高中数学人教版必修第二章基本初等函数单元测试卷(B)
2019_2020学年高中数学第二章单元质量测评(含解析)新人教B版必修2
第二章 单元质量测评对应学生用书P81 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．A ，B 为数轴上两点，A 点的坐标为－1，A ，B 两点间的距离为6，那么B 点的坐标为( ) A ．5 B ．－7C ．5或－7D ．－5或7 答案 C解析 设B 点的坐标为x ，则x －(－1)＝6或(－1)－x ＝6，x ＝5或x ＝－7． 2．直线y ＝k(x ＋1)(k>0)的图象可能是( )答案 B解析 由直线方程知，直线过点(－1，0)，且斜率k>0，观察可知B 项正确． 3．已知直线ax ＋4y －2＝0与2x －5y ＋b ＝0互相垂直，垂足为(1，c)，则a ＋b ＋c 的值为( )A ．－4B ．20C ．0D ．24 答案 A解析 由直线互相垂直可得－a 4·25＝－1，∴a＝10，所以直线方程为5x ＋2y －1＝0，又垂足(1，c)在直线上，所以代入得c ＝－2，再把点(1，－2)代入另一方程可得b ＝－12，所以a ＋b ＋c ＝－4．故选A ．4．若直线ax ＋by ＝1与单位圆x 2＋y 2＝1无公共点，则点P(a ，b)与圆的位置关系是( ) A ．点在圆上 B ．点在圆外 C ．点在圆内 D ．以上皆有可能 答案 C 解析 由题意得1a 2＋b2>1，即a 2＋b 2<1，所以点P 在圆内．故选C ．5．已知过点P(2，2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝( )A ．－12B ．1C ．2D ．12答案 C解析 易知点P(2，2)在圆上，由切线与直线ax －y ＋1＝0垂直，得过点P(2，2)与圆心(1，0)的直线与直线ax －y ＋1＝0平行，所以2－02－1＝a ，解得a ＝2．6．平行四边形ABCD 的三个顶点依次是A(3，－2)，B(5，2)，C(－1，4)，则D 点坐标为( )A ．(1，1)B ．(3，0)C ．(－3，0)D ．(－1，－1) 答案 C解析如图所示，设D(x ，y)， ∵k BC ＝k AD ，k CD ＝k AB ，∴⎩⎪⎨⎪⎧4－2－1－5＝y ＋2x －3，y －4x ＋1＝2＋25－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝0.7．方程x 4－y 4－4x 2＋4y 2＝0所表示的曲线是( ) A ．一个圆 B ．两条平行直线 C ．两条平行直线和一个圆 D ．两条相交直线和一个圆 答案 D解析 ∵x 4－y 4－4x 2＋4y 2＝0，∴(x 2－y 2)(x 2＋y 2－4)＝0，∴(x－y)(x ＋y)(x 2＋y 2－4)＝0．∴该方程表示两条相交直线x －y ＝0，x ＋y ＝0和一个圆x 2＋y 2－4＝0． 8．从点P(x ，3)向圆(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1引切线，切线长的最小值为( ) A ．4 B ．2 6 C ．5 D ．5．5 答案 B解析 当P(x ，3)到圆心C(－2，－2)距离最小时，过P 点向圆所作切线的切线长最小． |PC|＝x ＋22＋3＋22＝x ＋22＋25∴|PC|min ＝5．∴切线长的最小值为52－1＝26．故选B ．9．已知点A(2，1，1)，B(1，1，2)，C(2，0，1)，则下列说法正确的是( ) A ．△ABC 是等腰三角形 B ．△ABC 是直角三角形C ．A ，B ，C 三点不能作为同一个三角形的顶点D ．A ，B ，C 三点在同一条直线上 答案 B解析 根据距离公式计算得|AB|＝2，|BC|＝3，|AC|＝1，则|AB|2＋|AC|2＝|BC|2．故选B ．10．过点B(1，－1)的圆x 2＋y 2＋4x ＋10y ＋4＝0的切线方程为( ) A ．3x ＋4y ＋1＝0 B ．3x －4y ＋1＝0 C ．4x ＋3y ＋1＝0 D ．4x －3y ＋1＝0 答案 A解析 圆心M(－2，－5)，半径r ＝5．因为12＋(－1)2＋4×1＋10×(－1)＋4＝0，所以点B(1，－1)在圆上．又k BM ＝－1－－51－－2＝43，于是过点B(1，－1)的圆的切线方程为y ＋1＝－34(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0．11．若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是( ) A ．[1－22，1＋22] B ．[1－2，3] C ．[－1，1＋22] D ．[1－22，3] 答案 D解析 在平面直角坐标系内画出曲线y ＝3－4x －x 2(注：该曲线是以点C(2，3)为圆心，2为半径的圆不在直线y ＝3上方的部分)与直线y ＝x ，在平面直角坐标系内平移该直线，结合图形分析可知，当直线沿左上方平移到过点(0，3)的过程中的任何位置相应的直线与曲线y ＝3－4x －x 2都有公共点；当直线沿右下方平移到与以点C(2，3)为圆心、2为半径的圆相切的过程中的任何位置相应的直线与曲线y ＝3－4x －x 2都有公共点．注意到与y ＝x 平行且过点(0，3)的直线方程是y ＝x ＋3；当直线y ＝x ＋b 与以点C(2，3)为圆心、2为半径的圆相切时，有|2－3＋b|2＝2，b ＝1±22．结合图形可知，满足题意的b 的取值范围是[1－22，3]，选D ．12．将一张画了直角坐标系且两轴的长度单位相同的纸折叠一次，使点P(2，0)与点Q(－2，4)重合，若点(5，8)与点(m ，n)重合，则m ＋n 的值为( )A ．4B ．－4C ．13D ．－13 答案 C解析 由于折叠一次后点P(2，0)与点Q(－2，4)重合，所以其折叠线为线段PQ 的对称轴(即线段PQ 的垂直平分线)：y －2＝－－2－24－0(x －0)，即y ＝x ＋2．又点(5，8)与点(m ，n)重合，即点(m ，n)是点(5，8)关于直线y ＝x ＋2的对称点，故8－n5－m ＝－1∴8－n ＝m －5，∴m＋n ＝8＋5＝13．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知A(4，－7，1)，B(6，2，z)，若|AB|＝10，则z ＝________． 答案 1±15 解析 由|AB|＝4－62＋－7－22＋1－z2＝10，解得z ＝1±15．14．过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，则直线l 的斜率为________．答案 1或177解析 由题意知直线要与圆相交，必存在斜率，设为k ，则直线方程为y ＋2＝k(x ＋1)，又圆的方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心为(1，1)，半径为1，∴圆心到直线的距离d ＝|k －1＋k －2|1＋k2＝1－⎝⎛⎭⎪⎫222，解得k ＝1或177． 15．点M 在圆心为C 1的圆C 1：x 2＋y 2＋6x －2y ＋1＝0上，点N 在圆心为C 2的圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＋4y ＋1＝0上，则|MN|的最大值等于________．答案 5＋13解析 把圆的方程都化成标准形式，得(x ＋3)2＋(y －1)2＝9，(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝4． 圆心C 1的坐标是(－3，1)，半径长是3； 圆心C 2的坐标是(－1，－2)，半径长是2． 所以|C 1C 2|＝－3＋12＋1＋22＝13，因此，|MN|的最大值是5＋13．16．直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a<3)相交于两点A ，B ，弦AB 的中点为(0，1)，则直线l 的方程为________．答案 x －y ＋1＝0解析 圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ， ∴圆心为(－1，2)，由(－1，2)与(0，1)连线斜率为k ＝2－1－1－0＝－1，∴所求直线斜率为1，故方程为y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为73的直线l 的方程．解 设直线l 的方程为3x ＋4y ＋m ＝0(m≠1)． 令x ＝0，得直线l 在y 轴上的截距b ＝－m4，令y ＝0，得直线l 在x 轴上的截距a ＝－m3，∴－m 4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 3＝73，解得m ＝－4，∴所求直线l 的方程为3x ＋4y －4＝0．18．(本小题满分12分)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，且E 是棱DD 1的中点，求BE ，A 1E 的长．解 以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．依题意，得B(1，0，0)，E ⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12，A 1(0，0，1)， 所以|BE|＝ 1－02＋0－12＋0－122＝32，|A 1E|＝0－02＋0－12＋1－122＝52．19．(本小题满分12分)平行四边形的两邻边所在直线的方程为x ＋y ＋1＝0及3x －y ＋4＝0，其对角线的交点是D(3，3)，求另两边所在直线的方程．解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，3x －y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－54，y ＝14，即平行四边形给定两邻边的顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，14． 又对角线交点为D(3，3)， 则此对角线上另一顶点为⎝⎛⎭⎪⎫294，234．∵另两边所在直线分别与直线x ＋y ＋1＝0及3x －y ＋4＝0平行， ∴它们的斜率分别为－1及3， 即它们的方程为y －234＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －294及y －234＝3⎝⎛⎭⎪⎫x －294，∴另外两边所在直线方程分别为x ＋y －13＝0和3x －y －16＝0．20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，点(0，1)，(3＋22，0)，(3－22，0)都在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA⊥OB，求a 的值．解 (1)由题意可设圆C 的圆心为(3，t)，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1． 则圆C 的圆心为(3，1)，半径为3－02＋1－12＝3．所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0x －32＋y －12＝9消去y ，得2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0，Δ＝56－16a －4a 2．设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4－a ， x 1x 2＝a 2－2a ＋12①．因为OA⊥OB，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以2x 1x 2＋a(x 1＋x 2)＋a 2＝0②．由①②得a ＝－1，满足Δ>0，故a ＝－1．21．(本小题满分12分)已知点A(a ，0)，B(0，b)(其中a>4，b>4)，直线AB 与圆C ：x 2＋y 2－4x －4y ＋4＝0相切．(1)求证：(a －4)(b －4)＝8； (2)求线段AB 中点M 的轨迹方程．