曲线积分与曲面积分
曲线积分和曲面积分
曲线积分：在数学中，曲线积分是积分的一种。
积分函数的取值沿的不是区间，而是特定的曲线，称为积分路径。
曲线积分有很多种类，当积分路径为闭合曲线时，称为环路积分或围道积分。
曲线积分可分为：第一类曲线积分和第二类曲线积分。
分类：曲线积分分为：（1）对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）（2）对坐标轴的曲线积分（第二类曲线积分）两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别；对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds；例如：对L的曲线积分∫f(x,y)*ds 。
对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx或dy，例如：对L’的曲线积分∫P（x,y）dx+Q(x,y)dy。
但是对弧长的曲线积分由于有物理意义，通常说来都是正的，而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号。
曲面积分：定义在曲面上的函数或向量值函数关于该曲面的积分。
曲面积分一般分成第一型曲面积分和第二型曲面积分。
第一型曲面积分物理意义来源于对给定密度函数的空间曲面，计算该曲面的质量。
第二型曲面积分物理意义来源对于给定的空间曲面和流体的流速，计算单位时间流经曲面的总流量。
第一型曲面积分：定义在曲面上的函数关于该曲面的积分。
第一型曲线积分物理意义来源于对给定密度函数的空间曲面，计算该曲面的质量。
第二型曲面积分：第二型曲面积分是关于在坐标面投影的曲面积分，其物理背景是流量的计算问题。
第二型曲线积分与积分路径有关，第二型曲面积分同样依赖于曲面的取向，第二型曲面积分与曲面的侧有关，如果改变曲面的侧(即法向量从指向某一侧改变为指另一侧)，显然曲面积分要改变符号，注意在上述记号中未指明哪侧，必须另外指出，第二型曲面积分有类似于第二型曲线积分的一些性质。
曲线积分与曲面积分的计算
第21章 曲线积分和曲面积分的计算 教学目的： 教学重点和难点：§1 第一类曲线积分的计算设函数(),,f x y z 在滑腻曲线l 上有概念且持续，l 的方程为()()()()0x x t y y t t t T z z t =⎧⎪=≤≤⎨⎪=⎩则()()()(),,,,Tlt f x y z ds f x t y t z t =⎡⎣⎰⎰。
特别地，若是曲线l 为一条滑腻的平面曲线，它的方程为()y x ϕ=，()a x b≤≤，那么有((,) , ()blaf x y ds f x x ϕ=⎰⎰。
例：设l 是半圆周t a y t a x sin , cos ==, π≤≤t 0。
求22()l x y ds +⎰。
例：设l 是曲线x y 42=上从点) 0 , 0 (O 到点) 2 , 1 (A 的一段，计算第一类曲线积分lyds ⎰。
例：计算积分2lx ds ⎰，其中l 是球面2222a z y x =++被平面0=++z y x 截得的圆周。
例：求()lI x y ds =+⎰，此处l 为连接三点()0,0O ，()1,0A ，()1,1B 的直线段。
§2 第一类曲面积分的计算一 曲面的面积（1）设有一曲面块S ，它的方程为 (),z f x y =。
(),f x y 具有对x 和y 的持续偏导数，即此曲面是滑腻的，且其在XY 平面上的投影xy σ为可求面积的。
则该曲面块的面积为xyS σ=。
（2）若曲面的方程为 ()()(),,,x x u v y y u v z z u v =⎧⎪=⎨⎪=⎩, 令222u u u E x y z =++，u v u v u v F x x y y z z =++，222v v v G x y z =++，则该曲面块的面积为S ∑=。
例：求球面2222x y z a ++=含在柱面()220x y ax a +=>内部的面积。
例：求球面2222x y z a ++=含在柱面()220x y ax a +=>内部的面积。
高等数学第十章曲线积分与曲面积分(考研辅导班内部资料)
第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分一 基本概念定义1 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分） （1）平面曲线()L AB 的积分：()()01(,)d lim(,)nkkkL AB T k f x y s f sλξη→==∆∑⎰（2）空间曲线()L AB 的积分：()()01(,,)d lim(,,)nkkkk L AB T k f x y z s f s λξηζ→==∆∑⎰其中()T λ表示分割曲线()L AB 的分法T 的细度，即n 段曲线弧长的最大值，(,)k k ξη或(,,)k k k ξηζ是第k 段弧上的任意一点。
物理意义：第一类曲线积分表示物质曲线L 的质量，其中被积函数(,)f x y 或(,,)f x y z 表示曲线的线密度。
定义2 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分） （1）平面曲线()L AB 的积分：()()01(,)d (,)d lim[(,)(,)]nkkkk k k L AB T k P x y x Q x y y f xf y λξηξη→=+=∆+∆∑⎰（2）空间曲线()L AB 的积分：()(,,)d (,,)d (,,)d L AB P x y z x Q x y z y R x y z z ++⎰()01lim[(,,)(,,)(,,)]nkkkk k k k k k k k k T k f x f y f z λξηζξηζξηζ→==∆+∆+∆∑其中()T λ表示分割曲线()L AB 的分法T 的细度，即n 段的最大弧长，(,)k k ξη是第k 段弧上的任意一点。
物理意义：第二类曲线积分表示变力F 沿曲线L 所作的功，被积函数(,),(,)P x y Q x y 或(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z 表示力F 在各坐标轴上的分量。
二 基本结论定理1 （第一类曲线积分的性质） （1）无向性()()(,)d (,)d L AB L BA f x y s f x y s =⎰⎰．（2）线性性质 (1)(,)d (,)d LLk f x y s k f x y s =⎰⎰；(2)[(,)(,)]d (,)d (,)d LLLf x yg x y s f x y s g x y s ±=±⎰⎰⎰．（3）路径可加性 曲线L 分成两段1L 和2L （不重叠），则12(,)d (,)d (,)d LL L f x y s f x y s f x y s =+⎰⎰⎰．（4）弧长公式d Ls L =⎰(L 表示曲线L 的弧长)．（5）恒等变换 积函数可用积分曲线方程作变换． （6）奇偶性与对称性 如果积分弧段()L AB 关于y 轴对称，()(,)d L AB f x y s ⎰存在，则()()0,(,)(,)d 2(,)d (,)L AB L OB f x y x f x y s f x y s f x y x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰关于是奇函数,，关于是偶函数.其中O 点是曲线弧段()L AB 与y 轴的交点．定理2 （第二类曲线积分的性质） （1）有向性()()(,)d (,)d L AB L BA P x y x P x y x =-⎰⎰．