三维空间中的分形
《分形几何简介》课件
分形的类型
自相似分形
自相似分形是指在不同尺度下具有相似结构的 图形，如科赫曲线和谢尔宾斯基三角形。
原子分形
原子分形是由单一基本元素重复形成的图案， 类似于雪花和花纹图案。
组分形
组分形是由多个不同形状的图形组合而成，例 如分形树和分形花朵。
拓扑分形
拓扑分形通过改变图形的拓扑结构，如将平面 断开或折叠，创建具有分形性质的图像。
分形的应用
分形图像的生成
分形几何的特性使其成为生成艺 术和图像的强大工具。许多美丽 的分形艺术作品都是通过数学算 法生成的。
分形在自然界中的应用
分形在工程领杂结构和形态，如树叶的纹理、 山脉的形状和云朵的分布。
分形几何的优势在于能够设计更 高效的结构和表面，如天线、电 路板和隔音材料的优化设计。
分形几何的未来
• 分形几何将继续发展，为我们提供对自然界和复杂系统的更深入理解和建模能力。 • 在科学和工程领域，分形几何将继续发挥重要作用，帮助解决复杂问题。 • 分形几何的应用将在未来社会的许多领域中持续拓展，包括建筑设计、艺术创作和生物医学等。
结束语
分形几何的意义远超出了几何学的范畴，它让我们对世界的复杂性有了更深入的认识，启发着我们的思维和创 造力。未来，分形几何将为科学、艺术和工程等领域带来更多的突破和创新。
《分形几何简介》
通过探索分形几何的奇妙世界，我们将带您踏上一段迥异于传统几何学的旅 程。了解分形几何的基本概念和其在科学和工程等领域的应用。
什么是分形几何
分形几何是一门研究非整数维度空间中的几何形状和模式的学科。不同于传 统几何学，分形几何更加接近自然界中的复杂结构和形态。
几何图形与分形
传统的几何图形基于欧氏几何学，具有整数维度，并且具有平滑的结构。分形的定义则更加灵活和重复，能够 描述自相似和具有复杂结构的图形。
[转载]分形---自相似性
![[转载]分形---自相似性](https://img.taocdn.com/s3/m/e588f34e3a3567ec102de2bd960590c69ec3d885.png)
[转载]分形---⾃相似性原⽂地址：分形---⾃相似性作者：凯分形, 简单的讲就是指系统具有“⾃相似性”和“分数维度”。
所谓⾃相似性即是指物体的（内禀）形似,不论采⽤什么样⼤⼩的测量“尺度”，物体的形状不变。
如树⽊不管⼤⼩形状长得都差不多, 即使有些树⽊从来也没见过, 也会认得它是树⽊；不管树枝的⼤⼩如何，其形状都具有⼀定的相似性。
所谓分形的分数维, 是相对于欧⽒⼏何中的直线、平⾯、⽴⽅⽽⾔的, 它们分别对应整数⼀、⼆、三维，当然分数维度“空间”不同于⼈们已经习惯的整数维度空间，其固有的逻辑关系不同于整数维空间中的逻辑关系。
说起来⼀般⼈可能不相信，科学家发现海岸线的长度是不可能（准确）测量的，对⼀个⾜够⼤的海岸线⽆论采⽤多么⼩的标尺去测量其长度发现该海岸长度不趋于⼀个确定值！⽤数学语⾔来描述即是海岸线长度与测量标尺不是⼀维空间的正⽐关系，⽽是指数关系，其分形维是1.52；有理由相信海岸线的形状与这个分数维有内在关系。
⾃相似性⼜揭⽰了⼀种新的对称性，即画⾯的局部与更⼤范围的局部的对称，或说局部与整体的对称。
这种对称不同于欧⼏⾥德⼏何的对称，⽽是⼤⼩⽐例的对称，即系统中的每⼀元素都反映和含有整个系统的性质和信息。
⽆论放⼤多少倍，图象的复杂性依然丝毫不会减少。
但是，注意观察上图，我们会发现：每次放⼤的图形却并不和原来的图形完全相似。
这告诉我们：其实，分形并不要求具有完全的⾃相似特性。
分形能够保持⾃然物体⽆限细致的特性，所以，⽆论你怎么放⼤，最终，还是可以看见清晰的细节。
周期性是⾃然界发展变化的基本规律之⼀，经济发展周期性表现为描述经济发展的数量指标“时好时坏”波浪式变化, 并不是简单的重复；总体上讲⼈类社会的经济发展是波浪式前进的, 历史是不会逆转的。
随机波动曲线具有“⾃相似性”。
价格波动曲线的分形，与海岸线同类, 都具有1.618（左右）的分形维特性，其分形形态不可能象科赫曲线⼀样表现为精确的⼏何图形，随机性是这种曲线⾛势的基本特征；曲线⾃相似性的意义是突出随机过程中的关联效应。
计算机本科毕业论文PPT - 三维分形图生成算法的研究及程序实现
2. 递归算法——生成三维图形
Visual C++环境下生成三维Sierpinski海绵及其变形的研究 1 离散的海绵 若在控制立方体生成的函数中将立方体边长统一减小， 则生成的小立方体会缩小，不能再连结起来，整个海 绵就呈离散状态。 2带锯齿的海绵 如果使生成立方体的某一个角向外延伸，不断循环后， 将会使某一侧面的许多角向外，呈锯齿状；如果凸出 较长，则呈尾巴状。 3彗星与流星 将离散的海绵与带锯齿的海绵结合， 可以生成拖着长长尾巴的彗星与流星图形。
ax 1 by 1 e x 1 ' ' ax 2 by 2 e x 2 ' ax by e 植物形态
