§11[1].2 贝塞尔方程

方 程
波动方程 utt − a 2 ∆ 3u = 0 输运方程 ut − a 2 ∆ 3u = 0
球坐标系
柱坐标系
1 cos kat T0 (t ) = ; Tk (t ) = ( k ≠ 0) t sin kat ∆ 3v ( r ) + k 2 v ( r ) = 0 T (t ) = e
R( ρ ) ∼ J m ( x) = J m ( µ ρ ) (m ≥ 0)
讨论： 讨论： 1. 第一类齐次边界条件 R(ρ) ρ =ρ0 = 0 本征值： 代入 J m ( µ ρ 0 ) = 0 得本征值：
( µnm) = ( ( (m xnm)
ρ
)2
其中： (m 的第n 零点。 其中：xn ) 为 J m (x) 的第n个零点。
因此 J ν ( x )中有无穷多个可按大小次序排列 的正零点； 的正零点； 的零点彼此相间分布。 （2）Jν (x) 的零点与 J ν +1 ( x ) 的零点彼此相间分布。 即 Jν (x)的任意两个相邻零点之间必有且仅有 一个 J ν +1 ( x ) 的零点； 的零点；
讨论 Jm (x)的振荡特性及 Jm (x)的零点
′ ( x) = 1 [ J m −1 ( x) − J m +1 ( x)] = 0 Jm 2
见P328（12）式（递推公式） P328（12） 递推公式）
可以分别从 J1 ( x) = 0 及 J m−1 ( x) 与 J m+1 ( x) 的零点。 曲线的交点得出 J m′ ( x) 的零点。
本征圆频率
ω
(m) n
=
a
ρ0
x
(m) n
例2：圆形膜振动的本征频率：考虑半径为 ρ 0 ， 圆形膜振动的本征频率： 边界固定的圆形薄膜，求其振动的本征频率。 边界固定的圆形薄膜，求其振动的本征频率。 解： 由极坐标
2 ∂ 2u ∂u 1 ∂u 2 1 ∂ (ρ ) + 2 ]=0 2 −a [ 2 ρ ∂ρ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂t u =0 ρ = ρ0
x
ρ0
(m) n
ρ ) = 0 决定
讨论： 讨论： （1）当 n = 1 时，方程只有一个满足条件 ρ ≤ ρ 0 的解 ρ = ρ 0 ，膜上无节线； 膜上无节线； （2） n = 2 有两个满足 ρ ≤ ρ 0 的解 ( (m) x 2m ) x2 ( (m) ( ρ 2 ) = x 2m ) ( ρ1 ) = x1
(3) µ < 0 µ = −ν 2 , x = νρ 得虚宗量贝塞尔方程
方 程
球坐标系
柱坐标系 cos mϕ Φ (ϕ ) = sin mϕ ( µ = −ν 2 < 0) ( µ > 0)
cos mϕ Φ (ϕ ) = e µz cosν z sin mϕ Z ( z) = Z ( z) = − µz l sinν z r e 拉普拉斯方程 R (r ) = 1 R ( ρ ) : m阶 R ( ρ ) : m阶虚宗量 ∆3 u = 0 l +1 r 贝塞尔方程 贝塞尔方程 Θ ( x ) : l阶连带 ( µ = −ν 2 = 0) 勒让德方程 1 Z ( z) = z ρm 1 R0 ( ρ ) = , Rm ( ρ ) = − m ln ρ ρ ( m ≠ 0)
由R =0 ρ =ρ
0
有 J m ( µρ0 ) = 0
( ( 令 xnm ) = ( µ nm ) ρ 0 ) 为 J m ( µ ρ 0 ) 的第 n 个零点
∴
则
( µ nm ) = (
( xnm )
ρ0
)2
(n = 1,2, …)
( x nm )
( R n m ) ( ρ ) = Bn J m (
关于Bessel函数的零点： 关于Bessel函数的零点： Bessel函数的零点 有无穷多个单重实零点，它们在x （1） Jν (x) 有无穷多个单重实零点，它们在x轴上 关于原点对称地分布， 关于原点对称地分布，且可按大小次序排列成