（2）线性性质 (1)(,)d (,)d LLkf x y x k f x y x =⎰⎰；(2) [(,)(,)]d (,)d (,)d L L Lf x yg x y x f x y x g x y x ±=±⎰⎰⎰．（3）路径可加性 曲线L 分成两段1L 和2L （不重叠），则12(,)d (,)d (,)d LL L f x y x f x y x f x y x =+⎰⎰⎰．定理3 （第一类曲线积分与第二类曲线积分的关系）()()d d d d d d d d d d L AB L AB xy z P x Q y R z P Q R s ss s ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭⎰⎰()(cos cos cos )d L AB P Q R s αβγ=++⎰()d L AB =⋅⎰F s其中cos ,cos ,cos αβγ是曲线AB 上的点的切线的方向余弦，且d cos d ,d cos d ,d cos d x s y s z s αβγ===一般地，积分曲线的方向余弦是变量。
曲线积分和曲面积分的物理意义
曲线积分和曲面积分的物理意义摘要：1.曲线积分概述2.曲面积分的物理意义3.曲线积分与曲面积分的联系与区别4.实际应用案例分析正文：一、曲线积分概述曲线积分是一种数学工具，用于计算曲线上的物理量，如力、速度、能量等。
它在物理学、工程学等领域具有广泛的应用。
曲线积分的基本思想是将曲线划分为无数小段，计算每小段上的物理量与长度的乘积之和。
根据积分路径的不同，曲线积分可分为线积分和面积分。
二、曲面积分的物理意义曲面积分是对曲面上物理量的积分，其基本思想是将曲面划分为无数小面，计算每个小面上的物理量与面积的乘积之和。
曲面积分可分为两类：法向量积分和切向量积分。
法向量积分用于计算曲面上某一点的垂直方向物理量，如压力、温度等；切向量积分用于计算曲面上某一点的切线方向物理量，如速度、力等。
曲面积分在物理学、工程学等领域具有重要的物理意义。
三、曲线积分与曲面积分的联系与区别曲线积分与曲面积分都是对物理量沿路径或曲面的积分。
它们的联系在于都是通过对路径或曲面进行划分，计算各小段或小面上物理量与长度或面积的乘积之和。
然而，它们也有明显的区别。
曲线积分主要针对曲线路径，关注沿路径的变化；而曲面积分针对曲面，关注的是曲面上各点的物理量。
此外，曲线积分可分为线积分和面积分，而曲面积分可分为法向量积分和切向量积分。
四、实际应用案例分析1.电磁学：在电磁学中，曲线积分广泛应用于计算电场线、磁感线等。
通过计算曲线上某一点的电场强度或磁场强度与弧长的乘积之和，可以得到电场线或磁感线的分布情况。
2.流体力学：在流体力学中，曲面积分可用于计算流体沿曲面的速度分布。
通过计算曲面上各点的速度与面积的乘积之和，可以得到流体的速度分布情况，进而分析流体的运动规律。
3.热传导：在热传导问题中，曲线积分可以用于计算温度沿曲线的分布。
通过计算曲线上某一点的温度与弧长的乘积之和，可以得到温度的分布情况，进而分析热传导过程。
总之，曲线积分和曲面积分在物理学、工程学等领域具有重要的应用价值。
曲线积分曲面积分公式
曲线积分曲面积分公式曲线积分和曲面积分是微积分学中重要的概念和计算方法，它们在物理学、工程学、计算机图形学等领域中有广泛的应用。
本文将详细介绍曲线积分和曲面积分的概念、计算方法以及它们的应用。
一、曲线积分1. 概念曲线积分是沿着曲线路径的函数值在该路径上的积分，它可以用来计算曲线上的物理量或计算路径上的某个量的总和。
一条曲线通常可以用参数方程表示，即根据一个或多个参数的变化来描述曲线上的点的坐标。
2. 计算方法曲线积分可以分为第一类曲线积分和第二类曲线积分两种。
第一类曲线积分是对曲线上的函数施加一个标量面积进行积分，计算公式为：∫f(x,y,z) ds其中，f(x,y,z)是曲线上的函数，s是弧长。
第二类曲线积分是对曲线上的矢量场进行积分，计算公式为：∫F·dr 或∫F ds其中，F是曲线上的矢量场，dr是位移矢量，ds是弧长。
3. 应用曲线积分在物理学中有广泛的应用，例如计算电场沿着路径上的功、磁场沿着闭合路径上的环流等。
它还可以用来计算空间曲线上的质心、质量等。
在工程学中，曲线积分可以用来计算管道的流量、线段上的力等。
二、曲面积分1. 概念曲面积分是对曲面上的函数的某个量在整个曲面上的积分，它可以用来计算曲面上的物理量或计算函数在曲面上的平均值。
一般情况下，曲面可以用参数方程表示，即根据两个参数的变化来描述曲面上的点的坐标。
2. 计算方法曲面积分可以分为第一类曲面积分和第二类曲面积分两种。
第一类曲面积分是对曲面上的函数施加一个标量面积进行积分，计算公式为：∬f(x,y,z) dS其中，f(x,y,z)是曲面上的函数，dS是面积元。
第二类曲面积分是对曲面上的矢量场进行积分，计算公式为：∬F·dS 或∬F dS其中，F是曲面上的矢量场，dS是面积元。
3. 应用曲面积分在物理学中有广泛的应用，例如计算电场通过曲面的电通量、磁场通过闭合曲面的磁通量等。
它还可以用来计算物体的总质量、质心等物理量。
曲线积分和曲面积分
第八章 曲线积分和曲面积分我们前面已学过定积分和重积分，当一个函数定义在空间的曲线或曲面时，则要求我们计算曲线积分或曲面积分。
由于物理背景的不同，我们还须区别曲线或曲面的方向性，因此我们要分别研究两种不同类型的积分。
§1 第一型曲线积分与曲面积分１． 第一型曲线积分我们研究如下的一个理想问题，给定空间的一条曲线物体L ，L 上每点有线密度，现在我们要求它的质量。
我们对此问题作如下限制，设L 是空间的可求长曲线，端点为A 和B ，密度函数(,,)f x y z 在L 上定义。
为了求质量，象定积分一样，我们对L 作一分割，01,,,,(,1,2,,,)n j A A A A B A j n L ===L L 在上，这样我们就将L 分成n 小段，设每段的长度为j s V 。
在每段弧长上任取一点ξηςｊｊｊ（，，），作和式,1(,)nj jj j j f s ξης=∑V以此作为L 质量的近似值。
最后我们令1max{}0j j ns λ≤≤=→V ，即可得到L 质量的精确值M ，即,01lim (,)nj j j j j M f s λξης→==∑V由此我们可得到以下定义 定义设L 是空间可求长曲线，(,,)f x y z 在L 上连续，L 的两个端点为A,B ，依次用分点01,,,n A A A A B ==L 将L 分成n 小段。
每小段弧及弧长均记为j s V ，在j s V 上任取一点(,,)j j j j P ξης=，作和式,1(,)nj jj j j f s ξης=∑V如果当1max{}0j j ns λ≤≤=→V 时，上述和式的极限存在，且不依赖于L 的分法及j P 的选取，则称这一极限值为(,,)f x y z 。
在L 上的第一型曲线积分，记作(,,)Lf x y z ds ∫。
第一型曲线积分也有类似于定积分的一些性质，如关于被积函数的线性及关于曲线的可加性，它与定积分的一个差别是第一型曲线积分与曲线的方向无关。
曲线积分与曲面积分的概念与计算
曲线积分与曲面积分的概念与计算在数学中，曲线积分和曲面积分是两个重要的概念，用于描述曲线和曲面上的各种物理量的计算。
本文将详细介绍这两个概念的定义以及计算方法。
1. 曲线积分的概念与计算曲线积分用于计算曲线上的矢量场或标量场沿曲线的积分值，常用于求解沿路径的功、电磁感应等问题。
曲线积分可以分为第一类和第二类，下面将分别介绍。
1.1 第一类曲线积分第一类曲线积分可以用于计算矢量场沿曲线的积分值，其计算公式如下：∮C F·ds其中，C表示曲线，F表示矢量场，ds表示曲线C上的一小段投影长度，F·ds表示矢量场F与ds的点积。
