6.1 定积分概念及其性质
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掌握定积分概念及基本性质
供需关系研究
通过定积分，可以研究市 场供需关系的变化。
投资回报分析
在金融领域，定积分可以 用来分析投资回报率的变 化。
05
掌握定积分的重要性
在数学中的地位
连接微积分两大核心概念
定积分与微积分息息相关，是微积分理论体系的重要组成部分， 掌握了定积分，就等于掌握了微积分的一半。
深化对极限概念的理解
定积分与极限概念紧密相连，掌握定积分有助于更深入地理解极限 的内涵和应用。
详细描述
牛顿-莱布尼兹公式是计算定积分的核心公式，它表示为∫baf(t)dt=F(b)-F(a)，其中∫baf(t)dt表示函数f(t) 在区间[a, b]上的定积分，F(x)表示f(t)的原函数，即满足F'(x)=f(x)的函数。该公式通过选取合适的分割和 近似方式，将定积分转化为一系列小矩形面积之和，最后求和得到定积分的值。
为后续课程奠定基础
定积分是学习复变函数、实变函数等后续课程的基础，对于数学专 业的学生来说至关重要。
在其他学科中的应用价值
物理学中的应用
在物理学中，定积分常用于计算 面积分，例如在计算电磁场、引
力场等物理量的分布时。
工程学科中的应用
在工程学科中，定积分常用于解 决与几何形状、物理量分布等有 关的实际问题，如机械工程、土
定积分的几何意义
定积分的几何意义是函数图像与x轴所夹的面积。具体来说，将定积分表示的函 数图像与x轴围成的面积，即为定积分的值。
定积分的几何意义还可以理解为曲线与x轴所夹的“曲边梯形”的面积。这个曲 边梯形的高就是函数值，底就是x轴上的区间。
定积分的物理意义
定积分的物理意义是表示某个物理量在某个时间段或某个 区间内的累积效应。例如，物体的质量分布不均匀，其质 心位置可以通过对质量分布函数进行定积分来求解。
定积分知识点总结[汇编]
![定积分知识点总结[汇编]](https://img.taocdn.com/s3/m/fb5a49d89f3143323968011ca300a6c30c22f108.png)
定积分知识点总结[汇编]一、定积分定义定积分是一种数学概念，它表示函数在一定区间内的面积或体积。
如果将定积分定义为数学公式，则其表示为：∫abf(x)dx其中，a和b是定积分的区间，f(x)是积分被积函数，dx表示积分的自变量。
二、定积分的性质定积分具有以下性质：1. 定积分与区间无关性如果一个函数在a和b两个点之间积分结果相同，则称该函数在这个区间上有定积分。
换句话说，定积分与积分的区间无关。
2. 可积性如果一个函数在一个区间上是有限的，则称该函数是“可积的”。
在这种情况下，函数的积分是一个有限的数。
如果一个函数可积，则它的积分在区间上是可加的。
4. 积分中值定理如果一个函数f在一个区间[a，b]上连续，则在这个区间上有一个c，使得积分的平均值等于函数在这个点的值。
即，其中，c位于[a，b]范围内的某个点。
三、定积分的求解方法1. 不定积分求解定积分对于给定的被积函数f(x)，可以通过求解它的不定积分F(x)来解决定积分的问题。
即，这种方法也被称为“牛顿-莱布尼茨公式”。
定积分可以通过几何方法求解。
即将定积分的积分区间分成若干小区间，计算每个小区间与x轴之间的面积，并将这些小区间的面积相加。
通过计算所有小区间的面积，可以得到整个函数曲线与x轴之间的面积。
如果无法使用解析方法求解定积分，则可以使用数值积分法来进行近似计算。
数值积分法基于面积法的原理，通过数值计算来估计定积分的值。
最常见的数值积分法包括梯形法、辛普森法和矩形法等。
定积分在数学和物理科学领域有广泛的应用。
例如：1. 确定函数之间的关系定积分可以用于确定函数之间的关系，例如求出两个函数之间的相关系数、协方差和提高回归模型。
2. 计算物体的体积通过找到物体的外形和切割平面之间的物体的截面积，可以使用定积分来计算物体的体积。
4. 计算电子包络通过使用定积分来计算电子包络的位置和波函数，可以推导出相关的量子力学方程。
6-1定积分概念(1)
n
1 1 1 n( n + 1)( 2n + 1) 1 = 1 + 2 + ,λ → 0 ⇒ n → ∞ = 3⋅ 6 n n n 6 n 1 2 1 1 1 2 x dx =பைடு நூலகம்lim ∑ ξ i ∆xi = lim 1 + 2 + = 1 . ∫0 λ → 0 i =1 n→ ∞ 6 n n 3
第一节
定积分概念(1) 定积分概念
一、 问题的提出 二、 定积分定义 三、 定积分存在定理 四、 定积分的几何意义 五、 小结
一、问题的提出
实例1 求曲边梯形的面积) 实例1(求曲边梯形的面积) 曲边梯形由连续曲线 y = f ( x ) ( f ( x ) ≥ 0) 、 x 轴与两条直线 x = a 、 x = b 所围成. 所围成. 用矩形面积近似取代曲边梯形面积
定理6.1.1 设 f ( x )在区间 [a , b] 上有定义 若积分 定理 上有定义, b f ( x )dx存在 则 f ( x )在区间 [a , b] 上有界 上有界. 存在, ∫a 证明 若 f ( x )在区间 [a , b] 上无界 则对每种分割 上无界, 至少存在一个子区间[ xi −1 , xi ], 使得 f ( x )在区间
1、 函数 f ( x ) 在[ a , b ] 上的定积分是积 分和的极限，即∫ f ( x )dx = _________ . 2、 定积分的值只与______及_______ 有关，而与_________的记法无关 . 3、 定积分的几何意义是__________. 4、区间[ a , b ]长度的定积分表示是____ . 二、 利用定积分的定义计算由抛物 线 y = x + 1 , 两直线 x = a , x = b ( b > a ) 及 横轴所围成的图形的面积 . 三、利用定积分的定义计算积分 ∫ xdx ， (a<b) .
