§11[1].2 贝塞尔方程
贝塞尔函数的有关公式
贝塞尔函数的有关公式贝塞尔函数是数学中一类特殊的函数，广泛应用于物理学、工程学和数学物理学等领域。
贝塞尔函数一族的定义包括第一类贝塞尔函数、第二类贝塞尔函数以及修正的贝塞尔函数。
本文将介绍这些贝塞尔函数的基本定义和性质，并给出一些常见的贝塞尔函数公式。
一、第一类贝塞尔函数(Bessel Function of the First Kind)第一类贝塞尔函数是非负整数阶的解特殊二阶常微分方程贝塞尔方程的解。
第一类贝塞尔函数通常用J_n(x)表示，其中n是阶数，x是实数。
它的定义为：J_n(x) = (1/π) ∫[0,π] cos(nθ - xsinθ) dθ其中,J_0(x)是常数函数。
第一类贝塞尔函数有一些重要的性质：1.对于所有的实数x和n≥0，J_n(x)是实函数。
2.J_0(x)在x=0处取得最大值，而在其他地方有若干个零点。
3.J_n(x)在x→0时的行为类似于x^n，即J_n(x)~(x/2)^n/(n!)。
第一类贝塞尔函数的递推公式:J_{n+1}(x)=(2n/x)J_n(x)-J_{n-1}(x)其中J_{1}(x)=(2/x)J_0(x)。
第一类贝塞尔函数的导数计算公式:dJ_n(x)/dx = J_{n-1}(x) - (n/x) J_n(x)利用这个公式可以计算贝塞尔函数的导数。
二、第二类贝塞尔函数(Bessel function of the second kind)第二类贝塞尔函数是贝塞尔方程的另一类解，通常用Y_n(x)表示，其中n是阶数，x是实数。
第二类贝塞尔函数的定义为：Y_n(x) = (1/π) ∫[0,π] sin(nθ - xsinθ) dθ其中,Y_0(x)是称作“诺依曼函数”。
第二类贝塞尔函数的性质如下：1.对于所有的实数x和n≥0，Y_n(x)是实函数。
2.Y_0(x)在x=0处不取得最大值，而在其他地方有若干个零点。
3. Y_n(x)在x→0时的行为类似于(2/π)(ln(x/2) + γ) + O(x^2)。
贝塞尔函数
第一类贝塞尔函数 J (x)的级数表示式为
J
(x)
(1)k
k 0
1
k !( k
1)
( x ) 2k 2
J
(x)
(1)k
k 0
1
k !(
k
1)
( x ) 2k 2
式中 ( x) 是伽马函数．满足关系
（1.2.1）
( k 1) ( k )( k 1) ( 2)( 1)( 1)
H (1)
H(2)
(x) (x)
J J
(x) (x)
iN iN
( (
x) x)
（1.1.9）
分别将
H (1)
,
H(
2
)
称为第一种和第二种汉克尔函数．
于是贝塞尔方程的通解又可以表示为
y(x
A
H (1)
(
x
)
BH(2) ( x)
（1.1.10）
最后，总结 阶贝塞尔方程的通解通常有下列三种形式：
x 和
可以为任意数．
1.1.2 贝塞尔方程的解
通过数学物理方程的幂级数求解方法可以得出结论：
（1）当 整数时，贝塞尔方程(1.1.6)的通解为
y( x) AJ ( x) BJ ( x) （1.1.7）
其中 A, B 为任意常数，J (x) 定义为 阶第一类贝塞尔函数
但是当 n 整数时，有 Jn (x) (1)n Jn (x) 故上述解中的 Jn (x)
Jn (x)
(1)k
k n
1 k !(n
k
( x)n2k 1) 2
(1)n (1)l
1
( x)n2l ,
l0
l !(n l 1) 2
贝塞尔函数详细介绍(全面)
(−1) m x 2 n + 2 m −1 = x n J ( x) = x n ∑ n + 2 m−1 n −1 2 m!⋅Γ(n + m) m =0
∞
d x n J n ( x ) = x n J n −1 ( x ) dx d −n x J n ( x) = − x − n J n +1 ( x) dx
y = AJ n ( x) + BYn ( x)
A、B为任意常数， n为任意实数
数学物理方程与特殊函数
第5章贝塞尔函数
三 贝塞尔函数的性质
(−1) m x J n ( x) = ∑ ⋅ m = 0 m! Γ ( n + m + 1) 2
∞ n+2m
J α ( x) cos απ − J −α ( x) Yn ( x) = lim α →n sin απ
= −3J1 ( x) + 2 J1 ( x) + J1 ( x) − J 3 ( x) = − J 3 ( x)
数学物理方程与特殊函数
第5章贝塞尔函数
(4)
d n x J n ( x) = x n J n −1 ( x) dx = − xJ1 ( x ) + ∫ x −1 J1 ( x )dx 2 = − xJ1 ( x) + 2 ∫ J1 ( x)dx d −n x J n ( x) = − x − n J n +1 ( x) = − xJ1 ( x ) − 2 ∫ dJ 0 ( x) = − xJ1 ( x) − 2 J 0 ( x ) + C dx ′ (5) ∫ x 3 J 0 ( x )dx = ∫ x 2 dxJ1 ( x ) = x 3 J 1 ( x ) − 2 ∫ x 2 J1 ( x)dx J n −1 ( x) − J n +1 ( x) = 2 J n ( x) 2n J n −1 ( x) + J n +1 ( x) = J n ( x) 3 2 3 2 = x J 1 ( x ) − 2 ∫ dx J 2 ( x ) = x J 1 ( x ) − 2 x J 2 ( x ) + C x
贝塞尔公式讲解
贝塞尔公式讲解
贝塞尔公式是用来计算贝塞尔函数（Bessel function）的数学公式。
