第(16)次作业答案——二次型.

班级学号姓名第五章相似矩阵及二次型,作业第（16）次

第五节二次型及其标准形

第七节正定二次型

1 写出二次型的矩阵A,并求二次型的秩 f(x2

1,x2,x3)=x21-5x3+2x1x2+6x1x3 ⎛解:二次型的矩阵A= 113⎫

100⎪

⎪

⎝30-5⎪

⎭⎛113⎫⎛10A= 100⎪ 0⎫⎪

⎪~ 013⎪

⎝30-5⎪⎭⎝00-5⎪

⎭

故二次型的矩阵的秩为R(A)=3

2若二次型f(x=2x222

1,x2,x3)1+2x2-6x1x2+x3，

（1）写出二次型的矩阵A；（2）写出一个正交矩阵P，化矩阵A为对角阵；

(3) 求一个正交变换x=Qy，化二次型为标准形.

⎛2-30⎫

解：（1）A= -320⎪

⎪

⎝001⎪⎭

（2）由A-λE=0可得λ1=1，λ2=-1，λ3=5解(A-λE)x=0，可得λ1=1，p1=(0,0,1)T ，

λT2=-1，p2=(1,1,0)，λ3=5，p3=(-1,1,0)T

取

⎛

⎛0 Λ= 1⎫

-1⎪,

P= ,

⎪ 0⎪⎝5⎪⎭

⎪ 10

0⎪⎪⎝

⎪⎭

P-1AP=Λ (3)

⎛ 0 取Q=P=

0⎪⎪，则Q为正交阵， 10

0⎪

⎪⎝⎪⎭

满足

Q-1AQ=Λ=QTAQ。令x=Qy，则

f(T1x,2x,xxAx)=y

T

yΛy=2

y2

2-5y。+3

3 已知二次型

f=5x2+5x2x2

12-21x2+cx3+6x1x3-6x2x3

的秩为2.

(1)求参数c及此二次型矩阵的特征值; (1)指出方程f=1表示何种二次曲面. ⎛5-13⎫⎛-15-解：（1）A= -15-3⎪⎪~ 3⎫ 02

-1⎪

⎝3-3c⎪⎪，⎭⎝00c-3⎪

⎭R(A)=2，故c=3。由A-λE=0可得λ1=0，λ2=4，λ3=9（3）由特征值可知，A与对角阵diag（0,4，9）

相似，即存在正交阵P, 当x=Py时，

f(x,x22

12,x3)=4y2+9y3

所以f=1即4y22

2+9y3=1，表示一个椭圆。 4判定下列二次型的正定性(1) f=-2x2-6x22

12+2x1x2-4x3+2x1x3

(2) f=x2x221+22+2x1x2+3x3-4x2x3

⎛-1⎫解：（1）A= 21

1-60⎪

⎪中，a11=-2<0，

⎝10-4⎪⎭

a11a12-21

aa==11>0

，21221-6

-211

1-60=-38<0，故为负定矩阵。 10-4

⎛11（2）A= 0⎫ 12-2⎪

⎪中，a11=1>0，

⎝0-23⎪⎭

a11a12a=1

=1>0，A=-1>0，故既不

21a222

是正定矩阵也不是负定矩阵。.

5设f=x222

1+x2+2ax1x2+5x3-2x1x3+4x2x3为正定二次型,求a.

⎛a-1⎫

解：A=

1 a

12⎪

⎪中，顺序主子式均正，则⎝

-125⎪⎭

a11a12aaa=

2122a

=1-a2>0⇒-1

班级学号姓名第五章相似矩阵及二次型,作业第（16）次1a-1

A=a12=-5a2-4a>0⇒-4

故-4

5

6 设A为正定矩阵,证明AT,A-1,A*也是正定矩阵.

证明：A为正定矩阵则A特征值λi均正。

AT的特征值与A相同，故均正，AT为正定矩阵。

A-1的特征值为1

λ，均正，A-1为正定矩阵。

i

A*=AA-1,特征值为A

λ,A为特征值之积，为正；I

故A

λ符号为正，A*为正定矩阵。

I