不定积分换元法
不定积分的换元积分法
csc xdx ln csc x cot x C ．
21
应用第一类换元法的常见的积分类型如下：
1.
2. x
1 f (ax b)dx f (ax b)d(ax b) ； a
n 1
f (axn b)dx
1 f (axn b)d(axn b) ； na
这类求不定积分的方法，称为第二换元 法．
32
例11 解
dx 求 1 3 - x ．
设 t 3 x，则 x 3 t 2 ， dx 2tdt ．
dx 2t dt 2 1 t 1 dt 1 t 1 t 1 3 x 1 2 (1 )dt 1 t
8
例1 解 所以
求 sin 2 xdx ．
1 设 t 2 x ，则 dt 2dx ，即 dx dt ． 2
1 1 sin 2 xdx sin tdt cos t C ， 2 2
再将 t 2 x 代入，得
1 sin 2 xdx cos 2 x C ． 2
2
x 1 (9) cos xdx sin 2 x C 2 4
28
1 1 C (10) dx 2 2(2 x 3) (2 x 3)
(11)
x 1 ( x 2 2 x 3)
2 1 4
2 2 dx ( x 2 x 3) C 3
3 2 2
3 4
于是
利用复合函数求导公式，可以验证(4.3.1) 的正确性．
3
实际上，由 d F ( ( x)) C F ( x) ( x) dx f ( x) ( x) ， 可知公式(4.3.1)成立．利用公式(4.3.1)来计 算不定积分，就是第一换元法，亦称为凑微分 法．
不定积分第一类换元法
不定积分第一类换元法（凑微分法）一、 方法简介设)(x f 具有原函数)(u F ，即)()('u f u F =，C u F du u f +=⎰)()(，如果U 是中间变量，)(x u ϕ=，且设)(x ϕ可微，那么根据复合函数微分法，有dx x x f x dF )(')]([)]([ϕϕϕ=从而根据不定积分的定义得)(])([)]([)(')]([x u du u f C x F dx x x f ϕϕϕϕ=⎰⎰=+=.则有定理：设)(u f 具有原函数，)(x u ϕ=可导，则有换元公式)(])([)(')]([x u du u f dx x x f ϕϕϕ=⎰⎰=由此定理可见，虽然⎰dx x x f )(')]([ϕϕ是一个整体的记号，但如用导数记号dxdy 中的dx 及dy 可看作微分，被积表达式中的dx 也可当做变量x 的微分来对待，从而微分等式du dx x =)('ϕ可以方便地应用到被积表达式中。
几大类常见的凑微分形式：○1⎰⎰++=+)()(1)(b ax d b ax f adx b ax f )0(≠a ； ○2⎰⎰=x d x f xdx x f sin )(sin cos )(sin ，⎰⎰-=x d x f xdx x f cos )(cos sin )(cos ，⎰⎰=x d x f x dx x f tan )(tan cos )(tan 2，x d x f xdxx f cot )(cot sin )(cot 2⎰⎰-=； ○3⎰⎰=x d x f dx xx f ln )(ln 1)(ln ，⎰⎰=x x x x de e f dx e e f )()(；○4nn n n x d x f n dx x x f ⎰⎰=-)(1)(1)0(≠n ，⎰⎰-=)1()1()1(2x d x f x dx x f ，⎰⎰=)()(2)(x d x f xdx x f ； ○5⎰⎰=-x d x f xdx x f arcsin )(arcsin 1)(arcsin 2；⎰⎰=+x d x f x dxx f arctan )(arctan 1)(arctan 2； ○6复杂因式【不定积分的第一类换元法】 已知()()f u du F u C =+⎰求()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰ 【凑微分】()()f u du F u C ==+⎰ 【做变换，令()u x ϕ=，再积分】(())F x C ϕ=+ 【变量还原，()u x ϕ=】【求不定积分()g x dx ⎰的第一换元法的具体步骤如下：】 （1）变换被积函数的积分形式：()(())'()dx g x f x x dx ϕϕ=⎰⎰（2）凑微分：()(())((')))(()x g x dx d x dx f x f x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰ （3）作变量代换()u x ϕ=得：()(())'()()()()g x dx f x x x x dx f d ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()u f u d =⎰（4）利用基本积分公式()()f u du F u C =+⎰求出原函数：()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()()d u u C f u F ==+⎰（5）将()u x ϕ=代入上面的结果，回到原来的积分变量x 得：()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()()f u du F u C ==+⎰(())F x C ϕ=+【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量()u x ϕ=，省略(3)(4)步骤，这与复合函数的求导法则类似。
25-不定积分换元法
万能凑幂法
f(xn)xn1dx1n f(xn)dxn f (xn)1xdx1 n f(xn)x1ndxn
(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法
(4) 巧妙换元或配元
思考与练习 1. 下列各题求积方法有何不同?