贝塞尔函数是常见的特殊函数之一，它在物理学和工程学中有广泛的应用。
贝塞尔函数是由欧拉和贝塞尔在18世纪末和19世纪初研究振动问题时引入的。
它们是满足贝塞尔微分方程的解，该方程出现在许多物理问题中，如电磁波，声波和热传导等。
贝塞尔函数通常表示为J_n(x)，其中n是整数，x是实数。
贝塞尔函数的计算可以使用贝塞尔公式，该公式可以表示为：
J_n(x) = (1/π) ∫_0^πcos(nθ- x sinθ) dθ
其中，θ是积分变量，cos和sin是三角函数，π是圆周率，n和x是函数的参数。
这个公式告诉我们如何计算任意x和n的贝塞尔函数。
它涉及积分，因此可能需要数值计算来获得精确的结果。
贝塞尔函数在微积分，波动问题和量子力学等领域中广泛使用。
贝塞尔曲线详解
贝塞尔曲线详解贝塞尔曲线是一种数学曲线，它由法国数学家皮埃尔·贝塞尔在19世纪中期发明。
贝塞尔曲线在计算机图形学、工程学、设计和艺术等领域中得到了广泛应用。
本文将详细介绍贝塞尔曲线的定义、性质和应用。
一、贝塞尔曲线的定义贝塞尔曲线是由一系列控制点和一组权重值组成的曲线。
控制点是曲线上的点，它们决定了曲线的形状。
权重值是一个数值数组，它们控制了曲线在控制点之间的弯曲程度。
贝塞尔曲线的公式如下：B(t) = Σi=0n Pi * Bi,n(t)其中，B(t)是曲线上的点，t是参数，Pi是控制点，Bi,n(t)是贝塞尔基函数。
贝塞尔基函数是一个多项式函数，它的形式如下：Bi,n(t) = C(n,i) * ti * (1-t)n-i其中，C(n,i)是组合数，ti是t的i次方，(1-t)n-i是(1-t)的n-i次方。
二、贝塞尔曲线的性质1. 控制点的数量决定了曲线的阶数。
例如，如果有3个控制点，那么曲线的阶数为2。
2. 曲线的起点和终点分别是第一个和最后一个控制点。
3. 曲线在控制点处的切线方向与相邻控制点之间的连线方向相同。
4. 曲线的形状由控制点和权重值共同决定。
权重值越大，曲线在相应控制点之间的弯曲程度越大。
5. 贝塞尔曲线具有局部控制性。
这意味着，如果修改了一个控制点的位置或权重值，只会影响该控制点和相邻控制点之间的曲线段，而不会影响整个曲线。
三、贝塞尔曲线的应用1. 计算机图形学贝塞尔曲线在计算机图形学中得到了广泛应用。
它们可以用来绘制平滑的曲线和曲面，例如二维图形、三维模型和动画。
贝塞尔曲线还可以用来实现图形编辑工具，例如Photoshop和Illustrator。
2. 工程学贝塞尔曲线在工程学中也有很多应用。
例如，它们可以用来设计汽车、飞机和船舶的外形，以及建筑物的立面和室内设计。
贝塞尔曲线还可以用来优化机器人的运动轨迹和控制系统的响应速度。
3. 设计和艺术贝塞尔曲线在设计和艺术领域中也非常流行。
贝塞尔曲线算法
一、贝塞尔曲线介绍贝塞尔曲线：塞尔曲线又称贝兹曲线或贝济埃曲线，一般的矢量图形软件通过它来精确画出曲线，贝兹曲线由线段与节点组成，节点是可拖动的支点，线段像可伸缩的皮筋，我们在绘图工具上看到的钢笔工具就是来做这种矢量曲线的。
贝塞尔曲线就是这样的一条曲线，它是依据四个位置任意的点坐标绘制出的一条光滑曲线。
“贝赛尔曲线”是由法国数学家Pierre Bézier所发现，由此为计算机矢量图形学奠定了基础。
它的主要意义在于无论是直线或曲线都能在数学上予以描述。
主要实现功能：1、在曲线上可以增加一个节点；2、在曲线的节点上点击可以删除一个节点；3、位图可以点击再拖动某一点可以进行任意形状的编辑；二、贝塞尔曲线原理贝塞尔曲线于1962年，由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）所广泛发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计。
贝塞尔曲线最初由Paul de Casteljau 于1959年运用de Casteljau 算法开发，以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。
（1）线性贝塞尔曲线给定点P0、P1，线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的直线，这条线由下面的公式可以计算：（2）二次方贝塞尔曲线路径由给定点P0、P1、P2的函数B(t)追踪：（3）三次方贝塞尔曲线P0、P1、P2、P3四个点在平面或在三维空间中定义了三次方贝塞尔曲线。
曲线起始于P0走向P1，并从P2的方向来到P3。
一般不会经过P1或P2；这两个点只是在那里提供方向资讯。
P0和P1之间的间距，决定了曲线在转而趋进P2之前，走向P1方向的“长度有多长”对于三次曲线，可由线性贝塞尔曲线描述的中介点Q0、Q1、Q2，和由二次曲线描述的点R0、R1所建构（4）n阶贝塞尔曲线n阶贝塞尔曲线也称为高阶贝塞尔曲线。
n阶贝塞尔曲线可如下推断。
给定点P0、P1、…、Pn，其贝塞尔曲线即三、贝塞尔典线绘制原理用de Casteljau 算法绘制一条贝塞尔曲线在平面内任选3个不共线的点，依次用线段连接：在第一条线段上任选一个点D。
贝塞尔公式详细推导过程
贝塞尔公式详细推导过程《贝塞尔公式的详细推导过程》引言：贝塞尔公式是数学中一种重要且广泛应用的公式，它的推导过程相对较复杂、细致，但却十分精彩。
在本文中，我们将详细介绍贝塞尔公式的推导过程，让读者对这一公式有更深入的理解。