相似变换与仿射变换 相似变换是指在各个方向上变换的比率必须相同的一种比例变换，仿 射变换是指在不同方向上变化的比率可以不同的一种比例变换。 二维仿射变换的数学表达式为：
x' ax by e x r1 cos1 r2 sin 2 x e : 或 r sin 2 y f 1 r2 cos y 1 y' cx dy f
迭代函数系统的基本思想为：在仿射变换的意义下，几何对象的局部 与整体具有自相似的结构。根据这种自相似性，从一个点或一个简单 的几何图形出发，按一定的规则迭代，一生二，二生三，三生万物， 直到生成一幅复杂的图像。最终得到的目标点集与初始点集无关，而 只取决于迭代的规则，即一组仿射变换的系数，这一图像生成系统称 为迭代函数系统。
3. IFS迭代算法——模拟三维植物形态
用拼贴法确定IFS码 利用IFS方法生成分形图的关键是找出图形所对应的IFS码。
分形几何概述
三、分形几何的研究方法
1、以分数维数来描述分形；
Mandelbrot提出了一个分形维数的概念。
在Euchlid几何学中我们知道维数的概念
点---0维；
线---1维；
面---2维；
分形几何与传统几何相比有什么特点：
⑴从整体上看，分形几何图形是处处不规则的，它的整体与局部都不能用传统的几何语言来描述。例如，海岸线和山川形状，从远距离观察，其形状是极不规则的。
⑵分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结构。
例如：Mandelbrot集，简称M集，是人类有史以来最奇异最瑰丽的几何图形. 它由一个主要的心形图与一系列大小不一的圆盘芽苞突起连在一起构成．你看，有的地方象日冕，有的地方象燃烧的火焰，那心形圆盘上饰以多姿多彩的荆棘，上面挂着鳞茎状下垂的微小颗粒，仿佛是葡萄藤上熟透的累累硕果．它的每一个细部都可以演绎出美丽的梦幻般仙境似的图案，因为只要把它的细部放大，展现在眼前的景象会更令人赏心悦目．而这种放大可以无限地进行下去，无论放大到哪一个层次，都会显示同样复杂的局部，这些局部与整体有某种相似的地方，但又不完全相同，仿佛里面酝藏着无穷的创造力，使你感到这座具有无穷层次结构的雄伟建筑的每一个角落都存在无限嵌套的迷宫和回廊，催生起你无穷的探究欲望.。
6、可以制作成各种尺寸的分形挂历、台历、贺卡、书签等等。
7、装点科技馆、少年宫、旅游景点等地点，美化公众环境。
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我们来看曼德勃罗的分析：
当你用一把固定长度的直尺(没有刻度)来测量时，对海岸线上两点间的小于尺子尺寸的曲线，只能用直线来近似。因此，测得的长度是不精确的。
如果你用更小的尺子来刻画这些细小之处，就会发现，这些细小之处同样也是无数的曲线近似而成的。随着你不停地缩短你的尺子，你发现的细小曲线就越多，你测得的曲线长度也就越大。如果尺子小到无限，测得的长度也是无限。
几何里的艺术家——分形几何
几何里的艺术家——分形几何几何不仅仅是数学中的一个概念，它也是艺术中的一种灵感源泉。
而分形几何则将几何之美发挥到了极致，成为了一种兼具科学和艺术特质的美学形式。
在分形几何的世界里，数学的精密和艺术的想象交织在一起，勾勒出了独特的美丽景观。
本文将带领读者一起探索几何里的艺术家——分形几何。
1. 分形几何的起源分形几何一词最早由法国数学家贝诺瓦·曼德博特在1975年提出。
分形一词源于拉丁文“fractus”，意为碎片、断裂。
在数学上，分形是指一种具有自相似性的几何形态，即整体的部分在不同尺度上都与整体类似。
这种自相似性使得分形几何成为了一种富有美感和艺术感的数学形式。
分形几何得到了诸多科学和艺术领域的关注，成为了一种跨学科的研究领域。
2. 分形几何和艺术在艺术领域，分形几何为艺术家们带来了无限的灵感。
通过计算机技术和数学算法，艺术家们可以创造出种种奇妙的分形图像，这些图像既具有科学的精密性，又富有艺术的想象力。
分形艺术作品常常展现出几何的美感和图案的丰富多样性，在细节的赏析上更是令人叹为观止。
分形艺术作品已经成为了一种独特的艺术风格，吸引了众多艺术家和观众的关注。
3. 分形几何的应用除了在艺术领域中发挥重要作用之外，分形几何在科学领域中也有着广泛的应用。
在物理、生物、地质等领域，分形几何被用来研究复杂系统的形态和特性。
分形几何的自相似性和分形维度等特性，为科学家们提供了一种独特的研究方法，帮助他们理解和解释自然界中的复杂现象。
分形几何的应用范围正在不断拓展，有望成为解决复杂问题的重要工具。
4. 分形几何与人类文化分形几何不仅仅是一种数学形式，它还深刻地影响着人类文化的发展。
在建筑、绘画、音乐等领域，分形几何都留下了深远的痕迹。
