()()2f m x f x m -<+恒成( )．A 11．已知过抛物线2y =焦点F l 与x 轴交于点C ，AM l ⊥于点M ，则四边形AMCF 的面积为( ) A ．B ．12C ．D ．12．若关于x 的方程0x e ax a +-=没有实数根，则实数a 的取值范围是( )A ．(2,0e -⎤⎦B ．)20,e ⎡⎣C ．(],0e -D ．[)0,e二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分．13．若实数,x y 满足约束条件200220x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =-的最小值等于______．14．已知长方体1111ABCD A B C D -的外接球体积为323π，且12AA BC ==，则直线1A C 与平面11BB C C 所成的角为______．15．将函数()sin cos f x a x b x =+(),0∈≠R ,a b a 的图象向左平移π6个单位长度，得到一个偶函数图象，则=ba______． 16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且1n n S a λ=-（λ为常数）．若数列{}n b 满足2920n n a b n n =-+-，且1n n b b +<，则满足条件的n 的取值集合为______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分12分)在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，.已知sin sin 03b C c B π⎛⎫--= ⎪⎝⎭.(Ⅰ)求角C 的值；(Ⅱ)若4a c ==，ABC ∆的面积.18.(本小题满分12分)为了了解A 地区足球特色学校的发展状况，某调查机构得到如下统计数据：(Ⅰ)(已知：0.751r ≤≤，则认为y x 与线性相关性很强；0.30.75r ≤<，则认为y x 与线性相关性一般；0.25r ≤，则认为y x 与线性相关性较弱)；(Ⅱ)求y 关于x 的线性回归方程，并预测A 地区2019年足球特色学校的个数(精确到个).参考公式：()()()()12211niii nni i i i x x yy r x x y y ===--=--∑∑∑，()2110ni i x x =-=∑，()211.3ni i y y =-=∑，13 3.6056≈，()()()121ˆˆˆ.nii i nii xx y y bay bx xx ==--==--∑∑，19.(本小题满分12分)如图，三棱台ABC EFG -的底面是正三角形，平面ABC ⊥平面BCGF ，2CB GF =，BF CF =.(Ⅰ)求证：AB CG ⊥；(Ⅱ)若ABC ∆和梯形BCGF 的面积都等于3，求三棱锥G ABE -的体积.20.(本小题满分12分)已知直线:10l x y -+=与焦点为F 的抛物线2:2C y px =(0p >)相切. (Ⅰ)求抛物线C 的方程；(Ⅱ)过点F 的直线m 与抛物线C 交于A ，B 两点，求A ，B 两点到直线l 的距离之和的最小值.21.(本小题满分12分)已知函数()223ln f x x ax a x =-+(a R ∈). (Ⅰ)求()f x 的单调区间；(Ⅱ)若对于任意的2x e ≥(e 为自然对数的底数)，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑. 22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为122x t y a t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数，a ∈R ）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，射线()03θρπ=≥与曲线C 交于,O P 两点，直线l 与曲线C 相交于,A B 两点. （Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）当AB OP =时，求a 的值.23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知()32f x x =+. (Ⅰ)求()1f x ≤的解集；(Ⅱ)若()2f x a x ≥恒成立，求实数a 的最大值.最新学年高三级第一学期第一次质检文科数学试题参考答案一、选择题 1.D 2.B 3.D 4.A 5.C 6.C 7.B 8.D 9.B 10.C 11.A 12.A 1.【简解】()(){}{}|2+10|12B x x x x x =-<=-<<，所以{}|1A B x x =>-，故选D ．2.【简解一】因为()()()()3i 3i 3i i ==3+i3+i 3i 8610z ----=-，所以1z=，故选B ．【简解二】因为(3+i)3i =-z ，所以(3+i)(3+i)=3i z z =-，所以1z =，故选B ． 3.【简解】估计该校高一学生参加活动次数不低于4场的学生约为：1000+⨯（0.180.12+0.04+0.02)=360人，故选D.4.【简解】依题意得：因为∆OMN 为直角三角形，所以双曲线C 的渐近线为=y x ±，即C 是等轴双曲线，所以C的离心率=e A ．5.【简解】依题意得：732,1a a ==，因为数列1{}na 为等差数列，所以7311111273738--===--a a d ，所以()9711159784a a =+-⨯=，所以945=a ，故选C ． 6.【简解一】由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，π3θ=，代入πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭得，πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭=cos01=，故选C ．【简解二】由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，πcos 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以πππππππcos cos cos cos sin sin 13666666θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选C ． 7. 【简解一】依题意得：阴影部分的面积2136[222632S =⨯π⨯-⨯⨯π-1（）624-6333122P πππ==-⋅，故选B ． 【简解二】依题意得：阴影部分的面积2132622=4322S =π⨯-⨯⨯⨯⨯π-4-63331P π==，故选B ．8.【简解一】依题意得：121211215)333333333232CM CA CB CA CA CB CA CA CA ⋅=+⋅=⋅+⋅=⨯⨯⨯+⨯⨯=（，故选D ．【简解二】依题意得：以C 为原点，CA 所在的直线为x 轴建立平面直角直角坐标系，则530,03,02C A M （），（），（，），所以53153,022CM CA ⋅==（，（），故选D ． 【简解三】依题意得：过M 点作MD AC ⊥于D ，如图所示，则CM CA ⋅=CD CA ⋅=15(31cos60)32-⨯⨯=，故选D ． 9. 【简解】依题意得：函数()314,025,0x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪--+>⎩（）在x ∈R 上单调递减，因为()()2-<+f m x f x m ，所以2m x x m ->+，即2x m <，在[],1∈+x m m 上恒成立，所以2(1)m m +<，即2m <-，故选B ．10. 【简解】【解析】∵函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，∴当2x >-时，()0f x '>；当2x =-时，()0f x '=；当2x <-时，()0f x '<．∴当20x -<<时，()0xf x '<；当2x =-时，()0xf x '=；当2x <-或0x >时，()0xf x '>.选：C ．11.【解答】解：解：过B 作BN l ⊥于N ，过B 作BK AM ⊥于K ，设||BF m =，DABM||3AF m =，则||4AB m =，2AK m =，1360222BAA CF p m ⇒∠=︒⇒===42m ∴=342AM m ⇒==3sin 60326MC AF m =︒==则四边形AMCF 的面积为11()(2242)2612322S CF AM MC =+=⨯A ．12.【解答】解：方程0x e ax a +-=没有实数根，得方程(1)x e a x =--没有实数根， 等价为函数x y e =与(1)y a x =--没有交点，当0a >时，直线(1)y a x =--与x y e =恒有交点，不满足条件． 当0a =时，直线0y =与x y e =没有交点，满足条件．当0a <时，当过(1,0)点的直线x y e =相切时，设切点为(,)m m e ，则()x f x e '=，则()m f m e '=， 则切线方程为()m m m m y e e x m e x me -=-=-．即m m m y e x me e =-+， 切线过(1,0)点，则0m m m e me e -+=，得2m =，即切线斜率为2e ， 要使x y e =与(1)y a x =--没有交点，则满足20a e <-<，即20e a -<<， 综上20e a <，即实数a 的取值范围是2(e -，0]，故选：A ． 二、填空题13.【简解】依题意，可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域，目标函数化为：3y x z =-，则z 的最小值即为动直线在y 轴上的截距的最大值．通过平移可知在A 点处动直线在y 轴上的截距最大．因为20:220x y A x y +=⎧⎨-+=⎩解得11,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以3z x y =-的最小值()min 173122z =⋅--=-． 14.【简解】设长方体1111ABCD A B C D -的外接球半径为R ，因为长方体1111ABCD A B C D -的外接球体积为343233R ππ=，所以2R =,即1A C 2221=24AA BC AB R ++=，因为12AA BC ==，所以22AB =因为11A B ⊥平面11BB C C ，所以1A C 与平面11BB C C 所成的角为11ACB ∠， 在11Rt ACB △中，因为12AA BC ==，所以11122B C A B ==，所以11=4ACB π∠．15. 【简解】因为()sin cos f x a x b x =+(),0∈≠R ,a b a 的图象向左平移π6单位长度，得到偶函数图象，所以函数()sin cos f x a x b x =+的对称轴为π6x =，所以()sin cos =(0)=333f a b f b πππ=+，因为0a ≠，所以ba16. 【简解】因为11a =，且1n n S a λ=-（λ为常数），所以111a λ=-=，解得=2λ，所以21n n S a =-，所以()-1-1212n n S a n =-≥，所以12n n a a -=，所以12n n a -=，因为2920n n a b n n =-+-，所以2-19202n n n n b -+-=， 所以2+111+28(4)(7)22n n n nn n n n b b ----==0<，解得47n <<，又因为*n ∈N ，所以=5n 或=6n ．所以，当=5n 或=6n 时，1n n b b +<，即满足条件的n 的取值集合为{}5,6． 三、解答题：17.(本小题满分12分)解: (Ⅰ)∵sin sin 03b C c B π⎛⎫--= ⎪⎝⎭，∴1sin sin sin sin 02B C C C B ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，………………2分∴1sin 02C C =，∴sin 03C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ……………………………………4分∵()0C π∈，，∴23C π=. …………………………6分(Ⅱ)∵2222cos c a b ab C =+-，∴24120b b +-=， ………………………………8分∵0b >，∴2b =， ……………………………… 10分∴11sin 2422S ab C ==⨯⨯=…………………………12分18.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)20161x y ==，， …………………………2分()()()()122113.60.753.605610 1.3niii nni i i i x x yy r x x y y ===--===>--∑∑∑，……………………4分 ∴y x 与线性相关性很强. …………………………6分(Ⅱ)()()()()()()()5152120.710.410.420.7ˆ0.3641014iii ii x x yy bxx ==---⨯-+-⨯-+⨯+⨯===++++-∑∑， (8)分ˆˆ120160.36724.76ay bx =-=-⨯=-， ………………………………9分∴y 关于x 的线性回归方程是ˆ0.36724.76yx =-. …………………………10分当2019x =时，ˆ0.36724.76 2.08yx =-=， 即A 地区2019年足球特色学校有208个. …………………………12分19.(本小题满分12分)(Ⅰ)证明：取BC 的中点为D ，连结DF . …………………………1分 由ABC EFG -是三棱台得，平面//ABC 平面EFG ，∴//BC FG .