一、贝塞尔公式的定义：贝塞尔公式是一种用连分数表示的数学公式，其一般形式为：J_n(x) = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \cos(n\theta - x\sin\theta)d\theta其中，J_n(x) 表示第n阶贝塞尔函数，x 是实数，\theta 表示角度，\pi 表示圆周率。
二、推导过程：1. 首先，我们从欧拉公式 e^ix = \cos(x) + i\sin(x) 出发，将其展开得到：e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)2. 接下来，我们将展开中的i\sin(x) 转化为两个实数的乘积。
我们知道，正弦函数的定义式为：\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}代入之前的展开式，得到：i\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2}3. 现在，我们用这个展开式来推导贝塞尔公式。
我们首先将贝塞尔函数展开成幂级数形式：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k}4. 接下来，我们将展开式中的 e^{ix} 替换为 \cos(x) + i\sin(x)：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} \left(\cos(x) + i\sin(x)\right)5. 然后，我们将正弦函数用欧拉公式展开为两个指数函数的乘积：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} \left(\cos(x) + i\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2}\right)6. 继续推导，我们可以将指数函数的乘积展开为两项之差：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} \left(\cos(x) + \frac{i e^{ix}}{2} - \frac{i e^{-ix}}{2}\right)7. 现在，我们可以将展开式中的 i 消去：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} \left(\cos(x) + \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2}\right)8. 之后，我们可以将展开式进行拆分，分别对两项进行求和，并利用复数的性质对其中的复数部分进行化简：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \left(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k}\cos(x) + \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k}\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2}\right)9. 最后，我们可以将两个求和式进行整理，将其中的复数部分转化为积分形式：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k}\cos(x) + \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k}\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \cos(n\theta -x\sin\theta)d\theta10. 将整理后的展开式中的求和式转化为连分数形式，即可得到贝塞尔公式：J_n(x) = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \cos(n\theta - x\sin\theta)d\theta结论：通过上述推导过程，我们可以将贝塞尔公式从指数函数的展开式推导得到，将其转化为连分数形式。
数理方程中与贝塞尔函数有关的问题
数理方程中与贝塞尔函数有关的问题据百度百科介绍：贝塞尔（1784——1846）是德国天文学家，数学家，天体测量学的奠基人。
20岁时发表了有关彗星轨道测量的论文。
1810年任新建的柯尼斯堡天文台台长，直至逝世。
1812年当选为柏林科学院院士。
贝塞尔的主要贡献在天文学，以《天文学基础》（1818）为标志发展了实验天文学 ，还编制基本星表 ，测定恒星视差， 预言伴星的存在，导出用于天文计算的贝塞尔公式，较精确地计算出岁差常数等几个天文常数值，还编制大气折射表和大气折射公式，以修正其对天文观测的影响。
他在数学研究中提出了贝塞尔函数，讨论了该函数的一系列性质及其求值方法，为解决物理学和天文学的有关问题提供了重要工具。
此外，他在大地测量学方面也做出一定贡献，提出贝塞尔地球椭球体等观点。
（图片来自维基百科）一、贝塞尔方程与贝塞尔函数 二、贝塞尔方程与欧拉方程比较 三、贝塞尔函数与伽马函数四、贝塞尔函数与几个常用函数的台劳级数比较 右图来自网页“维基百科——自由的百科全书”中贝塞尔函数介绍。
贝塞尔函数的一个实例：一个紧绷的鼓面在中心受到敲击后的二阶振动振型，其振幅沿半径方向上的分布就是一个贝塞尔函数（考虑正负号）。
实际生活中受敲击的鼓面的振动是各阶类似振动形态的叠加一、贝塞尔方程与贝塞尔函数Bessel 方程是二阶线性变系数齐次常微分方程0)(22222=-++y v x dx dy x dxy d x 其中，v 是常数，称为Bessel 方程的阶（不一定是整数），可取任何实或复数。