建筑设计师们常常运用分形几何的原理来设计出富有美感和结构稳定性的建筑物；绘画艺术家们则通过分形几何的图案来展现出作品的纷繁多样；音乐创作家们也借助分形几何的节奏和和谐结构来创作富有艺术感的音乐作品。
分形几何的特征及其维数
分形几何的特征及其维数
分形几何，这一诞生于二十世纪的数学领域瑰宝，以其独特的美学与科学魅力在2024年的今天依然引人入胜。
它的核心特征可以概括为以下几点：
1. 自相似性：这是分形最直观也最具代表性的特点，即不论是在整体还是局部，乃至无限次放大的微小部分，都能发现与整体形态相似或等比例缩小的结构。
比如著名的科赫雪花和谢尔宾斯基三角形。
2. 不规则性和复杂性：传统几何形状如圆形、方形等具有明显的边界和规则性，而分形则呈现出无规律、不规则的复杂结构，难以用传统的欧几里得几何来描述。
3. 维数的非整数性：分形维数是衡量分形结构复杂程度的一个重要概念，它突破了经典欧氏空间中一维、二维、三维等整数维的界限。
例如，科赫曲线虽然看似占据了一维空间，但实际上其分形维数大于1但小于2，这体现了它在有限空间内展现出了超越常理解的空间复杂度。
分形维数的计算通常采用盒计数法，通过将分形划分为多个大小相等的小区域（盒子），统计不同尺度下被分形所覆盖的盒子数量随尺度改变的关系，从而得到描述分形复杂度的维数值。
总之，在我们所处的2024年，分形几何已经广泛应用于艺术、自然科学、社会科学等多个领域，并以其深邃的内涵和无穷的变化，持续启发着人们对自然界及宇宙奥秘的认识探索。
三维对象的表示详解
几何表：顶点坐标和用来标识多边形表面空间方向的参数 属性表：指明物体透明度及表面反射度的参数和纹理特征
v1
多边形表面—示例
多边形面表 序号 S1 边序号 E1, E2, E3
E1 S1 v2
边表 序号 1 2 3 4 5 6 顶点号 v1, v2 v2, v3 v3, v1 v3, v4 v4, v5 v5, v1
2 s1
1
超椭球面形状如P337图8.7所示
一组较小的、非重叠的连续实体（通常是立方体） 三维对象的一般空间划分描述是八叉树表示
边界表示方法---图示
空间区分表示方法---图示
小立方体(i, j, k)
k
j i
内容提要
表示方法 多边形表面（Polygon Surfaces）
曲线曲面: Bé zier曲线
实体构造技术 八叉树（Octrees） 分形（Fractal ） …
x r x y z 1 r r y z
2 2 2
二次曲面
环面：汽车轮胎状的对象称为环面或锚状环 通常被描述为将圆或椭圆绕该二次曲线（圆或椭圆）之 外的一个共面轴旋转而得到的表面 环面的定义参数是该二次曲线中心到旋转轴之间的距离 以及该二次曲线的尺寸
如样条曲面，将它转换到多边形表示后加以处理
多边形表面
可以为覆盖对象表面的每一多边形给出一组顶点，以便使 用一组多边形面片描述一个对象
这些面片的顶点坐标和边的信息以及每一多边形的表面法向量等其 它信息存入一张表中（参见P106的3.15节）
有些图形软件提供生成由三角形或四边形组成的多边形网 的子程序 有些软件提供用多边形面片显示立方体、球体或圆柱体等 普通形状的子程序 多边形表面数据分为两组进行组织
三维空间Delaunay三角剖分算法的研究及应用
三维空间Delaunay三角剖分算法的研究及应用一、本文概述随着计算几何和计算机图形学的发展，三维空间Delaunay三角剖分算法已成为一种重要的空间数据处理和分析技术。
本文旨在全面深入地研究三维空间Delaunay三角剖分算法的原理、实现方法以及应用领域。
本文将对三维空间Delaunay三角剖分算法的基本概念和性质进行详细的阐述，包括其定义、性质、特点以及与其他三角剖分算法的比较。
接着，本文将重点探讨三维空间Delaunay三角剖分算法的实现方法，包括增量法、分治法和扫描转换法等，并分析它们的优缺点和适用范围。
本文还将对三维空间Delaunay三角剖分算法在各个领域的应用进行详细的介绍和分析。
这些领域包括计算机科学、地理信息系统、地质学、气象学、生物医学等。
通过具体的应用案例，本文将展示三维空间Delaunay三角剖分算法在实际问题中的应用价值和效果。
本文还将对三维空间Delaunay三角剖分算法的未来发展方向进行展望，探讨其在新技术和新领域中的应用前景和挑战。
本文旨在全面系统地研究三维空间Delaunay三角剖分算法的理论和实践，为其在实际问题中的应用提供有力的支持和指导。
二、三维空间Delaunay三角剖分算法的基本原理Delaunay三角剖分算法是一种广泛应用于二维空间的数据处理算法，它的核心目标是将一组离散的二维点集剖分为一系列互不重叠的三角形，且这些三角形满足Delaunay性质。
简单来说，Delaunay 性质要求任何一个三角形的外接圆内部不包含该三角形之外的任何数据点。
初始化：为每个点分配一个初始的三角形。
这通常是通过连接每个点与它的两个最近邻点来完成的，形成一个初始的三角形网格。
