MATLAB编程基础第7讲--插值、拟合与初值常微分方程的求解
MATLAB软件中软件拟合与插值运算的方法
MATLAB软件中软件拟合与插值运算的方法内容目录
1MATLAB中软件拟合与插值运算的方法1
1.1拟合函数的选择1
1.1.1线性拟合1
1.1.2非线性拟合2
1.2拟合函数的求解2
1.2.1直接法2
1.2.2迭代法3
1.3MATLAB插值函数4
1.3.1样条插值函数4
1.3.2拉格朗日插值函数5
1.3.3指数插值函数5
结论6
近来，随着科学技术的进步，数据采集技术的发展，大量的实验数据和实验结果越来越多，如何合理地分析处理数据，描绘实际趋势，就变得十分重要，MATLAB中的软件拟合与插值是目前应用最多的数据处理技术之一、本文介绍了MATLAB中软件拟合与插值运算的方法及其具体实现。
1.1拟合函数的选择
1.1.1线性拟合
线性拟合是指拟合函数可以用一元线性方程描述，MATLAB中的拟合
函数有polyfit、polyval和 polyconf等。
其中，polyfit函数用来根据
输入的拟合数据拟出一元多项式，polyval函数用来求出拟合后的拟合值，polyconf函数用来计算拟合的参数的置信范围。
例如，用polyfit函数
拟合下面的数据，输入x = [1 2 3 4 5]和y = [4.3 7.3 11.1 14.1
18.4]，拟出的拟合函数为y = 4.1 + 2.3x，即拟合函数为y = 4.1 +
2.3x。
1.1.2非线性拟合。
matlab的数据拟合与插值
matlab的数据拟合与插值Matlab 的数据的分析处理-拟合与插值在数学建模过程中，常常需要确定⼀个变量依存于另⼀个或更多的变量的关系，即确定这些变量之间的函数关系。
但在实际中确定这些变量之间函数函数关系时往往没有先验的依据，只能在收集的实际数据的基础上对若⼲合乎理论的形式进⾏试验，从中选择⼀个最有可能反映实际的函数形式，这就是统计学中的拟合和回归⽅程问题。
本节我们主要介绍如何分析处理实际中得到的数据。
下⾯先看⼀个例⼦。
例1 “⼈⼝问题”是我国最⼤社会问题之⼀，估计⼈⼝数量和发展趋势是我们制定⼀系列相关政策的基础。
有⼈⼝统计年鉴，可查到我国从1949年⾄1994⼀般地，我们采⽤下⾯的分析处理⽅法：⾸先，在直⾓坐标系上作出⼈⼝数与年份的散点图象。
观察随着年份的增加⼈⼝数与年份变化关系，初步估计出他们之间的关系可近似地可看做⼀条直线。
那么我们如何把这条直线⽅程确定出来呢？并⽤他来估计1999年我国的⼈⼝数。
⽅法⼀：先选择能反映直线变化的两个点，如（1949，541.67），（1984，1034.75）⼆点确定⼀条直线，⽅程为 N = 14.088 t – 26915.842 ，代⼊t =1999,得N ≈12.46亿⽅法⼆：可以多取⼏组点对，确定⼏条直线⽅程，将t = 1999代⼊，分别求出⼈⼝数，在取其算数平值。
⽅法三：可采⽤“最⼩⼆乘法”求出直线⽅程。
这就是曲线拟合的问题。
⽅法⼀与⽅法⼆都具有⼀定的局限性，下⾯我们重点介绍数据的曲线拟合。
所谓曲线拟合是指给定平⾯上的n 个点(x i ,y i ),i=1,2,….,n,找出⼀条曲线使之与这些点相当吻合，这个过程称之为曲线拟合。
最常见的曲线拟合是使⽤多项式来作拟合曲线。
曲线拟合最常⽤的⽅法是最⼩⼆乘法。
其原理是求f(x),使21])([i ni i y x f -=∑=δ达到最⼩。
matlab 提供了基本的多项式曲线拟合函数命令polyfit格式::polyfit(x,y,n)说明:polyfit(x,y,n)是找n 次多项式p(x)的系数,这些系数满⾜在最⼩⼆乘法意义下p(x(i)) ~= y(i).已知⼀组数据，⽤什么样的曲线拟合最好呢?可以根据散点图进⾏直观观察，在此基础上，选择⼏种曲线分别拟合，然后⽐较，观察那条曲线的最⼩⼆乘指标最⼩。
Matlab中的插值与拟合技术
Matlab中的插值与拟合技术在科学研究和工程领域中，数据的插值和拟合技术在数值计算和数据处理中具有重要意义。
Matlab作为一款强大的科学计算软件，提供了丰富的插值和拟合函数和工具箱，能够满足不同场景下的需求。
插值是一种通过已知数据点构建新数据点的技术。
在实际问题中，我们经常会遇到仅有少量已知数据点，但需要了解未知数据点的情况。
插值技术就可以帮助我们填补数据之间的空缺，以便更好地分析和理解数据。
Matlab中提供了多种插值函数，包括线性插值、多项式插值、样条插值等。
这些函数能够根据已知数据点的特征，推测出未知数据点的可能取值。
通过合理选择插值方法和参数，我们可以得到较为准确的结果。
以线性插值为例，其原理是根据已知数据点的直线特征，推测出未知数据点的取值。
在Matlab中，我们可以使用interp1函数实现线性插值。
该函数的基本用法是给定一组x和对应的y值，以及待插值的点xq，函数将计算出对应的插值点yq。
通过指定xq的形式，我们可以实现不仅仅是单个点的插值，还可以实现多点插值和插值曲线绘制。
这种灵活性使得插值操作更加方便快捷。
拟合技术则是通过一定数学函数的近似表示，来描述已知数据的特征。
它可以帮助我们找到数据背后的规律和趋势，从而更好地预测未知数据。
在Matlab中，拟合问题可以通过polyfit和polyval函数来解决。
