运输与指派问题

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运输问题和指派问题知识讲解

运输问题和指派问题知识讲解

i1
xij 0 (i 1, 2, , m; j 1, 2, , n)
3.2 运输问题数学模型和电子表格模型
运输问题 和指派问题
(3)销大于产(供不应求)运输问题
3.1 运输问题基本概念
运输问题 和指派问题
▪ 例4.1 某公司有三个加工厂A1、A2、A3生产某产品, 每日的产量分别为:7吨、4吨、9吨;该公司把这些产 品分别运往四个销售点B1、B2、B3、B4,各销售点每 日销量分别为:3吨、6吨、5吨、6吨;从各工厂到各 销售点的单位产品运价如表4-1所示。问该公司应如何 调运这些产品,在满足各销售点的需要量的前提下,使 总运费最少?
产大于销(总产量大于总销量)
销大于产(总产量小于总销量)
运输问题和指派问题运输问题数 各 应学 种 用模 变 举型 形 例和 的电 建子 模表格模型
平衡指派问题(总人数等于总任务数)
指派问题数学模型和电子表格模型
各种变形的建模
3.1 运输问题基本概念
运输问题 和指派问题
▪ 运输问题最初起源于人们在日常生活中把某些 物品或人们自身从一些地方转移到另一些地方 ,要求所采用的运输路线或运输方案是最经济 或成本最低的,这就成为了一个运筹学问题。
Bj(j=1,2,,n)的运输问题的数学模型为 mn
Min z
cij xii 1, 2,
, m) (产量约束)
j 1
m
s.t. xij bj ( j 1, 2, , n) (销量约束)
i1
xij
0
(i 1, 2,
, m; j 1, 2,
(2)目标函数 本问题的目标是使得总运输费最小。
M inz3x 1 11 1 x 1 23x 1 31 0x 1 4

第五讲运输问题与指派问题

第五讲运输问题与指派问题

A1+ A2 + A3 + A4 =20 B 1+ B 2 + B 3 + B 4 =30 C 1+ C 2 + C 3 + C 4 =40 A1,A2 , A3 , A4 ,B 1, B 2 , B 3 , B 4 , C 1 , C 2 , C 3 , C 4 ≥0
四、供需非均衡运输问题的建模与求解
欢迎
§ 5.1 运输问题(transportation problem)
一、什么是运输问题 二、运输问题的分类 三、供需均衡运输问题的建模与求解 四、供需非均衡运输问题的建模与求解 五、运输问题的应用
一、什么是运输问题
在经济建设中,经常碰到大宗物资调运问题, 如煤、钢铁、木材、粮食等等物资。在全国有 若干生产基地,根据已有的交通网,应如何制 定调运方案,将这些物资运到各消费地点,而 总费用最小。
例 :设有三个化肥厂供应四个地区的农用化肥, 假定等量的化肥在这些地区使用效果相同。各化 肥厂年产量,各地区年需要量及从各化肥厂到各 地区运送单位化肥的运价如表所示,试求出总的 运费最节省的化肥调拨方案。
运价:万元/万吨
需求地区 地区1 地区2 地区3 地区4 产量
化肥厂
(万吨)
厂1
16 13 22 17
解:可用一个网络图来描述
25
70
A
40
60 80
1 20 70
35
B
100
2 15
110
70
80
50
45
C
130
40
3 23 32
4
总供应量=25+35+45=105(台), 总需求量=20+15+23+32=90(台),