合并三角形：接下来，算法会尝试合并相邻的三角形，以形成更大的三角形。
在合并过程中，算法会检查新形成的三角形是否满足Delaunay性质。
如果满足，则合并成功；如果不满足，则放弃合并，并标记这两个三角形为“已处理”。
超弦理论的几何表达-分形几何模型
分形几何的粒子结构理论毛志彤11(扬州市安装防腐工程有限公司, 江苏江都225200)摘要: 为认识自然界物质的结构和作用各方面的统一性，通过三维空间拓展的分形几何模型，以新结构描述亚原子粒子和原子核，描述暗物质暗能量、微观粒子直到原子结构关系，分析在分形几何结构逻辑基础上的四种基本力和瞬态粒子结构形式，显示分形几何与微分几何在物质结构及规范理论中的有相关联系，揭示一些潜在研究价值，分形几何与微分几何的结合可能成为超弦/M理论第三次革命的分析手段，分形几何模型在亚原子粒子模型、物质结构方面开拓一个全新的结构形式。
关键词: 分形几何；粒子结构；微分几何；无限螺旋分形闭合环；超弦/M理论中图分类号: O4 ；文献标识码: A1研究的动机几何对自然科学特别是物理学发展的意义已经为现代科学界公认，可以看到近代物理学的逻辑在几何原理中得到深刻的阐述，我们并不奢望任意一种几何学都会对物理学的发展产生深刻的意义，但是我们可以尝试任何一种几何可能的应用，特别是一种新颖的几何学分支-分形几何学。
从1986年至今，约24年的研究过程中，我们试图以直接直观的方式更加深刻地理解弦、超弦、超弦/M理论的多维度空间，并给空间与作用力以直观形象的反映，直到2004年，我们通过理论和实验各种矛盾的分析，认为有这么一种可能，分形才是物质的基本单位-亚原子粒子的结构形式，并且其结构蕴含了亚原子粒子四种物理作用力的统一基础：振动与约束对偶耦合规范及其规范场的振荡-电磁波粒子生产和吸收效应，这种亚原子粒子分形结构就是无限螺旋分形闭合环形式。
2分形几何2.1 分形几何学被誉为大自然的几何学的分形（Fractal）理论，是现代数学的一个新分支，但其本质却是一种新的世界观和方法论。
客观自然界中许多事物，具有自相似的“层次”结构，在理想情况下，甚至具有无穷层次。
适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构并不改变。
不少复杂的物理现象，背后就是反映着这类层次结构的分形几何学。
chap三维造型技术分形造型学时实用
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3 分形的分类
• 不变分形集 • 由非线性变换形成
• 自平方分形(Self-squaring) • 自逆分形(Self-inverse)
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分形造型
• 基本概念 • 分形的生成过程 • 分形的分类 • 分形造型
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4 分形造型
• 重构方法的分类 • 从物体3D表面数据重构 • 从2D投影图重构
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其他造型方法
• (1)从物体3D表面数据重构 • 主要用于考古文物复制、假肢制作、仿生外形设计等 • 重构的分类
• 基于规则数据 • 基于完全散乱的数据
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其他造型方法
• 重构的一般步骤 • 拓扑重建多边形网格 • 网格优化构造质量更优或规模更小的网格，同时保持拓扑不变，满足几何精度要求 • 几何重建重建光滑的曲面
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模拟火焰的效果
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模拟水的效果
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谢谢
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感谢您的欣赏！
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其他造型方法
• 三维重构 • 自由形状变形 • 粒子系统
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其他造型方法
• 三维重构（也称曲面重建）
• 是获取物体表面的3D数据，或根据物体的2D投影数据自动构造物体3D几何信息与拓扑信息，并建立物体 的数字模型的过程