定积分的概念及性质
一、定积分的概念及性质定积分是研究分布在某区间上的非均匀量的求和问题，必须通过“分割、近似、求和、求极限”四个步骤完成，它表示了一个与积分变量无关的常量。
牛顿—莱布尼兹公式揭示了定积分与原函数的关系，提供了解决定积分的一般方法。
要求解定积分，首先要找到被积函数的原函数，而求原函数是不定积分的内容，由此，大家也可以进一步体会上一章内容的重要性。
被积函数在积分区间有界是可积的必要条件，在积分区间连续是可积的充分条件。
定积分具有线性性质、比较性质以及中值定理等，这些性质在定积分的计算和理论研究上具有重要意义，希望大家认真领会。
二、定积分的计算定积分的计算主要依靠牛顿—莱布尼兹公式进行。
在被积函数连续的前提下，要计算定积分一般需要先计算不定积分（因而不定积分的计算方法在定积分的计算中仍然适用），找出被积函数的原函数，但在具体计算时，定积分又有它自身的特点。
定积分计算的特点来自于定积分的性质，来自于被积函数在积分区间上的函数特性，因此有时定积分的计算比不定积分更简洁。
尽管定积分在求原函数的指导思想上与不定积分没有差别，但实际上它们又不完全一样。
例如用换元法来计算定积分⎰22cos sin πxdx x ，如果计算过程中出现了新的变元：x u sin =，则上下限应同时相应改变，微分同样如此，即⎰202cos sin πxdx x x u sin =313110312==⎰u du u 。
可以看出，在进行换元时的同时改变了积分的上下限，这样就无须象不定积分那样回代了。
但如果计算过程中不采用新变元，则无需换限，即=⎰202cos sin πxdx x 31sin 31sin sin 203202==⎰ππx x xd 。
在前一种方法（也称为定积分的第二换元法）中，一定要注意三个相应的变换：积分上、下限、微分，否则必然出现错误。
后一种方法（定积分的第一换元法）可以解决一些相对简单的积分，实际上是换元的过程可以利用凑微分来替代，由于没有出现新的变元，因而也就无须改变积分上下限及微分。
高等数学基础第六章
第六章
定积分及其应用
主讲:
定积分及其应用
• 定积分的概念 • 定积分的性质 • 微积分基本公式 • 定积分的积分法 • 广义积分 • 定积分的应用
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6.4定积分的积分法—定积分的换元积分法
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6.4定积分的积分法—定积分的分部积分法
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6.5广义积分—无穷区间上的广义积分
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6.5广义积分—无界函数的广义积分
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6.6定积分的应用—微元分析法
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6.6定积分的应用—定积分在几何上的应用
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6.6定积分的应用—定积分在几何上的应用
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6.6定积分的应用—定积分在物理学中的简单应用
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定积分的概念与性质
29
定积分的概念与性质
例3. 试证:
证:
设
f (x)
sin x
x
,
则在
(0 ,
π 2
)上,
有
f
(x)
x cos
x x2
sin
x
cos x x2
(x
tan
x)
0
f(
π 2
)
f
(x)
f
(0 )
即
2 f (x) 1, π
x
(0,
π 2
)
故
π 2 0
2
dx
π 2
0
f (x)dx
π
2 1dx
x
b
a n
,
取 i
xi1, 有
b
f ( x)dx
a
n
lim 0 i1
f (i )xi
lim
n
n i 1
f
(
xi
1
)
b
n
a
lim b a n n
n i 1
f ( xi1 )
对任一确定的自然数 n,
b f ( x)dx
a
ba n
n i 1
f ( xi1 )
18
定积分的概念与性质
取 i
a
a
b
c
b
a f ( x)dx c f ( x)dx
(定积分对于积分区间具有可加性)
23
定积分的概念与性质
性质4
b
b
1 dx dx b a
