北师大版高中数学必修五教学案
北师大版高中数学必修5第三章《不等式》全部教案
北师大版高中数学必修5第三章《不等式》全部教案第一课时§3.1 不等关系（一）一、教学目标：（1）通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景；（2）经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其基本方法；（3）掌握作差比较法判断两实数或代数式大小；（4）通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯．二、教学重点，难点：(1)通过具体情景，建立不等式模型；(2) 掌握作差比较法判断两实数或代数式大小．三、教学方法：启发引导式 四、教学过程 (一)．问题情境在日常生活、生产实际和科学研究中经常要进行大小、多少、高低、轻重、长短和远近的比较，反映在数量关系上就是相等与不等两种情况，例如：(1) 某博物馆的门票每位10元，20人以上(含20人)的团体票8折优惠．那么不足20人时，应该选择怎样的购票策略?(2)某杂志以每本2元的价格发行时，发行量为10万册．经过调查，若价格每提高0.2元，发行量就减少5000册．要使杂志社的销售收入大于22.4万元，每本杂志的价格应定在怎样的范围内？ (3)下表给出了三种食物X ,Y ,Z 的维生素含量及成本：维生素A (单位/kg) 维生素B (单位/kg) 成本(元/kg)X 300 700 5 Y 500 100 4 Z3003003某人欲将这三种食物混合成100kg 的食品，要使混合食物中至少含35000单位的维生素A 及40000单位的维生素B ，设X ,Y 这两种食物各取x kg ，y kg ，那么x ,y 应满足怎样的关系？ 2．问题：用怎样的数学模型刻画上述问题？ （二）．学生活动在问题(1)中,设x 人(20x <)买20人的团体票不比普通票贵,则有82010x ⨯≤． 在问题(2)中,设每本杂志价格提高x 元,则发行量减少50.50.22x x⨯=万册,杂志社的销售收入为5(2)(10)2x x +-万元．根据题意，得5(2)(10)22.42xx +->， 化简，得2510 4.80x x -+<．在问题(3)中,因为食物X ,Y 分别为x kg ，y kg ，故食物Z 为(10)x y --kg ，则有300500300(100)35000,700100300(100)40000,x y x y x y x y ++--≥⎧⎨++--≥⎩即25,250.y x y ≥⎧⎨-≥⎩ 上面的例子表明，我们可以用不等式(组)来刻画不等关系．表示不等关系的式子叫做不等式,常用(<>≤≥≠，，，，)表示不等关系. （三）．建构数学1．建立不等式模型：通过具体情景，对问题中包含的数量关系进行认真、细致的分析，找出其中的不等关系，并由此建立不等式．问题(1)中的数学模型为一元一次不等式, 问题(1)中的数学模型为一元二次不等式, 问题(1)中的数学模型为线形规划问题．2．比较两实数大小的方法——作差比较法：比较两个实数a 与b 的大小，归结为判断它们的差a b -的符号；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号． （四）．数学运用 1．例题：例1．某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种．按照生产的要求，600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管的3倍．怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？解：假设截得的500mm 钢管x 根，截得的600mm 钢管y 根．根据题意，应有如下的不等关系：5006004000,3,,.x y x y x N y N +≤⎧⎪≥⎪⎨∈⎪⎪∈⎩说明：关键是找出题目中的限制条件，利用限制条件列出不等关系．例2．某校学生以面粉和大米为主食．已知面食每100克含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位；米饭每100克含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位．某快餐公司给学生配餐，现要求每盒至少含8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉．设每盒快餐需面食x 百克、米饭y 百克，试写出,x y 满足的条件．解：,x y 满足的条件为638471000x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩．例3．比较大小：（1）(3)(5)a a +-与(2)(4)a a +-；（2）a mb m ++与ab（其中0b a >>，0m >）． 分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负，并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小． 解：（1）)4)(2()5)(3(-+--+a a a a 22(215)(28)70a a a a =-----=-<∴(3)(5)(2)(4)a a a a +-<+-．（2）()()()()()a m ab a m a b m m b a b m b b b m b b m ++-+--==+++， ∵0b a >>，0m >，∴()0()m b a b b m ->+，所以a m ab m b +>+． 说明：不等式a m ab m b+>+（0b a >>，0m >）在生活中可以找到原型：b 克糖水中有a 克糖（0b a >>），若再添加m 克糖（0m >），则糖水便甜了． 例4．已知2,x >比较311x x +与266x +的大小．解：3232211(66)33116x x x x x x x +-+=--+-2(3)(32)(3)x x x x =-+-+- =(3)(2)(1)x x x --------------------（*）（1） 当3x >时，（*）式0>，所以 311x x +>266x +； （2） 当3x =时，（*）式0=，所以 311x x +=266x +；（3） 当23x <<时，（*）式0<，所以 311x x +<266x +说明： 1．比较大小的步骤：作差－变形－定号－结论；2．实数比较大小的问题一般可用作差比较法，其中变形常用因式分解、配方、通分等方法才能定号．2．练习：（1）比较2)6()7)(5(+++x x x 与 的大小；（2）如果0x >,比较22)1()1(+-x x 与 的大小．（五）．回顾小结：1．通过具体情景，建立不等式模型；2．比较两实数大小的方法——求差比较法．（六）．课外作业：课本第68页 练习 第1，2，3题（“不求解”改为“并求解”）．补充：1．比较222a b c ++与ab bc ca ++的大小；2．已知0,0,a b >>且a b ≠，比较22a b b a+与a b +的大小．第二课时§3.1 不等关系（二）一、教学目标1．知识与技能：掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式；2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法； 3．情态与价值：通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力. 二、教学重点：掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式；教学难点：利用不等式的性质证明简单的不等式。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修5 3.1基本不等式》2
3．1基本不等式教学设计（第一课时）一、教材分析1、教材的地位和作用本节是选自北师版普通高中课程实验标准数学（必修5）第三章《不等式》的内容，是在学完不等式性质的基础上对不等式的进一步研究。
同时也是为了以后学习《不等式选讲》中的几种重要不等式，以及不等式的证明作铺垫，起着承上启下的作用。
本节内容具有变通灵活性、应用广泛性、条件约束性等特点，所以本节课可以培养学生应用数学知识灵活解决实际问题的能力，是学数学用数学的好素材。
同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，所以有利于培养学生良好的思维品质。
二、教学目标1．知识与技能:探索并了解基本不等式的证明过程，了解这个基本不等式的几何意义，会用基本不等式解决简单的最大小值问题。
2 过程与方法: 通过实例探究抽象基本不等式，体会特殊到一般的数学思想方法。
3．情感态度与价值观：通过本节的学习，体验成功的快乐，激发学习的兴趣。
三、教学重点和难点重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式2ba ab +≤的证明过程。
难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式。
关键:抓住实例，借助多媒体动画演示，不断渗透数形结合的思想，使学生从感性认识升华到理性认识来突破难点。
四、教法分析1、教学方法：引导发现法、探索讨论法本节内容从实际问题出发，引导学生通过实验、观察、归纳、抽象、概括，数学地提出、分析和解决问题，建构自己的知识体系，提高获取知识的能力，尝试合作学习的快乐，体验成功的喜悦。
这样安排是为了体现数学知识的产生与发展，体现数学的应用价值。
新课标中对知识的发生的过程提出了较高的要求，重视学生对问题的探究能力，为了激发学生学习的积极性和创造性，分享到探索知识的方法和乐趣，使数学教学成为再发现，再创造的过程，本节宜用引导发现法、探索讨论法。
2、教学手段：借助多媒体辅助教学，增强课堂教学的生动性与直观性。
3、学法指导：问题探究法根据新课标“倡导积极主动，勇于探索的学习方式”理念，教材内容的特点以及学生的知识、能力、情感等因素，本节课宜采用问题探究法。
北师大版高中数学必修5全本教案
第1章 数列1.1.1 数列的概念与简单表示法（一）教学要求：理解数列及其有关概念；了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项的特征写出它的一个通项公式.教学重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用.教学难点：根据一些数列的前几项，抽象、归纳出数列的通项公式.教学过程： ［合作探究］ 折纸问题师 请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试(学生们兴趣一定很浓).生 一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了.师 你知道这是为什么吗？我们设纸原来的厚度为1长度单位，面积为1面积单位，随依次折的次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样？生 随着对折数厚度依次为:2，4，8，16，…，256，…；① 随着对折数面积依次为21,41 ,81 ,161 ,…,2561 ,….生 对折8次以后，纸的厚度为原来的256倍，其面积为原来的2561，再折下去太困难了.师 说得很好，随数学水平的提高，我们的思维会更加理性化.请同学们观察上面我们列出的这一列一列的数，看它们有何共同特点？生 均是一列数.生 还有一定次序.师 它们的共同特点：都是有一定次序的一列数.［教师精讲］1.数列的定义：按一定顺序排列着的一列数叫做数列.注意：（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，…，第n 项，….同学们能举例说明吗？生 例如，上述例子均是数列，其中①中，“2”是这个数列的第1项(或首项)，“16”是这个数列中的第4项.3.数列的分类：1)根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列. 无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列.2)根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列.递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列.常数数列：各项相等的数列.摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.请同学们观察：课本P 33的六组数列，哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列？生 这六组数列分别是(1)递增数列，(2)递增数列，(3)常数数列，(4)递减数列，(5)摆动数列，(6)1.递增数列，2.递减数列. ［知识拓展］师 你能说出上述数列①中的256是这数列的第多少项？能否写出它的第n 项？生 256是这数列的第8项，我能写出它的第n 项，应为a n =2n . ［合作探究］同学们看数列2，4，8，16，…，256，…①中项与项之间的对应关系， 项 2 4 8 16 32↓ ↓ ↓ ↓ ↓序号 1 2 3 4 5 你能从中得到什么启示？生 数列可以看作是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1，2，3，…，n })的函数a n =f(n )，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.反过来，对于函数y=f(x)，如果f(i)(i=1、2、3、4…)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3),…,f(n ),….师 说的很好.如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.3. 例题讲解：例1 根据下面数列{}n a 的通项公式，写出前5项：（1）n a n n a n n n ⋅-=+=)1()2(;1变式训练1根据下面数列{}n a 的通项公式，写出前5项：⑴12+=n n a ⑵)12)(12(2+-=n n n a n 例2写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）1，3，5，7； （2）--211⨯，321⨯，--431⨯，541⨯.变式训练2：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1) 3, 5, 9, 17, 33,……； (2) 32, 154, 356, 638, 9910, ……；(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,……； (4) 2, －6, 12, －20, 30, －42,…….例3 数列{}n a 中，452+-=n n a n ．⑴ 18是数列中的第几项？⑵ n 为何值时，n a 有最小值？并求最小值．变式训练3：已知数列｛a n ｝的通项公式a n ＝)2(1+n n (n ∈N*)，那么1201是这个数列的第几项？思考：是不是所有的数列都存在通项公式？根据数列的前几项写出的通项公式是唯一的吗？4. 小结：数列及其基本概念，数列通项公式及其应用.1.1.2数列的函数特性学习目标：理解数列的概念和几种简要的表示方法，了解数列是一种特殊函数，并能以函数角度给数列分类。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修5 1.2余弦定理》7
《余弦定理》（第一课时）教学设计安徽省灵璧县黄湾中学柯林一、教学内容解析本节内容选自普通高中课程标准实验教科书北师大版《数学》必修5第二章《解三角形》第一节正弦定理和余弦定理。
第一节约4课时，2课时通过探究证明正弦定理，应用正弦定理解三角形；2课时通过探究证明余弦定理，应用余弦定理解三角形。
本节课是余弦定理的第一课时，属于定理教学课。
正余弦定理是定量研究三角形边角关系的基础，它们为解三角形提供了基本方法，为后续解决测量等实际问题提供了理论基础和操作工具。
余弦定理是继正弦定理之后的解三角形又一有力工具，完善了解三角形体系，为解决三角形的边角关系提供了新的方法；是对任意三角形“边、角、边”和“边、边、边”问题进行量化分析的结果，将两种判定三角形全等的定性定理转化为可计算的公式。
纵观余弦定理的发展史，它的雏形出现公元前3世纪。
在欧几里得《几何原本》卷二对钝角三角形和锐角三角形三边关系的阐述中，利用勾股定理将余弦定理的几何形式进行了证明。
1593年，法国数学家韦达首次将欧几里得的几何命题写成了我们今天熟悉的余弦定理的三角形式，直到2021，三角形式的余弦定理才一统天下。
“余弦定理是作为勾股定理的推广而诞生的，以几何定理的身份出现，直到1951年，美国数学家荷尔莫斯在其《三角学》中才真正采用解析几何的方法证明了余弦定理，至于向量方法的出现，更是晚近的事了。
”从余弦定理的发展史和教材的设置变化来看，欧式几何依据基本的逻辑原理，建立几何关系，论证严谨，但思维量大，需要分类讨论。
而作为沟通代数、几何与三角函数的工具——向量引入后，欧式几何中的平行、相似、垂直都可以转化成向量的加减、数乘、数量积的运量，从而把图形的基本性质转化成向量的运算体系，由此开创了研究几何问题的新方法。
而且在证明之后还提出问题：用坐标方法怎样怎样证明余弦定理？还有其他的方法吗希望学生了解可以从向量、解析方法和三角方法等多种途径证明余弦定理，另外对向量工具性作用有所体会和认识。
高中数学北师大版必修5教案-3_基本不等式_教学设计_教案
