二次函数最大利润求法经典
九年级数学二次函数应用之最大利润问题(教师版)
分析：（1）根据图象一次函数表达式易求得；（2）销售额＝销售单价×销售量；（3）结合图象说明． 解：（1）设y ＝kx +b ，由图象知一次函数图象过点（60，5），（80，4）⎩⎨⎧+=+=∴b k b k 804605 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.8,201b k .8201+-=∴x y 120)40)(8201(12040)2(--+-=--=x x y yx z .60)100(2014401020122+--=-+-=x x x∴当x ＝100时，即销售单价为100元时，年获利最大，最大值为60万元。
（3）令z ＝40，得,44010201402-+-=x x 即,096002002=+-x x 解得.120,8021==x x由图象可知，要使年获利不低于40万元，销售单价应在80元到120元之间。
又因为销售单价越低，销售量越大，所以要使销售量最大，又要使年获利不低于40万元，销售单价应定为80元。
变式训练1．为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴，规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y （台）与补贴款额x （元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系，随着补贴款额x 的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益z （元）会相应降低且z 与x 之间也大致满足如图②所示的一次函数关系。
（1）在政府未出补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？，（2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y 和每台家电的收益z 与政府补贴款额x 之间的函数关系式；（3）要使该商场销售彩电的总收益W （元）最大，政府应将每台补贴款额x 定为多少？并求出总收益w 的最大值。
解：（1）该商场销售家电的总收益为800×200＝160000（元）。
（2）依题意可设8001+=x k y2002+=x k z∵图①的直线过点（400,1200）．图②的直线过点（200，160），∴有400k 1+800＝1200,200k 2+200＝160. 解得.20051,80051,121+-=+=∴-==x z x y k k （3）由题意，得1(800)(200)5W yz x x ==+-+16000040512++-=x x .162000)100(512+--=x ∴政府应将每台补贴款额x 定为100元时，该商场销售彩电的总收益取得最大值，其最大值为162000元。
二次函数解决利润问题
二次函数的实际应用——利润最大(小)值问题知识要点：二次函数的一般式c bx ax y ++=2(0≠a )化成顶点式ab ac a b x a y 44)2(22-++=，如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）．即当0>a 时，函数有最小值，并且当abx 2-=，a b ac y 442-=最小值；当0<a 时，函数有最大值，并且当abx 2-=，a b ac y 442-=最大值．如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，如果顶点在自变量的取值范围21x x x ≤≤内，则当abx 2-=，a b ac y 442-=最值，如果顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性；如果在此范围内y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=2．[例1]：求下列二次函数的最值：（1）求函数322-+=x x y 的最值．[例2]：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？[练习]：1．某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？2．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元．你能帮助分析一下，当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？[例3]： 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x (元)与产品的日销售量y (件)之间的关系如下表：若日销售量y 是销售价x 的一次函数．⑴求出日销售量y (件)与销售价x (元)的函数关系式；⑵要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？ 3．（2006十堰市）市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30•元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y (千克)•与销售单价x (元) (30≥x ）存在如下图所示的一次函数关系式． ⑴试求出y 与x 的函数关系式；⑵设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P 元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？⑶根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，•现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x 的范围(•直接写出答案)．作业布置： 1．二次函数1212-+=x x y ，当x=_____时，y 有最____值，这个值是___． 2．某一抛物线开口向下，且与x 轴无交点，则具有这样性质的抛物线的表达式可能为______________)，此类函数都有____值(填“最大”“最小”)．3．不论自变量x 取什么实数，二次函数y =2x 2－6x +m 的函数值总是正值，你认为m 的取值范围是29>m ，此时关于一元二次方程2x 2－6x +m =0的解的情况是__(填“有解”或“无解”)4．小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线21 3.55y x =-+的一部分，如图所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L 是 米 ．5．在距离地面2m 高的某处把一物体以初速度V 0（m/s ）竖直向上抛出，•在不计空气阻力的情况下，其上升高度s （m ）与抛出时间t （s ）满足：S=V 0t-12gt 2（其中g 是常数，通常取10m/s 2），若V 0=10m/s ，则该物体在运动过程中最高点距离地面_____m ．6．影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数．有研究表明，晴天在某段公路上行驶上，速度为V （km/h ）的汽车的刹车距离S （m ）可由公式S=1100V 2确定；雨天行驶时，这一公式为S=150V 2．如果车行驶的速度是60km/h ，•那么在雨天行驶和晴天行驶相比，刹车距离相差_____米．。
二次函数最大利润问题
利润=售价-进价.
总利润=每件利润×销售数量.
做一做P35 2
何时橙子总产量最大
1.某果园有100棵橙子树,每一棵树 平均结600个橙子.现准备多种一些 橙子树以提高产量,但是如果多种树, 那么树之间的距离和每一棵树所接 受的阳光就会减少.根据经验估计, 每多种一棵树,平均每棵树就会少结 5个橙子.增种多少棵橙子树时,总产 量最大? 如果设果园增种x棵橙子树,总产量为y个,则
y x800 10x 30 10 x 2 1100 x 2 10x 55 30250.
数学专页P146
商贩何时获得最大利润
驶向胜利 的彼岸
5.某人开始时,将进价为8元的某种商品按每件10元销 售,每天可售出100件.他想采用提高最大售价的办法来 增加利润.经试验,发现这种商品每件每提价1元,每天 的销售量就会减少10件.
(1)写出售价x(元/千克)与月销售利润y(元)之间的函 2 2 数关系式; 10 x 140 x 40000 10x 70 9000. (2)当销售单价定为55元时,计算出月销售量和销售利 润;500 1055 502 450. 50 10 450 6750. (3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下,使得 月销售利润达到8000元,销售单价应定为多少?
y x 2.5500 20013.5 x 2 200 x 3700 x 8000 2 200x 9.25 9112.5.
随堂练习P604
日用品何时获得最大利润
驶向胜利 的彼岸
3.某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单 价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售 经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每 提高1元,销售量相应减少20件.如何提高售价,才能 在半个月内获得最大利润?