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几何里的艺术家——分形几何
几何里的艺术家——分形几何分形几何是一门结合数学和艺术的学科，它研究自相似性和无限重复的图形。
分形是一种可以通过递归运算生成的图形，其每个部分都与整体具有相似的形状和属性。
分形几何广泛应用于自然界、科学、艺术和计算机图形学等领域。
分形几何的概念最早由波兰数学家曼德博勒特·曼德博勒特于20世纪70年代提出。
他通过迭代运算生成了一种被称为“曼德博集合”的分形图形，该图形具有无限复杂的细节和自相似性。
曼德博勒特的研究成果开创了分形几何的研究领域，吸引了许多科学家和艺术家的关注。
分形几何的魅力在于它展现了自然界中许多复杂的形态和规律。
分形几何可以用来描述云朵、山脉、树木、海岸线等自然景观的形状和纹理。
这些自然景观往往具有层次分明、规则重复的结构，正是分形几何的特点所能很好地解释和模拟这种现象。
在艺术领域，分形几何为艺术家们提供了一种新的创作方式和表现手法。
艺术家可以使用分形生成软件来创作出具有分形特征的艺术作品。
这些作品通常具有随机性、复杂性和自相似性，给观者带来一种与众不同的观感和感官体验。
分形艺术常常被赋予一种神秘、浪漫和超现实的风格，使人沉浸其中。
分形几何的应用还扩展到计算机图形学和图像处理领域。
分形图形可以被用来生成真实感模拟、虚拟现实和特效动画。
通过分形算法，计算机可以生成具有高度精细化和无限细节的图像，使得图像更加逼真、生动，并且可以实现无尽的变化。
除了在科学、艺术和计算机图形学中的应用，分形几何还对理解自然界的一些现象和规律具有重要意义。
分形几何揭示了许多自然界中的分形结构，如闪电、河流、植物的分枝、肺部的支气管等。
了解并研究这些自然现象的分形特征，对于深入理解它们的内在规律和运行机制具有重要意义。
分形几何是一门有着深厚学术背景和广泛应用前景的学科。
它不仅仅是一门数学理论，更是一门艺术表现和探索自然界的工具。
通过分形几何的研究和应用，人们可以更好地理解自然现象、创造艺术作品、设计复杂图形和模拟现实世界。
浅谈分形在立体构成中的应用
一、分形与艺术的关系“分形”是波兰数学家曼德布罗特于1973年在法兰西学院讲课时提出来的概念。
词义是指不规则、支离破碎的形状，且具有自相似的性质，即一个粗糙或零碎的几何形状，可以分成数个部分，每一部分都是整体缩小后的形状，或至少是近似整体缩小后的形状。
分形是一门研究不规则形态的几何学。
由于自然界中的物象普遍以不规则形状存在，而分形几何学可以描述自然界中那些在传统欧几里得几何学中难以描述的复杂对象。
因此，分形几何学被称为描绘大自然的几何学，如弯曲的海岸、延绵的山脉、变幻的浮云、蜿蜒的河流等，这些都是分形，它们的形态特点比较零碎和复杂。
现今著名的分形实例有康托尔集、谢尔宾斯基三角形、门格奶酪和科赫雪花等。
分形作为一个新兴的学科，正在渗透到多个领域，其中有数学、物理、化学、生物、大气、海洋以至社会学科，对音乐、美术领域也产生了较大的影响，由分形几何衍生出了分形设计和分形艺术等应用。
分形搭起了科学与艺术的桥梁，使人们认识到数学与艺术审美上的统一，使抽象的数学理念转化为具象的艺术感受，并从揭示物象存在到形成艺术创作的方法。
二、分形与立体构成的结合立体构成是现代艺术设计的基础构成之一，是一门研究造型设计和形态创造的基础学科，衍生范围包括建筑设计、景观设计、室内设计、工业造型、雕塑等行业。
主体构成是以实体占据空间、创造空间并与空间一同构成新的环境和视觉产物。
立体构成必须以力学为依据，将造型要素按照视觉的构成原则，组合成所要传达的形体和空间。
它是以点、线、面、体的排列和组合研究立体与空间形态的学科，它研究立体造型各元素的构成法则，分析立体造型的基本规律，明确造型设计的基本原理。
如何将立体造型要素遵循构成法则组合成富有个性美的立体形态，是立体构成所要解决的首要问题。
整个创造过程是一个从分解到重组或从组合再到重新分割的过程，是探讨和研究形体和空间之间关系的过程。
任何造型和形态均还原至点、线、面、体的秩序和组织。
立体构成中形态与形状的区别在于，形状仅是形态的无数面中的外廓，而形态是由无数形状构成的一个综合体。
分形和分维分形的定义几何图形的维数-固体微结构研究室
§3 分形和分维3.1 分形的定义分形（fractal ）这个名词是Mandelbrot [1,2]在20世纪70年代为了表征复杂图形和复杂过程首先引入自然科学领域的，它的原意是不规则的、支离破碎的物体。
分形可以分为规则分形和不规则分形。
在分形名词使用之前，一些数学家就提出过不少复杂和不光滑的集合，如Cantor 集、Koch 曲线、Sierpinski 垫片、地毯和海绵等。
这些都属于规则的分形图形，它们具有严格的自相似性。