a
a
性质5 如果在区间 [a,b]上 f ( x) 0,
则
b
定积分的定义和性质
把区间[a, b] 分成 n个小区间[ xi 1 , xi ]， 记 xi xi xi 1 ; 在每个小区间[ xi 1 , xi ] y y f ( x )( 0) 上任取一点 i，
以 [ xi 1 , xi ]为底， f ( i )
f ( i )
为高的小矩形面积为
(a, b) f () 0
推论：如果在区间[a , b] 上 f ( x ) g( x ) ，
则
a f ( x )dx
b
b
a g( x )dx (a b)。
b
证:
f ( x ) g( x ),
g( x ) f ( x ) 0,
a [ g( x ) f ( x )]dx 0, a g( x )dx a f ( x )dx 0,
b
a kf ( x )dx k a f ( x )dx
n λ0 i 1 n
b
b
(k为常数)。
n λ 0
证： kf ( x )dx lim kf ( i )xi lim k f ( i )xi a
i 1
k lim f ( i )xi k f ( x )dx. λ 0
例 比较积分值 0 e dx 和 0 xdx 的大小。
x
2
2
解： 令 f ( x ) e x , x [2, 0]
x
f ( x ) 0,
0
2 (e
0
x
x )dx 0,
2 e
0
x
dx 2xdx, e dx
x
于是
0
2
2 xdx。 0
定积分的重要公式及性质(例题 解析)
区间[a,b]上积分和的极限；这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。
定积分的定义：
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], …, (xn-1,xn]，其中x0=a，xn=b。可知各区间的长度依次是：△x1=x1-x0，在每个子区间(xi-1,xi]中任取一点ξi（1,2,...,n），作和式 。该和式叫做积分和，设λ=max{△x1, △x2, …, △xn}（即λ是最大的区间长度），如果当λ→0时，积分和的极限存在，则这个极限叫做函数f(x)在区间[a,b]的定积分，记为 ，并称函数f(x)在区间[a,b]上可积。[1]其中：a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积表达式，∫叫做积分号。
重要公式及性质：
牛顿——莱布尼兹公式
(a为下限，b为下限）
例：
特殊公式：
（n为奇数）
（n为偶数)
例：
上下限为相反数
f(x)为偶函数
f(x)为奇函数
奇函数：y=x , x3, sinx , tanx
偶函数：y= x2, cosx , lxl
例：
定积分的定义：
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], …, (xn-1,xn]，其中x0=a，xn=b。可知各区间的长度依次是：△x1=x1-x0，在每个子区间(xi-1,xi]中任取一点ξi（1,2,...,n），作和式 。该和式叫做积分和，设λ=max{△x1, △x2, …, △xn}（即λ是最大的区间长度），如果当λ→0时，积分和的极限存在，则这个极限叫做函数f(x)在区间[a,b]的定积分，记为 ，并称函数f(x)在区间[a,b]上可积。[1]其中：a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积表达式，∫叫做积分号。
重要公式及性质：
牛顿——莱布尼兹公式
(a为下限，b为下限）
例：
特殊公式：
（n为奇数）
（n为偶数)
例：
上下限为相反数
f(x)为偶函数
f(x)为奇函数
奇函数：y=x , x3, sinx , tanx
偶函数：y= x2, cosx , lxl
例：
定积分的概念与性质
b
n
被 积 函 数
被 积 表 达 式
i =1
积 分 变 量
[ a , b ] 积分区间
由定积分定义可知： 由定积分定义可知：
曲边梯形的面积A = ∫a f ( x)dx
b
变速直线运动的路程 = ∫T v(t )dt s
1
T2
说明： 说明：
1. 定积分 ∫a f ( x )dx是一个数 , 它只取决于积分区间
n
在第i个小区间[ x i −1 , x i ]上任取一点 ξ i ,作乘积 f (ξ i ) ∆ x i，
作和 S = ∑ f (ξi )∆xi 记λ = max{∆x1 , ∆x 2 L ∆x n },
i =1 n
则称 存在， f ( x )在[a , b ]上可积 , 如果极限lim∑ f (ξi )∆xi 存在，
1
− x2
dx的值.
− x2
在[ − 1,1]上的最大值和最小值 .