(1) dx d(4x) (2)
4 x 4x
(3)
x 4x2
(2)0 a2 1x2dx1aarctaaxnC
(2)1
1 x2a2
dx1 lnxa 2a xa
C
(2)2
1 dxarcsinx C
a2x2
a
(2)3
1 dxlnx ( x2a2)C
ln xex ln1xex C xlnxln 1xexC
分析:
1 xex(1 xex)
1xexx(e1xxxeexx)
1 xex
11xex
(x1)exdxxexdxexdxd(xex)
例15. 求 ff((xx))f(fx)3(fx2)(x)dx.
解: 原式 ff((xx))1ff(x 2)(fx()x)dx
x2a2
a2 C
x2 a2
例12 . 求 co4sxdx.
解: c4 ox s(c2x o )2s(1cos2x)2 2
1 4(1 2 c2 o x s c2 o 2 x )s
1 4 (1 2 c2 o x 1 s c 24 o x )s
1 4 (2 3 2 c2 o x s 1 2 c4 o x )s
例8. 求 sec6xdx.
解: 原式 = (t2 a x n 1 )2dstae 2 nxxd c x
(t4 a x 2 n ta 2x n 1 )d ta xn
1 tan5 x 2 tan3 x taxn C
不定积分方法总结
A(a cos x b sin x) B(a cos' x b sin' x) 来做。 a cos x b sin x
sin x cos x 或 cos x sin x
。再用待定系数
简单无理函数的积分
一般用第二类换元法中的那些变换形式。
1 5 2 3 t t t c 5 3 1 (8 4 x 2 3 x 4 ) 1 x 2 c 15
例4
求
1 dx x ( x 7 2)
解：令 x 1 dx 1 dt 2
t t
1 t 1 x( x7 2) dx 1 7 ( t 2 )dt ( ) 2 t
1 arctan( x 2 ) c 2
例5
求
1 1 e x dx
1 ex ex ex 1 e x dx (1 1 e x )dx 1 dx d (1 e x ) x ln(1 e x ) c x 1 e
解法一：
1 1 e x dx
2 a （ 1 sin 2 t） a costdt
a
2
cos2 tdt
1 cos 2t a2 a dt 2 2
a2 1dt 2
cos 2tdt
a2 a2 1 t ( sin 2t ) c 2 2 2
sin t cost
x a a2 x2 a x a2 x2 a2
f ( x)dx [ f [ g (t )]g ' (t )dt]
t g 1 ( x )
例1
不定积分第一类换元法
不定积分第一类换元法
不定积分是微积分中的一个重要概念，可以用来求解函数的原函数。
其中，不定积分第一类换元法是常用的一种方法之一。
不定积分第一类换元法，也叫做一般换元法，是指通过代入新的自变量来将被积函数化为更简单的形式，从而便于求取原函数的方法。
具体来说，将被积函数中的自变量用一个新的变量替代，然后将原本的自变量用新变量的函数表示出来，并将其代入被积函数中，最后通过简单的代数运算求取原函数。
换元法的主要思想是通过变量代换，将一个复杂的函数转化为一个简单的函数，从而使不定积分的计算更加容易。
在进行不定积分第一类换元法时，需要注意两个方面：
1、选择合适的换元变量：要选择一个能够将被积函数转化为更简单形式的变量，通常选择被积函数中的某个因子或者某个函数。
2、确定新的积分上下限：在将原函数用新变量表示出来后，需要将积分上下限也用新变量表示出来，以便对新函数进行积分。
例如，对于不定积分∫x^2/(x+1)^3 dx，我们可以选择x+1 作为新变量，即令t=x+1，则原不定积分可以表示为∫(t-1)^2/t^3 dt。
然后，我们对新函数
进行简单的代数运算，得到原函数为-1/(2(t+1)) - 1/(t+1)^2 + C。
需要注意的是，在换元法中，要保证函数的可导性和单调性，以便进行变量代换和积分。
此外，还需要注意积分上下限的变换，避免出现错误的结果。
综上所述，不定积分第一类换元法是一种常用的方法，可以通过选择合适的换元变量将被积函数转化为更简单的形式，并通过代数运算求得原函数。
这种方法在解决某些特定的积分问题时非常有用。
不定积分的换元积分法4.2
f [j ( t )] j ( t )dt
．
最后将t =j1(x)代入f [j(t)]j(t) 的原函数中．
第二类换元法用于求特殊类型的不定积分．
例 21 例18
求
a
2
x
2
d x (a > 0 )．