………2分 ∵2CB GF =，∴//CD GF =，……………………………………3分 ∴四边形CDFG 为平行四边形，∴//CG DF . ∵BF CF =，D 为BC 的中点，∴DF BC ⊥，∴CG BC ⊥.……………………4分∵平面ABC ⊥平面BCGF ，且交线为BC ，CG ⊂平面BCGF ，∴CG ⊥平面ABC ，而AB ⊂平面ABC ，∴CG AB ⊥. ……………………6分 (Ⅱ)∵三棱台ABC EFG -的底面是正三角形，且2CB GF =，∴2AC EG =，∴2ACG AEG S S ∆∆=， ………………………………8分 ∴1122G ABE B AEG B ACG G ABC V V V V ----===. …………………………9分 由(Ⅰ)知，CG ⊥平面ABC .∵正ABC ∆的面积等于3，∴2BC =，1GF =. …………………………10分 ∵直角梯形BCGF 的面积等于3，∴()1232CG+⋅=，∴233CG =，∴11112233G ABE G ABC ABC V V S CG --∆==⋅⋅⋅=. (12)分20.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)∵直线:10l x y -+=与抛物线C 相切.由2102x y y px-+=⎧⎨=⎩消去x 得，2220y py p -+=，……2分从而2480p p ∆=-=，解得2p =. ………………………………4分∴抛物线C 的方程为24y x =. …………………………5分(Ⅱ)由于直线m 的斜率不为0，所以可设直线m 的方程为1ty x =-，A (11x y ，)，B (22x y ，).……6分由214ty x y x=-⎧⎨=⎩消去x 得，2440y ty --=， ………………………………7分∴124y y t +=，从而21242x x t +=+， ……………………………………8分∴线段AB的中点M 的坐标为(221 2t t +，). ………………………………9分设点A 到直线l 的距离为A d ，点B 到直线l 的距离为B d ，点M 到直线l 的距离为d ，则221322124A B d d d t t ⎫+===-+=-+⎪⎭， …………………………11分∴当12t =时，可使A 、B 两点到直线l 的距离之和最小，. ………………12分21.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)()f x 的定义域为(0 +∞，). …………………………1分()()222223223a x x a a x ax a f x x a x x x⎛⎫-- ⎪-+⎝⎭'=-+==. …………………………2分⑴当0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 的单调递增区间为(0 +∞，)，无单调递减区间；…………3分⑵当0a >时，由()0f x '>解得0 2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，() a +∞，，由()0f x '<解得2a x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，.………………4分∴()f x 的单调递增区间为0 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，和()a +∞，，单调递减区间是2a a ⎛⎫⎪⎝⎭，. ……………………5分(Ⅱ)①当0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 在(0 +∞，)上单调递增， ∴()2422()320≥=-+≥f x f e e ae a 恒成立，符合题意. …………………………6分②当0a >时，由(Ⅰ)知，()f x 在 0 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，和()a +∞，上单调递增，在2a a ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减. (ⅰ)若202a e <≤，即22≥a e 时，()f x 在2 2a e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，上单调递增，在2a a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，上单调递减，在()a +∞，上单调递增.∴对任意的实数2x e ≥，()0f x ≥恒成立，只需 ()20f e ≥，且()0f a ≥.……………………………7分而当22≥a e 时，()22242223(2)()0=-+=--≥f e a ae e a e a e 且()22223ln (ln 2)0=-+=-≥f a a a a a a a 成立.∴22a e ≥符合题意. ………………………………8分(ⅱ)若22ae a <≤时，()f x 在)2e a ⎡⎣，上单调递减，在[)a +∞，上单调递增. ∴对任意的实数2x e ≥，()0f x ≥恒成立，只需()0≥f a 即可， 此时()22223ln (ln 2)0=-+=-≥f a a a a a a a 成立，∴222e a e ≤<符合题意.…………………………9分(ⅲ)若2e a >，()f x 在)2e ⎡+∞⎣，上单调递增. ∴对任意的实数2x e ≥，()0f x ≥恒成立，只需 ()2422320f e e ae a =-+≥，……………………10分即()()()2422223220f e e ae a a e a e =-+=--≥，∴202e a <≤符合题意.……………………………11分综上所述，实数a 的取值范围是)222e e ⎛⎤⎡-∞+∞ ⎥⎣⎝⎦，，. …………………………12分 22.(本小题满分10分)【解析】（1）将直线l0y a +-=. ········ 2分 由4cos ρθ=，得24cos ρρθ=， ····················· 3分 从而224x y x +=，即曲线C 的直角坐标方程为2240x x y -+=. ········ 5分（2）解法一：由()4cos 03ρθθρ=⎧⎪π⎨=≥⎪⎩，得2,3P π⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以2OP =， ········· 6分 将直线l 的参数方程代入圆的方程2240x x y -+=，得()2220t t a ++=由0∆>，得44a << …………………………………………………………8分设A 、B 两点对应的参数为12,t t ，则12AB 2t t =-=== (9)分解得，0a =或a =.所以，所求a的值为0或………………………………………………10分解法二：将射线()03θρπ=≥()00y x -=≥，······· 6分 由（1）知，曲线C ：()2224x y -+=的圆心()2,0C ，半径为2， 由点到直线距离公式，得C到该射线的最短距离为：d ==， 所以该射线与曲线C相交所得的弦长为2OP ==．········ 7分圆心C 到直线l=， ·············· 8分由22212+=⎝⎭，得()212a=，即a =± ······ 9分解得，0a=或a = 所以，所求a的值为0或……………………………………10分23.(本小题满分10分)解：(Ⅰ)由()1f x ≤得，|32|1x +≤，所以，1321x -≤+≤，解得113x -≤≤-，所以，()1f x ≤的解集为113⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，. …………………………5分(Ⅱ)()2f x a x ≥恒成立，即232+≥x a x 恒成立. 当0x =时，a R ∈；当0x ≠时，23223+≤=+x a x x x.因为23x x +≥当且仅当23x x =，即x =时等号成立)，所以a ≤a 的最大值是…………………………10分。
2021年高三数学第一次诊断性考试试题 理(含解析)
2021年高三数学第一次诊断性考试试题理（含解析）【试卷综析】本套试卷能从学科结构上设计试题，已全面覆盖了中学数学教材中的知识模块，同时，试卷突出了学科的主干内容，集合与函数、不等式、数列、概率统计、解析几何、导数的应用等重点内容在试卷中占有较高的比例，也达到了必要的考查深度．本套试卷没有刻意追求覆盖面，还有调整和扩大的空间，注重了能力的考查，特别是运算能力，逻辑思维能力和空间想象能力的强调比较突出，实践能力和创新意识方面也在努力体现.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）。
第I卷1至2页，第II 卷2至4页.共4页。
满分150分。
考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。
考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）注意事项：必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑.第I卷共10小题.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．【题文】1.已知集合A={x∈Z|x2-1≤0}，B={x|x2-x-2=0}，则A∩B=(A) (B) {2} (C) {0} (D) {-1}【知识点】集合运算. A1【答案解析】D 解析：因为A={-1，0，1}, B={-1，2}，所以，故选B.【思路点拨】化简集合A、B,从而求得.【题文】2．下列说法中正确的是(A) 命题“，”的否定是“，≤1”(B) 命题“，”的否定是“，≤1”(C) 命题“若，则”的逆否命题是“若，则”(D) 命题“若，则”的逆否命题是“若≥，则≥”【知识点】四种命题A2【答案解析】B 解析：根据命题之间的关系可知命题的否定是只否定结论，但全称量词要变成特称量词，而逆否命题是即否定条件又否定结论，所以分析四个选项可知应该选B.【思路点拨】根据命题之间的关系可直接判定.【题文】3．设各项均不为0的数列{a n}满足(n≥1)，S n是其前n项和，若，则S4=(A) 4 (B)(C) (D)【知识点】等比数列. D3【答案解析】D 解析：由知数列是以为公比的等比数列，因为，所以，所以，故选D. 【思路点拨】由已知条件确定数列是等比数列，再根据求得，进而求.【题文】4．如图，正六边形ABCDEF的边长为1，则=(A) -3 (B)(C) 3 (D)【知识点】向量的数量积. F3【答案解析】A 解析：因为,所以()2+⋅=⋅+⋅=-=-,故选 A.AB BD DB AB DB BD DB BD03【思路点拨】利用向量加法的三角形法则，将数量积中的向量表示为夹角、模都易求的向量的数量积.【题文】5．已知，那么=(A) (B) (C) (D)【知识点】二倍角公式；诱导公式.C2,C6【答案解析】C 解析：因为，所以27cos 22cos 14425x x ππ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即，故选C. 【思路点拨】利用二倍角公式求得值，再用诱导公式求得sin2x 值.【题文】6．已知x ，y 满足则2x -y 的最大值为(A) 1(B) 2 (C) 3 (D) 4http//【知识点】简单的线性规划.E5 【答案解析】B 解析：画出可行域如图：平移直线z=2x-y 得 ，当此直线过可行域中的点A （1,0）时 2x-y 有最大值2，故选B.【思路点拨】设目标函数z=2x-y ，画出可行域平移目标函数得点A （1,0）是使目标函数取得最大值的最优解.【题文】7.已知x ∈[，]，则“x ∈”是“sin(sin x )<cos(cos x )成立”的(A) 充要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充分不必要条件(D) 既不充分也不必要条件 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 A2【答案解析】C 解析：解：（1）∵x∈[﹣，]，∴sinx+cosx≤，即＜sinx ＜﹣cosx ， ∴sin（sinx ）＜sin （﹣cosx ），即sin （sinx ）＜cos （cosx ）成立，（2）∵sin（sinx ）＜cos （cosx ）∴s in （sinx ）＜sin （﹣cosx ），sinx ＜﹣cosxsinx+cosx ＜，x ∈[﹣π，π]，∴x∈[，]，不一定成立，根据充分必要条件的定义可判断：“x∈[﹣，]是“sin（sinx ）＜cos （cosx ）成立”的充分不必要条件，故选：C【思路点拨】利用诱导公式，结合三角函数的单调性判断，命题成立，再运用充分必要条件定义判断【题文】8．是定义在非零实数集上的函数，为其导函数，且时，，记，则(A) (B)(C) (D)【知识点】函数的单调性.B3【答案解析】C 解析：因为对任意两个不相等的正数，都有，即对任意两个不相等的正数，都有，所以函数是上的减函数，因为，所以b>a>c,故选C. 【思路点拨】构造函数，根据条件可以判断它是上的减函数，由此可以判断a,b,c的大小关系.【题文】9．已知函数的图象上关于轴对称的点至少有3对，则实数的取值范围是(A) (B) (C) (D)【知识点】分段函数的应用B1【答案解析】D 解析：解：若x＞0，则﹣x＜0，∵x＜0时，f（x）=sin（）﹣1，∴f（﹣x）=sin（﹣）﹣1=﹣sin（）﹣1，则若f（x）=sin（）﹣1，（x＜0）关于y轴对称，则f（﹣x）=﹣sin（）﹣1=f（x），即y=﹣sin（）﹣1，x＞0，设g（x）=﹣sin（）﹣1，x＞0作出函数g（x）的图象，要使y=﹣sin（）﹣1，x＞0与f（x）=log a x，x＞0的图象至少有3个交点，则0＜a＜1且满足g（5）＜f（5），即﹣2＜log a5，即log a5＞，则5，解得0＜a＜，故选：A【思路点拨】求出函数f（x）=sin（）﹣1，（x＜0）关于y轴对称的解析式，利用数形结合即可得到结论【题文】10．已知R，且≥对x∈R恒成立，则的最大值是(A) (B) (C) (D)【知识点】分类讨论 E8【答案解析】A 解析：由≥对x ∈R 恒成立，显然a ≥0，b ≤-ax ．若a =0，则ab =0．若a >0，则ab ≤a -a 2x ．设函数，求导求出f (x )的最小值为．设，求导可以求出g(a )的最大值为，即的最大值是，此时．【思路点拨】利用导数证明不等关系第II 卷（非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指的答题区域内作答。
