信号与系统第一章练习题

第一章 习题

1．判断信号是否为周期的

(1)(1)()cos(1)sin(1),2j t x t e t j t T πππ-==-+-=

(2)11(){(cos 2)()}[(cos 2)()(cos 2)()]cos 2,12

2

x t t u t t u t t u t t T ευππππ==+-== (3)1(){cos(2)()}[cos(2)()cos(2)()]4

2

4

4

x t t u t t u t t u t π

ππ

ευπππ=+=++--, 非周期信号

2．绘制下列信号波形

(1)2()(36)()t t x t e e u t --=+ (3)()cos(10)[(1)(2)]t x t e t u t u t π-=---

(5)()(1)(1)()(2)[()(1)](1)(2)

x t t u t tu t u t t u t u t u t u t =+----=---+---

(7)3()cos [()2()](cos )()2

2

x t t u t u t t u t π

ππ=+--+-

3cos [()()](cos )[()()]22

t u t u t t u t u t ππ

ππ=+------

--

另外一种情况

12cos 2()3cos()232cos 2

t t t x t t t t t πππ

πππ⎧

<⎪⎪

⎪<<⎪=⎨

⎪-<<

⎪⎪⎪>⎪⎩

(8)()()t x t te u t -=（选讲，三点一限） ()(1),1t x t t e t -'=-=为极值点 ()(2),2t x t t e t -''=-= 为拐点 1

lim ()lim lim

0t t t t t x t te e

-→∞→∞→∞=== 3．绘制波形

(1)0

(23)()t

n e t n δ∞

-=-⋅-∑ (5)1

()(2)n t u t u t n ∞

=⋅--∑

(7)00[()]()()()()|()()|()t

t t t t t d e t t e t t e t e t t dt

δδδδδδδ---=='''=-+=-+--=（选讲）

(8)()sgn(cos )x t t π=

当322k t k π

ππππ+<<+

，即13

22k t k +<<+时，cos 0t π<

当22k t k πππππ-<<+

，即11

22

k t k -<<+时，cos 0t π>，其中k ∈

4．画出下列信号波形的偶分量和奇分量

解：根据()()()2e f t f t f t +-=和()()

()2

o f t f t f t --=求解，求解过程中注意()f t 与()f t -的定义域。

5．已知()f t 和()h t 的信号波形，求下列信号波形

(1)()()f t h t - (3)(2)(4)2

t f h t -+

解：由()f t 求解()f at b +的过程中，简单方法是根据()f t 的关键点坐标0t ，按照公式01t at b =+求解()f at b +的关键点坐标1t ，然后画图。 6．已知

()f t 的信号波形，求下列信号波形

2(1)(4)f t + (3)2(12)f t -

解：解法同第5题，只不过注意信号的幅度变化。 7．已知(2)3

t f -的波形，求()f t 的波形图

解：由()f at b +求解()f t 的过程中，简单方法是根据()f at b +的关键点坐标1t ，按照公式01t at b =+求解()f t 的关键点坐标0t ，然后画图。并注意()t δ函数的幅度变化，按照该方法求解()f t 时，()t δ函数的幅度将倍乘a 。 8．求下列波形的直流分量和奇分量

(1)()sin()f t t ω= 0

00112()sin()cos()|T D f f

t t dt t T ππ

ω

ωωωωπππ

===-=⎰⎰，奇分量0o f = (3)()cos()sin())4f t t t t πωωω=+=+ 0D f =,1

[()()]sin()2o f f t f t t ω=--=

9．求下列函数积分

(1)00()()()f t t t f t δ∞

-∞-=-⎰ (3) 00()()()f t t t f t δ∞

-∞-=⎰

(5)

2

()(2)2t

e t t e δ∞

--∞

++=-⎰

(7)

0[2sin 2]()(2sin 2)|4t t t t t t δ∞

=-∞

''+=-+=-⎰

10．求下列函数值

(1)1

1

2

111(9)[(3)(3)]03

t dt t t dt δδδ---=++-=⎰⎰

(2)2

22(43)t t dt δ--+⎰, 令2()430f t t t =-+=得到121,3t t ==，2()(43)24f t t t t ''-+=-

(1)2,(3)2f f ''=-=

2

2222

22111

(43)(3)(1)222

t t dt t dt t dt δδδ----+=

-+-=⎰

⎰⎰（选讲） (3)12[(1)(1)(3)]1t e t t t dt e δδ∞---+-++=+⎰ (5)1102[(1)(1)][()]|2t t t e t t dt e e e δδ∞

----=-''-+-=+-=⎰