关于因式分解的论文
因式分解思路新探(论文)
因式分解思路新探张桂庆 (江苏省丰县顺河初级中学 221721)摘 要 因式分解有四种基本方法即提公因式法、运用公式法、十字相乘法、分组分解法。
总的思路是先考虑有无公因式,再看是几项的,然后根据项数确定该用哪种方法。
此外,还有一些特殊方法即 先整理法 、 补项法 和 拆项法 。
关键词 因式分解 公因式 公式 分组 十字相乘在纷繁复杂、趣味无穷的数学王国里,有一朵光彩夺目的秀丽奇葩 因式分解,它以独特的知识结构、丰富多彩的科学内容,吸引着无数莘莘学子。
它在分式的约分、通分等许多数学领域都有着广泛的应用,因此,学好因式分解就显得格外重要。
那么,因式分解的思路问题也就成了解题的关键。
本人积多年数学教学工作的经验,就这个问题发表一下粗浅的见解,也许对数学战线的教育教学工作者有一些有益的启示。
大家都知道,因式分解有四种基本方法即提公因式法、运用公式法、十字相乘法、分组分解法。
除这四种基本方法外,还有一些特殊方法即 先整理法 、 补项法 和 拆项法 等。
那么,对于这么繁多的方法到底先考虑哪种呢?这些方法又分别适用于什么场合呢?这就涉及一个思路问题。
教材中对因式分解的一般步骤,说得也比较清楚。
但从课堂提问和作业来看,同学们对分解的思路还是有点乱。
通过对大量习题的分析研究,我总结出了一套切实可行、便于记忆的分解思路,学生普遍反映良好。
1 因式分解思路的探索1.1 先考虑公因式 如果一个多项式的各项有公因式,那一定要先提出来,否则,将使后面的步骤无法进行或非常麻烦。
如,多项式ax2-ay2,如果不先提出a,就无法用平方差公式,而对于多项式4x2-36y2,如果不先提出公因式4,而直接用平方差公式,那么过程就显得很麻烦。
试比较:方法一:4x2-36y2=4(x2-9y2)=4(x+3y)(x-3y)方法二:4x2-36y2=(2x+6y)(2x-6y)=2(x+3y) 2(x-3y)=4(x+3y)(x-3y)不难看出,方法二是复杂的,既然公因式早晚都得提出来,那为什么不早提而导致问题复杂化呢?1.2 再看是几项式 只有确定了项数,才能采取相应的措施。
因式分解的思考方法(论文)
31理化之窗摘要：因式分解是中学数学的重要内容之一，思想、内容和方法贯穿于整个中学数学教学之中。
因此，在中学数学教学中这部分内容应使每个学生切实掌握好。
本文谈谈中学数学中的因式分解方法。
关键词：因式分解公因式公式分组在初中数学思维训练中，因式分解的试题以及相关联的试题屡见不鲜，对因式分解掌握的程度直接影响分式、方程等知识的训练，因此学好因式分解是十分必要的。
关于因式分解的基本方法，数学教材作过专门介绍，这里只介绍几种典型的常用方法与技巧。
1．首先看多项式的各项是否有公因式可取，若有，先提取公因式。
2．然后看是否可用公式。
（公式有平方差公式，完全平方公式）3．若上述方法都不能奏效，则应考虑用分组分解法分解因式。
步骤：（1）提公因式法基本步骤：①第一步找公因式，可按照确定公因式的方法先确定系数，当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数，再确定字母，字母取各项的相同的字母，最后确定指数，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。
如果多项式的第一项是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数成为正数。
提出“－”号时，多项式的各项都要变号。
②第二步提公因式，并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别去除原多项式的每一项，所得到商的和作为另一个因式。
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。
如：－am＋bm＋cm ＝－m （a－b－c ）；再如：a （x－y ）＋b （y－x ）＝a （x－y ）－b （x－y ）＝（x－y ）（a－b ）。
（2）公式法基本步骤：平方差公式：a 2－b 2＝（a＋b ）（a－b ）；完全平方公式：a 2±2ab＋b 2＝（a±b ）2；注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍。
因式分解中的数学思想(论文)
怎样学好数学
—— —浅谈学习兴趣的培养
文/刘 伟
以前传统的教学模式，学生觉得上课枯燥无味，即使下课题 可以通过讨论互相启发，分析综合，在学生不易理解时讨论，同学
海连天，成绩也没有显著提高。今天课程改革犹如充满希望的新 之间可以互相取长补短，努力提高学习的效果。
生儿，以全新的教育教学理念向世人展示其生机与活力。我们教
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
例 2． 关于 x 的一元二次方程 x2+bx+c=0 的两根为 x1=1，x2=3， （2）a，b，c 是△ABC 三边，且 a（b-c）=c（b-c），那么△ABC 的
则 x2+bx+c 分解因式的结果是
。
形状是
（）
【点评】本题要理解因式分解解方程的本质过程。有两根为
节都由教师精心地讲解。教师的思维代替了学生的思维。老师讲 好思维，好方法，更有利于学生表达观点，发挥想象，互相启发，共
得太多、太细，留给学生动脑、动手的空间太小，抑制了学生主体 同发展。
作用的发挥。对于一个十几岁的青少年来说，知识单纯，但好奇心 总之，数学教学应紧密联系学生生活实际，从学生的生活经
强，教师应抓住这一特点，在教学中循循善诱，做课堂的组织者、 验和已有知识出发，创设生动有趣的情境，引导学生观察、操作、
态，以亲切期待的态度、热情的赞语来拉近师生之间的距离，比
及时有效地练习是教学的一个重要环节，是巩固知识的必要
如：教师要以饱满的热情上好每一节课，把微笑送给每一个学生， 途径。要使课堂达到高效，练习设计必须符合学生心理，采用灵活
让学生从自己生动的语调、亲切的眼神中受到激励，感到振奋；教 的形式，如：自编题目，同学互测互评，直观教具的使用，一题多
浅析因式分解 毕业论文.
学士学位论文题目浅析因式分解学生指导教师年级2009级专业数学与应用数学系别数学系学院数学与科学学院哈尔滨师范大学2013年4月因式分解浅析摘 要：因式分解是数学中恒等变形的一种重要的方法，它在初等数学乃至高等数学中，都有广泛的应用。
本论文首先运用类比和大量的举例对因式分解概念作了说明；其次给出了因式分解的一些方法以及应用过程，然后对因式分解中所涉及到的数学思想作了归纳和总结；最后通过调查分析了解了学生在学习因式分解中常出错的地方，并给出了应对方法。
因为本论文主要从理论上阐述了因式分解中的一些重要内容及方法，因此对于一般因式、数域、公因式等的定义都没有另行叙述而直接采用。
关键词： 因式分解 概念 方法 思想 错误分析一、因式分解概念在算术中，我们已掌握了整数分解质因数的概念，如：5315⨯=；在此基础上，由数向式过渡，我们得到因式分解的一般定义：通常把一个多项式分解为几个不能再分的因式的乘积，称作多项式的因式分解。
对于一个多项式能否因式分解，不能孤立的来考虑，在不同的数域内有不同的结论，为了说清楚这个问题，我们必须引进几个概念。
1．所谓多项式在给定的数集内讨论，是指多项式中的一切系数，以及自变量所取的值，都要属于这个数集。
例1 分解44-x 的因式在有理数域中，它的分解式是：)2)(2(22-+x x ，分解到这里就不能再继续分解，不然的话，分解式的系数将超出有理数的范围。
在实数域中，它的分解式是：)2)(2)(2(2-++x x x ，分解到这里，就不能再继续分解。
在复数域中，它的分解式：)2)(2)(2)(2(i x i x x x -+-+。
由此可见，对多项式的分解，必须先明确系数的数域，再理解其不能再分的含义。
2．当然因子和非当然因子。
在给定的数集内，任一多项式总能被该数集内的一个非零数整除，而且所除得的商与原多项式只差一个非零数值因子。
例2 在有理数集内分解 =-=-=-)116(41)41(414222x x x 这种和原多项式只差一个非零数值因子的多项式叫做原多项式的当然因子，一切其他因子叫做原多项式的非当然因子。
因式分解教学过程中学生学习能力培养论文
浅谈因式分解教学过程中学生学习能力的培养初中数学作为学校学科教学的重要组成部分,对学生基础知识的掌握,学习方法的培养,解题能力的提升等方面有着重要的促进和提升作用。
初中数学学科知识中的教学内容对学生学习能力的发展起到推动作用,因式分解作为初中数学知识体系的重要组成部分,在整个初中学习阶段具有重要的地位。
广大教师在教学中深刻认识到:因式分解教学内容是数学教学中恒等变形思想的升华,是整式乘法的逆变形运算,同时,因式分解内容在整个初中代数教学体系和几何教学中发挥着重要的作用,如在分式运算中,因式分解是通分和约分的基础条件,在解答二次和高次方程或方程组时采用因式分解内容,可以有效解决方程或方程组的降次问题等等,由此可见,因式分解教学内容在初中数学教学体系中起着承上启下的重要作用,并且一直是初中数学教学中的难点和重点。
加之,新课标理念内容的深入实施,初中教师在数学教学中如何能够通过有效教学手段,提升学生学习能力和水平,本人结合自己在因式分解教学中的实践,谈一谈自己对培养学生学习能力的一些粗浅的看法。
一、认真研究教材,准确掌握教学内容学生在学习过程中要能准确、灵活地掌握教学内容,必须建立在教师对教学内容准确掌握、运用自如、丰富讲解上,因此,在进行因式分解教学时,教师要对教材内容能进行认真研究和分析,掌握教材内容的知识点和解决重难点的有效手段,确保在教学时能够做到有的放矢,循序渐进地教学。
在制定课堂教学目标过程中要遵循新课标提出的“教学目标三维性”原则,实现教学目标体现教材内容的整体性,体现学生学习的个体差异性,体现教学要求的层次性,使学生在学习过程能够得到全面的发展和整体的进步。
如在制定因式分解教学目标时,教师既要对学生整体提出学习要求:能够进行因式分解的基本运算;又对不同层次学生提出不同要求:能够掌握进行因式分解运算的一些常用解题方法(中等生),能够对因式分解知识在方程组和几何知识体系中进行有效运用(优等生)。
因式分解论文初中数学论文：因式分解在初中数学中的重要作用
因式分解论文初中数学论文：因式分解在初中数学中的重要作用初中数学中，因式分解是最常用最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中。
例如，在八年级的《分式》教学中，处处让学生感受到因式分解的存在，不论是在约分、通分以及分式的各种运算中，都需要进行因式分解才能解答。
学生如果不能正确地进行多项式的因式分解，那将在分式学习中举步维艰，无从下手。
所以因式分解是我们解决许多数学问题的有力工具，而因式分解的方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用，也是发展学生智能、培养能力、深化学生逆向思维的良好载体。
一、因式分解在初中阶段最常用的方法有提取公因式法，运用公式法，分组分解法和十字相乘法等1．提公因式法如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。
