三角函数知识点归纳

三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角函数１．任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角②按终边位置不同分为象限角和轴线角．角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限,则称α为第几象限角.第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z(2)终边与角α相同的角可写成α+k ·360°(ｋ∈Ｚ).终边与角α相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z (3)弧度制①1弧度的角:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ②弧度与角度的换算：３60°=2π弧度;18０°=π弧度．③半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lrα= ④若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ,弧长为l ,周长为C ，面积为S ,则l r α=,2C r l =+，21122S lr r α==.2.任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P (x ,y )，它与原点的距离为(r r =,那么角α的正弦、余弦、正切分别是:ｓin α=错误!，co ｓ α＝错误!,tan α=错误!.(三角函数值在各象限的符号规律概括为:一全正、二正弦、三正切、四余弦）３．特殊角的三角函数值Ａ.基础梳理1.同角三角函数的基本关系(1）平方关系：si ｎ２α+ｃｏs 2α=1;(在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号）(2)商数关系：＼ｆ（si ｎ α,ｃos α)＝ｔan α. (３）倒数关系：1cot tan =⋅αα 2.诱导公式公式一:si ｎ(α+2k π)＝sin α,c ｏｓ（α+2k π)＝ｃｏs_α,απαtan )2tan(=+k 其中ｋ∈Z ． 公式二:sin(π+α）＝-si ｎ＿α,ｃos (π+α)=-cos_α，tan(π+α)=ｔan α.公式三：s ｉｎ(π-α)=s ｉｎ α，cos(π-α）=－ｃｏｓ_α,()tan tan παα-=-. 公式四:si ｎ(-α)=－ｓin_α，ｃos （－α)＝ｃos_α，()tan tan αα-=-. 公式五：sin 错误!＝c ｏｓ_α,cos 错误!=sin α. 公式六：ｓi ｎ错误!＝cos_α,ｃos 错误!=-sin_α.诱导公式可概括为k ·错误!±α的各三角函数值的化简公式.口诀：奇变偶不变，符号看象限.其中的奇、偶是指错误!的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化.若是奇数倍，则函数名称要变(正弦变余弦,余弦变正弦);若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指:把α看成锐角．．．．时,根据k ·错误!±α在哪个象限判断原．三角．．函数值的符号,最后作为结果符号.B.方法与要点 一个口诀1、诱导公式的记忆口诀为:奇变偶不变，符号看象限． ２、四种方法在求值与化简时,常用方法有:(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝错误!化成正、余弦．（２)和积转换法：利用（si ｎ θ±cos θ）２＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化． (ααcos sin +、ααcos sin -、ααcos sin 三个式子知一可求二） (3)巧用“1”的变换：1＝ｓi ｎ2θ＋ｃos 2θ= s ｉn2π＝tan 错误!（４)齐次式化切法：已知k =αtan ,则nmk bak n m b a n m b a ++=++=++ααααααtan tan cos sin cos sin 三、三角函数的图像与性质学习目标:1会求三角函数的定义域、值域2会求三角函数的周期 ：定义法,公式法,图像法（如x y sin =与x y cos =的周期是π)。

3会判断三角函数奇偶性 4会求三角函数单调区间5知道三角函数图像的对称中心,对称轴6 知道sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+,tan()y A x ωϕ=+的简单性质 （一） 知识要点梳理1、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数sin y x =和余弦函数cos y x =图象的作图方法:五点法：先取横坐标分别为0，3,,,222ππππ的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来,就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。

２、正弦函数sin ()y x x R =∈、余弦函数cos ()y x x R =∈的性质: （1）定义域：都是R 。

(2）值域：都是[]1,1-,对sin y x =,当()22x k k Z ππ=+∈时，y 取最大值１;当()322x k k Z ππ=+∈时，y 取最小值-1;对cos y x =,当()2x k k Z π=∈时,y 取最大值1,当()2x k k Z ππ=+∈时，y 取最小值－1。

(3）周期性:sin y x =，cos y x =的最小正周期都是2π；(4)奇偶性与对称性：①正弦函数sin ()y x x R =∈是奇函数,对称中心是()(),0k k Z π∈，对称轴是直线()2x k k Z ππ=+∈；②余弦函数cos ()y x x R =∈是偶函数，对称中心是(),02k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，对称轴是直线()x k k Z π=∈；（正（余）弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线,对称中心为图象与x 轴的交点)。