2021-2022年高三第一次调研考试数学理试题 含答案
2021年高三第一次调研考试数学理试题 含答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合，集合，则＝（ ） A. B 。
C 。
D 。
2、已知复数满足（其中为虚数单位），则（ ） A. B 。
C 。
D 。
3、若函数的部分图象如图1所示，则 A. B 。
C. D 。
4、已知实数满足不等式组300≤⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+y x y x ，则的最大值为（ ）A.3 B 。
4 C 。
6 D 。
9 5、已知直线，平面，且，，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6、执行如图2所示的程序框图，则输出S 的值为（ ） A. 16 B 。
25 C 。
36 D 。
497、在中，分别为所对的边，若函数1)(31)(2223+-+++=x ac c a bx x x f 有极值点，则的范围是（ ）A. B 。
C 。
D 。
8、如果自然数的各位数字之和等于8，我们称为“吉祥数”。
将所有“吉祥数”从小到大排成一列…，若，则（ ）A. 83 B 。
82 C 。
39 D 。
37二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。
本大题分为必做题和选做题两部分（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生必须做答。
9、的展开式中常数项为 .（用数字表示） 10、 11、已知向量，，若，则的最小值为12、已知圆C ：经过抛物线E ：的焦点，则抛物线E 的准线与圆C 相交所得弦长Oxy图11-1 图2为13、设P是函数图象上的动点，则点P到直线的距离的最小值为（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算第一题的得分。
14、（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线：与曲线相交于A，B两点，则｜AB｜＝15、（几何证明选讲选做题）如图3，在中，，，D是AB边上的一点，以BD为直径的⊙与AC相切于点E。
广东省2021届高三数学上学期第一次教学质量检测试题 文(含解析)
广东省2021届高三数学上学期第一次教学质量检测试题文（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.已知集合，0，2，4，，则A. B. 0， C. D. 2，2.A. B. C. D.3.下列选项正确的是A. B.C. D.4.记数列的前n项和为，若，则A. B. C. D.5.已知，，则A. B. C. D.6.已知函数，则下列说法正确的是A. 函数的对称轴为，且在上单调递增B. 函数的对称轴为，且在上单调递增C. 函数的对称中心为，且在上单调递增D. 函数的对称中心为，且在上单调递增7.已知数列中，，若对任意的，，则A. 12B. 16C. 8D. 108.函数的图象大致为A. B.C. D.9.边长为2的正方形ABCD中，，，则A. B. C. D.10.将函数的图象向右平移个单位，平移后的图象关于y轴对称，则周期的最大值为A. B. C. D.11.已知等差数列的前n项和为，若，，则最小时n的值为A. 10B. 11C. 5D. 612.已知函数若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题）13.已知平面向量，若，则______．14.曲线在点处的切线方程为______．15.函数的值域为______．16.已知，记数列的前n项和为，且对于任意的，，则实数t的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题）17.已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，．求证：；若，求c的值．18.已知首项为3的数列的前n项和为，且．求数列的通项公式；求证：，，成等差数列．19.设等差数列的前n项和，已知，求；若，，，，，成等比数列，求的前n项和．20.已知函数．若关于x的方程仅有1个实数根，求实数的取值范围；若是函数的极大值点，求实数a的取值范围．21.已知函数其中e为自然对数的底数．若，求的单调区间；若，求证：．22.极坐标系中，曲线C的极坐标方程为以极点为原点，极轴为x轴建立平面直角坐标系xOy，直线l的参数方程为为参数．求曲线C的直角坐标方程以及直线l的普通方程；若曲线C上恰有四个不同的点到直线l的距离等于1，求实数a的取值范围．23.已知函数．求不等式的解集；若，，求证：．答案和解析1.【答案】A【解析】解：1，2，，0，2，4，，．故选：A．可以求出集合M，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：．故选：B．直接利用诱导公式以及特殊角的三角函数求解即可．本题考查诱导公式的应用，三角函数化简求值，是基本知识的考查．3.【答案】B【解析】解：依题意，对于A选项，是单调递增的函数，故，故A错；对于B，和恒大于0，且，所以，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，幂函数是单调递增，，故D错误．故选：B．利用不等式的性质、幂函数、对数函数、指数函数的单调性即可得出．本题考查了不等式的性质、幂函数、对数函数、指数函数的单调性，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：当时，，当时，，所以，故选：D．通过，，结合数列的递推关系式，求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，是基本知识的考查，基础题．5.【答案】B【解析】解：根据题意，，，又由，则，则；故选：B．根据题意，有，则，结合函数的解析式分析可得答案．本题考查函数值的计算，注意函数的解析式，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：依题意，解得，因为，故函数的对称轴为，排除C、D；因为，，故，排除B，故选：A．求出函数的定义域，判断函数的对称轴，利用特殊值验证函数的单调性，即可．本题考查函数的单调性以及函数的对称性的应用，命题的真假的判断与应用，是基本知识的考查．7.【答案】C【解析】解：依题意，，，两式相加可得，则，故周期为6，故．故选：C．利用数列的递推关系式求出数列的周期，然后求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力，是基本知识的考查．8.【答案】A【解析】解：依题意，，，故函数为奇函数，图象关于原点对称，排除C；而，排除B；而，，故，排除D，故选：A．利用函数奇偶性和特殊点，判断即可．考查函数的图象的判断，用了函数的性质和特殊值，基础题．9.【答案】C【解析】解：以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，故，，则，故选：C．通过建系，求出相关点的坐标，求出向量，然后求解向量的数量积即可．本题考查向量的坐标运算，向量的数量积的应用，考查计算能力，是基础题．10.【答案】A【解析】解：依题意，的图象向右平移个单位，可得的图象，平移后的图象关于y轴对称，则，故，故的最小值为，则周期的最大值为，故选：A．由题意利用两角和差的三角公式化简得解析式，再利用函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性求得的值，可得周期的最大值．本题主要考查两角和差的三角公式，函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性和周期性，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：由，得，由，得，所以时，，时，，所以最小时，故选：C．只需求得得，，即可得时，，可得最小时，本题考查了等差数列的性质，考查了数学推理能力，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：因为函数在R上单调递增，首先在上单调递增，故，则；其次在上单调递增，而，令，故或，故，即；最后，当时，；综合，实数a的取值范围为，故选：D．利用函数在R上单调递增，推出，则；得到在上单调递增，利用函数的导数判断单调性，然后求解a的范围即可．本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及分段函数的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．13.【答案】【解析】解：向量时，，即，解得，所以，计算．故答案为：．根据平面向量时，列方程求出的值，再计算的值．本题考查了平面向量的数量积表示垂直与模长的计算问题，是基础题．14.【答案】【解析】解：由，得，，所求切线方程为，即．故答案为：．求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，再由直线方程的点斜式得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了基本初等函数求导公式的应用，是基础题．15.【答案】【解析】解，所以当时，取到最大值，当时，取到最小值0，所以的值域为．故答案为：．利用二倍角公式和配方法，再根据讨论，求出即可．考查三角函数求最值，二倍角公式，配方法等，中档题．16.【答案】【解析】解：依题意，，．，即，显然，，又，当且仅当时，等号成立，，，即．故答案为：依题意，，求得由，可得，即可求解．本题考查了裂项求和，数列恒成立问题，属于中档题．17.【答案】解：证明：依题意可得：，则，可得，因为B，，故B．依题意，，，所以，因为，即，可得，又，所以，；由，得．【解析】由已知利用余弦定理可求cos B的值，根据二倍角的余弦函数公式可求cos2A 的值，可得，由范围B，，可得．利用同角三角函数基本关系式可求sin A，sin B的值，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求sin C的值，根据正弦定理可得，结合，可求a，b的值，根据正弦定理即可解得c的值．本题主要考查了余弦定理，二倍角的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】解：因为，故，，，，，，，把上面个等式叠加，得到，故，而，故．证明：由可得，，故，，所以，故，，成等差数列．【解析】利用已知条件化简数列的递推关系式，然后利用累加法转化求解数列的通项公式即可．求出数列的和，利用等差数列的定义，转化证明即可．本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力，是中档题．19.【答案】解：设等差数列的首项为，公差为d，由，，得，解得．；，，且，，，，，成等比数列，，又在等差数列中，，，即．的前n项和．【解析】设等差数列的首项为，公差为d，由题意列关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，则等差数列的通项公式可求；分别写出等差数列与等比数列中的，得到数列的通项公式，再由数列的分组求和得答案．本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前n项和，考查计算能力，是中档题．20.【答案】解：依题意，，显然不是方程的根，故，令，则，故函数在和上单调递增，且当时，，当x从负方向趋于0时以及时，，当x从正方向趋于0时，，作出函数的图象如图所示，观察可知，，即实数的取值范围为．，则．若，则当时，，，，所以 0'/>；当时，，，所以．所以在处取得极大值．若，则当时，，，所以 0'/>．所以不是的极大值点．综上所述，实数a的取值范围是．【解析】，得到，令，利用函数的导数判断函数的单调性，转化求解函数的最值．，则通过若，若，求解函数的极值，然后推出数a的取值范围．考查利用导数研究函数的极值问题，构造法的应用，体现了数形结合、转化的思想方法，属于难题．21.【答案】解：．在上单调递增，且，当，，函数单调递增；当，，函数单调递减，函数的单调递增区间，函数单调递减区间；，，在上单调递增，，，使得，，，，时，函数取得最小值在单调递减，，．【解析】先对函数求导，然后结合函数的单调性与函数的导数的关系即可求解；先对求导，可得在上单调递增，结合函数的零点判定定理可知使得，然后结合单调性可求最小值，即可证明．本题主要考查了利用函数的导数判定函数的单调性及利用函数的单调性及零点判定定理可求解函数的最值，属于中等试题22.【答案】解：由，得，代入公式，得曲线C的直角坐标方程为；由为参数，消去参数t，得直线l的普通方程为；依题意可得，圆心O到直线l：的距离，，解得．实数a的取值范围是．【解析】把两边同乘，代入公式，得曲线C的直角坐标方程，把直线l参数方程中的参数t消去，可得直线l的普通方程；由题意可得，圆心到直线的距离小于1，利用点到直线的距离公式列式求解a的范围．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查直线与圆位置关系的应用，是基础题．23.【答案】解：等价于或或，解得或或，所以原不等式的解集为．要证：，只要证，只需证，而，从而原不等式成立．【解析】分类讨论求出即可；化简，再平方，证明即可．考查绝对值不等式的解法，分类讨论思想，中档题．。