polyfit函数可以根据一组已知数据点，拟合出最优的多项式曲线。
该函数的输入参数包括x和y，代表已知数据的横纵坐标值；以及n，代表拟合的多项式次数。
polyfit函数将返回拟合得到的多项式系数。
通过polyval函数，我们可以使用这些系数来求解拟合曲线的纵坐标值。
这样，我们就能够利用拟合曲线来预测未知数据点。
插值和拟合技术在实际问题中都有广泛的应用，尤其在数据处理和信号处理方面。
例如，当我们在实验中测量一组数据时，可能会存在测量误差或者数据缺失的情况。
此时，通过插值技术我们可以填补数据之间的空白，并得到一个更加完整的数据集。
Matlab基础及其应用-数值微积分与常微分方程求解
6
6
6
1 −19
6 −19
6
7.2 数值积分
MATLAB基础与应用教程
7.2.1 数值积分的原理
基本思想是将整个积分区间[a，b]分成n个子区间[xi，xi + 1]， i = 1，2，…，n，其中x1 = a，xn + 1 = b。这样求定积分问题
就分解为下面的求和问题：
矩形法是用矩形面积近似曲边梯形的面积，如图7.2（aБайду номын сангаас所 示；梯形法是用斜边梯形面积近似曲边梯形的面积，如图 7.2（b）所示；而辛普生法是用抛物线近似曲边。
7.1 数值微分
MATLAB基础与应用教程
【例7.1】设f(x) = sinx，用不同的方法求函数f(x)的数值 导数，并在同一个坐标系中绘制f '(x)的三种方法所得导数
曲线。
x=0:pi/24:pi; %用5次多项式p拟合f(x),并对拟合多项式p求导数dp在假设点的函数值 p=polyfit(x,sin(x),5); dp=polyder(p); dpx=polyval(dp,x); %直接对sin(x)求数值导数 dx=diff(sin([x,pi+pi/24]))/(pi/24); %求函数f的导函数g在假设点的导数 gx=cos(x); plot(x,dpx,'b-',x,dx,'ko',x,gx,'r+');
的形式，即形参t为时间参量，形参y为待求解问题的自变量。
tspan指定求解区间，用二元向量[t0 tf ]表示。 y0是初始状态列向量。
options用于设置积分求解过程和结果的属性。
7.4 常微分方程的数值求解
matlab求解常微分方程组
matlab求解常微分方程组常微分方程组是数学中的一个重要分支，它描述了多个变量随时间变化的关系。
在实际应用中，常微分方程组经常被用来描述物理、化学、生物等领域中的动态系统。
本文将介绍如何使用MATLAB求解常微分方程组。
MATLAB是一种强大的数学软件，它提供了许多工具和函数来求解常微分方程组。
在MATLAB中，我们可以使用ode45函数来求解常微分方程组。
ode45函数是一种常用的数值求解器，它使用龙格-库塔方法来求解常微分方程组。
我们需要定义常微分方程组。
常微分方程组通常采用向量形式表示，例如：dy/dt = f(t,y)其中，y是一个向量，f(t,y)是一个向量函数。
在MATLAB中，我们可以使用匿名函数来定义f(t,y)。
例如，如果我们要求解以下常微分方程组：dy1/dt = -y1 + 2*y2dy2/dt = -2*y1 + 3*y2我们可以定义f(t,y)为：f = @(t,y) [-y(1) + 2*y(2); -2*y(1) + 3*y(2)];接下来，我们需要指定初值条件。
初值条件是指在t=0时，y的值。
在MATLAB中，我们可以使用一个向量来表示初值条件。
例如，如果我们要求解以下常微分方程组：dy1/dt = -y1 + 2*y2dy2/dt = -2*y1 + 3*y2初值条件为：y(0) = [1; 0]我们可以定义初值条件为：y0 = [1; 0];现在，我们可以使用ode45函数来求解常微分方程组。
ode45函数的语法如下：[t,y] = ode45(f,tspan,y0)其中，f是一个函数句柄，tspan是一个包含起始时间和结束时间的向量，y0是一个包含初值条件的向量。
ode45函数将返回一个包含时间和解向量的矩阵。
例如，如果我们要求解以下常微分方程组：dy1/dt = -y1 + 2*y2dy2/dt = -2*y1 + 3*y2初值条件为：y(0) = [1; 0]时间范围为0到10秒，我们可以使用以下代码来求解：f = @(t,y) [-y(1) + 2*y(2); -2*y(1) + 3*y(2)];tspan = [0 10];y0 = [1; 0];[t,y] = ode45(f,tspan,y0);现在，我们可以绘制解向量随时间变化的图像。
插值与拟合的MATLAB实现
插值与拟合的MATLAB实现插值和拟合是MATLAB中常用的数据处理方法。
插值是通过已知数据点之间的数值来估计未知位置的数值。
而拟合则是通过已知数据点来拟合一个曲线或者函数，以便于进行预测和分析。
插值方法：1.线性插值：使用MATLAB中的interp1函数可以进行线性插值。
interp1函数的基本语法为：yinterp = interp1(x, y, xinterp)，其中x和y为已知数据点的向量，xinterp为待插值的位置。
函数将根据已知数据点的线性关系，在xinterp位置返回相应的yinterp值。