教学准备1. 教学目标不等式与绝对值不等式2. 教学重点/难点不等式与绝对值不等式3. 教学用具4. 标签教学过程命题点解绝对值不等式1．不等式的解法(1)含绝对值的不等式的解法．|ax＋b|≤c(c>0)⇔－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c(c>0)⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(2)|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c型不等式的解法．方法1(分类讨论思想)：①令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根；②把这些根由小到大排序，它们把实数轴分成若干个小区间；③在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所得的不等式在这个区间上的解集；④这些解集的并集就是原不等式的解集；方法2(函数与方程思想)：构造函数f(x)＝|x－a|＋|x－b|－c，写出f(x)的分段解析式，作出图象，找出使f(x)≤0(或f(x)≥0)的x的取值范围即可．方法3(数形结合思想)：利用绝对值的几何意义求解，|x－a|＋|x－b|表示数轴上点P(x)到点A(a)，B(b)距离的和．关键是找出到A(a)，B(b)两点距离之和为c的点，“≤”取中间，“≥”取两边．注意：这里c≥|a－b|，若c<|a－b|，则|x－a|＋|x－b|≤c的解集为∅，|x－a|＋|x－b|≥c的解集为R.2．绝对值不等式的性质(1)定理1：|a|＋|b|≥|a＋b|(a，b∈R)，当且仅当ab≥0时等号成立；(2)定理2：如果a，b，c∈R，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立；(3)||a|－|b||≤|a＋b|.注意：含绝对值的三角不等式|a|－|b|≤||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|中，对于等号成立的条件应注意：|a＋b|＝|a|＋|b|中，ab≥0，而|a－b|＝|a|＋|b|中，ab≤0等．1．(2015·高考课标卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．解析：(1)当a＝1时，f(x)＞1化为|x＋1|－2|x－1|－1＞0.当x≤－1时，不等式化为x－4＞0，无解；当－1＜x＜1时，不等式化为3x－2＞0，解得3(2)＜x＜1；当x≥1时，不等式化为－x＋2＞0，解得1≤x＜2.所以f(x)＞1的解集为＜x＜2(2).(2)由题设可得f(x)＝－x＋1＋2a，x＞a.(3x＋1－2a，－1≤x≤a，)所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，0(2a－1)，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，△ABC的面积为3(2)(a＋1)2.由题设得3(2)(a＋1)2＞6，故a＞2.所以a的取值范围为(2，＋∞)．2．(2015·高考课标卷Ⅱ)设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d.证明：(1)若ab>cd，则＋>＋；(2)＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件．证明：(1)因为(＋)2＝a＋b＋2，(＋)2＝c＋d＋2，由题设a＋b＝c＋d，ab＞cd，得(＋)2＞(＋)2.因此＋＞＋.(2)①若|a－b|＜|c－d|，则(a－b)2＜(c－d)2，即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.由(1)，得＋＞＋.②若＋＞＋，则(＋)2＞(＋)2，即a＋b＋2＞c＋d＋2.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此|a－b|＜|c－d|.综上，＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要条件．1．解含有绝对值的不等式时，脱去绝对值符号的方法主要有：公式法、零点分段法、平方法、几何法等．这几种方法应用时各有利弊，在解只含有一个绝对值的不等式时，用公式法较为简便；但若不等式含有多个绝对值时，则应采用分段讨论法；应用平方法时，要注意只有在不等式两边均为正的情况下才能平方．因此，在去绝对值符号时，用何种方法需视具体情况而定．2．解含参数的绝对值不等式问题的两种方法：(1)将参数分类讨论，将其转化为分段函数问题来解决．(2)借助于绝对值的几何意义，先求出相应式子的最值或值域，然后再根据题目要求求解．课时规范训练1. (2016·衡水中学质检)如图，A，B，C，D四点在同一圆上，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上．(1)若EB(EC)＝3(1)，EA(ED)＝2(1)，求AB(DC)的值；(2)若EF2＝FA·FB，证明：EF∥CD.解：(1)∵A，B，C，D四点共圆，第十四章不等式选讲∴∠ECD＝∠EAB，∠EDC＝∠B，∴△EDC∽△EBA，∴EB(ED)＝EA(EC)＝AB(DC)，∴EB(ED)·EA(EC)＝AB(DC)2，即2(1)×3(1)＝AB(DC)2，∴AB(DC)＝6(6).(2)证明：∵EF2＝FA·FB，∴FA(EF)＝FE(FB)，又∵∠EFA＝∠BFE，∴△FAE∽△FEB，∴∠FEA＝∠FBE，又∵A，B，C，D四点共圆，∴∠EDC＝∠EBF，∴∠FEA＝∠EDC，∴EF∥CD.2. 如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；(2)若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．解：(1)证明：因为CD为△ABC外接圆的切线，所以∠DCB＝∠A.由题设知FA(BC)＝EA(DC)，故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.因为B，E，F，C四点共圆，所以∠CFE＝∠DBC，故∠EFA＝∠CFE＝90°，所以∠CBA＝90°.因此CA是△ABC外接圆的直径．(2)连接CE，因为∠CBE＝90°，所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE.由DB＝BE，得CE＝DC.又BC2＝DB·BA＝2DB2，所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.而DC2＝DB·DA＝3DB2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为2(1).3．(2016·河南商丘二模)已知直线l经过点P，1(1)，倾斜角α＝6(π)，圆C 的极坐标方程为ρ＝·cos4(π).(1)写出直线l的参数方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程；(2)设l与圆C相交于A，B两点，求点P到A，B两点的距离之积．解：(1)直线l的参数方程为.(π)(t为参数)即t.(1)(t为参数)．由ρ＝cos4(π)得ρ＝cos θ＋sin θ，所以ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，得x2＋y2＝x＋y，即圆C的直角坐标方程为2(1)2＋2(1)2＝2(1).(2)把t.(1)代入2(1)2＋2(1)2＝2(1)，得t2＋2(1)t－4(1)＝0，设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则t1t2＝－4(1)，所以|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝4(1).4．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈2(π).(1)求C的参数方程；(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．解：(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．可得C的参数方程为y＝sin t(x＝1＋cos t，)(t为参数，0≤t≤π)．(2)设D(1＋cos t，sin t)，由(1)知C是以G(1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，tan t＝，t＝3(π).故D的直角坐标为3(π)，即3().5．(2015·高考陕西卷)已知关于x的不等式|x＋a|<b的解集为{x|2＜ x＜4}．(1)求实数a，b的值；(2)求＋的最大值．解：(1)由|x＋a|<b，得－b－a<x<b－a，则b－a＝4，(－b－a＝2，)解得b＝1.(a＝－3，)(2)＋＝＋≤＝2 ＝4，当且仅当3(4－t)＝1(t)，即t＝1时等号成立，故(＋)max＝4.6.(2016·山西太原模拟)已知函数f(x)＝|2x－1|＋|x－a|，a∈R.(1)当a＝3时，解不等式f(x)≤4；(2)若f(x)＝|x－1＋a|，求x的取值范围．解：(1)当a＝3时，f(x)＝|2x－1|＋|x－3|＝，(1)其图象如图所示，与直线y＝4相交于点A(0,4)和B(2,4)，∴不等式f(x)≤4的解集为{x|0≤x≤2}．(2)∵f(x)＝|2x－1|＋|x－a|≥|(2x－1)－(x－a)|＝|x－1＋a|，∴f(x)＝|x－1＋a|⇔(2x－1)(x－a)≤0，①当a<2(1)时，x的取值范围是2(1)；②当a＝2(1)时，x的取值范围是2(1)；③当a>2(1)时，x的取值范围是≤x≤a(1).。
数学北师大版高中必修5北师大版数学必修五不等式《基本不等式——第一课时》doc教案
课题: §3.1基本不等式第1课时授课类型：新授课【学习目标】1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣【能力培养】培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。
【教学重点】2a b +≤的证明过程； 【教学难点】2a b +≤等号成立条件 【教学过程】1.课题导入2a b +≤的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。
2.讲授新课1．问题探究——探究图形中的不等关系。
将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。
设直角三角形的两条直角边长为a,b 4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。
由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。
2．总结结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 结论的得出尽量发挥学生自主能动性，让学生总结，教师适时点拨引导。
3．思考证明：你能给出它的证明吗？证明：因为 222)(2b a ab b a -=-+当22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时所以，0)(2≥-b a ，即.2)(22ab b a ≥+4．1）2a b +≤特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得a b +≥，(a>0,b>0)2a b +2）2a b +≤用分析法证明：要证 2a b +≥只要证 a+b ≥ (2) 要证（2），只要证 a+b- ≥0 （3） 要证（3），只要证 （ - ）2 （4） 显然，（4）是成立的。
北师大版高中数学必修五解三角形教案,
【三维目标】：一、知识与技能1.进一步熟悉正、余弦定理内容，能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化，判断三角形的形状，证明三角形中的三角恒等式；2.能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦定理、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题．3.通过正、余弦定理在边角互换时所发挥的桥梁作用来反映事物之间的内在联系；通过三角恒等式的证明来反映事物外在形式可以相互转化而内在实质的不变性.二、过程与方法通过引导学生分析，解答几个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。
三、情感、态度与价值观通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。
【教学重点与难点】：重点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。
难点：利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向（三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求） 【学法与教学用具】：1. 学法：通过一些典型的实例来拓展关于解三角形的各种题型及其解决方法。
2. 教学方法：启发引导式（1）启发学生在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理的适用题型与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等； （2）引导学生总结三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理的边角互换作用3. 教学用具：多媒体、实物投影仪. 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1.复习公式：（本环节以学生自我归纳、自我总结为主）正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === 余弦定理： ,cos 2222A bc c b a -+=⇔bca cb A 2cos 222-+=,cos 2222B ca a c b -+=⇔cab ac B 2cos 222-+=C ab b a c cos 2222-+=，⇔abc b a C 2cos 222-+=2.正弦定理和余弦定理的常规应用。
高中数学必修5教案北大版
高中数学必修5教案北大版教学内容：第二十章空间解析几何教学目标：1. 掌握向量的概念及其运算法则。
2. 熟练运用点、向量、直线、平面等几何概念和方法解决实际问题。
3. 培养综合分析问题的能力，提高逻辑思维和空间想象的能力。
教学重点与难点：1. 向量的定义及运算法则。
2. 点、向量、直线、平面之间的关系。
3. 利用向量解决平面几何问题。
教学准备：教材、教具、多媒体课件等。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生思考：什么是向量？有哪些常见的向量表示方法？2. 通过实例解释向量的定义及性质。
二、讲解与示范（15分钟）1. 向量的加法和减法。
2. 向量的数量积和矢量积。
3. 平面向量与立体几何的联系。
三、练习与训练（20分钟）1. 完成教材中相关例题。
2. 小组合作解决一些实际问题，如平面图形的性质分析。
3. 师生互动，解答学生提出的疑问。
四、拓展与应用（10分钟）1. 学生展示自己的解题方法和思路，与他人讨论并比较。
2. 引导学生运用向量知识解决更复杂的几何题。
五、归纳与总结（5分钟）1. 总结向量的基本性质及运算法则。
2. 引导学生对本节课所学内容进行复习。
六、作业布置（5分钟）1. 布置相关练习题目，巩固所学内容。
2. 提醒学生认真复习，理解不清楚的地方及时向老师请教。
教学反思与评估：通过本节课的教学，学生是否掌握了向量的基本概念和运算法则？是否能够灵活运用向量解决几何问题？教学中是否出现了学生的问题，需要及时调整教学方法和内容？教学拓展：引导学生探索三维几何空间的性质和应用，拓展学生的空间想象力和逻辑思维能力。
教学反馈：收集学生对本堂课的反馈意见和建议，及时调整教学方式，改进教学效果。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修5 1.1正弦定理》4
《正弦定理》教学设计一、【设计理念】在新课程理念下，以“提高科学素养；面向全体学生；倡导研究性学习”的课程理念来设计教与学的过程,变教材中解题方法的学习过程为探究过程，为学生创造“知识再发现”的探究情景，突出学生的主体地位、学习的探究性和目标的完整性。
二、【教材分析】“正弦定理”是《普通高中课程标准数学教科书·数学必修5》人教版第一章第一节的主要内容，它既是初中“解直角三角形”内容的直接延拓，也是三角函数一般知识和平面向量等知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。
为什么要研究正弦定理正弦定理是怎样发现的其证明方法是怎样想到的还有别的证法吗这些都是教材没有回答，而确实又是学生所关心的问题。
本节课是“正弦定理”教学的第一课时，其主要任务是引入并证明正弦定理，在课型上属于“定理教学课”。
因此，做好“正弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且通过对定理的探究，能使学生体验到数学发现和创造的历程，进而培养学生提出问题、解决问题等研究性学习的能力。
三、【学情分析】学生在初中已经学习了解直角三角形的内容，在必修4中，又学习了三角函数的基础知识和平面向量的有关内容，对解直角三角形、三角函数、平面向量已形成初步的知识框架，这不仅是学习正弦定理的认知基础，同时又是突破定理证明障碍的强有力的工具。