这种分解因式的方法叫做提公因式法。
am+bm+cm=m(a+b+c) 。
例如：-2x3-2x2 +8x=-2x(x2+x-4)2．运用公式法（1）平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b)（2）完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2（3）立方和公式：a3+b3= (a+b)(a2-ab+b2)立方差公式:a3-b3= (a-b)(a2+ab+b2)例如： 3x6-3x2=3x2(x4 -1) = 3x2(x2 +1) (x2 -1) =3x2(x2 +1) (x +1) (x -1)3．分组分解法分组分解法：把一个多项式分组后再进行分解因式的方法。
分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式。
例如： m2+5n-mn-5m = m2-5m-mn+5n= (m2-5m )+(-mn+5n) = m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4．十字相乘法二次三项式x2+(p+q)x+pq型的特点是：二次项的系数是1，常数项是两个数的积，一次项系数是常数项的两个因数的和。
十字相乘法分解因式初探初中数学论文
论文导读:：十字相乘法分解因式初探，初中数学论文。
论文关键词：十字相乘法分解因式在实数范围内分解因式的常用方法有好多种初中数学论文初中数学论文，其中十字相乘法是常用的方法之一。
但对于有些多项式直接应用这种方法是行不通的。
本文给出了通过变形而转化为直接应用这种方法的几类多项式。
一、可化为二次三项式的多项式可化为二次三项式的多项式用十字相乘法分解因式比其他方法有规律，所以简便论文开题报告范文免费论文网。
举例说明如下：例1、把多项式a2x3+a(2a+1)x2+a(a+2)x+a+1分解因式。
这是含有两个字母的高次多项式初中数学论文初中数学论文，由观察知，该多项式具有可化为关于a的二次三项式的特点初中数学论文初中数学论文，故重新组合后用此法分解。
解：a2x3+a(2a+1)x2+a(a+2)x+a+1化为关于a的二次三项式 (x3+2x2+x)a2+(x2+2x+1)a+1=x(x+1)2a2+(x+1)2a+1x(x+1) 1x+11=[x(x+1)a+1][(x+1)a+1]=(ax2+ax+1)(ax+a+1).例2、把多项式ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)分解因式。
这是轮换对称多项式，乘开后可化为关于a或b或c的二次三项式。
用十字相乘法分解因式就避免了用其他方法分解的繁难。
解:ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)化为关于c的二次三项式 (a-b)c2-(a2-b2)c+ab(a-b)=(a-b)[c2-(a+b)c+ab]=(a-b)(c-a)(c-b).例3 把多项式 (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)-3y4分解因式将该式化为关于多项式x2+5xy+4y2 的二次三项式初中数学论文初中数学论文，分解更为简便.解：(x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)-3y4=(x2+5xy+4y2)2+2y2(x2+5xy+4y2)-3y4=[( x2+5xy+4y2)+ 3y2][(x2+5xy+4y2)-y2]=(x2+5xy+7y2) (x2+5xy+3y2).例4 把多项式a4+b4+c4+2a2b2++2b2c2+2c2a2分解因式。
论文浅谈多项式因式分解的方法
论文浅谈多项式因式分解的方法浅谈多项式因式分解的方法重庆师范大学涉外商贸学院数学与应用数学(师范) 2008级徐传华指导教师：赵振华中文摘要：多项式的因式分解是多项式乘法的逆过程，是代数式恒等变形的一个重要组成部分，也是处理数学问题的重要手段和工具.因式分解在代数式的运算、解方程等方面有极其广泛的运用.本文通过对因式分解概念的阐述和方法的介绍来说明它在数学中的应用.关键词：多项式因式分解转化方法应用Chinese Abstract: polynomial factorization of polynomial multiplication is the inverse process, are algebraic identical deformation is an important part of solving mathematical problems, is also the important means and tools.. Factorization in algebraic operations, such as solutions of equations has extremely extensive application. Based on the factorization of concept and method are presented to illustrate its application in mathematics.Key words: Factorization of polynomial transformation method and its application.在初等数学中，因式分解是一个十分重要的概念，在解题过程中有着广泛的应用，借助分解因式可解决计算、求值、说理等多方面的问题，因式分解也是整式乘法的一种重要变形，而转化是其中最重要的数学思想，即将高次的多项式分解转化为若干个较低次的因式的乘积.这种转化通常要通过观察、分析、尝试，应用提取公因式、乘法公式、分组分解等方法来达到目的.在解题过程中，问题变化万千，方法灵活多变.本文归纳总结因式分解的几种常用方法：提公因式法、运用公式法、分组分解法、简单的十字相乘法、拆、添项法、配方法、因式定理法、换元法、求根法、综合除法、整除法、图象法、主元法、特殊值法、待定系数法、双十字相乘法、综合法.1.定义定义把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）.因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用.学习它，既可以复习整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、思维发展性、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力.分解因式与整式乘法为相反变形.(a-b)(a+b) a2-b2 整式乘法(a-b)(a+b) a2-b2 因式分解同时也是解一元二次方程中公式法的重要步骤.2.基本方法2.1提公因式法如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式.例1 分解因式 bm-am+cm分析在多项式bm-am+cm中，每个单项式都含有字母m，故提出m就可以了.解 bm-am+cm=m(b-a+c)例2 分解因式 a(x-y)+b(y-x)分析通过适当的变形可以找出公因式（x-y）或（y-x），再提出就可以了.解1 a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(a-b)(x-y)解2 a(x-y)+b(y-x)=-a(y-x)+b(y-x)=(y-x)(b-a).2.2公式法若把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法.例3 分解因式 4a2-9b2分析①∵4a2=(2a)2,9b2=(3b)2,那么只要把2a和3b看作平方差公式中的a和b 即可.②将两项交换后，这两项式是平方差的形式.解 4a2-9b2=(2a)2-(3b)2=(2a+3b)(2a-3b)注为保证解题正确要将中间步骤(2a)2-(3b)2写上，即先化为公式的左边形式.例4 分解因式(1)x(x2-1)-x2+1(2)(x 2+x+2)(x 2+x+7)-6分析 (1)可看成二项式：将-x 2+1变形为-(x 2-1)则可提取公因式(x 2-1)再将公因式用平方差公式分解.(2)题若将此式展开一定繁琐，注意到x 2+x+2与x 2+x+7的平均数为292++x x ，故可用换元法解：解 (1)x(x 2-1)-x 2+1 =x(x 2-1)-(x 2-1) =(x 2-1)(x-1) =(x+1)(x-1)(x-1) =(x+1)(x-1)2(2)设y= 2)7()2(22+++++x x x x =292++x x则(x 2+x+2)(x 2+x+7)-6 =6)25)(25(-+-y y=64252--y =4492-y=)27)(27(-+y y=)2729)(2729(22-+++++x x x x =(x 2+x+8)(x 2+x+1)注此题也可以展开式子(x 2+x)2+9(x 2+x)+8再应用十字相乘法进行.说明此题虽然题目中没有因式分解的要求，但是248-1是因式分解的平方差公式的基本形式.将其进行等价转化，逐步地运用平方差公式，直到出现26+1=65和26-1=63两个因式. 例5 分解因式(1)x 2+6ax+9a 2 (2)-x 2-4y 2+4xy (3)9(a-b)2+6(a-b)+1分析这题的三个小题都为三项式，又都没有公因式，可考虑是否能用公式中的完全平方公式.(1)题的x2=(x)2，9a2=(3a)2，且这两项的符号相同，可写成平方和.这样x和3a就为公式中的a和b了.另外6ax正好是2(x)(3a)即公式中的2ab项，这样这题就可用和的完全平方公式分解.(2)题中的-x2-4y2，这两项符号相同，提取负号后可写成平方和，即-x2-4y2=-[x2+(2y)2]，4xy正好是2(x)(2y)是公式中的2ab项，此题可用完全平方公式.注意提取负号时4xy要变号为-4xy.(3)题9(a-b)2+1可写成平方和[3(a-b)] 2+12，就找到公式中的a 和b项为3(a-b)和1，6(a-b)正好是2×3(a-b)×1为公式中的2ab项，符合完全平方公式.解 (1)x2+6ax+9a2=(x)2+2(x)(3a)+(3a)2=(x+3a)2注再写第一步的三个项的和时实际上先写x2和(3a)2项，再写固定的“2”常数再将公式中的a、b数即x和3a写进二个括号内；计算出来为6ax，即原题中的中间项.(2)-x2-4y2+4xy=-(x2-4xy+4y2)=-[x2-2(x)(2y)+(2y)2]=-(x-2y)2(3)9(a-b)2+6(a-b)+1=[3(a-b)]2+2×3(a-b)×1+12=[3(a-b)+1]2=(3a-3b+1)2例6 分解因式 (m2+n2+1)2-4m2n2分析本题是一个二项式，符合平方差公式.用平方差公式分解后的两个多项式的因式后，都可分别先用完全平方公式再用平方差公式.