2.拉格朗日插值：MATLAB中的lagrangepoly函数可以使用拉格朗日插值方法。
lagrangepoly的基本语法为：yinterp = lagrangepoly(x, y, xinterp)，其中x和y为已知数据点的向量，xinterp为待插值的位置。
函数将根据拉格朗日插值公式，在xinterp位置返回相应的yinterp值。
3.三次样条插值：使用MATLAB中的spline函数可以进行三次样条插值。
spline函数的基本语法为：yinterp = spline(x, y, xinterp)，其中x和y为已知数据点的向量，xinterp为待插值的位置。
函数将根据已知数据点之间的曲线关系，在xinterp位置返回相应的yinterp值。
拟合方法：1.多项式拟合：MATLAB中的polyfit函数可以进行多项式拟合。
polyfit的基本语法为：p = polyfit(x, y, n)，其中x和y为已知数据点的向量，n为要拟合的多项式的次数。
函数返回一个多项式的系数向量p，从高次到低次排列。
通过使用polyval函数，我们可以将系数向量p应用于其他数据点，得到拟合曲线的y值。
2.曲线拟合：MATLAB中的fit函数可以进行曲线拟合。
fit函数的基本语法为：[f, goodness] = fit(x, y, 'poly2')，其中x和y为已知数据点的向量，'poly2'表示要拟合的曲线类型为二次多项式。
MATLAB中的数据插值与拟合方法介绍
MATLAB中的数据插值与拟合方法介绍概述数据处理是科学研究和工程实践中的重要环节之一。
对于实验或观测数据，我们常常需要通过插值和拟合方法来获取更加精确和连续的函数或曲线。
在MATLAB中，有多种方法和函数可以用于实现数据插值和拟合，本文将介绍其中的一些常用方法。
一、数据插值数据插值是指利用有限个数据点，通过某种方法构建一个连续的函数，以实现在这些点之间任意位置的数值估计。
在MATLAB中，常用的数据插值方法有线性插值、多项式插值、三次样条插值等。
1. 线性插值线性插值是最简单的插值方法之一，假设我们有两个数据点 (x1, y1) 和 (x2, y2)，要在这两个点之间插值一个新的点 (x, y)，线性插值即为连接 (x1, y1) 和 (x2, y2) 这两个点的直线上的点(x, y)。
在MATLAB中，可以通过interp1函数进行线性插值。
2. 多项式插值多项式插值是使用一个低次数的多项式函数来拟合数据的方法。
在MATLAB 中，可以通过polyfit函数进行多项式拟合，然后利用polyval函数来进行插值。
具体的插值效果与所选用的多项式阶数有关。
3. 三次样条插值三次样条插值算法利用相邻数据点之间的三次多项式来拟合数据，从而构成一条光滑的曲线。
在MATLAB中，可以通过spline函数进行三次样条插值。
二、数据拟合除了插值方法外，数据拟合也是处理实验或观测数据的常见方法之一。
数据拟合是指通过选择一个特定的数学模型，使该模型与给定的数据点集最好地拟合。
在MATLAB中，常用的数据拟合方法有多项式拟合、指数拟合、非线性最小二乘拟合等。
1. 多项式拟合在MATLAB中，可以使用polyfit函数进行多项式拟合。
该函数通过最小二乘法来拟合给定数据点集，并得到一个多项式函数。
根据所选用的多项式阶数，拟合效果也会有所不同。
2. 指数拟合指数拟合常用于具有指数关系的数据。
在MATLAB中，可以通过拟合幂函数的对数来实现指数拟合。
用MATLAB求解微分方程
1. 微分方程的解析解
求微分方程（组）的解析解命令:
dsolve(‘方程1’, ‘方程2’,…‘方程n’, ‘初始条件’, ‘自变量’)
结 果：u = tan(t-c)
解 输入命令：dsolve('Du=1+u^2','t')
STEP2
STEP1
解 输入命令: y=dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x')
导弹追踪问题
设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A(1, 0)处的乙舰发射导弹，导弹头始终对准乙舰.如果乙舰以最大的速度v0(是常数)沿平行于y轴的直线行驶，导弹的速度是5v0，求导弹运行的曲线方程.又乙舰行驶多远时，导弹将它击中？ 解法一（解析法）
由(1),(2)消去t整理得模型:
解法二(数值解)
结 果 为：x = (c1-c2+c3+c2e -3t-c3e-3t)e2t y = -c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2t z = (-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2t
2、取t0=0，tf=12，输入命令： [T,Y]=ode45('rigid',[0 12],[0 1 1]); plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'*',T,Y(:,3),'+')
3、结果如图
图中，y1的图形为实线，y2的图形为“*”线，y3的图形为“+”线.