x
2
a t
a x
2 2
解
设 x a sin t ，
a x
a
2
< t<
2 2
ln | x
x a
2
2
| C
．
三、积分公式小结
(1 ) kdx kx C ,
( 2 ) x dx
m
(k是常数)，
x
m 1
1
m 1
C,
(m 1)，
(3)
(4)
(5 )
1 x
dx ln | x | C ,
1 dx arctan x C ,
例 23 例21
求
dx x
2
x
2
(a > 0 )．
a
解 那么
当 x> a 时 ， 设 x a se c t (0 < t<
x a
2 2
2
t
)，
sec
2
a
t 1
a sec
2
2
ta
2
a
a tan t ， 于是
dx x a
2 2
2
a sec t tan t a tan t
2
1 3
sin
3
不定积分的换元法第一篇
解
x2 f (1 x3 )dx 1 f (1 x3 )d(1 x3 ) 3
又 f ( x)dx x C，
x2 f (1 x3 )dx 1 1 x3 +C 3
例12 求 x2(2x 1)50dx
解 令u 2x 1 则 dx 1 du
第三节 不定积分与定积分的运算
一、不定积分的换元法
二、定积分的换元法
三、分部积分法
不定积分的分部积分法 定积分的分部积分法
四、积分的其它例子法
第四章
一、换元积分法
1、第一类换元法 2、第二类换元法
基本思路
设 F(u) f (u),
可导, 则有
f (( x))d(( x)) f (u)du u(x)
一部分凑成d (x),这需要解题经验,如果记熟下列一些微
分式(P197) ,解题中则会给我们以启示．
dx 1 d(ax b)， xdx 1 d(x2 )，
a
2
dx 2d( x)， x
exdx d(ex )，
1 dx d(ln | x |)， sin xdx d(cos x)， x
1 ln x a ln x a C 1 ln x a C
2a
2a xa
例4 求 (1) xe13x2 dx;
(2) x a2 x2 dx.
解 (1) xe13x2dx e13x2 xdx, 且 d(1 3x2 ) 6xdx,
F (u) C u( x) F[ ( x)] C
第一类换元法 第二类换元法
1．第一换元积分法(凑微分法)
问题 1 求 e3xdx .
不定积分的换元法
不定积分的换元法不定积分是微积分的重要内容，其中换元法是计算不定积分的一种常用方法。
换元法是指将被积函数中的变量通过代换，转化为新的自变量的函数形式进行积分求解。
一、基本概念在介绍换元法之前，首先需要了解一些基本概念。
1. 不定积分：指对一个函数进行求导的逆运算，即对于函数f(x)，若F(x)是其导数，则F(x)是函数f(x)的一个不定积分，记为∫f(x)dx。
不定积分中的积分符号∫表示对变量的积分，dx表示被积函数中的自变量。
2. 原函数：指函数f(x)的一个不定积分F(x)，即F(x)是f(x)的原函数。
3. 积分变量：指被积函数中的自变量。
4. 积分限：指积分区间的起点和终点。
5. 积分常数：表示积分时所得到的结果中的常数项，因为不定积分中存在无限个解，所以需要添加积分常数来求得特定的解。
二、换元法的原理假设对于被积函数f(x)，想要将其变为一个与变量t有关的函数g(t)，即f(x) = g(t)，则可通过以下步骤进行换元：1. 选取一个可导函数u(x)，并令t = u(x)，则有t' = u'(x)。
2. 则原式∫f(x)dx = ∫g(t)dt。
3. 将自变量x换成新的自变量t，被积函数中的自变量x的所有出现均用对应的t代替。
4. 将x关于t求导，将t'代入被积函数中dt中，并将dx用du 表示。
5. 对新的函数∫g(t)dt进行求解。
6. 最后将所得解中的t用x表示，并加上积分常数C。
三、实例分析以求解∫2x/(1+x^2)dx为例，借助于换元法进行求解。
1. 令t = 1 + x^2，则有dt/dx = 2x，可以得出dx = dt/2x。
2. 将原式转化为∫2x/(1+x^2)dx = 2∫(1+x^2)/(1+x^2) * 1/(1+x^2) dt = 2∫(1/(t/2))dt。
3. 对新的函数2∫(1/(t/2))dt进行求解，解得结果为2ln|t| + C，其中|t|表示t的绝对值。
第2讲不定积分的换元积分法
∫
arctan x d x = ∫ 2v d v x (1 + x)
= v2 + C
换元法可以连续使用
= (arctan u ) 2 + C = (arctan x ) 2 + C .