该方程的解无法用初等函数表现。
数理方程教科书采用第一类Bessel 函数和第二类Bessel 函数的线性组合表示方程的标准解函数。
贝塞尔函数也被称为圆柱函数或圆柱谐波。
通常所说的贝塞尔函数是指第一类Bessel 函数m v m m v xm v m x J 20)2()1(!)1()(+∞=∑++-=Γ贝塞尔方程是在圆柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程时得到的（在圆柱域问题中得到的是整阶形式；在球域问题中得到的是半奇数阶形式），因此贝塞尔函数在波动问题以及各种涉及有势场的问题中占有非常重要的地位，典型的问题有：在圆柱形波导中的电磁波传播问题；圆柱体中的热传导问题；圆形（或环形）薄膜的振动模态分析问题；在其他一些领域，贝塞尔函数也相当有用。
11-2贝塞尔方程
l r R ( r ) l 1 1 / r
z e Z ( z) z e R( ) : m阶
( x) : l阶连
带勒让德方程
贝塞尔方程
( v 2 0) 1 Z ( z) z
(推导见P268)
第一类边界条件
[N
(m) 2 n
第二类边界条件
第三类边界条件
1 2 (m) ] 0 [ J m 1 ( n 0 )] 2 2
2 1 m ( m) 2 2 ( m) [ Nn ] ( 0 ( m) )[J m ( n 0 )]2 2 n
2 2 1 m ( m) 2 2 ( m) 2 [ Nn ] ( 0 ( m) ( m0 )[ J ( )] m n 0 2 n n ) H
m 1 R0 ( ) ， R ( ) m (m 0) m ln
方程
波动方程 utt a 2 3u 0 输运方程 ut a 2 3u 0
球坐标系
柱坐标系
1 cos kat T0 (t ) ，Tk (t ) (k 0) t sin kat 3v(r ) k 2v(r ) 0
四、傅立叶－贝塞尔级数 定理：f(ρ )在(0，ρ 0)上有连续的一阶导数和分 段连续的二阶导数，且在ρ =0有限，在ρ =ρ 0满 足边界条件，则f(ρ )在(0，ρ 0)上可展为绝对且 一致收敛的级数。
(m) f ( ) f J ( n m n ) n 1 0 1 ( m) 且f f ( ) J ( n m n ) d (m) 2 [Nn ] 0
由上节，其通解为：
11.2 贝塞尔方程
2
d R dx
2
2
x
dR dx
x m
2
2
R 0
（11.4.1）
数学物理方法
令 i x , y ( ) R ( x ) 代入上式，则得到贝塞尔方程
y y m
2 2 2
y0
（11.4.2）
令 i x , 即可得到虚宗量贝塞尔方程的解。 定义虚宗量贝塞尔方程的解具有如下形式
解：采用柱坐标系，极点在下底中心， z 轴沿圆柱的轴， 定解问题表为
2u 0 u 0, 0 u z 0 f 1 ( ), u
zL
f2 ( )
本例是圆柱内部的拉普拉斯方程定解问题， 柱侧是齐次的第 二类边界条件，故考虑 0 的情况。
况应舍弃。 故把特解叠加起来，有
v
Ap I0 (
p L
) sin
p z L
p 1
为确定系数，将上式代入柱侧的边界条件 q0 p p p z I '0 ( 0 ) sin Ap
p 1
L
L
L
k
数学物理方法
例 2 半径 0 ，高 L 的导体圆柱壳，用不导电的介质将柱壳 的上下底面和侧面隔离开，柱壳侧面电势为 u 0 z / L ，上底 面电势为 u 1 ，下底面接地，求柱壳外电势分布
v [ A J 0 ( ) B N 0 ( )]e
a t
2
A J 0 ( 1 ) B J 0 ( 1 ) 0 代入边界条件， ，从而解 AJ 0 ( 2 ) BJ 0 ( 2 ) 0
出本征值 ，从而定出相应系数，得解。
第十一章 贝塞尔函数
二、本征值问题
二、本征值问题
可以证明如下的正交关系：
二、本征值问题
二、本征值问题
二、本征值问题
二、本征值问题
二、本征值问题
二、本征值问题
三、应用
例题：半径为a的均匀导热介质球，原来的温度为u0 （常量）。将它放入冰水中，使球面温度保持 为 。求球内温度的变化。
三、应用
三、应用
二、柱函数：
二、柱函数：
二、柱函数：
% Fig1d21.m
y=bessely(0:1,(0:0.2:10)'); plot((0:0.2:10)',y(:,1),'b-',(0:0.2:10)',y(:,2),'r--*') grid on text(1.8,0.6,'N_0') text(4.7,0.3,'N_1') title('\fontsize{20}诺伊曼函数N_{0,1}的图形') xlabel('\fontsize{20}x') ylabel('\fontsize{20}N_m(x)')
二、柱函数：
ylabel('\fontsize{20}y') zlabel('\fontsize{20}u') title('\fontsize{20}贝塞尔函数的母函数等式左边的图形') view(34,44)
w=0; for k=-20:20 u=besselj(k,2).*z.^k; %x=2 w=w+u; end subplot(122) cplxmap(z,w) xlabel('\fontsize{20}x')
§11[1].2 贝塞尔方程
![§11[1].2 贝塞尔方程](https://img.taocdn.com/s3/m/078f320df78a6529647d537f.png)
=0
= µ J m′ ( µ ρ0 ) = 0