要计算第一类曲线积分，首先需要确定曲线C的参数方程，并对其进行参数化。
然后，将参数方程代入上述公式，并对参数范围进行积分即可得到结果。
1.2 第二类曲线积分第二类曲线积分用于计算标量场沿曲线的积分值，其计算公式如下：∮C f ds其中，C表示曲线，f表示标量场，ds表示曲线C上的一小段投影长度。
要计算第二类曲线积分，同样需要确定曲线C的参数方程，并对其进行参数化。
然后，将参数方程代入上述公式，并对参数范围进行积分即可得到结果。
2. 曲面积分的概念与计算曲面积分用于计算曲面上的矢量场或标量场通过曲面的通量或质量的计算。
曲面积分同样可以分为第一类和第二类，下面将一一介绍。
2.1 第一类曲面积分第一类曲面积分用于计算矢量场通过曲面的通量，其计算公式如下：∬S F·dS其中，S表示曲面，F表示矢量场，dS表示曲面S上的一小块面积，F·dS表示矢量场F与dS的点积。
要计算第一类曲面积分，首先需要确定曲面S的参数方程，并对其进行参数化。
然后，将参数方程代入上述公式，并对参数范围进行积分即可得到结果。
2.2 第二类曲面积分第二类曲面积分用于计算标量场通过曲面的质量，其计算公式如下：∬S f dS其中，S表示曲面，f表示标量场，dS表示曲面S上的一小块面积。
微积分中的曲线积分和曲面积分
微积分中的曲线积分和曲面积分微积分作为数学的一个分支，涉及到许多非常重要的概念和工具。
其中，曲线积分和曲面积分是微积分中引人注目的两个概念。
在本文中，我们将简要介绍这两个概念以及它们的应用。
曲线积分曲线积分主要用于计算沿着曲线的函数的积分。
它既可以利用直线路径计算，也可以利用曲线路径计算。
曲线积分的计算方法有许多，但其中最常见的是参数化方法和向量场方法。
在参数化方法中，我们将曲线表示为一个参数方程形式，如r(t) = (x(t), y(t), z(t))。
然后，我们在曲线上选择一组点，将每个点的函数值与曲线的曲率相乘，再将所有值相加，从而得到曲线积分的值。
另一种方法是向量场方法。
此时，我们将曲线表示为向量场的形式，如F(x, y, z) = (<M(x, y, z)>, <N(x, y, z)>, <P(x, y, z)>)。
然后，我们需要在曲线上选择一个方向，以保证对称性。
然后，我们将并将它们相加。
曲线积分在物理学中也有广泛的应用。
例如，它可以用于计算沿着曲线的电场强度、磁场强度和压强等物理量。
它也可以用于计算沿着曲线的质点的力和工作。
曲面积分曲面积分是用于计算沿着曲面的函数的积分。
它既可以利用平面路径计算，也可以利用曲面路径计算。
曲面积分的计算方法有许多，但其中最常见的是参数化曲面和向量场。
在参数化曲面中，我们将曲面表示为一个参数方程形式，如r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))。
然后，我们在曲面上选择一个区域，并计算每个小面元的积分，并将它们相加。
另一种方法是向量场方法。
此时，我们将曲面表示为向量场的形式，如F(x, y, z) = (<M(x, y, z)>, <N(x, y, z)>, <P(x, y, z)>)。
然后，我们需要在曲面上选择一个方向，以保证对称性。
然后，我们将并将它们相加。
曲线积分与曲面积分
曲线积分与曲面积分曲线积分和曲面积分是微积分中两个重要的概念。
曲线积分是对曲线上的函数进行积分运算，而曲面积分是对曲面上的函数进行积分运算。
本文将详细介绍曲线积分和曲面积分的概念、计算方法以及应用。
一、曲线积分曲线积分是对曲线上的函数进行积分运算。
通常将曲线积分分为第一类曲线积分和第二类曲线积分。
1. 第一类曲线积分第一类曲线积分用于计算曲线上的标量场函数。
对于参数化曲线C：r(t)=(x(t), y(t), z(t))，其中a≤t≤b，函数f(x,y,z)在C上可微分，则第一类曲线积分的计算公式为：∫_[C]f(x,y,z)ds=∫_a^bf(x(t),y(t),z(t))∥r'(t)∥dt其中，ds表示曲线上的微元弧长，∥r'(t)∥表示曲线C的切向量的长度。
2. 第二类曲线积分第二类曲线积分用于计算曲线上的矢量场函数。
对于参数化曲线C：r(t)=(x(t), y(t), z(t))，其中a≤t≤b，函数F(x,y,z)在C上连续，则第二类曲线积分的计算公式为：∫_[C]F(x,y,z)·dr=∫_a^bF(x(t),y(t),z(t))·r'(t)dt其中，·表示矢量的点乘运算，dr表示曲线上的微元矢量。
二、曲面积分曲面积分是对曲面上的函数进行积分运算。
同样，曲面积分也分为第一类曲面积分和第二类曲面积分。
1. 第一类曲面积分第一类曲面积分用于计算曲面上的标量场函数。
对于参数化曲面S：r(u,v)=(x(u,v), y(u,v), z(u,v))，其中(u,v)属于区域D，函数f(x,y,z)在S上可微分，则第一类曲面积分的计算公式为：∬_[S]f(x,y,z)dS=∬_Df(x(u,v),y(u,v),z(u,v))∥r_u×r_v∥dudv其中，dS表示曲面上的微元面积，r_u和r_v表示曲面S的参数方程关于u和v的偏导数，r_u×r_v表示两个偏导数的叉乘，∥r_u×r_v∥表示其长度。
曲线积分与曲面积分总结
曲线积分与曲面积分总结standalone； self-contained； independent； self-governed；autocephalous； indie； absolute； unattached； substantive第十一章：曲线积分与曲面积分一、对弧长的曲线积分 ⎰⎰+=LLy d x d y x f ds y x f 22),(),(若 ⎩⎨⎧==)()(:t y y t x x L βα≤≤t则 原式=dt t y t x t y t x f ⎰'+'βα)()())(),((22对弧长的曲线积分 (,,)((),(),(LLf x y z ds f x t y t z t =⎰⎰若 ():()()x x t L y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩βα≤≤t则 原式=((),(),(f x t y t z t βα⎰常见的参数方程为：特别的：22222.2xy LLLe ds e ds e ds e π+===⎰⎰⎰22=2(0)L x y y +≥为上半圆周二、对坐标的曲线积分 ⎰+L dy y x q dx y x p ),(),( 计算方法一： 若 ⎩⎨⎧==)()(:t y y t x x L 起点处α=t ，终点处β=t 则原式=dt t y t y t x q dt t x t y t x p )())(),(()())(),(('+'⎰βα对坐标的曲线积分 (,,)(,,)(,,)L P x y z dx Q x y z dy R x y z dz ++⎰():()()x x t L y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩起点处α=t ，终点处β=t 则原式=((),(),())()((),(),())()((),(),())()P x t y t z t x t dt Q x t y t z t y t dt R x t y t z t z t dt βα'''++⎰计算方法二：在计算曲线积分时，通过适当的添加线段或曲线，是之变成一个封闭曲线上的曲线积分与所添加线段或曲线上的曲线积分之差，从而对前者利用格林公式，后者利用参数方程。
十一章曲线积分与曲面积分