九年级数学二次函数应用之最大利润问题
变式训练1．为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴，规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y（台）与补贴款额x（元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系，随着补贴款额x的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益z（元）会相应降低且z与x之间也大致满足如图②所示的一次函数关系。
（1）在政府未出补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？，（2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y和每台家电的收益z与政府补贴款额x之间的函数关系式；（3）要使该商场销售彩电的总收益W（元）最大，政府应将每台补贴款额x定为多少？并求出总收益w的最大值。
题型三：实际问题中的方案决策例3 某小区有一长100 m ，宽80m 的空地，现将其建成花园广场，设计图案如图所示。
阴影区域为绿化区域（四块绿化区域是全等矩形），空白区域为活动区域，且四周出口一样宽，宽度不小于50 m ，不大于60 m 。
预计活动区域每平方米造价60元，绿化区域每平方米造价50元。
（1）设其中一块绿化区域的长边长为xm ，写出工程总造价y （元）与x （ m ）的函数式系式（写出x 的取值范围）； （2）如果小区投资46.9万元，问能否完成工程任务？若能，请写出x 为整数的所有工程方案；若不能，请说明理由。
（参考数据：732.13 ）一、能力培养某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件。
已知产销两种产品的有关信息如下表：产品每件售价（万元）每件成本（万元）每年其他费用（万元）每年最大产销量（件）甲 6 a20 200乙20 10 40＋0.05x280其中a为常数，且3≤a≤5。
（1）若产销甲乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的函数关系式；（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由。
专题 二次函数利润问题
专题八二次函数最大利润问题最大利润问题：这类问题只需围绕一点来求解，那就是：总利润=单件商品利润*销售数量设未知数时，总利润必然是因变量y，而自变量可能有两种情况：（1）自变量x是所涨价多少，或降价多少（2）自变量x是最终的销售价格例：商场促销，将每件进价为80元的服装按原价100元出售，一天可售出140件，后经市场调查发现，该服装的单价每降低1元，其销量可增加10件，现设一天的销售利润为y元，降价x元。
（1）求按原价出售一天可得多少利润？（2）求销售利润y与降价x的关系式。
（3）商场要使每天利润为2850元并且使得玩家得到实惠，应该降价多少元？（4）要使利润最大，则需降价多少元？并求出最大利润。
（一）涨价或降价为未知数：例1：某旅社有客房120间，每间房间的日租金为50元，每天都客满，旅社装修后要提高租金，经市场调查，如果一间客房的日租金每增加5元，则每天出租的客房会减少6间。
不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？比装修前的日租金总收入增加多少元？变式1：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天多售出2件。
①若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？②若每件衬衫降价x 元时，商场平均每天盈利 y元，写出y与x的函数关系式。
例2：某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施。
调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台。
（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？变式2：某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）。
求最大利润问题
求最大利润问题
学习目标
1.经历探索T恤衫销售中最大利润等问题 的过程，体会二次函数是一类最优化问题 的数学模型，并感受数学的应用价值。 2.能够分析和表示实际问题中变量之间的 二次函数，并运用二次函数是知识求出实 际问题的最大（小）值，发展解决问题的 能力。
情境导入
将二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)改写为顶点式， 并写出它的对称轴和顶点坐标。
顶点式、对称轴和顶点坐标公式：
y a x
b
2
4ac
b2
.
2a
4a
直线x b
顶点(
b
4ac b2
,
)
2a
2a 4a
利润= 售价－进价 总利润= 每件利润×销售额
做一做
某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是6.5元. 根据市场调查,销售量与单价满足如下关系:在一段 时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降 低1元,就可以多售出200件.请你帮助分析，销售单价 是多少时，可以获利最多？
运用新知
还记得章一开始涉及的“种多少棵橙子树” 的问题吗？
我们还曾经利用列表的方法得到一个数据，现 在请你验证一下你的猜测(增种多少棵橙子树时,总产 量最大?)是否正确.
与同伴进行交流你是怎么做的.
议一议： 何时橙子总产量最大
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子. 现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那 么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据 经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
若设销售价为x元(x≤13.5元),那么
销售量可表示为 : 500 20013.5 x 件;
二次函数最大利润求法经典.doc
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二次函数最大利润求法，是利用二次函数关于极值点特征求解获得最大收益的方法。
它是数学中应用利润最大化的一种重要思想，主要用于市场经济学、计算经济学和运行管理等领域的实用工具。
二次函数的极值点将是利润函数的最大值和最小值点。
极值点可以通过求二次函数的导数等处理来求解，二次函数在极值点也可以用积分方法（求积分的上下限）求解。
具体求法：
1、代入极值点，求出对应的最大收益；
2、确定导数相等的极值点，求出最大收益；
3、求解积分的上下限，求出最大收益。
例题：某公司投资项目的利润函数为 P ( x ) =1000 x2 -J50 x 。
问：如果销售量x 的投资利润最大，x的取值是多少？
解：由利润函数P(x) = 1000x2-150x可知：
P'(x) = 2000x-150= 0
即x = 75；
设此时销售量x= 75，则利润函数P(x) = 1000(75)2-150(75) = 56250
结论：当销售量x=75时，投资利润最大，最大利润为56250元。
二次函数与实际问题-最大利润问题
2 实际问题的挑战与机
遇
实际问题的解决需要面对 各种挑战，但也提供了发 展和创新的机遇。
3 未来的发展趋势
随着技术的进步和需求的 变化，二次函数在解决实 际问题中的应用将继续发 展和演变。
可以引入其他约束、考虑风险和不确定性，提高决策的全面性和鲁棒性。
VI. 二次函数实践与练习
1 实际问题的解决方法和演示
通过实际案例和示例演示，帮助学习者理解 和应用二次函数解决实际问题。
2 练习题
提供一些练习题，加深对二次函数和实际问 题的理解。
VII. 二次函数与实际问题-总结与展望
1 二次函数的重要性
二次函数与实际问题-最 大利润问题
I. 二次函数概述
1 什么是二次函数？
二次函数是一个在方程中有二次项的函数，一般形式为y=ax^2+bx+c。
2 二次函数的一般式和标准式
一般式为y=ax^2+bx+c，标准式为y=a(x-h)^2+k。
3 二次函数图像
二次函数的图像可以是抛物线，开口向上或向下，取决于a的正负。
通过分析实际情况建立利润函数，将利润与决策因素相联系。
2
寻找最大值
通过求导或观察图像，找到利润函数的最大值，例，演示如何使用二次函数解决最大利润问题。
IV. 二次函数在其他问题中的应用
二次函数解决投影高度 问题
通过建立二次函数模型，可 以计算出物体的最大或最小 高度。
II. 最大利润问题简介
1 什么是最大利润问题？
最大利润问题是在实际情况中，通过优化决策来实现最大化利益的问题。
2 实际应用场景
二次函数的实际应用之利润最大(小)值问题