4运输与指派问题

4运输与指派问题
14
P&T公司的配送问题求解
用Excel(单纯形法)寻求最优方案。
目标:运费最小 决策变量:3产地到4销地对应的12个运量 约束:运出量=可运量;收到量=需求量
总运费=$152535
参见Excel文件《 P&T公司的配送问题》。
15
运输问题的变形
1)供大于求的运输问题
2)供不应求的运输问题
6
合计
300
P&T公司的配送问题
尤基尼 125
贝林翰 75 654 690 416 513
赖皮特城 70 388 682
艾尔贝.李 100
352
464 791
盐湖城 65
867 995
685
奥尔巴古 85
7
萨克拉门托 80
罐头厂和分销仓库的位置、供需量及运费
P&T公司的配送问题
运量 萨克拉 盐湖城 赖皮特 奥尔巴 供应量 城 古 单位运费 门托 贝林翰 75 75
可以从3条河流引水,能够满足4个城市的需求。
不同河流向不同城市供水的费用是不同的。 问题:米德罗水管站需要从每条河流向每个城 市各引入多少水?
21
供大于求的运输问题
Cost per Acre Foot
Berdoo Los Devils San Go Hollyglass Available
X13+X23+X33 <= 70 X14+X24+X34 <= 85
27
供不应求的运输问题LP模型讨论
供不应求的运输问题需求部分可用“<=”约束 是否也适合供求平衡的问题?
供应部分能用“<=”约束吗? 第4转运仓库只得到55,缺少30,而其它仓库都 满足了需求。

(第四章)运输问题和指派问题

(第四章)运输问题和指派问题

产地
能力

10.8 10.8+0.15 10.8+2*0.15 10.8+3*0.15 25


11.1 11.1+0.15 11.1+2*0.15 35



11
11+0.15
30




11.3
10
销量
10
15
25
20
100
70
销地 Ⅰ
产地

10






销量
10
生产与储存方案

A2 6 4 -1 5
0
Vj 6
4
5
以上所有检验数≤0,故初始方案已是最优方案 不用进行第三步的调整
不平衡运输问题
• 当总供应量≠总需求量时,称为不平衡运输问 题
• 不平衡运输问题的求解:先化为平衡的运输 问题,再用表上作业法
• 供>求,虚设一个收点,收量为供求之差,各发 点到该虚收点的单位运价为0
运输问题的扩展--指派问题
现实生活之中,我们也经常遇到指派人员做某 项工作的情况。指派问题的许多应用都用来帮 助管理人员解决如何为一项将要开展进行的工 作指派人员的问题。其他的一些应用如为一项 任务指派机器、设备或者是工厂 。
还有哪些这样的问题呢?
想想看!
实例
有4 个工人,要指派他们分别完成4 项 工作,每人做各项工作所消耗的时间如下 表。要求1人只做1件事,如何指派使总 的消耗时间最少?
• 由于某种原因,不能指派某个人做某件事
• 如A1由于技能不达标,不能做B3,只须在一般模 型中去掉x13变量。

Chapter7运输问题与指派问题

Chapter7运输问题与指派问题

2
7.2 運輸問題的標準架構
• 運輸問題有如下基本假設:
– 運送的貨物為同質 (亦即,無論起點與終點, 貨物相同)。 – 無論運貨數量多寡,每單位運輸成本都相同。 – 各起點與各終點之間的運輸路線只有一條。
• 求解過程有下列主要步驟:
1. 求初始基本可行解。 2. 為最優性測試初始解。 3. 持續改進次優解。
Chapter 7 運輸問題與指派問題
7.1 緒言
• 企業管理者經常會遇到特殊形式的線性 規劃,運輸問題 (transportation problem) 和指派問題 (assignment problem) 就是其 中最常見的兩種。 • 所謂「運輸問題」,是指由數個供應點 將物品運送至數個需求點的問題。
3
4
5
6
7.3 運輸問題的初始基本可行解
7
7.3.1 西北角法
8
7.3.2 最佳空格法
9
7.3.3 佛格爾法
• 另外一個強而有力的方法是處置「第一差額」 (first differences) 的佛格爾法 (Vogel’s approximation method, VAM) 或稱「差額法」。 所謂「第一差額」是指行或列中最低成本與次 低成本相差的值。VAM的想法是著重於成本相 對性的懲罰。如果解題者未能在每一行與列將 所有供應量和需求量放在成本最低的位置,則 必須受罰。在找到有最高罰款 (penalty value) 的行或列後,解題者盡可能指派運送量於最低 成本的位置,而後再次評估所剩空位的罰款, 重複進行這種程序,直到得出一個可行解。
10
7.4 最優解的驗證
11
7.4.1 踏石法 (環路法)
(1,3)(2,3)(2,2)(1,2) 淨影響:5-20+15-30=-30