- -第十一章 曲线积分与曲面积分一 、内容提要（一）曲线积分1．第一类曲线积分（对弧长）(1)定义：设),(y x f 是光滑曲线L 上的有界函数，把L 分成n 段，设i 段的弧长为i s ∆（最长者记{}i s ∆=max λ），在其上任取一点),(i i ηξ，则),(y x f 在L 上的第一类（对弧长）曲线积分为 ∑⎰=>-∆=ni i i i Ls f ds y x f 1),(lim ),(ηξλ.(2) 几何意义与物理意义几何意义是柱面面积，该柱面以L 为准线、其母线平行于z 轴、介于平面0=z 和曲面),(y x f z =之间的部分（图10.1）. 物理意义是线密度为),(y x f 的物质曲线L 的质量. (3)计算方法 ： 即“定限、代入”两步法第一步（定限）：写出L 的方程及自变量的变化范围，用不等式表示，例如 βα≤≤t ，并且一定有βα<.第二步（代入）：计算出弧长的微分式ds .将L 的方程和ds 一并代人曲线积分公式，即转变为定积分.共有三种形式： 参数式 L ： ⎩⎨⎧≤≤==,),(),(βαψϕt t y t x ds t t ds 22))(())((ψϕ'+'=⎰⎰'+'=Ldt t t t t f ds y x f βαψϕψϕ22))(())(())(),((),(；直角坐标 把L ：)()(b x a x y ≤≤=ψ看做曲线参数表达式⎩⎨⎧==)(x y xx ψ可以得到如下公式：⎰⎰'+=Lb adx x x x f ds y x f 2))((1))(,(),(ψψ；极坐标 L ：,),(βθαθ≤≤=r r θθθd r r ds 22))(()('+=，⎰⎰'+=Ld r r r r f ds y x f βαθθθθθθθ22))(()()sin )(,cos )((),(.2．第二类曲线积分（对坐标）（1）定义 ： 设),(y x P 和),(y x Q 是有向光滑曲线L 上的有界函数，把L 分成n 段，设第i段的- -分点为),(i i i y x M ，在弧 ⋂-i i M M 1上任取一点),(i i ηξ，设1--=∆i i i x x x , 1--=∆i i i y y y ，则),(y x P 在L 上对坐标x 的曲线积分是⎰∑=>-∆=Lni i i i x P dx y x P 1),(lim ),(ηξλ；而),(y x Q 在L 上对坐标y 的曲线积分是⎰∑=>-∆=Lni iiiyQ dy y x Q 1),(lim ),(ηξλ；在应用上往往表现为两者的和：⎰⎰⎰+=+LLLdy y x Q dx y x P dyy x Q dx y x P ),(),(),(),(（记为）.（2）物理意义第二类曲线积分的物理意义是变力j y x Q i y x P F),(),(+=沿有向曲线L 移动所作的功，即⎰⋅=Lr d F W⎰+=L dy y x Q dx y x P ),(),(.其中 j dy i dx r d+= .由微分三角形知ds dy dx r d =+=22，向量r d在切线上.（4）计算方法直接计算 即“定向、代入”两步法. 第一步（定向）：写出L 的方程及自变量的变化范围，α和β分别对应L 的起点（下限）和终点（上限）.即变量“t 由α向β”积分.与第一类曲线积分不同，在这里可能出现βα>的情况.第二步（代入）：把L 的方程及dy dx ,代入被积分式中，即变为定积分，α和β分别是下限和上限.例如， （定向）L ：⎩⎨⎧==βαψϕ向由t t y t x ),(),(.（代入）⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(=⎰'+'βαψψϕϕψϕdt t t t Q t t t P )]())(),(()())(),((([.间接计算 主要使用两个重要定理.格林定理 设：① D 是由分段光滑曲线L 围成，L 的方向为正；② ),(y x P 和),(y x Q 在D 上具有一阶连续偏导数.则⎰⎰⎰=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=+L D dxdy y P x Q Qdy Pdx dxdy QP y x D⎰⎰∂∂∂∂. 注意 ： 如果D 是单连通域，则L 逆时针方向为正.如果D 是复连通域，则 L 的外周界逆时针方向为正，而内周界顺针方向为正.如果L 的方向为负，那么在使用格林时时一定要补加一个负号.与路径无关定理 设：① D 是单连通域，有向曲线L ∈D ；② ),(y x P 和),(y x Q 在D 中有- -连续的偏导数.则⎰+LQdy Pdx 与路径无关<=>yPx Q ∂∂=∂∂ 对于一个第二类曲线积分计算题，如果不宜直接计算或直接计算较繁，就需要计算yPx Q ∂∂∂∂和，依不同情况，或使用格林定理或改变积分路径.（5）曲线积分与全微分的关系设D 是单连通域；P 和Q 具有连续偏导数.则在D 中存在),(y x u 使yPx Q Qdy Pdx du ∂∂=∂∂⇔+= .其计算公式是 ⎰⎰⎰+=+=xx yy y x y x dy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P y x u 000),(),(),(),(),(0),(),(⎰⎰+=y y x x dx y x P dy y x Q 0),(),(0. 3．两类曲线积分之间的转换设曲线了L ：)(),(t y t x ψϕ==.在曲线上L 任一点的切向量是=t {)(),(t t ψϕ''}，容易求出单位切向量{}ααsin ,cos 0=t，由微分三角形知ααsin ,cos ds dy ds dx ==.将这两式代入第二类曲线积分中得⎰⎰+=+LLds Q P Qdy Pdx ]sin cos [αα如用向量表示，{}{}{}{}ds t ds ds dy dx r d y x r Q P A 0sin ,cos ,,,,, =====αα，于是ds t A r d A LL⎰⎰⋅=⋅0（此式在三维空间也正确）.4．常用计算技巧代人技巧 若计算⎰Lds y x f ,),(而L 的方程恰是a y x f =),(，则⎰⎰==LLal ads ds y x f ),(（l 是l 的长度）.注意： 这种代入技巧在两类曲线积分和两类曲面积分中都适用.但是绝不可以用在重积分上.例如，设D 是由222a y x =+围成的区域，则下面的“代入”是错误的：⎰⎰⎰=+DDdxdy a dxdy y x 222)( 错误的原因是在D 的内部222a y x <+.利用奇偶对称性 第一类曲线积分的奇偶对称性与二重积分类似.设L 关于y 轴对称，则- -⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=LL x y x f x y x f ds y x f 为偶函数，关于当为奇函数，关于当),(2),(,0),(1其中1L 是L 在y 轴右边的部分.若L 关于x 对称，则有结果类似. 第二类曲线积分的奇偶对称性与第一类曲线积分相反.设L 关于y 轴对称，（1L 是L 在y 轴右边的部分）则⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=LL x Q x Q dy y x Q 为偶函数。
高数：曲线积分与曲面积分总结
则有
Pdx Q dy
L
( x
D
)d x d y
其中 L 是 D 的取正向的边界 曲线,公式称为格林公式.
格林
积分与路径无关：
定理2 设D是平面单连通区域， ( x , y ), Q( x , y )及其 P 一阶偏导数在 内连续，则下述四个命 D 题等价：
(2)若投影域面积是零，则积分值是零。
注：“一投,二代,三定号”
z
2
O
n
y
1
x
若 是母线平行于 z 轴的柱面 , 则 Pdxdy 0 .
