关于因式分解的论文

初中数学因式分解常用的方法与技巧

阿舍中学曹金凤

【摘要】多项式的因式分解是多项式乘法的逆过程，也是代数式恒等变形的一个重要组成部分。因式分解在代数的运算、解方程等方面都有极其广泛的应用。本文阐述了因式分解概念，并详细地介绍了因式分解的方法

【关键词】多项式因式分解应用

因式分解是中国数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地初中数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。

一、多项式分解的定义

把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式。

二、多项式因式分解的方法

（一）提公因式法

定义：把多项式中每项都含有的公因式提出来，从而把多项式化成两

因式相乘的形式叫提公因数法。

提公因式法基本步骤

1.找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；

2.提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式

除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。

例1 ()c b a m cm bm am ++=++；

()()()()()()()()b a y x y x b y x a x y b y x a x y b y x a --=---=-+-=-+-

（二）运用公式法

运用公式分解因式，就是把一些形如公式的多项式按公式的形式分解成几个 因式的乘积的形式的方法。

平方差公式：

()()b a b a b a -+=-22； 完全平方公式：()2222b a b ab a ±=+±；

注：(1)首平方，尾平方，首尾的2倍在中央，同号正，异号负

（2）公式法的关键是寻找首尾项，符号同中央。

（3）分解因式一定要彻底。

例2 分解因式

2

2

2

2222

22

222

22)( )2()5()2( )

44-)4()34()3()

)(2( )

)(()2()

32)(32(14)(4))(5(44)4(9

2416)3()())(2(9

4)1(m n m n m y x y xy x x q p q p x q x p x q x p x x x m n m m n m y xy x x x q x p x x -=-+=--=+-=+=-++=--++++=-+=++-+-+-+++-+-原式（原式原式原式）原式解（

(三)提公因式法与公式法的混合应用

当题目要因式分解时，首先要先考虑有没有公因式，有公因式要先提公因式，在考虑运用公式。

例3 分解因式

)

)((3 )

)(33( )22)(22()2()(3 )

2(3)1()2()2)(2(363)1(2

222

22

2y x y x y x y x y x y x y x y x y x a y xy x a y x y x ay axy ax -+=-+=--++++=+=++=+-+++原式原式解：

（四）、分组分解法

将几个项分在一起，进行局部变形，在进行整体变形的方法叫分组分解法。

))(( )( )

2()2()

4)(( )

4()4( )

4()4( 4)4()1(:2)2(44)1(2

222222222c b a c b a c b a bc c b a x y x x y x x x y x x y

xy x x bc

c b a y

x xy x +--+=--=-+-=-+=-+-=+--=---=+---+-原式原式解

注：（1）本公式应用于四项或四项以上的式子。

（2）将几个项分在一起，进行局部变形，在进行整体变形。

（3）可按相同字母分为1组，或按次数分为1组。（三次项跟三次项分在一起……）

三、多项式因式分解的特点

结果的对称型：由于一个多项式的可约与不可约都是相对于某个数域而言的，因此一道因式分解题究竟分解到何时才算是结局，应是给定数域而异。 对于定义域上的多项式的因式分解，在高等代数中已经证明了这种分解的结果除常数因式外是唯一的。

四、多项式因式分解的一般步骤

1.如果多项式的各项有公因式，那先提公因式；

2.如果各项没有公因式，那么可尝试用公式来分解。

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2012.7.7