Matlab中的插值与拟合方法介绍
Matlab中的插值与拟合方法介绍在数据分析与处理的过程中，插值与拟合是非常重要的工具。
Matlab作为一种常用的数据处理与分析工具，提供了许多插值与拟合函数，方便用户进行数据处理和分析。
本文将介绍Matlab中的插值和拟合方法，并提供相应的示例和应用场景。
一、插值方法1. 线性插值线性插值是最简单的插值方法之一，通过连接已知数据点的直线进行插值。
在Matlab中，可以使用interp1函数进行一维线性插值。
下面以一个简单的例子来说明线性插值的应用：```x = [1, 2, 3, 4, 5];y = [2, 4, 6, 8, 10];xi = 2.5;yi = interp1(x, y, xi)```在这个例子中，已知一组数据点(x, y)，要求在x=2.5处的插值结果。
通过interp1函数，可以得到插值结果yi=5。
线性插值适用于数据点较少且近邻点的变化趋势比较明显的情况。
2. 三次样条插值三次样条插值是一种更精确的插值方法，它利用多个小区间的三次多项式进行插值。
在Matlab中，可以使用interp1函数的'spline'选项进行三次样条插值。
以下是一个示例：```x = [1, 2, 3, 4, 5];y = [2, 4, 6, 8, 10];xi = 2.5;yi = interp1(x, y, xi, 'spline')```通过设置'spline'选项，可以得到插值结果yi=5.125。
三次样条插值适用于数据点较多且变化较为复杂的情况。
3. 二维插值除了一维插值，Matlab还提供了二维插值函数interp2，用于处理二维数据的插值问题。
以下是一个简单的二维插值示例：```x = 1:4;y = 1:4;[X, Y] = meshgrid(x, y);Z = X.^2 + Y.^2;xi = 2.5;yi = 2.5;zi = interp2(X, Y, Z, xi, yi)```在这个例子中，首先生成一个二维数据矩阵Z，然后利用interp2函数在给定的坐标(xi, yi)处进行插值，得到插值结果zi=12.25。
matlab插值曲线拟合解析
四种插值方法比较
函数
格式
zi=interp2(x,y,z,xi,yi)
功能
二维插值。Z为由已知点的值组成的 矩阵，参量x与y是与z同维的已知点 的矩阵，且必须是单调的。xi与yi为 需要插值的点。若xi与yi中有在x与y 范围之外的点，则相应地返回NaN。
zi=interp2(z,xi,yi) Interp2
包角系 数
0.91
0.92
0.93
0.95
0.96
0.98
0.99
1
>>a1=[90,100,110,120,125,130,135,140,145,150,155,160,165,170,175,180]; >>a2=[0.69,0.74,0.78,0.82,0.84,0.86,0.88,0.89,0.91,0.92,0.93,0.95,0.96,0.98,0.99 ,1]; >>ka=interp1(a1,a2,133.5) >>ka=0.8740
例4
对
y
1
1 x2
在[-5,
5]上,
用n=11个等距分点作分段线
性插值和三次样条插值, 用m=21个插值点作图,比较结果.
xy
y1
y2
0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 2.5000 3.0000 3.5000 4.0000 4.5000 5.0000
例3. 已知实验数据如表。
x
0
0.25 0.50 0.75 1.00
y
0.9162 0.8109 0.6931 0.5596 0.4055
计算插值点x0=0.6处的函数值y0。
插值与拟合matlab实现
插值与拟合matlab实现插值与拟合的Matlab实现王正盛编写在科技工程中，除了要进行一定的理论分析外，通过实验、观测数据，做分析、处理也是必不可少的一种途径。
由于实验测定实际系统的数据具有一定的代表性，因此在处理时必须充分利用这些信息；又由于测定过程中不可避免会产生误差，故在分析经验公式时又必须考虑这些误差的影响。
两者相互制约。
据此合理建立实际系统数学模型的方法成为数值逼近法。
一、插值法1、数学原理工程实践和科学实验中，常常需要从一组实验观测数据中，求自变量与因变量的一个近似的函数关系式。
例如：观测行星的运动，只能得到某时刻所对应的行星位置（用经纬度表示），想知道任何时刻的行星位置。
例如：大气压测定问题；导弹发射问题；程序控制铣床加工精密工件问题；飞机船舶制造问题等等。
都属于此类问题。
因为考虑到代数多项式既简单又便于计算，所以人们就用代数多项式近似地表示满足个点的函数关系式——插值法建模。
（1）计算方法课程中学习了两种多项式插值：Lagrange插值和Newton均差插值：已知n+1个数据点：n次Lagrange插值公式：特别地，当n=1时，————线性插值当n=2时，———————抛物线插值或二次插值Newton均差插值公式：，其中是k阶均差，可由均差表方便计算得到。
Lagrange插值和Newton均差插值本质上是一样的，只是形式不同而已，因为插值多项式是唯一的。
（2）Runge现象和分段低次插值：如在[-5，5]上各阶导数存在，但在此区间取n个节点构造的Lagrange插值多项式在区间并非都收敛，而且分散得很厉害。
（matlab\bin\ Lagrange.m是自己编写的M文件）[例]取n=-10hold offx=[-5:1:5];y=1./(1+x.^2);x0=[-5:0.1:5];y0=lagrange(x,y,x0);y1=1./(1+x0.^2);plot(x0,y0)hold onplot(x0,y1,'b:')legend('插值曲线','原数据曲线')因此插值多项式一般不要超过四次为宜。
matlab求解常微分方程的准确解
matlab求解常微分方程的准确解使用Matlab求解常微分方程的准确解一、引言常微分方程是研究自然界现象和工程实际问题中常见的数学工具之一。