1二次函数的实际应用——利润最大(小)值问题知识要点：二次函数的一般式c bx ax y ++=2(0≠a )化成顶点式ab ac a b x a y 44)2(22-++=， 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）．即当0>a 时，函数有最小值，并且当a b x 2-=，ab ac y 442-=最小值； 当0<a 时，函数有最大值，并且当a b x 2-=，ab ac y 442-=最大值． 如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，如果顶点在自变量的取值范围21x x x ≤≤内，则当a b x 2-=，ab ac y 442-=最值， 如果顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性；如果在此范围内y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222最小．商品定价一类利润计算公式：经常出现的数据：商品进价；商品售价1；商品销售量1；商品售价2（商品定价）；商品销售量2;其他成本。
◆单价商品利润=商品定价－商品进价 ◆△（价格变动量）=商品定价－商品售价1（或者直接等于商品调价）； ◆销售量变化率=销售变化量÷引起销售量变化的单位价格； ◆商品总销售量=商品销售量1±△×销售量变化率； ◆ 总利润（W ）=单价商品利润×总销售量－其他成本其他成本单位价格变动销售量变化商品销售量）商品售价（商品定价）总利润（-⨯∆±⨯-=]1[1W[例]：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？2 [练习]：1．某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？2．（2011十堰市）市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30•元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y (千克)•与销售单价x (元) (30 x ）存在如下图所示的一次函数关系式．⑴试求出y 与x 的函数关系式；⑵设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P 元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？3、某服装公司试销一种成本为每件50元的T 恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量y (件)与销售单价x (元)的关系可以近似的看作一次函数(如图) （1）求y 与x 之间的函数关系（2）设公司获得的总利润为 W 元，求 W 与x 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；根据题意判断：当x 取何值时，W 的值最大？最大值是多少？4．(2011湖北)为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神，最近，州委州政府又出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量ｗ(千克)与销售价ｘ(元/千克)有如下关系：ｗ=－2ｘ＋80．设这种产品每天的销售利润为ｙ(元) ．(1)求ｙ与ｘ之间的函数关系式；(2)当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少?(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元?。
二次函数最大利润求法经典
一、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价2元，每星期少卖出20件。
商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？分析：此题用到的数量关系是：〔1〕利润=售价-进价〔2〕销售总利润=单件利润×销售数量问题1：售价为x 元时，每件的利润可表示为 〔x-40〕问题2：售价为x 元，售价涨了多少元？可表示为 〔x-60〕问题3：售价为x 元，销售数量会减少，减少的件数为 -60202x ⨯ 〔件〕 问题4：售价为x 元，销售数量为y 〔件〕，那么y 与x 的函数关系式可表示为-60300202x y =-⨯=30010(60)x --=10900x -+因为0600x x ⎧⎨-≥⎩ 自变量x 的取值X 围是 60x ≥问题4：售价为x 元，销售数量为y 〔件〕，销售总利润为W 〔元〕，那么W 与x 的函数关系式为(40)W x y =-⋅=(40)(10900)x x --+=210130036000x x -+-问题5：售价为x 元，销售总利润为W 〔元〕时，可获得的最大利润是多少？因为 (40)W x y =-⋅=(40)(10900)x x --+=210130036000x x -+-=210(130)36000x x ---=22210(13065)6536000x x ⎡⎤--+--⎣⎦ =210(65)4225036000x --+-=210(65)6250x --+所以可知，当售价为65元时，可获得最大利润，且最大利润为6250元二、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每降价2元，每星期可多卖出40件，商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？分析：此题用到的数量关系是：〔1〕利润=售价-进价〔2〕销售总利润=单件利润×销售数量问题1：售价为x 元时，每件的利润可表示为 〔x-40〕问题2：售价为x 元，售价降了多少元？可表示为 〔60-x 〕问题3：售价为x 元，销售数量会增加，增加的件数为 60402x -⨯ 〔件〕 问题4：售价为x 元，销售数量为y 〔件〕，那么y 与x 的函数关系式可表示为60300402x y -=+⨯=30020(60)x +-=201500x -+因为0600x x ⎧⎨-≥⎩所以，自变量x 的取值X 围是 060x ≤≤问题4：售价为x 元，销售数量为y 〔件〕，销售总利润为W 〔元〕，那么W 与x 的函数关系式为(40)W x y =-⋅=(40)x -〔201500x -+〕=220230060000x x -+-问题5：售价为x 元，销售总利润为W 〔元〕时，可获得的最大利润是多少？因为 (40)W x y =-⋅=(40)x -〔201500x -+〕=220230060000x x -+-=220(115)60000x x --- =22211511520115)6000022x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ =211520()66125600002x --+- =220(57.5)6612560000x --+-=220(57.5)6125x --+所以可知，当售价为57.5元时，可获得最大利润，且最大利润为6125元三、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价2元，每星期少卖出20件；每降价2元，每星期可多卖出40件，商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？分析：调整价格包括涨价和降价两种情况，即：〔1〕涨价时，虽然销售数量减少了，但是每件的利润增加了，所以可以使销售过程中的总利润增加〔2〕降价时，虽然每件的利润减少了，但是销售数量增加了，所以同样可以使销售过程中的总利润增加此题用到的数量关系是：〔1〕利润=售价-进价〔2〕销售总利润=单件利润×销售数量根据题目内容，完成以下各题：1、涨价时〔1〕售价为x 元，销售数量为y 〔件〕，那么y 与x 的函数关系式可表示为-60300202x y =-⨯=30010(60)x --=10900x -+因为0600x x ⎧⎨-≥⎩ 自变量x 的取值X 围是 60x ≥〔2〕售价为x 元，销售数量为y 〔件〕，销售总利润为W 〔元〕，那么W 与x 的函数关系式为1(40)W x y =-⋅=(40)(10900)x x --+=210130036000x x -+-〔3〕售价为x 元，销售总利润为W 〔元〕时，可获得的最大利润是多少？ 1W =(40)(10900)x x --+=210130036000x x -+-=210(130)36000x x ---=22210(13065)6536000x x ⎡⎤--+--⎣⎦ =210(65)4225036000x --+-=210(65)6250x --+2、降价时：〔1〕售价为x 元，销售数量为y 〔件〕，那么y 与x 的函数关系式可表示为60300402xy -=+⨯=30020(60)x +-=201500x -+因为0600x x ⎧⎨-≥⎩所以，自变量x 的取值X 围是 060x ≤≤〔2〕售价为x 元，销售数量为y 〔件〕，销售总利润为W 〔元〕，那么W 与x 的函数关系式为2W =(40)x -y=(40)x -〔201500x -+〕=220230060000x x -+-〔3〕售价为x 元，销售总利润为W 〔元〕时，可获得的最大利润是多少？因为2W =(40)x -〔60300402x-+⨯〕=(40)x -〔201500x -+〕=220230060000x x -+-=220(115)60000x x --- =22211511520115)6000022x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦=211520()66125600002x --+-=220(57.5)6612560000x --+-=220(57.5)6125x --+所以可知，当售价为57.5元时，可获得最大利润，且最大利润为6125元此题解题过程如下：解：设售价为x 元，利润为W〔1〕涨价时，1W =(40)x -〔300 --60202x ⨯〕 =(40)(10900)x x --+=210130036000x x -+-=210(130)36000x x ---=22210(13065)6536000x x ⎡⎤--+--⎣⎦ =210(65)4225036000x --+-=210(65)6250x --+所以可知，当售价为65元时，可获得最大利润，且最大利润为6250元〔2〕降价时，2W =(40)x -〔300+60402x -⨯〕 =(40)x -〔201500x -+〕=220230060000x x -+-=220(115)60000x x --- =22211511520115)6000022x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ =211520()66125600002x --+- =220(57.5)6612560000x --+-=220(57.5)6125x --+所以可知，当售价为57.5元时，可获得最大利润，且最大利润为6125元综上所述，售价为65元或售价为57.5元时，都可得到最大利润，最大利润分别为6250元或6125元。