运输问题及指派问题

运输问题及指派问题

见下表,问:应如何调运煤炭可使总运输费用最小?
销地 产地
B1
B2
B3 产量
6
4
6
A1
200
x11
x12
x13
6
5
5
A2
300
x21
x22
x23
销量 150 150 200 500
解: 此为产销平衡的运输问题(总产量 = 总销量)。
设xij为从产地Ai (i=1,2)运往销地Bj (j=1,2,3)的运输量, 则该问 题的数学模型为
指派问题
指派问题的求解
非标准指派问题
本章教学目标与要求
n 掌握产销平衡运输问题的数学模型及其特点; n 掌握运输问题的表上作业法,包括初始调运方案的确定、 检验数的计算、运输方案的调整方法;
n 掌握产销不平衡运输问题转化为产销平衡问题的处理办 法;掌握运输问题在实践中的典型应用;
n 掌握标准指派问题的求解方法,会将各种非标准指派问 题转化为标准指派问题。
导入案例
运储物流的运输问题
运输成本占物流总成本的35%-50%左右,占商品价格的4% -10%,运输对物流总成本的节约具有举足轻重的作用。运储 物流在物流运输管理中要着重考虑:运输方式的选择,运输路 线的选择,编制运输计划等问题。
运输方式合适与否决定了运输时间的长短,决定了成本的 高低,各种运输工具都有其使用的优势领域,对运输工具进行 优化选择,按运输工具特点进行装卸运输作业,最大限度地发 挥所用运输工具的作用;选择运输路线要与交通运输工具结合 起来,尽量安排直达运输,以减少运输装卸、转运环节,缩短 运输时间;编制运输计划还要从全局出发,深入调查研究,综 合平衡,积极组织计划运输、合理运输、直达运输、均衡运输 ,按照成本最低的原则来制定合理的资调运工作。 某时期内将生产基地的煤、钢铁、粮食、矿砂、木材等各类物 资,分别运送到需要这些物资的地区。

交通运筹学第4章 运输与指派问题

交通运筹学第4章 运输与指派问题

15

调整运量
当某个检验数小于零时,需要调整运量从而改进 运输方案,改进方法为闭回路法,其步骤为: (1)确定进基变量。 (2)确定出基变量。 (3)调整运量,在进基变量的闭回路中将标有负号 的最小运量作为调整运量 ,正号格加上这个运量负号 格减去这个运量。
16

【例】求下列运输问题的最小运输费用的最优解
5 8 9 3 6 4 10 12 14 45 65 50
2 70 7 80 5 40 30
17

最大值问题
当运输问题的目标函数求最大值时,有两种求解方 法。 (1)所有非基变量的检验数 ij 0时最优。在求初始运 输方案时可采用最大元素法或西北角法。 (2)将极大化问题转化为极小化问题。
i 1,2,, m j 1,2,.n
5
【定理5.1】设有m个产地n个销地且产销平衡的运输问 题,则基变量数为m+n-1。 【定理5.2】若变量组包含有闭回路 C xi1 j1 , xi1 j2 ,, xis j1


则变量对应的列向量线性相关。
6
第二节 运输单纯形法



9 7 6 40
12 9
6 50 3 7 7 60 5 9 11 50 40 60 20
14

二、位势法
闭回路法计算各个空格检验数时需要找出对应的闭 回路,这使得在运输问题比较大时计算量很大。下面 介绍较为简便的方法—位势法。
【例】用位势法求上题给出的初始基本可行解的检验数。
【例】试用西北角法求解上题的初始基本可行解。
12

最优性判别
判断初始运输方案是否为最优方案,仍然是用检 验数来判别。因运输问题的目标函数都是求最小值, 所以当所有检验数时,运输方案最优,否则,再改进 当前的运输方案。下面介绍求检验数的两种方法:闭 回路法和位势法。