二、 不定积分的第二换元法
第一换元法中
∫
f (ϕ ( x))ϕ ′( x) d x = ∫ f (u ) d u 是被积表达式
ϕ ( J ) ⊂ I , 则在区间 J 上有
∫ f (ϕ ( x))ϕ ′( x) d x = ∫ f (u ) d u
= F (u ) + C = F (ϕ ( x)) + C.
证明过程 请看书!
该定理称为不定积分的第一换元法,也叫“凑微分”法。
例1 解
求 ∫ sin 3 x cos x d x .
2
π
π
∫
dx a sec 2 t d t =∫ 2 2 a sec t x +a
= ∫ sec t d t
x2 + a2
t
x a
= ln | sec t + tan t | +C1
= ln | x + x 2 + a 2 | + C .
( C = C1 − ln a )
一般说来，含有
a 2 − x 2、 x 2 ± a 2 的表达式的积分，
=∫
(tan x + sec x)′ dx tan x + sec x
= ln | tan x + sec x | +C .
此题若按下面方式做，则有 cos x d x cos x d x du ∫ sec x d x = ∫ cos 2 x = ∫ 1 − sin 2 x = ∫ 1 − u 2 1 u +1 1 sin x + 1 = L = ln + C = ln +C 2 u −1 2 sin x − 1
不定积分换元法
不定积分换元法1. 引言在微积分中，不定积分是求函数的原函数，也就是求导函数的逆运算。
不定积分换元法是一种求解复杂函数的不定积分的方法，通过引入一个新的变量来替代原函数中的一个或多个变量，从而简化不定积分的求解过程。
2. 换元法的基本思想换元法是一种利用代换来简化不定积分的方法。
它的基本思想是通过引入一个新的变量来代替原不定积分中的一个或多个变量，使得不定积分式子变得更加简单，从而更容易求解。
3. 换元法的步骤换元法的求解步骤如下：步骤1：选择合适的换元变量首先需要选择一个合适的变量来替代原不定积分中的一个或多个变量。
选择合适的换元变量是换元法的关键。
步骤2：计算新的不定积分将原不定积分中的变量用选定的换元变量表示，并计算出新的不定积分。
步骤3：替换回原变量将新的不定积分表达式中的换元变量替换回原变量，得到最终的不定积分表达式。
步骤4：确定积分常数在求得最终的不定积分表达式后，需要确定积分常数。
4. 换元法的应用举例以下举例说明换元法在不定积分中的应用：例1：求解∫(2x + 1)³ dx步骤1：选择合适的换元变量，令u = 2x + 1。
步骤2：计算新的不定积分，将原不定积分中的变量用u 表示，得到∫u³ du。
步骤3：替换回原变量，将u³替换成(2x + 1)³，得到最终的不定积分表达式∫(2x + 1)³ dx。
步骤4：确定积分常数。
最终得到∫(2x + 1)³ dx = (2x + 1)⁴/4 + C，其中C为积分常数。
例2：求解∫(sin 2x) dx步骤1：选择合适的换元变量，令u = 2x。
步骤2：计算新的不定积分，将原不定积分中的变量用u表示，得到∫sin u du。
步骤3：替换回原变量，将sin u替换成sin 2x，得到最终的不定积分表达式∫(sin 2x) dx。
步骤4：确定积分常数。
最终得到∫(sin 2x) dx = -1/2 cos 2x + C，其中C为积分常数。
不定积分的换元法
一般的说，若积分 f (x)dx不易计算可以作适当的
变量代换 x (t) ，把原积分化为 f ((t))'(t) dt 的形
式而可能使其容易积分.当然在求出原函数后， 还要
将 t 1(x) 代回.还原成x的函数，这就是第二换元
积分法计算不定积分的基本思想.