f ′( x ) = − 2 xe
− x2
令 f ′( x ) = 0
0
得x = 0
−1
1 f (0) = e = 1 f (−1) = f (1) = e = e 1 最小值 = 最大值 M = 1 e 2 1 − x2 故 ≤ ∫−1e dx ≤ 2 e
在[ 0,1]上 ,因为 x ≥ x . 所以∫0 xdx ≥
2
b
b
b
1
1
1
x 2 dx ∫0
1
练习
1 . 不计算定积分的值 ,比较下列积分的大小 . (1 ) ( ∫0 x dx 和 ∫0 x dx ； 2 )
2 3 1 1
ln x dx 和 ∫0 (ln x ) 2 dx ； ∫0
定积分大一上知识点总结
定积分大一上知识点总结定积分是微积分中的一个重要概念，是在一定区间上求函数曲线下的面积。
本文将对定积分的概念、性质以及求解方法进行总结和介绍。
一、定积分的概念定积分可以看作是对无穷小的加和，用极限的思想进行定义。
对于函数f(x)在[a, b]上的定积分表示为：∫[a, b] f(x) dx其中∫表示积分符号，[a, b]表示积分的区间，f(x)表示被积函数，dx表示积分变量。
二、定积分的性质1. 线性性质：定积分具有线性性质，即∫[a, b] (af(x) + bg(x)) dx= a∫[a, b] f(x) dx + b∫[a, b] g(x) dx。
2. 区间可加性：如果函数f(x)在[a, b]和[b, c]上可积，则有∫[a, c] f(x) dx = ∫[a, b] f(x) dx + ∫[b, c] f(x) dx。
3. 零函数积分：对于任意常数c，有∫[a, b] c dx = c(b - a)。
三、定积分的求解方法1. 几何意义法：定积分的几何意义是函数曲线下的面积，可以通过几何方法进行求解。
将区间[a, b]划分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx，选取小区间上的任意一点ξi，将函数在小区间上的面积近似为矩形的面积，即ΔS = f(ξi)Δx。
然后将这些矩形面积相加，当划分越来越细时，矩形面积的和趋近于定积分∫[a, b] f(x) dx。
2. 定积分的基本性质：定积分具有数学上的基本性质，可以通过这些性质来求解定积分。
例如，可以利用定积分的线性性质、区间可加性和零函数积分性质，将复杂的定积分化简为简单的定积分，并通过已知的积分表达式进行计算。
3. 换元法：对于一些复杂函数，可以通过换元法进行求解。
通过变量代换，将原定积分转化为新变量上的积分，从而简化计算难度。
常用的换元法有代换变量法和三角换元法。
4. 分部积分法：对于一些积分需要进行多次运算的情况，可以通过分部积分法进行求解。
高等数学微积分课件--61定积分的概念与性质
换元法的关键是选择合适的变量替换，使得积分过程简化，常用的换元方法有三角换元、倒代换等。
分部积分法
分部积分法是通过将两个函数的乘积 进行求导，然后将求导结果进行积分 ，从而得到原函数的一种方法。
VS
分部积分法的关键是选择合适的函数 进行乘积，使得求导和积分过程简化 ，常用的分部积分法有凑微分法和部 分分式法。
区间可加性的意义
区间可加性是定积分的一个重要性质，它表明定积分具有可加性，即函数的定积 分值只与区间的端点有关，而与区间的分割方式无关。这一性质在解决实际问题 时非常有用，因为它可以简化计算过程，提高计算的准确性。
函数值的积分性质
函数值的积分性质
如果函数f在区间[a, b]上的定积分等于该区间上任意一点的函数值与区间长度b-a的乘 积，即∫f dx = f(ξ)(b-a)，其中ξ属于[a, b]，则称f的定积分具有函数值的积分性质。
定积分的几何意义
1
定积分的值等于由曲线和x轴所夹的曲边梯形的 面积。
2
定积分的值等于数轴上一定区间内的一个区间所 对应的坐标原点处的值。
3
定积分的值等于函数图像在一定区间内与x轴之 间的面积。
02
定积分的性质
线性性质
线性性质
对于任意两个函数的和或差，其定积 分等于各自定积分的和或差。即，对 于任意函数f和g，以及常数a和b，有 ∫(a*f+b*g) dx = a * ∫f dx + b * ∫g dx。
定积分的计算方法
直接积分法
直接积分法是定积分的基本计算方法 ，通过将积分表达式进行不定积分， 然后求出原函数，再根据定积分的上 下限求出定积分的值。
直接积分法的关键是求出不定积分， 不定积分是微分学的逆运算，可以通 过凑微分、分部积分等方法求解。
分部积分法
分部积分法是通过将两个函数的乘积 进行求导，然后将求导结果进行积分 ，从而得到原函数的一种方法。
VS
分部积分法的关键是选择合适的函数 进行乘积，使得求导和积分过程简化 ，常用的分部积分法有凑微分法和部 分分式法。
区间可加性的意义
区间可加性是定积分的一个重要性质，它表明定积分具有可加性，即函数的定积 分值只与区间的端点有关，而与区间的分割方式无关。这一性质在解决实际问题 时非常有用，因为它可以简化计算过程，提高计算的准确性。
函数值的积分性质
函数值的积分性质
如果函数f在区间[a, b]上的定积分等于该区间上任意一点的函数值与区间长度b-a的乘 积，即∫f dx = f(ξ)(b-a)，其中ξ属于[a, b]，则称f的定积分具有函数值的积分性质。
定积分的几何意义
1
定积分的值等于由曲线和x轴所夹的曲边梯形的 面积。
2
定积分的值等于数轴上一定区间内的一个区间所 对应的坐标原点处的值。
3
定积分的值等于函数图像在一定区间内与x轴之 间的面积。
02
定积分的性质
线性性质
线性性质
对于任意两个函数的和或差，其定积 分等于各自定积分的和或差。即，对 于任意函数f和g，以及常数a和b，有 ∫(a*f+b*g) dx = a * ∫f dx + b * ∫g dx。
定积分的计算方法
直接积分法
直接积分法是定积分的基本计算方法 ，通过将积分表达式进行不定积分， 然后求出原函数，再根据定积分的上 下限求出定积分的值。
直接积分法的关键是求出不定积分， 不定积分是微分学的逆运算，可以通 过凑微分、分部积分等方法求解。
6.1 定积分的概念与性质
2 2 2
所以
0
b
x 2dx lim Sn
n
b n( n 1)( 2n 1) b lim . 3 n 6 3 n
3 3
四、定积分的基本性质
性质 6.1 设 f ( x )，g( x ) 在 [a , b] 上可积，， 是任
意常数，那么 f ( x ) g( x ) 在[a , b]上可积，并且
i 1
n
则称此极限值为函数 f ( x ) 在区间[a, b] 上的定积分.