运筹与决策PPT:运输问题和指派问题

运筹与决策PPT:运输问题和指派问题

+ 690x23 + 791x24 + 995x31 + 682x32 + 388x33 + 685x34
s.t.
工厂 1: 工厂 2: 工厂 3: 仓库 1: 仓库 2: 仓库 3: 仓库 4:
x11 + x12 + x13 + x14
x21 + x22 + x23 + x24
= 75 供
= 125 x31 + x32 + x33 + x34 = 100
运输问题的Excel求解模型- 案例1
B
C
3 Unit Cost
4
5 Source
Bellingham
6 (Cannery)
Eugene
7
Albert Lea
8
9
10 Shipment Quantity
11 (Truckloads)
12 Source
Bellingham
13 (Cannery)
Eugene
问题:如何改进运输策略以降低成本?
案例1:P&T公司的配送问题
CANNERY1 Bellingham
最偏远的厂
CANNERY2 Eugene
WAREHOUSE 3 Rapid City
WAREHOUSE 2 Salt Lake City
WAREHOUSE 1 Sacramento
WAREHOUSE 4 Albuquerque
4、运输问题和指派问题
引例
案例1:P&T公司的配送问题
▪ 家族经营的小公司,加工蔬菜罐头并分销到各地:
– 三个食品厂,四个分销仓库

运输问题与指派问题

运输问题与指派问题

厂1
16 13 22 17
50
厂2
14 13 19 15 60
厂3
19 20 23 10
50
需求量
50 70 30 10
(万吨)
可编辑ppt
9
运价:万元/万吨
需求地区 地区1 地区2 地区3 地区4 产量
化肥厂
(万吨)
厂1
16 13 22 17
50
厂2
14 13 19 15 80
厂3
19 20 23 10
可编辑ppt
20
解:可用一个网络图来描述
20
70 A
40
60 80
70
1 20
30
B
100
2 15
110
70
80
50
40
C
130
40
3 23
32 4
可编辑ppt
21
总供应量=20+30+40=90(台), 总需求量=20+15+23+32=90(台), 供应量之和等于需求量之和,供需均衡。
决策变量是下月各分厂为各用户生产与运输 的设备数量。可设:
可编辑ppt
12
销地 产地
A1 A2 … Am 销量
成本表
B1 B2 … Bn
产量
c11 c12 … c1n
a1
c21 c22 … c2n
a2
… … …… …
cm1 cm2 … cmn
am
b1 b2 … bn
可编辑ppt
13
对于产销平衡的运输问题,有下面的关系式:
n
m
∑ bj = ∑ ai

第5章 运输问题与指派问题

第5章 运输问题与指派问题

2
P 4 6 5 6
3
P 1 5 4 5
4
A B C D
c
ij
OR课件
装卸组 待卸车
TP & AP
P 4 2 4 3
1
P 3 3 3 2
2
P 4 6 5 6
3
P 1 5 4 5
4
§5 指 派 问 题
A B C D
bj
ai 1 1
1
1
1
1
1
1
解:引入0-1变量xij, 并令:
Z
min
cij xij
3
产 量 9 5 7 4
A 虚 销 量
OR课件
TP & AP
问题的提出
§5 指 派 问 题
设有n个人,需要分派他们去做n件 工作。要求一个人做一件事,一件事只
能由一个人完成;由于每人的专长不同,
各人做任一种工作的效率可能不同,因
而创造的价值也不同。问如何安排,才
能使创造的总价值最大?
OR课件
TP & AP
Z
min
TP & AP
cij xij
i 1 j 1 n ij
n
n

x
j 1 n
1 , i 1, 2, , n 1, j 1, 2, , n
x
i 1
ij
x
ij
0 或1
特殊的运输问题
OR课件
TP & AP
算法原理
OR课件
TP & AP
§2 表 上 作 业 法
算法的提出:观测模型的特征 【简例】已知有关资料如下表