应用第二类换元法求不定积分的步骤为
f
( x) d
x
x
换元
(t)
f
(t)
'(t ) d
t
g(t)d t
F(t)
C
还原
(t)
x
F
1(t) C
第二类积分换元法 分为两种基本类型根 三式 角代 代换 换
例6 求
x dx. 1 x
解 令 1 x t，得x 1t2，得dx 2tdt，所以有
x 1
x
dx
1t
t
2
2tdt
2 (1 t2)dt
ln
x a
x
2 a
a
2
C
.
x2 a2
x
t a
练习：P109 1（12）
小结：二类换元积分法的思想与步骤
作业：P109 1（1）、（4）、（10）
C
1 3
(
x2
3
4)2
C.
x2
4dx
1 2
udu
练习：P109 1（2）、（5）、（15）
二、 第二类换元法
第一类换元法是通过变量替换 u ( x)
将积分
f [( x)]( x)dx化为积分 f (u)du
下面介绍的第二类换元法是通过变量替
换 x (t) 将积分
f ( x)dx化为积分 f [(t)](t)dt
不定积分的四种计算方法
不定积分的四种计算方法
不定积分是高等数学中的一个重要概念，也是各类数学问题求解
的基础。
对于不定积分的计算方法，我们可以分为四种：代入法、换
元法、分部积分法和三角函数代换法。
代入法是最简单的一种方法，通过直接代入函数的原函数公式，
直接将被积函数带入，再进行简单的运算即可求出不定积分。
这种方
法适用于简单的函数，例如幂函数和指数函数。
换元法则是将原函数中的变量进行换元，将原来的自变量用新变
量来表示，再进行简单的变量代换和运算。
这种方法适用于含有较为
复杂的函数组合的问题。
分部积分法是将带积函数进行分解，分成两个函数相乘，再利用
积分的逆运算，将其转化为简单的不定积分式。
这种方法适用于含有
两个难以解决的函数的积分问题。
三角函数代换法是将复杂的三角函数替换成简单的三角函数来求
解不定积分，例如将sin(x)或cos(x)替换成tan(x/2)，或者将sec(x)替换为tan(x/2)+C。
这种方法适用于含有三角函数较为复杂的积分问题。
上述四种方法均可互相结合，有时需要多种方法的协作才能求解
出复杂的不定积分问题。
通过选择合适的方法，我们可以更加高效而
准确地解决各类数学问题。
不定积分 换元法
(也称配元法 , 凑微分法)
例1. 求 解: 令 u a x b , 则 d u adx , 故 原式 = u
m
1 a
du
1
a m 1
1
u
m 1
C
注: 当
时
例2. 求
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
想到公式
1 a
2
解:
1 ( x)2
a
dx
1 u2
arctan u C
dx
du
令u
2
2
2
dx
2
(x 2
2
a )
2
2
1 2
d( x a )
2
3 2
a
2
(x
2
a )
d( x a )
2
2
例12 . 求
1 cos 2 x 2 解: cos x (cos x) ( ) 2 2 1 (1 2 cos 2 x cos 2 x) 4
4 2 2
1
x a
, 则 du 1 a
1 a
a 1 u2
du
arctan u C
例3. 求
解:
a
dx
x 2 1 (a)
x d (a) x 1 (a) 2
想到
du 1 u
2
arcsin u C
f [ ( x)] ( x)dx
f ( ( x))d ( x)
3
例9. 求 解法1
1 ex .
dx
(1 e ) e 1 e
20-不定积分的第一类换元积分法
例6
求
1 ln x (x ln x)2
dx.
解
1 ln x
(x ln x)2 dx
(x
1 ln
x)2
d(xlnx)
u x ln x,
du (1 ln x)dx.
1 C. x ln x
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铃
f [j(x)]j(x)dx f [j(x)]dj(x), u j(x) ?
通过凑微分确定 u
例7
ln x x
dx
ln x d(ln x)
1 ln 2 x C. 2
例8
x
1 x4 dx
1
2
1
1 (x2 )2
d(x2 )
1 arctan(x2 ) C. 2
10
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1 dx d(ln x) x
xdx 1 d(x2 ) 2
x2, d(1 x2) 2 xdx.
