移位寄存器 第三章答案

第三章习题参考答案

1．画出以1)(2

4

6

+++=x x x x f 为联接多项式的线性移位寄存器逻辑框图，及其对应的状态图。

解：由1)(2

46+++=x x x x f ，得反馈函数为531621),,,(x x x x x x f ++=Λ，故

（1）逻辑框图：

（2）状态图：

状态圈-1： 状态圈-2：

状态圈-3： 状态圈-4：

状态圈-5： 状态圈-6：

状态圈-7： 状态圈-8：

状态圈-9： 状态圈-10：

状态圈-11： 状态圈-12：

2．已知图3-2所示的7级线性反馈移位寄存器：

图3-2

（1）绘出该移位寄存器的线性递推式，联接多项式及特征多项式。 （2）给出状态转移矩阵。

（3）设初态为（1 1 1 1 1 1 1），给出输出序列a 。 解：(1)由逻辑框图得，递推式为：

k k k k a a a a ++=+++357 ()0≥k 。

联接多项式为：7

4

2

1)(x x x x f +++=。

特征多项式为：7531)(~

x x x x f +++=

（2）状态转移矩阵：⎪

⎪

⎪⎪⎪⎪

⎪

⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛0100000

101000000010001000100

000001000000011000000。 （3）输出序列：)111111111(ΛΛ=-

a 。

3．设5级线性反馈移位寄存器的联接多项式为1)(2

5

++=x x x f ，初态为（10101）。求输出序列a 。

解：由联接多项式得，反馈函数为：41521),,,(x x x x x f +=Λ。故以)10101(为初态的状态转移图为：

10101

01010001010001000001100000100000100100100100110100110100110100110100111100111100111101111101111001110001110001110000110010110110111110101110101110101110101→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→ 由此可得，输出序列为：=a 44444443444444421一个周期

0110100100000011111001010111011…。

4．证明：n 级线性反馈移位寄存器的状态转移变换是n 维线性空间n

F 2上的线性变换。 证明：设f T 为n 级线性移位寄存器的状态转移变换，对n

F 2,∈∀βα，令),,,(110-=n a a a Λα，

),,,(110-=n b b b Λβ，有：

),,,(),,,()(121110∑=--==n

i i n i n f f a c a a a a a T T ΛΛα，

),,,(),,,()(1

21110∑=--==n i i n i n f f b c b b b b b T T ΛΛβ。

)

()()

,,,(),,,()

)(,,,()

,,,()(1

211

2112211111100βαβαf f i n n

i i i n n i i n

i i n i n i n n f f T T b c b b a c a a b a c b a b a b a b a b a T T +=+=+++=+++=+-=-==----∑∑∑ΛΛΛΛ

对 2F k ∈∀，

))((),,,(),,,()(1

21110ααf i n n

i i n f f T k a c k ka ka ka ka ka T k T ===-=-∑ΛΛ。

故n 级线性反馈移位寄存器的状态转移变换是n 为线性空间n

F 2上的线性变换。

5．设二元周期序列a 0≠的极小多项式为，T 是

对应的状态转换矩阵，则S ，ST ，…，1

)(-a p ST

必

两两不同。其中),,,(120-=n a a a S Λ。

证明：若∃j i ,，1)(0-≤≠≤a p j i ，使得

j i ST ST = （不妨设 j i <）。

令 j i -=τ，则 S ST =τ

。于是，对k S ∀，有 ττT S T ST ST S k k k k ===，即

k k a a =+τ ，0≥k 。

从而τ（)(a p <）为序列a 的周期，与)(a p 为最小周期矛盾。故

S ，ST ，…，1)(-a p ST

必两两不同。

6．证明：若a )(f G ∈的极小多项式次数为)1(≥n ，则a ，a L ，…，a L n 1

-必线性无关。

证明：由题知0≠a ，假设a ，a L ，…，a L n 1

-线性相关，则存在不全为零一组数110,,,-n c c c Λ

使得

0)(011101110=+++==+++----a L c L c c a L c a L c a c n n n n ΛΛ

令：)(~x g 11

10--+++=n n x c x c c Λ，则)(x g 也产生序列a ，而1)(0-≤∂n x g ，与a 的极小多项式)(x f 的次数为n 矛盾，故假设不成立，因此，a ，a L ，…，a L

n 1

-必线性无关。

7．证明：若a )(f G ∈，n x f =∂)(0

，0≠a ，则a ，a L ，…，a L n 1

-构成)(f G 的一组基

当且仅当a 以)(x f 为极小多项式。

证明：充分性：由n x f o

=∂)(知)(f G 是n 维的。又a )(f G ∈，a 以)(x f 为极小多项式，由上题结论可知a ，a L ，…，a L

n 1

-线性无关，故构成)(f G 的一组基。

必要性：设a 的极小多项式为)(x m a ，m x m a o =∂)(，则)(|)(x f x m a ，n m ≤。令：

m m m a x x c x c x c x m +++++=--112211)(Λ，

则0)(~=a L m a

，从而， a ，a L ，…，a L m

线性相关。而a ，a L ，…，a L

n 1

-为)(f G 的一组基，所以1->n m ，即n m ≥，故)()(x f x m a =。

即a 以)(x f 为极小多项式。

8．证明：若a )(f G ∈，n x f =∂)(0

，a 以)(x f 为极小多项式，则)(f G 中每个序列均可唯一地表成a D g )(，并且a D g )(的极小多项式为

))

(),(()(x f x g x f ，其中n x g <∂)(0

，D 为延迟变换。

从而)(f G 中有)(f ϕ个序列以)(x f 为极小多项式，其中)(f ϕ是次数f 0

∂≤，且和)(x f 互素的多 项式的个数。

证明：（1）上题结论知，)(f G b ∈∀，都可由a ，a L ，…，a L n 1

-为线性表出，则存在一组

数110,,,-n c c c Λ 使得：

a L c L c c a L c a L c a c

b n n n n )(011101110----+++==+++=ΛΛ

令：11

2210)(~--++++=n n x c x c x c c x g Λ，则有a D g b a L g b )()(~=⇔=，即)(f G b ∈∀均可唯一的表示成a D g )(的形式。

（2）令：)())(),((x d x g x f =，则)()()(1x f x d x f =，)()()(1x g x d x g =，1))(),((11=x g x f 。 设a D g )(的极小多项式为)(2x f ，则只须证明))

(),(()

()()(12x g x f x f x f x f =

=。