曲线积分与曲面积分

第十章 曲线积分与曲面积分

一、 基本内容要求

1． 理解线、面积分的概念，了解线、面积分的几何意义及物理意义，能用线、

面积分表达一些几何量和物理量； 2． 掌握线、面积分的计算法；

3． 知道两类曲线积分及两类曲面积分的联系；

4． 掌握格林公式，并能将沿闭曲线正向的积分化为该曲线所围闭区域上的二重

积分；

5． 掌握曲线积分与路径无关的充要条件，并能求全微分为已知的某个原函数，

注意此时所讨论问题单连通域的条件不可缺少；

6． 掌握高斯公式，并能将闭曲面Σ外侧上的一个曲面积分化为由其所围空间闭

区间Ω上的三重积分。 二、 选择 1．设OM 是从O （0，0）到点M （1，1）的直线段，则与曲线积分I=ds

e

om

y x ⎰

+2

2不相等的积分是：（ ） A)dx e

x

21

2⎰

B)

dy e y

21

02⎰ C)

dt e t ⎰

2

D)

dr e r

21

⎰

2．设L 是从点O(0,0)沿折线y=1-|x-1| 至点A(2,0) 的折线段，则曲线积分I=

⎰

+-L

xdy ydx 等于（ ）

A)0 B)-1 C)2 D)-2 3．设L 为下半圆周)0(222≤=+y R y x ，将曲线积分I=

ds y x L

⎰

+)2(化为定

积分的正确结果是：（ ） A) dt t t R )sin 2(cos 0

2+⎰

-π

B) dt t t R )sin 2(cos 0

2

+⎰π

C)

dt t t R )cos 2sin (0

2+-⎰-

π

D)

dt t t R )cos 2sin (232

2+-⎰π

π

4．设L 是以A(-1,0) ,B(-3,2) ,C(3,0) 为顶点的三角形域的周界沿ABCA 方向， 则

⎰

-+-L

dy y x dx y x )2()3(等于：（ ）

A) -8 B) 0 C) 8 D) 20 5．设AEB 是由点A(-1,0) 沿上半圆 21x y -=经点E(0,1)到点B(1,0)，

则曲线积分I=

dx y AEB

⎰

3等于：（ ）

A) 0 B)dx y BE

⎰

32 C) dx y EB

⎰

32

D) dx y EA

⎰

32

三、 填空

1．γβαcos ,cos ,cos 是光滑闭曲面Σ的外法向量的方向余弦，又Σ所围的空间闭区域为Ω；设函数P(x,y,z),Q(x,y,z)和R(x,y,z)在Ω上具有二阶连续偏导数，则由高斯公式，有

ds y

P x Q x R z P z Q y R ]cos )(cos )(cos )[(

γβα∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂⎰⎰

∑

= 。 2．设L 是xoy 平面上沿顺时针方向绕行的简单闭曲线，且

⎰

-=++-L

dy y x dx y x 9)34()2(，则L 所围成的平面闭区域D 的面积等

于 。

3．设函数P(x,y,z,)在空间有界闭区域Ω上有连续的一阶偏导数，又Σ是Ω的光滑边界面的外侧，则由高斯公式，有

⎰⎰∑

=dydz z y x P ),,( 。

4．设Σ是球面2222a z y x =++的外侧，则积分

⎰⎰∑

=ydxdy 。

5．设L 是xoy 面上的圆周122=+y x 的顺时针方向，则I 1=⎰

L

ds x 3与I 2=

ds y L

⎰

5

的大小关系是 。

6．设力F ϖ

的模2

21||y x F +=

ϖ, F ϖ的方向与j x i y ϖϖϖ

+-=τ相同，则在力F ϖ的作用

下，质点沿曲线L:

12

22

2=+

b y a x 正向绕行一周，力F ϖ

所做的功可用曲线积分表示

为: 。 四、 计算

1． 计算曲线积分

⎰

+L

ds y x )(，其中L 为连结O(0,0),A(1,0),B(0,1) 的闭曲线

OABO. 2． 计算

⎰

-+-L

dy xy y dx xy x )2()2(22，其中L 由直线段AB 与BC 组成，路

径方向从点A(2,-1) 经点B(2,2)到点C(0,2).

3． 求 I=

dy m y e dx my y e x Ano

x )cos ()sin (-+-⎰

, 其中AnO 为由点A(a,0)到

点O(0,0) 上半圆周ax y x =+22. 4． 验证：当 022≠+y x 时，

2

2

2y

x

xdy ydx +-是某二元函数U(x,y) 的全微分，并求

U(x,y).

5． 计算

⎰⎰∑

xdydz ，Σ是球面2222

R z y x

=++在第一卦限部分的上侧。

6． 设在xoy 面内有一分布着质量的曲线弧L ，在点(x,y)处它的线密度为ρ(x,y)，

用对弧长的曲线积分分别表达：（1）这曲线弧对x 轴、对y 轴的转动惯量I x ,I y ； （2）这曲线弧的重心坐标。 7． 计算下列对弧长的曲线积分：

（1）

⎰

+L

n ds y x )(22，其中L 为圆周x=acost ,y=asint π20≤≤t ；

（2）⎰

+L

y x ds e

2

2，其中 L 为圆周222

a y x

=+，直线y=x 及 x 轴在第一

象限内所围成的扇形的整个边界；

（3）⎰

Γ

yzds x 2，其中Γ为折线ABCD ，这里A,B,C,D 依次为点(0,0,0) , (0,0,2) ,