解 (1)证明：由已知得AB 所在的直线方程为x a ＋yb ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0，因为直线AB与圆C ：(x －2)2＋(y －2)2＝4相切，所以|2b ＋2a －ab|a 2＋b 2＝2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b －12ab 2＝a 2＋b 2，展开整理得ab －4a －4b ＋8＝0，即(a －4)(b －4)＝8．(2)设线段AB 的中点M 的坐标为(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2，y ＝b 2(x>2，y>2)，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2x ，b ＝2y(x>2，y>2)，代入(1)中的结果有(2x －4)(2y－4)＝8，即(x －2)(y －2)＝2(x>2，y>2)为所求点M 的轨迹方程．22．(本小题满分12分)矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点M(2，0)，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T(－1，1)在AD 边所在直线上．(1)求矩形外接圆的方程；(2)若斜率为34的直线l 被矩形的外接圆所截得的弦长为4，求直线l 的方程．解 (1)AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，且AD⊥AB，故k AD ＝－3，又点T(－1，1)在直线AD 上，所以直线AD 的方程为y －1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋2＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －6＝0，3x ＋y ＋2＝0，解得点A 的坐标为(0，－2)．又∵矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点M(2，0)，故矩形外接圆的圆心为M ， 又|AM|＝2－02＋2＋02＝22，所以矩形外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8． (2)设直线l 的方程为y ＝34x ＋b ，即3x －4y ＋4b ＝0，则圆心M(2，0)到直线l 的距离为 d ＝|2×3－0×4＋4b|32＋－42＝|6＋4b|5． 圆的半径r ＝22，直线l 被矩形的外接圆所截得的弦长为4，则22＋d 2＝r 2， 即4＋6＋4b225＝8，∴b 2＋3b －4＝0，解得b ＝1或b ＝－4．直线l 的方程为y ＝34x ＋1或y ＝34x －4，即3x －4y ＋4＝0或3x －4y －16＝0．。
高一数学人教A版必修1章末测试：第二章基本初等函数(B)
第二章测评B (高考体验卷)(时间：90分钟 满分：100分) 第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．2log3log( ) A ．0B ．1C ．6D ．log 6232．函数f (x )( ) A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，＋∞)3．下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是( ) A ．yB ．y ＝3xC ．y ＝lg|x |D ．y ＝x 134．已知函数f (x )＝230log 0x x x x ⎧≤⎨>⎩，，，，那么f 18f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值为( ) A ．27B.127C ．－27D ．－1275．设f (x )＝5log 61321x x x x ≥⎧⎨<⎩＋，，－，，则f (f (－1))的值为( )A ．7B ．5C ．6D ．－16．已知a ＝212，b ＝12⎛⎫⎪⎝⎭－0.5，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c <b <a B ．c <a <b C ．b <a <c D ．b <c <a7．若log a 2<0(a >0，且a ≠1)，则函数f (x )＝log a (x ＋1)的图象大致是( )8．一种放射性元素，每年的衰减率是8%，那么a kg的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半所需的时间)t等于()A．lg 0.50.92B．lg0.920.5C.lg0.5lg0.92D.lg0.92lg0.59．已知f(x)是偶函数，它在(0，＋∞)上是减函数，若f(lg x)>f(1)，则x的取值范围是()A.1,110⎛⎫⎪⎝⎭B.10,10⎛⎫⎪⎝⎭∪(1，＋∞) C.1,1010⎛⎫⎪⎝⎭D．(0,1)∪(1，＋∞)10．已知函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)＝12⎛⎫⎪⎝⎭x；当x<4时，f(x)＝f(x＋1)，则f(2＋log23)＝()A.124B.112C.18D.38第Ⅱ卷(非选择题共50分)二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)11．函数f(x)＝12log121xx xx≥⎧⎪⎨⎪<⎩，，，的值域为__________．12．方程331x-＋13＝3x－1的实数解为______．13．设函数f (x )＝0,1,0,2x x x ≥⎨⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎩则f (f (－4))＝______.14．设a >0，且a ≠1，若函数f (x )＝a x 在R 上是减函数，且函数g (x )＝12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭x 3在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是__________．15．定义在R 上的函数f (x )＝lg 010x x x ⎧≠⎪⎨⎪⎩，，，＝，关于x 的方程y ＝c (c 为常数)恰有三个不同的实根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝__________.三、解答题(本大题共4小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(6分)(1)(2013～2014江西南昌高一期中)计算1000081⎛⎫⎪⎝⎭14－0738⎡⎤⎛⎫⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦－1·11230.2538138---⎡⎤⎛⎫⎢⎥+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值． (2)已知幂函数f (x )的图象过点(16,4)，若函数y ＝log a f (x )在[9,25]上的最大值比最小值大1，求实数a 的值．17．(6分)(2013～2014天津南开区高一期中)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)，g (x )＝log a (1－x )(a >0，且a ≠1)．(1)求函数f (x )＋g (x )的定义域；(2)判断函数f (x )＋g (x )的奇偶性，并说明理由； (3)求使f (x )＋g (x )<0成立的x 的集合．18．(6分)(2013～2014浙江温州高一期中)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2，x >1，x 2，－1≤x ≤1，x ＋2，x <－1.(1)求f 52f ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值； (2)画出函数的图象，并根据图象写出函数的值域和单调区间；(3)若方程f (x )＝m 有四个根，求实数m 的取值范围，并求出这四个根的和．19．(7分)(2013～2014辽宁实验中学高一期中)已知函数f (x )＝x 2＋(lg a ＋2)x ＋lg b 满足f(－1)＝－2，且对于任意x∈R，恒有f(x)≥2x成立．(1)求实数a，b的值；(2)不等式f(x)≥4m－15恒成立，求m的取值范围．参考答案1. 解析：要使函数有意义，则010x x ≥⎧⎨>⎩，－，解得0≤x <1，即所求定义域为[0,1)．故选B.答案：B2. 解析：由题知220log (2)0x x >⎧⎨≠⎩－，－，解得221x x >⎧⎨≠⎩，－，即23.x x >⎧⎨≠⎩，所以该函数的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)， 故选C. 答案：C3. 解析：根据指数与对数的运算法则可知， 2lg x ＋lg y ＝2lg x ·2lg y ，故A 错，B 错，C 错； D 中，2lg(xy )＝2lg x ＋lg y ＝2lg x ·2lg y ，故选D. 答案：D4. 解析：由换底公式得log a b ·log c a ＝lg lg b a ·lg lg ac＝log c b ， 所以B 正确． 答案：B5. 解析：∵函数y ＝x 13是幂函数，幂函数在第一象限内恒过点(1,1)，排除A ，D. 当x >1,0<a <1时，y ＝xa 在直线y ＝x 下方，排除C ，选B. 答案：B6. 解析：由f (0)＝0可知函数图象经过原点． 又f (－x )＝f (x )，所以函数图象关于y 轴对称， 故选A. 答案：A7. 解析：根据公式变形，a ＝63lg lg ＝1＋lg2lg3，b ＝lg10lg5＝1＋lg2lg5，c ＝lg14lg7＝1＋lg2lg7，因为lg 7>lg 5>lg 3，所以lg2lg7<lg2lg5<lg2lg3，即c <b <a .故选D. 答案：D8. 解析：因为log 12a ＝－log 2a ，所以f (log 2a )＋f (log 12a )＝f (log 2a )＋f (－log 2a )＝2f (log 2a )，原不等式变为2f (log 2a )≤2f (1)，即f (log 2a )≤f (1)．又因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上递增， 所以|log 2a |≤1，即－1≤log 2a ≤1， 解得12≤a ≤2，故选C. 答案：C9. 解析：由－3≤2x －1≤3得，－1≤x ≤2； 要使函数y ＝lg(x －1)有意义，应令x －1>0， ∴x >1.∴集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x >1}， ∴A ∩B ＝{x |1<x ≤2}． 答案：D10. 解析：由已知，得21212x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，，∴1≤x. ∴log 2x ∈10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.∴y ＝f (x )＋f (x 2)＝2＋log 2x ＋2＋log 2x 2＝4＋3log 2x .∴y ∈114,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 答案：B11. 解析：当x ≥1时，log 12x ≤log 121，即log 12x ≤0，当x <1时，0<2x <21，即0<2x <2；故f (x )的值域为(－∞，2)．答案：(－∞，2)12.解析：原方程整理后变为32x－2·3x－8＝0⇒3x＝4⇒x＝log34. 答案：log3413.解析：∵f(－4)＝12⎛⎫⎪⎝⎭－4＝16，∴f(f(－4))＝f(16)4.