Chapter06-运输问题和指派问题

Chapter06-运输问题和指派问题
Copyright 2007 © 深圳大学管理学院 运筹学 19
The P&T Co. Transportation Problem
运输问题模型参数表(供应 量、需求量和单位成本)
Copyright 2007 © 深圳大学管理学院 运筹学 20
Spreadsheet Formulation
Copyright 2007 © 深圳大学管理学院 运筹学 21
Copyright 2007 © 深圳大学管理学院 运筹学 5
P&T Company Distribution Problem
CANNERY 1 Bellingham
罐头厂1-贝林翰
CANNERY 2 Eugene
罐头厂2-尤基尼
WAREHOUSE 3 Rapid City
仓库3-赖皮特城
CANNERY 3 Albert Lea
Copyright 2007 © 深圳大学管理学院 运筹学 2
Table of Contents (主要内容)
Variants of Transportation Problems: Nifty (Section 6.3)(运输问题的变形:耐芙 迪公司问题) Applications of Transportation Problems: Metro Water (Section 6.4)(运输问题的应 用:米德罗水管站问题) Applications of Transportation Problems: Northern Airplane (Section 6.4)(运输问题 的应用:北方飞机制造公司问题)
贝林翰先满足萨克拉门托, 剩余的运送到盐湖城 艾尔贝先满足奥尔巴古, 剩余的运送到赖皮特 尤基尼满足剩余需求

第5章运输与指派问题

第5章运输与指派问题

第5章运输与指派问题这一章和下一章所讨论的模型都属于网络模型这一类。

运输模型(Transportation model )和指派模型(assignment model)具有相似的数学结构,是一种特殊的线性计划模型。

许多决策模型都属于这一类型,其内容丰硕。

运输问题的数学模型及其特点5.2.1 数学模型人们在从事生产活动中,不可幸免地要进行物资调运工作。

如某时期内将生产基地的煤、钢铁、粮食等各类物资,别离运到需要这些物资的地域,依照各地的生产量和需要量及各地之间的运输费用,如何制定一个运输方案,使总的运输费用最小。

如此的问题称为运输问题。

【例】如图5-1所示的网络图,有A1,A2,A3三个产粮区,可供给粮食别离为10,8,5(万吨),现将粮食运往B1,B2,B3,B4四个地域,其需要量别离为5,7,8,3(万吨)。

产粮地到需求地(销地)的运价(元/吨)如表5-1所示,问如何安排一个运输打算,使总的运输费用最少。

表5-1 运价表(元/t)需求地产量地B1B2B3B 4供给量A1326310A 25 3 8 2 8 A 3 4 1 2 9 5 需要量5783合计:23【解】设x ij (i =1,2,3;j =1,2,3,4)为i 个产粮地运往第j 个需求地的运量(万吨),如此取得以下运输问题的数学模型:(1)使总的运输费用最小,那么目标函数为34333231242322211413121192428353623min x x x x x x x x x x x x Z +++++++++++=实际总运费等于Z 乘以10000。

(2)各产粮地的供给量与运出量的平稳方程(3)供给各需求地的供给量与需要量的平稳方程(4)粮食的运量应大于或等于零(非负要求),即有些问题表面上与运输问题没有多大关系,其模型的数学结构与例运输问题模型形式相同,咱们把这种模型都称为运输模型。