原式 x
u ( 1 )du 2x
dx 1 du, 2x
1212
1
u u2
d12 duu11uu23 33
23CC11(1(1xx2)223) 33
3
2CC
du
1
u
3 2
3
C
1
(1
x2
)
3 2
4
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铃
一、第一类换元法
定理1(换元积分公式)
设 F 是 f 的一个原函数, u=j(x)可导, 则有
不定积分的换元积分法
第四节 不定积分的换元积分法不定积分时若凑微分法、分部法均解决不了问题，且被积函数中含有复杂的量arcsin x 、()nax b +等），则可以考虑使用换元积分法.一、换元积分法例6．4．1 求不定积分.解 这里主要障碍是 t = 此时2x t =t ”则211dt t=+⎰ 21t dt t=+⎰ 1121t dt t+-=+⎰ 12(1)1dt t =-+⎰ 22ln 1t t C =-++(2ln 1C =+. 例6．4．2 求不定积分11x dx e+⎰. 解 同样令主要障碍x e t =，此时ln x t = 则11x dx e +⎰1ln 1d t t =+⎰()11dt t t=+⎰ 11()1dt t t=-+⎰ ln ln 1t t C =-++ln(1)x x e C =-++.例6．4．3 求不定积分arcsin xdx ⎰.解 令arcsin x t =，此时sin x t =，则 arcsin xdx ⎰sin td t =⎰sin sin t t tdt =-⎰sin cos t t t C =++arcsin x x C =.例6．4．4 求不定积分()2101x dx x +⎰.解 令()1x t +=，此时1x t =-，则()2101x dx x +⎰ ()()21011t d t t -=-⎰21021t t dt t-+=⎰ 8910(2)t t t dt ---=-+⎰789111749C t t t=-+-+ ()()()789111714191C x x x =-+-++++.从以上例题可见，换元可使复杂积分变得简单，可关键是怎么换.二、换元积分举例例6．4．5 用换元法求下列不定积分：（1）； （2）⎰； （3）；（4）⎰； （5）；（6）. 解（1）21t dt t +221t dt t =+⎰21121t dt t -+=+⎰1211t dt t ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭⎰ =222ln 1t t t C -+++=(2ln 1x C -++；（2）⎰2t e dt2t te dt =⎰22t t te e dt =-⎰()21t e t C =-+=)21C +；（3） ()2111t d t t --+ 221t t dt t -=+⎰ 22221t t dt t --+=+⎰ 2221t dt t ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭⎰ ()244ln 1t t t C =-+++=)14ln1x C +-+；（4）⎰ 2222()55t t td -- 422425t t dt -=⎰ 532412575t t C =-+=532412575C -+；（5）⎰()63211dt t t + 226t 661dt t+-=+⎰ 66arctan t t C =-+=C ；（6）21ln(1)d t t- 2121dt t =-⎰ 1111dt t t ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭⎰ 1ln 1t C t -=++ln C =+.t =”也就行了.“2x ”项，问题就不是那么简单了.例6．4．6cos t =（,22t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦）换元，求积分. 解sin cos sin x t td t =⎰2cos tdt =⎰1cos 22t dt +=⎰ 11cos 2224dt td t =+⎰⎰ 11sin 224t t C =++ 11sin cos 22t t t C =++ ()11arcsin cos arcsin 22x x x C =++. 例6．4．7sec t =（,22t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦）换元，求积分.解12tan 2tan 2sec x t d t t=⎰sec tdt =⎰ ln sec tan t t C =++ln sec arctan 22x x C ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.例6．4．8 tan t =（0,2t π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）换元，求积分. 解33sec 3sec 27sec 3tan d t x t t t =⋅⎰ 21127sec dt t=⎰ 21cos 27tdt =⎰ 1(1cos 2)54t dt =+⎰ 11sin 254108t t C =++ 11sin cos 5454t t t C =++ 1313arccos sin arccos 5418C x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 例6．4．9 求下列不定积分：（1）sin sin cos x dx x x +⎰；（2）；（3）⎰. 解（1）sin sin cos x dx x x +⎰11cot dx x=+⎰cot x t =1cot 1darc t t +⎰21111dt t t =-++⎰ 2111211t dt t t -⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭⎰ 211112121t dt dt t t-=-+++⎰⎰ 2211111212121t dt dt dt t t t =-+-+++⎰⎰⎰ ()2111ln 1ln 1cot 242t t arc t C =-+++++ =()2111ln 1cot ln 1cot 242x x x C -+++++；（2）dx222= 222dt =+22=-+ 查《积分表》（见文献文献×）12arcsin 2arcsin 2t t C ⎛=-++ ⎝arcsin t C =-+=(C -；（3）⎰t22sec tan t tdt =2tan tan td t =3t C =+3arc s co C x ⎛=+ ⎝⎭； 此题还可以用另一个很简单的解法：⎰212= ()()12221332x d x =--⎰ ()322133x C =-+； 可见换元积分法不是一个很好的方法，凑微分法、分部法均解决不了，再考虑用它. 