解 (m2+n2-1)2-4m2n2=(m2+n2-1+2mn)(m2+n2-1-2mn)=[(m2+2mn+n2)-1][(m2-2mn+n2)-1]=[(m+n)2-12][(m-n)2-12]=(m+n+1)(m+n-1)(m-n+1)(m-n-1)例7 把下列多项式分解因式（1）a3＋8（2）27－8y3分析（1）因为8=23，故这是形如a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)，就完全可以运用立方和公式.（2）通过变形就可以运用立方差公式 a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2).解（1）a3＋8=a3+23=（a+2）(a2-2a+22)=(a+2)( a2-2a+4)（2）27－8y3=33-(2y)3=(3-2y)[(32+6y+(2y)2)]=(3-2y)(9+6y+4y2)注运用公式法分解因式时，先观察多项式的特征，主要看它的项数、次数，然后尝试选择何种公式进行分解，并记住公式的结构特点和应用条件，不要把因式中的符号和系数搞错了2.3分组分解法能分组分解的多项式有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法.例8 把多项式ax+ay+bx+by分解因式分析通过观察、分析，发现此题应用二二分法：把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配.解 ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)同样，这道题也可以这样做.ax+ay+bx+by=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)例9 把多项式x2-x-y2-y分解因式分析利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然后相合解决.解 x2-x-y2-y=(x2-y2)-(x+y)=(x+y)(x-y)-(x+y)=(x+y)(x-y-1)例10 把45am2-20ax2+20axy-5ay2分解因式.分析这个多项式的各项有公因式5a,先提取公因式,再观察余下的因式,可以按“一、三”分组原则进行分组，然后运用公式法分解因式.解 45am2-20ax2+20axy-5ay2=5a(9a2-4x2+4xy-y2)=5a[9a2-(4x2-4xy+y2)]=5a[(3a)2-(2x-y)2]=5a(3a-2x+y)(3a+2x-y).2.4十字相乘法十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数.一般地，对于二次三项式ax+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1×a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1×c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下： a1c1╳a2 c2按斜线交叉相乘，再相加，得到a1×c2+a2×c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1×c2+a2×c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a22之积，即ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法.但十字相乘法只能把某些二次三项式分解因式，而在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程.当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号.例11 把多项式x2+2x-15分解因式分析通过观察，此题采用十字相乘法就可以了.解1 -3╳1 5 1×5+1×(-3)=2所以x+2x-15=(x-3)(x+5).例12 把2x2-7x+3分解因式.分析先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.分解二次项系数(只取正因数因为取负因数的结果与正因数结果相同！2=1×2=2×1；分解常数项：3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).用画十字交叉线方法表示下列四种情况：╳2 3 1×3+2×1=51 3╳2 1 1×1+2×3 =71 -1╳2 -3 1×(-3)+2×(-1)=-51 -3╳2 -1 1×(-1)+2×(-3)=-7经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.解 2x2-7x+3=(x-3)(2x-1)例13 把多项式(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式.分析这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解，但用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?通过观察发现第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了.解 (x-y)(2x-2y-3)-2=(x-y)[2(x-y)-3]-2=2(x-y)2-3(x-y)-21 -2╳2 1 1×1+2×(-2)=－3原式=[(x-y)-2][2(x-y)+1]=(x-y-2)(2x-2y+1).注把(x-y)看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法.2.5 拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例14 分解因式x3-9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1 将常数项8拆成-1+9．原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8=(9x39x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)．解法4 添加两项-x2+x2．原式=x39x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最好的一种．这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.例15 把m2-6m+8 分解因式用添项，拆项法做！解法一 m2-6m+8=m2-6m+9-1=(m-3)2-12=(m-3+1)(m-3-1)=(m-2)(m-4)解法二 m2-6m+8=m2-2m-4m+8=m(m-2)-4(m-2)=(m-2)(m-4)2.6 配方法对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法.属于拆项、补项法的一种特殊情况.也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形.例16 把多项式x2+6x-7分解因式解 x2+6x-7=x2+6x+9-16=(x+3)2-(4)2=(x+7)(x-1)．2.7 应用因式定理对于多项式f(x)=0，如果f(a)=0，那么f(x)必含有因式x-a．例17 分解因式：x2+5x+6分析令f(x)=x2+5x+6，则f(-2)=0，故可确定x+2是x2+5x+6的一个因式.解 x2+5x+6=(x+2)(x+3)注意 1、对于系数全部是整数的多项式，若X=q/p（p,q为互质整数时）该多项式值为零，则q为常数项约数，p最高次项系数约数2．对于多项式f(a)=0,b为最高次项系数，c为常数项，则有a为c/b约数2.8 换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法.注意：换元后勿忘还元.例18 把x4+7x2-30分解因式分析这个多项式不是关于x的二次三项式，如果把x2设为y，那么这个多项式就可以转化为y2+7y-30.这是关于y的二次三项式，就可以利用上题的方法分解因式了.这里，设y=x2，把y称为辅助元，这种方法叫做换元法.解1 设x2=y,则多项式可化为：y2+7y-30y2+7y-30=(y+10)(y-3)∴x4+7x2-30=(x2+10)(x2-3)说明通过辅助元，把所给的多项式转化为形如x2+px+q的二次三项式，在解题中，代换的步骤可以省略.解2 x4+7x2-30=(x2)2+7x2-30=(x2+10)(x2-3)例19 把(a2+a)2-14(a2+a)+24分解因式分析题目中的多项式有什么特点？含有字母的项可以作什么变换？解令a2+a=u则原式变为u2-14u+24因为u2-14u+24=(u-2)(u-12)所以(a2+a)2+14(a2+a)+14=(a2+a-2)(a2+a-12)=(a+2)(a-1)(a+4)(a-3)说明换元法将原多项式化为二次三项式形式，可用十字相乘法分解因式，这是常用方法.换元的步骤可以不写出来.例20 把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式分析这个多项式是两个因式之积与另一个因式之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再分解因式.两个乘积的因式有什么特点？用什么方法进行多项式的乘法运算最简便？第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了.解 (x-y)(2x-2y-3)-2=(x-y）[2(x-y)-3]-2=2(x-y)2-3(x-y)-2=[(x-y)-2][2(x-y)+1]=(x-y-2)(2x-2y+1)说明把(x-y)看作一个整体进行因式分解，这是运用了数学中的“整体”思想方法，当然也可以运用换元法，只是我们在熟悉后就直接把它当做一个整体.2.9 求根法令多项式f(x)=0,求出其根为x1，x2，x3， (x)n，则该多项式可分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn) ．例21 把多项式2x4+7x3-2x2-13x+6分解因式解令2x4+7x3-2x2-13x+6=0，则通过综合除法或整除法可知，该方程的根为0.5 ，-3，-2，1．所以2x4+7x3-2x2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)．例22 分解因式 3x3－4x2－13x－6分析(1)用综合除法试商时，要由常数项和最高次项系数来决定．常数项的因数除以最高次项系数的因数都可能是除的整除商．