例如积分 I 1 : x
2 2
( x y 1 ) dxdy ,
y
2
1 , ( 0 z 1 );
: x y 1 , ( x 0 , y 0 , 0 z 1 ).
3 .如果 由 y y ( z , x ) 给出 , 则有
D yz
把曲面Σ向yoz面投影，得区域D yz
把曲面Σ向xoz面投影，得区域Dxz
Q( x , y , z )dzdx Q[ x , y( z , x ), z ]dzdx
Dzx
注意:(1)对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.
f [ x , y , z ( x , y )] 1 z x z y dxdy
2 2
R ( x , y , z ) dxdy
D xy
R [ x , y , z ( x , y )] dxdy
D xy
算 一投,二代,三换(与侧无关)一投,二代,三定号 (与侧有关)
曲线积分与曲面积分
曲线积分与曲面积分曲线积分和曲面积分是微积分中的重要概念，它们在物理、工程等领域中有着广泛的应用。
本文将详细介绍曲线积分和曲面积分的定义、计算方法以及应用。
一、曲线积分曲线积分是沿曲线上的各点对一个矢量场进行积分的操作。
它可以帮助我们计算曲线周围矢量场的某种性质，如流量、环量等。
曲线积分可以分为第一类曲线积分和第二类曲线积分。
1. 第一类曲线积分第一类曲线积分又称为曲线上的标量场积分，它的计算只涉及到被积函数。
设曲线C的参数方程为x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)，其中a≤t≤b。
对于曲线上每一点P(x,y,z)，记r(t)=x i + y j + z k为P的位置矢量，则第一类曲线积分的定义为：∫[f(x,y,z)]•ds=∫[f(x(t),y(t),z(t))•r'(t)]dt其中[f(x,y,z)]为被积函数，ds为曲线C上各点的弧长元素，r'(t)为曲线C在P点处的切向量。
2. 第二类曲线积分第二类曲线积分又称为曲线上的矢量场积分，计算是将矢量场与切向量进行点积。
设曲线C的参数方程为x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)，其中a≤t≤b。
对于曲线上每一点P(x,y,z)，记r(t)=x i + y j + z k为P的位置矢量，则第二类曲线积分的定义为：∫[F(x,y,z)]•dr=∫[F(x(t),y(t),z(t))•r'(t)]dt其中[F(x,y,z)]为矢量场，dr为曲线C上各点的位置矢量元素，即dr=r'(t)dt。
二、曲面积分曲面积分是在曲面上对一个矢量场或标量场进行积分的操作。
它可以帮助我们计算曲面上矢量场的通量、曲面的面积等。
曲面积分同样可以分为第一类曲面积分和第二类曲面积分。
1. 第一类曲面积分第一类曲面积分又称为曲面上的标量场积分，它的计算只涉及到被积函数。
设曲面S的参数方程为x=g(u,v)，y=h(u,v)，z=k(u,v)，其中D 为曲面S在(u,v)平面上的投影区域。
高等数学曲线积分和曲面积分总结
高等数学曲线积分和曲面积分总结
高等数学曲线积分和曲面积分是微积分领域中的重要概念,它们在实际应用中具有广泛的应用,例如在物理、工程、计算机科学等领域中都有重要的应用。
本文将对高等数学曲线积分和曲面积分的概念、计算方法和应用进行总结。
一、曲线积分的概念
曲线积分是指对一维曲线上的点的函数值求导的积分,也称为路径积分。
曲线积分的基本思想是通过对曲线上的点进行积分,得到曲线的面积或体积。
曲线积分的计算公式为:
∫Cf(x,y)dS = ∫∫∫Cf(x^TC(y), y^TC(z))dxdydz
其中,C是曲线,f(x,y)是曲线上的点值函数,T是曲线上的任意一点,S是曲线上的面积,z是曲线上的任意一点。
二、曲面积分的概念
曲面积分是指对三维曲面上的点的函数值求导的积分,也称为向量场积分。
曲面积分的基本思想是通过对曲面上的点进行积分,得到曲面的面积或体积。
曲面积分的计算公式为:
∫∫∫Sf(x,y,z)dsdV = ∫∫∫Sf(x^TS(y^TS(z)))dsdV
其中,S是曲面,f(x,y,z)是曲面上的点值函数,T是曲面上的任意一点,V是曲面上的任意体积,s是曲面上的任意法向量,dV是曲面上的任意体积法向量。
拓展:曲线积分和曲面积分在物理学中的应用
曲线积分和曲面积分在物理学中具有广泛的应用。
例如,在量子力学中,曲线积分被用来计算波函数的面积,而曲面积分被用来计算量子场论的场速可变的相对性原理。
在相对论中,曲线积分被用来计算相对论效应的积分,而曲面积分被用
来计算四维空间中的弯曲曲面。
曲线与曲面积分计算曲线积分与曲面积分的基本技巧
曲线与曲面积分计算曲线积分与曲面积分的基本技巧曲线与曲面积分：计算曲线积分与曲面积分的基本技巧曲线积分和曲面积分是微积分中重要的概念，应用广泛。
在本文中，我们将探讨曲线积分和曲面积分的基本技巧和计算方法。
在开始之前，我们先对曲线积分和曲面积分进行简要介绍。
1. 曲线积分曲线积分是对曲线上的某个向量场的积分，其计算方法有两种：第一类曲线积分和第二类曲线积分。
第一类曲线积分是对标量函数的积分，而第二类曲线积分是对向量函数的积分。
1.1 第一类曲线积分第一类曲线积分也称为沿曲线的线积分，其计算公式为：∫f(x, y, z) • dr = ∫f(x(t), y(t), z(t)) • r'(t) dt，其中f(x, y, z)为曲线上的函数，r(t)为曲线上的向量函数，r'(t)为r(t)的导数。
1.2 第二类曲线积分第二类曲线积分也称为曲线上的向量场的线积分，其计算公式为：∫F • dr = ∫F(x(t), y(t), z(t)) • r'(t) dt，其中F为曲线上的向量函数，r(t)为曲线上的向量函数，r'(t)为r(t)的导数。
2. 曲面积分曲面积分是对曲面上的某个标量函数或向量函数的积分，其计算方法也有两种：第一类曲面积分和第二类曲面积分。
第一类曲面积分是对标量函数的积分，而第二类曲面积分是对向量函数的积分。
2.1 第一类曲面积分第一类曲面积分也称为曲面上的标量场的曲面积分，其计算公式为：∬f(x, y, z) dS，其中f(x, y, z)为曲面上的函数，dS为曲面元素面积。
2.2 第二类曲面积分第二类曲面积分也称为曲面上的向量场的曲面积分，其计算公式为：∬F • dS = ∬F(x, y, z) • n dS，其中F为曲面上的向量函数，dS为曲面元素面积，n为曲面上某一点的法向量。
3. 计算曲线积分的基本技巧在计算曲线积分时，我们需要掌握以下基本技巧：3.1 参数化对于曲线上的向量函数，我们需要找到一个参数来表示该曲线，通常使用参数t来表示曲线上的点。
高等数学第十章《曲线积分与曲面积分》