记作 f ( x )dx ，即
a
b
a f ( x )dx
b
lim f ( i )xi
0
i 1
n
( 6 2)
这时称函数 f ( x ) 在区间[a, b] 上可积.
a 和 b 分别称为积分下限和上限，a , b] 称为积分区间. [
a f ( x )dx
b
f (c )(b a )
Oa
例4
设 f ( x ) 在 [a , b] 上连续，在 (a , b) 内可导，
且存在 c (a , b)，使得
a f ( x )dx
证明
c
f (b)(c a )
证明在 (a , b) 内存在一点 ，使得 f ( ) 0 .
n n
( i 1, 2, , n )
(3) 求和
(4) 取极限
s si v (i )t i
i 1 i 1
记 max{ti }，令 0，则
1 i n
s lim v (i )t i
0
i 1
n
二、定积分的定义
定义 6.1 设函数 f ( x ) 在区间 [a , b] 上有定义 , 用 (a , b)
所以
0
b
x 2dx lim Sn
n
b n( n 1)( 2n 1) b lim . 3 n 6 3 n
3 3
四、定积分的基本性质
性质 6.1 设 f ( x )，g( x ) 在 [a , b] 上可积，， 是任
意常数，那么 f ( x ) g( x ) 在[a , b]上可积，并且
i 1
n
则称此极限值为函数 f ( x ) 在区间[a, b] 上的定积分.
记作 f ( x )dx ，即
a
b
a f ( x )dx
b
lim f ( i )xi
0
i 1
n
( 6 2)
这时称函数 f ( x ) 在区间[a, b] 上可积.
a 和 b 分别称为积分下限和上限，a , b] 称为积分区间. [
a f ( x )dx
b
f (c )(b a )
Oa
例4
设 f ( x ) 在 [a , b] 上连续，在 (a , b) 内可导，
且存在 c (a , b)，使得
a f ( x )dx
证明
c
f (b)(c a )
证明在 (a , b) 内存在一点 ，使得 f ( ) 0 .
n n
( i 1, 2, , n )
(3) 求和
(4) 取极限
s si v (i )t i
i 1 i 1
记 max{ti }，令 0，则
1 i n
s lim v (i )t i
0
i 1
n
二、定积分的定义
定义 6.1 设函数 f ( x ) 在区间 [a , b] 上有定义 , 用 (a , b)
6.1定积分概念与性质
这个值是曲边梯形OAB的面积的近似值 分点越多，近似程度越好 当n 时，取极限，则得：
1 1 1 1 lim Sn lim (1 )(1 ) n n 3 n 2n 3
即曲边梯形OAB的面积
求以上曲边梯形面积的基本思想可以表述为：
1.将曲边梯形OAB分成（可以等分）个小的曲边梯形； 2.分别用个小矩形面积近似代替个小的曲边梯形面积； 3.对个小矩形面积求和，这个和就近似等于曲边梯形面积； 4.求当时和式的极限，极限值就是曲边梯形OAB的面积.
3、做和式
将n个小矩形的面积加起来便可以得到曲边梯形面积S的近似值，即
S S1 S2 Si Sn f (1 )x1 f (2 )x2 f (i )xi f (n )xn
f (i )xi Sn
i 1 n
4、取极限
1 2 n 1 用下列各点 , , 把区间[0,1]分成个相等的小区间 n n n
小阴影矩形面积的总和为 1 1 1 2 1 n 1 2 1 Sn 0 ( )2 ( ) 2 ( ) n n n n n n n 1 3 [12 22 (n 1) 2 ] n 1 (n 1)n(n 2) 3 n 6 1 (n 1)n(2n 1) 3 n 6 1 1 1 (1 )(1 ) 3 n 2n
第i个小曲边梯形的面积为△Si,则有
s s s si si sn si
i
n
2、近似代替 在[xi-1,xi]( i=1,2, …n)上任取一点ξi, 以△xi为底， f (ξi,)为高作矩形， 则矩形面积f (ξi) △xi 小矩形的面积可以近似代替小曲 边梯形的面积△Si即 △Si ≈ f (ξi) △xi ( i=1,2, …n)
§6.1 定积分的定义与性质
思路:把整段时间分割成若干小段, 思路:把整段时间分割成若干小段,每小段上速度以 其中某时刻的速度来近似,求出各小段上路程的近似, 其中某时刻的速度来近似,求出各小段上路程的近似, 再相加,便得到路程的近似值, 再相加,便得到路程的近似值,最后通过对时间的无 限细分过程求得路程的精确值. 限细分过程求得路程的精确值.