当 µ ≠ 0 时，得 对应的本征值
J m′ ( µ ρ )
ρ = ρ0
=0
µ
(m) n
=(
( xnm)
ρ0
)
2
(m xn ) 为 Jm′ (x) 的第 n 个零点
讨论： 讨论： 当 m=0 当 m≠0
J 0′ ( x) = − J1 ( x) = 0
− k 2 a 2t
∆ 3v( r ) + k 2 v (r ) = 0 cos mϕ Φ (ϕ ) = sin mϕ cosν z Z (z) = ; 但 ν = 0则 sin ν z 1 Z (z) = z
cos mϕ Φ (ϕ ) = sin mϕ Θ ( x ) :阶连带 亥姆霍兹方程 ∆ 3v ( r ) + k 2 v ( r ) = 0 勒让德方 程 R ( r ) : l 阶球贝塞 尔方程 ( k ≠ 0) r R (r ) = 1 r l +1
R( ρ ) ∼ J m ( x) = J m ( µ ρ ) (m ≥ 0)
讨论： 讨论： 1. 第一类齐次边界条件 R(ρ) ρ =ρ0 = 0 本征值： 代入 J m ( µ ρ 0 ) = 0 得本征值：
( µnm) = ( ( (m xnm)
ρ
)2
其中： (m 的第n 零点。 其中：xn ) 为 J m (x) 的第n个零点。
(m 而 xn ) 是上式的第
n个根
(P347.8)半径为 的半圆形膜, 例1：(P347.8)半径为ρ0 的半圆形膜,边缘固 定,求其本征频率和本征振动。 求其本征频率和本征振动。 采用极坐标系， 解： 采用极坐标系，定解问题为
贝塞尔公式
贝塞尔公式
贝塞尔公式，又名分段函数法，是1800年由法国数学家拉普拉斯贝塞尔（Raphael de la Pierre）发明的一种数学工具，在数学、计算机科学和制图等领域有广泛的应用。
基本思想是一些变化相对缓慢的函数，经过变换之后，可以把复杂的函数分解成一系列的相对简单的子函数，再通过特殊的算法，把这些子函数加以组合，使复杂函数有更高的准确度。
贝塞尔公式的基本原理是，在多边形的边界内，用多边形的每条边建立一个分段函数，这种函数有两个功能：其一是最多可以接受多边形的边数来作为分段函数的参数；其二是可以根据贝塞尔曲线边缘上不同位置上上下文规律，来调节分段函数的形状。
贝塞尔公式的运用范围涉及多次数学变换，包括但不限于：
一、几何变换：包括坐标变换，参数变换以及变型几何变换等；
二、代数变换：包括一般的线性变换、二次曲面等变换；
三、拟合变换：对一组数据进行拟合，使用贝塞尔公式来计算，得到相应拟合曲线；
四、曲线变换：把曲线变换成贝塞尔曲线，以便精确描述曲线形状；
五、计算机图形学：将贝塞尔曲线应用于计算机图形学中，可以生成更加精细的图像；
此外，贝塞尔公式还可以应用于投影和地理信息系统，用于定义投影器的特征参数，以便在大地投影中取得较高的准确度。
根据贝塞
尔公式的定义，数学平面上的点可以被映射到空间中，因此用于3D
绘图的技术也能用贝塞尔公式来实现。
贝塞尔公式的应用极其广泛，从拟合曲线到制造更加精细的图像，从改善绘图精度到把数据映射到三维空间中，都可以利用这一数学工具。
贝塞尔公式不仅能够帮助人们实现复杂的数学变换，还能大大提高运算的准确度。
贝塞尔公式计算
贝塞尔公式计算
贝塞尔函数可以分为第一类贝塞尔函数和第二类贝塞尔函数两种。
第
一类贝塞尔函数常表示为Jn(某)，而第二类贝塞尔函数常表示为Yn(某)，其中n为阶数，某为自变量。
Jn(某)=(1/n!)某(某/2)^n某Σ((-1)^k某(某/2)^(2k)/k!(n+k)!)
其中，Σ代表求和符号，k从0到无穷大；n!表示n的阶乘，即
n!=n某(n-1)某...某2某1。
对于第二类贝塞尔函数，贝塞尔公式可以表示为如下级数形式：
Yn(某) = (Jn(某) 某cos(nπ) - J(-n)(某)) / sin(nπ)
其中，J(-n)(某)表示n阶第一类贝塞尔函数的反函数。
nπ表示n
乘以π。
利用贝塞尔公式，可以计算任意阶数n和自变量某下的贝塞尔函数的
近似值。
这种近似值的精度随着级数的截断而改变，截断级数越高，计算
结果越精确。
贝塞尔函数广泛应用于物理学中的波动理论、工程学中的振动和声学
问题、信号处理中的滤波器设计和计算机图形学中的绘制曲线等领域。
贝
塞尔公式作为计算贝塞尔函数的数学工具，在这些领域中发挥着重要的作用。
需要注意的是，贝塞尔函数的计算相对繁琐且较为复杂，尤其是在高
阶数和大自变量情况下。
因此，计算机科学的发展使得贝塞尔函数的计算
可以通过计算机程序来完成，提高了计算的效率和精度。
贝塞尔方程
贝塞尔方程
贝塞尔方程是一种函数方程，是由法国数学家柯西（1903）所研究的幂次表达式的常见形式，它的特征是由参数可以控制函数的形状。
贝塞尔方程经常用来表示从某个区域到另一
个区域的曲线，它的具体形式为：
y = A * x^n + C * x^m + D * x^l + ...
其中A、C、D ...为系数，n、m、l ...为指数。
它可以用来拟合一维曲线，也可以拟合多维
曲线，只要满足一定条件即可。
例如，运用贝塞尔方程拟合一条抛物线，将其定义为：
y = ax^2 + bx + c
其中a为系数，指数是2，b为系数，指数是1，c是常数，指数是0 。
当a、b、c取到
特定的值时，能够拟合出最佳的抛物线形状。
贝塞尔方程的运用范围很广，包括几何建模，图像处理，计算几何，曲线拟合，图形辨识，信号处理和时间序列等。
通常，系数a、b、c可以使用最小二乘法进行最优化，以及使用
其他数值方法，如非线性最小二乘法，进行精确拟合。
贝塞尔方程的实际应用在工程、生物、医学和科学等领域中有着广泛的应用，为在科学研究中建立数值模型提供了必要的工具。