第十章 曲线积分与曲面积分一．曲线积分的计算 （1）基本计算1.第一类：对弧长线积分的计算(,)Lf x y ds ⎰关键是用曲线L:(),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩()t αβ≤≤做变量替换（被积函数，积分变元，积分范围）(,)[(),(,()Lf x y ds f t t βαϕψαβ=<⎰⎰例 L 为圆周221,x y +=则22xy Le ds +=⎰2e π 参数方程，曲线代入解 cos :(02)sin x L y θθπθ=⎧≤≤⎨=⎩ds d θθ==22x y Leds +=⎰202ed e πθπ=⎰例 计算2⎰L x ds ，其中2222:(0)0⎧++=>⎨-=⎩x y z a L a x y . (8分)解 由于 22222222::00⎧⎧++=+=⇒⎨⎨-=-=⎩⎩x y z a x z a L L x y x y 所以L 的参数方程可表示为:(02)sin θθπθ⎧=⎪⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪=⎪⎩x L y t z a (3分)θθ==ds ad (2分) 故23222cos 22ππθθ==⎰⎰La a x ds ad(3分) 【例10.22】求⎰,式中L 为圆周22(0)x y ax a +=>解 L 的极坐标方程为:,(),cos 22L ds ad r a θθππθθθθ=⎧-≤≤==⎨=⎩则222cos 2a ad a ππθθ-=⋅=⎰⎰第二类：对坐标的线积分的计算 关键是用曲线L:(),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩(:)t αβ→做变量替换（被积函数，积分变元，积分范围）''(,)(,){[(),()]()[(),()]()}LP x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt βαϕψϕϕψψ+=+⎰⎰例 设L 为抛物线2y x =从点()0,0到()2,4一段弧，则()22Lx y dx -=⎰5615-注意微元，及参数方程的形式【例10.17】 求2L ydx xdy x +⎰，其中L 是曲线ln y x =上从点(1,0)到点(,1)e 的一段弧. 解 由ln y x =得1,ydx dy x e x==，故原式=1121002()|y y ydy e dy y e e +=+=⎰⎰⑵ 基本技巧① 利用对称性简化计算；对弧长的线积分，对称性同二重积分 例 计算3222(),Lx y ds L x y R 其中：++=⎰解：33()LLLx y ds xds y ds =+=0+⎰⎰⎰ 第一个L 关于y 对称，第二个L 关于x 对称【例10.15】 求yL xe ds ⎰，其中L 是由cos (0)sin x a ta y a t =⎧>⎨=⎩所表示的曲线上相应于233t ππ≤≤的一段弧.解 （法一）ds adt ==,故 原式=22sin sin 3333cos |0a ta ta t e adt aeππππ⋅⋅==⎰.（法二）容易看出积分弧段关于y 轴对称，而被积函数是关于变量x 的奇函数，故0y Lxe ds =⎰【例10.18】 求2()Lx y ds +⎰，其中L 为圆周222x y a +=.解 由对称性得0Lxyds =⎰，故22222()(2)()2LLLLx y ds x xy y ds x y ds xyds +=++=++⎰⎰⎰⎰2223022LLa ds a ds a a a ππ=+==⋅=⎰⎰对坐标的线积分，对称性为，当平面曲线L 是分段光滑的，关于x 对称，L 在上半平面与下半平面部分的走向相反时，若P 对y 为偶函数，则，0LPdx =⎰奇函数，则12LL Pdx Pdx =⎰⎰。
曲线积分与曲面积分
曲线积分与曲面积分曲线积分：曲线积分是一种对曲线上的向量值函数进行积分的方法。
以一维平面曲线为例，设该曲线为C，它求解的是一个向量场F沿着C的积分，因为曲线上每个点都有一个切向量，所以曲线积分可以看作是向量场F与曲线C的点乘积之和。
曲线积分在物理学和工程学领域中得到广泛应用，比如在力学中用于计算质点沿着路径所受的约束力，或者用于计算磁场强度在闭合电路上的流量。
它还可以用于计算平面或曲面上的各种力场沿着路径或曲线的做功。
曲线积分的表示方法有两种，一种是路径坐标表示，即将曲线看作是指定参数范围内的一条参数曲线，即可对F进行积分;另一种是向量积分，即将曲线分解为若干段直线，则曲线积分等于每一段弧长所得到的弧长积分之和。
曲面积分：曲面积分是一种针对曲面上的向量值函数进行积分的方法，它是高维向量积分的扩展。
类似于曲线积分，曲面积分也是一种多个向量态的点积之和。
常见的曲面有球体、圆柱体、圆锥体、平面等等。
对于任意曲面而言，曲面积分就是将向量场沿着曲面的法向量进行积分所得到的积分值。
曲面积分应用广泛，因为它可以用于计算各种物理场的流量，比如电场、磁场、重力场等等。
在计算物理场相互作用时，曲面积分也是不可或缺的数学工具之一。
曲面积分的表示方法有两种，一种是分片曲面表示，即将曲面分解为若干小块，再对每一个小块进行积分求和; 另一种是参数表示，即采用参数方程表示曲面，则曲面积分等于曲面上每一个参数块所得到的面积积分之和。
最后，曲线积分和曲面积分是数学里非常重要的概念，它们在物理领域中扮演着重要的角色，既可以用来理解物理现象，也可以用来解决实际问题。
学习曲线积分和曲面积分，对于深入了解物理学、数学等领域都非常重要。
曲线积分与曲面积分计算
曲线积分与曲面积分计算曲线积分和曲面积分是微积分中的重要概念，用于计算沿曲线的路径或曲面上的某个向量场的总体效应。
本文将介绍曲线积分和曲面积分的概念、计算方法以及应用领域。
一、曲线积分曲线积分是计算沿曲线的路径的某个向量场的总体效应的方法。
当我们想要计算曲线上的某个物理量时，曲线积分可以提供有效的工具。
下面以一个简单的例子来说明曲线积分的计算方法。
设有一条光滑曲线C，其参数方程为r(t)=(x(t), y(t), z(t))，其中a≤t≤b。
在曲线C上有一个向量场F=(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))，我们想要计算该向量场沿曲线C的积分。
曲线积分的计算方法为∫CF·dr，其中CF=(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))·(dx, dy, dz)。
由此可知，曲线积分等于向量场F与路径元素的内积，再对路径元素求累积。
在具体计算中，我们可以先求得路径元素dx, dy, dz，再分别与向量场F的各个分量进行乘法运算，最后求和即可得到曲线积分的结果。
二、曲面积分曲面积分是计算曲面上的某个向量场的总体效应的方法。
与曲线积分类似，曲面积分也可以用于计算物理量在曲面上的分布情况。
下面以一个简单的例子来说明曲面积分的计算方法。
设有一个光滑曲面S，其参数方程为r(u, v)=(x(u, v), y(u, v), z(u, v))，其中(a≤u≤b, c≤v≤d)。
在曲面S上有一个向量场F=(P(x, y, z), Q(x, y, z),R(x, y, z))，我们想要计算该向量场在曲面S上的积分。
曲面积分的计算方法为∬SF·dS，其中SF=(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))·(dSx, dSy, dSz)。
由此可知，曲面积分等于向量场F与曲面元素的内积，再对曲面元素求累积。
曲线积分与曲面积分
目录 1之前已经学过计算曲线长度的积分（1）对于y=y(x)（2）对于参数方程()()x x t y y t =⎧⎨=⎩（3）对于极坐标方程是()r r θ=，转成直角坐标()cos ()sin x r y r θθθθ== ，则'()'cos sin '()'sin cos x r r y r r θθθθθθ=-=+。
代入上面3个都是求弧长，现在求的是在弧长上对某个被积函数f(x,y)积分。
那么，如果把被积函数f(x,y)看成是密度，那么得到的就是曲线质量。
当然如果密度均匀为1，则求的弧长积分就是弧长。
如果把被积函数f(x,y)看成是高度z,那么得到的就是一个柱面表面积。