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系. 矩形面积和与曲边梯形面积的关系.
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系. 矩形面积和与曲边梯形面积的关系.
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系. 矩形面积和与曲边梯形面积的关系.
*证性质 :∫a kf ( x )dx = lim 证性质2: 证性质 λ→0
n
线性
b
df
∑ kf (ξ
i =1
n
i
) x i
df b
= lim k ∑ f (ξ i )xi = k lim ∑ f (ξ i )xi = k ∫ f ( x )dx . a
λ →0
i =1
n
λ →0
i =1
证毕
性质3 关于积分区间的可加性) 性质3(关于积分区间的可加性)
记为
积分上限
积分和
∫a f ( x )dx = I = lim ∑ f (ξ i )xi λ → 0 i =1
积分 限
b
n 分 变 量
[a , b] — —积分
.
注:
) 积分仅与被积函数及积分区间有关, (1) 积分仅与被积函数及积分区间有关,
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系. 矩形面积和与曲边梯形面积的关系.
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系. 矩形面积和与曲边梯形面积的关系.
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系. 矩形面积和与曲边梯形面积的关系.
*证性质 :∫a kf ( x )dx = lim 证性质2: 证性质 λ→0
n
线性
b
df
∑ kf (ξ
i =1
n
i
) x i
df b
= lim k ∑ f (ξ i )xi = k lim ∑ f (ξ i )xi = k ∫ f ( x )dx . a
λ →0
i =1
n
λ →0
i =1
证毕
性质3 关于积分区间的可加性) 性质3(关于积分区间的可加性)
记为
积分上限
积分和
∫a f ( x )dx = I = lim ∑ f (ξ i )xi λ → 0 i =1
积分 限
b
n 分 变 量
[a , b] — —积分
.
注:
) 积分仅与被积函数及积分区间有关, (1) 积分仅与被积函数及积分区间有关,
定积分的概念和性质
n
2
1 1 1 1 2 , 6 n n
0 n
2 2 x dx lim x i xi 0
1
n
0 i 1
1 1 1 1 lim 1 2 . n 6 n n 3 例2：利用几何意义求定积 分
1 小区间[ x i 1 , x i ]的长度x i ，(i 1,2, , n ) n
取x i x i ，(i 1,2,, n )
i 1
n
f (x i )xi x i xi xi2xi ,
2 i 1
i 1
n
n
1 n 2 1 n( n 1)(2n 1) i 1 3 i 3 n n i 1 n 6 i 1 n
1) x dx
1 1
2)
2
0
4 x 2 dx
返回
定积分的性质
对定积分的补充规定:
（1）当a b 时，
（2）当 a b 时，
b
a f ( x )dx 0；
a
b
a f ( x )dx b
f ( x )dx .
说明 在下面的性质中，假定定积分都存在，且不 考虑积分上下限的大小．
怎样的分法， 也不论在小区间[ xi 1 , x i ]上
只要当 点x i 怎样的取法，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0时，和 S 总趋于 确定的极限 I ， 我们称这个极限 I 为函数 f ( x ) 在区间[a , b]上的定积分， 记为
积分上限
积分和式
b
积分下限
f (x i )x i a f ( x )dx I lim 0 i 1
2
1 1 1 1 2 , 6 n n
0 n
2 2 x dx lim x i xi 0
1
n
0 i 1
1 1 1 1 lim 1 2 . n 6 n n 3 例2：利用几何意义求定积 分
1 小区间[ x i 1 , x i ]的长度x i ，(i 1,2, , n ) n
取x i x i ，(i 1,2,, n )
i 1
n
f (x i )xi x i xi xi2xi ,
2 i 1
i 1
n
n
1 n 2 1 n( n 1)(2n 1) i 1 3 i 3 n n i 1 n 6 i 1 n
1) x dx
1 1
2)
2
0
4 x 2 dx
返回
定积分的性质
对定积分的补充规定:
（1）当a b 时，
（2）当 a b 时，
b
a f ( x )dx 0；
a
b
a f ( x )dx b
f ( x )dx .
说明 在下面的性质中，假定定积分都存在，且不 考虑积分上下限的大小．
怎样的分法， 也不论在小区间[ xi 1 , x i ]上
只要当 点x i 怎样的取法，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0时，和 S 总趋于 确定的极限 I ， 我们称这个极限 I 为函数 f ( x ) 在区间[a , b]上的定积分， 记为
积分上限
积分和式
b
积分下限
f (x i )x i a f ( x )dx I lim 0 i 1
第一讲 定积分的概念和性质
过来写 a = x0 > x1 > x2 > ·· xi-1 > xi > ·· xn-1 > xn = b ·> ·> 即可， 由于 xi-1 > xi ， xi = xi - xi-1 < 0， 于是有
b
a
f ( x )dx 的定义, 此时，只要把插入分点的顺序反
b
a
f ( x )dx f ( t )dx .