总之，贝塞尔方程是一种控制曲线形状的函数方程，可以用来拟合一维和多维曲线，它能够广泛地应用于工程、生物、医学和科学等领域。
它有良好的精度和计算性能，为实际应用提供了必要的工具。
贝塞尔方程求解过程
贝塞尔方程求解过程贝塞尔方程求解过程贝塞尔方程是数学中的一类常微分方程，它的特殊形式导致了其在物理、工程、数学等领域的重要应用。
解决贝塞尔方程的方法包括变量分离法、级数展开法、渐进展开法等。
下面以常用的级数展开法为例介绍贝塞尔方程的求解过程。
首先，将贝塞尔方程变形为欧拉型方程，这可以通过设y(r)=r^αu(r)并归一化系数完成。
具体来说，在r=0处，y(r)是奇点，所以要求解出一个形如y(r)=r^α[c0+c1r+c2r^2+…]的级数。
将其代入贝塞尔方程中，就可以得到每一项的递推式。
以Bessel函数为例：$$x^2y''+xy'+(x^2-\alpha^2)y=0$$设y(r)=r^\alpha\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^n则\sum_{n=0}^{\infty}[n(n+2\alpha)+n-\alpha^2]c_nx^n=0$$由于x可取任意值，所以只有当每一项系数都为零时，该级数的和才能为零。
从而得到递推公式：$$c_{n+2}=\frac{c_n\alpha^2-c_{n-1}(n+\alpha)}{(n+1)(n+2)} $$利用该递推公式，可以求出任意次数的Bessel函数。
需要注意的是，当α为整数时，存在两个线性无关的解。
这意味着，同样的递推公式会得到两个解。
这些解被称为第一类Bessel函数J_α(x)和第二类Bessel函数Y_α(x)。
其中，J_α(x)是在x=0处有限的，而Y_α(x)在x=0处发散。
通过级数展开法解决贝塞尔方程的过程，可以通过计算每一项系数得到任意次数的解。
这种方法适用于大部分情况，并且常常被用于实际应用中。
总之，解决贝塞尔方程需要使用特定的求解方法。
级数展开法是一种常用的方法，解决过程涉及到欧拉型方程、级数递推公式等数学知识。
通过了解求解过程，可以更好地理解贝塞尔方程及其应用。
贝塞尔方程
走进贝塞尔方程
姓名 学号 日期
方程起源
贝塞尔函数的几个正整数阶 特例在18世纪中叶就由瑞士数 学家丹尼尔·伯努利提出了。雅 各布·伯努利，莱昂哈德·欧拉、 约瑟夫·路易斯·拉格朗日等数学 大师对贝塞尔函数的研究作出 过重要贡献。1817年，德国数 学家弗里德里希·威廉·贝塞尔在 研究三体万有引力系统的运动 问题时，第一次系统地提出了 贝塞尔函数的总体理论框架。
方程形式
第一类贝塞尔函数的形状大致与按1/x√速率衰减的正弦或余弦函 数类似，但它们的零点并不是周期性的，另外随着x的增加，零点的 间隔会越来越接近周期性。上图所示为0阶、1阶和2阶第一类贝塞尔 函数Jα (x)的曲线（α =0,1,2）。
方程形式
第二类贝塞尔函数 (诺伊曼函数,Y函数，记作Yα ） Yα (x)又被称为诺依曼函数（Neumann function），有时也记作 Nα (x)。它和Jα (x)存在如下关系： Yα (x)=Jα (x)cos(απ)−J−α (x)sin(απ), 若α 为整数（此时上式是00型未定式）则取右端的极限值。 从前面对Jα (x)的定义可以知道，若α 不为整数时，定义Yα 是多余 的（因为贝塞尔方程的两个线性无关解都已经用J函数表示出来了） 。另一方面，若α 为整数，Yα 便可以和Jα 构成贝塞尔方程的一个解系 。与J函数类似，Y函数正负整数阶之间也存在如下关系： Y−n(x)=(−1)nYn(x)
弗里德里希·威廉·贝塞尔
方程命名
贝塞尔函数:以19世纪德国天文学家F.W.贝塞尔的姓氏命名 ，他在1824年第一次描述过它们。 贝塞尔曲线：1962年，法国数学家Pierre Bézier第一个研 究了这种矢量绘制曲线的方法，并给出了详细的计算公 式，因此按照这样的公式绘制出来的曲线就用他的姓氏 来命名是为贝塞尔曲线。
贝塞尔公式
样本标准差的表示公式数学表达式：•S-标准偏差（%）•n-试样总数或测量次数，一般n值不应少于20-30个•i-物料中某成分的各次测量值，1～n；[编辑]标准偏差的使用方法•在价格变化剧烈时，该指标值通常很高。
•如果价格保持平稳，这个指标值不高。
•在价格发生剧烈的上涨/下降之前，该指标值总是很低。
[编辑]标准偏差的计算步骤标准偏差的计算步骤是：步骤一、(每个样本数据－样本全部数据之平均值)2。
步骤二、把步骤一所得的各个数值相加。
步骤三、把步骤二的结果除以 (n - 1)（“n”指样本数目）。
步骤四、从步骤三所得的数值之平方根就是抽样的标准偏差。
[编辑]六个计算标准偏差的公式[1][编辑]标准偏差的理论计算公式设对真值为X的某量进行一组等精度测量, 其测得值为l1、l2、……l n。
令测得值l与该量真值X之差为真差占σ, 则有σ= l i−X1= l2−Xσ2……σn = l n−X我们定义标准偏差(也称标准差)σ为（1）由于真值X都是不可知的, 因此真差σ占也就无法求得, 故式只有理论意义而无实用价值。
[编辑]标准偏差σ的常用估计—贝塞尔公式由于真值是不可知的, 在实际应用中, 我们常用n次测量的算术平均值来代表真值。
理论上也证明, 随着测量次数的增多, 算术平均值最接近真值, 当时, 算术平均值就是真值。
于是我们用测得值l i与算术平均值之差——剩余误差（也叫残差）V i来代替真差σ , 即设一组等精度测量值为l1、l2、……l n则……通过数学推导可得真差σ与剩余误差V的关系为将上式代入式(1)有(2)式(2)就是著名的贝塞尔公式(Bessel)。