求解常微分方程的准确解对于理解问题的本质和性质具有重要意义。
本文将介绍如何使用Matlab来求解常微分方程的准确解，并通过具体的例子进行演示。
二、常微分方程的基本概念常微分方程是指包含未知函数及其导数的方程。
一般形式为：dy/dx = f(x,y)其中，y是未知函数，x是自变量，f(x,y)是已知函数。
常微分方程的解是指能够满足方程的函数y(x)。
三、Matlab的符号计算工具箱Matlab提供了符号计算工具箱，可以对方程进行符号计算。
通过符号计算工具箱，我们可以求解常微分方程的准确解。
四、使用Matlab求解常微分方程的步骤1. 定义未知函数和自变量。
在Matlab中，可以使用符号变量来定义未知函数和自变量。
2. 定义常微分方程。
使用符号变量来定义常微分方程。
3. 求解常微分方程。
使用dsolve函数来求解常微分方程的准确解。
4. 绘制准确解的图像。
使用ezplot函数来绘制准确解的图像。
五、具体例子假设我们要求解一阶线性常微分方程：dy/dx + y = x其中，y是未知函数，x是自变量。
1. 定义未知函数和自变量。
在Matlab中，可以使用符号变量来定义未知函数和自变量。
syms y(x)2. 定义常微分方程。
使用符号变量来定义常微分方程。
eqn = diff(y,x) + y == x3. 求解常微分方程。
使用dsolve函数来求解常微分方程的准确解。
sol = dsolve(eqn)4. 绘制准确解的图像。
使用ezplot函数来绘制准确解的图像。
ezplot(sol)六、总结本文介绍了如何使用Matlab求解常微分方程的准确解。
通过符号计算工具箱，我们可以方便地求解常微分方程，并得到准确解的图像。
使用Matlab求解常微分方程的准确解可以帮助我们更好地理解问题的本质和性质，并为进一步的分析和应用提供基础。
matlab常微分方程和常微分方程组求解方法
并做出解函数的曲线图。 6．完成实验报告。
为：
[X,Y]=dsolve('Dx+2*x-Dy=10*cos(t),Dx+Dy+2*y=4*exp(-2*t)','x(0)=2','y(0)=0' ) 以上这些都是常微分方程的精确解法，也称为常微分方程的符号解。但是， 我们知道，有大量的常微分方程虽然从理论上讲，其解是存在的，但我们却无法 求出其解析解， 此时， 我们需要寻求方程的数值解， 在求常微分方程数值解方面， MATLAB 具有丰富的函数，我们将其统称为 solver，其一般格式为： [T,Y]=solver(odefun,tspan,y0) 该函数表示在区间 tspan=[t0,tf]上，用初始条件 y0 求解显式常微分方程
[X,Y]=dsolve('Dx+5*x+y=exp(t),Dy- x-3*y=exp(2*t)','t')
dy dx 2x 10 cos t , x t 0 2 dt dt dx dy 2 y 4e2t , y 0 t 0 dt dt 例 4： 求常微分方程组 通解的 MATLAB 程序
常微分方程和常微分方程组的求解
一、实验目的： 熟悉 Matlab 软件中关于求解常微分方程和常微分方程组的各种命令，掌握 利用 Matlab 软件进行常微分方程和常微分方程组的求解。 二、相关知识 在 MATLAB 中，由函数 dsolve()解决常微分方程（组）的求解问题，其具体 格式如下： X=dsolve(‘eqn1’,’eqn2’,…) 函数 dsolve 用来解符号常微分方程、方程组，如果没有初始条件，则求出通 解，如果有初始条件，则求出特解。
Matlab数学建模学习笔记——插值与拟合
Matlab数学建模学习笔记——插值与拟合⽬录插值与拟合插值和拟合的区别图⽚取⾃知乎⽤户yang元祐的回答插值：函数⼀定经过原始数据点。
假设f(x)在某区间[a,b]上⼀系列点上的值y_i=f(x_i),i=0,1,\dots,n。
插值就是⽤较简单、满⾜⼀定条件的函数\varphi(x)去代替f(x)。
插值函数满⾜条件\varphi(x_i)=y_i,i=0,1,\dots,n拟合：⽤⼀个函数去近似原函数，不要求过已知数据点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最⼩。
插值⽅法分段线段插值分线段插值就是将每两个相邻的节点⽤直线连起来，如此形成的⼀条折线就是就是分段线性插值函数，记作I_n(x),它满⾜I_n(x_i)=y_i,且I_n(x)在每个⼩区间[x_i,x_{i+1}]上是线性函数(i=0,1\dots,n-1)。
I_n(x)可以表⽰为I_n(x)=\sum_{i=0}^n y_il_i(x)，其中l_i(x)= \begin{cases} \frac{x-x_{i-1}}{x_i-x_{i-1}},&x\in [x_{i-1},x_i],i \neq 0,\\ \frac{x-x_{i+1}}{x_i-x_{i+1}},&x\in [x_i,x_{i+1}],i \neq n,\\ 0,&其他 \end{cases}I_n(x)有良好的收敛性，即对x\in [a,b],有\lim _{n \rightarrow \infin}I_n(x)=f(x)⽤I_n(x)计算x点的插值的时候，只⽤到x左右的两个点，计算量与节点个数n⽆关。
但是n越⼤，分段越多，插值误差越⼩。
拉格朗⽇插值多项式朗格朗⽇(Lagrange)插值的基函数为\begin{aligned} l_i(x)&=\frac{(x-x_0)\cdots(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\cdots(x-x_n)}{(x_i-x_0)\cdots(x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})\cdots(x_i-x_n)}\\ &= \prod_{j=0\\j\neq i}^{n} \frac{x-x_j}{x_i -x_j},i=0,1,\cdots,n。