一、引进定积分概念的两个例子(问题的提出) 实例1 （求曲边梯形的面积）
何谓曲边梯形？ 请看下列两图形。
平面封闭图形均可理解成 数个曲边梯形的集合。
图C
如图，有一曲边梯形置于直角坐标系xoy中。
曲边梯形由连续曲线
y f ( x ) ( f ( x ) 0) 、
y
y f ( x)
x 轴、直线 x a 、
当 f (x) > 0 时， 定积分在几何上表示曲边 y = f (x) 在区间 [a, b] 上方的曲边梯形面积， f ( x )dx A.
a b
如果 f (x) < 0 ，曲边梯形在 x 轴下方，
此时该定积分为负值，
即 f ( x )dx A.
a b
y a b x
O
A
A y=f (x) B
n
2
0 x dx
2
lim x i xi
2
n
0 i 1
1 1 1 1 lim 1 2 . n 6 n n 3
n( n 1)(2n 1) 公式 1 2 3 n 6
2 2 2 2
三、定积分的几何意义
b
a
f ( x )dx 的定义, 此时，只要把插入分点的顺序反
b
a
f ( x )dx f ( t )dx .
一、引进定积分概念的两个例子(问题的提出) 实例1 （求曲边梯形的面积）
何谓曲边梯形？ 请看下列两图形。
平面封闭图形均可理解成 数个曲边梯形的集合。
图C
如图，有一曲边梯形置于直角坐标系xoy中。
曲边梯形由连续曲线
y f ( x ) ( f ( x ) 0) 、
y
y f ( x)
x 轴、直线 x a 、
当 f (x) > 0 时， 定积分在几何上表示曲边 y = f (x) 在区间 [a, b] 上方的曲边梯形面积， f ( x )dx A.
a b
如果 f (x) < 0 ，曲边梯形在 x 轴下方，
此时该定积分为负值，
即 f ( x )dx A.
a b
y a b x
O
A
A y=f (x) B
n
2
0 x dx
2
lim x i xi
2
n
0 i 1
1 1 1 1 lim 1 2 . n 6 n n 3
n( n 1)(2n 1) 公式 1 2 3 n 6
2 2 2 2
三、定积分的几何意义
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授课课题
定积分的概念及其性质
教学
目标和要求
了解定积分的概念及其性质
教学
重点和难点
定积分的概念，定积分段
板书PPT
授课时间
第8周
课时累计
32
教 学 过 程
教学步骤及教学内容
时间分配
一，导入定积分问题举例
曲边梯形的面积:
曲边梯形设函数yf(x)在区间[ab]上非负、连续由直线xa、xb、y0及曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形其中曲线弧称为曲边
三.定积分的性质
两点规定(1)当ab时
(2)当a b时
性质1函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差) 即
性质2被积函数的常数因子可以提到积分号外面 即
这是因为
性质3如果将积分区间分成两部分则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和即
这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性
值得注意的是不论abc的相对位置如何总有等式
(ab)
证明 因为mf(x)M所以
从而
性质7 (定积分中值定理)如果函数f(x)在闭区间[ab]上连续则在积分区间[ab]上至少存在一个点使下式成立
这个公式叫做积分中值公式
15
10
20
15
作业布置
P90 T一、二
课后反思
学生对定积分与曲边梯形面积难以区分，特别当 时，学生难以理解定积分等于面积的负值。定积分的性质，积分中值定理
成立例如当a<b<c时由于
于是有
性质4如果在区间[ab]上f(x)1 则
性质5如果在区间[ab]上f(x)0则
(ab)
推论1如果在区间[ab]上f(x)g(x) 则
(ab)
这是因为g(x)f(x)0从而
所以
推论2 (ab)
这是因为|f(x)|f(x)|f(x)|所以
即 |
性质6设M及m分别是函数f(x)在区间[ab]上的最大值及最小值则
在每个小区间[xi1xi]上任取一个点 (xi1 xi)作函数值f( )与小区间长度xi的乘积
f( ) xi(i12n)并作出和
记max{x1x2xn}如果不论对[ab]怎样分法也不论在小区间[xi1xi]上点 怎样取法只要当0时和S总趋于确定的极限I这时我们称这个极限I为函数f(x)在区间[ab]上的定积分记作
求曲边梯形的面积的近似值
将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值具体方法是在区间[ab]中任意插入若干个分点
ax0x1x2xn1xnb
把[ab]分成n个小区间
教学步骤及教学内容
时间分配
抛开上述问题的具体意义抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括就抽象出下述定积分的定义
10
教学步骤及教学内容
时间分配
定义 设函数f(x)在[ab]上有界在[ab]中任意插入若干个分点
ax0x1x2xn1xnb
把区间[ab]分成n个小区间
[x0x1][x1x2][xn1xn]
各小段区间的长依次为
x1x1x0x2x2x1xnxnxn1
Af( ) x1f( ) x2f( ) xn
求曲边梯形的面积的精确值
显然分点越多、每个小曲边梯形越窄所求得的曲边梯形面积A的近似值就越接近曲边梯形面积A的精确值因此要求曲边梯形面积A的精确值只需无限地增加分点使每个小曲边梯形的宽度趋于零记
max{x1x2xn}于是上述增加分点使每个小曲边梯形的宽度趋于零相当于令0所以曲边梯形的面积为
[x0x1][x1x2][x2x3][xn1xn]