2021届广东省广州市高三上学期第一次调研测试理科数学试题Word版含解析
2021届广东省广州市高三上学期第一次调研测试理科数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，，则A. B. C. D.【答案】A【解析】由中不等式变形得，解得或，即或，，，故选A.2. 若复数满足，则A. B. C. D.【答案】C【解析】 ,选C.3. 在等差数列中，已知，前项和，则公差A. B. C. D.【答案】B【解析】因为等差数列中，已知，前项和，所以可得，故选B.4. 已知变量，满足则的最大值为A. B. C. D.【答案】B【解析】画出表示的可行域，如图，化为，由，可得，平移直线，当直线经点时，直线截距最大值为，故选B.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5. 的展开式中的系数为A. B. C. D.【答案】A【解析】的展开式的通项为，当时，，故选A.6. 在如图的程序框图中，为的导函数，若，则输出的结果是A. B. C. D.【答案】A【解析】执行程序框图，；；；；；，可得是周期的函数，当时，结束循环，输，故选A.7. 正方体的棱长为2，点为的中点，点为线段上靠近的三等分点，平面交于点，则的长为A. B. C. D.【答案】D【解析】如图，将平移至为靠近的三个等分点处，，为的中点，也为中点，，根据四点共面，，，故选D.8. 已知直线与曲线相切，则实数的值为A. B. C. D.【答案】D【解析】由得，设切点为，则，，，，对比，，，故选D.9. 某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2名，乙大学2名，丙大学1名，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有A. 36种B. 24种C. 22种D. 20种【答案】B【解析】第一类：男生分为，女生全排，男生全排得，第二类：男生分为，所以男生两堆全排后女生全排，不同的推荐方法共有，故选B.10. 将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数恰为奇函数，则的最小值为A. B. C. D.【答案】A【解析】，平移，平移作为奇函数，，，当时，，故选A.11. 在直角坐标系中，设为双曲线：的右焦点，为双曲线的右支上一点，且△为正三角形，则双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】C【解析】因为三角形为正三角形，所以，设双曲线左焦点为可得，，，根据双曲线的定义可得，，故选C.【方法点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．本题中，根据题设条件利用特殊直角三角形的性质．从而找出之间的关系，求出离心率．12. 对于定义域为的函数，若满足①；②当，且时，都有；③当，且时，都有，则称为“偏对称函数”．现给出四个函数：；；则其中是“偏对称函数”的函数个数为A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】因为条件②，所以与同号，不符合②，不是“偏对称函数”；对于；，满足①②，构造函数，，在上递增，当，且时，都有，，满足条件③，是“偏对称函数”；对于，，满足条件①②，画出函数的图象以及在原点处的切线，关于轴对称直线，如图，由图可知满足条件③，所以知是“偏对称函数”；函数为偶函数，，不符合③，函数不是，“偏对称函数”，故选C.【方法点睛】本题考查函数的图象与性质以及导数的应用、新定义问题及数形结合思想，属于难题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义“偏对称函数”达到考查函数的图象与性质以及导数的应用的目的.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知向量，，若，则向量的模为________．【答案】10【解析】因为，所以，，，故答案为.14. 在各项都为正数的等比数列中，若，则的最小值为______．【答案】4【解析】因为等比数列各项都为正数，所以，，故答案为.15. 过抛物线：的焦点的直线交抛物线于，两点．若，，则的值为________．【答案】4【解析】设过抛物线：的准线与轴交于点，与直线交于，过作的垂线，垂足为，作于，根据相似三角形性质可得是中点，可得，，，故答案为.16. 如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为________．【答案】11π【解析】由三视图可知，三棱锥直观图，如图是的外心，平面，令，则是外接球球心，设，，，，，球半径，，故答案为.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分．17. △的内角，，的对边分别为，，，且满足，．（1）求角的大小；（2）求△周长的最大值．【答案】（1）（2）最大值为【解析】试题分析：（1）由根据正弦定理以及两角好的正弦公式可得，从而可得角的大小；（2）由，利用余弦定理可得，配方后利用基本不等式可得，从而可得△周长的最大值．试题解析：（1）由已知，得．由正弦定理，得，即．因为，所以．因为，所以．因为，所以．（2）由余弦定理，得，即．因为，所以．即（当且仅当时等号成立）．所以．故△周长的最大值为．18. 如图，已知多面体的底面是边长为的菱形，底面，，且．（1）证明：平面平面；（2）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）连接，交于点，设中点为，连接，，先根据三角形中位线定理及平行四边形的性质可得，再证明平面，从而可得平面，进而可得平面平面；（2）以为原点，，，分别为轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果试题解析：（1）证明：连接，交于点，设中点为，连接，．因为，分别为，的中点，所以，且，因为，且，所以，且．所以四边形为平行四边形，所以，即．因为平面，平面，所以．因为是菱形，所以．因为，所以平面．因为，所以平面．因为平面，所以平面平面．（2）解法：因为直线与平面所成角为，所以，所以．所以，故△为等边三角形．设的中点为，连接，则．以为原点，，，分别为轴，建立空间直角坐标系（如图）．则，，，，，，．设平面的法向量为，则即则所以．设平面的法向量为，则即令则所以．设二面角的大小为，由于为钝角，所以．所以二面角的余弦值为．【方法点晴】本题主要考查线面垂直及面面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19. 某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量（小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量（百斤）与使用某种液体肥料（千克）之间对应数据为如图所示的折线图．（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合与的关系？请计算相关系数并加以说明（精确到0．01）．（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量限制，并有如下关系：周光照量（单位：小时）光照控制仪最多可运行台数 3 2 1若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周周总利润的平均值．附：相关系数公式，参考数据，．【答案】（1）可用线性回归模型拟合与的关系（2）商家在过去50周周总利润的平均值为4600元【解析】试题分析：（1）先算出相关系数可得结论；（2）安装1台光照控制仪可获得周总利润3000元，分别列出离散型随机变量的分布列，算出安装2台光照控制仪总利润为元，安装3台光照控制仪总利润为元，从而可得结果.试题解析：（1）由已知数据可得．因为．所以相关系数．因为，所以可用线性回归模型拟合与的关系.（2）记商家周总利润为元，由条件可知至少需安装1台，最多安装3台光照控制仪．①安装1台光照控制仪可获得周总利润3000元．②安装2台光照控制仪的情形：当X >70时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润Y=3000-1000=2000元，当30<X≤70时，2台光照控制仪都运行，此时周总利润Y=2×3000=6000元，故的分布列为2000 60000．2 0．8所以元．③安装3台光照控制仪的情形：当X >70时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润Y=1×3000-2×1000=1000元，当50≤X≤70时，有2台光照控制仪运行，此时周总利润Y=2×3000-1×1000=5000元，当30<X≤70时，3台光照控制仪都运行，周总利润Y=3×3000=9000元，故的分布列为1000 5000 90000．2 0．7 0．1所以元．综上可知，为使商家周总利润的均值达到最大应该安装2台光照控制仪.20. 如图，在直角坐标系中，椭圆：的上焦点为，椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆的方程；（2）设过椭圆的上顶点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的方程．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由椭圆的离心率为得，把点代人椭圆方程，结合，可求得的值，从而可得椭圆方程；（2）直线的方程为，由得，根据韦达定理及斜率公式，结合题设，且，可得，求得的值即可得结果.试题解析：（1）因为椭圆的离心率为，所以，即．又，得，即，所以椭圆的方程为．把点代人中，解得．所以椭圆的方程为．（2）解法1：设直线的斜率为，则直线的方程为，由得．设，，则有，，所以．所以因为，所以在线段的中垂线上，所以，因为，所以，即．设，又直线垂直，所以，即．所以，即．又，所以，．因为，所以，解得．所以直线的方程为．【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系和数量积公式，属于难题. 利用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.21. 已知函数．（1）当时，若函数恰有一个零点，求实数的取值范围；（2）当，时，对任意，有成立，求实数的取值范围．【答案】（1）或（2）【解析】试题分析：（1）讨论、两种情况，分别利用导数研究函数的单调性，结合函数的单调性，利用零点存在定理可得函数恰有一个零点时实数的取值范围；（2）对任意，有成立，等价于，利用导数研究函数的单调性，分别求出最大值与最小值，解不等式即可的结果.试题解析：（1）函数的定义域为．当时，，所以．①当时，，所以在上单调递增，取，则，（或：因为且时，所以．）因为，所以，此时函数有一个零点．②当时，令，解得．当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增．要使函数有一个零点，则即．综上所述，若函数恰有一个零点，则或．（2）因为对任意，有成立，因为，所以．因为，则．所以，所以．当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，，因为与，所以．设，则．所以在上单调递增，故，所以．从而．所以即，设，则．当时，，所以在上单调递增．又，所以，即为，解得．因为，所以的取值范围为．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22. 选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），将曲线经过伸缩变换后得到曲线．在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．（1）说明曲线是哪一种曲线，并将曲线的方程化为极坐标方程；（2）已知点是曲线上的任意一点，求点到直线的距离的最大值和最小值．【答案】（1）为圆心在原点，半径为2的圆，（2）取到最小值为最大值为【解析】试题分析：（1）利用三角恒等式消元法消去参数可得曲线的普通方程，再利用放缩公式可得曲线方程，从而可判定是哪一种曲线，利用极坐标护互化公式可得的方程化为极坐标方程；（2）利用的参数方程设出点的坐标，利用点到直线距离公式、辅助角公式及三角函数的有界性可得结果.试题解析：（1）因为曲线的参数方程为（为参数），因为，则曲线的参数方程．所以的普通方程为．所以为圆心在原点，半径为2的圆．所以的极坐标方程为，即．（2）解法：直线的普通方程为．曲线上的点到直线的距离．当即时，取到最小值为．当即时，取到最大值为．23. 选修4－5：不等式选讲已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若函数的值域为，且，求的取值范围【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）对分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可得结果；（2）将函数化为分段函数，根据分类讨论思想结合分段函数的图象，求出分段函数的值域，根据集合的包含关系列不等式求解即可试题解析：（1）当时，．①当时，原不等式可化为，解得．②当时，原不等式可化为，解得，此时原不等式无解．③当时，原不等式可化为，解得．综上可知，原不等式的解集为或．（2）解法：①当时，所以函数的值域，因为，所以解得．②当时，所以函数的值域，因为，所以解得．综上可知，的取值范围是．。
广东省2021届高三上学期调研考试数学试题及答案