对弧长的曲线积分，称为“第一类曲线积分”。
扩展到空间，若被积函数是f(x,y,z)那么，就表示在空间曲线L 的密度，求得的结果就是空间的线质量。
定义：01(,)lim (,)niiii Lf x y ds f s λξη→==∆∑⎰ 计算步骤 1画出图形2写出L 的方程，指出自变量范围，确定积分上下限（下限必须小于上限） 3由L 类型写出对应ds 的表达式4因被积函数f(x,y)的点x ，y 在L 上变动，因此x ，y 必须满足L 的方程。
即把L 中的x ，y 代入被积函数f(x,y)中。
5写出曲线积分的定积分表达式，并计算。
注，二重积分中xy 在投影域D 内动，而被积函数的xy 在L 上动，故(x ，y)必须满足L 。
如，L 的方程y=k,则()LLf x ds kds ks ==⎰⎰（保留。
还不太懂）参数方程设曲线有参数方程()()x x t L y y t =⎧⎨=⎩，则有：显式方程 设曲线为L ：y=y(x) ，则有：设曲线为L ：x=x(y) ，则有： 极坐标方程 设曲线为:(),([,])L rr θθαβ=∈ 则有：空间曲线方程设曲线为空间曲线():()()x x t L y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩，则有： 设在L 上f(x,y)<=g(x,y)，则(,)(,)LLf x y dsg x y ds ≤⎰⎰，特别的，有(,)(,)LLf x y dsg x y ds ≤⎰⎰此性质不能用于第二类曲线积分（其实和二重积分一样，完全可以自己推导）质心坐标：LLx dsx dsρρ=⎰⎰ 、LLy dsy dsρρ=⎰⎰转动惯量：I=mr^2,因此有2(,)x LI y x y ds ρ=⎰设平面力场的力为(,)(,)(,)x y P x y Q x y =+F i j 求该力沿着曲线L 从a 到b 所做的功。
高中数学中的曲线积分与曲面积分计算
高中数学中的曲线积分与曲面积分计算数学作为一门基础学科，贯穿于我们的学习生涯中。
在高中数学中，曲线积分和曲面积分是比较复杂的概念和计算方法，但却是非常重要的一部分。
本文将深入探讨曲线积分和曲面积分的概念、计算方法以及应用。
一、曲线积分曲线积分是对沿曲线路径的函数进行积分的过程。
在高中数学中，我们通常会遇到两种类型的曲线积分：第一类和第二类曲线积分。
第一类曲线积分是对标量函数沿曲线的积分。
具体来说，设曲线C为参数方程x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)，其中a≤t≤b。
那么曲线积分的计算公式为：∫f(x,y,z)ds=∫f(f(t),g(t),h(t))√(dx/dt)²+(dy/dt)²+(dz/dt)²dt其中，ds表示曲线C上的微小弧长。
第二类曲线积分是对向量函数沿曲线的积分。
具体来说，设曲线C为参数方程x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)，其中a≤t≤b。
那么曲线积分的计算公式为：∫F(x,y,z)·dr=∫F(f(t),g(t),h(t))·(dx/dt,dy/dt,dz/dt)dt其中，F(x,y,z)为向量函数，dr=(dx,dy,dz)为曲线C上的微小位移向量。
二、曲面积分曲面积分是对曲面上的函数进行积分的过程。
在高中数学中，我们通常会遇到两种类型的曲面积分：第一类和第二类曲面积分。
第一类曲面积分是对标量函数沿曲面的积分。
具体来说，设曲面S为参数方程x=f(u,v)，y=g(u,v)，z=h(u,v)，其中(u,v)∈D。
那么曲面积分的计算公式为：∬f(x,y,z)dS=∬f(f(u,v),g(u,v),h(u,v))|n|dudv其中，dS表示曲面S上的微小面积，n为曲面S上的单位法向量，|n|为其模长。
第二类曲面积分是对向量函数沿曲面的积分。
具体来说，设曲面S为参数方程x=f(u,v)，y=g(u,v)，z=h(u,v)，其中(u,v)∈D。
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第十章 曲线积分与曲面积分一、 基本内容要求1． 理解线、面积分的概念，了解线、面积分的几何意义及物理意义，能用线、面积分表达一些几何量和物理量； 2． 掌握线、面积分的计算法；3． 知道两类曲线积分及两类曲面积分的联系；4． 掌握格林公式，并能将沿闭曲线正向的积分化为该曲线所围闭区域上的二重积分；5． 掌握曲线积分与路径无关的充要条件，并能求全微分为已知的某个原函数，注意此时所讨论问题单连通域的条件不可缺少；6． 掌握高斯公式，并能将闭曲面Σ外侧上的一个曲面积分化为由其所围空间闭区间Ω上的三重积分。
二、 选择 1．设OM 是从O （0，0）到点M （1，1）的直线段，则与曲线积分I=dseomy x ⎰+22不相等的积分是：（ ） A)dx ex212⎰B)dy e y2102⎰ C)dt e t ⎰2D)dr e r21⎰2．设L 是从点O(0,0)沿折线y=1-|x-1| 至点A(2,0) 的折线段，则曲线积分I=⎰+-Lxdy ydx 等于（ ）A)0 B)-1 C)2 D)-2 3．设L 为下半圆周)0(222≤=+y R y x ，将曲线积分I=ds y x L⎰+)2(化为定积分的正确结果是：（ ） A) dt t t R )sin 2(cos 02+⎰-πB) dt t t R )sin 2(cos 02+⎰πC)dt t t R )cos 2sin (02+-⎰-πD)dt t t R )cos 2sin (2322+-⎰ππ4．设L 是以A(-1,0) ,B(-3,2) ,C(3,0) 为顶点的三角形域的周界沿ABCA 方向， 则⎰-+-Ldy y x dx y x )2()3(等于：（ ）A) -8 B) 0 C) 8 D) 20 5．设AEB 是由点A(-1,0) 沿上半圆 21x y -=经点E(0,1)到点B(1,0)，则曲线积分I=dx y AEB⎰3等于：（ ）A) 0 B)dx y BE⎰32 C) dx y EB⎰32D) dx y EA⎰32三、 填空1．γβαcos ,cos ,cos 是光滑闭曲面Σ的外法向量的方向余弦，又Σ所围的空间闭区域为Ω；设函数P(x,y,z),Q(x,y,z)和R(x,y,z)在Ω上具有二阶连续偏导数，则由高斯公式，有ds yP x Q x R z P z Q y R ]cos )(cos )(cos )[(γβα∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂⎰⎰∑= 。
2．设L 是xoy 平面上沿顺时针方向绕行的简单闭曲线，且⎰-=++-Ldy y x dx y x 9)34()2(，则L 所围成的平面闭区域D 的面积等于 。
3．设函数P(x,y,z,)在空间有界闭区域Ω上有连续的一阶偏导数，又Σ是Ω的光滑边界面的外侧，则由高斯公式，有⎰⎰∑=dydz z y x P ),,( 。
4．设Σ是球面2222a z y x =++的外侧，则积分⎰⎰∑=ydxdy 。
5．设L 是xoy 面上的圆周122=+y x 的顺时针方向，则I 1=⎰Lds x 3与I 2=ds y L⎰5的大小关系是 。
6．设力F ϖ的模221||y x F +=ϖ, F ϖ的方向与j x i y ϖϖϖ+-=τ相同，则在力F ϖ的作用下，质点沿曲线L:12222=+b y a x 正向绕行一周，力F ϖ所做的功可用曲线积分表示为: 。