答案：414.解析：∵f(x)＝a x在R上是减函数，∴0<a<1.又g(x)＝12a⎛⎫-⎪⎝⎭x3在R上是增函数，∴12－a>0，a<12.∴0<a<12.答案：1 0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭15.解析：函数f(x)的图象如图．方程f(x)＝c有三个根，即y＝f(x)与y＝c的图象有三个交点，易知c＝1，且一根为0. 由lg|x|＝1知另两根为－10和10，∴x1＋x2＋x3＝0.答案：016.解：(1)原式＝144103⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦－(3×1)－1·112134427(3)8---⎡⎤⎛⎫⎢⎥+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝103－13×112331332--⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫+⎢⎥⎨⎬⎪⎝⎭⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭＝103－13×121233-⎛⎫+⎪⎝⎭＝103－13×1＝103－13＝3.(2)设f(x)＝xα，由f(16)＝4，得α＝12，∴f(x).∵x∈[9,25]，∴f(x)∈[3,5]．当0<a<1时，由log a3－log a5＝1，得log a 35＝1，即a＝35符合题意；当a>1时，由log a5－log a3＝1，得log a 53＝1，即a＝53也符合题意．故实数a的值是35或53.17.解：(1)由1010xx>⎧⎨>⎩＋，－，解得－1<x<1，∴函数f(x)＋g(x)的定义域为(－1,1)．(2)∵f(－x)＋g(－x)＝log a(1－x)＋log a(1＋x)＝g(x)＋f(x)，∴函数f(x)＋g(x)为偶函数．(3)由f(x)＋g(x)<0，得log a(x＋1)＋log a(1－x)＝log a[(x＋1)(1－x)]<0.当a>1时，由log a[(x＋1)(1－x)]<0，得(x＋1)(1－x)<1，即x2>0，∴x≠0.又∵x∈(－1,1)，∴使f(x)＋g(x)<0成立的x的集合是{x|－1<x<0，或0<x<1}；当0<a<1时，由log a[(x＋1)(1－x)]<0，得(x＋1)(1－x)>1，即x2<0，∴使f(x)＋g(x)<0成立的x的集合是∅.综上所述，当a>1时，不等式的解集为{x|－1<x<0，或0<x<1}；当0<a<1时，不等式的解集为∅.18.解：(1)f52f⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭＝f12⎛⎫- ⎪⎝⎭＝14.(2)图象如图，由图象得f(x)的值域是(－∞，1]，单调递增区间是(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．(3)因为方程f(x)＝m有四个根，所以根据图象可得实数m的取值范围是0<m<1，由图象判断f(x)是偶函数，所以这四个根的和是0.19.解：(1)由f(－1)＝－2，知lg b－lg a＋1＝0，①∴ab＝10.②又∵f(x)≥2x恒成立，∴x2＋x·lg a＋lg b≥0恒成立，故Δ＝(lg a)2－4lg b≤0.将①式代入上式得(lg b)2－2lg b＋1≤0，即(lg b－1)2≤0，故lg b＝1.解得b＝10，代入②得a＝100.(2)要使f(x)≥4m－15恒成立，只需4m－15≤f(x)min，由(1)知f(x)＝x2＋4x＋1＝(x＋2)2－3≥－3，∴4m－15≤－3，解得m≤3.。
(完整版)必修1第二章基本初等函数测试题
必修1 第二章 基本初等函数测试题一、选择题（每题5分，共35分）1．下列函数与x y =有相同图象的一个函数是（ ）A ．2x y = B ．x x y 2= C ．)10(log ≠>=a a a y x a 且 D ．x a a y log =2．下列函数中是奇函数的有几个（ ） ①11x x a y a +=- ②2lg(1)33x y x -=+- ③x y x = ④1log 1a x y x +=- A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．函数y x =3与y x=--3的图象关于下列那种图形对称( ) A ．x 轴 B ．y 轴 C ．直线y x = D ．原点中心对称4．已知13x x-+=，则3322x x -+值为（ ）A .B .C .D . -5．函数y = ）A ．[1,)+∞B ．2(,)3+∞C ．2[,1]3D ．2(,1]3 6．三个数60.70.70.76log 6，，的大小关系为（ ） A . 60.70.70.7log 66<< B . 60.70.70.76log 6<< C ．0.760.7log 660.7<< D . 60.70.7log 60.76<<7．若f x x (ln )=+34，则f x ()的表达式为（ ）A ．3ln xB ．3ln 4x +C ．3x eD ．34xe + 二、填空题（每题5分，共25分）1．985316,8,4,2,2从小到大的排列顺序是 。
2．化简11410104848++的值等于__________。
3．计算：(log )log log 2222545415-++= 。
4．已知x y x y 224250+--+=，则log ()x x y 的值是_____________。
5．方程33131=++-xx的解是_____________。
三、解答题1．已知),0(56>-=a a x 求x x xx a a a a ----33的值。
(word完整版)人教A版高中数学必修1第二章基本初等函数单元测试题(含参考答案)(2021年整理)
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高一数学单元测试题 必修1第二章《基本初等函数》班级 姓名 序号 得分一．选择题．(每小题5分，共50分）1．若0m >，0n >,0a >且1a ≠,则下列等式中正确的是 ( )A ．()m n m n a a +=B ．11mm a a= C ．log log log ()a a a m n m n ÷=- D 43()mn =2．函数log (32)2a y x =-+的图象必过定点 （ ）A ．(1,2)B ．(2,2)C ．(2,3)D ．2(,2)33．已知幂函数()y f x =的图象过点(2,2,则(4)f 的值为 （ ) A ．1 B ． 2 C ．12D ．84．若(0,1)x ∈，则下列结论正确的是 ( ） A ．122lg xx x >> B ．122lg xx x >> C ．122lg xx x >> D ．12lg 2x x x >>5．函数(2)log (5)x y x -=-的定义域是 （ ) A ．(3,4) B ．(2,5) C ．(2,3)(3,5) D ．(,2)(5,)-∞+∞6．某商品价格前两年每年提高10%，后两年每年降低10%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是( ）A ．减少1.99%B ．增加1.99%C ．减少4%D ．不增不减7．若1005,102a b ==，则2a b += （ ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．38． 函数()lg(101)2x xf x =+-是 （ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．既奇且偶函数D ．非奇非偶函数9．函数2log (2)(01)a y x x a =-<<的单调递增区间是 （ ）A ．(1,)+∞B ．(2,)+∞C ．(,1)-∞D ．(,0)-∞10．已知2log (2)y ax =- （0a >且1a ≠）在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是( ） A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(1,2) D ．[2,)+∞ 一．选择题（每小题5分，共50分)二．填空题．（每小题5分，共25分）11．计算：459log 27log 8log 625⨯⨯= ．12．已知函数3log (0)()2(0)x x x >f x x ⎧=⎨≤⎩，， ,则1[()]3f f = ．13．若3())2f x a xbx =++，且(2)5f =,则(2)f -= ．14．若函数()log (01)f x ax a =<<在区间[,2]a a 上的最大值是最小值的3倍，则a = ． 15．已知01a <<,给出下列四个关于自变量x 的函数：①log x y a =，②2log a y x =， ③31(log )ay x = ④121(log )ay x =．其中在定义域内是增函数的有 ． 三．解答题（6小题,共75分） 16．(12分）计算下列各式的值：（Ⅰ）4160.253216(22)4()849-+-⨯-．（Ⅱ）21log 32393ln(log (log 81)2log log 12543++++-17．（ 12分）已知函数方程2840x x -+=的两根为1x 、2x （12x x <）． （Ⅰ)求2212x x ---的值；(Ⅱ）求112212x x ---的值．18．（共12分)（Ⅰ）解不等式2121()x x a a--> (01)a a >≠且．(Ⅱ)设集合2{|log (2)2}S x x =+≤，集合1{|()1,2}2x T y y x ==-≥-求S T ，S T ．19．( 12分） 设函数421()log 1x x f x x x -⎧<=⎨≥⎩．（Ⅰ）求方程1()4f x =的解．（Ⅱ）求不等式()2f x ≤的解集．20．( 13分）设函数22()log (4)log (2)f x x x =⋅的定义域为1[,4]4,(Ⅰ）若x t 2log =，求t 的取值范围；(Ⅱ）求()y f x =的最大值与最小值，并求出最值时对应的x 的值．21．（14分)已知定义域为R 的函数12()22x x bf x +-+=+是奇函数．（Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）证明函数()f x 在R 上是减函数；（Ⅲ）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围．参考答案一．选择题二．填空题．11． 9． 12． 12． 13． 1-． 14． 4． 15． ③，④．三．解答题：16．（Ⅰ）． 解：原式427272101=⨯+--=．（Ⅱ）解：原式33log (425)3315223223211222log ()25⨯=++⨯+=++⨯-=⨯．17． 解：由条件得：14x =-24x =+．(Ⅰ)221221122121212()()11118()()()16x x x x x x x x x x x x --+-⨯-=+-===． （Ⅱ）1122121x x ---===． 18．解：（Ⅰ）原不等式可化为：212x x a a -->．当1a >时，2121x x x ->-⇔>．原不等式解集为(1,)+∞． 当1a >时，2121x x x -<-⇔<．原不等式解集为(,1)-∞．（Ⅱ)由题设得:{|024}(2,2]S x x =<+≤=-，21{|1()1}(1,3]2T y y -=-<≤-=-．∴(1,2]S T =-， (2,3]S T =-．19．解:（Ⅰ） 11()1424x x f x -<⎧⎪=⇔⎨=⎪⎩(无解）或411log 4x x x ≥⎧⎪⇔=⎨=⎪⎩∴方程1()4f x =的解为x =(Ⅱ）1()222xx f x -<⎧≤⇔⎨≤⎩或41log 2x x ≥⎧⎨≤⎩11x x <⎧⇔⎨≥-⎩或116x x ≥⎧⎨≤⎩． 11x ⇔-≤<或116x ≤≤即116x -≤≤．∴不等式()2f x ≤的解集为：[1,16]-．20．解：（Ⅰ）t 的取值范围为区间221[log ,log 4][2,2]4=-．（Ⅱ）记22()(log 2)(log 1)(2)(1)()(22)y f x x x t t g t t ==++=++=-≤≤．∵231()()24y g t t ==+-在区间3[2,]2--是减函数,在区间3[,2]2-是增函数∴当23log 2t x ==-即322x -==,()y f x =有最小值31()24f g =-=-；当2log 2t x ==即224x ==时,()y f x =有最大值(4)(2)12f g ==．21．解：(Ⅰ)∵()f x 是奇函数，所以1(0)014bf b -==⇔=(经检验符合题设) ．（Ⅱ）由(1)知21()2(21)x x f x -=-+．对12,x x R ∀∈，当12x x <时,总有2112220,(21)(21)0x x x x ->++> ．∴122112121212121122()()()0221212(21)(21)x x x x x x x x f x f x ----=-⋅-=⋅>++++,即12()()f x f x >． ∴函数()f x 在R 上是减函数．（Ⅲ）∵函数()f x 是奇函数且在R 上是减函数，∴22222(2)(2)0(2)(2)(2)f t t f t k f t t f t k f k t -+-<⇔-<--=-． 22221122323()33t t k t k t t t ⇔->-⇔<-=--．（＊) 对于t R ∀∈(*)成立13k ⇔<-．∴k 的取值范围是1(,)3-∞-．。
