信号与系统第一章练习题

第一章 习题1．判断信号是否为周期的(1)(1)()cos(1)sin(1),2j t x t e t j t T πππ-==-+-=(2)11(){(cos 2)()}[(cos 2)()(cos 2)()]cos 2,122x t t u t t u t t u t t T ευππππ==+-== (3)1(){cos(2)()}[cos(2)()cos(2)()]4244x t t u t t u t t u t πππευπππ=+=++--, 非周期信号2．绘制下列信号波形(1)2()(36)()t t x t e e u t --=+ (3)()cos(10)[(1)(2)]t x t e t u t u t π-=---(5)()(1)(1)()(2)[()(1)](1)(2)x t t u t tu t u t t u t u t u t u t =+----=---+---(7)3()cos [()2()](cos )()22x t t u t u t t u t πππ=+--+-3cos [()()](cos )[()()]22t u t u t t u t u t ππππ=+--------另外一种情况12cos 2()3cos()232cos 2t t t x t t t t t ππππππ⎧<⎪⎪⎪<<⎪=⎨⎪-<<⎪⎪⎪>⎪⎩(8)()()t x t te u t -=（选讲，三点一限） ()(1),1t x t t e t -'=-=为极值点 ()(2),2t x t t e t -''=-= 为拐点 1lim ()lim lim0t t t t t x t te e-→∞→∞→∞=== 3．绘制波形(1)0(23)()tn e t n δ∞-=-⋅-∑ (5)1()(2)n t u t u t n ∞=⋅--∑(7)00[()]()()()()|()()|()tt t t t t d e t t e t t e t e t t dtδδδδδδδ---=='''=-+=-+--=（选讲）(8)()sgn(cos )x t t π=当322k t k πππππ+<<+，即1322k t k +<<+时，cos 0t π<当22k t k πππππ-<<+，即1122k t k -<<+时，cos 0t π>，其中k ∈4．画出下列信号波形的偶分量和奇分量解：根据()()()2e f t f t f t +-=和()()()2o f t f t f t --=求解，求解过程中注意()f t 与()f t -的定义域。

5．已知()f t 和()h t 的信号波形，求下列信号波形(1)()()f t h t - (3)(2)(4)2t f h t -+解：由()f t 求解()f at b +的过程中，简单方法是根据()f t 的关键点坐标0t ，按照公式01t at b =+求解()f at b +的关键点坐标1t ，然后画图。

6．已知()f t 的信号波形，求下列信号波形2(1)(4)f t + (3)2(12)f t -解：解法同第5题，只不过注意信号的幅度变化。

7．已知(2)3t f -的波形，求()f t 的波形图解：由()f at b +求解()f t 的过程中，简单方法是根据()f at b +的关键点坐标1t ，按照公式01t at b =+求解()f t 的关键点坐标0t ，然后画图。

并注意()t δ函数的幅度变化，按照该方法求解()f t 时，()t δ函数的幅度将倍乘a 。

8．求下列波形的直流分量和奇分量(1)()sin()f t t ω= 000112()sin()cos()|T D f ft t dt t T ππωωωωωπππ===-=⎰⎰，奇分量0o f = (3)()cos()sin())4f t t t t πωωω=+=+ 0D f =,1[()()]sin()2o f f t f t t ω=--=9．求下列函数积分(1)00()()()f t t t f t δ∞-∞-=-⎰ (3) 00()()()f t t t f t δ∞-∞-=⎰(5)2()(2)2te t t e δ∞--∞++=-⎰(7)0[2sin 2]()(2sin 2)|4t t t t t t δ∞=-∞''+=-+=-⎰10．求下列函数值(1)112111(9)[(3)(3)]03t dt t t dt δδδ---=++-=⎰⎰(2)222(43)t t dt δ--+⎰, 令2()430f t t t =-+=得到121,3t t ==，2()(43)24f t t t t ''-+=-(1)2,(3)2f f ''=-=2222222111(43)(3)(1)222t t dt t dt t dt δδδ----+=-+-=⎰⎰⎰（选讲） (3)12[(1)(1)(3)]1t e t t t dt e δδ∞---+-++=+⎰ (5)1102[(1)(1)][()]|2t t t e t t dt e e e δδ∞----=-''-+-=+-=⎰11．试求下列函数值 (1)22220[()]2()()|()2()tt t t t d e u t e u t e t t e u t dtδδ----==-+=- (2)22()()t e t e t δδ-+= (5)4(1)(1)2(1)u t t t δδ--=-(6)2()2()t t t δδ''=（选讲）在此处证明以下公式()()(0)()2(0)()(0)()f t t f t f t f t δδδδ''''''''=-+，证明如下00()()()()()()()()()|()[()()]0()()()()()()[()()]|[()()]|(0)(0)2(0)(0)(0)(0)[(0)t t f t t t dt f t t d t f t t t t f t t dtt f t t dt t f t t dt f t t f t t f f f f δϕϕδϕδδϕδϕδϕϕϕϕϕϕ∞∞-∞-∞∞∞-∞-∞∞∞-∞-∞=='''='''=-''''=--''''=+''''''=++''=⎰⎰⎰⎰⎰()2(0)()(0)()]()t f t f t t dtδδδϕ∞-∞''''-+⎰()()(0)()2(0)()(0)()f t t f t f t f t δδδδ''''''''∴=-+12．已知()f t 的波形图，求(32)f t --的波形图解：根据()f t 的关键点坐标0t ，按照0132t t =--公式求出(32)f t --的关键点坐标，然后画图。