上例中常数项是6，则因数是±1，±2，±3，±6，最高次项系数是3,则因数是±1，±3，所以根可能是±1，±1/3，±2，±2/3，±3，±6，它们的因式可能是x±1，x±2，x±3，x±6，3x ±1，3x±2．试除时先从简单的入手 (2)因式可能重复．解 3x3－4x2－13x－6=(x+1)(x－3)(3x+2)．例23 把多项式2x3+3x2-8x+3分解因式.解 (有理根定理的使用)2x3+3x2-8x+3常数项3的因数：±1，±3首项系数2的因数：±1，±2可能的有理根就是常数项的因数除以首项系数的因数.23,23,21,21,3,3,1,1----由验算这些可能的根时，得知x=1就是其中的一个根. 2×13+3×12-8×1+3=2+3-8+3=0 现在由综合除法可得到下面的结果. 1 2 3 -8 3 2 5 -3 2 5 -3 0所以(x-1)(2x 2+5x-3)= 2x 3+3x 2-8x+3 最后,因式分解(2x 2+5x-3)=(2x-1)(x+3) 故，可得2x 3+3x 2-8x+3=(x-1)(2x-1)(x+3). 我们也可以用带余除法的方法来解此题x-1(除式) 2x 3+3x 2-8x+3(被除式) 2x 2+5x-3(商式) 2x 3-2x 2 5x 2-8x+ 3 5x 2-5x -3x+3 -3x+3 0(余式)于是求得商为2x 2+5x-3，余式为0.所得结果可以写成3x 3+4x 2-5x+6=(2x 2+5x-3)(x-1)再对多项式2x 2+5x-3进行分解为(2x-1)(x+3) 故3x 3+4x 2-5x+6=(x-1)(2x-1)(x+3).2.10 图象法令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图像与X 轴的交点x 1,x 2,x 3,……x n ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x 1)(x-x 2)(x-x 3)……(x-x n )．与方法9相比，能避开解方程的繁琐，但是不够准确.例24 分解因式：x3 +2x2-5x-6分析在分解x3 +2x2-5x-6时，可以令y=x3 +2x2 -5x-6.作出其图像，与x轴交点为-3，-1，2 则x3+2x2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)．解 x3+2x2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)2.11主元法先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解.例25 分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)分析此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列解 a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)=(b-c) [a -a(b+c)+bc]=(b-c)(a-b)(a-c)例26 分解因式 x2-8xy-48y2分析这是多个字母的式子，关键是要确定其中的主要字母，而把其它字母看作这个字母的系数，题中的主要字母是x，它是关于x的二次三项式.解 x2-8xy-48y2=(x-12y)(x+4y)说明如果认定题中的y为主要字母，并把x看作这些字母的系数，用这种分解方法也可以得到同样的分解结果.2.12 特殊值法将2或10代入x，求出数p，将数p分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式.例27 把x3+9x2+23x+15分解因式分析在分解x3+9x2+23x+15时，令x=2，则x3 +9x+23x+15=8+36+46+15=105，将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7 ．注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值，则x3+9x2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5)，验证后的确如此.2.13 待定系数法首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解.例28 把 x4-x3-5x2-6x-4分解因式分析在分解x4-x3-5x2-6x-4时，由分析可知：这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式.于是设x4-x3-5x2-6x-4=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd由此可得a+c=-1，ac+b+d=-5，ad+bc=-6，bd=-4．解得a=1，b=1，c=-2，d=-4．则x4-x3-5x2-6x-4=(x2+x+1)(x2-2x-4)．2.14 双十字相乘法双十字相乘法属于因式分解的一类，类似于十字相乘法.双十字相乘法就是二元二次六项式，启始的式子如下：ax2+bxy+cy2+dx+ey+fx、y为未知数，其余都是常数用一道例题来说明如何使用.例29 分解因式 x2+5xy+6y2+8x+18y+12．分析这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解.解图如下，把所有的数字交叉相连即可x 2y 2①②③x 3y 6∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6)．双十字相乘法其步骤为：①先用十字相乘法分解2次项，如十字相乘图①中x2+5xy+6y2=(x+2y)(x+3y)②先依一个字母（如y）的一次系数分数常数项.如十字相乘图②中6y2+18y+12=(2y+2)(3y+6)③再按另一个字母（如x）的一次系数进行检验，如十字相乘图③，这一步不能省，否则容易出错.例30 求证2x-3y-1是多项式4x2-4xy-3y2+4x-10y-3的一个因式.分析先用十字相乘法分解关于x,y的二次齐次式4x2-4xy-3y2,,再把常数项-3分解为(+3)×(-1)，再利用十字相乘法，就可以得出最后结果.证明4x2-4xy-3y2+4x-10y-3=(2x+y)(2x-3y)+4x-10y-3=(2x+y+3)(2x-3y-1)说明此题是运用双十字相乘，先把多项式前三项用十字相乘法分解，然后再次使用十字相乘法，将多项式分解，命题得证.2.15 综合法应用多种方法来因式分解.例31 分组分解后再用十字相乘把2x2-8xy+8y2-11x+22y+15分解因式解原式=(2x2-8xy+8y2)-(11x-22y)+15=2(x-2y)2-11(x-2y)+15=[(x-2y)-3][2(x-2y)-5]=(x-2y-3)(2x-4y-5)说明分组后运用十字相乘进行因式分解，分组的原则一般是二次项一组，一次项一组，常数项一组.本题通过这样分组就化为关于(x-2y)的二次三项式，利用十字相乘法完成因式分解.例32 换元法与十字相乘法把(x2+x+1)(x2+x+2)-6分解因式分析观察式子特点，二次项系数和一次项系数分别相同，把(x2+x)看成一个“字母”，把这个式子展开，就可以得到关于(x2+x)的一个二次三项式(或设x2+x=u，将原式化为(u+1)(u+2)-6=u2+3u-4，则更为直观)再利用十字相乘法进行因式分解解 (x2+x+1)(x2+x+2)-6 =[(x2+x)+1][(x2+x)+2]-6=(x2+x)2+3(x2+x)-4=(x2+x+4)(x2+x-1)说明本题结果中的两个二次三项式在有理数范围内不能再分解了，若能分解一定要继续分解.例33 因式分解与十字相乘法已知(x2+y2)(x2-1+y2)=12 求：x2+y2的值解 (x2+y2)(x2-1+y2)=12(x2+y2)[(x2+y2)-1]-12=0(x2+y2)2-(x2+y2)-12=0[(x2+y2)-4][(x2+y2)+3]=0∵x2+y2≥0∴(x2+y2)+3≠0∴(x2+y2)-4=0∴x2+y2=4说明我们把(x2+y2)看成一个“字母”，则原式转化为关于这个“字母”的一。
因式分解的作用范文
因式分解的作用范文因式分解是一种代数运算，它在数学领域中起着重要的作用。
它可以将一个多项式表达式分解为较简单的乘积形式，从而帮助我们更好地理解和研究数学问题。
首先，因式分解可以帮助我们简化复杂的代数表达式。
在代数学中，多项式是由一系列的项相加或相乘得到的，而每个项本质上是由一个系数与一个或多个变量的乘积组成的。
当一个多项式较为复杂时，我们可以进行因式分解，将其分解为更简单的乘积形式，从而更好地理解和计算多项式的性质。
例如，我们可以将二次多项式分解为一次多项式的乘积形式，从而更方便地求解方程的根。
其次，因式分解可以帮助我们研究和计算数学问题。
在数学研究中，我们常常会遇到一些复杂的方程或不等式，这些问题可能难以直接求解。
通过因式分解，我们可以将复杂的方程或不等式转化为更简单的因式形式，进而帮助我们研究和计算数学问题。
例如，通过因式分解，我们可以将一个高次方程转化为一组一次方程，进而求解方程的根。
再次，因式分解可以帮助我们发现和应用数学规律。
在数学中，很多数列或函数的性质可以通过因式分解来揭示和推导。
通过因式分解，我们可以将一个复杂的数列或函数分解为更简单的因子形式，从而揭示其内在的规律和性质。
例如，在数列中，我们常常会遇到一些复杂的递推关系，通过因式分解，我们可以将这些递推关系转化为更简单的形式，从而帮助我们发现并应用数列的规律。
最后，因式分解在应用数学和实际问题中也起着重要的作用。
在实际问题中，我们常常需要对数据进行建模和分析，而多项式函数是一种常见的数学模型。
通过因式分解，我们可以将复杂的多项式函数分解为更简单的因子形式，从而更好地了解和应用这些数学模型。
例如，在经济学中，因式分解可以将复杂的供求方程分解为更简单的部分，从而帮助我们分析和预测市场的行为。
总结来说，因式分解在数学领域中有着重要的作用。
它可以帮助我们简化复杂的代数表达式，研究和计算数学问题，揭示和应用数学规律，以及在应用数学和实际问题中建立数学模型。
因式分解的实际应用与解题启示
因式分解的实际应用与解题启示因式分解是数学中重要的概念之一，它不仅在数学理论中具有重要意义，更在实际生活中有着广泛的应用。
本文将通过分析因式分解的实际应用，并探讨它对解题的启示。
首先，因式分解在代数表达式简化中起着关键作用。
通过因式分解，我们可以将一个复杂的代数表达式分解成更简单的乘积形式，从而便于计算和理解。
例如，当我们需要对一个多项式进行求导或积分时，常常需要先将其进行因式分解，以便更好地进行后续计算。
因此，掌握好因式分解的方法对进行代数表达式求解至关重要。
其次，因式分解在方程求解过程中也起着至关重要的作用。
在解一些复杂的方程时，我们常常需要先进行因式分解，以便将方程化简为更容易求解的形式。