它用于有限次测量次数时标准偏差的计算。
由于当时，,可见贝塞尔公式与σ的定义式(1)是完全一致的。
应该指出, 在n有限时, 用贝塞尔公式所得到的是标准偏差σ的一个估计值。
它不是总体标准偏差σ。
因此, 我们称式(2)为标准偏差σ的常用估计。
为了强调这一点, 我们将σ的估计值用“S ”表示。
贝塞尔方程解
贝塞尔方程解贝塞尔方程是一种用于描述曲线的数学方程。
它由法国数学家皮埃尔·贝塞尔于19世纪提出，并广泛应用于计算机图形学、计算机辅助设计等领域。
贝塞尔方程的一般形式可以表示为：B(t) = ∑(i=0 to n) (P(i) * B(i, n, t))其中，B(t)是曲线上的点，P(i)是控制点，n是控制点的数量，B(i, n, t)是贝塞尔基函数。
贝塞尔基函数是贝塞尔方程的核心，它决定了曲线的形状。
贝塞尔基函数的定义如下：B(i, n, t) = C(n, i) * t^i * (1 - t)^(n-i)其中，C(n, i)是组合数，表示从n个元素中选取i个元素的组合方式数量。
t是一个介于0和1之间的参数，决定了曲线上的点的位置。
贝塞尔方程的求解过程可以通过递归的方式实现。
具体步骤如下：1. 初始化一个空的点集合。
2. 对于每个参数t，计算贝塞尔基函数的值。
3. 将每个控制点与对应的贝塞尔基函数的值相乘，并将结果相加得到曲线上的点。
4. 将计算得到的点添加到点集合中。
5. 重复步骤2到4，直到遍历完所有的参数t。
6. 返回点集合作为贝塞尔曲线的解。
贝塞尔方程的优点之一是能够通过调整控制点的位置来改变曲线的形状。
这使得它在计算机图形学中得到了广泛的应用。
例如，贝塞尔曲线可以用来绘制平滑的曲线、创建复杂的路径、生成自然的形状等。
除了在计算机图形学领域，贝塞尔方程还在计算机辅助设计中得到了广泛应用。
在CAD软件中，设计师可以通过调整控制点的位置来创建出各种形状的曲线和曲面。
这使得设计师能够更加灵活地表达自己的创意，并且能够更加高效地完成设计工作。
贝塞尔方程还可以用于图像编辑软件中的图像变形功能。
通过调整控制点的位置，用户可以对图像进行自由变形，实现各种有趣的效果。
例如，可以将一张人脸图像的嘴巴部分拉长，使其看起来更加夸张有趣。
贝塞尔方程是一种用于描述曲线的数学方程，具有广泛的应用价值。
它不仅在计算机图形学和计算机辅助设计中得到了应用，还被广泛用于图像编辑、动画制作等领域。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解： 令 u ( ρ , ϕ , t ) = R ( ρ ) Φ (ϕ )T ( t ) 得：
Φ '' + m 2 Φ = 0 Φ ϕ = 0 = Φ ϕ =π = 0
①
R′′ + 1 R′ + (µ − m2 2 ) R = 0 ρ ρ R ρ =0 有限 ( µ > 0) R ρ =ρ0 = 0 T ′′ + µ a 2T = 0
由R =0 ρ =ρ
0
有 J m ( µρ0 ) = 0
( ( 令 xnm ) = ( µ nm ) ρ 0 ) 为 J m ( µ ρ 0 ) 的第 n 个零点
∴
则
( µ nm ) = (
( xnm )
ρ0
)2
(n = 1,2, …)
( x nm )
( R n m ) ( ρ ) = Bn J m (
J0 ( x) J1 ( x )
贝塞尔函数的图象
J2 ( x)
J3 ( x )
（1） J 0 (x) 和
J1 (x) ：
两者都有无穷多个实数零点且两者的零点互 相间插（交替）； 相间插（交替）； （2）可以普遍证明： 可以普遍证明：
J m (x)有无穷多个实数零点，且只有实数孤立的零点； 有无穷多个实数零点，且只有实数孤立的零点；
l
R ( ρ ) : m 阶贝塞尔方程; 但 µ = 0则 ρm 1 R0 ( ρ ) = ; Rm ( ρ ) = − m , ( m ≠ 0) ln ρ ρ [k 2 = µ + ν 2 ]
一、本征值问题（针对贝塞尔函数讨论） 本征值问题（针对贝塞尔函数讨论） 为齐次的边界条件下本征解问题） （侧面 ρ = ρ 0为齐次的边界条件下本征解问题） 对于柱内问题只需讨论 对于柱内问题只需讨论 µ > 0 柱内问题 通解
x
ρ0
(m) n
ρ ) = 0 决定
讨论： 讨论： （1）当 n = 1 时，方程只有一个满足条件 ρ ≤ ρ 0 的解 ρ = ρ 0 ，膜上无节线； 膜上无节线； （2） n = 2 有两个满足 ρ ≤ ρ 0 的解 ( (m) x 2m ) x2 ( (m) ( ρ 2 ) = x 2m ) ( ρ1 ) = x1
第三类齐次边界条件： 3. 第三类齐次边界条件：
见P478表 P478表
ρ =ρ0
[R(ρ) + HR′(ρ)]
=0
即 ： J m ( µ ρ 0 ) + H µ J m′ ( µ ρ 0 ) = 0 ρ0 令 x0 = µ ρ0 h= H 递推公式 Jν ′ ( x) −ν Jν ( x) / x = − Jν +1 ( x) 由P328（10）式得： P328（10）式得： ( x0 xnm) 2 ( J m ( x0 ) = J m+1 ( x0 ) ⇒ µnm) = ( ) h+m ρ0
ρ0
a t + Dn , m sin
ρ0
at
可以看出圆形膜的本征振动角频率为
Байду номын сангаас
ω
本征振动为
( m) n
=
a
ρ0
( xnm)
un,m (ρ,ϕ, t) = [ Am cos mϕ + Bm sin mϕ]⋅ Jm (