而自然界的许多事物所具有的不光滑性和复杂性往往是随机的，如蜿蜒曲折的海岸线；变换无穷的布朗运动轨迹等。
这类曲线的自相似性是近似的或统计意义上的，这种自相似性只存在于标度不变区域，超出标度不变区域，自相似性不复存在。
这类曲线为不规则分形。
迄今为止，分形还没有一个严格的定义。
1982年Mandelbrot 将分形定义为Hausdorff （豪斯道夫）维数大于拓扑维数的集合。
此定义强调维数，而其中的豪斯道夫维数一般不是整数，下面将介绍如何计算它。
这里需要简单介绍拓扑维数。
拓扑学是研究可以连续变化的图形的学科，而几何学是研究刚性图形的学科。
在几何学中圆和正方形是不同的，但在拓扑学中两者是等价的，因为它们可以连续地相互变换，并且它们都将平面上的点分成三个集合：图形内、图形外和图形上的三个集合，所以它们具有共性。
类似地，一条十分曲折但连续的折线和一条直线是等价的，因为它们可以连续地相互变换，而且两者的拓扑维数都是 1。
下面我们将结合具体的规则分形的实例说明分形的这个定义。
1986年Mandelbrot 给出了一个更广泛、更通俗的定义：分形是局部和整体有某种方式相似的形（A fractal is a shape made of parts similar to the whole in some way ）[3]。
该定义强调图形中局部和整体之间（包括小的局部和大的局部之间，如下面的DLA 模型产生的图形中小枝杈和大枝杈）的自相似性。
三维网格分割--基础知识
三维网格分割经典聚类算法
模糊聚类分割算法：2003 年，Katz 等人提出了模糊聚类的层次分解算法，将 复杂模型进行由粗到精，得到分割片层次树，一层一层的处理，最终分割成边 界线平滑、有意义的若干个较为简单的部分。层次树的根表示整个网络模型 S。 在每个节点，首先确定需要进一步分割为更精细分割片的数目，然后执行个Kway 分割。优点：该算法可以得到有意义的部分子模型，且没有出现锯齿现象， 算法也不会产生过分分割效果。
W
F 2,1
N2 j 1
W , j 表示表示的第j个列向量W，
,h , j W WW h X h2
Xh
2 F
WhTWh
1,1
三维网格分割组合分割-亲和力聚合谱聚类
亲和力聚合谱聚类（AASC）：寻求描述网格过分割面片多特征融合的亲和矩 阵，利用谱聚类算法对所有补丁块进行一致分割。
分割准 则
三维网格分割及其相关基本概念
表面测地线距离：是指三维模型的两个顶点在模型表面的最短距离，它不仅可以有 效的克服三维模型噪声的干扰，而且与三维模型的坐标系方向无关。但不易计算， 常用特征描述之间的欧氏距离代替。
欧几里德距离：两个n维向量a(x11,x12,…,x1n)与 b(x21,x22,…,x2n)间的欧氏距离：
亲和力聚合谱聚类实现过程：
谱聚类划分数据到m个互不相交的类，寻找索引向量F f1, f2 , , fn ,满足
min W
f1 , , fn i, j
kij
fi , f j
2
F D W F
s.t. F DF 1 利用Lu Du = 1,2 , 令亲和矩阵相关权值为
岩体裂缝面数量三维分形分布规律研究
(2) 二等分边长 L0，得到 8 个边长为δ1 = L0/2 的子正方体块，统计位于每 1 个子正方体块中，面
积大于或等于 δ12 的裂缝面的数量，并进行累加，得 到 L0/2 尺度下的裂缝面数量为 N(L0/2)。
(3) 依此类推，分别统计边长δ k = L0 / 2k 的 23kΒιβλιοθήκη 个子正方体中，面积大于或等于
剖面
L0 = 1
DL
NL
R2
L0 L0/2 L0/4 L0/8 L0/16 L0/32
XOY 0.75 1.95 5.36 14.8 39.43 104.78 1.431 8 0.739 0.999
YOZ 0.76 2.02 5.47 14.98 39.66 104.17 1.423 4 0.761 1.000
第 24 卷 第 4 期
冯增朝等. 岩体裂隙面数量三维分形分布规律研究
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SP AX
图 １ 倾角和方位角与法向矢量的关系
Fig.1 Relation of dip angle ，azimuth and normal v ector
各取 21 个面并统计它们各自的裂隙条数，计算二维 裂隙迹线的分形参数(表 1)。
2 岩体裂隙面数量分布的三维分形描 述
利用岩体中裂隙面体积密度的研究方法，结合 分形几何学的基本思想和二维的裂隙迹线的数量分 形定义，给出岩体裂隙面数量的三维分形表述：
(1) 取边长为 L0 的正方体，(L0 作为初始观测尺
度，可以是任意尺寸)，统计出正方体中面积大于或
等于 L0 的裂缝面的数量 N(L0)。
XOZ 0.77 2.00 5.45 14.93 39.69 104.18 1.422 5 0.762 0.999