广东省2021届高三年级上学期调研考试数学考生注意：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知集合}1,0,1,2{--=A ，集合}13|{<<-=x x B ，则B A 中元素的个数为 A ．1 B ．2C ．3D ．42．复数iz 212+=在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．“一世”又叫“一代”，东汉王充《论衡·宜汉篇》：“且孔子所谓一世，三十年也”，清代段玉裁《说文解字注》：“三十年为一世，按父子相继日世”．据国际一家研究机构的研究得到企业寿命的频率分布表为则全球家族企业的平均寿命大约有 A ．25年 B ．26年 C ．27年 D ．28年4．人们通常以分贝（符号是dB ）为单位来表示声音强度的等级，强度为x 的声音对应的等级为210lg10)(-=xx f (dB)．装修房屋时电钻的声音约为100dB ，室内正常交谈的声音约为60dB ，则装修房屋时电钻的声音强度是室内正常交谈的声音强度的()倍 A ．410B ．4eC ．4D ．35 5．已知2)12tan(-=+πα，则=+)3tan(παA ．3B ．31C ．－3D ．31-6．在矩形ABCD 中，4=AB ，P AC ,2=为矩形ABCD 所在平面上一点，满足PC PA ⊥，则||PD 的最大值为 A ．52B ．4C ．5D ．27．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，过点F 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为E ，若O OE EF (3=为坐标原点），则双曲线的离心率为 A ．5 B ．22 C ．10D ．328．已知偶函数)(x f 在),0[∞+上单调递增，则A ．)2()10(log )23log 3(21212->>-f f fB ．)10(log )23log 3()2(21221f f f >->-C ．)2()23log 3()10(log 21221->->f f fD ．)23log 3()2()10(log 22121->>-f f f二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．若011>>b a ，则下列正确的选项为 A ．ba 22< B ．33b a > C ．ab a <2 D ．1ln >ab 10．设b a ,为两条不重合的直线，βα,为两个不重合的平面，则下列命题中，真命题的是A ．若αα//,//b a ，则b a //B ．若αβα⊥⊥⊥a b a ,,，则β⊥bC ．若αα⊥⊥b a ,，则b a //D ．若βαβα⊥⊥⊥,,b a ，则b a ⊥11．设抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点为F ，准线为A l ,为C 上一点，以F 为圆心，||FA 为半径的圆交l 于D B ,两点，若︒=∠90ABD ，且ABF ∆的面积为39，则 A ．3||=BF B ．ABF ∆是等边三角形 C ．点F 到准线的距离为3D ．抛物线C 的方程为x y 62=12．下列四个命题正确的是A ．函数1sin sin sin 2--=x xx y 是奇函数；B ．当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62cos 2)(πx x f 的最大值为3C ．已知定义域为R 的函数2|cos sin |2cos sin )(x x x x x f --+=，当且仅当+<<ππk x k 22)(2Z k ∈π时，0)(>x f 成立； D ．函数),(sin 2sin )(22Z k k x xx x f ∈=/+=π的最小值3． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．6)21(xx -的展开式中常数项是 （用数字作答）．14．在等差数列}{n a 中，已知952=+a a ，则423a a += . 15．函数3)1(322)(23++++=x a ax x x f 既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围为 .16．已知C B A P ,,,是球O 的球面上四点，其中平面ABC 过球心ABC O ∆,为边长为2的正三角形，平面⊥PAB 平面ABC ，则棱锥ABC P -的体积的最大值为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为.cos cos cos ,,,CB cb A ac b a ++= (1)求角A ；(2)若ABC c ∆=,6的面积为33，求a 的值． 18．（12分）已知数列}{n a 是公差大于0的等差数列，21=a ，且4,,2643-+a a a 成等比数列． (1)求数列}{n a 的通项公式； (2)设12+=n nn a b ，求数列}{n b 的前n 项和.n S 19．（12分）《最强大脑》是大型科学竞技类真人秀节目，是专注传播脑科学知识和脑力竞技的节目．某机构为了了解学生喜欢《最强大脑》是否与性别有关，对某高中200名学生进行了问卷调查，得到如下2×2列联表：喜欢《最强大脑》 不喜欢《最强大脑》 合计 男生 70 女生 30 合计已知在这200名学生中随机抽取1人抽到喜欢《最强大脑》的概率为0.6．(1)判断是否有90%的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关？(2)从上述不喜欢《最强大脑》的学生中用分层抽样的方法抽取8名学生，再在这8人中抽取3人调查其喜欢的节目类型，用X 表示3人中女生的人数，求X 的分布列及数学期望.参考公式及数据：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=P(K 2≥k 0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 k 00.46 0.71 1.32 2.07 2.71 3.84 5.024 6.635 7.879 10.82820．（12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是边长为4的等边三角形，E D CF F C ,,2221==为11,C A AC 的中点．(1)求证：平面⊥BDF 平面DEF ；(2)求二面角F BE D --的余弦值． 21．（12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 短轴长为2，F 是C 的左焦点，B A ，是C 上关于x 轴对称的两点，ABF ∆周长的最大值为8．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)斜率为k 且不经过原点O 的直线l 与椭圆C 交于N M ,两点，若直线ON OM ,的斜率分别为21,k k ，且212k k k =，求直线l 的斜率，并判断22||||ON OM +的值是否为定值？若为定值，试求出此定值；否则，说明理由． 22．（12分）设函数).(1)(R a ax axe x f x∈--=(1)若1=a ，求函数)(x f 的图象在))1(,1(--f 处的切线方程； (2)若不等式x x f ln )(≥在区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+,1e 上恒成立，求a 的取值范围．数学参考答案1．C }0,1,2{--=B A 2．D 542)21)(21()21(2212ii i i i z -=-+-=+=3．B 家族企业的平均寿命为0.54×11+0.28×33+0.14×55+0.04×77=26 4．A 由∴=-,10lg10)(2x x f 当100=y 时，可得810=x ；当60=y 时，可得410=x ，∴装修房屋时电钻的声音强度是室内正常交谈的声音强度的448101010=5．D 314tan )12tan(14tan)12tan()412tan()3tan(-=+-++=++=+ππαππαππαπα 6．A ∴⊥,PC PA 点P 的轨迹是以AC为直径的圆，又52,5222==+=AC AB AC7．C 由题知，b b a bc EF =+=22，又a b a b c EF OF OE c OF 3,,2222=∴=-=-=∴=，故双曲线的离心率为10)(12=+=abe8．C )(x f 为偶函数，在),0[∞+上单调递增，故在]0,(-∞上单调递减．310log |10log |221>= ，22221=-，)3,2(3log 4)13(log 323log 3222∈-=--=-， 11223log 3|10log |21221>+>->∴-，)2()23log 3()10(log 21221->->∴f f f9．AC 由题意有.0>>a b10．CD 11．BCD12．BCDA 中函数定义域关于原点不对称，所以A 错误；当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+67,662πππx ，由余弦函数图象可知⎪⎭⎫⎝⎛+=62cos 2)(πx x f 的值域是]3,2[-所以B 正确；当0cos sin ≥-x x 时，x x x x x x f cos 2cos sin 2cos sin )(=--+=；当)(2242Z k k x k ∈+<<+ππππ时，0)(>x f ；当0cos sin <-x x 时，xxx x x x f sin 2sin cos 2cos sin )(=--+=，当)(422Z k k x k ∈+<<πππ时，0)(>x f ，综上，)(222Z k k x k ∈+<<πππ时，0)(>x f ，所以C 正确．设)10(,sin 2≤<=t x t ，t t t g 2)(+=∴，021)('2<-=∴tt g ，所以函数)(t g 在]1,0(上单调递减，所以函数的最小值为3)1(=g ，所以D 正确．13．1615r x C xx C T r r r r r r 23)21()21(66661--=-=-+，令0236=-r ，则∴=,4r 常数项为1615)21(446=-C14．18952=+a a ，9525111=+=+++∴d a d a d a ，+=+++=++=+∴11141424)3(333a d a d a a d a a a1810=d15．1>a 或21-<a 题意可得)1(3243)('2+++=a ax x x f ，函数)(x f 既有极大值又有极小值，则一元二次方程0)1(32432=+++a ax x 有两个不相等的实数根，即0)1(3234)4(2>+⨯⨯-=∆a a ，解得1>a 或21-<a16．33如图， 平面⊥PAB 平面∴,ABC 点P 在平面ABC 上的射影H 落在AB 上，根据球体的对称性可知，当P 在最高点，即H 为AB 中点时，PH 最大，棱锥ABC P -的体积最大.ABC ∆ 是边长为2的正三角形，∴球的半径33232===CH OC r ．在PHO Rt ∆中，OS OC OH 2121==， 30=∠∴HPO ，∴==,130cosOP PH 体积==Sh V31.331243312=⨯⨯⨯17．解：(1)由正弦定理及C B c b A a cos cos cos ++=，得CB CB A A cos cos sin sin cos sin ++=，………2分 C A B A C A B A sin cos sin cos cos sin cos sin +=+∴，即 A C A C B A B A sin cos cos sin sin cos cos sin -=-， ).sin()sin(A C B A -=-∴…………………………4分 ),0(,,π∈C B A ，A C B A -=-∴，即3,2π=∴+=A C B A .…………………………6分(2)2,3323621sin 21=∴=⨯⨯⨯==∆b b A bc S ABC .………………………8分.72,28cos 2222=∴=-+=∴a A bc c b a ……………………………10分18．解：(1)设数列}{n a 的公差为0,>d d ，21=a ，且4,,2643-+a a a 成等比数列，)4)(2(6324-+=∴a a a ，即)45)(22()3(1121-+++=+d a d a d a ，…………………3分解得6-=d （舍）或2=d ，……………………………4分n d n a a n 2)1(1=-+=∴.………………………5分(2)由(1)可知nn n n na b 221==+， ∴数列}{n b 的前n 项和n n nS 2232221321+++= ，………………………7分1432223222121++++=n n nS ，……………………9分 相减得132122*********+-+++=n n n nS ，……………………………11分11221121211))21(1(21++--=---=n n n n n ， n n nS 222+-=∴.………………………………12分19．解：(1)由………………………2分由列联表中数据，得到71.2347.08012080120)50503070(20022<≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K .………………5分因此没有90%的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关；………………………6分(2)由题意知，从不喜欢《最强大脑》的学生中用分层抽样的方法抽取8名学生，其中女生有3人，男生有5人，随机变量X 的取值可能为0，1，2，3，……………………7分285)0(3835===C C X P ，2815)1(381325===C C C X P ，5615)2(382315===C C C X P ，561)3(3833===C C X P .…………………………11分 X ∴的分布列为X 0123P285 2815 5615 5618563562281512850=⨯+⨯+⨯+⨯=EX ..…………………………12分20．