(完整版)实验七用matlab求解常微分方程
实验七 用matlab 求解常微分方程一、实验目的：1、熟悉常微分方程的求解方法，了解状态方程的概念；2、能熟练使用dsolve 函数求常微分方程（组）的解析解；3、能熟练应用ode45\ode15s 函数分别求常微分方程的非刚性、刚性的数值解；4、掌握绘制相图的方法 二、预备知识： 1．微分方程的概念未知的函数以及它的某些阶的导数连同自变量都由一已知方程联系在一起的方程称为微分方程。
如果未知函数是一元函数，称为常微分方程。
常微分方程的一般形式为0),,",',,()(=n y y y y t F如果未知函数是多元函数，成为偏微分方程。
联系一些未知函数的一组微分方程组称为微分方程组。
微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶解数称为微分方程的阶。
若方程中未知函数及其各阶导数都是一次的，称为线性常微分方程，一般表示为)()(')()(1)1(1)(t b y t a y t a y t a y n n n n =++++--若上式中的系数ni t a i ,,2,1),( =均与t 无关，称之为常系数。
2．常微分方程的解析解有些微分方程可直接通过积分求解.例如,一解常系数常微分方程1+=y dt dy可化为dt y dy=+1,两边积分可得通解为1-=tce y .其中c 为任意常数.有些常微分方程可用一些技巧,如分离变量法,积分因子法,常数变异法,降阶法等可化为可积分的方程而求得解析解.线性常微分方程的解满足叠加原理,从而他们的求解可归结为求一个特解和相应齐次微分方程的通解.一阶变系数线性微分方程总可用这一思路求得显式解。
高阶线性常系数微分方程可用特征根法求得相应齐次微分方程的基本解，再用常数变异法求特解。
一阶常微分方程与高阶微分方程可以互化，已给一个n 阶方程),,",',()1()(-=n n y y y t f y设)1(21,,',-===n n y y y y y y ，可将上式化为一阶方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====-),,,,(''''2113221n n nn y y y t f y yy y y y y反过来，在许多情况下，一阶微分方程组也可化为高阶方程。
matlab 插值拟合
matlab 插值拟合摘要：一、插值与拟合的基本概念二、MATLAB 中的插值函数1.线性插值2.最邻近插值3.三次样条插值4.多项式插值三、MATLAB 中的拟合函数四、MATLAB 插值与拟合的应用实例五、总结正文：一、插值与拟合的基本概念插值是一种通过已知的数据点来预测未知数据点的方法。
它是基于已知数据点的函数值，通过一定的算法来预测未知数据点上的函数值。
拟合则是一种更广义的概念，它不仅包括插值，还包括了通过已知数据点来确定函数的形式，如多项式、指数、对数等。
在实际应用中，拟合常常用来解决数据点的预测和预测模型的选择问题。
二、MATLAB 中的插值函数MATLAB 提供了多种插值函数，包括线性插值、最邻近插值、三次样条插值和多项式插值等。
下面我们逐一介绍这些函数。
1.线性插值线性插值是最简单的插值方法，它通过计算已知数据点之间的直线来预测未知数据点上的函数值。
在MATLAB 中，线性插值的函数是`yinterp1`，其用法如下：```matlabyinterp1(x0,y0,xq,method,extrapolation)```其中，`x0`和`y0`分别是已知数据点的横纵坐标，`xq`是要预测的数据点的横坐标，`method`指定插值的方法，默认为线性插值（"linear"），`extrapolation`指定是否进行外推，默认为关闭（"off"）。
2.最邻近插值最邻近插值是一种基于距离的插值方法，它通过找到距离未知数据点最近的已知数据点来预测未知数据点上的函数值。
在MATLAB 中，最邻近插值的函数是`yinterp2`，其用法如下：```matlabyinterp2(x0,y0,xq,method)```其中，`x0`和`y0`分别是已知数据点的横纵坐标，`xq`是要预测的数据点的横坐标，`method`指定插值的方法，默认为最邻近插值（"nearest"）。
matlab拟合函数并插值
matlab拟合函数并插值在MATLAB中进行拟合函数并插值可以通过以下步骤实现：1. 准备数据：首先，您需要准备要进行拟合和插值的数据。
这可以是一组x和y值，其中x是输入数据，y是对应的目标输出数据。
2. 拟合函数：使用MATLAB中的拟合函数来对数据进行拟合。
例如，您可以使用`fit`函数来拟合一组数据。
以下是一个简单的例子：```matlabx = [1, 2, 3, 4, 5]; % 输入数据y = [2, 3, 5, 7, 11]; % 输出数据fitresult = fit(x', y', 'poly1'); % 拟合一个一次多项式函数```在这个例子中，我们使用了`fit`函数来拟合一组输入数据`x`和输出数据`y`，并指定了要拟合的函数类型为一次多项式。
`fit`函数将返回拟合的结果，其中包含了拟合的函数表达式和拟合参数等信息。
3. 进行插值：一旦您完成了拟合，您可以使用插值方法来预测新的输入数据对应的输出值。
在MATLAB中，插值可以通过使用`interp1`函数来实现。
以下是一个简单的例子：```matlabxnew = [1.5, 2.5, 3.5, 4.5]; % 新的输入数据ynew = interp1(fitresult, xnew); % 使用拟合结果进行插值```在这个例子中，我们使用了`interp1`函数来对新的输入数据进行插值，并使用了之前拟合的结果作为插值函数的参数。
`interp1`函数将返回对应于新的输入数据`xnew`的插值结果`ynew`。