高中数学人教版必修第二章基本初等函数单元测试卷(B)
第二章 基本初等函数 单元测试卷（B ） 时间：120分钟 分值：150分 第Ⅰ卷(选择题，共60分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案一、选择题(每小题5分，共60分)1．有下列各式：①n a n ＝a ；②若a ∈R ，则(a 2－a ＋1)0＝1；③3x 4＋y 3＝x 43 ＋y ；④3－5＝6(－5)2.其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．32．三个数log 215，20.1,20.2的大小关系是( )A ．log 215<20.1<20.2 B ．log 215<20.2<20.1C ．20.1<20.2<log 215 D ．20.1<log 215<20.23．(2016·理，2)设集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，B ＝{x |x 2－1<0}，则A ∪B ＝( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1，＋∞)D ．(0，＋∞)4．已知2x ＝3y ，则xy ＝( )A.lg2lg3 B.lg3lg2 C ．lg 23 D ．lg 325．函数f (x )＝x ln|x |的图象大致是( )6．若函数f (x )＝3x ＋3－x 与g (x )＝3x －3－x 的定义域均为R ，则( )A ．f (x )与g (x )均为偶函数B ．f (x )为奇函数，g (x )为偶函数C ．f (x )与g (x )均为奇函数D ．f (x )为偶函数，g (x )为奇函数 7．函数y ＝(m 2＋2m －2)x 1m 1 是幂函数，则m ＝( ) A ．1 B ．－3 C ．－3或1 D ．2 8．下列各函数中，值域为(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝2－x 2 B ．y ＝1－2x C ．y ＝x 2＋x ＋1 D ．y ＝31x 1 9．已知函数：①y ＝2x ；②y ＝log 2x ；③y ＝x －1；④y ＝x 12 ；则下列函数图象(第一象限部分)从左到右依次与函数序号的对应顺序是( )A ．②①③④B ．②③①④C ．④①③②D ．④③①② 10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋log 2(2－x ) (x <1)2x －1 (x ≥1)，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．1211．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ (a －2)x ，x ≥2，(12)x －1，x ＜2满足对任意的实数x 1≠x 2都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，138]C ．(－∞，2]D ．[138，2)12．(2016·汉中高一检测)如果一个点是一个指数函数与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”．在下面的五个点M (1,1)，N (1,2)，P (2,1)，Q (2,2)，G (2，12)中，可以是“好点”的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．已知a 12 ＝49(a ＞0)，则log 23a ＝________. 14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ，x ＞0，3x ，x ≤0，则f (f (14))＝________.15．若函数y ＝log 12 (3x 2－ax ＋5)在[－1，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是________. 16．(2016·邵阳高一检测)如图，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y ＝log 22 x ，y ＝x 12 ，y ＝(22)x 的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为________. 三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分) 17．(本小题满分10分)计算：10.25＋(127)－13 ＋(lg3)2－lg9＋1－lg 13＋810.5log 35. 18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(12)ax ，a 为常数，且函数的图象过点(－1,2). (1)求a 的值； (2)若g (x )＝4－x －2，且g (x )＝f (x )，求满足条件的x 的值．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log a (1＋x )，g (x )＝log a (1－x )，(a ＞0，a ≠1).(1)设a ＝2，函数f (x )的定义域为[3,63]，求f (x )的最值；(2)求使f (x )－g (x )＞0的x 的取值范围．20．(本小题满分12分)求使不等式(1a )x 2－8>a －2x 成立的x 的集合(其中a >0，且a ≠1).21．(本小题满分12分)(2016·雅安高一检测)已知函数f (x )＝2x 的定义域是[0,3]，设g (x )＝f (2x )－f (x ＋2)， (1)求g (x )的解析式及定义域； (2)求函数g (x )的最大值和最小值． ．(本小题满分12分)若函数f (x )满足f (log a x )＝a a 2－1·(x －1x )(其中a ＞0且a ≠1). (1)求函数f (x )的解析式，并判断其奇偶性和单调性； (2)当x ∈(－∞，2)时，f (x )－4的值恒为负数，求a 的取值范围．第二章 基本初等函数 单元综合测试二 答案第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．[答案] B [解析] ①n a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ |a |，n 为偶数，a ，n 为奇数(n >1，且n ∈N *)，故①不正确．②a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34>0，所以(a 2－a ＋1)0＝1成立． ③3x 4＋y 3无法化简．④3－5<0，6(－5)2>0，故不相等．因此选B.2．[答案] A[解析] ∵log 215<0,0<20.1<20.2，∴log 215<20.1<20.2，选A.3．[答案] C[解析] A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }＝{y |y >0}．B ＝{x |x 2－1<0}＝{x |－1<x <1}，∴A ∪B ＝{x |x >0}∪{x |－1<x <1}＝{x |x >－1}，故选C.4．[答案] B[解析] 由2x ＝3y 得lg2x ＝lg3y ，∴x lg2＝y lg3，∴x y ＝lg3lg2.5．[答案] A[解析] 由f (－x )＝－x ln|－x |＝－x ln|x |＝－f (x )知，函数f (x )是奇函数，故排除C ，D ，又f (1e )＝－1e <0，从而排除B ，故选A.6．[答案] D[解析] 因为f (－x )＝3－x ＋3x ＝f (x )，g (－x )＝3－x －3x ＝－g (x )，所以f (x )是偶函数，g (x )为奇函数，故选D. 7．[答案] B [解析] 因为函数y ＝(m 2＋2m －2)x 1m 1 是幂函数，所以m 2＋2m －2＝1且m ≠1，解得m ＝－3. 8．[答案] A [解析] A ，y ＝2－x 2 ＝(22)x 的值域为(0，＋∞)． B ，因为1－2x ≥0，所以2x ≤1，x ≤0， y ＝1－2x 的定义域是(－∞，0]， 所以0＜2x ≤1，所以0≤1－2x ＜1， 所以y ＝1－2x 的值域是[0,1)． C ，y ＝x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34的值域是[34，＋∞)， D ，因为1x ＋1∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， 所以y ＝31x 1 的值域是(0,1)∪(1，＋∞)． 9．[答案] D [解析] 根据幂函数、指数函数、对数函数的图象可知选D. 10．[答案] C [解析] f (－2)＝1＋log 2(2－(－2))＝3，f (log 212)＝2log 212－1＝2log 26＝6， ∴f (－2)＋f (log 212)＝9，故选C. 11．[答案] B[解析] 由题意知函数f (x )是R 上的减函数，于是有⎩⎨⎧a －2＜0，(a －2)×2≤(12)2－1，由此解得a ≤138，即实数a 的取值范围是(－∞，138]，选B.12．[答案] C[解析] 设指数函数为y ＝a x (a >0，a ≠1)，显然不过点M 、P ，若设对数函数为y ＝log b x (b >0，b ≠1)，显然不过N 点，选C.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．[答案] 4[解析] ∵a 12 ＝49(a ＞0)，∴(a 12)2＝[(23)2]2，即a ＝(23)4，∴log 23 a ＝log 23(23)4＝4.14．[答案] 19[解析] ∵14＞0，∴f (14)＝log 214＝－2.则f (14)＜0，∴f (f (14))＝3－2＝19.15．[答案] (－8，－6][解析] 令g (x )＝3x 2－ax ＋5，其对称轴为直线x ＝a 6，依题意，有⎩⎨⎧ a 6≤－1，g (－1)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－6，a ＞－8. ∴a ∈(－8，－6]． 16．[答案] (12，14) [解析] 由图象可知，点A (x A,2)在函数y ＝log 22 x 的图象上， 所以2＝log 22 x A ，x A ＝(22)2＝12. 点B (x B,2)在函数y ＝x 12 的图象上， 所以2＝x B 12 ，x B ＝4. 点C (4，y C )在函数y ＝(22)x 的图象上， 所以y C ＝(22)4＝14. 