正弦定理是关于任意三角形边角关系的重要定理之一，《课程标准》强调在教学中要重视定理的探究过程，并能运用它解决一些实际问题，可以使学生进一步了解数学在实际中的应用，从而激发学生学习数学的兴趣，也为学习正弦定理提供一种亲和力与认同感。
四、【教学目标】1、知识与技能：通过对任意三角形的边与其对角的关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法。
2、过程与方法：让学生从已有的知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察、归纳、猜想、证明，由特殊到一般得到正弦定理等方法，体验数学发现和创造的历程。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修5 3.1等比数列》4
等比数列第一课时教学设计一、教材分析（一）地位与作用等比数列是高中数学的重要内容之一，也是高考考查的重点及热点之一等比数列有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算要用到等比数列的一些知识；是一种重要的数学模型；因此我们有必要学习等比数列（二）教学目标根据对教材结构与内容的分析，以及新《课标》的要求，我制定了如下的教学目标：1知识与技能目标：（1）了解等比数列及其有关概念（2）能够掌握等比数列的通项公式、中项公式。
2过程与方法目标：通过自学活动，引入等比数列及其有关的概念，通过对等差数列与等比数列概念及通项的观察、分析、归纳，体会数学中的归纳思想、类比思想、由特殊到一般的思想方法3情感态度价值观目标：（1）培养学生的自学能力和抽象概括能力，逐步培养学生善于思考和解决问题的能力；（2）调动学生的积极情感，主动参与学习（三）教学重难点重点：等比数列的有关概念，通项公式，中项公式及其应用难点：中项公式的限制条件二、教法分析（一）学情分析学生的知识经验较为丰富，具备了一定的观察、分析、猜想、类比、推理能力；但是对概念的理解及应用还是比较难，因此在教学中要注重引导、启发学生分析等差数列与等比数列之间的关系，才能更好理解等比数列。
（二）教法采用问题驱动教学法和观察分析，猜想验证，探究发现的教学方法（三）学法小组合作学习，突出探究、发现与交流（四）教学手段多媒体辅助教学三、教学过程分析（一）创设情景，引入概念活动一：自学教材内容引导学生得出概念。
（借助电子白板的直观性，通过观察，分析，猜想，讨论并验证以此提高学生的学习兴趣，与合作能力）活动二：请同学纠错（活跃课堂气氛，提高学生的学习兴趣与积极性）通过活动与思考，构建等比数列的概念。
在得出概念之后，引导学生阅读课本列举的实例，进而对等比数列概念进行深化。
（二）类比分析，突破难点探索：等比数列与等差数列有那些异同？引导学生探讨。
思考：等差数列的概念与等比数列的概念的联系与区别？通过以上的探索与思考，构建等比通项公式的概念。
高中数学 第二章《解三角形》教案 北师大版必修5
北师大版高中数学必修5 第二章《解三角形》全部教案一、教学目标1、知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
2、过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
3、情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
二、教学重点:正弦定理的探索和证明及其基本应用。
教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 Ⅰ.课题导入如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。
思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ A 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。
能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.探析新课[探索研究] (图1．1-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。
如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1cC c==, A 则sin sin sin a b c c A B C=== b c 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b cA B C==C a B (图1．1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin abAB=， C同理可得sin sin cbC B =， b a从而sin sin abAB=sin cC=A c B(图1．1-3)思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修5 3.1等比数列》
课题：等比数列（第一课时）三维目标：1．知识与技能：理解等比数列的概念；掌握等比数列的通项公式及其推导；2．过程与方法：通过实例，理解等比数列的概念；采用类比的方法，探索等比数列的通项公式、能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力。
3．情态与价值：充分感受数列是反映现实生活的模型，并应用于现实生活，激发学生学习数学的兴趣，提高用数学解决实际问题的能力。
教学重点：等比数列的定义和通项公式。
教学难点： 灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。
教学方法：探究归纳，讲练结合。
教学过程：一创设情景，引入新课：1 你吃过拉面吗？拉面馆的师傅将一根很粗的面条，拉伸，捏合，再拉伸，再捏合，如此反复多次，就拉成了许多根细面条。
试问经过8次，可以拉出多少根细面条？前8次拉出的面条根数构成的数列：1, 2, 4, 8, 16, 32, 64，1282 《庄子·天下篇》曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”如果把“一尺之棰”看成单位”1”,你能用一个数列来表达这句话的含义吗？“一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完” 一尺长的棍子，第一天锯掉其一半，第二天锯掉其剩余的一半……，若设锯了n 次后剩余棍子的长度为多少？ 每次剩余棍子的长度构成的数列：n 21......161814121），（，，，， 思考：以上两个数列有何共同特点？二．探究新知：1等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（q ≠0）用数学式子来表示：)01≠=+q q a a n n （注意:1等比数列中的任何一项及公比不能为0,可正可负例题解析：例1 以下数列那些是等比数列？如果是，请写出它的公比。
1 1,12-,14,18-,116； 21，1，1， (1)(4) 31，2，4，8，12，16，2021a ，2a ，3a ，…，n a结论：1）常数列一定是等差数列，却不一定是等比数列；2）非零的常数列既是等差数列 也是等比数列思考：若等比数列首项是1a 且公比是qq ≠0如何求它的通项公式2.通项公式：类比等差数列通项公式推导得出通项公式)0,0(111≠≠⋅=-q a q a a n n 。
北师大版高中数学《必修5》全部教案
北师大版高中数学《必修5》全部教案第一课：集合一、教学目标1.知识与能力（1）了解集合的概念，并掌握集合的表示方式。
（2）掌握集合的运算及相关定义。
（3）能够解决集合的基本运算问题，并进行综合运用。
2.过程与方法（1）讲授与团体讨论相结合的教学方法。
（2）运用教学实例与引导学生发现法相结合的教学方法。
（3）课堂小组活动和合作探究相结合的教学方法。
3.情感与态度（1）激发学生对数学知识学习兴趣和学习积极性。
（2）培养学生合作学习能力和团队精神。
二、教学内容和学时安排1.集合的引入（1学时）（1）集合的定义和表示方式。
（2）空集、全集及其表示方法。
（3）集合间的相等和包含关系。
（1）并、交、差的定义和性质。
（2）集合运算的基本规律。
（3）集合的补集和集合恒等式。
3.集合的综合运用（2学时）（1）对集合的基本运算进行综合运用。
（2）通过具体问题分析，掌握解决问题的方法。
三、教学重点与难点1.教学重点（1）集合的基本概念和表示方式。
（2）集合运算的定义和运算规则。
2.教学难点（1）通过具体问题综合运用集合运算。
（2）分析问题并运用集合运算解决问题。
四、教学过程1.集合的引入（1学时）（1）教师引入课题，简单明了地介绍集合的定义和基本符号。
（2）通过讲解并请学生做例题，引导学生了解空集、全集和集合的相等和包含关系。
（1）教师以数字和图形为例，讲解并请学生做例题，引导学生理解集合运算并掌握基本规律。
（2）划重点，让学生掌握并背记集合的补集和集合恒等式的定义。
3.集合的综合运用（2学时）（1）教师给出综合运用的具体问题，并通过小组合作讨论的方式，引导学生分析问题，并运用集合运算解决问题。
（2）教师针对学生的解题过程和结果，进行点评总结并给予肯定与鼓励。
五、课堂训练与作业布置1.课堂练习请学生完成教材课后练习题，加强对集合的运算和综合应用。
2.作业布置请学生做完教材上的课后作业，并要求以书面形式归纳总结本节课所学的知识和运算规则。
高中数学(北师大版)必修五教案：1.1 拓展资料：求递推数列通项的特征根法与不动点法
求递推数列通项的特征根法与不动点法一、形如21(,n n n a pa qa p q ++=+是常数）的数列 形如112221,,(,n n n a m a m a pa qa p q ++===+是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项n a ，其特征方程为2x px q =+…①若①有二异根,αβ，则可令1212(,n n n a c c c c αβ=+是待定常数） 若①有二重根αβ=，则可令1212()(,n n a c nc c c α=+是待定常数） 再利用1122,,a m a m ==可求得12,c c ，进而求得n a ． 例1．已知数列{}n a 满足*12212,3,32()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a ．解：其特征方程为232x x =-，解得121,2x x ==，令1212n n n a c c =⋅+⋅，由1122122243a c c a c c =+=⎧⎨=+=⎩，得12112c c =⎧⎪⎨=⎪⎩， 112n n a -∴=+． 例2．已知数列{}n a 满足*12211,2,44()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a ．解：其特征方程为2441x x =-，解得1212x x ==，令()1212nn a c nc ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由1122121()121(2)24a c c a c c ⎧=+⨯=⎪⎪⎨⎪=+⨯=⎪⎩，得1246c c =-⎧⎨=⎩， 1322n n n a --∴=． 二、形如2n n n Aa B a Ca D++=+的数列 对于数列2n n n Aa B a Ca D ++=+，*1,(,,,a m n N A B C D =∈是常数且0,0C AD BC ≠-≠）其特征方程为Ax B x Cx D+=+，变形为2()0Cx D A x B +--=…② 若②有二异根,αβ，则可令11n n n n a a c a a ααββ++--=⋅--（其中c 是待定常数），代入12,a a 的值可求得c 值．这样数列n n a a αβ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是首项为11a a αβ--，公比为c 的等比数列，于是这样可求得n a ． 若②有二重根αβ=，则可令111n n c a a αα+=+--（其中c 是待定常数），代入12,a a 的值可求得c 值． 这样数列1n a α⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是首项为1n a α-，公差为c 的等差数列，于是这样可求得n a ．此方法又称不动点法． 例3．已知数列{}n a 满足11122,(2)21n n n a a a n a --+==≥+，求数列{}n a 的通项n a ． 解：其特征方程为221x x x +=+，化简得2220x -=，解得121,1x x ==-，令111111n n n n a a c a a ++--=⋅++ 由12,a =得245a =，可得13c =-， ∴数列11n n a a ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭是以111113a a -=+为首项，以13-为公比的等比数列，1111133n n n a a --⎛⎫∴=⋅- ⎪+⎝⎭，3(1)3(1)n n n n n a --∴=+-． 例4．已知数列{}n a 满足*11212,()46n n n a a a n N a +-==∈+，求数列{}n a 的通项n a ． 解：其特征方程为2146x x x -=+，即24410x x ++=，解得1212x x ==-，令1111122n n c a a +=+++由12,a =得2314a =，求得1c =， ∴数列112n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪+⎩⎭是以112152a =+为首项，以1为公差的等差数列，123(1)11552n n n a ∴=+-⋅=-+， 135106n n a n -∴=-．。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修5 三角形中的几何计算》
三角形中的几何计算---教学设计一、教材分析第二章共三节，第一节是正弦定理和余弦定理，第二节是三角形中的几何计算，第三节是解三角形的实际应用举例可以看出第二节是对正弦定理，余弦定理的应用的一节小结课。
一方面是对前面的知识的总结和应用，另一方面为后面一节课实际应用举例奠定基础，因此本节课起到了承上启下的桥梁作用。
本节课首先通过表格的形式引导学生回忆正弦定理，余弦定理的内容，作用，所解三角形的类型以及需要注意的问题。
其次通过三个例题的讲解，使学生掌握两种类型的问题，一种是解三角形问题，另一种是边角互化问题。
最后对本节课进行小结。
二、学情分析学生已学习了正弦定理，余弦定理的相关内容，但是对这两个定理的特点，区别与联系以及它们的作用的理解并不深刻，特别是在综合应用这两个定理解三角形或判断三角形形状时还存在一些问题。
并且学生的运算能力普遍偏弱。
三、教学资源与策略教学资源：多媒体教学教学策略：引导启发式教学四、教学目标1．知识与技能:掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
2 过程与方法:通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。
3情态与价值：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。
五、教学重难点教学重点：在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
教学难点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。
学法：通过一些典型的实例来拓展关于解三角形的各种题型及其解决方法。
六、教学过程（一）课前导入：我们知道，生活中的许多实际问题，例如台风问题，测量问题等都可以归结于解三角形问题。
北师大版高中数学必修5全本教案
