高中数学论文： 导数教学反思

高三数学复习中对“导数的应用”的教学反思

新教材引进导数之后，无疑为中学数学注入了新的活力，它在函数的单调性、极值、最值等方面有着广泛的应用，还可以证明不等式，求曲线的切线方程等等。导数的应用一直是高考试题的重点和热点之一。本学期笔者上了一节市公开课，经课前准备和课后调查，发现学生在导数的应用中疑点较多，本文对几类常见问题进行剖析和探究，以期引起大家的注意。

问题⑴：若0x 为函数f(x)的极值点，则)(0x f '= 0吗？

答：不一定,缺少一个条件(可导函数)。反例：函数x y =在0=x 处有极小值，而)(0x f '不存在。

正确的命题是：若0x 为可导函数f(x)的极值点，则)(0x f '= 0

问题⑵：若)(0x f '= 0, 则函数f(x)在0x 处一定有极值吗？

答：不一定。反例：函数3x y =有)0(f '= 0，而f(x) 在0=x 处没有极值。 正确的命题是：若)(0x f '= 0,且函数f(x)在0x 处两侧的导数值符号相反，则函数f(x)在0x 处有极值.

问题⑶：在区间),(b a 上的可导函数f(x)，)(x f '>0是函数f(x)在该区间上为增

函数的充要条件吗？

答：不一定。反例：函数3x y = 在),(∞+-∞上为增函数，而)0(f '= 0。 正确的命题是：（函数单调性的充分条件） 在区间),(b a 上，)(x f '>0是f(x)在该区间上为增函数的充分而不必要条件.

（函数单调性的必要条件）函数f(x)在某区间上可导，且单调递增，则在该区间内)(x f '≥0。

另外，中学课本上函数单调性的概念与高等数学（数学分析）上函数单调性的概念不一致。数学分析上函数单调性的概念有严格单调与不严格单调之分。 问题⑷：单调区间),(b a 应写成开区间还是写成闭区间？

答： 若端点属于定义域，则写成开区间或闭区间都可以。若端点不属于定义域，则只能写成开区间。

问题⑸：“曲线在点P 处的切线”与“曲线过点P 的切线”有区别吗？

例1（人教社高中数学第三册第123页例3）：已知曲线33

1)(x x f =上一点P

（2，3

8）. 求点P 处的切线方程。大多数学生能迅速找到解题思路，并得到正确结果：016312=--y x .

变式 已知曲线331)(x x f =上一点P （2，3

8）。求过点P 的切线方程。 解 设切点为Q ))(,(00x f x ,则切线 的方程为

()())(000x x x f x f y -'=- 又点P 在切线上，

所以 ()0203023

138x x x -=- 整理，得 ()()012020=+-x x 所以2,100=-=x x 于是 切线 的方程为016312=--y x ，0233=+-y x . 小结：“曲线在点P 处的切线”只有一条，且P 为切点；“曲线过点P 处的切线”有两条,P 不一定是切点。在高三数学复习中，用好课本，尤其是课本例题更为重要，能总结出一些有规律性的东西，可使学生在复习时既有熟悉感又有新奇感，从而提高认识的深度。

问题⑹：过一点P 作曲线33

1x y =的切线有几条？ 探究1 过曲线33

1x y =上一点P ))(,(00x f x 作曲线的切线有几条？ 解 设切点为Q ))(,(t f t , 则切线 的方程为

()())(t x t f t f y -'=- 又点P 在切线上

所以 ()t x t t x -=-023303131 整理，得 ()02020=⎪⎭⎫ ⎝

⎛+-x t x t ① 因为切线的条数等于关于t 的方程① 的不同实根的个数

所以：过曲线33

1x y =上一点P ),(00y x 引直线与曲线相切， 当00=x 时，切线只有一条；当00≠x 时，切线有两条。

探究2 过曲线33

1x y =外一点P ),(00y x 作曲线的切线有几条？（()00x f y ≠） 解 设切点为Q ))(,(t f t ,则切线 的方程为()())(t x t f t f y -'=- 又点P 在切线上，得 ()())(00t x t f t f y -'=-

整理，得03

20203=+-y t x t ② 下面讨论关于t 的方程 ② 的不同实根的个数

令()t ϕ=02033

2y t x t +- 则 ()t ϕ'=t x t 0222-=()02x t t - 当00=x 时，()t ϕ'≥0 ，则()t ϕ在R 上单调递增，易知方程②有唯一实根。所以，过点P 的切线只有一条

当00≠x 时，令()x ϕ'=0 得 t=0, t=0x

所以t=0与 t=0x 是函数()t ϕ的两个极值点。

下面讨论：

01 当00>x 时，()0ϕ 为极大值，()0x ϕ为极小值。 从而由图象可得 当()00<ϕ 或()00>x ϕ时，方程②有唯一实根，过点P 的切线只有一条。 当()00=ϕ时，方程②有两个不同的实根，过点P 的切线有两条。

当()00>ϕ 且()00ϕ 或()00

当()00<ϕ 且()00>x ϕ时，方程②有三个不同的实根，过点P 的切线有三条。

小结：过曲线33

1x y =外一点P ),(00y x 引直线与曲线相切。 当00=x 时，过点P 的切线只有一条；

当00≠x 时，过点P 的切线可能有一条、两条和三条。 问题⑺：曲线33

1x y =和它的切线只有一个公共点吗？ 解 设切点为Q ))(,(t f t ,则切线 的方程为()())(t x t f t f y -'=- 代入曲线33

1x y =消去y ，得