空间维数的变化原理的应用
空间维数的变化原理的应用介绍空间维数是指描述一个空间所需的独立坐标轴的数量。
在数学和物理学中，空间维数是一个重要的概念，具有广泛的应用。
本文将介绍空间维数的变化原理以及其在各个领域的应用。
空间维数的变化原理空间维数的变化原理是指在不同尺度下，空间的维数可能会发生变化。
在经典几何学中，我们通常认为三维空间是由长、宽、高这三个独立的坐标轴构成。
然而，在某些情况下，空间的维数可能不止三维。
引力场中的空间维数根据广义相对论的理论，引力场可以弯曲时空。
在弯曲的时空中，空间的维数也会发生变化。
例如，在黑洞的奇点附近，空间维数会崩溃，成为一个无穷维的奇点。
分形几何中的空间维数分形几何是一种非常独特的几何学分支，它研究的是具有自相似性的结构。
在分形几何中，空间的维数可以是分数维的。
例如，考虑一条分形曲线，它在某个尺度上可能具有1.5维的特征。
弦论中的超过三维的空间弦论是描述宇宙最基本结构的理论之一，它认为我们所处的宇宙可能存在超过三维的空间。
根据弦论的假设，宇宙中可能存在其他维度，这些额外的维度对于我们的感知是隐藏的。
应用领域空间维数的变化原理在各个领域有着重要的应用。
以下是一些应用领域的简要介绍：引力物理学在研究引力场和黑洞等天体现象时，空间维数的变化原理是非常关键的。
通过理解空间维数的变化，我们可以更好地理解引力场的性质，进而推动我们对宇宙的认知。
分形几何学分形几何学是一门研究非规则图形的学科，它在计算机图形学、自然科学和医学图像处理等领域具有广泛的应用。
分形几何学通过对空间维数的变化原理的研究，可以刻画复杂结构的形态和特征。
弦理论弦理论是研究基本粒子和宇宙起源的理论，它认为我们所处的宇宙有超过三维的空间。
通过空间维数的变化原理，弦理论可以更好地解释基本粒子的性质以及宇宙的结构。
量子信息学量子信息学是研究利用量子力学原理进行信息处理的学科。
在量子计算和量子通信中，空间维数的变化原理的应用可以帮助我们设计更高效的量子算法和保密的通信协议。
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参考书：《分形算法与程序设计》
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OpenGL的基本功能
9． 纹理映射 在计算机图形学中，把包含颜色、 alpha值、亮度等数据的矩形数组 称为纹理。而纹理映射可以理解为将纹理粘贴在所绘制的三维模型表面， 以使三维图形显得更生动。
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OpenGL的运行环境
10．动画 出色的动画效果是 OpenGL 的一大特色， OpenGL提供了 双缓存区技术来实现动画绘制。
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OpenGL的基本函数
2．顶点关系 在OpenGL中，同一个几何图元的所有被定义的顶点一起放 在 glBegin() 和 glEnd()函数之间，同时定义这些顶点之 间的关系。如： glBegin(GL_POLYGON); glVertex2s(0,0); glVertex2s(0,11); glVertex2s(11,14); glVertex2s(14,7); glVertex2s(7,0); glEnd();
参考书：《分形算法与程序设计》
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OpenGL的基本函数
4．颜色设置 ⑴ RGBA模式下的颜色定义 在RGBA模式下，利用glColor*命令来定义当前颜色。glColor*命令 有如下几种形式： void glColor3{b s i f d ub us ui}(TYPE r,TYPE g,TYPE b); void glColor4{b s i f d ub us ui}(TYPE r,TYPE g,TYPE b,TYPE a); void glColor3{b s i f d ub us ui}v(TYPE *v); void glColor4{b s i f d ub us ui}v(TYPE *v); ⑵ 在颜色索引模式下的颜色定义 通过调用函数glIndex*()从颜色索引表中选取当前颜色。 void glIndex(s f d i)(c:TYPE); void glIndex(s f d i)v(c:PTYPE); 参考书：《分形算法与程序设计》
第
9章
三维空间中的分形
9.1 OpenGL简介
9.2三维空间中的Sierpinski地毯
9.3 Sierpinski金字塔 9.4三维空间中Sierpinski海绵
