离散数学第5章作业答案

第5章作业答案

1. 用枚举法给出下列集合

解(2) {-3，2}

(4) {5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15}

2. 用抽象法说明下列集合

解(6) {x|∃k (k∈I∧x = 2k + 1)}

6．写出下列集合的幂集

解(2) ρ({1, ∅}) = {∅, {1}, {∅}, {1, ∅}}

(4) ρ({∅, {a}, {∅}}) = {∅, {∅}, {{a}}, {{∅}}, {∅, {a}},

{∅, {∅}}, {{a}, {∅}}, {∅, {a}, {∅}}}

9. 证明：如果B⊆C，则ρ(B) ⊆ρ(C)。

证明任取x∈ρ(B)，则x⊆B，又因为B⊆C，所以x⊆C，x∈ρ(C)。

10．设U = {1, 2, 3, 4, 5}，A = {1, 4}，B = {1, 2, 5}和C = {2, 4}，试写出下列集合。解(8) ρ(A) -ρ(C)

= {∅, {1}, {4}, {1, 4}} - {∅, {2}, {4}, {2, 4}}

= {{1}, {1, 4}}

11．证明下列恒等式

(7) (A-B) -C = (A-C) - (B-C)

证法1 对于任意x，

x∈ (A-C) - (B-C)

⇔x∈A-C ∧x∉ B-C

⇔x∈A∧x∉C ∧⌝(x∈ B∧x∉C)

⇔ x∈A∧x∉C ∧ ( x∉B ∨ x∈C)

⇔( x∈A∧x∉C ∧ x∉B)∨( x∈A∧x∉C ∧ x∈C)

⇔ x∈A∧x∉C ∧ x∉B

⇔ x∈A∧ x∉B∧x∉C

⇔ x∈A-B ∧ x∉C

⇔ x∈(A-B) -C

证法2

(A-C) - (B-C) = A⋂~C⋂~( B⋂~C)

= A⋂~C⋂ (~ B⋃ C)

= ( A⋂~C⋂~ B) ⋃( A⋂~C⋂ C)

=(A⋂~C⋂~ B) ⋃∅

= A⋂~B⋂~ C

= (A-B) ⋂~ C = (A-B) -C

12．设A, B, C是集合，下列等式成立的条件是什么？

(3) (A-B ) ⋂ (A-C) = ∅

解因为(A- B) ⋂( A-C)

= (A⋂~B) ⋂ ( A⋂~C)

= A⋂ (~B⋂~C)

= A⋂~(B ⋃C)

= A- (B ⋃C)

所以(A-B)⋂(A-C) = ∅iff A- (B⋃C) = ∅iff A⊆ (B⋃C)

15. 设A = {{∅}, {{∅}}}，试计算

(1) ρ(A ) = {∅, {{∅}}, {{{∅}}}, {{∅}, {{∅}}}}

(2) ⋃A = {∅}⋃{{∅}} = {∅, {∅}}

(3) ρ(⋃A ) = ρ({∅, {∅}})

= {∅, {∅}, {{∅}}, {∅, {∅}}}

(4) ⋃(ρ(A )) = A

17. 证明：设 ρ(A ) = ρ(B )，则A = B 。

证法1 任取x ∈A ，{x }⊆ A ，{x }∈ρ(A )，{x }∈ρ(B )，x ∈B 。所以A ⊆ B 。同样可证B ⊆ A 。因此，A = B 。

证法2 A ∈ρ(A )，A ∈ρ(B )，A ⊆ B 。B ∈ρ(B )，B ∈ρ(A )，B ⊆ A 。所以，

A =

B 。

证法3 A = ⋃(ρ(A )) = ⋃(ρ(B )) = B 。

19. 在整数1到300之间有多少个数不能被3, 5, 7整除？有多少个数能被3整除而不能被5, 7整除？

解 设全集U 为从1到300的整数构成的集合。文氏图

如图所示。用x 表示小于等于x 的最大整数，[x 1, x 2,…, x n ]

表示x 1, x 2,…, x n 的最小公倍数。设A , B , C 分别为U 中能

被3, 5, 7整除的数的集合。

#A = 3003/＝100，#B = 3005/＝60，#C =

3007/＝42，

#(A ⋂ B ) = 30035/[,]＝30015/＝20，

#(A ⋂ C ) = 30037/[,]＝30021/＝14，

#(B ⋂ C ) =30057/[,]＝30035/＝8，

#(A ⋂ B ⋂ C ) = 300357/[,,]

= 300105/ = 2

不能被3, 5, 7整除的数的个数是

#(~A ⋂ ~B ⋂ ~C ) = #(~(A ⋃ B ⋃ C ))

= 300 - #(A ⋃ B ⋃ C )

= 300 - 100 - 60 - 42 +20 + 14 + 8 - 2

= 138，

能被3整除而不能被5, 7整除的数的个数是

#(A ⋂ ~B ⋂ ~C ) = 100 - 18 -12 - 2 = 68。

21. 令A = {ε, a }，B = {ab }，试列出下列集合的元素。

(1) A 2 = {ε, a , aa }

(3) AB ={ab , aab }

24. 如果A ={0, 1}，B = {1, 2}，试确定下列集合

(2) A⨯B

= {< 0, 1 >,< 0, 2 >,< 1, 1 >,< 1, 2 >}

26. 设A, B, C, D是任意四个集合，证明下列等式成立。

(1) ( A ⋂B )⨯(C⋂D) = (A⨯C)⋂(B⨯D)

< x, y > ∈ ( A ⋂B )⨯(C⋂D)

⇔ x∈A ⋂B ∧ y∈ C⋂D

⇔ x∈A∧ x∈ B∧ y∈ C∧ y∈ D

⇔ (x∈A∧ y∈ C ) ∧ (x∈ B∧ y∈ D)

⇔ < x, y > ∈ A⨯C∧ < x, y > ∈ B⨯D

⇔ < x, y > ∈(A⨯C)⋂(B⨯D)