（５)单调性：()sin 2,222y x k k k Z ππππ⎡⎤=-++∈⎢⎥⎣⎦在上单调递增,在()32,222k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦单调递减;cos y x =在[]()2,2k k k Z πππ-+∈上单调递增,在[]()2,2k k k Z πππ+∈上单调递减。

特别提醒,别忘了k Z ∈!3、正切函数tan y x =的图象和性质: （1）定义域：{|,}2x x k k Z ππ≠+∈。

(2）值域是R ，无最大值也无最小值； (３）奇偶性与对称性：是奇函数,对称中心是,02k π⎛⎫⎪⎝⎭()k Z ∈,特别提醒:正(余)切型函数的对称中心有两类:一类是图象与x 轴的交点，另一类是渐近线与x 轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。

(4)单调性：正切函数在开区间(),22k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭内都是增函数。

但要注意在整个定义域上不具有单调性。

4sin y x = cos y x =tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=- ()k ∈Z 时,min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时,max 1y =;当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性2π 2π π 奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数；在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数;在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称轴()2x k k ππ=+∈Z对称中心(),02k k ππ⎛⎫+∈Z ⎪⎝⎭对称轴()x k k π=∈Z对称中心(),02k k π⎛⎫∈Z ⎪⎝⎭无对称轴5、研究函数sin()y A x ωϕ=+性质的方法：类比于研究sin y x =的性质，只需将sin()y A x ωϕ=+中的x ωϕ+看函数性质成sin y x =中的x 。

函数y ＝Asi ｎ（ωx +ϕ)（A ＞0，ω＞０)的性质。

(1)定义域：Ｒ（2)值域：[－Ａ, Ａ］ （3）周期性:2||T πω=①()sin()f x A x ωϕ=+和()cos()f x A x ωϕ=+的最小正周期都是2||T πω=。

②()tan()f x A x ωϕ=+的最小正周期都是||T πω=。

（４)单调性:函数ｙ=A ｓin(ωx +ϕ）(A ＞0,ω＞0）的单调增区间可由2ｋπ-2π≤ωx +ϕ≤2k π+2π，k ∈z 解得; 单调减区间可由2k π＋2π≤ωx +ϕ≤2k π+32π，k ∈z 解得。

在求sin()y A x ωϕ=+的单调区间时，要特别注意A 和ω的符号，通过诱导公式先将ω化正。

如函数23y sin(x )π=-+的递减区间是＿＿＿___（答:解析：y=,所以求y 的递减区间即是求的递增区间,由得,所以y 的递减区间是四、函数()sin y A x =ω+ϕ的图像和三角函数模型的简单应用一、知识要点1、 几个物理量： ①振幅:A ;②周期:2πωT =;③频率：12f ωπ==T ;④相位：x ωϕ+；⑤初相:ϕ. 2、 函数sin()y A x ωϕ=+表达式的确定：A 由最值确定；ω由周期确定;ϕ由图象上的特殊点确定.函数()sin y x ωϕ=A ++B ，当1x x =时,取得最小值为miny ；当2x x =时，取得最大值为maxy ,则()max min 12y y A =-,()max min 12y y B =+,()21122x x x x T=-<.3、函数sin()y A x ωϕ=+图象的画法：①“五点法”――设X x ωϕ=+，令X ＝0，3,,,222ππππ求出相应的x 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象;②图象变换法：这是作函数简图常用方法。

4、函数y =sin x 的图象经变换可得到()sin y A x =ω+ϕ()0＞ω的图象纵坐标伸（缩）A 倍 sin y x ω=(sin x φ=+A y sin =y=sinxx A y ωsin =()ϕ+=x A y sin 横坐标 伸（缩）ω1倍 ()sin y A x ωϕ=+ (ω=x y sin A y sin =(ω=x y sin (sin y A x =+5、函数sin()y A x b ωϕ=++的图象与sin y x =图象间的关系：①函数sin y x =的图象向左(ϕ>0)或向右（ϕ<0）平移||ϕ个单位得()sin y x ϕ=+的图象；②函数()sin y x ϕ=+图象的纵坐标不变,横坐标变为原来的1ω，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象;③函数()sin y x ωϕ=+图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的Ａ倍,得到函数sin()y A x ωϕ=+的图象；④函数sin()y A x ωϕ=+图象向上（0b >）或向下(0b <)平移||b 个单位，得到()sin y A x b ωϕ=++的图象。