二次函数的应用(利润问题)
二次函数的应用——利润问题[例1]：求以下二次函数的最值：〔1〕求函数322-+=x x y 的最值． 解：4)1(2-+=x y当1-=x 时，y 有最小值4-，无最大值．〔2〕求函数322-+=x x y 的最值．)30(≤≤x 解：4)1(2-+=x y∵30≤≤x ，对称轴为1-=x∴当12330有最大值时；当有最小值时y x y x =-=．[例2]：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？解：设涨价〔或降价〕为每件x 元，利润为y 元，1y 为涨价时的利润，2y 为降价时的利润 那么：)10300)(4060(1x x y -+-=)60010(102---=x x6250)5(102+--=x当5=x ，即：定价为65元时，6250max =y 〔元〕)20300)(4060(2x x y +--= )15)(20(20+--=x x6125)5.2(202+--=x当5.2=x ，即：定价为57.5元时，6125max =y 〔元〕综合两种情况，应定价为65元时，利润最大．[练习]：1．某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？ 解：设每件价格提高x 元，利润为y 元， 那么：)20400)(2030(x x y --+= )20)(10(20-+-=x x 4500)5(202+--=x 当5=x ，4500max =y 〔元〕答：价格提高5元，才能在半个月内获得最大利润．2．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元．你能帮助分析一下，当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？月 日解：设旅行团有x 人)30(≥x ，营业额为y 元， 那么：)]30(10800[--=x x y )110(10--=x x 30250)55(102+--=x 当55=x ，30250max =y 〔元〕答：当旅行团的人数是55人时，旅行社可以获得最大营业额．[例3]： 某产品每件本钱10元，试销阶段每件产品的销售价x (元)与产品的日销售量y (件)之间的关系如下表： 假设日销售量y 是销售价x 的一次函数． ⑴求出日销售量y (件)与销售价x (元)的函数关系式；⑵要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？解：⑴设一次函数表达式为b kx y +=．那么1525,220k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得⎩⎨⎧=-=401b k ，•即一次函数表达式为40+-=x y ．⑵ 设每件产品的销售价应定为x 元， 所获销售利润为w 元y x w )10(-=)40)(10(+--=x x400502-+-=x x225)25(2+--=x当25=x ，225max =y 〔元〕答：产品的销售价应定为25元时，每日获得最大销售利润为225元．【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点： ⑴在“当某某为何值时，什么最大(或最小、最省)〞的设问中， “某某〞要设为自变量，“什么〞要设为函数；⑵求解方法是依靠配方法或最值公式，而不是解方程． 3．〔2006十堰市〕市“健益〞超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30•元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y (千克)•与销售单价x (元) (30≥x 〕存在如以下图所示的一次函数关系式． ⑴试求出y 与x 的函数关系式；⑵设“健益〞超市销售该绿色食品每天获得利润P 元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？⑶根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，•现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x 的范围(•直接写出答案)．x 〔元〕 15 20 30 … y 〔件〕 25 20 10 …解：⑴设y=kx+b 由图象可知，3040020,:402001000k b k k b b +==-⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩解之得， 即一次函数表达式为100020+-=x y )5030(≤≤x ． ⑵ y x P )20(-=)100020)(20(+--=x x 200001400202-+-=x x∵020<-=a ∴P 有最大值．当35)20(21400=-⨯=x 时，4500max =P 〔元〕〔或通过配方，4500)35(202+--=x P ，也可求得最大值〕答：当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润4500元．⑶∵44804500)35(2041802≤+--≤x 16)35(12≤-≤x ∴31≤x ≤34或36≤x≤39．作业布置： 1．二次函数1212-+=x x y ，当x=_-1，_时，y 有最_小_值，这个值是23-． 2．某一抛物线开口向下，且与x 轴无交点，那么具有这样性质的抛物线的表达式可能为12--=x y (只写一个)，此类函数都有_大_值(填“最大〞“最小〞)．3．不管自变量x 取什么实数，二次函数y =2x 2－6x +m 的函数值总是正值，你认为m 的取值范围是29>m ，此时关于一元二次方程2x 2－6x +m =0的解的情况是_有解_(填“有解〞或“无解〞)解：29)23(22-+-=m x y ∵0)23(22≥-x ，要使0>y ，只有029>-m ∴29>m 4．小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线21 3.55y x =-+的一局部，如下图，假设命中篮圈中心，那么他与篮底的距离L 是 4.5米 ．月 日解：当05.3=y 时，21 3.55y x =-+05.3= 45.052⨯=x ，5.1=x 或5.1-=x 〔不合题意，舍去〕5．在距离地面2m 高的某处把一物体以初速度V 0〔m/s 〕竖直向上抛出，•在不计空气阻力的情况下，其上升高度s 〔m 〕与抛出时间t 〔s 〕满足：S=V 0t-12gt 2〔其中g 是常数，通常取10m/s 2〕，假设V 0=10m/s ，那么该物体在运动过程中最高点距离地面__7_m ．解：t t s 1052+-=5)1(52+--=t当1=t 时，5max =s ，所以，最高点距离地面725=+(米)．6．影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数．有研究说明，晴天 在某段公路上行驶上，速度为V 〔km/h 〕的汽车的刹车距离S 〔m 〕可由公式S=1100V 2确定；雨天行驶时，这一公式为S=150V 2．如果车行驶的速度是60km/h ，•那么在雨天 行驶和晴天行驶相比，刹车距离相差_36_米．7．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个．假设这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，那么应降价_5_元，最大利润为_625_元． 解：设每件价格降价x 元，利润为y 元， 那么：)20)(70100(x x y +--=600102++-=x x 625)5((2+--=x当5=x ，625max =y 〔元〕答：价格提高5元，才能在半个月内获得最大利润．8．如图，一小孩将一只皮球从A 处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一局部，如果他的出手处A 距地面的距离OA 为1 m ，球路的最高点B (8，9)，那么这个二次函数的表达式为______，小孩将球抛出了约______米(精确到0.1 m) ．解：设9)8(2+-=x a y ，将点A )1,0(代入，得81-=a12819)8(8122++-=+--=x x x y令0=y ，得09)8(812=+--=x y98)8(2⨯=-x268±=x ，)0,268(+C ，∴5.242688≈++=OC (米)9．〔2006年青岛市〕在2006年青岛崂山北宅樱桃节前夕，•某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查统计，得到如下数据：销售价x 〔元/千克〕 … 25 242322…销售量y 〔千克〕… 2000 2500 3000 3500 …〔1〕在如图的直角坐标系内，作出各组有序数对〔x ，y 〕所对应的点．