13．已知()f t 的波形图，画出()()df t y t dt=的波形图解：()f t 可表示为()(1)()[()(2)]f t u t u t t u t u t =+-+--所以()()(1)()2(2)()(2)df t y t t t t u t u t dtδδδ==+---+--16．求广义导数(1)()(1)(1)()(2)x t t u t tu t u t =+----所以()(1)2(1)()(2)[()(1)]2(1)(2)dx t u t t u t t dt u t u t t t δδδδ=-+----=---+---(2)(24)(4)()()[1](2)(4)t t t t x t e u t e e u t e u t ----=+----(4)(4)()[](2)(4)t t t t e u t e e u t e u t ----=+----所以(4)22(4)(4)()()()[](2)[](2)(4)(4)[()(2)][(2)(4)]()(4)t t t t t t dx t e u t t e e u t e e t e u t t dt e u t u t e u t u t t t δδδδδ--------=-+++-+------=---+---+--17．判断下列系统是否为线性的、时不变的、因果的 (1)()()de t r t dt=，线性、时不变、因果 (3)()sin[()]()r t e t u t =，非线性、时变、因果 (5)()(2)r t e t =，线性、时变、非因果 (7)()()tr t e d ττ-∞=⎰，线性、时不变、因果 时不变性：00()()t t r t t e d ττ--∞-=⎰，当10()()e t e t t =-作用于系统时11000()()()()()()ttt t t t r t e d e t d T t e T dT e d r t t τττττττ---∞-∞-∞-∞==-=-==-⎰⎰⎰⎰令，为时不变 18．是否为可逆系统(1)()(5)r t e t =-，可逆，()(5)r t e t =+ (2)()()tr t e d ττ-∞=⎰，可逆 ，()()de t r t dt =但()()de t r t dt=不可逆，说明逆系统并不一定可逆。

19．判定系统的特性 系统微分方程为()()()sin ()f dv t Mk v t x t Mg t dtθ+=- (1) 如果()0t θ=，方程为线性常系数微分方程，系统为线性、时不变系统 (2) 如果()0t θ≠，方程为非线性常系数微分方程，系统为非线性、时变系统 (3) 如果()x t 为第一输入，sin ()t θ为第二输入，系统为线性、时不变系统20．判定系统特性（线性、时变、因果、稳定性） (2)()[()]()r t T e t te t ==，线性、时变、因果、非稳定 (4)()[()](3)r t T e t e t ==，线性、时变、非因果、稳定(6)(),1()[()]0,0(),1e t t r t T e t t e t t ≥⎧⎪===⎨⎪≤-⎩，线性、时变、因果、稳定 (8)()[()]{()}r t T e t e t ευ==可以表示成 ()()()2e t e t r t +-=，线性、时变、非因果、稳定 21．写出微分方程 (a) (c)()()()()()r t r t r t e t e t ''''''++=- ()3()2()5()4()r t r t r t e t e t ''''++=+22．画出下列微分方程的系统框图(2)322322()3()3()()()2()d d d d dr t r t r t r t e t e t dt dt dt dt dt+++=+23．某一线性时不变系统有下面的输入/输出关系：如果()()e t u t =，那么2()(1)()t r t e u t -=-；如果()cos(2)e t t =，那么()0.707cos(2/4)r t t π=-。