解：(1)证明： 三棱柱111C B A ABC -为直三棱柱，⊥∴1AA 平面.ABC ⊂BD 平面.,1BD AA ABC ⊥∴……………………………2分ABC ∆ 为等边三角形，D 为AC 中点，.AC BD ⊥∴又⊥∴=BD A AC AA ,1 平面11A ACC .……………………………3分⊂BD 平面BDF ， 平面⊥BDF 平面DEF ，…………………………5分(2)以D 为坐标原点，DE DC DB 、、所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则)0,0,0(D ，)0,0,32(B ，)0,2,0(C ，)23,0,0(E ，,2,0(F )2，…………………………………7分设平面BEF 的法向量为),,(z y x m =，则)23,0,32(-=BE ，)22,2,0(-=EF ，由⎪⎩⎪⎨⎧=-=⋅=+-=⋅022202332z y m EF z x m BE ，令3=x ，可得2,2==y z ， 则).2,2,3(=m ………………………9分⊥DC 平面∴,BDE 平面BDE 的一个法向量为)0,2,0(=DC ，32924,cos =⨯=<∴DC m .………………………11分由图知，二面角F BE D --的平面角为锐角，∴二面角F BE D --的余弦值为32.…………………………12分 21．解：(1)设AB 与x 轴的交点为H ，右交点为2F .由题意||||2AF AH ≤，则a AF AF AH AF 2||||||||211=+≤+，…………………2分当AB 过右焦点2F 时，ABF ∆周长取最大值2,84=∴=a a ， 且1=b ，…………………………3分∴椭圆C 的标准方程为1422=+y x ，………………………………4分(2)设直线l 的方程为)0(=/+=m m kx y ，),(11y x M ，),(22y x N ，由⎪⎩⎪⎨⎧+==+mkx y y x 1422，得0)1(48)41(222=-+++m kmx x k ， 221418k kmx x +-=+∴，222141)1(4k m x x +-=.……………………………6分 由题知21221221212121212)())((x x m x x km k xx m kx m kx x x y y k k k +++=++===， 0)(221=++∴m x x km ，04182222=++-∴m k m k .…………………………8分.41,02=∴=/k m此时2222214)418()(m kkm x x =+-=+，)1(241)1(422221-=+-=m k m x x ， 则4141||||222221212222212122x x x x y x y x ON OM -++-+=+++=+52)]1(44[432]2)[(432)(4322212212221=+--=+-+=++=m m x x x x x x ，…………11分 故直线l 的斜率为21±=k ，5||||22=+ON OM .……………………12分22．解(1)当1=a 时，1)(--=x xe x f x ，1)1()('-+=xe x xf ，……………………2分又ef 1)1(-=-，1)1('-=-f ，)1(1+-=+∴x ey ，…………………………3分 即函数)(x f 的图象在))1(,1(--f 处的切线方程为ex y 11---=.……………………4分(2)当1=x 时，01≥--a ae ，.11-≥∴e a)(i 当111<≤-a e 时，令)1(1ln )1()(ex x e ax x H x ≥---=，……………………6分则.1)1(1)1(1)1()('xxe x a x ax e x a a x e x a x H x xx-+≤+-+=--+= 令)1(1)(ex xe x R x ≥-=，则0)1()('>+=xe x x R ，又01<⎪⎭⎫ ⎝⎛e R ，0)1(>R ，所以存在，使得当时，0)(<x R ，所以当时，0)('<x H 即)(x H 在上单调递减，所以0)1(11)(1<-=⎪⎭⎫⎝⎛<e e e a e H x H ，这与题意矛盾．………………………8分)(ii 当1≥a 时，“不等式x x f ln )(≥在区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+,1e 上恒成立”等价于“不等式01ln ≥---x x xe x 在区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+,1e 上恒成立.”令⎪⎭⎫ ⎝⎛≥---=e x x x xe x F x11ln )(，即“不等式0)(≥x F 在区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+,1e 上恒成立”． )1(111)1()('-⋅+=--+=x x xe x x x e x x F ，令1)(-=x xe x G ， 则⎪⎭⎫⎝⎛≥+=e x e x x G x1)1()('．………………………9分 因为当e x 1≥时，0)1()('>+=xe x x G ，所以函数)(x G 在区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+,1e 上单调递增， 所以函数)(x G 在区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+,1e上最多有一个零点.又因为.01)1(,01111>-=<-⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛e G e ee G e所以存在唯一的⎪⎭⎫ ⎝⎛∈1,1e c ，使得.0)(=c G ……………………………10分当⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈c e x ,1时，0)(<x G ；当),(∞+∈c x 时，0)(>x G ，即当⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈c e x ,1时，0)('<x F ；当),(∞+∈c x 时，0)('>x F ，所以函数)(x F 在区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡c e,1上单调递减，在区间),(∞+c 上单调递增， 从而.1ln )()(---⋅=≥c c e c c F x F c……………………11分由0)(=c G ，得01=-⋅c e c ，即1=⋅ce c ，两边取对数得0ln =+c c ，所以000)(ln )1(1ln )(=-=+--⋅=---⋅=c c e c c c e c c F cc ，。
广东省2021-2022学年高一上学期第一次月考数学试题含解析
试卷主标题姓名：__________ 班级：__________考号：__________一、选择题（共23题）1、设函数，则的值为A ．B ．C ．D ．2、若集合、、，满足，则A 与C 之间的关系为（）A ．B ．C ．D ．3、设函数，则的值为A ．B ．C ．D ．4、直线与的交点组成的集合是（）A ．B ．C ．D ．5、直线与的交点组成的集合是（）A ．B ．C ．D ．6、函数的值域是（）A ．B ．C ．D ．7、函数的值域是（）A ．B ．C ．D ．8、若的解集为，则的值分别是（）A ． 1 ，2B ． 1 ，-2C ．-1 ，-2D ．-1 ， 29、若的解集为，则的值分别是（）A ． 1 ，2B ． 1 ，-2C ．-1 ，-2D ．-1 ， 210、若，则的最大值是（）A ．B ．C ．D ．11、若，则的最大值是（）A ．B ．C ．D ．12、已知：，那么命题的一个必要非充分条件是（）A ．B ．C ．D ．13、已知：，那么命题的一个必要非充分条件是（）A ．B ．C ．D ．14、设函数在上有定义，对于任一给定的正数，定义函数，则称函数为的“ 界函数” ，若给定函数，，则下列结论不成立的是A ．B ．C ．D ．15、设函数在上有定义，对于任一给定的正数，定义函数，则称函数为的“ 界函数” ，若给定函数，，则下列结论不成立的是A ．B ．C ．D ．16、对于任意实数a ， b ， c ， d ，有以下四个命题，其中正确的是（）A ．若，，则B ．若，则C ．若，则D ．若，，则17、对于任意实数a ， b ， c ， d ，有以下四个命题，其中正确的是（）A ．若，，则B ．若，则C ．若，则D ．若，，则18、下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（）A ．与B ．与C ．与D ．与19、下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（）A ．与B ．与C ．与D ．与20、给出下列四个对应，其中构成函数的是A ．B ．C ．D ．21、给出下列四个对应，其中构成函数的是A ．B ．C ．D ．22、下列说法中正确的有（）A ．不等式恒成立B ．存在，使得不等式成立C ．若，，则D ．若正实数，满足，则23、下列说法中正确的有（）A ．不等式恒成立B ．存在，使得不等式成立C ．若，，则D ．若正实数，满足，则二、填空题（共8题）1、命题“ ” 的否定是 ________________ .2、命题“ ” 的否定是 ________________ .3、函数的定义域是 _____________.4、函数的定义域是 _____________.5、已知二次函数的图象的顶点坐标为，且过点，则该二次函数的解析式是__________.6、已知二次函数的图象的顶点坐标为，且过点，则该二次函数的解析式是__________.7、已知关于的不等式恒成立，则的取值范围为 _______8、已知关于的不等式恒成立，则的取值范围为 _______三、解答题（共12题）1、已知集合，求：；2、已知集合，求：；3、已知函数的图象如图所示，其中轴的左侧为一条线段，右侧为某抛物线的一段．（ 1 ）写出函数的定义域和值域；（ 2 ）求的值．4、已知函数的图象如图所示，其中轴的左侧为一条线段，右侧为某抛物线的一段．（ 1 ）写出函数的定义域和值域；（ 2 ）求的值．5、已知，若，求实数的取值范围．6、已知，若，求实数的取值范围．7、已知命题：集合至多有两个子集，命题：，，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．8、已知命题：集合至多有两个子集，命题：，，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．9、某工厂生产某种产品的年固定成本为 250 万元，每生产x 千件，需另投入成本，当年产量不足 80 千件时，（万元）；当年产量不小于 80 千件时，（万元） . 通过市场分析，若每件售价为500 元时，该厂年内生产该商品能全部销售完.（ 1 ）写出年利涧L （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；（ 2 ）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？10、某工厂生产某种产品的年固定成本为 250 万元，每生产x 千件，需另投入成本，当年产量不足 80 千件时，（万元）；当年产量不小于 80 千件时，（万元） . 通过市场分析，若每件售价为500 元时，该厂年内生产该商品能全部销售完.（ 1 ）写出年利涧L （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；（ 2 ）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？11、已知，．若，解不等式；若不等式对一切实数 x 恒成立，求实数 a 的取值范围；若，解不等式．12、已知，．若，解不等式；若不等式对一切实数 x 恒成立，求实数 a 的取值范围；若，解不等式．============参考答案============一、选择题1、 A【详解】因为时，所以；又时，，所以故选 A.本题考查分段函数的意义 , 函数值的运算.2、 C【分析】根据已知条件得出集合之间的关系，即可得出正确选项【详解】，，对于选项 A ：时不成立 ;对于选项、显然错误 .故选：【点睛】本题主要考查了集合的交并运算，集合间的关系，属于基础题 .3、 A【详解】因为时，所以；又时，，所以故选 A.本题考查分段函数的意义 , 函数值的运算.4、 D【分析】联立，可求出两直线的交点，进而可选出答案 .【详解】联立，解得，即.故直线与的交点组成的集合是.故选： D.【点睛】本题考查集合元素的辨析，直线与直线的交点是有序实数对，属于基础题 .5、 D【分析】联立，可求出两直线的交点，进而可选出答案 .【详解】联立，解得，即.故直线与的交点组成的集合是.故选： D.【点睛】本题考查集合元素的辨析，直线与直线的交点是有序实数对，属于基础题 .6、 B【分析】求得的取值范围，根据不等式的基本性质可求得原函数的值域 .【详解】因为，所以，因此，函数的值域是.故选： B.【点睛】本题考查函数值域，考查基本分析求解能力，属基本题 .7、 B【分析】求得的取值范围，根据不等式的基本性质可求得原函数的值域 .【详解】因为，所以，因此，函数的值域是.故选： B.【点睛】本题考查函数值域，考查基本分析求解能力，属基本题 .8、 B【分析】根据不等式解集，求得不等式对应方程的根，即可利用韦达定理求得结果 . 【详解】因为的解集为，故为方程的两根，故可得，即.故选：.【点睛】本题考查由一元二次不等式的解集求参数值，属简单题 .9、 B【分析】根据不等式解集，求得不等式对应方程的根，即可利用韦达定理求得结果 . 【详解】因为的解集为，故为方程的两根，故可得，即.故选：.【点睛】本题考查由一元二次不等式的解集求参数值，属简单题 .10、 A【分析】根据题意，由，结合基本不等式，即可求出结果 . 【详解】因为，故，则，当且仅当，即时，等号成立；故选： A.