例如，对于二次方程，我们可以通过因式分解法将其化为一元二次方程组，再通过求根公式或配方法求解。
因此，因式分解是解决方程问题的有效工具之一。
除此之外，因式分解还广泛应用于数学建模和实际问题求解中。
在实际生活中，有许多问题可以通过建立数学模型并进行因式分解来求解。
例如，一个复杂的经济模型可以通过因式分解将其简化为几个部分，从而更好地进行分析和预测；而在物理学中，通过因式分解可以将复杂的物理量关系简化为更直观的形式，有助于研究物理规律。
综上所述，因式分解在数学中有着广泛的实际应用，并对解题有着重要的启示意义。
通过掌握好因式分解的方法，我们不仅可以更好地处理代数表达式、方程求解等理论问题，还可以将其运用到实际生活和工作中，发挥其巨大的作用。
因此，深入理解和掌握因式分解的方法，对于提高数学水平和解决实际问题具有重要意义。
愿大家在学习和工作中，能够善于运用因式分解的知识，不断提升自己的综合能力。
【本文约510字】。
因式分解论文
因式分解（分解因式）Factorization ，把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。
因式分解是中学数学中一种重要的恒等变形，是处理数学问题的重要手段与工具。
本文主要对初中数学中的因式分解方法进行简要的归纳与总结。
利用典型的例题分析解释在数学不同的领域不同问题的重要地位的应用。
因式分解是初中数学教学的一个很重要的教学工具，是与整式乘法中单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的运算过程有相反的恒等变形，与整式乘法法则不同的是因式分解不象整式乘法法则那样有法可依一一可按法则直接进行运算，而是根据所给的多项式的特点进行具体问题具体分析，推敲或转化，灵活运用才能解决问题。
因式分解的方法比较多、灵活，技巧性很强，且涉及的题型广、变化较大，对于解决比较复杂、繁琐的问题有一定的难度。
因此学习多项式因式分解需要两大数学思想方法：转化思想与整体思想（转化思想是数学中的常见的一种数学思想方法，的运用十分的广泛，在解题的过程中，运用转化思想，可以将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题。
整体思想也是一种常见的数学思想方法，运用整体思想可以使解题的思路清晰、步骤简捷、方法简便等。
）所以学好它，不仅可以拓宽学生的思路，培养学生的观察、组织运算能力，激发学生学习数学的兴趣，又可以帮助学生提高解题技能、综合分析能力，发展学生的思维能力。
那多项式因式分解有几种方法及其它们是如何应用在解题上的呢？具体来说多项式因式分解有基本方法和特殊方法。
在初中教材中我们涉及了几种是基本方法，下面将对多项式因式分解的方法进行分类整理，归纳总结，并通过典型的例子对它们进行分析，进一步理解、掌握基本方法，熟悉特殊方法，解决问题，了解它的应用。
且因式分解的应用不仅在代数的推理占有着很重要的地位，对解决计算的复杂与艰难有了不可缺少的一部分。
更在分式的约分、通分，分式的加减乘除运算，化简，解方程等变形中都具有广泛的应用。
毕业设计论文-有理数域上的多项式的因式分解-应用数学论文
嘉应学院本科毕业论文（设计）（2014届）题目：有理数域上的多项式的因式分解姓名：江志会学号：101010100学院：数学学院专业：数学与应用数学指导老师：许鸿儒申请学位：学士学位嘉应学院教务处制摘要在多项式理论中，对于有理数域上多项式的因式分解的研究有着极其重要的地位。
判断一元多项式是否能因式分解是不容易的。
本文根据多项式的可约性和有理根的判断与求法的理论，探究多项式的因式分解的方法，并进行了归纳、整理和补充。
关键词：有理数域, 可约, 因式分解AbstractIn polynomial, the research on rational polynomial factorization has an extremely important position. Determine whether a polynomial can be factoring or not is not easy. According to the theory of irreducible polynomials and rational roots, we explore polynomial factorization method, and make some the induction, consolidation and supplements.Key words： rational number field, reducible, factorization目录1 有理数域上的多项式基本内容 (i)1.1 多项式因式分解的基本概念 (1)1.2 本原多项式 (2)1.3 不可约多项式的艾森斯坦判别法 (5)2 多项式的有理根及因式分解 (7)2.1多项式在有理数域上的性质 (7)2.2多项式有理根的判定 (8)2.3多项式有理根的求法及因式分解 (10)2.4因式分解的特殊解法 (12)参考文献................................................... 错误！未定义书签。
因式分解论文：小议因式分解在数学中的地位
因式分解论文：小议因式分解在数学中的地位因式分解知识在课改前，系统、全面，占用了教材的大量篇幅，中、高考中涉及因式分解的知识或者技巧题占的比重较大，相当一部分学生在学习和应用因式分解知识花去大量时间，可是学习效果并不好。
为什么因式分解知识如此重要呢？这还得从数学运算说起。
小学数学主要以数的计算为主，涉及简单的数的恒等变形，主要代表：分解质因数、乘法对加法的分配率逆运用（简便运算）。
进入中学后不但增加了负数（从而增加了符号运算），还引入了字母表示数或事件，式的恒等变形就成为中学教材中的一个重要而且难学的内容之一了，式的变形已经贯穿于整个后续数学的全体，掌握好式的各种变形（恒等、同解、非恒等、非同解）是后续学习数学的重要基础之一。
因式分解作为多项式乘法的逆向变形，其作用远远超过了逆向变形这个看似作用不大的变形，它在后续学习中地位非常重要：快速求解存在有理根的一元二次方程、分式的运算（包括解分式方程）、高次方程或高次不等式的降次、判别一个多项式的正负符号（比较两式的大小、探求函数的单调区间等）等。
课程改革以后，在初中教材中，因式分解的知识只介绍了最基本的内容：提取公因式法和公式法，所用课时在4节课左右，在附录里介绍了x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)及其简单的运用。
删除了十字相乘法和分组分解法，学生学习这部分知识轻松了，其连锁反应：分式的化简和异分母加减法变得非常简单，口算能力强的学生可以直接写出化简或者异分母加减运算的结果；由于去掉了十字相乘法，解一元二次方程时，去掉了因式分解法的方法，主要运用开平方法和公式法，使得原本可以用因式分解法来解的一元二次方程用开平方法或者公式法，所用解题时间增加一倍以上，本人认为删除因式分解法解一元二次方程是不应该的，因为这种方法还运用到“降次”的数学思想（属于转化思想之一：化繁为简），事实上绝大多数初中（或高中）数学教师都给学生补充讲解了十字相乘法和分组分解法。
关于多项式的因式分解论文
湖南第一师范学院毕业论文题目关于三元多项式的因式分解学生姓名谢静学号***********指导教师欧阳章东系部名称数学系专业班级10应数4班完成时间2014年5月湖南第一师范学院教务处制本科毕业论文关于三元多项式的因式分解学生姓名：**系部名称：数学系专业名称：数学与应用数学指导教师：欧阳章东毕业论文作者声明1．本人提交的毕业论文(设计)是本人在指导教师指导下独立进行研究取得的成果。
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3．湖南第一师范学院在组织专家对毕业论文(设计)进行复审时，如发现本文抄袭，一切后果均由本人承担，与学院和毕业论文指导教师无关。
作者签名：日期：二Ｏ一年月摘要 (I)Abstract (II)1 绪论 (1)1.1 三元多项式因式分解的研究意义 (1)1.2 三元多项式因式分解的研究现状 (1)2 三元多项式因式分解的条件 (2)2.1 用行列式来判断三元多项式因式分解的条件 (2)2.2 用解析几何来判断三元多项式因式分解的条件 (3)3 三元多项式因式分解的方法 (5)3.1 用二次型法分解因式 (5)3.1.1 二次型法的定义 (5)3.1.2 二次型法的应用 (5)3.2 用带余除法分解因式 (7)3.2.1 带余除法的定义 (7)3.2.2带余除法的应用 (8)3.3 用导数法分解因式 (8)3.3.1 导数法的定义 (8)3.3.2 导数法的应用 (9)4 结束语 (10)参考文献 (11)致谢 (12)多项式的因式分解，是代数学当中的一种重要的恒等变形，是多项式理论的中心内容。
论文多项式的因式分解的方法
多项式的因式分解的方法摘要：在数学学习过程中，常常遇到多项式因式分解问题，本文对一元多项式因式分解的方法进行了初步的探索，归纳了一元多项式因式分解的12种方法，给出具体实例，并对每种方法加以评论。
关键词：一元多项式，因式分解Abstract: In mathematics learning process, often encountered polynomial paper factoring decomposition method of factoring decomposition unary polynomial conducts a preliminary exploration of the dollar, puts forward the 12 species, the method of factoring decomposition polynomial actual examples are given, and comment of each method, let the reader more understandable.Key Words: A dollar polynomial , factoring多项式在高等代数中的重要性使我们有必要对多项式进行深入研究。
在高等代数中已经证明了数域上的多项式环内的每一个(n n ＞)0次多项式都可以分解成这个多项式环内不可约多项式的乘积，并且表达式唯一（因式次序及零次因式的差异除外）。
本文将对多项式因式分解的方法进行总结归纳。
多项式因式分解的方法很多，但具体到某一个多项式，要针对其特征，选取适当的方法，才能提高解题的效率。
所以我们要灵活掌握这些方法，这会为我们解题带来很多方便。
１ 求根法（参见文献[]2）设多项式()x f =0111a x a x a x a n n n n ++++-- 是整系数多项式， 第一步 写出首项系数n a 的全部因数i v ，s i ,,2,1 =； 第二步 写出常数项0a 的全部因数j u ，t j ,2,1=； 第三步 用综合除法对j iu v 试验，确定()x f 的根；第四步 写出()x f 的标准分解式。
有理数域上多项式的因式分解本科毕业论文