它们的长度依次为x1x1x0x2x2x1xnxnxn1
经过每一个分点作平行于y轴的直线段把曲边梯形分成n个窄曲边梯形在每个小区间
[xi1xi]上任取一点 以[xi1xi]为底、f( )为高的窄矩形近似替代第i个窄曲边梯形(i12n)把这样得到的n个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值即
即
其中f(x)叫做被积函数f(x)dx叫做被积表达式x叫做积分变量a叫做积分下限b叫做积分上限[ab]叫做积分区间
根据定积分的定义曲边梯形的面积为
20
教学步骤及教学内容
时间分配
说明
(1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关而与积分变量的记法无关即
(2)和 通常称为f(x)的积分和
(3)如果函数f(x)在[ab]上的定积分存在我们就说f(x)在区间[ab]上可积
定积分的概念及其性质
教学
目标和要求
了解定积分的概念及其性质
教学
重点和难点
定积分的概念，定积分段
板书PPT
授课时间
第8周
课时累计
32
教 学 过 程
教学步骤及教学内容
时间分配
一，导入定积分问题举例
曲边梯形的面积:
曲边梯形设函数yf(x)在区间[ab]上非负、连续由直线xa、xb、y0及曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形其中曲线弧称为曲边
三.定积分的性质
两点规定(1)当ab时
(2)当a b时
性质1函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差) 即
性质2被积函数的常数因子可以提到积分号外面 即
这是因为
性质3如果将积分区间分成两部分则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和即
这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性
值得注意的是不论abc的相对位置如何总有等式
(ab)
证明 因为mf(x)M所以
从而
性质7 (定积分中值定理)如果函数f(x)在闭区间[ab]上连续则在积分区间[ab]上至少存在一个点使下式成立
这个公式叫做积分中值公式
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作业布置
P90 T一、二
课后反思
学生对定积分与曲边梯形面积难以区分，特别当 时，学生难以理解定积分等于面积的负值。定积分的性质，积分中值定理
成立例如当a<b<c时由于
于是有
性质4如果在区间[ab]上f(x)1 则
性质5如果在区间[ab]上f(x)0则
(ab)
推论1如果在区间[ab]上f(x)g(x) 则
(ab)
这是因为g(x)f(x)0从而
所以
推论2 (ab)
这是因为|f(x)|f(x)|f(x)|所以
即 |
性质6设M及m分别是函数f(x)在区间[ab]上的最大值及最小值则
在每个小区间[xi1xi]上任取一个点 (xi1 xi)作函数值f( )与小区间长度xi的乘积
f( ) xi(i12n)并作出和
记max{x1x2xn}如果不论对[ab]怎样分法也不论在小区间[xi1xi]上点 怎样取法只要当0时和S总趋于确定的极限I这时我们称这个极限I为函数f(x)在区间[ab]上的定积分记作
求曲边梯形的面积的近似值
将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值具体方法是在区间[ab]中任意插入若干个分点
ax0x1x2xn1xnb
把[ab]分成n个小区间
教学步骤及教学内容
时间分配
抛开上述问题的具体意义抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括就抽象出下述定积分的定义
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教学步骤及教学内容
时间分配
定义 设函数f(x)在[ab]上有界在[ab]中任意插入若干个分点
ax0x1x2xn1xnb
把区间[ab]分成n个小区间
[x0x1][x1x2][xn1xn]
各小段区间的长依次为
x1x1x0x2x2x1xnxnxn1
Af( ) x1f( ) x2f( ) xn
求曲边梯形的面积的精确值
显然分点越多、每个小曲边梯形越窄所求得的曲边梯形面积A的近似值就越接近曲边梯形面积A的精确值因此要求曲边梯形面积A的精确值只需无限地增加分点使每个小曲边梯形的宽度趋于零记
max{x1x2xn}于是上述增加分点使每个小曲边梯形的宽度趋于零相当于令0所以曲边梯形的面积为
[x0x1][x1x2][x2x3][xn1xn]
它们的长度依次为x1x1x0x2x2x1xnxnxn1
经过每一个分点作平行于y轴的直线段把曲边梯形分成n个窄曲边梯形在每个小区间
[xi1xi]上任取一点 以[xi1xi]为底、f( )为高的窄矩形近似替代第i个窄曲边梯形(i12n)把这样得到的n个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值即
即
其中f(x)叫做被积函数f(x)dx叫做被积表达式x叫做积分变量a叫做积分下限b叫做积分上限[ab]叫做积分区间
根据定积分的定义曲边梯形的面积为
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教学步骤及教学内容
时间分配
说明
(1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关而与积分变量的记法无关即
(2)和 通常称为f(x)的积分和
(3)如果函数f(x)在[ab]上的定积分存在我们就说f(x)在区间[ab]上可积