本题主要考查由基本不等式求积的最大值，熟记基本不等式即可，属于常考题型 .11、 A【分析】根据题意，由，结合基本不等式，即可求出结果 .【详解】因为，故，则，当且仅当，即时，等号成立；故选： A.【点睛】本题主要考查由基本不等式求积的最大值，熟记基本不等式即可，属于常考题型 .12、 B【分析】先解不等式求出，然后结合选项根据必要不充分条件的概念即可判断 . 【详解】因为，所以，然后结合选项根据必要不充分条件的概念可判断，故选： B.13、 B【分析】先解不等式求出，然后结合选项根据必要不充分条件的概念即可判断 .因为，所以，然后结合选项根据必要不充分条件的概念可判断，故选： B.14、 B【详解】根据题意写成，的分段函数形式即， A.，，故 A 成立； B ，，故 B 不成立；C ：，，故 C 成立；D ，，故 D 成立；所以只有 B 结论不正确，故选 B. 点睛：本题属创新类型的函数定义题，主要考察学生的理解能力；本题属创新类型的函数定义题．此题的关键在于理解函数的定义，则根据给定定义写成，的分段函数形式即.15、 B【详解】根据题意写成，的分段函数形式即， A.，，故 A 成立； B ，，故 B 不成立；C ：，，故 C 成立；D ，，故 D 成立；所以只有 B 结论不正确，故选 B. 点睛：本题属创新类型的函数定义题，主要考察学生的理解能力；本题属创新类型的函数定义题．此题的关键在于理解函数的定义，则根据给定定义写成，的分段函数形式即.【分析】（ 1 ）可举反例证明不正确. （ 2 ）因为成立，则. （ 3 ）为正数，为负数时不成立 . （ 4 ）因为，则，所以.【详解】A 选项：，，但是， A 不正确；B 选项：因为成立，则，那么， B 正确；C 选项：，但是， C 不正确；D 选项：因为，则，又，所以， D 正确.故选： BD【点睛】此题考查不等式比较大小，一般可通过特值法证伪判错，属于简单题目 .17、 BD【分析】（ 1 ）可举反例证明不正确. （ 2 ）因为成立，则. （ 3 ）为正数，为负数时不成立 . （ 4 ）因为，则，所以.【详解】A 选项：，，但是， A 不正确；B 选项：因为成立，则，那么， B 正确；C 选项：，但是， C 不正确；D 选项：因为，则，又，所以， D 正确.【点睛】此题考查不等式比较大小，一般可通过特值法证伪判错，属于简单题目 .18、 ABC【分析】依次计算每个函数的定义域和解析式，判断得到答案 .【详解】A ：，定义域为 R ，，定义域为 R ，相同函数；B ：，定义域为 R ，，定义域为 R ，相同函数；C ：，，定义域均为，相同函数；D ：定义域为，定义域为 R ，不是相同函数. 故选： ABC.【点睛】本题考查了相同函数的判断，确定函数定义域和解析式是解题的关键 .19、 ABC【分析】依次计算每个函数的定义域和解析式，判断得到答案 .【详解】A ：，定义域为 R ，，定义域为 R ，相同函数；B ：，定义域为 R ，，定义域为 R ，相同函数；C ：，，定义域均为，相同函数；D ：定义域为，定义域为 R ，不是相同函数.故选： ABC.【点睛】本题考查了相同函数的判断，确定函数定义域和解析式是解题的关键 .20、 AD【分析】本题可通过每一个自变量是否有唯一的数字与之对应来判断是否可以构成函数 .【详解】A 项：每一个自变量都有唯一的数字与之对应，可以构成函数， A 正确；B 项：自变量没有对应的数字，不能构成函数， B 错误；C 项：自变量同时对应了两个数字，不能构成函数， C 错误；D 项：每一个自变量都有唯一的数字与之对应，可以构成函数， D 正确，故选： AD.【点睛】关键点点睛：本题考查函数的定义，需考虑是否满足定义域中的每一个元素是否通过这个对应关系都有唯一的一个元素与之对应，是中档题 .21、 AD【分析】本题可通过每一个自变量是否有唯一的数字与之对应来判断是否可以构成函数 .【详解】A 项：每一个自变量都有唯一的数字与之对应，可以构成函数， A 正确；B 项：自变量没有对应的数字，不能构成函数， B 错误；C 项：自变量同时对应了两个数字，不能构成函数， C 错误；D 项：每一个自变量都有唯一的数字与之对应，可以构成函数， D 正确，故选： AD.【点睛】关键点点睛：本题考查函数的定义，需考虑是否满足定义域中的每一个元素是否通过这个对应关系都有唯一的一个元素与之对应，是中档题 .22、 BCD【分析】结合基本不等式的一正，二定三相等的条件检验各选项即可判断 .【详解】解：不等式恒成立的条件是，，故 A 不正确；当为负数时，不等式成立 . 故 B 正确；由基本不等式可知 C 正确；对于，当且仅当，即，时取等号，故 D 正确.故选： BCD.23、 BCD【分析】结合基本不等式的一正，二定三相等的条件检验各选项即可判断 .【详解】解：不等式恒成立的条件是，，故 A 不正确；当为负数时，不等式成立 . 故 B 正确；由基本不等式可知 C 正确；对于，当且仅当，即，时取等号，故 D 正确.故选： BCD.二、填空题1、.【分析】根据含有一个量词的命题的否定可得结果．【详解】由含有一个量词的命题的否定可得，命题“ ” 的否定为“ ” ．故答案为．【点睛】对于含有量词的命题的否定要注意两点：一是要改换量词，把特称（全称）量词改为全称（特称）量词；二是把命题进行否定．本题考查特称命题的否定，属于简单题．2、.【分析】根据含有一个量词的命题的否定可得结果．【详解】由含有一个量词的命题的否定可得，命题“ ” 的否定为“ ” ．故答案为．【点睛】对于含有量词的命题的否定要注意两点：一是要改换量词，把特称（全称）量词改为全称（特称）量词；二是把命题进行否定．本题考查特称命题的否定，属于简单题．3、【分析】函数的定义域满足，解得答案 .【详解】函数的定义域满足：，解得.故答案为：.【点睛】本题考查了函数定义域，属于简单题 .4、【分析】函数的定义域满足，解得答案 .【详解】函数的定义域满足：，解得.故答案为：.【点睛】本题考查了函数定义域，属于简单题 .5、【分析】设二次函数为，代入点求解即可 .【详解】因为二次函数的图象的顶点坐标为，所以设，代入点，可得，解得，所以函数解析式为故答案为：【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，考查了二次函数的性质，属于中档题 . 6、【分析】设二次函数为，代入点求解即可 .【详解】因为二次函数的图象的顶点坐标为，所以设，代入点，可得，解得，所以函数解析式为故答案为：【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，考查了二次函数的性质，属于中档题 . 7、【分析】当时，不等式恒成立，当时，由，即可求解 .【详解】当时，不等式恒成立，所以符合题意；当时，若关于的不等式恒成立，则，解得：，综上所述的取值范围为：，故答案为：.8、【分析】当时，不等式恒成立，当时，由，即可求解 . 【详解】当时，不等式恒成立，所以符合题意；当时，若关于的不等式恒成立，则，解得：，综上所述的取值范围为：，故答案为：.三、解答题1、，，【分析】直接计算交集并集补集得到答案 .【详解】，，则，，或，.【点睛】本题考查了交并补运算，属于简单题 .2、，，【分析】直接计算交集并集补集得到答案 .【详解】，，则，，或，.【点睛】本题考查了交并补运算，属于简单题 .3、（ 1 ）定义域为，，值域为，；（ 2 ）-1.【分析】（ 1 ）由图像直接得到定义域和值域；（ 2 ）先求出解析式，再直接代入求的值 .【详解】解：（ 1 ）由图象可知，函数的定义域为，，值域为，；（ 2 ）当，时，设，将，代入可得，解得，，即，当，时，设，将点代入可得，解得，，，，（ 1 ）．4、（ 1 ）定义域为，，值域为，；（ 2 ）-1.【分析】（ 1 ）由图像直接得到定义域和值域；（ 2 ）先求出解析式，再直接代入求的值 .【详解】解：（ 1 ）由图象可知，函数的定义域为，，值域为，；（ 2 ）当，时，设，将，代入可得，解得，，即，当，时，设，将点代入可得，解得，，，，（ 1 ）．5、【分析】对是否为空集进行分类讨论，由此求得的取值范围 . 【详解】依题意，当时，，当时，，综上所述的取值范围为.6、【分析】对是否为空集进行分类讨论，由此求得的取值范围 . 【详解】依题意，当时，，当时，，综上所述的取值范围为.7、【分析】求得中的取值范围，根据是的充分不必要条件求得的取值范围 . 【详解】对于命题，依题意知，∴ ，令：，：，是的充分不必要条件Ü ，∴ ，解得，因此实数的取值范围是．8、【分析】求得中的取值范围，根据是的充分不必要条件求得的取值范围 .【详解】对于命题，依题意知，∴ ，令：，：，是的充分不必要条件Ü ，∴ ，解得，因此实数的取值范围是．9、（ 1 ）L ( x ) ＝（ 2 ）100【分析】（ 1 ）分别求出0< x <80 、x ≥80 时L ( x ) 的解析式，最后用分段函数表示即得解；（ 2 ）分别借助二次函数的最值和均值不等式求出0< x <80 、 x ≥80 时L ( x ) 的最大值，比较即可得到答案.【详解】（ 1 ）当0< x <80 ，x ∈ N * 时，L ( x ) ＝x 2 － 10 x － 250＝x 2 ＋ 40 x － 250 ，当x ≥80 ，x ∈ N * 时，L ( x ) ＝－ 51 x －＋ 1 450 －250＝ 1 200 －，∴ L ( x ) ＝.（ 2 ）当0< x <80 ，x ∈ N * 时，L ( x ) ＝( x － 60) 2 ＋ 950 ，∴ 当x ＝ 60 时，L ( x ) 取得最大值L (60) ＝950 ，当x ≥80 ，x ∈ N * 时，L ( x ) ＝ 1 200 －≤1 200 －2＝ 1 200 －200 ＝ 1 000 ，∴ 当x ＝，即x ＝ 100 时，L ( x ) 取得最大值L (100) ＝ 1 000>950 ，综上所述，当x ＝ 100 时，L ( x ) 取得最大值 1 000 ，即年产量为 100 千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．10、（ 1 ）L ( x ) ＝（ 2 ）100【分析】（ 1 ）分别求出0< x <80 、x ≥80 时L ( x ) 的解析式，最后用分段函数表示即得解；（ 2 ）分别借助二次函数的最值和均值不等式求出0< x <80 、 x ≥80 时L ( x ) 的最大值，比较即可得到答案.【详解】（ 1 ）当0< x <80 ，x ∈ N * 时，L ( x ) ＝x 2 － 10 x － 250＝x 2 ＋ 40 x － 250 ，当x ≥80 ，x ∈ N * 时，L ( x ) ＝－ 51 x －＋ 1 450 －250＝ 1 200 －，∴ L ( x ) ＝.（ 2 ）当0< x <80 ，x ∈ N * 时，L ( x ) ＝( x － 60) 2 ＋ 950 ，∴ 当x ＝ 60 时，L ( x ) 取得最大值L (60) ＝950 ，当x ≥80 ，x ∈ N * 时，L ( x ) ＝ 1 200 －≤1 200 －2＝ 1 200 －200 ＝ 1 000 ，∴ 当x ＝，即x ＝ 100 时，L ( x ) 取得最大值L (100) ＝ 1 000>950 ，综上所述，当x ＝ 100 时，L ( x ) 取得最大值 1 000 ，即年产量为 100 千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．11、（ 1 ）解集为，或；（ 2 ） a 的范围为；（ 3 ）见解析. 【详解】分析 : （ 1 ）当a=1 ，不等式即（x+2 ）（x ﹣ 1 ）≥0 ，解此一元二次不等式求得它的解集; （ 2 ）由题意可得（a+2 ）x 2 +4x+a ﹣ 1 ＞0 恒成立，当a= ﹣ 2 时，显然不满足条件，故有，由此求得 a 的范围; （ 3 ）若 a ＜0 ，不等式为ax 2 +x ﹣ a ﹣ 1 ＞0 ，即再根据 1 和﹣的大小关系，求得此不等式的解集．详解：当，不等式即，即，解得，或，故不等式的解集为，或．由题意可得恒成立，当时，显然不满足条件，．解得，故 a 的范围为．若，不等式为，即．，当时，，不等式的解集为；当时，，不等式即，它的解集为；当时，，不等式的解集为．点睛：本题主要考查一元二次不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．对于含参的二次不等式问题，先判断二次项系数是否含参，接着讨论参数等于 0 ，不等于0 ，再看式子能否因式分解，若能够因式分解则进行分解，再比较两根大小, 结合图像得到不等式的解集.12、（ 1 ）解集为，或；（ 2 ） a 的范围为；（ 3 ）见解析. 【详解】分析 : （ 1 ）当a=1 ，不等式即（x+2 ）（x ﹣ 1 ）≥0 ，解此一元二次不等式求得它的解集; （ 2 ）由题意可得（a+2 ）x 2 +4x+a ﹣ 1 ＞0 恒成立，当a= ﹣ 2 时，显然不满足条件，故有，由此求得 a 的范围; （ 3 ）若 a ＜0 ，不等式为ax 2 +x ﹣ a ﹣ 1 ＞0 ，即再根据 1 和﹣的大小关系，求得此不等式的解集．详解：当，不等式即，即，解得，或，故不等式的解集为，或．由题意可得恒成立，当时，显然不满足条件，．解得，故 a 的范围为．若，不等式为，即．，当时，，不等式的解集为；当时，，不等式即，它的解集为；当时，，不等式的解集为．点睛：本题主要考查一元二次不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．对于含参的二次不等式问题，先判断二次项系数是否含参，接着讨论参数等于 0 ，不等于0 ，再看式子能否因式分解，若能够因式分解则进行分解，再比较两根大小, 结合图像得到不等式的解集.。
广东省2021届高三数学上学期第一次质量检测试题 理