( ( ( − ∞ < … < µ−νm) < µ−νm)+1 < … < µ1(ν ) < µ2ν ) < … < +∞
（3） J 0 (0) = 1且 J m (0) = 0
(m ≥ 1)为m阶零点
(对应µ = 0可以以后讨论)
均为一阶（ 零点。 除 x = 0 外，J m ( x ) = 0 对应的 x 均为一阶（单）零点。
2. 第二类齐次边界条件 R′(ρ)
d Jm ( µ ρ) ∵ dρ
ρ = ρ0
ρ =ρ0
x1( m ) ρ1 = ( ( m ) ρ 0 ) ρ2 = ρ0 x2 变大， （3）n 变大，节线是 n − 1 个同心圆 ( xkm ) ρ k = ( (m) ρ 0 ) k = 1,2, ⋯ , n − 1 xn
ρ0
ρ0
二、贝塞尔函数的正交关系 的同阶（ 相同） 对应于不同本征值 µ n、µl 的同阶（m相同） 贝塞尔函数， 贝塞尔函数，在 [0, ρ 0 ] 上带权重
ρ0
正交： ρ 正交：
∫
0
J m ( µn ρ ) J m ( µl ρ ) ρ d ρ = 0
(n ≠ l )
三、贝塞尔函数的模（方） 贝塞尔函数的模（
[N
(m) 2 n
] = ∫ [ J m ( µn
0
ρ0
(m)
ρ )] ρ d ρ
2
1 2 m2 = (ρ0 − (m) )[Jm ( µn(m) ρ0 )]2 2 µn 1 2 ' (m) 2 + ρ0 [Jm ( µn ρ0 )] 2
l
R ( ρ ) : m 阶贝塞尔方程; 但 µ = 0则 ρm 1 R0 ( ρ ) = ; Rm ( ρ ) = − m , ( m ≠ 0) ln ρ ρ [k 2 = µ + ν 2 ]
一、本征值问题（针对贝塞尔函数讨论） 本征值问题（针对贝塞尔函数讨论） 为齐次的边界条件下本征解问题） （侧面 ρ = ρ 0为齐次的边界条件下本征解问题） 对于柱内问题只需讨论 对于柱内问题只需讨论 µ > 0 柱内问题 通解
ρ0
a t + Dn , m sin
ρ0
at
可以看出圆形膜的本征振动角频率为
ω
本征振动为
( m) n
=
a
ρ0
( xnm)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
un,m (ρ,ϕ, t) = [ Am cos mϕ + Bm sin mϕ]⋅ Jm (
( xnm)
ρ0 ρ) ⋅Tn,m (t)
本征振动方程或圆形膜上的驻波 本征振动方程或圆形膜上的驻波
解： 令 u ( ρ , ϕ , t ) = R ( ρ ) Φ (ϕ )T ( t ) 得：
Φ '' + m 2 Φ = 0 Φ ϕ = 0 = Φ ϕ =π = 0
①
R′′ + 1 R′ + (µ − m2 2 ) R = 0 ρ ρ R ρ =0 有限 ( µ > 0) R ρ =ρ0 = 0 T ′′ + µ a 2T = 0
ρ0
ρ)
③的解为
Tn ,m = C n,m cos
本征振动
( x nm )
ρ0
( xn m )
at + Dn ,m sin
( x nm )
ρ0
( xn m )
at
u n , m = [ An , m cos
ρ0
at + Bn , m sin
( xnm )
ρ0
at ]
iJm (
ρ0
ρ ) sin mϕ
驻波的振幅分布
U n,m ( ρ , ϕ ) = [ Am cos mϕ + Bm sin mϕ ] ⋅ J m ( x
ρ0
(m) n
ρ)
的点的轨迹是膜上的曲线，称为节线 节线， U nm = 0 的点的轨迹是膜上的曲线，称为节线， 又 cos mϕ与sin mϕ 不可能同时为零 所以圆膜上的节线由 J m (
(m 而 xn ) 是上式的第
n个根
(P347.8)半径为 的半圆形膜, 例1：(P347.8)半径为ρ0 的半圆形膜,边缘固 定,求其本征频率和本征振动。 求其本征频率和本征振动。 采用极坐标系， 解： 采用极坐标系，定解问题为