思考题6.41．本节介绍的换元积分法中，换元的根本目的是什么？应注意什么问题？2．总结一下利用三角公式换元积分法（三角代换法）的三种类型.3．思考凑微分法、分部法及换元法三种积分方法的优先次序，如何选用？ 练习题6.41. 用换元法求下列不定积分：（1）； （2）； （3）()31x dx x -⎰. 2. 利用三角代换求下列不定积分：（1）()0a >； （2）； （3）()0a >．练习题6.4答案1.解（1）()2211t d t t-- ()221t dt =-⎰3223t t C =-+C -； （2）()3121d t t -+ 231t dt t=+⎰ 21131t dt t-+=+⎰ 1311t dt t ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭⎰ =2333ln 12t t t C -+++=233ln 12C -+； （3）()31xdx x -⎰()3111t d t t--⎰-x=t 31t dt t-=⎰ 2311dt t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰ 212C t t=-++=()21211C x x ++--.2. 解（1）()0a > sin cos (sin )x a t a td a t =⎰ 22cos a tdt =⎰()21cos 22a t dt =+⎰22sin 224a a t t C =++=2arcsin 2a x C a ； （2）21x 2tan 2tan 4tan 2sec t d t t t =⎰ 21cos 4sin t dt t=⎰ 211sin 4sin d t t=⎰ 14sin C t =-+ 1csc arctan 42x C ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭； （3）()0a >1x sec sec sec tan a t da t a ta t =⎰ 1dt a =⎰ 1t C a=+ 1arccos a C a x =+．。
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ln x e x ln 1 x e x C x ln x ln 1 x e x C
1 1 xe x xe x 分析: x x xe (1 xe ) xe x (1 xe x )
( x 1)e dx xe dx e dx
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u 3 2x
1 1 1 1 du ln | u | C ln | 3 2x | C . 2 2 2 u 1 一般地 f (ax b)dx = a f (ax b) d (ax b) 1 [ f (u )du ]u ax b a
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2 cos xd (cos x )
u cos x
2 udu cos x C .
2
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1 1 1 dx. 例2 求 d (3 2 x) 3 2x 2 3 2x 1 1 1 解 (3 2 x)dx dx 2 3 2x 3 2x
dx dx ( 2) (1) 4 x 4 x2 2 x d ( 4 x ) 1 (3) d x 2 2 4 x 4 x2 x2 (4) d x 4 x2 dx 1 1 (5) 2 2 x 2 x 4 x dx (6) 4x x2
第二节 换元积分法
一、第一类换元法 二、第二类换元法
第四章
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基本思路
设 F (u ) f (u ) , 可导, 则有
dF [ ( x)] f [ ( x)] ( x) dx F[ ( x)] C F (u ) C
f (u )du
第一类换元法
f (sin x)cos xdx f (cos x)sin xdx
dsin x dcos x
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(6) (7 )
(8)
x x f ( e )e dx
1 f (ln x) dx x
f (tan x)sec 2 xdx
dtan x
1 dx dx ∴ 原式 = 2a x a xa
d( x a ) 1 d( x a ) xa 2a x a
1 ln x a ln x a 2a
P160, 公式 (19,20) SCU
1 xa C C ln 2a x a
tan x sec x d x . 2 1 2 sin 4 x sin 2 x 1 sin 2 x 1 sin 4 x 4 4 4 2 1 (1 1 tan x cos 4 xd )x. sin 2 x cos 2 x 8 (1 cos 8 x) 8 xsec
1 f ( x) 2 C 2 f ( x)
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小结 常用简化技巧:
(1) 分项积分: 利用积化和差; 分式分项;
2 xdx cos 3x cos ex13, P164,
SCU
1 sin 2 x cos 2 x 等 (2) 降低幂次: 利用倍角公式 , 如
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解法 2
(sec x tan x) sec x tan x sec 2 x sec x tan x dx sec x tan x d (sec x tan x) sec x tan x
P160, 公式 (16, 17) SCU
同样可证
万能凑幂法
n 1 1 f (xn ) 1 d xn f (x ) x dx n x
n
n n f ( x ) d x f ( x n )x n 1 dx 1 n
(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法
(4) 巧妙换元或配元
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思考与练习
1. 下列各题求积方法有何不同?