在MATLAB中进行拟合函数并插值需要准备数据、使用拟合函数进行拟合、使用插值函数进行插值。
这些步骤可以帮助您在MATLAB中实现拟合和插值的功能。
MATLAB求解常微分方程
的数值解， x1 (0) = 1, x1 (0) = 1, x 2 (0) = 2, x 2 (0) = 2 ，并绘制出轨迹曲线。
引入 u1 = x1 , u 2 = x1 , u 3 = x 2 , u 4 = x 2 ， 可写出如下的隐式方程标准型为
• •
•
•
• u1 − u 2 = 0 • 2 • − u3 2 2 2 sin( ) + 5 =0 u u u u u 2 4 1 3 2 u 4 cos(u1 ) + t u1u 3 − e • 可用下面的程序求解： u 3 − u 4 = 0 • u u + u• u sin(u 2 ) + cos(u• u ) − sin t = 0 4 2 1 4 3 2 3
x ' = − y − z y ' = x + ay 将 a，b，c 作为附加参数， 给定微分方程组 z ' = b + ( x − c) z
选定 a=0.2,b=0.5,c=10 时，绘制出状态变量的三维图。
用下面的程序求解：
f=inline('[-x(2)-x(3);x(1)+a*x(2);b+(x(1)-c)*x(3)]',... 't','x','flag','a','b','c');%flag不可省去，用于占位 [t,x]=ode45(f,[0,100],[0;0;0],[],0.2,0.5,10); plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3));grid
Hale Waihona Puke = e −5t cos(2t + 1) + 5 ， 试求出下面微分方
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• 3-37
• • • • • • • • • • • • • x = 0:10; % 给出已知基准数据 y = sin(x); xi = 0:.25:10; % 在两个基准数据点间插入3个点 yi1 = interp1(x,y,xi,'*nearest'); yi2 = interp1(x,y,xi,'*linear'); yi3 = interp1(x,y,xi,'*spline'); yi4 = interp1(x,y,xi,'*cubic'); % 分别用四种方法求中间插值 plot(x,y,'o',xi,yi1, 'r:',xi,yi2, 'g-',xi,yi3,'k.-',xi,yi4, 'm--') % 绘图，并标注各曲线代表的插值方法，如图3-8 legend('原始数据','最近点插值','线性插值','样条插值','立方插值')
12]内的数值解，且满足初始条件
y1 0 0 y2 0 1 y 0 1 3
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• 例3-39
• • • • • • • • • • • % 首先编写方程函数，名为rigid.m function dy = rigid(t,y) dy = zeros(3,1); % 生成3×1的矩阵 dy(1) = y(2) * y(3); % 第一个元素是 dy(2) = -y(1) * y(3); % 第二个元素是 dy(3) = -0.51 * y(1) * y(2); % 第三个元素是
例：根据经验公式y=a+bx2，拟合如下 数据：
xi 19 25 31 38 44
yi
19.0
32.3
49.0
73.3
98.8
x=[19 25 31 38 44]; y=[19.0 32.3 49.0 73.3 98.8]; x1=x.^2; x1=[ones(5,1),x1']; ab=x1\y' ab =
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例：拟合以下数据
x y 0.5 1.75 1.0 2.45 1.5 3.81 2.0 4.80 2.5 8.00 3.0 8.60
x=[0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0]; y=[1.75 2.45 3.81 4.80 8.00 8.60]; a=polyfit(x,y,2)
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• 例3-36
• • • • • • • • • • • • • • • x = (0: 0.1: 2.5)'; % 给出一组数据，为误差函数的一个区间 y = erf(x); p = polyfit(x,y,6) % 计算该区间内6阶拟合多项式的向量
x1 = (0: 0.1: 5)'; % 将区间增长一倍 y1 = erf(x1); % 计算误差函数在新区间内的函数值 f = polyval(p,x1); % 计算6阶拟合曲线在新区间内的取值 plot(x1,y1,'o',x1,f,'-') % 绘图，比较前后区间内的曲线拟合效果，如图3-7 axis([0 5 0 2])
x1= 0:0.01:1; f2 = polyval(y2,x1); % 2阶拟合曲线在各点的函数值 y10 = polyfit(x,y,10) % 计算10阶拟合的多项式向量 f10 = polyval(y10,x1); % 10阶拟合曲线在各点的函数值 plot(x,y,'o',x1,f2,':',x1,f10,'k')
y2 y1 y3 y2 原方程变为： y y 1 2 2 y 2 y 4 1 3 2 3
y1 0 1 初始条件： y2 0 1 y 0 0 3
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• 例3-40