第1章 数列1.1.1 数列的概念与简单表示法（一）教学要求：理解数列及其有关概念；了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项的特征写出它的一个通项公式.教学重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用.教学难点：根据一些数列的前几项，抽象、归纳出数列的通项公式. 教学过程： ［合作探究］ 折纸问题师 请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试(学生们兴趣一定很浓).生 一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了.师 你知道这是为什么吗？我们设纸原来的厚度为1长度单位，面积为1面积单位，随依次折的次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样？生 随着对折数厚度依次为:2，4，8，16，…，256，…；① 随着对折数面积依次为21,41 ,81 ,161 ,…,2561 ,….生 对折8次以后，纸的厚度为原来的256倍，其面积为原来的2561，再折下去太困难了.师 说得很好，随数学水平的提高，我们的思维会更加理性化.请同学们观察上面我们列出的这一列一列的数，看它们有何共同特点？生 均是一列数.生 还有一定次序.师 它们的共同特点：都是有一定次序的一列数.［教师精讲］1.数列的定义：按一定顺序排列着的一列数叫做数列.注意：（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，…，第n 项，….同学们能举例说明吗？生 例如，上述例子均是数列，其中①中，“2”是这个数列的第1项(或首项)，“16”是这个数列中的第4项.3.数列的分类：1)根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列. 无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列.2)根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列.递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列.常数数列：各项相等的数列.摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.请同学们观察：课本P 33的六组数列，哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列？生 这六组数列分别是(1)递增数列，(2)递增数列，(3)常数数列，(4)递减数列，(5)摆动数列，(6)1.递增数列，2.递减数列. ［知识拓展］师 你能说出上述数列①中的256是这数列的第多少项？能否写出它的第n 项？生 256是这数列的第8项，我能写出它的第n 项，应为a n =2n . ［合作探究］同学们看数列2，4，8，16，…，256，…①中项与项之间的对应关系， 项 2 4 8 16 32↓ ↓ ↓ ↓ ↓序号 1 2 3 4 5 你能从中得到什么启示？生 数列可以看作是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1，2，3，…，n })的函数a n =f(n )，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.反过来，对于函数y=f(x)，如果f(i)(i=1、2、3、4…)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3),…,f(n ),….师 说的很好.如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.3. 例题讲解：例1 根据下面数列{}n a 的通项公式，写出前5项：（1）n a n n a n n n ⋅-=+=)1()2(;1变式训练1根据下面数列{}n a 的通项公式，写出前5项：⑴12+=n n a ⑵)12)(12(2+-=n n n a n例2写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）1，3，5，7； （2）--211⨯，321⨯，--431⨯，541⨯.变式训练2：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1) 3, 5, 9, 17, 33,……； (2) 32, 154, 356, 638, 9910, ……； (3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,……； (4) 2, －6, 12, －20, 30, －42,…….例3 数列{}n a 中，452+-=n n a n ．⑴ 18是数列中的第几项？⑵ n 为何值时，n a 有最小值？并求最小值．变式训练3：已知数列｛a n ｝的通项公式a n ＝)2(1+n n (n ∈N*)，那么1201是这个数列的第几项？思考：是不是所有的数列都存在通项公式？根据数列的前几项写出的通项公式是唯一的吗？4. 小结：数列及其基本概念，数列通项公式及其应用.1.1.2数列的函数特性学习目标：理解数列的概念和几种简要的表示方法，了解数列是一种特殊函数，并能以函数角度给数列分类。
高中数学(北师大版)必修五教案：2.1 正弦定理 教学设计
《正弦定理》教学设计一、教学内容分析本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书·数学必修5》（北师大版）第二章，正弦定理第一课时，是在高一学生学习了三角等知识之后，显然是对三角知识的应用；同时，作为三角形中的一个定理，也是对初中解直角三角形内容的直接延伸，因而定理本身的应用又十分广泛。
根据实际教学处理，正弦定理这部分内容共分为三个层次：第一层次教师通过引导学生对实际问题的探索，并大胆提出猜想；第二层次由猜想入手，带着疑问，以及特殊三角形中边角的关系的验证，通过“作高法”、“等积法”、“外接圆法”、“向量法”等多种方法证明正弦定理，验证猜想的正确性，并得到三角形面积公式；第三层次利用正弦定理解决引例，最后进行简单的应用。
学生通过对任意三角形中正弦定理的探索、发现和证明，感受“观察——实验——猜想——证明——应用”这一思维方法，养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神。
二、学情分析对于高一的学生来说，已学的平面几何，解直角三角形，三角函数，向量等知识，有一定观察分析、解决问题的能力，但对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度，因此思维灵活性受到制约。
根据以上特点，教师恰当引导，提高学生学习主动性，多加以前后知识间的联系，带领学生直接参与分析问题、解决问题并品尝劳动成果的喜悦。
三、设计思想：本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，以“正弦定理的发现和证明”为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。
四、教学目标：1．让学生从已有的几何知识出发, 通过对任意三角形边角关系的探索，共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，实验，猜想，验ABC证，证明，由特殊到一般归纳出正弦定理，掌握正弦定理的内容及其证明方法，理解三角形面积公式，并学会运用正弦定理解决解斜三角形的两类基本问题。
高中数学(北师大版)必修五教案：1.1 拓展资料：叠加、叠乘、迭代递推、代数转化
叠加、 叠乘、迭代递推、代数转化已知数列的递推关系式求数列的通项公式的方法大约分为两类：一类是根据前几项的特点归纳猜想出a n 的表达式，然后用数学归纳法证明；另一类是将已知递推关系，用代数法、迭代法、换元法，或是转化为基本数列（等差或等比）的方法求通项．第一类方法要求学生有一定的观察能力以及足够的结构经验，才能顺利完成，对学生要求高．第二类方法有一定的规律性，只需遵循其特有规律方可顺利求解．在教学中，我针对一些数列特有的规律总结了一些求递推数列的通项公式的解题方法．一、叠加相消．类型一：形如a 1+n ＝a n + f (n )， 其中f (n ) 为关于n 的多项式或指数形式（a n ）或可裂项成差的分式形式．——可移项后叠加相消．例1：已知数列｛a n ｝,a 1＝0,n ∈N +，a 1+n ＝a n ＋（2n －1），求通项公式a n ． 解：∵a 1+n =a n ＋（2n －1）∴a 1+n =a n ＋（2n －1） ∴a 2－a 1 =1 、a 3－a 2=3 、…… a n －a 1-n =2n －3 ∴a n = a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a 1-n )=0＋1＋3＋5＋…＋(2n －3) =21[1＋(2n －3)]( n －1)=( n －1)2 n ∈N + 练习1：⑴.已知数列｛a n ｝,a 1=1, n ∈N +，a 1+n =a n ＋3 n ， 求通项公式a n ． ⑵.已知数列｛a n ｝满足a 1＝3，)1(21+=-+n n a a n n ，n ∈N +，求a n ． 二、叠乘相约． 类型二：形如)(1n f a a n n =+.其中f (n ) =p pc mn b mn )()(++ （p ≠0，m ≠0,b –c = km ,k ∈Z ）或 nn a a 1+=kn （k ≠0）或n n a a 1+= km n ( k ≠ 0, 0＜m 且m ≠ 1)． 例2：已知数列｛a n ｝, a 1=1，a n ＞0,( n ＋1) a 1+n 2 －n a n 2＋a 1+n a n =0，求a n ．解：∵( n ＋1) a 1+n 2 －n a n 2＋a 1+n a n =0 ∴ [(n ＋1) a 1+n －na n ](a 1+n ＋a n )= 0∵ a n ＞0 ∴ a 1+n ＋a n ＞0 ∴ (n ＋1) a 1+n －na n =0∴11+=+n n a a n n ∴nn n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n 11212312111232211=⨯⨯⨯--⨯--⨯-=⨯⨯⨯⨯⨯=-----ΛΛ 练习2：⑴已知数列｛a n ｝满足S n =2n a n ( n ∈N *), S n 是{ a n }的前n 项和,a 2=1,求a n ． ⑵.已知数列｛a n ｝满足a 1+n = 3 n a n ( n ∈N *)，且a 1=1，求a n ．三、逐层迭代递推．类型三：形如a 1+n = f (a n )，其中f (a n )是关于a n 的函数.——需逐层迭代、细心寻找其中规律．例3：已知数列｛a n ｝，a 1=1, n ∈N +，a 1+n = 2a n ＋3 n ,求通项公式a n ．解： ∵a 1+n = 2 a n ＋3 n∴ a n =2 a 1-n ＋3 n -1 =2(2 a 2-n ＋3 n -2)＋3 n -1 = 22(2 a 3-n ＋3 n -3)＋2·3 n -2＋3 n -1=……=2 n -2(2 a 1＋3 )＋2 n -3·3 2＋2 n -4·3 3＋2 n-5·3 4＋…＋22·3 n-3＋2·3 n -2＋3 n-1=2 n -1＋2 n -2·3 ＋2 n -3·3 2＋2 n-4·3 3＋…＋22·3 n -3＋2·3 n -2＋3 n -1n n n n 2323123121-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=- 练习3:⑴.若数列｛a n ｝中，a 1=3，且a 1+n =a 2n （n ∈N +），求通项a n . ⑵.已知数列｛a n ｝的前n 项和S n 满足S n =2a n +()n1-，n ∈N +,求通项a n ．四、运用代数方法变形，转化为基本数列求解．类型四：形如1+n n a a = 1++n n qa pa ，（pq ≠ 0）．且0≠n a 的数列，——可通过倒数变形为基本数列问题．当p = －q 时，则有：p a a n n 1111=-+ 转化为等差数列；当p ≠ －q 时，则有：ppa q a n n 111+-=+．同类型五转化为等比数列． 例4：若数列｛a n ｝中，a 1=1，a 1+n =22+n n a a n ∈N +，求通项a n ．解： ∵ 221+=+n n n a a a 又,011>=a Θ ∴0>n a ， ∴n n a a 12111+=+ ∴21111=-+n n a a ∵111=a ∴数列{ a n }是首项为1，公差为21的等差数列． ∴n a 1=1＋()121-n ∴a n =12+n n ∈N + 练习4：已知f (n ) = x x +32，数列{ a n }满足 a 1=1，a n =23f (a 1-n )，求a n ． 类型五：形如a 1+n ＝pa n + q ,pq ≠0 ，p 、q 为常数．当p ＝1时，为等差数列；当p ≠1时，可在两边同时加上同一个数x ，即a 1+n + x = pa n + q + x⇒a 1+n + x = p (a n + p x q +)， 令x =p x q + ∴x =1-p q 时，有a 1+n + x = p (a n + x )， 从而转化为等比数列 {a n +1-p q } 求解． 例5：已知数列{a n }中，a 1=1，a n =21a 1-n + 1，n = 1、2、3、…，求通项a n ． 解：∵ a n = 21a 1-n + 1 ⇒ a n －2 =21(a 1-n －2) 又∵a 1－2 = -1≠0 ∴数列{ a n －2}首项为-1，公比为21的等比数列． ∴ a n －2 = -11)21(-⨯n 即 a n = 2 －2n -1 n ∈N + 练习5：⑴.已知 a 1=1，a n = 2 a 1-n + 3 (n = 2、3、4…) ，求数列{a n }的通项．⑵. 已知数列｛a n ｝满足a 1= 21，a 1+n =12+n n a a ，求a n ． 类型六：形如a 1+n ＝pa n + f (n )，p ≠0且 p 为常数，f (n )为关于n 的函数．当p ＝1时，则 a 1+n ＝a n + f (n ) 即类型一．当p ≠1时，f (n )为关于n 的多项式或指数形式（a n ）或指数和多项式的混合形式．⑴若f (n )为关于n 的多项式（f (n ) = kn + b 或kn 2+ bn + c ，k 、b 、c 为常数），——可用待定系数法转化为等比数列．例6：已知数列{ a n }满足a 1=1，a 1+n = 2a n ＋n 2，n ∈N +求a n ．解：令a 1+n + x [a (n +1)2+ b (n +1) + c ] = 2(a n + an 2+ bn + c )即 a 1+n = 2 a n + (2a –ax )n 2+ (2b -2ax – bx )n +2c –ax –bx – cx 比较系数得：⎪⎩⎪⎨⎧=---=--=-0202212cx bx ax c bx ax b ax a ⇒ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+=-=-=x bx ax c x ax b x a 22221 ⇒ 令x = 1，得：⎪⎩⎪⎨⎧===321c b a ∴ a 1+n + (n +1)2+2(n +1) + 3 = 2(a n + n 2+2n + 3) ∵ a 1+1+2×1+3 = 7令b n = a n + n 2+2n + 3 则 b 1+n = 2b n b 1= 7 ∴数列{ b n }为首项为7，公比为2德等比数列∴ b n = 7× 21-n 即 a n + n 2+2n + 3 = 7× 21-n ∴ a n = 7× 21-n －( n 2+2n + 3 )n ∈N +⑵若f (n )为关于n 的指数形式（a n ）．①当p 不等于底数a 时，可转化为等比数列；②当p 等于底数a 时，可转化为等差数列．例7：（同例3）若a 1=1，a n = 2 a 1-n + 31-n ，(n = 2、3、4…) ，求数列{a n }的通项a n ．解: ∵ a n = 2 a 1-n + 31-n ∴ 令a n + x ×3n = 2(a 1-n +x ×31-n ) 得 a n = 2 a 1-n －x ×31-n令-x ×3n = 3n ⇒x = -1 ∴ a n －3n = 2(a 1-n －31-n ) 又 ∵ a 1－3 = - 2∴数列{n n a 3-}是首项为-2,公比为2的等比数列．∴n n a 3-=-2·21-n 即a n = 3n -2n n ∈N +例8：数列{ a n }中,a 1=5且a n =3a 1-n + 3n -1 (n = 2、3、4…) 试求通项a n ．解： a n =3a 1-n + 3n -1 ⇒ a n +-=--)21(3211n a 3n ⇒132132111+-=---n n n n a a ⇒{n n a 321-}是公差为1的等差数列． ⇒n n a 321-=3211-a +(1-n ) = 3215-+(1-n ) = n +21 ⇒a n = (213)21+⨯+n n n ∈N +⑶若f (n )为关于n 的多项式和指数形式（a n ）的混合式，则先转换多项式形式在转换指数形式．例如上面的例8．练习6:⑴.已知数列{a n }中a 1= 1,a 1+n = 3 a n + n ,+∈N n ; 求{a n }的通项．⑵设a 0为常数，且a n = 31-n －2 a 1-n (n ∈N +且n ≥ 2 )．证明：对任意n ≥ 1，a n = 51[3n + (-1)1-n 2n ] +(-1)n 2n a 0． 类型七：形如a 2+n = p a 1+n + q a n ( pq ≠ 0， p 、q 为常数且p 2+ 4q > 0 )，——可用待定系数法转化为等比数列．例9: 已知数列{a n }中a 1= 1, a 2= 2且n n n a a a 212+=++ ,+∈N n ; 求{a n }的通项．解:令a 2+n +x a 1+n = (1+x ) a 1+n + 2 a n ⇒ a 2+n +x a 1+n = (1+x )( a 1+n +x+12a n ) 令x =x +12 ⇒x 2+ x – 2 = 0 ⇒x = 1或 -2 当x = 1时,a 2+n + a 1+n =2(a 1+n + a n ) 从而a 2+ a 1= 1 + 2 = 3∴数列{ a 1+n + a n }是首项为3且公比为2的等比数列.∴ a 1+n + a n = 312-⨯n …… …… ①当x = - 2时, a 2+n - 2a 1+n = - (a 1+n -2a n ) , 而 a 2- 2a 1= 0∴ a 1+n - 2a n = 0 …… …… ②由①、②得:a n = 21-n , +∈N n练习7：⑴已知: a 1= 2, a 2= 35, n n n a a a 323512-=++ ,(n = 1、2、3、……),求数列{ a n }的通项．⑵已知数列：1、1、2、3、5、8、13、……，根据规律求出该数列的通项．五、数列的简单应用.例10:设棋子在正四面体ABCD 的表面从一个顶点移向另外三个顶点时等可能的.现抛掷骰子,根据其点数决定棋子是否移动,若投出的点数是奇数,则棋子不动；若投出的点数是偶数,棋子移动到另外一个顶点.若棋子初始位置在顶点A ，则:⑴投了三次骰子,棋子恰巧在顶点B 的概率是多少?