连接各点并观察所得的图形，判断y 与x 之间的函数关系，并求出y 与x 之间的函数关系式； 〔2〕假设樱桃进价为13元/千克，试求销售利润P 〔元〕与销售价x 〔元/千克〕之间的函数关系式，并求出当x 取何值时，P 的值最大？ 解：〔1〕由图象可知，y 是x 的一次函数，设y=kx+b ，• ∵点〔•25，2000〕，〔24，2500〕在图象上，∴200025500,:25002414500k bk k b b =+=-⎧⎧⎨⎨=+=⎩⎩解得 ， ∴y=-500x+14500． 〔2〕P=(x-13)·y=(x-13)·(-500x+14500))37744144142(500)37742(500)29)(13(50022+-+--=+--=---=x x x x x x=-500(x-21)2+32000∴P 与x 的函数关系式为P=-500x 2+21000x-188500，当销售价为21元/千克时，能获得最大利润，最大利润为32000元．10．有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去．假设放养期内蟹的个体质量根本保持不变，现有一经销商，按市场价收购这种活蟹1000 kg 放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需支出各种费用为400元，且平均每天还有10 kg 蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克20元．(1)设x 天后每千克活蟹的市场价为p 元，写出p 关于x 的函数关系式； (2)如果放养x 天后将活蟹一次性出售，并记1000 kg 蟹的销售总额为Q 元，写出Q 关于x 的函数关系式．(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润(利润=Q －收购总额)？ 解：(1)由题意知：p=30+x,(2)由题意知：活蟹的销售额为(1000－10x)(30+x)元,死蟹的销售额为200x 元.月 日∴Q=(1000－10x)(30+x)+200x=－10x 2+900x+30000. (3)设总利润为W 元那么：W=Q －1000×30－400x=－10x 2+500x=－10(x 2－50x) =－10(x －25)2+6250.当x=25时，总利润最大，最大利润为6250元． 答：这批蟹放养25天后出售，可获最大利润．11．(2021湖北恩施)为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神，最近，州委州政府又出台了一系列“三农〞优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农副产品，这种产品的本钱价为20元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量ｗ(千克)与销售价ｘ(元/千克)有如下关系：ｗ=－2ｘ＋80．设这种产品每天的销售利润为ｙ(元) ．(1)求ｙ与ｘ之间的函数关系式；(2)当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少? (3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元? 解：)802)(20()20(+--=-=x x w x y)40)(20(2---=x x)80060(22+--=x x 200)30(22+--=x160012022-+-=x x当30=x ，200max =y 〔元〕(1)y 与x 之间的的函数关系式为；160012022-+-=x x y(2)当销售价定为30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元． (3) 150200)30(22=+--x ，25)30(2=-x28351>=x 〔不合题意，舍去〕252=x答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为25元．12．(2021河北)研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为x (吨)时，所需的全部费用y (万元〕与x 满足关系式9051012++=x x y ，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价，〔万元〕均与满足一次函数关系．〔注：年利润＝年销售额－全部费用〕〔1〕成果说明，在甲地生产并销售吨时，，请你用含的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润〔万元〕与之间的函数关系式；〔2〕成果说明，在乙地生产并销售吨时，〔为常数〕，且在乙地当年的最大年利润为35万元．试确定的值；〔3〕受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商方案第一年生产并销售该产品18吨，根据〔1〕，〔2〕中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？解：〔1〕甲地当年的年销售额为万元；．〔2〕在乙地区生产并销售时，年利润．由，解得或．经检验，不合题意，舍去，．〔3〕在乙地区生产并销售时，年利润，将代入上式，得〔万元〕；将代入，得〔万元〕．，应选乙地．。
二次函数最大利润问题-完整版课件
例4.某汽车租赁公司拥有20辆汽车.据统计,当每辆车的 日租金为400元时,可全部租出;当每辆车的日租金每增 加50元,未租出的车将增加1辆;公司平均每日的各项支 出共4800元.设公司每日租出工辆车时,日收益为y 元.(日收益=日租金收入一平均每日各项支出) (1)公司每日租出x辆车时,每辆车的日租金为 元(用 含x的代数式表示); (2)当每日租出多少辆时,租赁公司日收益最大?最大是 多少元? (3)当每日租出多少辆时,租赁公司的日收益不盈也不亏?
1.4二次函数应用--最大利润问题
数学浙教版 九年级上
利润=每瓶利润×销售量 纯利润=每瓶利润×销售量-其他成本
销售价每增加(减少)多少元, 注意增加,减少 销售量就减少(增加)多少个. 的比较基础是谁.
例1.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出,平均 每天能售出8台,为了配合国家“家电下乡”政策的实 施,商场决定采取适当的降价措施.调查表明:这种冰 箱的售价每降低50元,平均每天就能多售出4台．
销售单价(元) 6 7 8 9 10 11 12
日均销售量(瓶) 480 440 400 360 320 280 240
①若记销售单价为x元(x为整数),日均利润(总利润=每 瓶利润×销售量-固定成本)为y元,求y关于x的函数解 析式和自变量的取值范围;
②若要使日均利润达到最大,销售单价应定为多少元? 最大日均利润为多少元?
销售单价(元) 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量(瓶) 480 440 400 360 320 280 240
①若记销售单价为x元,日均利润(总利润=每瓶利润 ×销售量-固定成本)为y元,求y关于x的函数解析式;
②若要使日均利润达到最大,销售单价应定为多少 元?最大日均利润为多少元?
二次函数--(利润最大值问题)-顶点在范围内
22.3（3.1）---（利润最大值问题）-顶点在范围内一．【知识要点】1.解题步骤：（1）.设：设出两变量；（2）.列：列出函数解析式；（3）.定：确定自变量的取值范围；（4）.判：判断存在最大（小）值；（5）.求：求出对称轴，并判断对称轴是否在取值范围；（6）.算：计算最值。
二．【经典例题】1．某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？（3）若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？2.（绵阳2019年第21题本题满分11分）辰星旅游度假村有甲种风格客房15间，乙种风格客房20间．按现有定价：若全部入住，一天营业额为8500元；若甲、乙两种风格客房均有10间入住，一天营业额为5000元．(1)求甲、乙两种客房每间现有定价分别是多少元？(2)度假村以乙种风格客房为例，市场情况调研发现：若每个房间每天按现有定价，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加20元时，就会有两个房间空闲．如果游客居住房间，度假村需对每个房间每天支出80元的各种费用．当每间房间定价为多少元时，乙种风格客房每天的利润m最大，最大利润是多少元？3.善于不断改进学习方法的小迪发现，对解题进行回顾反思，学习效果更好．某一天小迪有20分钟时间可用于学习．假设小迪用于解题的时间x （单位：分钟）与学习收益量y 的关系如图1所示，用于回顾反思的时间x （单位：分钟）与学习收益y 的关系如图2所示（其中OA 是抛物线的一部分，A 为抛物线的顶点），且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间．（1）求小迪解题的学习收益量y 与用于解题的时间x 之间的函数关系式；（2）求小迪回顾反思的学习收益量y 与用于回顾反思的时间x 的函数关系式； （3）问小迪如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这20分钟的学习收益总量最大？4.（2019年绵阳期末第23题）某镇在国家“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力种植蔬菜，增加收入.(1)该镇2016年蔬菜产量为50吨，2018年达到72吨。