有理数域上多项式的因式分解内容摘要多项式理论是学习高等代数和解析几何必不可少的内容，它具有独立完整不基于其他高代理论基础的体系，并且为学习代数和其他的数学分支提供理论依据.因式分解，也叫做分解因式，是我们研究有理数域上多项式理论的核心之一，也是进一步学习代数和科学知识的必备基础.因此，在这里我们要对有理数域上多项式的因式分解进行研究.本文讲述了有理数域上多项式因式分解的条件和方法，通过多个判别方法判断多项式因式分解的充分条件；在多项式可以因式分解的基础上，总结出应用于多项式因式分解的简便算法，给出实例供参考；并在实际应用中融入因式分解的意义和目的.关键词：有理数域多项式因式分解Rational polynomial factorization domainAbstractPolynomial theory is the study of Higher Algebra and analytic geometry essential content, it has independent and complete not system based on other generation of high theoretical basis and algebra and other branches of mathematics learning and provide a theoretical basis. Factorization, also called factorization, we study the rational number field polynomial theory is one of the core, also for further study of the essential basis of the algebra and scientific knowledge. Therefore, here we want to factor the polynomial over the rational number field decomposition was studied.This paper tells the factorization of polynomial factorization of rational number field conditions and methods, through multiple discriminant method to determine sufficient conditions for polynomial factorization; in polynomial can factorization based, summed for simple algorithm for polynomial factorization, give an example for reference; and in the practical application into factorization of meaning and purpose.Key words：Rational number field polynomial factoring目录一、多项式的相关概念 (1)（一）一元多项式和一元多项式环的概念 (1)（二）多项式整除的概念 (2)二、有理数域上的多项式的可约性 (3)（一）有理数域与实数域和复数域的区别 (3)（二）多项式的可约性和因式分解的相关理念 (3)（三）本原多项式的基本内容 (4)1.本原多项式的概念 (4)2.本原多项式的性质 (4)（四）判断多项式在有理数域上的可约性 (5)1.爱森斯坦(Eisentein)判别法 (5)2.布朗（Brown）判别法 (6)3.佩龙（Perron）判别法 (6)4.克罗内克(Kronecker)判别法 (7)5.反证法 (7)6.有理法（利用有理根） (8)7.利用因式分解唯一性定理 (8)8.综合分析法 (8)三、多项式的有理根及因式分解 (9)（一）求根法 (9)（二）待定系数法 (9)（三）重因式分离法 (10)（四）应用矩阵的初等行变换法 (10)（五）利用行列式的性质 (11)四、结论 (12)参考文献 (13)序言代数问题是方程问题，方程问题就是求解问题.低阶方程的求解具有一般的代数方法（一次到四次）[1]，而对于高次方程的求解关键在于掌握多项式的因式分解.因式分解是集分解变形为之意，综合应用以前所学的知识，是解决许多数学问题的有力工具.它是研究各种运算和代数的恒等变形，采用了大部分相同的变形技能和技巧，如常用的因子提取、公式化配方等.因此，因式分解不只是数学上的一个重点，也是一个难点.在本文中，研究的有理数域上多项式的因式分解实际上是整系数多项式的分解.整系数多项式是一个无限集，如何判断它可约迄今为止还没有精确和易操作的方法，所以文中针对这个难点进行研究讨论.一、多项式的相关概念（一）一元多项式和一元多项式环的概念多项式是代数学中重要的基础知识，它不仅与高次方程有密切联系，在其他方向为学习代数知识也做了很好的铺垫，因此，我们必须清楚多项式的基本内容.定义1设n是一非负整数，表达式a n x n+a n−1x n−1+⋯a0其中a0，a1，⋯a n全属于数域P，称为系数在数域P中的一元多项式，或者简称为数域P上的一元多项式.[2]多项式可以加、减、乘，例如：(2x2−1)+(x3−2x2+x+2)=x3+x+1(2x2−1)(x2−x+1)=2x4−2x3+2x2−x2+x−1=x4−2x3+x2+x−1根据上述式子的计算，可以看出数域P上的两个多项式通过加、减、乘等运算后，其结果仍然是数域P上的多项式.接下来，我们引入一个概念.定义2 所有系数在数域P中的一元多项式的全体，称为数域P上的一元多项式环，记为P[x]，P 称为P[x]的系数域.[3]之后我们要讨论的有理数域上多项式的因式分解是在一个固定的数域P上的多项式环P[x]中进行的.（二）多项式整除的概念我们讨论过一元多项式可以容易地进行加、减、乘法运算，但是多项式之间的除法并不像其他运算那样可以普遍地做.因此整除运算就成为了两个多项式之间区别于其他运算更值得探讨的课题.和高中代数一样，作为一种表达式，可以用一个多项式去除另一个多项式，求得商和余式，如：设f(x)=3x3+4x2−5x+6g(x)=x2−3x+1接下来，我们作除法：x2−3x+1|3x3+4x2−5x+63 x2−9x2+3x13x2−8x+613x2−39x+1331x−7|3x+13于是，求得商为3x+13，余式为31x−7，所得结果可以写成下列形式：3x3+4x2−5x+6=(3x+13)(x2−3x+1)+(31x−7)定理1（带余除法）对于P[x]中任意两个多项式f(x)和g(x)，其中g(x)≠0，一定有P[x]中的多项式q(x),r(x)存在，使f(x)= q(x) g(x)+ r(x)成立，并有∂( r(x))<ð(g(x))或r(x)=0，并且这样的q(x),r(x)是唯一决定的.证明（唯一性）设另外有多项式q,(x),r,(x)使f(x)=q,(x) g(x)+ r,(x)成立，其中∂( r,(x))<ð(g(x))或r,(x)=0,于是有q(x) g(x)+ r(x)=q,(x) g(x)+ r,(x)即(q(x)−q,(x)) g(x)=r,(x)− r(x)如果q(x)≠q,(x)，就假设g(x)≠0，那么r,(x)− r(x)≠0即可得出∂(q(x)−q,(x))+∂(g(x))=ð(r,(x)− r(x))又因为∂(g(x)) >ð(r,(x)− r(x))所以上述式子不可能成立，这也证明了q(x)=q,(x)，同时r,(x)= r(x)定义 3 数域P上的多项式q(x)通常称作g(x)整除f(x)，存在数域P上的多项式ℎ(x)使等式f(x)= g(x)ℎ(x)成立，我们用“g(x)| f(x)”表示g(x)整除 f(x)，用“g(x) | f(x)"表示g(x)不可以整除 f(x).当g(x)| f(x)时，g(x)就称为f(x)的因式，f(x)称为 g(x)的倍式.事实上，整除多项式原理使我们很轻松的了解多项式因式分解的原理.二、有理数域上的多项式的可约性（一）有理数域与实数域和复数域的区别我们知道，有理数域，实数域和复数域的范围不同.为了能更好的分析有理数域上多项式的因式分解，我们要区分有理数域，实数域和复数域的概念，只有将单项涵义牢记于心，我们才能知道多项式在各个数域中需要分解到何种形式，这里先做简要介绍.首先，有理数包括：（1）整数：正整数，负整数和0；（2）分数：正分数，负分数；（3）小数：有限小数和无限循环小数[4].所有有理数组成一个集合，即为有理数集.而有理数集是一个域，可以在其中进行四则运算（0作除数除外），用字母Q表示.其次，实数可以包含所有的轴点数量，直观的看作是有限小数和无限小数，是有理数和无理数的统称，用字母R表示.再次，复数是写成如下形式a+bi的数，a和b是实数，i是虚数单位，是实数和虚数的统称，用字母C表示.（二）多项式的可约性和因式分解的相关理念定义4 数域P上次数≥1的多项式p(x)称为域P上的不可约多项式，如果它不能表成数域P上两个次数比p(x)的次数低的多项式的乘积.定理2（因式分解及唯一性）数域P上每一个次数≥1的多项式f(x)都可以唯一地分解成数域P 上一些不可约多项式的乘积.而唯一性是指，若有两个分解式f(x)=p1(x)p2(x)⋯p s(x)=q1(x)q2(x)⋯q t(x)那么必有s=t,根据因式的次序适当排列得到p i(x)=c i q i,i=1,2,⋯,s其中c i(i=1,2,⋯,s)属于非零常数.多项式因式分解看似简单，实质蕴含了许多深奥的理论.多项式在不同数域上分解程度是不同的,我们不应该想当然的提出多项式因式分解后，就说它已经不能再分，并完成了多项式分解.我们可以比较一下复数域、实数域和有理数域上多项式因式分解的差异.如:分别求多项式x4−4在复数域，实数域以及有理数域上的因式分解.①在复数域上这个多项式的因式分解为(x+√2)(x−√2)(x+√2i)(x−√2i)②在实数域上这个多项式的因式分解为(x2+2)(x+√2)(x−√2)③在有理数域上这个多项式的因式分解为(x2+2)(x2−2)从上述结果可以看出，对于一个多项式能否因式分解，不能单独考虑它是否满足因式分解的定理.我们具体情况具体分析，有理数域的多项式的因式分解比较困难.因为在有理数域上多少次的不可约多项式都存在，我们有时还认不出其究竟是否可约，所以研究非常麻烦.故而确定有理数域上多项式是否可约是麻烦的，掌握多项式因式分解不如想象中那么简单.（三）本原多项式的基本内容1.本原多项式的概念定义 5 设g(x)=b n x n+b n−1x n−1+⋯+b0是非零的整系数多项式，如若g(x)的系数b n,b n−1,⋯,b0互素，就称g(x)是本原多项式.所以，任何一个非零的有理系数多项式f(x)都能表示为一个有理数r与一个本原多项式g(x)的乘积，即f(x)=r g(x).由此证明，这种表示法除了差一个正负号是唯一的，可以说，若f(x)=rg(x)=r1g1(x),且r,r1是有理数，g(x),g1(x)是本原多项式，那么必定有r=±r1,g(x)=±g1(x).因为多项式f(x)和本原多项式g(x)只相差一个非零的常数倍，他们都有着相同的整除性质，因此f(x)的因式分解问题可以归结为本原多项式g(x)的因式分解问题.