直线、平面平行与垂直的综合问题考点与题型归纳

直线、平面平行与垂直的综合问题考点与题型归纳

考点一立体几何中的探索性问题

[典例](2018·全国卷Ⅲ)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧»CD所

在平面垂直，M是»CD上异于C，D的点．

(1)证明：平面AMD⊥平面BMC.

(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．

[解](1)证明：由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，

所以BC⊥平面CMD，所以BC⊥DM.

因为M为»CD上异于C，D的点，且DC为直径，

所以DM⊥CM.

又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC.

因为DM⊂平面AMD，所以平面AMD⊥平面BMC.

(2)当P为AM的中点时，MC∥平面PBD.

证明如下：

连接AC交BD于O.

因为四边形ABCD为矩形，

所以O为AC的中点．

连接OP，因为P为AM的中点，

所以MC∥OP.

又MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD，

所以MC∥平面PBD.

[题组训练]

1.如图，三棱锥P­ABC中，P A⊥平面ABC，P A＝1，AB＝1，AC

＝2，∠BAC＝60°.

(1)求三棱锥P­ABC的体积；

(2)在线段PC 上是否存在点M ，使得AC ⊥BM ，若存在，请说明理由，并求PM

MC 的值．

解：(1)由题设AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°， 可得S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin 60°＝3

2

.

由P A ⊥平面ABC ，可知P A 是三棱锥P ­ABC 的高， 又P A ＝1，

所以三棱锥P ­ABC 的体积V ＝13·S △ABC ·P A ＝3

6.

(2)在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，证明如下：

如图，在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N .在平面P AC 内，过点N 作MN ∥P A 交PC 于点M ，连接BM .

由P A ⊥平面ABC ，知P A ⊥AC ， 所以MN ⊥AC .

因为BN ∩MN ＝N ，所以AC ⊥平面MBN ， 又BM ⊂平面MBN ， 所以AC ⊥BM .

在Rt △BAN 中，AN ＝AB ·cos ∠BAC ＝1

2，

从而NC ＝AC －AN ＝3

2，

由MN ∥P A ，得PM MC ＝AN NC ＝1

3

.

2.如图，在四棱锥P ­ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，BC ＝PD ＝2，E 为PC 的中点，CB ＝3CG .

(1)求证：PC ⊥BC ；

(2)AD 边上是否存在一点M ，使得P A ∥平面MEG ？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．

解：(1)证明：因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， 所以PD ⊥BC .

因为四边形ABCD 是正方形，所以BC ⊥CD .

又PD∩CD＝D，PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，

所以BC⊥平面PCD.

因为PC⊂平面PCD，所以PC⊥BC.

(2)连接AC，BD交于点O，连接EO，GO，

延长GO交AD于点M，连接EM，则P A∥平面MEG.

证明如下：因为E为PC的中点，O是AC的中点，

所以EO∥P A.

因为EO⊂平面MEG，P A⊄平面MEG，所以P A∥平面MEG.

因为△OCG≌△OAM，所以AM＝CG＝2

，

3

所以AM的长为2

3.

考点二平面图形的翻折问题

[典例](2018·全国卷Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA.

(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；

(2)Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且BP ＝D Q ＝2

3DA ，求三棱锥Q ­ABP 的

体积．

解：(1)证明：由已知可得，∠BAC ＝90°，即BA ⊥AC . 又因为BA ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ， 所以AB ⊥平面ACD . 因为AB ⊂平面ABC ， 所以平面ACD ⊥平面ABC .

(2)由已知可得，DC ＝CM ＝AB ＝3，DA ＝3 2. 又BP ＝D Q ＝2

3

DA ，所以BP ＝2 2.

如图，过点Q 作Q E ⊥AC ，垂足为E ，则Q E 綊1

3DC .

由已知及(1)可得，DC ⊥平面ABC ， 所以Q E ⊥平面ABC ，Q E ＝1.

因此，三棱锥Q ­ABP 的体积为V Q ­ABP ＝13×S △ABP ×Q E ＝13×1

2×3×22sin 45°×1＝1.

[题组训练]

1．(2019·湖北五校联考)如图1所示，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，AB ∥CD ，AD ＝CD ＝1

2

AB ＝2，E 为AC 的中点，将△ACD 沿AC 折起，使折起后的平面ACD 与平面

ABC 垂直，得到如图2所示的几何体D ­ABC .

(1)求证：BC ⊥平面ACD ；

(2)点F 在棱CD 上，且满足AD ∥平面BEF ，求几何体F ­BCE 的体积． 解：(1)证明：∵AC ＝

AD 2＋CD 2＝22，

∠BAC ＝∠ACD ＝45°，AB ＝4，

∴在△ABC 中，BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ×AB ×cos 45°＝8， ∴AB 2＝AC 2＋BC 2＝16，∴AC ⊥BC .

∵平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD ∩平面ABC ＝AC ， ∴BC ⊥平面ACD .

(2)∵AD ∥平面BEF ，AD ⊂平面ACD ，平面ACD ∩平面BEF ＝EF ，∴AD ∥EF ， ∵E 为AC 的中点，∴EF 为△ACD 的中位线，

由(1)知，几何体F ­BCE 的体积V F ­BCE ＝V B ­CEF ＝1

3×S △CEF ×BC ，

S △CEF ＝14S △ACD ＝14×12×2×2＝1

2，

∴V F ­BCE ＝13×12×22＝2

3

.

2．(2018·合肥二检)如图1，在平面五边形ABCDE 中，AB ∥CE ，且AE ＝2，∠AEC ＝60°，CD ＝ED ＝7，cos ∠EDC ＝5

7.将△CDE 沿CE 折起，使点D 到P 的位置，且AP ＝3，

得到如图2所示的四棱锥P ­ABCE .