中考数学二次函数商品利润最大问题整理
中考数学二次函数商品利润最大问题整理初中数学实际问题与二次函数商品利润最大问题1．经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系。
2．会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值。
3．能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题。
一、情境导入红光旅社有100张床位，每床每日收费10元，客床可全部租出，若每床每日收费提高2元，则租出床位减少10张，若每床每日收费再提高2元，则租出床位再减少10张，以每提高2元的这种方式变化下去，每床每日应提高多少元，才能使旅社获得最大利润？二、合作探究探究点一：最大利润问题【类型一】利用解析式确定获利最大的条件为了推进知识和技术创新、节能降耗，使我国的经济能够保持可持续发展．某工厂经过技术攻关后，产品质量不断提高，该产品按质量分为10个档次，生产第一档次(即最低档)的新产品一天生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，每件可节约能源消耗2元，但一天产量减少4件．生产该产品的档次越高，每件产品节约的能源就越多，是否获得的利润就越大？请你为该工厂的生产提出建议．解析：在这个工业生产的实际问题中，随着生产产品档次的变化，所获利润也在不断的变化，于是可建立函数模型；找出题中的数量关系：一天的总利润＝一天生产的产品件数×每件产品的利润；其中，“每件可节约能源消耗2元”的意思是利润增加2元；利用二次函数确定最大利润，再据此提出自己认为合理的建议．解：设该厂生产第x档的产品一天的总利润为y元，则有y＝[10＋2(x－1)][76－4(x－1)]＝－8x2＋128x＋640＝－8(x－8)2＋1152.当x＝8时，y最大值＝1152.由此可见，并不是生产该产品的档次越高，获得的利润就越大．建议：若想获得最大利润，应生产第8档次的产品．(其他建议，只要合理即可)【类型二】利用图像解析式确定最大利润某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y1(元)与销售时间第x 月之间存在如图①所示(一条线段)的变化趋势，每千克成本y2(元)与销售时间第x月满足函数关系式y2＝mx2－8mx＋n，其变化趋势如图②所示．(1)求y2的解析式；(2)第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？解：(1)由题意可得，函数y2的图像经过两点(3，6)，(7，7)∴(2)设y1＝kx＋b，∵函数y1的图像过两点(4，11)，(8，10)∴8k＋b＝10，4k＋b＝11，解得∴y1的解析式为设这种水果每千克所获得的利润为w元．则w＝y1－y2＝∴w＝∴当x＝3时，w取最大值∴第3月销售这种水果，每千克所获的利润最大，最大利润是。
(完整版)二次函数最大利润求法经典.doc
一、某商品现在的售价为每件60 元，每星期可卖出300 件，市场调查反映：每涨价 2 元，每星期少卖出20 件。
已知商品的进价为每件40 元，如何定价才能使利润最大？分析：本题用到的数量关系是：（1）利润 =售价 -进价（2）销售总利润 =单件利润×销售数量问题 1：售价为x 元时，每件的利润可表示为（ x-40 ）问题 2：售价为x 元，售价涨了多少元？可表示为（ x-60）问题 3：售价为x 元，销售数量会减少，减少的件数为x-6020 （件）2问题 4：售价为 x 元，销售数量为y（件），那么 y 与 x 的函数关系式可表示为y 300 x-60300 10( x 60) =10x 90020 =2x f 0因为60 0x自变量 x 的取值范围是x 60问题 4：售价为x 元，销售数量为y（件），销售总利润为W （元），那么 W 与 x 的函数关系式为W ( x 40) y=( x 40)( 10 x900)=10x2 1300 x 36000问题 5：售价为x 元，销售总利润为W （元）时，可获得的最大利润是多少？因为 W ( x 40) y= ( x 40)( 10x 900)= 10 x2 1300 x 36000= 10( x2 130x) 36000= 10 (x2 130x 652 ) 652 36000=10( x 65)24225036000=10( x 65)26250所以可知，当售价为65 元时，可获得最大利润，且最大利润为6250 元二、某商品现在的售价为每件60 元，每星期可卖出300 件，市场调查反映：每降价 2 元，每星期可多卖出40 件，已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？分析：本题用到的数量关系是：（1）利润 =售价 -进价（2）销售总利润 =单件利润×销售数量问题 1：售价为 x 元时，每件的利润可表示为（ x-40 ）问题 2：售价为 x 元，售价降了多少元？可表示为（ 60-x）问题 3：售价为 x 元，销售数量会增加，增加的件数为60 x40 （件）2问题 4：售价为 x 元，销售数量为y（件），那么 y 与 x 的函数关系式可表示为y 300 60 x300 20(60 x) =20 x 150040 =2x f 0因为x 060所以，自变量x 的取值范围是0 x 60问题 4：售价为 x 元，销售数量为y（件），销售总利润为W （元），那么 W 与 x 的函数关系式为W (x 40) y=( x 40) （20x1500）=20x2 2300x 60000问题 5：售价为x 元，销售总利润为W （元）时，可获得的最大利润是多少？因为W ( x 40) y= ( x 40) （20x 1500）= 20x2 2300x 60000= 20( x2 115x) 600002 2= 20 x2 115x 115 ) 115 600002 2= 20( x 115 )2 66125 600002= 20( x 57.5) 2 66125 60000= 20( x 57.5) 2 6125所以可知，当售价为57.5 元时，可获得最大利润，且最大利润为6125 元三、某商品现在的售价为每件价 2 元，每星期可多卖出4060 元，每星期可卖出 300 件，市场调查反映：每涨价 2 元，每星期少卖出件，已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？20 件；每降分析：调整价格包括涨价和降价两种情况，即：（1）涨价时，虽然销售数量减少了，但是每件的利润增加了，所以可以使销售过程中的总利润增加（2）降价时，虽然每件的利润减少了，但是销售数量增加了，所以同样可以使销售过程中的总利润增加本题用到的数量关系是：（1）利润 =售价 -进价（2）销售总利润 =单件利润×销售数量根据题目内容，完成下列各题：1、涨价时（ 1）售价为 x 元，销售数量为y（件），那么 y 与 x 的函数关系式可表示为y 300 x-60300 10( x 60) =10x 900 220 =因为x f 0x 60 0自变量 x 的取值范围是x 60（ 2）售价为 x 元，销售数量为y（件），销售总利润为 W （元），那么 W 与 x 的函数关系式为W1 (x 40) y= ( x 40)( 10 x 900)=10x2 1300 x 36000（3）售价为 x 元，销售总利润为 W （元）时，可获得的最大利润是多少？W1= ( x 40)( 10x 900)= 10 x2 1300 x 36000= 10( x2 130x) 36000= 10 (x2 130x 652 ) 652 36000=10( x 65)24225036000=10( x 65)26250所以可知，当售价为65 元时，可获得最大利润，且最大利润为6250 元2、降价时：（ 1）售价为 x 元，销售数量为y（件），那么 y 与 x 的函数关系式可表示为60 x300 20(60 x) =20 x 1500y 300 40 =2x f 0因为x 060所以，自变量 x 的取值范围是 0 x 60（ 2）售价为 x 元，销售数量为 y （件），销售总利润为 W （元），那么 W 与 x 的函数关系式为W 2 = (x 40) y= ( x 40) （ 20x 1500）=20x 2 2300x 60000（ 3）售价为 x 元，销售总利润为 W （元）时，可获得的最大利润是多少？因为W 2 = ( x 40) （ 30060 x 40 ）2= (x 40) （ 20x 1500）=20 x 2 2300 x 60000= 20( x 2115x) 6000022= 20 x 2115x115 ) 115 600002 2= 20( x 115)266125 600002= 20( x 57.5) 266125 60000= 20( x 57.5)26125所以可知，当售价为57.5 元时，可获得最大利润，且最大利润为 6125 元本题解题过程如下：解：设售价为 x 元，利润为 W （ 1）涨价时，W 1 = ( x 40) （ 300 -x-60 20 ）2= ( x 40)( 10x 900)= 10 x2 1300 x 36000= 10( x2 130x) 36000= 10 (x2 130x 652 ) 652 36000= 10( x 65)2 42250 36000= 10( x 65)2 6250所以可知，当售价为65 元时，可获得最大利润，且最大利润为6250 元（ 2）降价时，W2= (x60 x40) （300+ 40 ）2= ( x 40)（20x 1500）= 20x2 2300x 60000= 20( x2 115x) 600002 2= 20 x2 115x 115 ) 115 600002 2= 20( x 115 )2 66125 600002= 20( x 57.5) 2 66125 60000= 20( x 57.5) 2 6125所以可知，当售价为57.5 元时，可获得最大利润，且最大利润为6125 元综上所述，售价为65 元或售价为 57.5 元时，都可得到最大利润，最大利润分别为6250 元或 6125 元。