所以我们可以讨论本原多项式的性质，之后考虑整系数多项式的因式分解问题.2.本原多项式的性质性质1(高斯(Guass)引理)设f(x)与g(x)为两个本原多项式，那么他们的乘积ℎ(x)=f(x) g(x)也是本原多项式.性质2设f(x)是非零整系数多项式，若f(x)分成为两个有理数域上的多项式g(x)与ℎ(x)的乘积，且∂(g(x))<ð(f(x)),∂(ℎ(x))<ð(f(x))那么f(x)定能分解成两个次数较低的整系数多项式乘积.例1：设f(x),g(x)是两个整系数多项式，且g(x)是本原多项式.证明：若f(x)= g(x)ℎ(x)，且ℎ(x)是有理数域上的多项式，那么ℎ(x)一定是整系数多项式.证明：根据本原多项式的性质来证明，设f(x)=af1(x),ℎ(x)=rℎ1(x)其中f1(x),ℎ1(x)都是本原多项式，a是整数，r是有理数.于是有af1(x)= rg(x)ℎ1(x)因为g(x)ℎ1(x)是本原多项式.故r=±a，即r是一个整数，所以ℎ(x)=rℎ1(x)是整系数多项式.（四）判断多项式在有理数域上的可约性基于整系数多项式，我们需要判断它是否可约，这是我们讨论有理数域上多项式因式分解的重点，接下来列出一些判别整系数多项式不可约的方法.1.爱森斯坦(Eisentein)判别法定理3设f(x)=a0+a1x+⋯+a n x n,a n≠0是一个整系数多项式，若找到一个素数p，使⑴p与a n不可约；⑵p与a n−1,a n−2,⋯,a0是可约的；⑶p2与a0不可约，那么多项式f(x)在有理数域上不可约.证明：如果a0=−p1p2⋯p n,a1=a2=⋯=a n−1=0,a n=1可找到素数p1满足p|a i,(i=0,1,⋯n−1),p1|a n,p12|a0所以，根据爱森斯坦(Eisentein)判别法可知，f(x)在有理数域上不可约[5].特别注意的是，爱森斯坦判别法的条件只是充分条件，即满足三个条件的多项式不可约.如：多项式f(x)=2x n−5x+10，满足爱森斯坦判别法的三个条件，故而不可约.但并不是说所有不满足定义要求的多项式都可约，因为有很多多项式不满足上述三个条件但却是不可约的，譬如x2+2.当然，也有可约的多项式，如：x2+x−6不满足上述的三个条件，但却可以分解为x2+x−6=(x−2)(x−3)有时，对于某个多项式来说，爱森斯坦判别法不能直接应用，但我们可以把其适当变形.设a和b是两个有理数，且a≠0，整数系多项式f(x)在有理数域上不可约当且仅当f(ax+b)在有理数域上不可约[6].例2：证明f(x)=x6+x3+1在有理数域上不可约.证明：因为f(x)的系数都是1，无法应用爱森斯坦判别法.因此，我们令x= y+ 1 并把其代入f(x)，则多项式变为（y+1)6+(y+1)3+1=y6+6y5+15y4+21y3+18y2+9y+3=g(y)根据爱森斯坦判别法判别g(y)，取p=3，即证上式不可约，故而可知f(x)=x6+x3+1在有理数域上不可约.2.布朗（Brown）判别法定理4设f(x)为n次整系数多项式，令Sf(x)={⋯,|f(−1)|,f(0)|,|f(1)|,⋯}其中N1表示 Sf(x)中1的个数，N p表示 Sf(x)质数的个数，令N p+2 N1>n+4，则f(x)在Q上不可约.例3：证明f(x)=2x3−x2+x−1在Q上不可约.证明：因为无法找到素数p来判断f(x)满足爱森斯坦(Eisentein)判别法的条件，因此我们无法根据爱森斯坦(Eisentein)判别法来判别可约性，但是我们可以根据布朗（Brown）判别法判断多项式的可约性.因此，我们可以得到：f(0)=−1，f(1)=1，f(−1)=−5，f(−2)=−23，f(3)=47故而，N p≥4,N1≥2所以得到N p+2 N1≥8>3+4由此根据布朗（Brown）判别法可知，f(x)在有理数域上不可约.3.佩龙（Perron）判别法定理5设f(x)=x n+a n−1x n−1+⋯a1x+a0(a0≠0,a iϵZ,i=0,1,⋯,n−1)是整系数多项式，若此系数满足|a n−1|>1+|a n−2|+|a n−3|+⋯|a1|+|a0|，则f(x)在有理数域上不可约.例4：证明f(x)=x5+4x4+x2+1在有理数域上不可约.证明：因为无法找到素数p来判断f(x)满足爱森斯坦(Eisentein)判别法的条件，因此我们不能用爱森斯坦(Eisentein)判别法，但是我们可以看出多项式f(x)满足佩龙（Perron）判别法的条件.因此根据佩龙（Perron）判别法定理以及题目得出4>1+1+1，所以该多项式在有理数域上不可约.4.克罗内克(Kronecker)判别法定理6设f(x)=a n x n+a n−1x n−1+⋯+a1x+a0是一个整系数多项式，可以在有理数域上将f(x)分解成两个不可约多项式的乘积.例5：证明f(x)=x5+1在有理数域上不可约.证明：s=2<52，取a0=−1,a1=0,a2=1，则有f(−1)=0，f(0)=1，f(1)=2因此，f(−1)的因子为0，f(x)的因子为1，f(x)的因子为1,2故令g(−1)=0， g(0)=1， g(1)=1； g(−1)=0， g(0)=1， g(1)=2应用插值多项式得g1(x)=0+(x+1)(x−1)+(x+1)(x−0)=−1(x2−x−2)g2(x)=0+(x+1)(x−1)(0+1)(0−1)+2(x+1)(x−0)(1+x)(1−0)=x+1由带余除法可知：g1(x)不能整除f(x)，g2(x)不能整除f(x)，从而得到f(x)在有理数域上不可约.此方法是一个通过有限次数计算判定整系数多项式可以分解成若干个次数低的整系数多项式的方法[7].然而，有大量的文献资料显示，整系数多项式的因式分解过程中往往不采用克罗内克方法[8]，因为对于工作量来说，克罗内克方法的使用非常大，通常选择使用其他的分解技巧实现.因此克罗内克方法只是一种理论上可行的方法，不能用于因式分解的实际操作，实用价值不大5.反证法上述判别法判别多项式在有理数域上的条件并不是所有题目都适用，因此，我们不确定不满足爱森斯坦判别法的多项式是不是可约的，或在无法找到满足判别法中的素数p时，我们选择反证法.例6：设p(x)是F(x)上一个次数大于零的多项式，如果对任意f(x)，都有g(y)∈F(x)，且p(x)| f(x) g(y)，并且p(x)| f(x)或者p(x)| g(y)，那么p(x)不可约.证明：若p(x)可约，则有p(x)=p1(x)p2(x)，其中0<∂(p i(x))<ð(p(x))，i=1,2令f(x)=p1(x)，g(y)=p2(x)，则p(x)| f(x) g(y)由题可得：p(x)| f(x)或p(x)| g(y)则有∂(p(x))>ð(f(x)),∂(p(x))>ð(g(y))，与前面整除矛盾，故p(x)不可约.6.有理法（利用有理根）对于一些次数不超过三次的多项式，利用有理根方法进行判别会更简便，若没有有理根，则该多项式在有理数域上不可约.例7：判断f(x)=x3 −5x+1在有理数域上是否可约？解：假设f(x)可约，那么f(x)至少有一个一次因子，即有一个有理根.但f(x)的有理根只可能是±1，因此带入验算得f(±1)≠0.说明该多项式没有有理根，因此f(x)在有理数域上不可约.例8：判断f(x)=x3−46x2+171x−127在有理数域上是否可约？解：若f(x)可约必有有理根，而f(x)的有理根中只能是±1或±127.因为f(±1)≠0,f(±127)≠0，所以f(x)无有理根，解得 f(x)在有理数域上不可约.7.利用因式分解唯一性定理将有理数域看作实数域的一部分，多项式可以分解成几个实数域上的不可约因子.由于其不可约因式的系数不都是有理数，所以通过因式分解唯一性定理，则该多项式在有理数域上不可约.例9：证明x4+ 1在有理数域上不可约.解：多项式x4+1在实数域上分解为不可约因式的乘积为x4+1=（x2+√2x+1)(x2−√2x+1)根据因式分解唯一性定理可知，如果x4+1在有理数域上可约，应该为上述的分解形式，但上述不可约因式的系数不全为有理数，故而x4+1在有理数域上不可约.8.综合分析法在多项式因式分解过程中，我们有时不能只用一种方法判断其是否可约，因为有时靠一种方法并不能推断出来，所以我们采取综合分析法.例10：证明f(x)=x4+4kx+1（k是整数）在有理数域上是否可约？解：f(x)的有理根只能是±1，且f(±1)≠0.所以f(x)无一次因式，如若f(x)可约，只能是两个二次因式乘积。
[精编]数学因式分解研究论文
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[精编]数学因式分解研究论文题目：数学因式分解研究论文摘要：本研究论文旨在探索数学因式分解的相关概念、方法和应用。
数学因式分解是将一个数或一个代数式表示为若干乘积的形式。
本论文将从数论、代数和应用角度来讨论因式分解的重要性和应用领域。
论文将综述不同的因式分解方法并分析其特点和适用范围。
此外，我们将通过实例来展示因式分解的应用，包括解方程、简化代数表达式、寻找最大公因数和最小公倍数等。
最后，本论文将展望因式分解在未来的发展前景。
关键词：数学因式分解，数论，代数，应用，方程，代数表达式，最大公因数，最小公倍数引言：数学因式分解是数学中最基本、最重要的概念之一。
它不仅在数论和代数中有着广泛的应用，也是其他数学分支如几何和概率统计的基础。
因式分解可以帮助我们简化复杂的代数表达式，解决实际问题，例如在工程和经济领域中的应用。
本研究论文旨在系统地分析因式分解的相关概念、方法和应用，并展望其未来的发展前景。
一、因式分解的概念和方法：本节将介绍因式分解的基本概念和方法。
我们将从整数的因式分解开始，包括质因数分解和完全平方的因式分解。
随后，我们将讨论多项式的因式分解，包括提公因式法、配方法和分组分解法等。
我们将分析每种方法的特点和适用范围，并给出具体的例子来说明。
二、因式分解的应用：本节将讨论因式分解在不同领域的应用。
首先，我们将说明如何利用因式分解来解方程，包括一次方程、二次方程和高次方程。
其次，我们将介绍如何利用因式分解来简化复杂的代数表达式，包括多项式、分式和根式。
此外，我们还将探讨因式分解在寻找最大公因数和最小公倍数中的应用。
三、因式分解的未来发展：本节将展望因式分解在未来的发展前景。
我们将研究现有的因式分解算法和方法，并提出改进和优化的方向。
此外，我们还将探讨因式分解与其他数学分支的交叉应用，并讨论可能的未来研究方向，如高维因式分解、非整数因式分解和数值因式分解等。
结论：本研究论文系统地介绍了数学因式分解的相关概念、方法和应用。
邓丽军.浅谈整式乘法与因式分解的论文
浅谈整式乘法与因式分解的易错点邓丽军（漳县新寺中学，数学，甘肃，漳县，748305）摘要：整式乘法和因式分解是初中教学的重点也是一个难点，有着承前启后的重要性，如何在教学中使学生掌握这部分内容，将是初中数学教师的重要任务。
本文首先对整式乘法和因式分解的概念进行了深入的剖析,然后归纳这部分内容试题的易错点总结方法，最后得出解题技巧．关键词：整式乘法；因式分解；易错点；整式乘法和因式分解是新人教版版八年上册的内容，是初中教学的重要组成部分。
