数学物理方法作业

数学物理方法简答题

1.复数有哪几种表达方式？在复数的开方运算和对数函数的计算中，应特别

注意复数的什么性质？（复习掌握复数运算和几种基本函数的定义和计算）

书上列出了三种：代数式，三角式，指数式。其实还可以用级数式表示复数。

注意角度是除以/乘以一个数。

2.复变函数可导的充分必要条件是什么？可导与解析这两个概念有什么联

系和区别？（复习掌握柯西-黎曼条件以及求解解析函数的实部或虚部的方法）

复变函数可导的充分必要条件：函数的偏导数存在且连续，并满足柯西-黎曼方程。

联系与区别：对于一个点，函数解析必定可导，反之不一定；对于一个区域，解析和可导等价。

3.解析函数的两条性质是什么？

一：函数的实部和虚部分别等于一个常数，这个两个曲线族在其区域B上是相互正交的。

二：函数的实部和虚部均为其区域B上的调和函数。

4.已知某函数在某一回路上的积分为零，可否据此对此函数的解析性质作出

判断？为什么？（复习掌握柯西定理、柯西公式）

可以，根据柯西定理，在闭单连通区域上的解析函数回路积分为零，可以据此对函数解析性质做出判断。

5.什么情况下某一积分回路的内部一定是复连通的区域？

在回路内有奇点，则该回路积分会等于对其内部奇点所有回路积分之和。

6.收敛的幂级数和双边幂级数的收敛区域分别是什么类型的区域？在收敛

区域的境界线和外部是否一定发散？（复习掌握计算泰勒展开和洛朗展开的基本方法，特别是有理分式的展开）

一个是圆一个是环。在幂级数的境界线上要具体分析，其余都发散。

7.奇点可分为哪几类？孤立奇点可分为哪几类？简要说明它们之间的区别。

奇点分为孤立奇点和非孤立奇点，。函数在点z不可导，若在z的任意小领域除点z外处处可导，则为孤立奇点，若在任意小领域内可以找到除z以外不可导的点，则z为非孤立奇点。

孤立奇点根据挖去该点而形成环域上的解析函数的洛朗展开级数中负幂项情况，可以分为可取奇点（没有负幂项）、极点（有限个负幂项）、本性奇点（无限个负幂项）。

8.如何判断极点的阶数？

函数在该极点上的洛朗展开，最低次幂项的次数的绝对值是极点的阶数。

9.试用文字说明什么是留数？（复习掌握留数计算相关公式）

被积函数在回路上的积分，将被积函数展开后逐项积分，除去留下来的项其他都为零，则这个不为零的项除以一常数后称之为留数/残数。

10.留数定理将回路积分归结成什么？对于回路积分的计算有什么意义？（复

习掌握留数定理计算回路积分和实函数积分的相关公式）

将回路积分归结成根据极点求留数，简化了对回路积分的计算。