又x D ＝x A ＝12，y D ＝y C ＝14， 所以点D 的坐标为(12，14)． 三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分) 17．[解析] 原式＝10.5＋(3－1)－13 ＋(lg3－1)2－lg3－1＋(34)0.5log 35 ＝2＋3＋(1－lg3)＋lg3＋32log 35 ＝6＋3log 325＝6＋25＝31. 18．[解析] (1)由已知得(12)－a ＝2，解得a ＝1. (2)由(1)知f (x )＝(12)x ，又g (x )＝f (x )，则4－x －2＝(12)x ，即(14)x －(12)x －2＝0，即[(12)x ]2－(12)x －2＝0，令(12)x ＝t ，则t 2－t －2＝0，即(t －2)(t ＋1)＝0，又t >0，故t ＝2，即(12)x ＝2，解得x ＝－1.19．[解析] (1)当a ＝2时，f (x )＝log 2(1＋x )，在[3,63]上为增函数，因此当x ＝3时，f (x )最小值为2.当x ＝63时f (x )最大值为6.(2)f (x )－g (x )＞0即f (x )＞g (x )当a ＞1时，log a (1＋x )＞log a (1－x )满足⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x ＞1－x 1＋x ＞01－x ＞0∴0＜x＜1当0＜a ＜1时，log a (1＋x )＞log a (1－x )满足⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x ＜1－x1＋x ＞01－x ＞0∴－1<x ＜0综上a ＞1时，解集为{x |0＜x ＜1}0＜a ＜1时解集为{x |－1<x ＜0}．20．[解析] ∵(1a )x 2－8＝a 8－x 2，∴原不等式化为a 8－x 2>a －2x .当a >1时，函数y ＝a x 是增函数，∴8－x 2>－2x ，解得－2<x <4；当0<a <1时，函数y ＝a x 是减函数，∴8－x 2<－2x ，解得x <－2或x >4. 故当a >1时，x 的集合是{x |－2<x <4}； 当0<a <1时，x 的集合是{x |x <－2或x >4}． 21．[解析] (1)∵f (x )＝2x ， ∴g (x )＝f (2x )－f (x ＋2) ＝x －2x ＋2. 因为f (x )的定义域是[0,3]，所以0≤2x ≤3,0≤x ＋2≤3，解得0≤x ≤1.于是g (x )的定义域为{x |0≤x ≤1}． (2)设g (x )＝(2x )2－4×2x ＝(2x －2)2－4. ∵x ∈[0,1]，∴2x ∈[1,2]， ∴当2x ＝2，即x ＝1时，g (x )取得最小值－4； 当2x ＝1，即x ＝0时，g (x )取得最大值－3. ．[解析] (1)令log a x ＝t (t ∈R )，则x ＝a t ， ∴f (t )＝a a 2－1(a t －a －t )． ∴f (x )＝a a 2－1(a x －a －x )(x ∈R )． ∵f (－x )＝a a 2－1(a －x －a x )＝－a a 2－1(a x －a －x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数． 当a ＞1时，y ＝a x 为增函数，y ＝－a －x 为增函数，且a 2a 2－1＞0， ∴f (x )为增函数． 当0＜a ＜1时，y ＝a x 为减函数，y ＝－a －x 为减函数，且a 2a 2－1＜0， ∴f (x )为增函数． ∴f (x )在R 上为增函数． (2)∵f (x )是R 上的增函数，∴y ＝f (x )－4也是R 上的增函数．由x＜2，得f(x)＜f(2)，要使f(x)－4在(－∞，2)上恒为负数，只需f(2)－4≤0，即aa2－1(a2－a－2)≤4.∴aa2－1(a4－1a2)≤4，∴a2＋1≤4a，∴a2－4a＋1≤0，∴2－3≤a≤2＋ 3.又a≠1，∴a的取值范围为[2－3，1)∪(1,2＋3]．。
2020高中数学 第二章 函数章末检测试题 新人教B版必修1
第二章检测试题(时间:120分钟满分:150分)【选题明细表】知识点、方法题号函数概念、定义域、值域1,3,7,13,14函数解析式2,10,15,16函数零点4,6,18函数单调性、奇偶性5,8一次函数与二次函数9,10,11,12,17,18函数综合应用及应用问题12,19,20,21,22一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.函数f(x)=(x-)0+的定义域为( C )(A)(-2,) (B)[-2,+∞)(C)[-2,)∪(,+∞) (D)(,+∞)解析:要使函数有意义,则即即x≥-2且x≠,所以函数的定义域为[-2,)∪(,+∞),故选C.2.已知f(x-1)=2x+3,f(m)=6,则m等于( A )(A)- (B)(C) (D)-解析:令t=x-1,所以x=2t+2,f(t)=4t+7,又因为f(m)=6,即4m+7=6,所以m=-,故选A.3.已知函数y=f(x)的定义域和值域分别为[-1,1]和[5,9],则函数y=f(2x+1)的定义域和值域分别为( C )(A)[1,3]和[11,19] (B)[-1,0]和[2,4](C)[-1,0]和[5,9] (D)[-1,1]和[11,19]解析:由题意,函数y=f(x)的定义域和值域分别为[-1,1]和[5,9],即-1≤x≤1,5≤f(x)≤9. 则函数y=f(2x+1)的定义域-1≤2x+1≤1,得-1≤x≤0.值域为5≤f(2x+1)≤9.故选C.4.函数f(x)=x5+x-3的零点落在区间( B )(A)[0,1] (B)[1,2] (C)[2,3] (D)[3,4]解析:f(0)=05+0-3=-3<0,f(1)=15+1-3=-1<0,f(2)=25-1>0,f(3)=35>0, f(4)=45+1>0,所以f(1)·f(2)<0,故选B.5.已知函数f(x)=,g(x)=+,下列判断正确的是( B )(A)函数f(x)是奇函数,函数g(x)是偶函数(B)函数f(x)不是奇函数,函数g(x)是偶函数(C)函数f(x)是奇函数,函数g(x)不是偶函数(D)函数f(x)不是奇函数,函数g(x)不是偶函数解析:因为f(x)的定义域为{x|x≠2},不关于原点对称,所以f(x)为非奇非偶函数.由得-1≤x≤1.又g(-x)=+=g(x),所以g(x)为偶函数.选B.6.已知x0是f(x)=-x的一个正数零点,若x1∈(0,x0),x2∈(x0,+∞),则( C )(A)f(x1)<0,f(x2)<0 (B)f(x1)<0,f(x2)>0(C)f(x1)>0,f(x2)<0 (D)f(x1)>0,f(x2)>0解析:当x>0时,易知f(x)=-x是减函数,又因为f(x0)=0,所以f(x1)>f(x0)=0,f(x2)<f(x0)=0,故选C.7.函数f(x)=(x∈R)的值域是( B )(A)(0,1) (B)(0,1] (C)[0,1) (D)[0,1]解析:对于函数f(x)=,因为x∈R,所以1+x2≥1,所以0<≤1,即值域为(0,1].故选B.8.已知函数g(x)=f(x)-x,若f(x)是偶函数,且f(2)=1,则g(-2)等于( C )(A)1 (B)2 (C)3 (D)-1解析:f(x)是偶函数,且f(2)=1,则f(-2)=1,所以g(-2)=f(-2)-(-2)=3,故选C.9.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列4个结论:①abc>0;②b<a+c;③4a+2b+c>0;④b2-4ac>0;其中正确的结论有( B )(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个解析:①因为抛物线开口向下,所以a<0.因为抛物线的对称轴为x=-=1,所以b=-2a>0.当x=0时,y=c>0,所以abc<0,①错误;②当x=-1时,y<0,所以a-b+c<0,所以b>a+c,②错误;③因为抛物线的对称轴为x=1,所以当x=2时与x=0时,y值相等,因为当x=0时,y=c>0,所以4a+2b+c=c>0,③正确;④因为抛物线与x轴有两个不相同的交点,所以一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根,所以Δ=b2-4ac>0,④正确.综上可知成立的结论有2个.10.已知函数f(x)=x2+ax-3a-9的值域为[0,+∞),则f(1)等于( C )(A)6 (B)-6 (C)4 (D)13解析:f(x)=x2+ax-3a-9=(x+)2-3a-9-≥--3a-9,由题意,得--3a-9=0,a2+12a+36=0,(a+6)2=0,a=-6,所以f(x)=x2-6x+9,f(1)=12-6×1+9=4.故选C.11.函数f(x)=(a-1)x2+2ax+3为偶函数,那么f(x)在区间(-1,1)上的单调性是( C )(A)增函数(B)减函数(C)在(-1,0)上是增函数,在(0,1)上是减函数(D)在(-1,0)上是减函数,在(0,1)上是增函数解析:因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=(a-1)x2-2ax+3=f(x)=(a-1)x2+2ax+3,所以-2a=2a,所以a=0,所以f(x)=-x2+3,所以在区间(-1,1)上,f(x)的单调性为在(-1,0)上是增函数,在(0,1)上是减函数.选C.12.已知函数f(x)的值域为[-,),则函数g(x)=f(x)+的值域为( B )(A)[,] (B)[,1](C)[,1] (D)(0,]∪[,+∞)解析:设t=,则f(x)=(1-t2),因为f(x)∈[-,],所以≤t≤2,则y=+t=-(t-1)2+1=g(t),函数g(t)的对称轴为t=1,当t=1时,g(t)取得最大值为1,当t=2时,g(t)取得最小值为,所以函数g(x)的值域是[,1].故选B.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知函数f(x)、g(x)分别由下表给出:x 1 2 3f(x) 1 3 1g(x) 3 2 1则满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是.解析:由表格,f(g(1))=1,f(g(2))=3,f(g(3))=1,g(f(1))=3, g(f(2))=1,g(f(3))=3,所以满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是2.答案:214.设函数f(x)=若f(f(a))=2,则a= .解析:若a≤0,f(a)=a2+2a+2=(a+1)2+1>0,因此f(f(a))=-[f(a)]2<0,显然此时无解,若a>0,f(a)=-a2,f(f(a))=a4-2a2+2=2,即a4-2a2=0,解得a2=0(舍去)或a2=2,所以a=.答案:15.若定义在(-∞,1)∪(1,+∞)上的函数f(x)满足f(x)+2f()= 2 017-x,则f(2 019)= .解析:f(x)+2f(1+)=2 017-x,当x=2时,f(2)+2f(2 019)=2 015, ①当x=2 019时,f(2 019)+2f(2)=-2, ②①×2-②,得3f(2 019)=4 032,f(2 019)=1 344.答案:1 34416.函数f(x)是定义在R上的奇函数,下列命题:①f(0)=0;②若f(x)在[0,+∞)上有最小值为-1,则f(x)在(-∞,0]上有最大值为1;③若f(x)在[1,+∞)上为增函数,则f(x)在(-∞,-1]上为减函数;④若x>0时,f(x)=x2-2x,则x<0时,f(x)=-x2-2x,其中正确命题的个数是.解析:f(x)为R上的奇函数,则f(0)=0,①正确;其图象关于原点对称,且在对称区间上具有相同的单调性,所以②正确,③不正确;对于④,x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)2-2(-x),又f(-x)=-f(x),所以f(x)=-x2- 2x,即④正确.