• 训练任务：请编制名为odet3.m方程函数 • tspan = [0 12]; • % 在同一目录下，计算方程数值解。给出时间区间和初始 值 • y0 = [-1 1 0]; • [t,Y] = ode45('odet3',tspan,y0); • % 采用ode45算法 • plot(t,Y(:,1),'-',t,Y(:,2),'-.',t,Y(:,3),'.') • % 绘制计算结果并标注，如图3-15 • legend('Y1','Y2','Y3')
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• 例3-35
• • • • • • • • • • • • • • • x = (0:0.1:1)'; y = [-0.4 1.9 3.2 6.2 7.1 7.3 7.7 9.6 9.5 9.3 12]'; % 给出一组11个点数据 y2 = polyfit(x,y,2) % 计算2阶拟合的多项式向量
ZI4 = interp2(X,Y,Z,XI,YI,'*cubic'); % 计算用cubic法所得二维插值 figure(5) mesh(XI,YI,ZI4) % 绘制双立方插值法曲面图，如图3-13
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3.9常微分方程初值问题的数值解法 龙格－库塔法简介 龙格－库塔法的实现 基于龙格－库塔法，MATLAB提供了求常微分方程数值解 的函数，一般调用格式为： [t,y]=ode23('fname',tspan,y0) [t,y]=ode45('fname',tspan,y0) 其中fname是定义f(t,y)的函数文件名，该函数文件必须返回 一个列向量。tspan形式为[t0,tf],表示求解区间。y0是初始 状态列向量。t和y分别给出时间向量和相应的状态向量。
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• 一阶常微分方程的初值问题求解
y f x, y , a x b y x0 y 0
y 2 y3 y1 •例3-39，求微分方程组 y1 y3 在区间[0 y2 y 0.51y y 1 2 3
ZI2 = interp2(X,Y,Z,XI,YI,'*linear'); % 计算用linear法所得二维插值 figure(3) mesh(XI,YI,ZI2) % 绘制双线性插值法曲面图，如图3-11
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ZI3 = interp2(X,Y,Z,XI,YI,'*spline'); • % 计算用spline法所得二维插值 • figure(4) • mesh(XI,YI,ZI3) • % 绘制双样条插值法曲面图，如图3-12 • • • • •
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21
例设有初值问题，试求其数值解，并与精确解相比较 (精确解为y(t)=)。
(1) 建立函数文件funt.m。 function yp=funt(t,y) yp=(y^2-t-2)/4/(t+1); (2) 求解微分方程。 t0=0;tf=10; y0=2; [t,y]=ode23('funt',[t0,tf],y0); %求数值解 y1=sqrt(t+1)+1; %求精确解 t' y' y1' 2016/3/18 y为数值解，y1为精确值，显然两者近似。
10 8
a =
0.4900 1.2501 0.8560
6 4 2 0 0.5
x1=[0.5:0.05:3.0]; y1=a(3)+a(2)*x1+a(1)*x1.^2; plot(x,y,'*') hold on plot(x1,y1,'-r')
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1
1.5
2
2.5
3
5
• Matlab提供了一维、二维、 三次样条等
许多插值选择
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• 1.一维插值 yi=interp1(x,Y,xi,method)：求已知同维数据x和Y， 运用method指定的方法计算插值点xi处的数值yi。 method有如下四种： nearest 最近点差值，取与最近的已知数据点的值 linear 线性差值，直线连接数据点，插值点值位于 直线上 spline 样条插值，用三次样条曲线通过数据点，根 据曲线进行差值 cubic 立方差值，用三次曲线拟合并通过数据点
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• 高阶微分方程的初值问题求解
F y, y, y,, yn , x 0
高阶微分方程：
n 1 , yn 1 0 y0 y0 y0 , y0 y0
把高阶微分方程转换为一阶方程组，初始条件也做相应的替换。通常令： n 1 上式改写为： 1 2 n
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2.二维插值 ZI=interp2(X,Y,Z,XI,YI,method)：已知同维数 据X,Y和Z，运用method指定的方法计算插 值点(XI,YI)处的数值ZI。
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• 例3-38
• • • • • • • • • • • axis([-3 3 -3 3 -5 20]) % 确定坐标轴的范围 [X,Y] = meshgrid(-3:.5:3); % 生成网格 Z = peaks(X,Y); % 计算peaks函数值 figure(1) mesh(X,Y,Z) % 绘制原始数据曲面图，如图3-9
100
80
60