⑵投了四次骰子,棋子都不在顶点B 的概率是多少? ⑶投了四次骰子,棋子才到达顶点B 的概率是多少？ 分析：考虑最后一次投骰子分为两种情况①最后一次棋子动；②最后一次棋子不动． 解：∵ 事件投一次骰子棋子不动的概率为21；事件投一次骰子棋子动且到达顶点B 的概率为3121⨯ =61． ⑴．投了三次骰子,棋子恰巧在顶点B 分为两种情况①.最后一次棋子不动，即前一次棋子恰在顶点B ；②.最后一次棋子动，且棋子移动到B 点．设投了i 次骰子，棋子恰好在顶点B 的概率为p i ，则棋子不在顶点B 的概率为(1-p i )．所以，投了i +1次骰子，棋子恰好在顶点B 的概率：p 1+i = p i ×21+ (1- p i )×61 i = 1、2、3、4、……∴ p 1+i = 61 + 31×p i ∵ p 1= 3121⨯=61 ∴ p 2=92 ∴ p 3=5413 ⑵．投了四次骰子,棋子都不在顶点B ，说明前几次棋子都不在B 点，应分为两种情况①最后一次棋子不动；②最后一次棋子动，且不到B 点．设投了i 次骰子，棋子都不在顶点B 的概率为i p ',则投了i +1次骰子，棋子都不在顶点B 的概率为：1+'i p = i p '×21+ i p '×21×(1﹣31) i = 1、2、3、4、…… 即：1+'i p = 65i p ' 又∵1p '= 21+21×(1﹣31) = 65 ∴ 4p ' = (65)4 ⑶．投了四次骰子,棋子才到达顶点B ；说明前三次棋子都不在B 点，最后一次棋子动且到达顶点B ．设其概率为P 则：P = 3121⨯×3p ' = 61×(65)3= 1296125 答：（略）．例11：用砖砌墙，第一层（底层）用去了全部砖块的一半多一块；第二层用去了剩下的一半多一块，…，依次类推，每层都用去了上层剩下的一半多一块.如果第九层恰好砖块用完，那么一共用了多少块砖？分析：本题围绕两个量即每层的砖块数a i 和剩下的砖块数b i ，关键是找出a i 和b i 的关系式，通过方程(组)求解．解：设第i 层所用的砖块数为a i ，剩下的砖块数为b i (i = 1、2、3、4、…… )则b 9= 0，且设b 0为全部的砖块数，依题意，得a 1=21b 0+ 1，a 2=21b 1+ 1，…… a i =21b 1-i + 1 … … … … ① 又 b 1-i = a i + b i … … … … … ②联立①②得 b 1-i -b i =21b 1-i + 1 即b i =21b 1-i - 1 ∴ b i + 2 =21(b 1-i + 2) ∴ b 9+2 = (21)9(b 0+ 2 ) ∴ b 0+2 = 2×29 ∴ b 0= 1022 练习8：⑴十级台阶，可以一步上一级，也可以一步上两级；问上完十级台阶有多少种不同走法？⑵. 三角形内有n 个点，由这n 个点和三角形的三个顶点，这n + 3个点可以组成多少个不重叠(任意两个三角形无重叠部分)的三角形？⑶．甲、乙、丙、丁四人传球，球从一人手中传向另外三个人是等可能的.若开始时球在甲的手中．若传了n次球，球在甲手中的概率为an；球在乙手中的概率为bn.(n = 1、2、3、4、…… ).①问传了五次球，球恰巧传到甲手中的概率a5和乙手中的概率b5分别是多少？②若传了n次球，试比较球在甲手中的概率an 与球在乙手中的概率bn的大小.③传球次数无限多时，球在谁手中的概率大？参考答案练习1：⑴. a n =21(3 n -1) ⑵. a n =n n 2+ 练习2：⑴. a n = n -1 ⑵. a n = 32)1(-n n练习3：⑴. a n = 321-n (提示：可两边取对数) ⑵. a n = 32[22-n + (-1)1-n ] 练习4：a n = 23+n 练习5：⑴ a n = 21+n -3 ⑵ a n =12211+--n n 练习6：⑴可得a 1+n +21(n +1)+41= 3(a n +21n +41) 从而a n =47×31-n -(21n +41) ⑵ (略) 练习7：⑴a n = 3 - 132-n n， ⑵由已知得a 2+n = a 1+n + a n ⇒ a n =55[(251+)n -(251-)n ] 练习8：⑴∵a 2+n = a 1+n + a n ， a 1= 1，a 2= 2，∴a 10= 89 ⑵∵a 1+n = a n + 2 ，a 1= 3 ∴a n = 2n +1⑶①∵a 1+n =31(1 - a n ) b 1+n = 31(1 - b n ) a 1= 0 b 1=31 ∴a 5= 8120 ； b 5= 24361 . ②可解得a n = 41-41×1)31(--n b n = 41+121×1)31(--n ∴当n 为奇数时， a n <41<b n ；当n 为偶数时，a n >41>b n ③当n → ∞时，a n →41，b n →41 故球在各人手中的概率一样大．。
高中数学北师大版必修五教案：3.3大体不等式参考教案1
大体不等式（1）教学目标(a)知识与技术：理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的不等式的证明；理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明和它的几何解释(b)进程与方式 ：本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。
要擅长引导学生从数和形两方面深切地探讨不等式的证明，从而进一步冲破难点。
变式练习的设计可加深学生对定理的理解，并为以后实际问题的研究奠定基础。
大体不等式的证明要注重周密性，老师要帮忙学生分析每一步的理论依据，培育学生良好的数学品质(c)情感与价值：培育学生触类旁通的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰硕学生数形结合的想象力（2）教学重点、难点教学重点：大体不等式的证明和几何解释教学难点：理解“当且仅当a=b 时取等号”的数学内涵（3）学法与教学用具先让学生观察常见的图形，通过面积的直观比较抽象出大体不等式。
从生活中实际问题还原出数学本质，可踊跃调动地学生的学习热情。
定理的证明要留给学生充分的思考空间，让他们自主探讨，通过类比取得答案投影仪（多媒体教室）（4）教学假想一、设置情境(投影出图同窗们,这是北京召开的第24届国际数学家大会的会标，大家想一想,你能通过这个简单的风车造型中取得一些相等和不等关系吗?提问1:咱们把“风车”造型抽象成图.在正方形ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为x 、y ，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？生答：y x 22+，y x 22+提问2：那4个直角三角形的面积和呢？生答：2xy提问3：好，按照观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，咱们可得容易患到一个不等式，y x 22+≥2xy 。
何时这两部份面积相等呢？生答：当直角三角形变成等腰直角三角形，即x=y 时，正方形EFGH 变成一个点，这时有y x 22+=2xy二、新课教学（1）一般地，对于任意实数 x 、y ，咱们有xy y x 222≥+，当且仅当x=y 时，等号成立。
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数列1．1数列的概念预习课本P3～6，思考并完成以下问题(1)什么是数列？数列的项指什么？(2)数列的一般表示形式是什么？(3)按项数的多少，数列可分为哪两类？(4)数列的通项公式是什么？数列的通项公式与函数解析式有什么关系？[新知初探]1．数列的概念(1)定义：按一定次序排列的一列数叫作数列．(2)项：数列中的每一个数叫作这个数列的项．(3)数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，a n…，简记为数列{a n}．数列的第1项a1，也称首项；a n是数列的第n项，也叫数列的通项．[点睛](1)数列的定义中要把握两个关键词：“一定次序”与“一列数”．也就是说构成数列的元素是“数”，并且这些数是按照“一定次序”排列的，即确定的数在确定的位置．(2)项a n与序号n是不同的，数列的项是这个数列中的一个确定的数，而序号是指项在数列中的位次．(3){a n}与a n是不同概念：{a n}表示数列a1，a2，a3，…，a n，…；而a n表示数列{a n}中的第n 项．2．数列的分类项数有限的数列叫作有穷数列，项数无限的数列叫作无穷数列．3．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子表示成a n ＝f (n )，那么这个式子叫作数列{a n }的通项公式．[点睛](1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N ＋或它的有限子集{1,2,3，…，n }为定义域的函数解析式．(2)同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式． 4．数列的表示方法数列的表示方法一般有三种：列表法、图像法、解析法．[小试身手]1．判断下列结论是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)同一数列的任意两项均不可能相同．( ) (2)数列－1,0,1与数列1,0，－1是同一个数列．( ) (3)数列中的每一项都与它的序号有关．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1－(－1)n ＋12，则该数列的前4项依次为( )A ．1,0,1,0B ．0,1,0,1 C.12，0，12，0 D ．2,0,2,0解析：选B 把n ＝1,2,3,4分别代入a n ＝1－(－1)n ＋12中，依次得到0,1,0,1.3．已知数列{a n }中，a n ＝2n ＋1，那么a 2n ＝( ) A ．2n ＋1 B ．4n －1 C ．4n ＋1D ．4n解析：选C ∵a n ＝2n ＋1，∴a 2n ＝2(2n )＋1＝4n ＋1. 4．数列1,3,6,10，x,21，…中，x 的值是( ) A ．12 B ．13 C ．15D ．16解析：选C ∵3－1＝2,6－3＝3,10－6＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －10＝5，21－x ＝6，∴x ＝15.数列的概念与分类[典例] (1){0,1,2,3,4}；(2)0,1,2,3；(3)0,1,2,3,4，…； (4)1，－1,1，－1,1，－1，…；(5)6,6,6,6,6. [解] (1)是集合，不是数列；(2)(3)(4)(5)是数列．其中(3)(4)是无穷数列，(2)(5)是有穷数列．数列分类的判断方法判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需考察数列是有限项还是无限项．若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列．[活学活用]下列说法中，正确的是( ) A ．数列0,2,4,6可表示为{0,2,4,6}B ．数列1,3,5,7,9，…的通项公式可记为a n ＝2n ＋1C ．数列2 013,2 014,2 015,2 016与数列2 016,2 015，2 014，2 013是相同的数列D ．数列{a n }的通项公式a n ＝n ＋2 017n ＋2 016，则它的第k 项是1＋1k ＋2 016解析：选D 数列与数的集合的概念不同，A 不正确；当n ∈N ＋时，没有第一项1，所以B 不正确；C 中两个数列中数的排列次序不同，故是不同的数列，所以选D.根据数列的前几项写出数列的通项公式[典例] 分别写出下列数列的一个通项公式，数列的前4项已给出． (1)22－12，32－13，42－14，52－15，…；(2)－12，16，－112，120，…；(3)0.9,0.99,0.999,0.999 9，….[解] (1)该数列第1,2,3,4项的分母分别为2,3,4,5恰比项数多1. 分子中的22,32,42,52恰是分母的平方，－1不变，故它的一个通项公式为a n ＝(n ＋1)2－1n ＋1.(2)该数列各项符号是正负交替变化的，需设计一个符号因子(－1)n ，分子均为1不变，分母2,6,12,20可分解为1×2,2×3,3×4,4×5，则它的一个通项公式为a n ＝(－1)n 1n (n ＋1).(3)0.9＝1－0.1,0.99＝1－0.01, 0.999＝1－0.001, 0．999 9＝1－0.000 1， 而0.1＝10－1,0.01＝10－2,0.001＝10－3,0.000 1＝10－4，∴它的一个通项公式为a n ＝1－10－n .由数列的前几项求通项公式的解题策略(1)负号用(－1)n 与(－1)n ＋1(或(－1)n －1)来调节，这是因为n 和n ＋1奇偶交错． (2)分式形式的数列，分子找通项，分母找通项要充分借助分子、分母的关系．(3)此类问题虽无固定模式，但也有其规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化等方法．[活学活用]写出下列数列的一个通项公式： (1)0,3,8,15,24，…； (2)12，2，92，8，252，…； (3)112，223，334，445，….解：(1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1,3＝4－1,8＝9－1,15＝16－1,24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是a n ＝n 2－1.(2)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：12，42，92，162，252，…，所以它的一个通项公式为a n ＝n 22.(3)此数列的整数部分1,2,3,4，…恰好是序号n ，分数部分与序号n 的关系为nn ＋1，故所求的数列的一个通项公式为a n ＝n ＋nn ＋1＝n 2＋2n n ＋1.利用通项公式确定数列的项[典例] 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n . (1)写出数列的第4项和第6项；(2)－49和68是该数列的项吗？若是，应是第几项？若不是，请说明理由． [解] (1)∵a n ＝3n 2－28n ， ∴a 4＝3×42－28×4＝－64， a 6＝3×62－28×6＝－60.(2)令3n 2－28n ＝－49，即3n 2－28n ＋49＝0， 解得n ＝7，或n ＝73(舍)．∴－49是该数列的第7项， 即a 7＝－49.令3n 2－28n ＝68，即3n 2－28n －68＝0， 解得n ＝－2，或n ＝343. ∵－2∉N ＋，343∉N ＋，∴68不是该数列的项．(1)数列的通项公式给出了第n 项a n 与它的位置序号n 之间的关系，只要用序号代替公式中的n ，就可以求出数列的相应项．(2)判断某数值是否为该数列的项，需假定它是数列中的项列方程．若方程的解为正整数，则是数列的项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的项．[活学活用]已知数列{a n }的每一项是它的序号的算术平方根加上序号的2倍． (1)求这个数列的第4项与第25项；(2)253和153是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？ 解：(1)由题设条件，知a n ＝n ＋2n . ∴a 4＝4＋2×4＝10，a 25＝25＋2×25＝55.(2)假设253是这个数列中的项，则253＝n ＋2n ，解得n ＝121.∴253是这个数列的第121项． 假设153是这个数列中的项，则153＝n ＋2n ，解得n ＝7214，这与n 是正整数矛盾，∴153不是这个数列中的项．层级一 学业水平达标1．数列的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧3n ＋1，n 为奇数，2n －2，n 为偶数，则a 2·a 3等于( )A ．70B ．28C ．20D ．8解析：选C 由a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1，n 为奇数，2n －2，n 为偶数，得a 2＝2，a 3＝10，所以a 2·a 3＝20.2．下列叙述正确的是( ) A ．同一个数在数列中可能重复出现B ．数列的通项公式是定义域为正整数集N ＋的函数C ．任何数列的通项公式都存在D ．数列的通项公式是唯一的解析：选A 数列的通项公式的定义域是正整数集N ＋或它的有限子集，选项B 错误；并不是所有数列都有通项公式，选项C 错误；数列－1,1，－1,1，…的通项公式可以写成a n ＝(－1)n ，也可以写成a n ＝(－1)n ＋2，选项D 错误．故选A.3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－n －50，则－8是该数列的( ) A ．第5项 B ．第6项 C ．第7项D ．非任何一项解析：选C 由n 2－n －50＝－8，得n ＝7或n ＝－6(舍去)． 4．数列1，－3,5，－7,9，…的一个通项公式为( ) A ．a n ＝2n －1 B ．a n ＝(－1)n (1－2n ) C ．a n ＝(－1)n (2n －1) D ．a n ＝(－1)n (2n ＋1)解析：选B 当n ＝1时，a 1＝1排除C 、D ；当n ＝2时，a 2＝－3排除A ，故选B. 5．在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2，…中，0.08是它的( )A ．第100项B ．第12项C ．第10项D ．