答案:3三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知f(x)为一次函数,且满足4f(1-x)-2f(x-1) =3x+18,求函数f(x)在[-1,1]上的最大值,并比较f(2 018)与f(2 017)的大小.解:因为f(x)为一次函数,所以f(x)在[-1,1]上是单调函数,所以f(x)在[-1,1]上的最大值为max{f(-1),f(1)}.分别取x=0和x=2,得解得f(1)=10,f(-1)=11,所以函数f(x)在[-1,1]上的最大值为f(-1)=11,最小值为f(1)=10.因为f(1)<f(-1),所以f(x)在[-1,1]上是减函数,所以f(x)在R上是减函数.所以f(2 017)>f(2 018).18.(本小题满分12分)已知一次函数f(x)满足2f(2)-3f(1)=5, 2f(0)-f(-1)=1.(1)求这个函数的解析式;(2)若函数g(x)=f(x)-x2,求函数g(x)的零点.解:(1)设f(x)=kx+b(k≠0),由已知有解得所以f(x)=3x-2.(2)由(1)知g(x)=3x-2-x2,令-x2+3x-2=0,得x=2或x=1.所以函数g(x)的零点是x=2和x=1.19.(本小题满分12分)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时,f(x)=x(2-x).(1)求函数f(x)的解析式,并画出函数f(x)的简图(不需列表);(2)讨论方程f(x)-k=0的根的情况.(只需写出结果,不要解答过程)解:(1)当x<0时,-x>0,故f(-x)=-x(2+x),因为f(x)是偶函数,所以f(x)=f(-x)=-x(2+x),所以f(x)=作出函数图象如图所示.(2)当k=1或k<0时,f(x)=k有两个解;当k=0时,f(x)=k有三个解;当k>1时,f(x)=k无解;当0<k<1时,f(x)=k有四个解.20.(本小题满分12分)某企业为了保护环境,发展低碳经济,在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,新上了一个把二氧化碳处理转化为一种化工产品的项目,经测算,该项目月处理成本y(单位:元)与月处理量x(单位:吨)之间的函数关系可近似地表示为y=且每处理一吨二氧化碳所得的这种化工产品可获利200元,如果该项目不获利,那么亏损额将由国家给予补偿.(1)求x=30时,该项目的月处理成本;(2)当x∈[100,200]时,判断该项目能否获利?如果亏损,那么国家每月补偿数额(单位:元)的范围是多少?解:(1)当x=30时,y=300×30=9 000,所以x=30时,该项目的月处理成本为9 000元.(2)当x∈[100,200]时,设该项目获利为g(x)元,则g(x)=200x-(-10x2+2 000x+4 800)=10x2-1 800x-48 000=10(x-90)2- 129 000,g(x)为单调递增函数,当x=100时,g(x)min=-128 000,当x=200时,g(x)max=-8 000,因此该项目不能获利,故补偿金额的范围是[8 000,128 000].21.(本小题满分12分)设f(x)=x2-2ax+2,当x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a恒成立,求a的取值范围.解:当x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a恒成立,只要求出f(x)在[-1,+∞)上的最小值f(x)min.使f(x)min≥a即可,所以问题转化为求x∈[-1,+∞)时,f(x)的最小值.因为f(x)=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2,x∈[-1,+∞).(1)当a<-1时,f(x)在[-1,+∞)上是单调增函数,所以当x=-1时,f(x)min=f(-1)=2a+3.所以2a+3≥a,所以a≥-3,所以-3≤a<-1. ①(2)当a≥-1时,当x=a时f(x)取最小值,f(x)min=f(a)=2-a2.所以2-a2≥a,即a2+a-2≤0,即(a-1)(a+2)≤0,解得-2≤a≤1,因为a≥-1,所以-1≤a≤1, ②由①②得,a的取值范围为[-3,1].22.(本小题满分12分)函数f(x)=是定义在(-1,1)上的奇函数,且f()=.(1)确定函数f(x)的解析式;(2)用定义证明f(x)在(-1,1)上是增函数;(3)解不等式f(t-1)+f(t)<0.(1)解:依题意得即解得所以f(x)=.(2)证明:任取-1<x1<x2<1,则f(x1)-f(x2)=-=因为-1<x1<x2<1,所以x1-x2<0,1+>0,1+>0.又-1<x1·x2<1,所以1-x1x2>0.所以f(x1)-f(x2)<0.所以f(x)在(-1,1)上是增函数.(3)解:原不等式即f(t-1)<-f(t)=f(-t).因为f(x)在(-1,1)上是增函数,所以-1<t-1<-t<1,解得0<t<.所以原不等式的解集为{t|0<t<}.。
第二章 基本初等函数(Ⅰ)单元测试(B卷提升篇)(人教A版)(解析版)
第二章基本初等函数(Ⅰ)单元测试(B卷提升篇）（人教A版）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（2018秋•焦作期中）素数也叫质数，部分素数可写成“2n﹣1”的形式（n是素数），法国数学家马丁•梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“2n﹣1”形式（n是素数）的素数称为梅森素数．已知第20个梅森素数为P＝24423﹣1，第19个梅森素数为Q＝24253﹣1，则下列各数中与最接近的数为（）（参考数据：lg2≈0.3）A．1045B．1051C．1056D．1059【答案】解：2170．令2170＝k，则lg2170＝lgk，∴170lg2＝lgk，又lg2≈0.3，∴51＝lgk，即k＝1051，∴与最接近的数为1051．故选：B．【点睛】本题考查有理指数幂的运算性质与对数的运算性质，是基础题．2．（2019春•玉林期末）若函数f（x）＝a|2x﹣4|（a＞0，a≠1），满足f（1），则f（x）的单调递减区间是（）A．（﹣∞，2] B．[2，+∞）C．[﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]【答案】解：由f（1），得a2，于是a，因此f（x）＝（）|2x﹣4|．因为g（x）＝|2x﹣4|在[2，+∞）上单调递增，所以f（x）的单调递减区间是[2，+∞）．故选：B．【点睛】本题考查指数函数的单调性，复合函数的单调性，考查计算能力，是基础题．3．（2019•陆良县二模）已知a＝30.2，b＝log64，c＝log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【答案】解：∵a＝30.2＞1，b＝log64，c＝log32，∵1＜log26＜log29，∴1＞b＞c，则a＞b＞c，故选：B．【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．（2018秋•丰县期末）幂函数在（0，+∞）时是减函数，则实数m的值为（）A．2或﹣1 B．﹣1 C．2 D．﹣2或1【答案】解：由于幂函数在（0，+∞）时是减函数，故有，解得m＝﹣1，故选：B．【点睛】本题主要考查幂函数的定义和性质应用，属于基础题．5．（2019•山东模拟）已知函数f（x）＝x﹣4，x∈（0，4），当x＝a时，f（x）取得最小值b，则函数g（x）＝a|x+b|的图象为（）A．B．C．D．【答案】解：∵x∈（0，4），∴x+1＞1∴f（x）＝x﹣4x+15≥25＝1，当且仅当x＝2时取等号，此时函数有最小值1∴a＝2，b＝1，此时g（x）＝2|x+1|，此函数可以看成函数y的图象向左平移1个单位结合指数函数的图象及选项可知A正确故选：A．【点睛】本题主要考察了基本不等式在求解函数的最值中的应用，指数函数的图象及函数的平移的应用是解答本题的关键6．（2018秋•道里区校级月考）若，则（）A．x≥y B．x≤y C．xy≥1 D．xy≤1【答案】解：∵，∴即，令f（x），则f（）∵f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（x）≥f（），∴，∴xy≥1故选：C．【点睛】本题主要考查了利用对数函数的单调性及复合函数单调性的应用，解题的关键是构造函数并能灵活利用函数的单调性．7．（2018秋•开福区校级月考）已知f（x）是定义在R上的单调函数，满足f[f（x）﹣e x]＝1，且f（a）＞f （b）＞e，若log a b+log b a，则a与b的关系是（）A．a＝b3B．b＝a3C．a＝b4D．b＝a4【答案】解：∵f（x）是定义在R上的单调函数，满足f[f（x）﹣e x]＝1，∴f（x）﹣e x是一个常数，设a＝f（x）﹣e x，则f（a）＝1，由a＝f（x）﹣e x，得f（x）＝a+e x，令x＝a，得f（a）＝a+e a＝1，解得a＝0，∵f（a）＞f（b）＞e＝f（1），∴a＞b＞1，∴log b a＞1，∵log a b+log b a，∴log b a，解得log b a＝4或log b a．（舍去），∴a＝b4．故选：C．【点睛】本题考查两个实数的关系的求法，考查对数运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8．（2018春•定州市校级期末）已知函数f（x）＝log a（x2﹣2ax）在[4，5]上为增函数，则a的取值范围是（）A．（1，4）B．（1，4] C．（1，2）D．（1，2]【答案】解：由题意可得g（x）＝x2﹣2ax的对称轴为x＝a①当a＞1时，由复合函数的单调性可知，g（x）在[4，5]单调递增，且g（x）＞0在[4，5]恒成立则∴1＜a＜2②0＜a＜1时，由复合函数的单调性可知，g（x）在[4，5]单调递增，且g（x）＞0在[4，5]恒成立则此时a不存在综上可得，1＜a＜2故选：C．【点睛】本题主要考查了由对数函数及二次函数复合二次的复合函数的单调性的应用，解题中一定要注意对数的真数大于0这一条件的考虑．9．（2019•陆良县一模）已知函数f（x）＝ln（|x|+1），则使得f（x）＞f（2x﹣1）的x的取值范围是（）A．B．C．（1，+∞）D．【答案】解：∵函数f（x）＝ln（|x|+1）为定义域R上的偶函数，且在x≥0时，函数单调递增，∴f（x）＞f（2x﹣1）等价为f（|x|）＞f（|2x﹣1|），即|x|＞|2x﹣1|，两边平方得x2＞（2x﹣1）2，即3x2﹣4x+1＜0，解得x＜1；∴使得f（x）＞f（2x﹣1）的x的取值范围是（，1）．故选：A．【点睛】本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，也考查了转化思想的应用问题，是综合性题目．10．（2019•泸州模拟）设a，b，c都是正数，且3a＝4b＝6c，那么（）A．B．C．D．【答案】解：由a，b，c都是正数，且3a＝4b＝6c＝M，则a＝log3M，b＝log4M，c＝log6M代入到B中，左边，而右边，左边等于右边，B正确；代入到A、C、D中不相等．故选：B．【点睛】考查学生利用对数定义解题的能力，以及换底公式的灵活运用能力．11．（2019春•沙坪坝区校级月考）函数f（x）＝log2（ax2+2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[1，+∞）B．（0，1）C．[﹣1，1] D．[0，1]【答案】解：令g（x）＝ax2+2x+a，因为函数f（x）＝log2（ax2+2x+a）的值域为R，所以g（x）的值域包含（0，+∞）．①当a＝0时，g（x）＝2x，值域为R⊇（0，+∞），成立．②当a≠0时，要使g（x）的值域包含（0，+∞），则，解得0＜a≤1，综上，a∈[0，1]．故选：D．【点睛】本题考查了对数函数的值域，二次函数的性质，二次不等式的解法．考查分析解决问题的能力，属于中档题．12．（2018•保定一模）已知函数f（x）既是二次函数又是幂函数，函数g（x）是R上的奇函数，函数，则h（2018）+h（2017）+h（2016）+…+h（1）+h（0）+h（﹣1）+…h（﹣2016）+h（﹣2017）+h（﹣2018）＝（）A．