它是在幂的运算的基础之上，对整式的运算的探索，为以后的分式运算和以及一元二次方程的学习打下了打下了基础.因此这部分内容在初中阶段有着举足轻重的地位。
这部分内容好讲，但学生一做题就出错，如何才能使学生掌握这部分重要知识呢？我认为应该归纳这部分内容试题的易错点，然后总结方法得出解题的技巧.下面我就谈谈我自己的一些认知.1预备知识1.1整式的乘法法则定义1.1.1[1]单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.定义1.1.2[1]单项式乘多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.定义1.1.3[1]多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加.1.2乘法公式公式1.2.1[1]平方差公式：22))((b a b a b a -=-+数公式1.2.2[1]完全平方公式：2222)(b ab a b a ++=+，2222)(b ab a b a +-=-1.3因式分解定义 1.3.1这个多项式因式分解（也叫作分解因式).方法 1.3.2[1]提取公因式法是因式分解的一种基本方法.如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来作为多项式的一个因式，提取公因式后的式子放在括号里，作为另一个因式.方法1.3.3[1]平方差公式分解因式：))((22b a b a b a +-=-；完全平方公式分解因式：222)(2b a b ab a +=++，222)(2b a b ab a +=+-.2整式乘法的易错点[]2误区2.1﹙混淆幂的运算法则﹚（郴州市）下列计算正确的是（ ）A.54x x x =⋅B.236x x x =÷C.3322=-x xD.6326)2(x x =分析：错解 B ，C ，D.混淆了幂的运算性质以及合并同类项的运算.选项A 为同底数幂的乘法，计算正确；选项B 为同底数幂的除法，正确的计算为33636x x x x ==÷-.选项C 为合并同类项，正确的计算为22222)13(3x x x x =-=-.选项D 为积的乘方与幂的乘方的综合题，正确的计算为63233282)2(x x x ==⨯.误区2.2（漏乘多项式中的常数项）计算：).12(322--ab a a错解：b a a ab a a a ab a a 342222236)(323)12(3-=-⋅+⋅=--.分析：错解在使用乘法分配律是漏乘了常数项-1导致计算出错了.正解：23422222233613323)12(3a b a a a ab a a a ab a a --=⋅-⋅-⋅=--.误区2.3（运用公式时出现系数错误或漏项）（河南省）先化简，再求值：)1(4)12()12()2(2+--⋅+++x x x x x ，其中2=x . 错解：)1(4)12()12()2(2+--⋅+++x x x x x x x x x 44124222---++==2x -x 4- 3+.当2-=x 时， 2x -x 4-3+=73)2(4)2(2=+-⨯⨯--.分析：本题出错的地方有两处：一是计算2)2(+x 时，运用完全平方式计算展开式应为三项，错解中漏掉“2倍项”.二是计算)12)(12(-+x x 时，结果是142-x ，错解中)12)(12(-+x x 的展开式的第一项的系数出错.正解：)1(4)12()12()2(2+--⋅+++x x x x x =)44()14()44(222x x x x x +--+++= x x x x x 441444222---+++=32+x .当2-=x 时，32+x =73)2(2=+-.误区2.4(关于多项式的运算没有加括）计算 )1(4)12()12()2(2+--⋅+-+x x x x x .错解：)1(4)12()12()2(2+--⋅+-+x x x x x =x x x x x 441444222+---++=224x x - 387)14()44()441(14444222++-=-+++--=-+++-x x x x x x x x .分析：本题出错的原因是关于多项式的运算没有加括号.此题的计算是先算乘法再算减法，但是做题中把多项式没有括起来，导致了错误.正解：)1(4)12()12()2(2+--⋅+-+x x x x x =)44()14()44(222x x x x x +---++= x x x x x 441444222--+-++=)44()441(1444442222x x x x x x x x -+--=++-+-- )14(++=5750722+-=++-x x .误区2.5（运算顺序错误） 计算：)21(282243xy y x y x -⋅÷ 错解：.8)(8)21(2833432243y y x y x xy y x y x -=-÷=-⋅÷ 分析：乘除运算是同级运算，计算顺序应该是从左向右依次进行. 正解：.2)21(4)21(283222243y x xy xy xy y x y x -=-⋅=-⋅÷ 误区2.6（法则应用错误）计算：).73)(32(b a b a +-错解：.2167332)73)(32(22b a b b a a b a b a -=⋅-⋅=+-分析：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加.错解只将两个多项式的前项乘前项，后项乘后项，违背了运算法则.正解：2221914673337232)73)(32(b ab ab a b b a b b a a a b a b a --+=⋅-⋅-⋅+⋅=+- =2222215621)914(6b ab a b ab ab a -+=--+.3因式分解的易错点误区3.1（概念理解不到位）分解因式：.542--x x错解：5)4(542--=--x x x x .分析：本题出错的原因是对因式分解的概念理解不清，导致错误。
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初中数学因式分解常用的方法与技巧
阿舍中学曹金凤
【摘要】多项式的因式分解是多项式乘法的逆过程，也是代数式恒等变形的一个重要组成部分。
因式分解在代数的运算、解方程等方面都有极其广泛的应用。
本文阐述了因式分解概念，并详细地介绍了因式分解的方法
【关键词】多项式因式分解应用
因式分解是中国数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地初中数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。
因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。
学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。
一、多项式分解的定义
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式。
二、多项式因式分解的方法
（一）提公因式法
定义：把多项式中每项都含有的公因式提出来，从而把多项式化成两
因式相乘的形式叫提公因数法。
提公因式法基本步骤
1.找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；
2.提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式
除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。
例1 ()c b a m cm bm am ++=++；
()()()()()()()()b a y x y x b y x a x y b y x a x y b y x a --=---=-+-=-+-
（二）运用公式法
运用公式分解因式，就是把一些形如公式的多项式按公式的形式分解成几个 因式的乘积的形式的方法。
平方差公式：
()()b a b a b a -+=-22； 完全平方公式：()2222b a b ab a ±=+±；
注：(1)首平方，尾平方，首尾的2倍在中央，同号正，异号负
（2）公式法的关键是寻找首尾项，符号同中央。
（3）分解因式一定要彻底。
例2 分解因式
2
2
2
2222
22
222
22)( )2()5()2( )
44-)4()34()3()
)(2( )
)(()2()
32)(32(14)(4))(5(44)4(9
2416)3()())(2(9
4)1(m n m n m y x y xy x x q p q p x q x p x q x p x x x m n m m n m y xy x x x q x p x x -=-+=--=+-=+=-++=--++++=-+=++-+-+-+++-+-原式（原式原式原式）原式解（
(三)提公因式法与公式法的混合应用
当题目要因式分解时，首先要先考虑有没有公因式，有公因式要先提公因式，在考虑运用公式。
例3 分解因式
)
)((3 )
)(33( )22)(22()2()(3 )
2(3)1()2()2)(2(363)1(2
222
22
2y x y x y x y x y x y x y x y x y x a y xy x a y x y x ay axy ax -+=-+=--++++=+=++=+-+++原式原式解：
（四）、分组分解法
将几个项分在一起，进行局部变形，在进行整体变形的方法叫分组分解法。
))(( )( )
2()2()
4)(( )
4()4( )
4()4( 4)4()1(:2)2(44)1(2
222222222c b a c b a c b a bc c b a x y x x y x x x y x x y
xy x x bc
c b a y
x xy x +--+=--=-+-=-+=-+-=+--=---=+---+-原式原式解
注：（1）本公式应用于四项或四项以上的式子。
（2）将几个项分在一起，进行局部变形，在进行整体变形。
（3）可按相同字母分为1组，或按次数分为1组。
（三次项跟三次项分在一起……）
三、多项式因式分解的特点
结果的对称型：由于一个多项式的可约与不可约都是相对于某个数域而言的，因此一道因式分解题究竟分解到何时才算是结局，应是给定数域而异。
对于定义域上的多项式的因式分解，在高等代数中已经证明了这种分解的结果除常数因式外是唯一的。
四、多项式因式分解的一般步骤
1.如果多项式的各项有公因式，那先提公因式；
2.如果各项没有公因式，那么可尝试用公式来分解。
一个数学真理本身既不简单也不复杂，它就是它。
数学是一种理性的精神，使人类的思维得以运用到最完善的程度。
数学是一种别具匠心的艺术。
数学是人类的思考中最高的成就。
数学是研究抽象结构的理论。
数学，并不遥远，它真实存在，并打动我们心灵。
只要你用心发现，你可以发现数学中的趣味；只要你坚持不懈，数学将成为你不可多得的朋友；只要你学会热爱，数学会给你一个特殊的美感世界。
来！让我们带着最真的梦想，好好学习数学，一起去放飞我们对数学的热爱！！
2012.7.7。