北师大版高中数学必修五教学案

数列

1．1数列的概念

预习课本P3～6，思考并完成以下问题

(1)什么是数列？数列的项指什么？

(2)数列的一般表示形式是什么？

(3)按项数的多少，数列可分为哪两类？

(4)数列的通项公式是什么？数列的通项公式与函数解析式有什么关系？

[新知初探]

1．数列的概念

(1)定义：按一定次序排列的一列数叫作数列．

(2)项：数列中的每一个数叫作这个数列的项．

(3)数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，a n…，简记为数列{a n}．数列的第1项a1，也称首项；a n是数列的第n项，也叫数列的通项．

[点睛]

(1)数列的定义中要把握两个关键词：“一定次序”与“一列数”．也就是说构成数列的元素是“数”，并且这些数是按照“一定次序”排列的，即确定的数在确定的位置．

(2)项a n与序号n是不同的，数列的项是这个数列中的一个确定的数，而序号是指项在数列中的位次．

(3){a n}与a n是不同概念：{a n}表示数列a1，a2，a3，…，a n，…；而a n表示数列{a n}中的第n 项．

2．数列的分类

项数有限的数列叫作有穷数列，项数无限的数列叫作无穷数列．

3．数列的通项公式

如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子表示成a n ＝f (n )，那么这个式子叫作数列{a n }的通项公式．

[点睛]

(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N ＋或它的有限子集{1,2,3，…，n }为定义域的函数解析式．

(2)同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式． 4．数列的表示方法

数列的表示方法一般有三种：列表法、图像法、解析法．

[小试身手]

1．判断下列结论是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)同一数列的任意两项均不可能相同．( ) (2)数列－1,0,1与数列1,0，－1是同一个数列．( ) (3)数列中的每一项都与它的序号有关．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√

2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1－(－1)n ＋1

2，则该数列的前4项依次为( )

A ．1,0,1,0

B ．0,1,0,1 C.12，0，1

2

，0 D ．2,0,2,0

解析：选B 把n ＝1,2,3,4分别代入a n ＝1－(－1)n ＋

12中，依次得到0,1,0,1.

3．已知数列{a n }中，a n ＝2n ＋1，那么a 2n ＝( ) A ．2n ＋1 B ．4n －1 C ．4n ＋1

D ．4n

解析：选C ∵a n ＝2n ＋1，∴a 2n ＝2(2n )＋1＝4n ＋1. 4．数列1,3,6,10，x,21，…中，x 的值是( ) A ．12 B ．13 C ．15

D ．16

解析：选C ∵3－1＝2,6－3＝3,10－6＝4，

∴⎩

⎪⎨⎪⎧

x －10＝5，21－x ＝6，∴x ＝15.

数列的概念与分类

[典例] (1){0,1,2,3,4}；(2)0,1,2,3；(3)0,1,2,3,4，…； (4)1，－1,1，－1,1，－1，…；(5)6,6,6,6,6. [解] (1)是集合，不是数列；

(2)(3)(4)(5)是数列．

其中(3)(4)是无穷数列，(2)(5)是有穷数列．

数列分类的判断方法

判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需考察数列是有限项还是无限项．若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列．

[活学活用]

下列说法中，正确的是( ) A ．数列0,2,4,6可表示为{0,2,4,6}

B ．数列1,3,5,7,9，…的通项公式可记为a n ＝2n ＋1

C ．数列2 013,2 014,2 015,2 016与数列2 016,2 015，2 014，2 013是相同的数列

D ．数列{a n }的通项公式a n ＝

n ＋2 017n ＋2 016，则它的第k 项是1＋1

k ＋2 016

解析：选D 数列与数的集合的概念不同，A 不正确；当n ∈N ＋时，没有第一项1，所以B 不正确；C 中两个数列中数的排列次序不同，故是不同的数列，所以选D.

根据数列的前几项写出数列的通项公式

[典例] 分别写出下列数列的一个通项公式，数列的前4项已给出． (1)22－12，32－13，42－14，52－1

5，…；

(2)－12，16，－112，1

20，…；

(3)0.9,0.99,0.999,0.999 9，….

[解] (1)该数列第1,2,3,4项的分母分别为2,3,4,5恰比项数多1. 分子中的

22,32,42,52恰是分母的平方，－1

不变，故它的一个通项公式为a n ＝(n ＋1)2－1

n ＋1

.

(2)该数列各项符号是正负交替变化的，需设计一个符号因子(－1)n ，分子均为1不变，分母2,6,12,20可分解为1×2,2×3,3×4,4×5，

则它的一个通项公式为a n ＝(－1)n 1

n (n ＋1).

(3)0.9＝1－0.1,0.99＝1－0.01, 0.999＝1－0.001, 0．999 9＝1－0.000 1， 而0.1＝10

－1,

0.01＝10

－2,

0.001＝10

－3,

0.000 1＝10－

4，

∴它的一个通项公式为a n ＝1－10－

n .

由数列的前几项求通项公式的解题策略

(1)负号用(－1)n 与(－1)n ＋

1(或(－1)n －

1)来调节，这是因为n 和n ＋1奇偶交错． (2)分式形式的数列，分子找通项，分母找通项要充分借助分子、分母的关系．