二次函数,最大利润
最大利润问题总利润=单件商品利润*销售数量设未知数时，总利润必然是因变量y , 而自变量可能有两种情况：1）自变量x是涨价多少，或降价多少2）自变量x是最终的销售价格而这种题型之所以是二次函数，就是因为总利润=单件商品利润*销售数量等式中的单件利润有自变量x，销售数量里也有个自变量x，至于为什么它们各自都有一个x,后面会给出解释，那么两个含有x的式子一相乘，再打开后就是必然是一个二次的多项式例题商场促销，将每件进价为80元的服装按原价100元出售，一天可售出140件，后经市场调查发现，该服装的单价每降低1元，其销量可增加10件现设一天的销售利润为y元，降价x元。
（1）求按原价出售一天可得多少利润？解析：总利润=单利润*数量所以按原价出售的话，则y=（2）求销售利润y与降价x的的关系式解析：总利润=数量*单利润因为降价，单利润会有变动，又因为进价不可能变，那降多少元，利润减少多少元，降价x元，利润就减少x元，所以单利润就减少x元，即单利润变为：（100-80-x）又想：因为降价卖的就多，那么数量怎么变？原来一天140件，降1元多卖10件，降x元就应该多卖10x件，所以数量就变为：（140+10x）(3)商场要使每天利润为2850元并且使得玩家得到实惠，应该降价多少元？（4）要使利润最大，则需降价多少元？并求出最大利润解析：因为要是利润最大，所以需要求因变量y的最大值，重点难点：（5）现题目条件不变，若将降价后的销售价格设为自变量x,求因变量y与自变量x的关系式解析：原来的自变量是什么？是降低的价格，而现在是降后的售价自变量一变化，那么关系式就全变了，所以之前的一切关系都要作废但总利润=单利润*数量，这个关系是永远不变的！所以要找到y与x的关系，还是从此处出发这么想：单利润=售价-进价，进价是不变的，而售价现在变为x了，则单利润就是（x-80），而这时数量就变复杂了，这么想：数量变化依然是因为降价而造成的，始终有降价1元多卖10件这一关系，所以如果知道了降多少元，就必然知道多卖多少件，那么降了多少呢？最初的售价是100元，降价后的售价是x元，那么之间的差值就是所降的价格，即降价为(100-x),我们知道降1元多卖10件，现在降了（100-x）,那么就应该多卖10*（100-x）件,注意这只是多买的，总共买的应该是原来卖的加上多卖的，即140+10*（100-x），所以数量就是[140+10*（100-x）]单利润知道了是（x-80），销售数量也知道了是 [140+10*（100-x）]则总利润y=（x-80）* [140+10*（100-x）]（一）涨价或降价为未知数例1、某旅社有客房120间，每间房间的日租金为50元，每天都客满，旅社装修后要提高租金，经市场调查，如果一间客房的日租金每增加5元，则每天出租的客房会减少6间。
二次函数最大利润问题完整版
二次函数最大利润问题 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】二次函数最大利润问题44.某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大最大利润是多少（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量）45.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克.（1）设每天盈利w元，求出w关于x的函数关系式，并说明每天盈利是否可以达到8000元（2）若该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元46.某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=-10x+500（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元（成本＝进价×销售量）47.某商场将每件进价为160元的某种商品原来按每件200元出售，一天可售出100件，后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低2元，其销量可增加10件．（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元．①若商场经营该商品一天要获利润4320元，则每件商品应降价多少元②求出y与x之间的函数关系式，当x取何值时，商场获利润最大并求最大利润值．48.某工艺品厂生产一款工艺品．已知这款工艺品的生产成本为每件元．经市场调研发现：该款工艺品每天的销售量件与售价元之间存在着如下表所示的一次函数关系．（1）求销售量件与售价元之间的函数关系式；（2）设每天获得的利润为元，当售价为多少时，每天获得的利润最大并求出最大值.49.某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件。
二次函数最大利润
二次函数最大利润知识回顾1、抛物线y=2(x-1)²+1的顶点坐标是。
2、函数y=3(x+2)²+4,当x= 时，y最值= 。
3、函数y=-x²+2x-3,当x= 时，y最值= 。
例题某公司经销一种绿茶，每千克成本为50。
市场调查发现，在一段时间内，销售量w（千克）随销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体关系式为：w=-2x+240.设这种绿茶在这段时间内的利润为y（元），解答下列问题：（1）求y与x的关系式；（2）当x取何值时，y的值最大？（3）如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为多少元？（4）公司想要在这段时间内获得不少于2250元的销售利润，销售单价应在什么范围内？（2009年烟台市中考题）某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？例二宏达商店为某工厂代销一种产品，当每件售价为360元时，销售量为300件，该商店为提高经营利润，准备采用降价的方式进行促销，经调查发现，当每件售价每下降10元，月销售量就会增加25件。
综合考虑各种因素，每售出一件产品共需支付厂家及其它费用200元。
设该商店每件产品售价为x（元），月利润为y(元)。
（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）售价每件定为多少元时，该商店获得月利润最大？最大月利润是多少？（3）每月要获得高于45000的利润，售价应定在什么范围之内？（09内蒙古包头）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本价，且获利不高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y=kx+b,且x=65时,y=55,x=75时,y=45 （1）求一次函数y=kx+b的表达式（2）若该商场获得利润w元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？(3)若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围家庭作业1.某商场购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个。
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一、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价2元，每星期少卖出20件。
已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？分析：本题用到的数量关系是：（1）利润=售价-进价（2）销售总利润=单件利润×销售数量问题1：售价为x 元时，每件的利润可表示为 （x-40）问题2：售价为x 元，售价涨了多少元？可表示为 （x-60）问题3：售价为x 元，销售数量会减少，减少的件数为 -60202x ⨯ （件） 问题4：售价为x 元，销售数量为y （件），那么y 与x 的函数关系式可表示为-60300202x y =-⨯=30010(60)x --=10900x -+ 因为0600x x ⎧⎨-≥⎩自变量x 的取值围是 60x ≥问题4：售价为x 元，销售数量为y （件），销售总利润为W （元），那么W 与x 的函数关系式为(40)W x y =-⋅=(40)(10900)x x --+=210130036000x x -+-问题5：售价为x 元，销售总利润为W （元）时，可获得的最大利润是多少？因为 (40)W x y =-⋅=(40)(10900)x x --+=210130036000x x -+-=210(130)36000x x ---=22210(13065)6536000x x ⎡⎤--+--⎣⎦ =210(65)4225036000x --+-=210(65)6250x --+所以可知，当售价为65元时，可获得最大利润，且最大利润为6250元二、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每降价2元，每星期可多卖出40件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？分析：本题用到的数量关系是：（1）利润=售价-进价（2）销售总利润=单件利润×销售数量问题1：售价为x 元时，每件的利润可表示为 （x-40）问题2：售价为x 元，售价降了多少元？