第8项解析：选C 由a n ＝n －2n 2，令n －2n 2＝0.08，解得n ＝10或n ＝52(舍去)． 6．数列1,2,4,8,16,32，…的一个通项公式为________． 解析：由a 1＝20，a 2＝21，a 3＝22，a 4＝23，…易得a n ＝2n －1. 答案：a n ＝2n －17．600是数列1×2,2×3,3×4,4×5，…的第________项．解析：由题意知，数列的通项公式a n ＝n (n ＋1)，令a n ＝n (n ＋1)＝600，解得n ＝24或n ＝－25(舍去)．答案：248．已知曲线y ＝x 2＋1，点(n ，a n )(n ∈N ＋)位于该曲线上，则a 10＝________. 解析：∵点(n ，a n )位于曲线y ＝x 2＋1上，∴a n ＝n 2＋1，故a 10＝102＋1＝101. 答案：1019．根据下面数列{a n }的通项公式，写出它的前5项． (1)a n ＝n 2－12n －1；(2)a n ＝sin n π2；(3)a n ＝2n ＋1.解：(1)在通项公式中依次取n ＝1,2,3,4,5，得到数列{a n }的前5项为0,1，85，157，83.(2)在通项公式中依次取n ＝1,2,3,4,5，得到数列{a n }的前5项为1,0，－1,0,1. (3)在通项公式中依次取n ＝1,2,3,4,5，得到数列{a n }的前5项为3,5,9,17,33. 10．在数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝66，通项公式是关于n 的一次函数． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求a 2 016；(3)2 014是否为数列{a n }中的项？解：(1)设a n ＝kn ＋b (k ≠0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝2，17k ＋b ＝66，解得k ＝4，b ＝－2. ∴a n ＝4n －2.(2)a 2 016＝4×2 016－2＝8 062.(3)令2 014＝4n －2，解得n ＝504∈N ＋， ∴2 014是数列{a n }的第504项．层级二 应试能力达标1．数列2,0,4,0,6,0，…的一个通项公式是( )A．a n＝n2[1＋(－1)n]B．a n＝n＋12[1＋(－1)n＋1]C．a n＝n2[1＋(－1)n＋1]D．a n＝n＋12[1＋(－1)n]解析：选B经验证可知B符合要求．2．已知数列2，－5,10，－17,26，－37，…，则下列选项能表示数列的通项公式的是( ) A．a n＝(－1)n n2＋1 B．a n＝(－1)n＋1(n2＋1)C．a n＝(－1)n(n2＋1) D．a n＝(－1)n＋1(n2－1)解析：选B通过观察发现每一项的绝对值都是序号的平方加1，且奇数项是正的，偶数项是负的，∴通项可以写成a n＝(－1)n＋1(n2＋1)．3．数列2，5，22，11，…，则25是该数列的( )A．第6项B．第7项C．第10项D．第11项解析：选B数列2，5，22，11，…的一个通项公式为a n＝3n－1(n∈N＋)，令25＝3n－1，得n＝7.故选B.4．设a n＝1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋12n(n∈N＋)，那么a n＋1－a n等于( )A.12n＋1 B.12n＋2C.12n＋1＋12n＋2 D.12n＋1－12n＋2解析：选D∵a n＝1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋12n，∴a n＋1＝1n＋2＋1n＋3＋…＋12n＋12n＋1＋12n＋2，∴a n＋1－a n＝12n＋1＋12n＋2－1n＋1＝12n＋1－12n＋2.5．已知数列{a n}的通项公式a n＝n2－4n－12(n∈N＋)，则(1)这个数列的第4项是________；(2)65是这个数列的第________项．解析：(1)由a4＝42－4×4－12＝－12，得第4项是－12；(2)由a n＝n2－4n－12＝65，得n＝11或n＝－7(舍去)，∴65是第11项．答案：(1)－12 (2)116．根据下列5个图形中相应点的个数的变化规律，猜测第n个图形中有________个点．解析：观察图中5个图形点的个数分别为1,1×2＋1,2×3＋1,3×4＋1,4×5＋1，故第n 个图中点的个数为(n －1)n ＋1.答案：n 2－n ＋17．根据数列的前几项，写出下面各数列的一个通项公式． (1)－3,0,3,6,9，…；(2)7,77,777,7 777,77 777，…； (3)2,0,2,0,2,0，…；(4)12，14，－58，1316，－2932，6164，…. 解：(1)a 1＝－3＋0×3，a 2＝－3＋1×3，a 3＝－3＋2×3，a 4＝－3＋3×3，…. ∴a n ＝－3＋(n －1)×3＝3n －6(n ∈N ＋)． (2)a 1＝79×(10－1)，a 2＝79(102－1)，a 3＝79(103－1)，a 4＝79×(104－1)，….∴a n ＝79×(10n －1)(n ∈N ＋)．(3)a 1＝1＋1，a 2＝1－1，a 3＝1＋1，a 4＝1－1，…. ∴a n ＝1＋(－1)n －1(n ∈N ＋)．(4)a 1＝－2－32，a 2＝22－322，a 3＝－23－323，a 4＝24－324，….∴a n ＝(－1)n2n －32n(n ∈N ＋)．8．写出数列13＋2,13＋6,13＋12,13＋20,13＋30，…的一个通项公式，并验证2 563是否是该数列中的一项．解：该数列的项为13＋1×2,13＋2×3,13＋3×4，….故其通项公式可以为a n ＝13＋n (n ＋1)(n ∈N ＋)．令13＋n (n ＋1)＝2 563，则n 2＋n ＝2 550. 解得n ＝50或n ＝－51(舍去)． ∴2 563是该数列中的第50项．1．2 数列的函数特性预习课本P6～8，思考并完成以下问题(1)什么数列是递增数列？(2)什么数列是递减数列？(3)常数列是什么样的数列？[新知初探]数列的单调性(1)一个数列{a n}，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即a n＋1>a n，那么这个数列叫作递增数列．(2)一个数列，如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即a n＋1<a n，那么这个数列叫作递减数列．(3)一个数列，如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫作摆动数列．(4)如果数列{a n}的各项都相等，那么这个数列叫作常数列．[小试身手]1．判断下列结论是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个数列，如果它不是递增数列，就是递减数列．( )(2)数列是特殊的函数，因此其图像是连续不断的曲线．( )(3)可以用判断函数单调性的方法判断数列的单调性．( )答案：(1)×(2)×(3)√2．已知数列{a n}满足a n＋1－a n－3＝0，则数列{a n}是( )A．递增数列B．递减数列C．常数列D．不能确定解析：选A由条件得a n＋1－a n＝3>0可知a n＋1>a n，所以数列{a n}是递增数列．3．已知递减数列{a n}中，a n＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是( )A．R B．(0，＋∞)C．(－∞，0) D．(－∞，0]解析：选C a n＋1－a n＝k(n＋1)－kn＝k<0.4．设a n＝－n2＋10n＋11，则数列{a n}的最大项为( )A．5 B．11C．10或11 D．36解析：选D∵a n＝－n2＋10n＋11＝－(n－5)2＋36，∴当n＝5时，a n取得最大值36.数列的图像及应用[典例] 已知数列{a n}的通项公式为a n＝22n－9，画出它的图像，并判断增减性．[解]图像如图所示，该数列在{1,2,3,4}上是递减的，在{5,6，…}上也是递减的．利用数列的图像判断数列的增减性数列的图像可直观地反映数列各项的变化趋势，从而可判断数列的增减性．[活学活用]已知数列{a n}的通项公式为a n＝2n－1，作出该数列的图像并判断该数列的增减性．解：分别取n＝1,2,3，…，得到点(1,1)，(2,3)，(3,5)，…，描点作出图像．如图，它的图像是直线y＝2x－1上的一些等间隔的点．由图像可知该数列为递增数列.数列增减性的判断[典例] 已知数列{a n}的通项公式a n＝nn2＋1，试判断该数列的增减性．[解]a n＋1－a n＝n＋1(n＋1)2＋1－nn2＋1＝1－n2－n[(n＋1)2＋1](n2＋1).因为n ∈N ＋，所以1－n 2－n <0， 所以a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n .故该数列为递减数列．应用函数单调性判断数列增减性的方法(1)作差法，将a n ＋1－a n 与0进行比较；(2)作商法，将a n ＋1a n与1进行比较(在作商时，要注意a n <0还是 a n >0)．[活学活用]写出数列1，24，37，410，513，…的通项公式，并判断它的增减性．解：该数列的通项公式为a n ＝n3n －2， ∴a n ＋1－a n ＝n ＋13(n ＋1)－2－n3n －2＝－2(3n ＋1)(3n －2).∵n ∈N ＋，∴(3n ＋1)(3n －2)>0， ∴a n ＋1<a n ，∴该数列为递减数列.数列的函数特性的应用题点一：求数列的最大(小)项 1．已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n(n ∈N ＋)，试问数列{a n }有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数；若没有，说明理由．解：法一：假设数列{a n }中存在最大项．∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n ＝⎝⎛⎭⎫1011n ·9－n 11， 当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 故a 1<a 2<a 3<…<a 9＝a 10>a 11>a 12…，所以数列中有最大项，最大项为第9、10项，且a 9＝a 10＝1010119.法二：假设数列{a n }中有最大项，并设第k 项为最大项，则⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥a k －1，a k ≥a k ＋1对任意的k ∈N ＋且k ≥2都成立．即⎩⎨⎧(k ＋1)⎝⎛⎭⎫1011k ≥k ⎝⎛⎭⎫1011k －1，(k ＋1)⎝⎛⎭⎫1011k≥(k ＋2)⎝⎛⎭⎫1011k ＋1，∴⎩⎨⎧1011(k ＋1)≥k ，k ＋1≥1011(k ＋2)，解得9≤k ≤10. 又k ∈N ＋，∴数列{a n }中存在最大项是第9项和第10项， 且a 9＝a 10＝1010119.题点二：由数列的单调性求参数问题2．已设数列{a n }的通项公式为：a n ＝n 2＋kn (n ∈N ＋)，若数列{a n }是单调递增数列，求实数k 的取值范围 .解：法一：∵数列{a n }是单调递增数列， ∴a n ＋1－a n >0(n ∈N ＋)恒成立． 又∵a n ＝n 2＋kn (n ∈N ＋)，∴(n ＋1)2＋k (n ＋1)－(n 2＋kn )>0恒成立． 即2n ＋1＋k >0.∴k >－(2n ＋1)(n ∈N ＋)恒成立．而n ∈N ＋时，－(2n ＋1)的最大值为－3(n ＝1时)， ∴k >－3.即k 的取值范围为(－3，＋∞)．法二：结合二次函数y ＝x 2＋kx 的图像，要使{a n }是递增数列，只要a 1<a 2即可， 即1＋k <4＋2k ，得k >－3， 所以k 的取值范围为(－3，＋∞)． 题点三：数列与函数的综合应用3．已知函数f (x )＝2x －2－x ，数列{a n }满足f (log 2a n )＝－2n . (1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明数列{a n }是递减数列．解：(1)∵f (x )＝2x －2－x ，f (log 2a n )＝－2n ， ∴2log 2a n －2－log 2a n ＝－2n ， ∴a n －1a n＝－2n ，∴a 2n ＋2na n －1＝0，解得a n＝－n ±n 2＋1. ∵a n >0，∴a n ＝n 2＋1－n ，n ∈N ＋.(2)证明：a n ＋1a n ＝(n ＋1)2＋1－(n ＋1)n 2＋1－n＝n 2＋1＋n(n ＋1)2＋1＋(n ＋1)<1. ∵a n >0，∴a n ＋1<a n ， ∴数列{a n }是递减数列．函数思想方法在数列问题中的应用(1)数列的单调性是通过比较{a n }中任意相邻两项a n 与a n ＋1的大小来判定的．某些数列的最大项或最小项问题，可以通过研究数列的单调性加以解决．(2)数列是特殊函数，一定要注意其定义域是N ＋(或它的有限子集)．层级一 学业水平达标1．下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( ) A ．1，12，13，14，…B ．sin π7，sin 2π7，sin 3π7，…C ．－1，－12，－14，－18，…D ．1，2，3，…，21解析：选C A 是递减数列，B 是摆动数列，D 是有穷数列，故选C. 2．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n －1n ＋1，那么这个数列是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．摆动数列解析：选A a n ＝n －1n ＋1＝1－2n ＋1，随着n 的增大而增大． 3．数列{a n }中，a n ＝－n 2＋11n ，则此数列最大项的值是( ) A.1214 B ．30 C ．31D ．32解析：选B a n ＝－n 2＋11n ＝－⎝⎛⎭⎫n －1122＋1214， ∵n ∈N ＋，∴当n ＝5或6时，a n 取最大值30，故选B.4．数列{a n }中，a 1＝1，以后各项由公式a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2给出，则a 3＋a 5等于( ) A.259 B.2516 C.6116D.3115解析：选C ∵a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，∴a 1·a 2·a 3＝9，a 1·a 2＝4，∴a 3＝94. 同理a 5＝2516，∴a 3＋a 5＝94＋2516＝6116.5．已知数列{a n }满足a 1>0，且a n ＋1＝nn ＋1a n ，则数列{a n }的最大项是( )A ．a 1B ．a 9C ．a 10D ．不存在解析：选A ∵a 1>0且a n ＋1＝n n ＋1a n ，∴a n >0，a n ＋1a n＝nn ＋1<1，∴a n ＋1<a n ，∴此数列为递减数列，故最大项为a 1.6．若数列{a n }的通项公式为a n ＝k3n(k >0，且k 为常数)，则该数列是________(填“递增”“递减”)数列．解析：a n ＋1a n ＝k 3n ＋1·3n k ＝13<1.∵k >0，∴a n >0， ∴a n ＋1<a n ，∴{a n }是递减数列． 答案：递减7．数列{－2n 2＋9n ＋3}中最大项的值为________．解析：由已知a n ＝－2n 2＋9n ＋3＝－2⎝⎛⎭⎫n －942＋1058.由于n 为正整数，故当n 取2时，a n 取到最大值13.∴数列{－2n 2＋9n ＋3}的最大项为a 2＝13. 答案：138．数列{a n }中，a n ＝n 2n 2＋1，则数列{a n }的最小项的值为________．解析：∵a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2(n ＋1)2＋1－n 2n 2＋1＝(n ＋1)2(n 2＋1)－n 2[(n ＋1)2＋1][(n ＋1)2＋1](n 2＋1)＝2n ＋1[(n ＋1)2＋1](n 2＋1)>0.∴a n <a n ＋1，∴数列{a n }是递增数列， ∴数列{a n }的最小项为a 1＝12.答案：129．根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图像表示出来， (1)a n ＝(－1)n ＋2； (2)a n ＝n ＋1n .解：(1)a 1＝1，a 2＝3，a 3＝1，a 4＝3，a 5＝1.图像如图1. (2)a 1＝2，a 2＝32，a 3＝43，a 4＝54，a 5＝65.图像如图2.10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－21n ＋20. (1)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值；(2)数列{a n }有没有最大项？若有，求出最大项，若没有说明理由．解：(1)因为a n ＝n 2－21n ＋20＝⎝⎛⎭⎫n －2122－3614，可知对称轴方程为n ＝212＝10.5.又因n ∈N ＋，故n ＝10或n ＝11时，a n 有最小值，其最小值为102－21×10＋20＝－90.(2)由(1)知，对于数列{a n }有：a 1>a 2>…>a 10＝a 11<a 12<…，故数列{a n }没有最大项．层级二 应试能力达标1．函数f (x )定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意的自然数均有x n ＋1＝f (x n )，则x 2017＝()x 1 2 3 4 5 f (x )5 1342A ．