( xnm)
ρ0 ρ) ⋅Tn,m (t)
本征振动方程或圆形膜上的驻波 本征振动方程或圆形膜上的驻波
=0
= µ J m′ ( µ ρ0 ) = 0
当 µ ≠ 0 时，得 对应的本征值
J m′ ( µ ρ )
ρ = ρ0
=0
µ
(m) n
=(
( xnm)
ρ0
)
2
(m xn ) 为 Jm′ (x) 的第 n 个零点
讨论： 讨论： 当 m=0 当 m≠0
J 0′ ( x) = − J1 ( x) = 0
因此 J ν ( x )中有无穷多个可按大小次序排列 的正零点； 的正零点； 的零点彼此相间分布。 （2）Jν (x) 的零点与 J ν +1 ( x ) 的零点彼此相间分布。 即 Jν (x)的任意两个相邻零点之间必有且仅有 一个 J ν +1 ( x ) 的零点； 的零点；
讨论 Jm (x)的振荡特性及 Jm (x)的零点
本征圆频率
ω
(m) n
=
a
ρ0
x
(m) n
例2：圆形膜振动的本征频率：考虑半径为 ρ 0 ， 圆形膜振动的本征频率： 边界固定的圆形薄膜，求其振动的本征频率。 边界固定的圆形薄膜，求其振动的本征频率。 解： 由极坐标
2 ∂ 2u ∂u 1 ∂u 2 1 ∂ (ρ ) + 2 ]=0 2 −a [ 2 ρ ∂ρ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂t u =0 ρ = ρ0
方 程
波动方程 utt − a 2 ∆ 3u = 0 输运方程 ut − a 2 ∆ 3u = 0
球坐标系
柱坐标系
1 cos kat T0 (t ) = ; Tk (t ) = ( k ≠ 0) t sin kat ∆ 3v ( r ) + k 2 v ( r ) = 0 T (t ) = e
ρ0
正交： ρ 正交：
∫
0
J m ( µn ρ ) J m ( µl ρ ) ρ d ρ = 0
(n ≠ l )
三、贝塞尔函数的模（方） 贝塞尔函数的模（
[N
(m) 2 n
] = ∫ [ J m ( µn
0
ρ0
(m)
ρ )] ρ d ρ
2
1 2 m2 = (ρ0 − (m) )[Jm ( µn(m) ρ0 )]2 2 µn 1 2 ' (m) 2 + ρ0 [Jm ( µn ρ0 )] 2
⇒ Φ (ϕ ) = Am cos mϕ + Bm sin mϕ
本征值
( µ nm ) = ( ( x nm )
m = 0,1, 2…
ρ0
)2
(m x n ) 表示 J m ( µ ρ ) 的第 n 个零点
( x nm )
本征函数
R
(m) n
= Jm(
( x nm )
ρ0
ρ)
( x nm )
Tn , m (t ) = C n , m cos
x1( m ) ρ1 = ( ( m ) ρ 0 ) ρ2 = ρ0 x2 变大， （3）n 变大，节线是 n − 1 个同心圆 ( xkm ) ρ k = ( (m) ρ 0 ) k = 1,2, ⋯ , n − 1 xn
ρ0
ρ0
二、贝塞尔函数的正交关系 的同阶（ 相同） 对应于不同本征值 µ n、µl 的同阶（m相同） 贝塞尔函数， 贝塞尔函数，在 [0, ρ 0 ] 上带权重
§11.2 贝塞尔方程 对方程
d 2 R 1 dR m2 2 )R = 0 + + (µ − 2 ρ ρ dρ dρ
(m = 0) E + F ln ρ (1)µ = 0为欧拉型R = m F Eρ + (m ≠ 0) m ρ
(2) µ > 0 令x = µ ρ 得m阶贝塞尔方程 d 2R dR 2 x +x + ( x 2 − m2 ) R = 0 2 dx dx
′ ( x) = 1 [ J m −1 ( x) − J m +1 ( x)] = 0 Jm 2
见P328（12）式（递推公式） P328（12） 递推公式）
可以分别从 J1 ( x) = 0 及 J m−1 ( x) 与 J m+1 ( x) 的零点。 曲线的交点得出 J m′ ( x) 的零点。
令
u ( ρ , ϕ , t ) = R ( ρ ) Φ (ϕ ) T ( t )
T ′′ + a2µT = 0 ⇒ Φ′′ + m2Φ = 0 d dR ρ (ρ ) + (µρ 2 − m2 )R = 0 dρ dρ
Φ (ϕ + 2π ) = Φ (ϕ ) R ( ρ ) ρ = ρ0 = 0 R ( ρ ) ρ =0 有 限
驻波的振幅分布
U n,m ( ρ , ϕ ) = [ Am cos mϕ + Bm sin mϕ ] ⋅ J m ( x
ρ0
(m) n
ρ)
的点的轨迹是膜上的曲线，称为节线 节线， U nm = 0 的点的轨迹是膜上的曲线，称为节线， 又 cos mϕ与sin mϕ 不可能同时为零 所以圆膜上的节线由 J m (
− k 2 a 2t
∆ 3v( r ) + k 2 v (r ) = 0 cos mϕ Φ (ϕ ) = sin mϕ cosν z Z (z) = ; 但 ν = 0则 sin ν z 1 Z (z) = z
cos mϕ Φ (ϕ ) = sin mϕ Θ ( x ) :阶连带 亥姆霍兹方程 ∆ 3v ( r ) + k 2 v ( r ) = 0 勒让德方 程 R ( r ) : l 阶球贝塞 尔方程 ( k ≠ 0) r R (r ) = 1 r l +1
ρ0
ρ)
③的解为
Tn ,m = C n,m cos
本征振动
( x nm )
ρ0
( xn m )
at + Dn ,m sin
( x nm )
ρ0
( xn m )
at
u n , m = [ An , m cos
ρ0
at + Bn , m sin