0 B．2018 C．4036 D．4037【答案】解：函数f（x）既是二次函数又是幂函数，∴f（x）＝x2，∴f（x）+1为偶函数；函数g（x）是R上的奇函数，m（x）为定义域R上的奇函数；函数，∴h（x）+h（﹣x）＝[1]+[1]＝[]+2＝2，∴h（2018）+h（2017）+h（2016）+…+h（1）+h（0）+h（﹣1）+…+h（﹣2016）+h（﹣2017）+h（﹣2018）＝[h（2018）+h（﹣2018）]+[h（2017）+h（﹣2017）]+…+[h（1）+h（﹣1）]+h（0）＝2+2+…+2+1＝2×2018+1＝4037．故选：D．【点睛】本题考查了函数的奇偶性与应用问题，是中档题．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（2019春•福州期末）已知函数y＝3a x﹣9（a＞0且a≠1）恒过定点A（m，n），则log m n＝．【答案】解：∵函数y＝3a x﹣9（a＞0且a≠1）恒过定点A（m，n），∴m﹣9＝0，n＝3，则log m n＝log93，故答案为：．【点睛】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题．14．（2019•吉安一模）函数f（x）＝log a（3x﹣2）+2（a＞0且a≠1）恒过的定点坐标为（1，2）．【答案】解：由于函数y＝log a x过定点（1，0），即x＝1，y＝0故函数f（x）＝log a（3x﹣2）+2（a＞0且a≠1）中，令3x﹣2＝1，可得x＝1，y＝2，所以恒过定点（1，2），故答案为：（1，2）．【点睛】本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，利用了函数y＝log a x过定点（1，0），属于基础题．15．（2019春•中原区校级月考）已知幂函数f（x）＝x a（a∈R）的图象经过点（8，4），则不等式f（6x+3）≤9的解集为[﹣5，4]．【答案】解：幂函数f（x）＝x a（a∈R）的图象经过点（8，4），则8a＝4，解得a，∴f（x），是定义域R上的偶函数，且在[0，+∞）上为增函数，∴不等式f（6x+3）≤9可化为|6x+3|≤27，解得﹣27≤6x+3≤27，即﹣5≤x≤4；∴不等式的解集为[﹣5，4]．故答案为：[﹣5，4]．【点睛】本题考查了幂函数的定义与应用问题，也考查了偶函数的应用问题，是基础题．16．（2018秋•辛集市校级期中）已知不等式对任意x∈R恒成立，则实数m的取值范围是﹣3＜m＜5．【答案】解：不等式等价为，即x2+x＜2x2﹣mx+m+4恒成立，∴x2﹣（m+1）x+m+4＞0恒成立，即△＝（m+1）2﹣4（m+4）＜0，即m2﹣2m﹣15＜0，解得﹣3＜m＜5，故答案为：﹣3＜m＜5．【点睛】本题主要考查指数不等式和一元二次不等式的解法，利用指数函数的单调性是解决本题的关键．三．解答题（共6小题，满分70分，17题10分，18-22题每小题12分）17．（2018春•沭阳县期中）计算：（1）；（2）已知x+x﹣1＝3，（0＜x＜1），求．【答案】解：（1）原式．（2）因为x2+x﹣2＝（x+x﹣1）2﹣2＝7，又因为，，所以所以．【点睛】本题考查了对数和指数幂的运算性质，属于基础题．18．（2018秋•驻马店期中）已知幂函数f（x）＝x（3﹣k）k（k∈Z）在（0，+∞）上为增函数（1）求实数k的值，并写出相应的函数f（x）的解析式；（2）若函数g（x）＝mf（x）+mx+1在区间[0，1]上的最大值为5，求出m的值．【答案】解：（1）∵幂函数f（x）＝x（3﹣k）k（k∈Z）在（0，+∞）上为增函数，∴k（3﹣k）＞0，解得0＜k＜3∵k∈Z，∴k＝1或k＝2k＝1或k＝2时，f（x）＝x2满足题意．∴f（x）＝x2（2）∵f（x）＝x2，∴g（x）＝mx2+mx+1，m＝0时，g（x）＝1不合题意，m≠0时，函数g（x）的对称轴为直线x，函数g（x）在x∈[0，1]时是单调函数．或，解得m＝2．【点睛】本题考查了幂函数的单调性，二次函数的单调性及其应用，属中档题．19．（2018秋•潼关县期末）已知函数f（x）＝（a2﹣2a﹣2）a x是指数函数．（1）求f（x）的表达式；（2）判断F（x）＝f（x）的奇偶性，并加以证明；（3）解不等式：log a（1+x）＜log a（2﹣x）．【答案】解：（1）a2﹣2a﹣2＝1，可得a＝3或a＝﹣1（舍去），∴f（x）＝3x；（2）F（x）＝f（x）3x+3﹣x，∴F（﹣x）＝F（x），∴F（x）是偶函数；（3）不等式：log a（1+x）＜log a（2﹣x）即log3（1+x）＜log3（2﹣x）．可化为：2﹣x＞1+x＞0，∴﹣1＜x，即不等式：log a（1+x）＜log a（2﹣x）的解集为{x|﹣1＜x}．【点睛】本题考查指数函数，考查函数的奇偶性，考查不等式的解法，属于中档题20．（2018秋•南京期中）已知函数y＝f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）＝x2+2ax+1，（a为常数）．（1）当x＜0时，求f（x）的解析式：（2）设函数y＝f（x）在[0，5]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式；（3）对于（2）中的g（a），试求满足g（8m）＝g（）的所有实数m的取值集合．【答案】解：（1）设x＜0，则﹣x＞0，所以f（﹣x）＝（﹣x）2+2a（﹣x）+1＝x2﹣2ax+1；又因为f（x）为偶函数，所以f（﹣x）＝f（x），所以当x＜0时，f（x）＝x2﹣2ax+1；…………（4分）（2）当x∈[0，5]时，f（x）＝x2+2ax+1，对称轴x＝﹣a，①当﹣a，即a时，g（a）＝f（0）＝1；②当﹣a，即a时，g（a）＝f（5）＝10a+26；综上所述，g（a）；…………（10分）（3）由（2）知g（a），当a时，g（a）为常函数；当a时，g（a）为一次函数且为增函数；因为g（8m）＝g（），所以有或，解得m或，即m的取值集合为{m|m或m}．……（16分）另解（3）①当8m，有m，所以∈（，0），则或，解得m或m，取并集得m；②当8m，有m，所以∈（﹣∞，]∪[0，+∞），则或；解得m或m（舍负）；综上所述，m的取值集合为{m|m或m}．【注：最后结果不写集合不扣分】．【点睛】本题考查了函数的定义与应用问题，也考查了分类讨论和转化思想的应用问题，是综合题．21．（2018秋•青浦区期末）定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数f（x）＝1+a•（）x+（）x（1）当a＝1，求函数f（x）在（﹣∞，0）上的值域，并判断函数f（x）在（﹣∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；（2）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．【答案】解：（1）当a＝1时，f（x）＝1+1•（）x+（）x．令t＝•（）x，由x＜0 可得t＞1，f（x）＝h（t）＝t2+t+1，∵h（t）在（1，+∞）上单调递增，故f（t）＞f（1）＝3，故不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立，故函数f（x）在（﹣∞，0）上不是有界函数．（2）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，则当x≥0时，|f（x）|≤3恒成立．故有﹣3≤f（x）≤3，即﹣3≤1+a•（）x+（）x≤3，即﹣4a2，∴[﹣4•2x]≤a≤[2•2x]．∴当x＝0时，[﹣4•2x]的最大值为﹣4﹣1＝﹣5，[2•2x]的最小值为2﹣1＝1，故有﹣5≤a≤1，即a的范围为[﹣5，1]．【点睛】本题主要考查指数函数的性质、新定义，函数的恒成立问题，求函数的值域，属于中档题．22．（2018秋•秦州区校级期末）已知函数f（x）的图象关于原点对称，其中a为常数．（1）求a的值；（2）当x∈（1，+∞）时，f（x）（x﹣1）＜m恒成立，求实数m的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）（x+k）在[2，3]上有解，求k的取值范围．【答案】解：（1）函数f（x）的图象关于原点对称，∴f（x）+f（﹣x）＝0，即0，∴（）＝0，∴1恒成立，即1﹣a2x2＝1﹣x2，即（a2﹣1）x2＝0恒成立，所以a2﹣1＝0，解得a＝±1，又a＝1时，f（x）无意义，故a＝﹣1；（2）x∈（1，+∞）时，f（x）（x﹣1）＜m恒成立，即（x﹣1）＜m，∴（x+1）＜m在（1，+∞）恒成立，由于y（x+1）是减函数，故当x＝1，函数取到最大值﹣1，∴m≥﹣1，即实数m的取值范围是m≥﹣1；（3）f（x）在[2，3]上是增函数，g（x）（x+k）在[2，3]上是减函数，∴只需要即可保证关于x的方程f（x）（x+k）在[2，3]上有解，下解此不等式组．代入函数解析式得，解得﹣1≤k≤1，即当﹣1≤k≤1时关于x的方程f（x）（x+k）在[2，3]上有解．【点睛】本题考查函数恒成立问题的解法及对数函数性质的综合运用，属于有一定难度的题，本题考查了数形结合的思想，转化化归的思想，属于灵活运用知识的好题。
高中人教A版数学必修1单元测试：第二章 基本初等函数(Ⅰ)(二)B卷 Word版含解析
高中同步创优单元测评B 卷 数 学班级：________ 姓名：________ 得分：________第二章 基本初等函数(Ⅰ)(二) (对数与对数函数、幂函数)名校好题·能力卷](时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y ＝log a (x ＋2)＋1的图象过定点( ) A ．(1,2) B ．(2,1) C ．(－2,1)D ．(－1,1)2．若2lg(x －2y )＝lg x ＋lg y (x >0，y >0)则yx 的值为( ) A ．4 B ．1或14 C ．1或4 D.143．下列函数中与函数y ＝x 相等的函数是( ) A ．y ＝(x )2 B ．y ＝x 2C ．y ＝2log 2xD ．y ＝log 22x4．函数y ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋x －1的图象关于( )A ．原点对称B ．y 轴对称C ．x 轴对称D ．直线y ＝x 对称5．下列关系中正确的是( )A ．log 76<ln 12<log 3π B ．log 3π<ln 12<log 76 C ．ln 12<log 76<log 3πD ．ln 12<log 3π<log 766．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，2x ，x ≤0.则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫127的值为( )A.18 B ．4 C ．2 D.147．函数y ＝ax 2＋bx 与y ＝log ba x (ab ≠0，|a |≠|b |)在同一直角坐标系中的图象可能是( )8．若函数y ＝(m 2＋2m －2)x m 为幂函数且在第一象限为增函数，则m 的值为( )A ．1B ．－3C ．－1D ．39．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的反函数，其图象经过点(a ，a )，则f (x )＝( )A ．log 2xB ．log 12x C.12x D ．x 210．函数f (x )＝log 12(x 2－3x ＋2)的递减区间为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32 B ．(1,2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ D ．(2，＋∞)11．函数f (x )＝lg(kx 2＋4kx ＋3)的定义域为R ，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34 D ．(－∞，0]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞ 12．