5.1.2 模型特点运输问题的数学模型有它的专门性。

运输问题和指派问题

运输问题和指派问题

4.2 运送问题旳数学模型和电子表格模型
需要注意旳是,运送问题有这么一种性 质(整数解性质),即只要它旳供给量 和需求量都是整数,任何有可行解旳运 送问题就必然有全部决策变量都是整数 旳最优解。所以,没有必要加上全部变 量都是整数旳约束条件。
因为运送量经常以卡车、集装箱等为单 位,假如卡车不能装满,就很不经济了 。整数解性质防止了运送量(运送方案 )为小数旳麻烦。
4.4 运送问题旳变形
现实生活中符合产销平衡运送问题旳每一种条件旳情况极少。一种特 征近似但其中旳一种或者几种特征却并不符合产销平衡运送问题条件旳 运送问题却经常出现。 下面是要讨论旳某些特征: (1)总供给量不小于总需求量。每一种供给量(产量)代表了从其出 发地(产地)中运送出去旳最大数量(而不是一种固定旳数值,≤)。 (2)总供给量不不小于总需求量。每一种需求量(销量)代表了在其 目旳地(销地)中所接受到旳最大数量(而不是一种固定旳数值,≤) 。 (3)一种目旳地(销地)同步存在着最小需求量和最大需求量,于是 全部在这两个数值之间旳数量都是能够接受旳(需求量可在一定范围内 变化,≥、≤)。 (4)在运送中不能使用特定旳出发地(产地)--目旳地(销地)组合( xij=0)。 (5)目旳是使与运送量有关旳总利润最大而不是使总成本最小(Min- > Max)
min z 160 xA1 130 xA2 220 xA3 170 xA4
140 xB1 130 xB2 190 xB3 150 xB4
190 xC1 200 xC 2 230 xC 3
xA1 xA2 xA3 xA4 50
xB1
xB 2
xB3
xB 4
60
xC1
xC 2
mn
min z

第六章 运输问题与指派问题

第六章 运输问题与指派问题

能否省一点?
12
运输与指派问题 P&T公司配送问题 P&T Company Distribution Problem
Network Representation
Supplies Demands Destinations Sources
464
(Bellingham) 75 S1
D1
80 (Sacr amento)
2
运输与指派问题 Session Topics
6.指派问题模型 The Model for Assignment Problem 7.指派问题的变形 Variants of Assignment Problem 8.指派问题的应用 Applications of Assignment Problem
8
运输与指派问题 P&T公司配送问题 P&T Company Distribution Problem
CANNE RY 1 Bel li ng h am WARE HOUSE 3 Rap id Ci ty WARE HOUSE 2 Sal t L ake Cit y WARE HOUSE 1 Sacramen to WARE HOUSE 4 Alb u qu erq ue
每一个出发地都有一定的供应量(supply)配送到 目的地,每一个目的地都有需要有一定的需求量( demand),接收从出发地发出的产品 需求假设(The Requirements Assumption) 可行解特性(The Feasible Solutions Property) 成本假设(The Cost Assumption) 整数解性质(Integer Solutions Property)
约 19 束

运输与指派问题

运输与指派问题

x11 x12 x13 x14 10
x21
x22
x23
x24
8
min Z 3x11 2x12 6x13 3x14 5x21 3x22 8x23 2x24 4x31 x32 2x33 9x34
x31
x32 x33 x34 x11 x21 x31 5
5
运输单纯形法 Transportation Simplex Method
求检验数 求出一组基可行解后,判断其是否最优,仍然是用检验数来判断, 记xij的检验数为λij ,由第一章知,求最小值的运输问题的最优判 别准则是: 所有非基变量的检验数都非负,则运输方案最优(即为最优解)。
求检验数的方法有两种,闭回路法和位势法。
设平衡运输问题的数学模型为:
mn
min z
cij xij
i1 j 1
n
xij ai
j 1
m
xij bj
i 1
xij
0,
i 1,
i 1, , m j 1, , n , m; j 1, , n
运输单纯形法基本思路: 基可行解
最优否
是停