四、 计算1． 计算曲线积分⎰+Lds y x )(，其中L 为连结O(0,0),A(1,0),B(0,1) 的闭曲线OABO. 2． 计算⎰-+-Ldy xy y dx xy x )2()2(22，其中L 由直线段AB 与BC 组成，路径方向从点A(2,-1) 经点B(2,2)到点C(0,2).3． 求 I=dy m y e dx my y e x Anox )cos ()sin (-+-⎰, 其中AnO 为由点A(a,0)到点O(0,0) 上半圆周ax y x =+22. 4． 验证：当 022≠+y x 时，222yxxdy ydx +-是某二元函数U(x,y) 的全微分，并求U(x,y).5． 计算⎰⎰∑xdydz ，Σ是球面2222R z y x=++在第一卦限部分的上侧。
6． 设在xoy 面内有一分布着质量的曲线弧L ，在点(x,y)处它的线密度为ρ(x,y)，用对弧长的曲线积分分别表达：（1）这曲线弧对x 轴、对y 轴的转动惯量I x ,I y ； （2）这曲线弧的重心坐标。
7． 计算下列对弧长的曲线积分：（1）⎰+Ln ds y x )(22，其中L 为圆周x=acost ,y=asint π20≤≤t ；（2）⎰+Ly x ds e22，其中 L 为圆周222a y x=+，直线y=x 及 x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；（3）⎰Γyzds x 2，其中Γ为折线ABCD ，这里A,B,C,D 依次为点(0,0,0) , (0,0,2) ,(1,0,2) , (1,3,2) .8． 计算下列对坐标的曲线积分：（1）⎰Lxydx ，其中L 为圆周)0()(222>=+-a a y a x 及 x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界（按逆时针方向绕行）； （2）⎰+--+Ly x dyy x dx y x 22)()( ，其中 L 为圆周222a y x =+（按逆时针方向绕行）； （3）⎰Γ-+++dz y x ydy xdx )1(，其中Γ是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线。
9．利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积：圆ax y x 222=+. 10．证明下列曲线积分在整个xoy 面内与路径无关，并计算积分值：⎰-+-)4,3()2,1(2232)36()6(dy xy y x dx y xy11．利用格林公式，计算下列曲线积分：dy ye x x dx e y x xy x y x x Lx )2sin ()sin 2cos (222-+-+⎰, 其中L 为正向星形线 )0(323232>=+a ayx.12．验证下列 P(x,y)dx+Q(x,y)dy 在整个xoy 平面内是某一函数U(x,y)的全微分，并求这样的一个U(x,y) ： xdy y xdx y x 2cos 3cos 3cos 3sin sin 4- 13．计算下列对面积的曲面积分：（1）⎰⎰∑+--ds z x xxy )22(2，其中Σ为平面2x+2y+z=6在第一卦限中的部分；（2）⎰⎰∑++ds zx yz xy )(，其中Σ为锥面22y x z +=被柱面axy x 222=+所截得的有限部分。
14．求抛物面壳)(2122y x z +=(10≤≤z )的质量，此壳的面密度的大小为ρ=z. 15．计算下列对坐标的曲面积分：（1）⎰⎰∑++ydzdx xdydz zdxdy ，其中∑是柱面122=+y x被平面z=0及z=3所截得的在第一卦限内的部分的前侧；（2）⎰⎰∑++yzdzdx xydydz xzdxdy ，其中∑是平面x=0 ,y=0 ,z=0 ,x+y+z=1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧。
16．利用高斯公式计算曲面积分：⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x333, 其中∑为球面2222a z y x =++的外侧。
五、 证明已知f(u)连续，且L 为逐段光滑的简单封闭曲线，证明：⎰=++Lydy xdx y x f 0))((22六、 应用1．求均匀的锥面（设面密度为1）22y x ahz +=)0,0(>≤≤a h z 对ox 轴的转动惯量。
2．求矢量场k xy j xz i yz A ϖϖϖϖ++=穿过圆柱体h z a y x ≤≤≤+0,222的全表面的流量和侧表面的流量。
3．求均匀弧x=a(t-sint) ,y=a(1-cost) )20(π≤≤t 的重心坐标。
4．设z 轴与重力的方向一致，求质量为m 的质点从位置(111,,z y x )沿直线移动到 (222,,z y x )时重力所作的功。
5．设曲线L 的极坐标方程为)30(3sin πθθ≤≤=r ，其上任一点处的线密度等于该点处矢径的长度，求L 的质量。
6*．求半径为R 的均匀半圆周L （线密度为δ=1）对于位于圆心的单位质量的质点的引力。
7*．试用曲线积分求平面曲线L 1 ：10,2313≤≤+=x x x y 绕直线L 2 ：x y 34=旋转所成旋转曲面的面积。
七、 模拟1．试解下列各题：（1）设Ω是由光滑闭曲面Σ所围成的空间闭区域，其体积记为V ，则沿Σ外侧的积分⎰⎰∑-+-+-dzdy z x dxdz x y dxdy y z )()()(= 。
（2）L 是xoy 平面上具有质量的光滑曲线，其线密度为ρ(x,y)，则L 关于ox轴的转动惯量可用曲线积分表示为 。
（其中ρ(x,y )为连续函数）（3）L 是从A(1,6)沿xy=6至点B(3,2)的曲线段，则=+⎰+)(xdy ydx e Ly x 。
（4）力)()(22j x i y y x F m ρρρ-+=构成力场（y>0），若已知质点在此力场(y>0)内运动时场力所做的功与路径无关，则m= 。
2．试解下列各题：（1） 设L 是圆周)0(222>=+a a y x 负向一周，则曲线积分⎰=-+-Ldy y xy dx y x x )()(3223（ ）A) 42a π-B) 4a π- C) 4a π D)332a π （2）设L 是)11(1||2≤≤--=x x y 表示的围线的正向，则⎰++Lyxydy xdx 2222之值等于（ ）A) 0 B)2π C) - 2π D)4ln2 （3）设L 是从A(1,0) 到 B(-1,2)的线段，则曲线积分⎰+Lds y x )(= （ ）A)2 B) 22 C)2 D)0（4）L 是圆域D ：x y x 222-≤+的正向周界，则⎰-+-Ldy y x dx y x )()(33等于（ ）A) - 2π B) 0 C)π23D) 2π 3．已知曲线L 的极坐标方程为r=θ (20πθ≤≤)，L 上任一点处的线密度为211)(θθρ+=，试求该曲线段关于极轴的转动惯量。
4．验证：存在u(x,y)使 ),()2()2(2y x du dy y x e x dx y xe y y =-+++，并求u(x,y) .5．设AB 是连接点A(0,2)及点)0,23(B 的直线段，计算曲线积分⎰+ABds y x )(44.6．设Σ为球面1222=++z y x 的外侧，计算dxdy z dzdx y dydz x 333⎰⎰∑++.7． 计算⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz ，其中Σ是上半球面222y x a z --=的上侧。