sin x dcos x cos xdx cos x
ln sec x C
类似
cos x dx d sin x sin x sin x
P160, 公式 (14, 15) SCU
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例5. 求 解:
1 ( x a) ( x a) 1 1 1 1 ( ) 2 2 2a ( x a)( x a ) 2a x a x a x a
解法2
e x d(1 e x ) dx x x 1 e 1 e ln(1 e x ) C
x x x
ln(1 e ) ln[e (e 1)] 两法结果一样
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例10. 求 解法1
cos x d sin x dx 2 cos x 1 sin 2 x 1 1 1 dsin x 2 1 sin x 1 sin x 1 ln 1 sin x ln 1 sin x C 2 1 1 sin x ln C 2 1 sin x
2 3 1 5 tan x tan x tan x C 3 5
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dx . 例9. 求 x 1 e 解法1 x x x d ( 1 e ) (1 e ) e dx d x x 1 ex 1 e x x ln(1 e ) C
(也称 凑微分法)
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例1
1 解（一） sin 2 xdx sin 2 xd(2 x ) 2 令 u 2x 1 cos 2 x C 原式 sin udu 2 1 1 cos u C cos 2x C ; 2 2
解（二）
求 sin 2 xdx.
2 sin x cos xdx sin 2 xdx
2 sin xd (sin x)
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令 u sin x
原式 2 udu
u C sin x C ;
2
2
解（三）
2 sin x cos xdx sin 2 xdx
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例15. 求 解: 原式
f ( x) f ( x) f ( x) 1 2 f ( x) f ( x)
dx
f ( x) f 2 ( x) f ( x) f ( x) dx 2 f ( x) f ( x)
f ( x) f ( x) d( ) f ( x) f ( x)
说明：熟悉第 一类换元法之 后，就没有必 要写出中间变 量的代换过程
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例3. 求
解:
a
dx
x)2 1 (a
x) d (a x )2 1 (a
P160, 公式 (21) SCU
想到
du 1 u2
arcsin u C
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例4. 求 解:
x
x
x
例15 求
解
x 4 x arcsin 2 1 1 x d dx 2 2 x 2 x x 4 x arcsin 1 arcsin 2 2 2
2
1
dx.
x x d(arcsin ) ln arcsin C . x 2 2 arcsin 2
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常用的几种凑微分形式:
1 (1) f (ax b)dx a 1 n n 1 (2) f ( x )x dx n 1 n 1 (3) f (x ) dx n x
d(a x b)
dx
n
1 n d x xn
万 能 凑 幂 法
(4) (5)
3 4
2
4
6
∴原式 =
1 4
1 cos 8 x d(8 x ) d x 64 2 1 cos 4 x d( 4 x ) 1 sin 2 x d (sin 2 x ) 2 32
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例14. 求
解: 原式=
ex
ex
1 1 x ( x ) d( x e ) x x e 1 x e
例3 解
1 dx. 求 x(1 2 ln x )
1 1 1 x(1 2 ln x )dx 2 1 2 ln xd (1 2 ln x)
u 1 2 ln x
1 1 1 1 du ln | u | C ln |1 2 ln x | C . 2 2 2 u
csc xdx ln csc x cot x C
或
x ln tan C 2
(P199 例18 )
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例11. 求
x3 (x2 a2 )
3 2
dx .
1 1 (x2 a2 ) a2 2 x 2 dx 2 dx 解: 原式 = 3 3 2 ( x2 a2 ) 2 2 (x2 a 2 ) 2 1 2 2 2 2 12 ( x a ) d( x a ) 2 a2 2 2 2 2 3 2 d ( x a ) (x a ) 2
de
x
dln x