运输单纯形法 Transportation Simplex Method
地区
产粮区
B1
表1
B2
B3
运价表(元/吨)
B4
产量
A1
3
2
6
3
10
A2
A3
4
1
2
9
5
需要量
5
7
8
3
23
运输模型 Model of Transportation Problems
【解】设xij(i=1,2,3;j=1,2,3,4)为i个产粮地运往第j个需求地的运 量,这样得到下列运输问题的数学模型:
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公司本身產能
38艘/季
可轉包給兩家代工工廠
成本增加3萬元/艘
兩家代工工廠的合計產能
20艘/季
公司可利用存貨調節旺季的需求
存貨成本:1.5萬元/季/艘
p.12/62
範例7.1
C1 T1 C2 T2 C3 T3 C4 T4
/運輸問題係數表
目的地 W1 0 3.0 M M M M M M 35 W2 1.5 4.5 0 3.0 M M M M 50 W3 3.0 6.0 1.5 4.5 0 3.0 M M 80 W4 4.5 7.5 3.0 6.0 1.5 4.5 0 3.0 20 W5 0 0 0 0 0 0 0 0 47 供給 38 20 38 20 38 20 38 20
若所有 c ij u i v j 0 ,則為最佳解 否則,我們選擇最負值為進入變數。
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7.3 運輸單形法
3. 決定離開變數
Sec. 7.3
當決定進入變數後,可根據BV建立一條階石路徑, 由此路徑可輕易地判斷離開變數
4. 建立下一個可行基解
當決定進入變數及離開變數後,讓所有在階石路徑 上的BV加上或減去離開變數之值,即可快速地得到 下一個BFS
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如何快速決定與 ui與vj
如何快速決定與 ui與vj
Sec. 7.3
對於BV, c ij u i v j 0 因有(m+n-1)個BV,故有(m+n-1)個方程式 另一方面,ui 與vj的總數為m+n,所以可讓其一ui = 0
因此,我們可利用運輸單形表中的BV,快速地得到 所有ui 與vj,然後再計算所有NBV的 c ij u i v j
i 1 j 1 m
si dj
ij
x ij 0
i, j
兩類限制式:
供給限制式(supply constraint) 需求限制式(demand constraint)
任何符合此特殊形式的LP問題,不論其實際意 義為何,均可稱為運輸問題
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假設與性質
兩項假設:
4. 具下限與上限的需求
需求經常分為兩部分 一部份是必須滿足的最低需求 另一部份則是可額外多出的需求 作法:在所增加的虛列中,讓對應之需求下限的單 位成本為M,而讓額外需求的單位成本為0
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範例7.1
/生產與存貨規劃問題
Sec. 7.2
未來一年第1至4季需求
35、50、80、20艘遊艇
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特殊情況的處理
1. 總供給大於總需求
Sec. 7.2
加上一個虛目的地(dummy destination)或稱虛行
d n 1
s
i 1
m
i

d
j 1
n
j
c i , n 1 0, i
2. 總供給小於總需求
加上一個虛來源(dummy source)或稱虛列
s m 1
結論
根據以上四個部分的分析,單形表的Z列係數已可 由運輸單形表取得,單形表的限制式係數亦已不再 需要,因此已完全可用運輸單形表取代單形表
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運輸單形法與單形法的比較
兩者運算表比較:
運輸單形表:(m+1)列x (n+1)行 單形表:(m+n+1)列x (mxn+m+n)行
典型範例
Sec. 7.2
各工廠應分別運送多少數量至各配銷中心,才能獲 致最低的總運輸成本?
配銷中心 工廠 W1 W2 W3 W4 供給 P1 12 10 5 8 90 P2 7 4 9 6 120 P3 9 11 7 5 75 需求 65 80 90 50
供給及需求單位:1卡車的量 單位運輸成本:千元
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2. 測試最佳性及決定進入變數
起始單形表:
BV
Z Z 1
Sec. 7.3