可表示为 （60-x ）问题3：售价为x 元，销售数量会增加，增加的件数为 60402x -⨯ （件） 问题4：售价为x 元，销售数量为y （件），那么y 与x 的函数关系式可表示为60300402x y -=+⨯=30020(60)x +-=201500x -+ 因为0600x x ⎧⎨-≥⎩所以，自变量x 的取值围是 060x ≤≤问题4：售价为x 元，销售数量为y （件），销售总利润为W （元），那么W 与x 的函数关系式为(40)W x y =-⋅=(40)x -（201500x -+）=220230060000x x -+-问题5：售价为x 元，销售总利润为W （元）时，可获得的最大利润是多少？因为 (40)W x y =-⋅=(40)x -（201500x -+）=220230060000x x -+-=220(115)60000x x --- =22211511520115)6000022x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ =211520()66125600002x --+- =220(57.5)6612560000x --+-=220(57.5)6125x --+三、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价2元，每星期少卖出20件；每降价2元，每星期可多卖出40件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？分析：调整价格包括涨价和降价两种情况，即：（1）涨价时，虽然销售数量减少了，但是每件的利润增加了，所以可以使销售过程中的总利润增加（2）降价时，虽然每件的利润减少了，但是销售数量增加了，所以同样可以使销售过程中的总利润增加本题用到的数量关系是：（1）利润=售价-进价（2）销售总利润=单件利润×销售数量根据题目容，完成下列各题：1、涨价时（1）售价为x 元，销售数量为y （件），那么y 与x 的函数关系式可表示为-60300202x y =-⨯=30010(60)x --=10900x -+ 因为0600x x ⎧⎨-≥⎩自变量x 的取值围是 60x ≥（2）售价为x 元，销售数量为y （件），销售总利润为W （元），那么W 与x 的函数关系式为1(40)W x y =-⋅=(40)(10900)x x --+=210130036000x x -+-（3）售价为x 元，销售总利润为W （元）时，可获得的最大利润是多少？ 1W =(40)(10900)x x --+=210130036000x x -+-=210(130)36000x x ---=22210(13065)6536000x x ⎡⎤--+--⎣⎦ =210(65)4225036000x --+-=210(65)6250x --+所以可知，当售价为65元时，可获得最大利润，且最大利润为6250元2、降价时：（1）售价为x 元，销售数量为y （件），那么y 与x 的函数关系式可表示为60300402x y -=+⨯=30020(60)x +-=201500x -+ 因为0600x x ⎧⎨-≥⎩所以，自变量x 的取值围是 060x ≤≤（2）售价为x 元，销售数量为y （件），销售总利润为W （元），那么W 与x 的函数关系式为2W =(40)x -y=(40)x -（201500x -+）=220230060000x x -+-（3）售价为x 元，销售总利润为W （元）时，可获得的最大利润是多少？因为 2W =(40)x -（60300402x -+⨯） =(40)x -（201500x -+）=220230060000x x -+-=220(115)60000x x --- =22211511520115)6000022x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ =211520()66125600002x --+- =220(57.5)6612560000x --+-=220(57.5)6125x --+所以可知，当售价为57.5元时，可获得最大利润，且最大利润为6125元1W =(40)x -（300 --60202x ⨯） =(40)(10900)x x --+=210130036000x x -+-=210(130)36000x x ---=22210(13065)6536000x x ⎡⎤--+--⎣⎦ =210(65)4225036000x --+-=210(65)6250x --+所以可知，当售价为65元时，可获得最大利润，且最大利润为6250元（2）降价时， 2W =(40)x -（300+60402x -⨯） =(40)x -（201500x -+）=220230060000x x -+-=220(115)60000x x --- =22211511520115)6000022x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ =211520()66125600002x --+- =220(57.5)6612560000x --+-=220(57.5)6125x --+所以可知，当售价为57.5元时，可获得最大利润，且最大利润为6125元综上所述，售价为65元或售价为57.5元时，都可得到最大利润，最大利润分别为6250元或6125元。
四、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价2元，每星期少卖出20件；每降1W =(40)(10900)x x --+=210130036000x x -+-=210(130)36000x x ---=22210(13065)6536000x x ⎡⎤--+--⎣⎦ =210(65)4225036000x --+-=210(65)6250x --+所以可知，当售价为65元时，可获得最大利润，且最大利润为6250元（2）降价时， 2W =(40)x -（201500x -+）=220230060000x x -+-=220(115)60000x x --- =22211511520115)6000022x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ =211520()66125600002x --+- =220(57.5)6612560000x --+-=220(57.5)6125x --+所以可知，当售价为57.5元时，可获得最大利润，且最大利润为6125元综上所述，售价为65元或售价为57.5元时，都可得到最大利润，最大利润分别为6250元或6125元。
因为，为了尽快减少库存，所以应该采用降价销售。
因此售价应为57.5元。
（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值围；（2）在自变量的取值围，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。
求最大利润，学生版一、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价2元，每星期少卖出20件。
已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？分析：本题用到的数量关系是：问题2：售价为x元，售价涨了多少元？可表示为____________________问题3：售价为x元，销售数量会减少，减少的件数为_____________ （件）问题4：售价为x元，销售数量为y（件），那么y与x的函数关系式可表示为问题4：售价为x元，销售数量为y（件），销售总利润为W（元），那么W与x 的函数关系式为问题5：售价为x元，销售总利润为W（元）时，可获得的最大利润是多少？二、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每降价2元，每星期可多卖出40件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？分析：本题用到的数量关系是：问题2：售价为x元，售价降了多少元？可表示为 ______________问题3：售价为x元，销售数量会增加，增加的件数为 __________________（件）问题4：售价为x元，销售数量为y（件），那么y与x的函数关系式可表示为问题4：售价为x元，销售数量为y（件），销售总利润为W（元），那么W与x 的函数关系式为问题5：售价为x元，销售总利润为W（元）时，可获得的最大利润是多少？三、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价2元，每星期少卖出20件；每降价2元，每星期可多卖出40件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？分析：调整价格包括涨价和降价两种情况，即：（1）涨价时，虽然销售数量减少了，但是每件的利润增加了，所以可以使销售过程中的总利润增加（2）降价时，虽然每件的利润减少了，但是销售数量增加了，所以同样可以使销售过程中的总利润增加（1）利润=售价-进价（2）销售总利润=单件利润×销售数量根据题目容，完成下列各题：1、涨价时（1）售价为x元，销售数量为y（件），那么y与x的函数关系式可表示为（2）售价为x元，销售数量为y（件），销售总利润为W（元），那么W与x 的函数关系式为（3）售价为x元，销售总利润为W（元）时，可获得的最大利润是多少？2、降价时：（1）售价为x元，销售数量为y（件），那么y与x的函数关系式可表示为（2）售价为x元，销售数量为y（件），销售总利润为W（元），那么W与x 的函数关系式为（3）售价为x元，销售总利润为W（元）时，可获得的最大利润是多少？本题解题过程如下：解：设售价为x元，利润为W。