最新学年第一学期高三第一次质检理 科 数 学 试 卷总分：150分 完成时间：120分钟 2019.10 班级 姓名 座号 成绩 一．选择题（60分）1.已知集合{}=|10A x x -<，{}2|20B x x x =-<，则A B =A.{}|0x x <B.{}|1x x <C.{}|01x x <<D.{}|12x x <<2.已知,p q R ∈，1i +是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，则p q ⋅=A.4-B.0C.2D.43.已知ln3a =，3log 10b =，lg3c =，则a ，b ，c 的大小关系为A.c b a <<B.a c b <<C.b c a <<D.c a b <<4.函数()21x f x x-=的图象大致为A. B.C. D.5.右图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由一个半圆和一个四分之一圆构成，两个阴影部分分别标记为A 和M .在此图内任取一点，此点取自A 区域的概率记为()P A ，取自M 区域的概率记为()P M ，则A.()()P A P M >B.()()P A P M <C.()()P A P M =D.()P A 与()P M 的大小关系与半径长度有关6.右图是判断输入的年份x 是否是闰年的程序框图，若先后输入1900x =，2400x =，则输出的结果分别是（注：xMODy 表示x 除以y 的余数） A.1900是闰年，2400是闰年 B.1900是闰年，2400是平年 C.1900是平年，2400是闰年 D.1900是平年，2400是平年7.若sin 78m =，则sin 6=A.12m + B.12m - C.1m + D.1m- 8.已知等差数列{}n a 的公差不为零，其前n 项和为n S ，若3S ,9S ,27S 成等比数列，则93S S = A.3B.6C.9D.129.双曲线)0(1:222>=-a y ax C 的右焦点为F ，点P 为C 的一条渐近线上的点，O 为坐标原点，若PF PO =，则OPF S ∆的最小值为A.41 B.21 C.1 D.210．已知函数()ln4xf x x=-，则 A. ()y f x =的图象关于点(2,0)对称 B. ()y f x =的图象关于直线2x =对称 C. ()f x 在(0,4)上单调递减 D. ()f x 在(0,2)上单调递减，在(2,4)上单调递增 11．已知函数()sin 3cos f x a x x =-的图像的一条对称轴为直线56x π=，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为A. 3π-B. 0C.3πD.23π 12．设()f x 是定义在R 上的偶函数，x R ∀∈，都有(2)(2)f x f x -=+，且当[0,2]x ∈时，()22xf x =-，函数()()log (1)a g x f x x =-+()0,1a a >≠在区间(1,9]-内恰有三个不同零点，则实数a 的取值范围是A ．1(0,)(7,)9+∞ B. 1(,1)(1,3)9 C. 11(,)(3,7)95 D. 11(,)(5,3)73二、填空题（共20分）13.若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤+-≥+-02201202y x y x y x ，则y x z -=3的最大值为______.14.已知21,e e 是夹角为60°的两个单位向量，21212,e e b e e a -=-=，则=⋅b a _____. 15.已知函数()04sin )(>⎪⎭⎫⎝⎛+=ωπωx x f ，若)(x f 在[]π2,0上恰有3个极值点，则ω的取值范围是______.16.在三棱锥ABC P -中，,3,90,60==︒=∠=∠︒=∠PC PB PCA PBA BAC 点P 到底面ABC 的距离为2，则三棱锥ABC P -的外接球的表面积为________. 三．（解答题，共70分）17.（12分）ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC △的面积为A b S tan 612=.（1）证明：A c b cos 3= （2）若,22,2tan ==a A 求S18.（12分）某音乐院校举行“校园之星”评选活动，评委由本校全体学生组成，对B A ,两位选手，随机调查了20个学生的评分，得到下面的茎叶图：（1）通过茎叶图比较B A ,两位选手所得分数的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；（2）校方将会根据评分记过对参赛选手进行三向分流：记事件:C “A 获得的分流等级高于B”，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C 发生的概率.19.（12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，侧棱⊥PD 底面ABCD ，DC PD =，点E 是PC 的中点.（1）求证：//PA 平面BDE ；（2）若直线BD 与平面PBC 所成角为︒30，求二面角D PB C --的大小.20.（12分）已知F 为抛物线y x T 4:2=的焦点，直线2:+=kx y l 与T 相交于B A ,两点. （1）若1=k ，求FB FA +的值；（2）点)2,3(--C ，若CFB CFA ∠=∠，求直线l 的方程.21.（12分）已知函数()sin f x x x =，(0,)x π∈，()f x '为()f x 的导数，且()()g x f x '=. 证明：（1）()g x 在22,3π⎛⎫⎪⎝⎭内有唯一零点t ； （2）()2f x <.（参考数据：sin 20.9903≈，cos20.4161≈-，tan 2 2.1850≈-，2 1.4142≈，3.14π≈.）（二）选考题：共10分.请考生在第（22），（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修44-：坐标系与参数方程]（10分）在极坐标系中，圆:4cos C ρθ=.以极点O 为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy ，直线l 经过点()1,33M --且倾斜角为α.（1）求圆C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；（2）已知直线l 与圆C 交与A ，B ，满足A 为MB 的中点，求α.23.[选修45-：不等式选讲]（10分） 设函数()211f x x x =-++. （1）画出()y f x =的图像；（2）若()f x m x n ≤+，求m n +的最小值.最新学年第一学期高三第一次质检理科数学参考答案2019.10一．选择题：CADDC CBCBA DC二．填空题： （13）0 （14）32（15）( 9 8，138] （16）6π三．解答题：17．解：（1）由S ＝ 1 2bc sin A ＝ 1 6b 2tan A 得3c sin A ＝b tan A ．因为tan A ＝sin A cos A ，所以3c sin A ＝b sin Acos A，又因为0＜A ＜π，所以 sin A ≠0， 因此b ＝3c cos A ． …4分（2）因为tan A ＝2，所以cos A ＝5 5， 由（1）得2bc cos A ＝2b 23，c ＝5b3．…8分由余弦定理得8＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以8＝b 2＋5b 29－2b 23＝8b 29，从而b 2＝9． 故S ＝ 1 6b 2tan A ＝3． …12分18．解：（1）通过茎叶图可以看出，A 选手所得分数的平均值高于B 选手所得分数的平均值；A 选手所得分数比较集中，B 选手所得分数比较分散． …4分（2）记C A 1表示事件：“A 选手直接晋级”，C A 2表示事件：“A 选手复赛待选”；C B 1表示事件：“B 选手复赛待选”，C B 2表示事件：“B 选手淘汰出局”．则C A 1与C B 1独立，C A 2与C B 2独立，C A 1与C A 2互斥，C ＝(C A 1C B 1)∪(C A 1C B 2)∪(C A 2C B 2)．P (C )＝P (C A 1C B 1)＋P (C A 1C B 2)＋P (C A 2C B 2)＝P (C A 1)P (C B 1)＋P (C A 1)P (C B 2)＋P (C A 2)P (C B 2)．由所给数据得C A 1，C A 2，C B 1，C B 2发生的频率分别为820，1120，1020，320，故P (C A 1)＝820，P (C A 2)＝1120，P (C B 1)＝1020，P (C B 2)＝320，P (C )＝820×1020＋820×320＋1120×320＝137400． …12分19．解：（1）连接AC 交BD 于O ，连接OE ． 由题意可知，PE ＝EC ，AO ＝OC ，∴PA ∥EO ，又PA ⊄平面BED ，EO ⊂平面BED ， ∴PA ∥平面BED ．…4分（2）以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D －xyz ，设PD ＝CD ＝1，AD ＝a ，则A (a ，0，0)，B (a ，1，0)，C (0，1，0)，P (0，0，1)，DB →＝(a ，1，0)， PB →＝(a ，1，－1)，PC →＝(0，1，－1) 设平面PBC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎨⎧PB →·n ＝0，PC →·n ＝0，得⎩⎨⎧ax ＋y －z ＝0，y －z ＝0，取n ＝(0，1，1)．…7分直线BD 与平面PBC 所成的角为30︒，得|cos 〈DB →，n 〉|＝|DB →·n ||DB →||n |＝1a 2＋1×2＝ 1 2，解得a ＝1．…9分 同理可得平面PBD 的法向量m ＝(－1，1，0)，…10分cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝12×2＝ 12，∵二面角C −PB −D 为锐二面角， ∴二面角C −PB −D 的大小为60°．…12分20．解：（1）由已知可得F (0，1)，设A (x 1，x 214)，B (x 2，x 224)，y ＝kx ＋2与x 2＝4y 联立得，x 2－4kx －8＝0，x 1＋x 2＝4k ， ① x 1x 2＝－8．② …2分 |FA |＋|FB |＝x 214＋1＋x 224＋1 ＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 24＋2．…4分 当k ＝1时，由①②得|FA |＋|FB |＝10…5分（2）由题意可知，FA →＝(x 1，x 214－1)，FB →＝(x 2，x 224－1)，FC →＝(－3，－3).∠CFA ＝∠CFB 等价cos 〈FA →，FC →〉＝cos 〈FB →，FC →〉， …8分又|FA |＝x 214＋1，|FB |＝x 224＋1则FA →·FC →|FA →||FC →|＝FB →·FC →|FB →||FC →|，整理得4＋2(x 1＋x 2)－x 1x 2＝0，解得k ＝－ 32，…11分 所以，直线l 的方程为3x ＋2y －4＝0． (12)分21．解：（1）g (x )＝f '(x )＝x cos x ＋sin x ，所以x ∈(0，π 2]时，g (x )＞0，即g (x )在(0，π2]内没有零点．…2分x ∈(π2，π)时，g '(x )＝2cos x －x sin x ， 因为cos x ＜0，x sin x ＞0，从而g '(x )＜0， 所以g (x )在(π2，π)上单调递减，又g (2)＝(2＋tan 2)cos 2＞0，g (2π3)＝－π 3＋32＜0，所以g (x )在(2，2π3)内有唯一零点t ．…6分（2）由（1）得，x ∈(0，t )时，g (x )＞0，所以f '(x )＞0，即f (x )单调递增； x ∈(t ，π)时，g (x )＜0，所以f '(x )＜0，即f (x )单调递减，即f (x )的最大值为f (t )＝t sin t ． 由f '(t )＝t cos t ＋sin t ＝0得t ＝－tan t ， 所以f (t )＝－tan t ·sin t ， 因此f (t )－2＝－sin 2t －2cos tcos t＝cos 2t －2cos t －1 cos t＝(cos t －1)2－2 cos t．…9分因为t ∈(2，2π3)，所以cos t ∈(－ 12，cos 2)，从而(cos 2－1)2－2＝(－1.4161)2－(2)2＞0， 即(cos t －1)2－2cos t ＜0，所以f (t )－2＜0， 故f (x )＜2． …12分22．解：（1）由圆C ：ρ＝4cos θ可得ρ2＝4ρcos θ， 因为ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ， 所以x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4．直线l ：⎩⎨⎧x ＝－1＋t cos α，y ＝－33＋t sin α（t 为参数，0≤α＜π）． (5)分（2）设A ，B 对应的参数分别为t A ，t B ，将直线l 的方程代入C 并整理，得t 2－6t (3sin α＋cos α)＋32＝0， 所以t A ＋t B ＝6(3sin α＋cos α)，t A ·t B ＝32． 又A 为MB 的中点，所以t B ＝2t A ，因此t A ＝2(3sin α＋cos α)＝4sin (α＋ π 6)，t B ＝8sin (α＋ π6)，…8分所以t A ·t B ＝32sin 2(α＋ π 6)＝32，即sin 2(α＋ π 6)＝1．因为0≤α＜π，所以 π 6≤α＋ π 6＜7π6，从而α＋ π 6＝ π 2，即α＝ π3．…10分23．解：（1）f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ＜－1，－x ＋2，－1≤x ≤ 1 2，3x ，x ＞ 12． …3分y ＝f (x )的图象如图所示：…5分n ，解得n ≥2．m |x |＋n ≥3|x |．（※） 若m ≥3，（※）式明显成立；若m ＜3，则当|x |＞n3－m 时，（※）式不成立．…8分另一方面，由图可知，当m≥3，且n≥2时，f(x)≤m|x|＋n．故当且仅当m≥3，且n≥2时，f(x)≤m|x|＋n．因此m＋n的最小值为5．…10分。