xi j ci j

xi
M

xm j
M

RHS 0
si

xi

0

1 1
1 1

xj
0

dj

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2. 測試最佳性及決定進入變數
根據單形表的矩陣形式:
Z (c B B N c N ) x N c B B b Z (c N c B B N ) x N c B B b
人工變數 x k 的Z列係數則為
1 1 c ij c B B a ij M c B B 1 M ui or
Sec. 7.3
M vj
此外,因主要問題與其互補對偶問題的目標函數值相等, 所以
Z y 0 siu i d j v j
c ij u i v j 0, if x ij B V
2. 計算所有非基變數的 c ij u i v j ,若均為非負值, 則為最佳解;否則繼續
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運輸單形法的步驟(對min問題)
迭代步驟:
Sec. 7.3
1. 決定進入變數:選擇具最負 c ij u i v j 的NBV 2. 決定離開變數:建立階石路徑,並分別標示「-」與 「+」。在「-」的BV中,選擇最小的BV為離開變數。 若為平手,則任選其一 3. 產生新的BFS:所有標示「+」的BV加上離開變數 之值,所有標示「-」的BV減去該離開變數之值。 返回最佳性測試
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典型範例 /最佳解
配銷中心 W1 W2 W3 W4 P1 90 P2 40 80 P3 25 50 需求量 65 80 90 50 工廠 供給量 90 120 75
Z 1, 5 2 5
Sec. 7.2
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運輸問題係數表
目的地 2
c1 2 c 22
Sec. 7.2
來源 1 2
M ax Z
m
Sec. 7.3
i 1
c
j 1
n
mn ij
xi j M

xk i 1, 2, , m ui vj
k 1
s .t.

m i 1
n
x ij x i s i
j 1
x ij x m j d x ij , x k 0
j
j 1, 2, , n i, j, k
Sec. 7.2
x1 1 x 2 1 x 3 1 6 5 x1 2 x 2 2 x 3 2 8 0 x1 3 x 2 3 x 3 3 9 0 x1 4 x 2 4 x 3 4 5 0
x ij 0, i 1, 2, 3; j 1, 2, 3, 4
Sec. 7.2
工廠 W1 W2a W2b W3a W3b W4 P1 P2 P3 P4 需求 12 7 9 M 65 10 4 11 M 55 10 4 11 0 105 5 9 7 M 60 5 9 7 0 30 8 6 5 0 50
供給 90 120 75 80
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7.3 運輸單形法
Sec. 7.3
運輸單形法(transportation simplex method) 求解程序的四個部分:
1. 2. 3. 4. 建立起始可行基解(7.4節) 測試最佳性及決定進入變數 決定離開變數 建立下一個可行基解
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2. 測試最佳性及決定進入變數
若以單形法求解,則需轉換如下:
運輸問題(transportation problem) 如何以最低運輸成本,將貨物由來源地送至目的地
指派問題(assignment problem) 如何以最適當的方式做一對一的指派 例如:將n個工作指派給n位人員以獲得最大績效 指派問題亦是運輸問題的特例p.3Βιβλιοθήκη 627.2 建立運輸問題模式
Sec. 7.3
例如
對於10個來源、10個目的地的問題 運輸單形表:12 x 12 單形表:21 x 120 此外,運輸單形法不需使用人工變數
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運輸單形法的步驟(對min問題)
起始步驟:建立起始BFS 最佳性測試:
Sec. 7.3
1. 讓具有最多指派之列的ui=0,並根據以下公式,決 定所有的ui及vj:
第七章
運輸與指派問題 Transportation and Assignment Problems
作業研究(華泰)2004 © 廖慶榮
章節大綱
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 前言 建立運輸問題模式 運輸單形法 建立起始可行基解 轉運問題 指派問題 習題
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7.1 前言
LP特例 運輸問題 & 指派問題 因其LP模式具有特殊結構,故有其獨特求解方法
接下來,我們討論如何決定 u i 與 v j,以便快速地計算 c ij u i v j ,以簡化最佳性測試及決定進入變數程序 因不需人工變數,故不需考慮人工變數的Z列係數
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運輸單形表需要多少個基變數?
考慮以下2 x 2的情況:
1 1 2
x1 1 x 21
Sec. 7.3
n m
d
j 1
j

s
i 1
i
c m 1, j 0, j
p.10/62
特殊情況的處理
3. 限制分配
Sec. 7.2
有時來源 i 至目的地 j 沒有適當的路徑,或來源 i 所供給的貨物並不符合目的地 j 的需要 作法:讓 c ij M (對min問題),即可達到 x ij 0
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