u − a 2 ∆ u = 0, 0 ≤ ϕ ≤ π , 0 ≤ ρ ≤ ρ ( 2 0) tt u ρ =ρ = 0 u ρ =0 有限, 0 u ϕ =0 = u ϕ =π = 0
⇒ Φ (ϕ ) = Am cos mϕ + Bm sin mϕ
本征值
( µ nm ) = ( ( x nm )
m = 0,1, 2…
ρ0
)2
(m x n ) 表示 J m ( µ ρ ) 的第 n 个零点
( x nm )
本征函数
R
(m) n
= Jm(
( x nm )
ρ0
ρ)
( x nm )
Tn , m (t ) = C n , m cos
J0 ( x) J1 ( x )
贝塞尔函数的图象
J2 ( x)
J3 ( x )
（1） J 0 (x) 和
J1 (x) ：
两者都有无穷多个实数零点且两者的零点互 相间插（交替）； 相间插（交替）； （2）可以普遍证明： 可以普遍证明：
J m (x)有无穷多个实数零点，且只有实数孤立的零点； 有无穷多个实数零点，且只有实数孤立的零点；
=0
= µ J m′ ( µ ρ0 ) = 0
当 µ ≠ 0 时，得 对应的本征值
J m′ ( µ ρ )
ρ = ρ0
=0
µ
(m) n
=(
( xnm)
ρ0
)
2
(m xn ) 为 Jm′ (x) 的第 n 个零点
讨论： 讨论： 当 m=0 当 m≠0
J 0′ ( x) = − J1 ( x) = 0
②
③
①式的本征问题
Φ = Am cos mϕ + Bm sin mϕ
Φ ϕ =0 = 0 ⇒ Am = 0 Φ ϕ =π = 0 ⇒ Bm sin mπ = 0
∵ Bm ≠ 0 ⇒ m = 0,1, 2… ∴ Φ m = Bm sin mϕ m = 0,1,…
②式的本征问题
∵ u ρ = 0 有限 ⇒ R = B1 J m ( µ ρ )
令
u ( ρ , ϕ , t ) = R ( ρ ) Φ (ϕ ) T ( t )
T ′′ + a2µT = 0 ⇒ Φ′′ + m2Φ = 0 d dR ρ (ρ ) + (µρ 2 − m2 )R = 0 dρ dρ
Φ (ϕ + 2π ) = Φ (ϕ ) R ( ρ ) ρ = ρ0 = 0 R ( ρ ) ρ =0 有 限
第三类齐次边界条件： 3. 第三类齐次边界条件：
见P478表 P478表
ρ =ρ0
[R(ρ) + HR′(ρ)]
=0
即 ： J m ( µ ρ 0 ) + H µ J m′ ( µ ρ 0 ) = 0 ρ0 令 x0 = µ ρ0 h= H 递推公式 Jν ′ ( x) −ν Jν ( x) / x = − Jν +1 ( x) 由P328（10）式得： P328（10）式得： ( x0 xnm) 2 ( J m ( x0 ) = J m+1 ( x0 ) ⇒ µnm) = ( ) h+m ρ0
§11.2 贝塞尔方程 对方程
d 2 R 1 dR m2 2 )R = 0 + + (µ − 2 ρ ρ dρ dρ
(m = 0) E + F ln ρ (1)µ = 0为欧拉型R = m F Eρ + (m ≠ 0) m ρ
(2) µ > 0 令x = µ ρ 得m阶贝塞尔方程 d 2R dR 2 x +x + ( x 2 − m2 ) R = 0 2 dx dx
− k 2 a 2t
∆ 3v( r ) + k 2 v (r ) = 0 cos mϕ Φ (ϕ ) = sin mϕ cosν z Z (z) = ; 但 ν = 0则 sin ν z 1 Z (z) = z
cos mϕ Φ (ϕ ) = sin mϕ Θ ( x ) :阶连带 亥姆霍兹方程 ∆ 3v ( r ) + k 2 v ( r ) = 0 勒让德方 程 R ( r ) : l 阶球贝塞 尔方程 ( k ≠ 0) r R (r ) = 1 r l +1