1B ．2C ．4D ．5解析：选B 根据定义可得出：x 1＝f (x 0)＝2，x 2＝f (x 1)＝1，x 3＝f (x 2)＝5，x 4＝f (x 3)＝2，…，所以周期为3，故x 2 017＝x 1＝2.2．对任意的a 1∈(0,1)，由关系式a n ＋1＝f (a n )得到的数列满足a n ＋1>a n (n ∈N *)，则函数y ＝f (x )的图像是( )解析：选A 据题意，由关系式a n ＋1＝f (a n )得到的数列{a n }，满足a n ＋1>a n ，即该函数y ＝f (x )的图像上任一点(x ，y )都满足y >x ，结合图像，只有A 满足，故选A.3．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N ＋)，则a 20＝( ) A ．0 B ．－ 3 C. 3D.32解析：选B 由a 1＝0，可求a 2＝a 1－33a 1＋1＝－3，a 3＝a 2－33a 2＋1＝3，a 4＝a 3－33a 3＋1＝0，…，可知周期为3，所以a 20＝a 2＝－ 3.4．已知a n ＝n －98n －99，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是( )A ．a 1，a 30B ．a 1，a 9C ．a 10，a 9D ．a 10，a 30解析：选C ∵a n ＝n －99＋(99－98)n －99＝99－98n －99＋1，∴点(n ，a n )在函数y ＝99－98x －99＋1的图像上，在直角坐标系中作出函数y ＝99－98x －99＋1的图像，由图像易知，当x ∈(0，99)时，函数单调递减． ∴a 9<a 8<a 7<…<a 1<1，当x ∈(99，＋∞)时，函数单调递减，∴a 10>a 11>…>a 30>1. 所以，数列{a n }的前30项中最大的项是a 10，最小的项是a 9. 5．已知数列{a n }的通项a n ＝nanb ＋c(a ，b ，c 都是正实数)，则a n 与a n ＋1的大小关系是_______． 解析：∵a ，b ，c 均为实数，f (x )＝ax bx ＋c ＝a b ＋c x 在(0，＋∞)上是增函数，故数列a n ＝anbn ＋c 在n∈N ＋时为递增数列，∴a n <a n ＋1.答案：a n ＋1>a n6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x ≤12，2x －1，12<x <1，x －1，x ≥1，若数列{a n }满足a 1＝73，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N ＋，则a 2 015＋a 2 016＝________.解析：a 2＝f ⎝⎛⎭⎫73＝73－1＝43； a 3＝f ⎝⎛⎭⎫43＝43－1＝13； a 4＝f ⎝⎛⎭⎫13＝13＋12＝56； a 5＝f ⎝⎛⎭⎫56＝2×56－1＝23； a 6＝f ⎝⎛⎭⎫23＝2×23－1＝13. 即从a 3开始数列{a n }是以3为周期的周期数列．∴a 2 015＋a 2 016＝a 5＋a 3＝1. 答案：17．已知函数f (x )＝x －1x ，设a n ＝f (n )(n ∈N ＋), (1)求证：a n <1；(2)数列{a n }是递增数列还是递减数列？为什么？ 解：(1)证明：a n ＝f (n )＝n －1n ＝1－1n <1. (2)数列{a n }是递增数列，理由如下： ∵a n ＋1－a n ＝(n ＋1)－1n ＋1－n －1n ＝⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1－⎝⎛⎭⎫1－1n ＝1n (n ＋1)>0， ∴a n ＋1>a n ， ∴{a n }是递增数列．8．数列{b n }的通项公式为b n ＝na n (a >0)，问：{b n }是否存在最大项？并说明理由． 解：b n ＋1－b n ＝(n ＋1)a n ＋1－na n ＝a n [(n ＋1)a －n ] ＝a n [(a －1)n ＋a ]．当a >1时，b n ＋1－b n >0，故{b n }为递增数列，无最大项； 当a ＝1时，b n ＋1－b n ＝1，故{b n }不存在最大项； 当0<a <1时，b n ＋1－b n ＝a n (a －1)⎝⎛⎭⎫n ＋a a －1＝a n (a －1)⎝⎛⎭⎫n －a1－a .∵0<a <1，∴a n (a －1)<0， 即b n ＋1－b n 与n －a1－a有相反的符号． 由于n 为变量，而a 1－a 为常数，设k 为不大于a 1－a的最大整数， 则当n ≤k 时，b n ＋1－b n ≥0； 当n >k 时，b n ＋1－b n <0，即有b 1<b 2<b 3<…<b k －1≤b k ，且b k >b k ＋1>…， 故对任意的自然数n ，b n ≤b k ， ∴0<a <1时，{b n }存在最大项．等差数列2．1 等差数列第一课时 等差数列的概念与通项公式预习课本P10～12，思考并完成以下问题(1)什么样的数列是等差数列？(2)等差数列的通项公式是什么？[新知初探]1．等差数列一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，我们称这样的数列为等差数列．称这个常数为等差数列的公差，通常用字母d表示．[点睛](1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合．(2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻．(3)定义中的“同一个常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列．2．等差数列的通项公式若等差数列{a n}的首项是a1，公差是d，则这个数列的通项公式是a n＝a1＋(n－1)d_.[点睛]等差数列的通项公式a n＝a1＋(n－1)d中有4个变量a n，a1，n，d，在这4个变量中可以“知三求一”．[小试身手]1．判断下列结论是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)2,3,4,5,6,7可以构成等差数列．( )(2)常数列是等差数列．( )(3)若一个数列的每一项与前一项的差是常数，则这个数列是等差数列．( )答案：(1)√(2)√(3)×2．已知等差数列{a n}的首项a1＝2，公差d＝3，则数列{a n}的通项公式为( )A．a n＝3n－1 B．a n＝2n＋1C ．a n ＝2n ＋3D ．a n ＝3n ＋2解析：选A ∵a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)·3＝3n －1. 3．数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋5，则此数列( ) A ．是公差为2的等差数列 B ．是公差为5的等差数列 C ．是首项为5的等差数列 D ．是公差为n 的等差数列解析：选A a n ＝2n ＋5＝2(n －1)＋7，∴首项a 1＝7，公差d ＝2，故选A. 4．已知等差数列{a n }，a 1＝7，a 7＝1，则公差d ＝________. 解析：a 1＝7，a 7＝1，由a n ＝a 1＋(n －1)d 得1＝7＋6d ， ∴d ＝－1. 答案：－1求等差数列的通项公式[典例] 已知{a n }为等差数列，根据下列条件分别写出它的通项公式． (1)a 3＝5，a 7＝13； (2)前三项为：a,2a －1,3－a .[解] (1)法一：设首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝a 1＋2d ＝5，a 7＝a 1＋6d ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. ∴通项公式是a n ＝2n －1. 法二：∵d ＝a 7－a 37－3＝13－54＝2，∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝5＋(n －3)×2＝2n －1. ∴通项公式是a n ＝2n －1.(2)∵a,2a －1,3－a 是等差数列的前三项， ∴(2a －1)－a ＝(3－a )－(2a －1)． 解得a ＝54，∴d ＝(2a －1)－a ＝a －1＝14.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝54＋(n －1)×14＝14n ＋1.∴通项公式是a n ＝14n ＋1.在等差数列{a n }中，首项a 1与公差d 是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a 1，d 的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．[活学活用]1．已知数列{a n }中，a 1＝3，a n ＝a n －1＋3(n ≥2)，则a n ＝________. 解析：因为n ≥2时，a n －a n －1＝3，所以{a n }是以a 1＝3为首项，公差d ＝3的等差数列．所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3＋3(n －1)＝3n . 答案：3n2．100是不是等差数列2,9,16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由． 解：∵a 1＝2，d ＝9－2＝7， ∴a n ＝2＋(n －1)×7＝7n －5， 由7n －5＝100，得n ＝15. ∴100是这个数列的第15项.等差数列通项公式的应用[典例](1)在等差数列{a n }中，首项a 1＝1，从第10项起开始比2大，则公差d 的取值范围为________．(2)在等差数列{a n }中，首项a 1＝1，公差d ≠0，若7a k ＝a 1＋a 2＋…＋a 7，则k ＝________. [解析] (1)由a n ＝1＋(n －1)d ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 10>2，a 9≤2.即⎩⎪⎨⎪⎧1＋9d >2，1＋8d ≤2，所以19<d ≤18.(2)因为a 1＋a 2＋…＋a 7＝7a 1＋21d ＝7＋21d ， 而a k ＝1＋(k －1)d ，所以7a k ＝7＋7(k －1)d . 所以7＋7(k －1)d ＝7＋21d ，即k ＝4. [答案] (1)⎝⎛⎦⎤19，18 (2)4等差数列通项公式应用中的两种思想方法(1)利用等差数列的通项公式求出首项a 1及公差d ，从而可求数列的其他项，注意方程的思想． (2)利用等差数列的通项公式求出首项a 1和公差d 的关系式，从而可求指定的几项和，注意整体代入的思想．[活学活用]设数列{a n }是递增的等差数列，前三项和为12，前三项积为48，求它的首项．解：由题设⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝12，a 1a 2a 3＝48，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＝12，a 1·(a 1＋d )·(a 1＋2d )＝48. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝4，a 1·(a 1＋d )·(a 1＋2d )＝48， 化简得：a 21－8a 1＋12＝0，解得a 1＝6或a 1＝2，又{a n }是递增的，故a 1＝2.等差数列的判定[典例] (1)判断下列数列是否为等差数列，并说明理由． ①a n ＝3n ＋2；②a n ＝n 2＋n . (2)已知数列{a n }，满足a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2. 数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是否为等差数列？说明理由． (3)在数列{a n }中，a 1＝0，当n ≥2时，a n ＋1a n ＝nn －1.求证：数列{a n }是等差数列．[解] (1)①a n ＋1－a n ＝3(n ＋1)＋2－(3n ＋2)＝3(n ∈N ＋)， 由n 的任意性知，这个数列为等差数列．②a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2＋(n ＋1)－(n 2＋n )＝2n ＋2，不是一个常数，所以这个数列不是等差数列．(2)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，理由如下：∵a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2， ∴1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝12＋1a n ，∴1a n ＋1－1a n ＝12， 即⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝12，公差为d ＝12的等差数列．(3)证明：当n ≥2时，由a n ＋1a n ＝nn －1，得(n －1)a n ＋1＝na n ，∴na n ＋2＝(n ＋1)a n ＋1，两式相减得，na n ＋2－(n －1)a n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ， 整理得，na n ＋2＋na n ＝2na n ＋1， ∴a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1， ∴a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n .又∵a 3－a 2＝2a 2－a 2＝a 2＝a 2－0＝a 2－a 1， ∴数列{a n }是等差数列．证明一个数列是等差数列常用的方法(1)定义法：a n －a n －1＝d (常数)(n ≥2且n ∈N ＋)⇔数列{a n }为等差数列． (2)通项法：a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数)⇔{a n }是等差数列．[注意] a n ＋1－a n ＝d (d 为常数)对任意n ∈N ＋都要恒成立，不能几项成立便说{a n }为等差数列．[活学活用]已知等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，数列{b n }中，b n ＝3a n ＋4，问：数列{b n }是否为等差数列？并说明理由．解：数列{b n }是等差数列．理由如下：∵数列{a n }是首项为a 1，公差为d 的等差数列， ∴a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *)．∴b n ＋1－b n ＝(3a n ＋1＋4)－(3a n ＋4)＝3(a n ＋1－a n )＝3d . ∴根据等差数列的定义，数列{b n }是等差数列．层级一 学业水平达标1．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 成等差数列，则B 等于( ) A ．30° B ．60° C ．90°D ．120°解析：选B ∵A ，B ，C 成等差数列，∴A －B ＝B －C . 又A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＝60°.2．在等差数列{a n }中，a 2＝2，a 3＝4，则a 10＝( ) A ．12 B ．14 C ．16D ．18解析：选D 由题意知，公差d ＝4－2＝2，则a 1＝0，所以a 10＝a 1＋9d ＝18.故选D. 3．等差数列a －2d ，a ，a ＋2d ，…的通项公式是( ) A ．a n ＝a ＋(n －1)d B ．a n ＝a ＋(n －3)d C ．a n ＝a ＋2(n －2)d D ．a n ＝a ＋2nd解析：选C 数列的首项为a －2d ，公差为2d ，∴a n ＝(a －2d )＋(n －1)·2d ＝a ＋2(n －2)d . 4．一个等差数列的前4项是a ，x ，b,2x ，则ab 等于( ) A.14 B.12 C.13D.23解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝b －x ，b －x ＝2x －b ，∴a ＝x 2，b ＝32x .∴a b ＝13.5．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，且公差d ≠0，则( ) A ．a 3a 6>a 4a 5 B ．a 3a 6<a 4a 5 C ．a 3＋a 6>a 4＋a 5D ．a 3a 6＝a 4a 5解析：选B 由通项公式，得a 3＝a 1＋2d ，a 6＝a 1＋5d ，那么a 3＋a 6＝2a 1＋7d ，a 3a 6＝(a 1＋2d )(a 1＋5d )＝a 21＋7a 1d ＋10d 2，同理a 4＋a 5＝2a 1＋7d ，a 4a 5＝a 21＋7a 1d ＋12d 2，显然a 3a 6－a 4a 5＝－2d 2<0，故选B.6．已知等差数列{a n }，a n ＝2－3n ，则数列的公差d ＝________. 解析：根据等差数列的概念，d ＝a n ＋1－a n ＝－3. 答案：－37．在等差数列{a n }中，已知a 5＝11，a 8＝5，则首项a 1＝________，公差d ＝________. 解析：设数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝11，a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝19，d ＝－2.