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9.1 OpenGL简介
OpenGL，即开放性图形库（Open Graphics Library），
是一个三维的计算机图形和模型库。 OpenGL 包含 120 个 图形函数，在微机环境下共有 5种函数，即基本（或核心）
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OpenGL的基本函数
3．显示列表 OpenGL 显示列表（ Dispplay List ）是由一组预先存储起 来的留待以后调用的OpenGL函数语句组成的，当调用这张显 示列表时就一次执行表中所列出的函数语句。 创建显示列表 OpenGL用下面的函数组创建显示列表： void glNewList(GLuint list,GLenum mode); …… void glEndList(void); 执行显示列表 显示列表的执行函数形式如下： void glCallList(GLuint list); 参数list指定被执行的显示列表。
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OpenGL的基本功能
3． 光照处理
包括发射光、环境光、散射光和镜面反射光。
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OpenGL的基本功能
4． 着色 OpenGL提供了两种物体着色模式，一种是RGBA颜色模 式，另一种是颜色索引（Color Index）模式。
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OpenGL的基本函数
5．光照设置 ⑴ 创建光源(Light Source) 光源有许多特性，如颜色、位置、方向等。可以使用下面的函数定 义光源： void glLight{if}[v](GLenum light , GLenum pname, TYPE param) ⑵ 启动光照 在OpenGL中，必须明确指出光照是否有效或无效。如果光照无效，则 只是简单地将当前颜色映射到当前顶点上去，不进行法向、光源、材质 等复杂计算，那么显示的图形就没有真实感。启动和取消光源的函数如 下: glEnable(GL_LIGHTING);//启动光照 gDisable(GL_LIGHTING);//取消光照
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OpenGL的基本功能
7． 雾化 正如自然界中存在烟雾一样， OpenGL提供了“fog”的基 本操作来达到对场景进行雾化的效果。
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OpenGL的基本功能
8． 位图和图像 在图形绘制过程中，位图和图像是非常重要的一个方面。 OpenGL提供了系列函数来实现位图和图像的操作。
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OpenGL的基本函数
1．顶点坐标 OpenGL采用有序排列的顶点集合来构造几何图元，而不是 将线段、多边形组合起来构造几何图元。 如： glVertex2s(2,5); //整数定义的二维坐标
glVertex3f(2,5,7); //浮点定义的三维坐标
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OpenGL的基本功能
5． 反走样 在OpenGL绘制图形过程中，由于使用的是位图，所以绘 制出的图像的边缘会出现锯齿形状，称为走样。为了消除这 种缺陷，OpenGL提供了点、线、多边形的反走样技术。
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OpenGL的基本功能
6． 融合 为了使三维图形更加具有真实感，经常需要处理半透明或 透明的物体图像，这就需要用到融合技术。
函数、实用函数、辅助函数、Windows专用函数和 Win32
API函数。
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OpenGL的基本功能
1． 绘制物体 OpenGL提供了丰富的基本图元绘制命令，从而可以方便地绘制物 体，包括规则的和不规则的。
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OpenGL的基本功能
2． 变换 OpenGL 提 供 了 一 系 列 基本的变换，如取景变换、 模型变换、投影变换及视 口变换。