答案：19 －28．一个等差数列的第5项a 5＝10，且a 1＋a 2＋a 3＝3，则首项a 1＝________，公差d ＝________.解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 5＝a 1＋4d ＝10，a 1＋a 1＋d ＋a 1＋2d ＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝10，a 1＋d ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝3.答案：－2 39．在等差数列{a n }中，(1)已知a 5＝－1，a 8＝2，求a 1与d ； (2)已知a 1＋a 6＝12，a 4＝7，求a 9.解：(1)由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝－1，a 1＋7d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，d ＝1.(2)设数列的首项为a 1，公差为d ，由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1＋5d ＝12，a 1＋3d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1. ∴a 9＝2×9－1＝17.10．已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝2a n －1＋2n (n ≥2，且∈N *)． (1)求a 2，a 3；(2)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是等差数列；(3)求数列{a n }的通项公式a n .解：(1)a 2＝2a 1＋22＝6，a 3＝2a 2＋23＝20. (2)证明：∵a n ＝2a n －1＋2n (n ≥2，且n ∈N *)，∴a n 2n ＝a n －12n －1＋1(n ≥2，且n ∈N *)， 即a n 2n －a n －12n －1＝1(n ≥2，且n ∈N *)， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为a 121＝12，公差d ＝1的等差数列．(3)由(2)，得a n 2n ＝12＋(n －1)×1＝n －12，∴a n ＝⎝⎛⎭⎫n －12·2n.层级二 应试能力达标1．(重庆高考)在等差数列{}a n 中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．6解析：选B ∵{}a n 为等差数列，∴a 4－a 2＝a 6－a 4，∴a 6＝2a 4－a 2，即a 6＝2×2－ 4＝0.2．在等差数列{a n }中，a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 的值为( )A ．48B ．49C ．50D ．51解析：选C a 1＝13，a 2＋a 5＝2a 1＋5d ＝4，∴d ＝23，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝13＋23(n －1)＝33，∴n ＝50.3．等差数列{a n }中，a 5＝33，a 45＝153，则201是该数列的( ) A ．第60项 B ．第61项 C ．第62项D ．第63项解析：选B 设公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝33，a 1＋44d ＝153，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝21，d ＝3. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝21＋3(n －1)＝3n ＋18.令201＝3n ＋18，∴n ＝61.4．已知x ≠y ，且两个数列x ，a 1，a 2，…，a m ，y 与x ，b 1，b 2，…，b n ，y 各自都成等差数列，则a 2－a 1b 2－b 1等于( ) A.m n B.m ＋1n ＋1 C.n mD.n ＋1m ＋1解析：选D 设这两个等差数列公差分别是d 1，d 2，则a 2－a 1＝d 1，b 2－b 1＝d 2.第一个数列共(m ＋2)项，∴d 1＝y －x m ＋1；第二个数列共(n ＋2)项，∴d 2＝y －x n ＋1.这样可求出a 2－a 1b 2－b 1＝d 1d 2＝n ＋1m ＋1.5．已知数列{a n }满足a 2n ＋1＝a 2n ＋4，且a 1＝1，a n >0，则a n ＝________. 解析：由已知a 2n ＋1－a 2n ＝4，∴{a 2n }是等差数列，且首项a 21＝1，公差d ＝4， ∴a 2n ＝1＋(n －1)·4＝4n －3.又a n >0，∴a n ＝4n －3. 答案：4n －36．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________. 解析：设公差为d ，则a 3＋a 8＝2a 1＋9d ＝10， 3a 5＋a 7＝4a 1＋18d ＝2(2a 1＋9d )＝20. 答案：207．已知数列{a n }的通项公式a n ＝3n ＋2，从这个数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n 项，…；按原来的顺序排成新数列{b n }，求数列{b n }的通项公式．解：由题意b n ＝a 2n ，又a n ＝3n ＋2， ∴b n ＝3×2n ＋2.8．已知数列{a n }满足a 1＝15，且当n ≥2，n ∈N ＋时，有a n －1a n ＝2a n －1＋11－2a n ，设b n ＝1a n ，n ∈N ＋.(1)求证：数列{b n }为等差数列．(2)试问a 1a 2是否是数列{a n }中的项？如果是，是第几项； 如果不是，请说明理由．解：(1)证明：当n ≥2，n ∈N ＋时，a n －1a n ＝2a n －1＋11－2a n ⇔1－2a n a n ＝2a n －1＋1a n －1⇔1a n－2＝2＋1a n －1⇔1a n －1a n －1＝4⇔b n －b n －1＝4，且b 1＝1a 1＝5.∴{b n }是公差为4，首项为5的等差数列． (2)由(1)知b n ＝b 1＋(n －1)d ＝5＋4(n －1)＝4n ＋1. ∴a n ＝1b n＝14n ＋1，n ∈N ＋. ∴a 1＝15，a 2＝19，∴a 1a 2＝145. 令a n ＝14n ＋1＝145，∴n ＝11. 即a 1a 2＝a 11，∴a 1a 2是数列{a n }中的项，是第11项．第二课时 等差数列的性质预习课本P13～14，思考并完成以下问题(1)怎样从函数的角度研究等差数列？(2)等差中项的定义是什么？(3)等差数列有哪些性质？(4)怎样利用等差数列模型解应用题？[新知初探]1．等差数列的图像与增减性(1)等差数列的图像：由a n＝dn＋(a1－d)，可知其图像是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些等间隔的点，其中d是该直线的斜率．(2)等差数列的增减性：对于a n＝dn＋(a1－d)，①当d＞0时，{a n}为递增数列；②当d＜0时，{a n}为递减数列；③当d＝0时，{a n}为常数列．2．等差中项如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．[小试身手]1．判断下列结论是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何两个数都有等差中项．( )(2)在等差数列{a n}中，若a1＝3，a3＝5，则a5＝7. ( )(3)若数列{a n}，{b n}都是等差数列，则数列{a n b n}是等差数列．( )答案：(1)√(2)√(3)×2．如果数列{a n}是等差数列，则下列式子一定成立的有( )A．a1＋a8＜a4＋a5B．a1＋a8＝a4＋a5C．a1＋a8＞a4＋a5D ．a 1a 8＝a 4a 5解析：选B 由等差数列的性质有a 1＋a 8＝a 4＋a 5，故选B. 3．方程x 2－6x ＋1＝0的两根的等差中项为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．6解析：选C 设方程x 2－6x ＋1＝0的两根为 x 1，x 2，则x 1＋x 2＝6，∴其等差中项为x 1＋x 22＝3.4．已知等差数列{a n }中，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5＝________. 解析：∵a 3＋a 8＝a 5＋a 6＝22.又a 6＝7，∴a 5＝15. 答案：155．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝100，则3a 9－a 13的值为________． 解析：∵a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝100， 又a 3＋a 11＝a 5＋a 9＝2a 7， ∴5a 7＝100，a 7＝20. ∴3a 9－a 13＝2a 9＋a 9－a 13 ＝a 5＋a 13＋a 9－a 13 ＝2a 7＝40. 答案：40等差中项及应用 [典例] 在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c 使这五个数成等差数列，求此数列． [解] [法一 等差中项法] ∵－1，a ，b ，c,7成等差数列，∴b 是－1与7的等差中项．∴b ＝－1＋72＝3.又a 是－1与3的等差中项，∴a ＝－1＋32＝1. 又c 是3与7的等差中项，∴c ＝3＋72＝5.∴该数列为－1,1,3,5,7. [法二 通项公式法]设a 1＝－1，a 5＝7，则7＝－1＋(5－1)d ，得d ＝2. ∴a n ＝－1＋(n －1)×2＝2n －3， ∴该数列为－1,1,3,5,7.等差中项及应用(1)若a ，b ，c 成等差数列，则a ＋c ＝2b ，即b 为a ，c 的等差中项，这个结论在已知等差数列的题中经常用到．(2)涉及到等差数列中相邻三项问题可用等差中项求解．[活学活用]已知a ，b ，c 成等差数列，求证：b ＋c ，c ＋a ，a ＋b 也成等差数列． 证明：∵a ，b ，c 成等差数列， ∴2b ＝a ＋c ，∴(b ＋c )＋(a ＋b )＝a ＋2b ＋c ＝a ＋(a ＋c )＋c ＝2(a ＋c )， ∴b ＋c ，c ＋a ，a ＋b 成等差数列.等差数列性质的应用 [典例n (1)已知a 2＋a 3＋a 23＋a 24＝48，求a 13； (2)已知a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，a 2·a 5＝52，求d . [解] (1)[法一 通项公式法] ：化成a 1和d 的方程如下：(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋(a 1＋22d )＋(a 1＋23d )＝48， 即4(a 1＋12d )＝48. ∴4a 13＝48.∴a 13＝12. [法二 性质法]根据已知条件a 2＋a 3＋a 23＋a 24＝48， 及a 2＋a 24＝a 3＋a 23＝2a 13， 得4a 13＝48，∴a 13＝12. (2)[法一 通项公式法] 化成a 1和d 的方程如下：⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋(a 1＋3d )＋(a 1＋4d )＝34，(a 1＋d )·(a 1＋4d )＝52， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝16，d ＝－3.∴d ＝3或－3. [法二 性质法]由a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，及a 3＋a 4＝a 2＋a 5 得2(a 2＋a 5)＝34，即a 2＋a 5＝17.所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 2·a 5＝52，a 2＋a 5＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4，a 5＝13或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝13，a 5＝4.∴d ＝a 5－a 25－2＝13－43＝3或d ＝a 5－a 25－2＝4－133＝－3.1．等差数列基本运算的方法对于等差数列的基本运算问题，一般有两种方法，一是建立基本量a 1和d 的方程，通过解方程组求解；一是利用等差数列的基本性质求解．2．等差数列的常用性质性质1：通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N ＋)．性质2：若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .特别地，若m ＋n ＝2t ，则a m ＋a n ＝2a t (t ∈N ＋)．性质3：若{a n }是等差数列，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…，(k ，m ∈N ＋)组成公差为md 的等差数列．[活学活用]1．已知a 1＋3a 8＋a 15＝120，则3a 9－a 11＝________. 解析：∵a 1＋a 15＝2a 8，∴a 8＝24.∴3a 9－a 11＝a 9＋2a 9－a 11＝a 9＋a 7＝2a 8＝48. 答案：482．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＝3，a 3＋a 4＝7，求a 5＋a 6. 解：∵a 1＋a 5＝2a 3，a 2＋a 6＝2a 4， ∴(a 1＋a 5)＋(a 2＋a 6)＝2(a 3＋a 4)， 即(a 1＋a 2)＋(a 5＋a 6)＝2(a 3＋a 4)， ∴3＋(a 5＋a 6)＝2×7，∴a 5＋a 6＝11.灵活设项求解等差数列问题[典例] (1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数． (2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数． [解] (1)设这三个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝9，(a －d )a ＝6(a ＋d )， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，d ＝－1.∴这三个数为4,3,2.(2)法一：设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d (公差为2d )， 依题意，2a ＝2，且(a －3d )(a ＋3d )＝－8， 即a ＝1，a 2－9d 2＝－8， ∴d 2＝1，∴d ＝1或d ＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d ＞0， ∴d ＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.法二：若设这四个数为a ，a ＋d ，a ＋2d ，a ＋3d (公差为d )， 依题意，2a ＋3d ＝2，且a (a ＋3d )＝－8， 把a ＝1－32d 代入a (a ＋3d )＝－8，得⎝⎛⎭⎫1－32d ⎝⎛⎭⎫1＋32d ＝－8， 即1－94d 2＝－8，化简得d 2＝4，所以d ＝2或－2.又四个数成递增等差数列，所以d ＞0，所以d ＝2， a ＝－2.故所求的四个数为－2,0,2,4.常见设元技巧(1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：a －d ，a ＋d ，公差为2d ； (2)三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：a －d ，a ，a ＋d ，公差为d ；(3)四个数成等差数列且知其和，常设成a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，公差为2d . [活学活用]已知成等差数列的四个数，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列．解：设这四个数依次为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d (公差为2d )． 由题设知⎩⎪⎨⎪⎧(a －3d )＋(a －d )＋(a ＋d )＋(a ＋3d )＝26，(a －d )(a ＋d )＝40， 解得⎩⎨⎧a ＝132，d ＝32或⎩⎨⎧a ＝132，d ＝－32.∴这个数列为2,5,8,11或11,8,5,2.等差数列的实际应用[典例]某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元．从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？[解] 设从第1年起，第n 年的利润为a n ，则由题意知a 1＝200，a n －a n －1＝－20(n ≥2，n ∈N ＋)．所以每年的利润a n 可构成一个等差数列{a n }，且公差d ＝－20.从而a n ＝a 1＋(n －1)d ＝220－20n .若a n <0，则该公司经销这一产品将亏损，由a n ＝220－20n <0，得n >11，。