设a >0且a ≠1，函数f (x )＝log a |ax 2－x |在3,4]上是增函数，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫16，14∪(1，＋∞) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，14∪(1，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，16∪(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14∪(1，＋∞) 第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)13．计算27－13＋lg 0.01－ln e ＋3log 32＝________.14．函数f (x )＝lg(x －1)＋5－x 的定义域为________．15．已知函数f (x )＝log 3(x 2＋ax ＋a ＋5)，f (x )在区间(－∞，1)上是递减函数，则实数a 的取值范围为________．16．已知下列四个命题：①函数f (x )＝2x 满足：对任意x 1，x 2∈R且x 1≠x 2都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<12f (x 1)＋f (x 2)]；②函数f (x )＝log 2(x ＋1＋x 2)，g (x )＝1＋22x －1不都是奇函数；③若函数f (x )满足f (x －1)＝－f (x ＋1)，且f (1)＝2，则f (7)＝－2；④设x 1，x 2是关于x 的方程|log a x |＝k (a >0且a ≠1)的两根，则x 1x 2＝1.其中正确命题的序号是________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(1)计算lg 25＋lg 2×lg 500－12lg 125－log 29×log 32；(2)已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，试用a ，b 表示log 125.18.(本小题满分12分) 已知函数f (x )＝lg(3x －3)． (1)求函数f (x )的定义域和值域；(2)设函数h (x )＝f (x )－lg(3x ＋3)，若不等式h (x )>t 无解，求实数t 的取值范围．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x－2m 2＋m ＋3(m ∈Z )为偶函数，且f (3)<f (5)．(1)求m 的值，并确定f (x )的解析式；(2)若g (x )＝log a f (x )－2x ](a >0且a ≠1)，求g (x )在(2,3]上的值域．20．(本小题满分12分) 已知函数f (x )＝lg kx －1x －1(k ∈R )．(1)若y ＝f (x )是奇函数，求k 的值，并求该函数的定义域； (2)若函数y ＝f (x )在10，＋∞)上是增函数，求k 的取值范围．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log 31－x1－mx (m ≠1)是奇函数．(1)求函数y ＝f (x )的解析式； (2)设g (x )＝1－x1－mx，用函数单调性的定义证明：函数y ＝g (x )在区间(－1,1)上单调递减；(3)解不等式f (t ＋3)<0.22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log 4(4x ＋1)＋kx (k ∈R )是偶函数． (1)求实数k 的值；(2)设g (x )＝log 4(a ·2x ＋a )，若f (x )＝g (x )有且只有一个实数解，求实数a 的取值范围．详解答案第二章 基本初等函数(Ⅰ)(二) (对数与对数函数、幂函数)名校好题·能力卷]1．D 解析：由对数函数恒过定点(1,0)知，函数y ＝log a (x ＋2)＋1的图象过定点(－1,1)．2．B 解析：由对数的性质及运算知，2lg(x －2y )＝lg x ＋lg y 化简为lg(x －2y )2＝lg xy ，即(x －2y )2＝xy ，解得x ＝y 或x ＝4y .所以yx 的值为1或14.故选B.3．D 解析：函数y ＝x 的定义域为R .A 中，y ＝(x )2定义域为0，＋∞)；B 中，y ＝x 2＝|x |；C 中，y ＝2log 2x ＝x ，定义域为(0，＋∞)；D 中，y ＝log 22x ＝x ，定义域为R .所以与函数y ＝x 相等的函数为y ＝log 22x .4．A 解析：函数y ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋x －1的定义域为(－1,1)．又设f (x )＝y ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋x －1＝lg 1－x 1＋x ，所以f (－x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 1－x ＝－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝－f (x )， 所以函数为奇函数，故关于原点对称．5．C 解析：由对数函数图象和性质，得0<log 76<1，ln 12<0，log 3π>1.所以ln 12＜log 76＜log 3π.故选C.6．A 解析：∵127>0∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫127＝log 3127＝－3，∵－3<0，f (－3)＝2－3＝18.故选A.7．D 解析：A 中，由y ＝ax 2＋bx 的图象知，a >0，ba <0，由y ＝log b ax 知，ba >0，所以A 错； B 中，由y ＝ax 2＋bx 的图象知，a <0，b a <0，由y ＝log b ax 知，ba >0，所以B 错；C 中，由y ＝ax 2＋bx 的图象知，a <0，－b a <－1，∴ba >1，由y ＝logb ax 知0<ba <1，所以C 错．故选D.8．A 解析：因为函数y ＝(m 2＋2m －2)x m 为幂函数且在第一象限为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －2＝1，m >0，解得m ＝1.故选A.9．B 解析：因为函数y ＝f (x )图象经过点(a ，a )，所以函数y ＝a x(a >0且a ≠1)过点(a ，a )，所以a ＝a a即a ＝12，故f (x )＝log 12x .10．D 解析：令t ＝x 2－3x ＋2，则当t ＝x 2－3x ＋2>0时，解得x ∈(－∞，1)∪(2，＋∞)．且t ＝x 2－3x ＋2在区间(－∞，1)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增；又y ＝log 12t 在其定义域上为单调递减的，所以由复合函数的单调性知，f (x )＝log 12(x 2－3x ＋2)单调递减区间是(2，＋∞)．11．B 解析：因为函数f (x )＝lg(kx 2＋4kx ＋3)的定义域为R ，所以kx 2＋4kx ＋3>0，x ∈R 恒成立．①当k ＝0时，3>0恒成立，所以k ＝0适合题意．②⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ<0，即0<k <34.由①②得0≤k <34.故选B.解题技巧：本题实际上考查了恒成立问题，解决本题的关键是让真数kx 2＋4kx ＋3>0，x ∈R 恒成立．12．A 解析：令u (x )＝|ax 2－x |，则y ＝log a u ，所以u (x )的图象如图所示．当a >1时，由复合函数的单调性可知，区间3,4]落在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12a 或⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上，所以4≤12a 或1a <3，故有a >1；当0<a <1时，由复合函数的单调性可知，3,4]⊆⎣⎢⎡⎭⎪⎫12a ，1a ，所以12a ≤3且1a >4，解得16≤a <14.综上所述，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫16，14∪(1，＋∞)．13．－16 解析：原式＝13－2－12＋2＝－16.14．(1,5] 解析：要使函数f (x )＝lg(x －1)＋5－x 有意义，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，5－x ≥0即可．解得1<x ≤5，所以函数f (x )＝lg(x －1)＋5－x 的定义域为(1,5]．15．－3，－2] 解析：令g (x )＝x 2＋ax ＋a ＋5，g (x )在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－a 2是减函数，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，＋∞是增函数．而f (x )＝log 3t ，t ∈(0，＋∞)是增函数．由复合函数的单调性，得⎩⎨⎧－a 2≥1，g (1)≥0，解得－3≤a ≤－2.解题技巧：本题主要考查了复合函数的单调性，解决本题的关键是在保证真数g (x )>0的条件下，求出g (x )的单调增区间．16．①③④ 解析：①∵指数函数的图象为凹函数，∴①正确； ②函数f (x )＝log 2(x ＋1＋x 2)定义域为R ，且f (x )＋f (－x )＝log 2(x ＋1＋x 2)＋log 2(－x ＋1＋x 2)＝log 21＝0，∴f (x )＝－f (－x )，∴f (x )为奇函数．g (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且g (x )＝1＋22x －1＝2x ＋12x －1，g (－x )＝2－x ＋12－x －1＝1＋2x1－2x＝－g (x )，∴g (x )是奇函数．②错误；③∵f (x －1)＝－f (x ＋1)，∴f (7)＝f (6＋1)＝－f (6－1)＝－f (5)，f (5)＝f (4＋1)＝－f (4－1)＝－f (3)，f (3)＝－f (1)，∴f (7)＝－f (1)，③正确；④|log a x |＝k (a >0且a ≠1)的两根，则log a x 1＝－log a x 2，∴log a x 1＋log a x 2＝0，∴x 1·x 2＝1.∴④正确．17．解：(1)原式＝lg 25＋lg 5·lg 2＋2lg 2＋lg 5－log 39 ＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋2lg 2＋lg 5－2 ＝2(lg 5＋lg 2)－2 ＝0.(2)log 125＝lg 5lg 12＝lg 102lg 3×4＝lg 10－lg 2lg 3＋lg 4＝1－lg 2lg 3＋2lg 2，lg 2＝a ，lg 3＝b ，log 125＝1－lg 2lg 3＋2lg 2＝1－ab ＋2a.18．解：(1)由3x －3>0解得x >1，所以函数f (x )的定义域为(1，＋∞)．因为(3x －3)∈(0，＋∞)，所以函数f (x )的值域为R .(2)因为h (x )＝lg(3x －3)－lg(3x＋3)＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －33x ＋3＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－63x ＋3的定义域为(1，＋∞)，且在(1，＋∞)上是增函数，所以函数的值域为(－∞，0)．所以若不等式h (x )>t 无解，则t 的取值范围为0，＋∞)． 19．解：(1)因为f (3)<f (5)，所以由幂函数的性质得，－2m 2＋m ＋3>0，解得－1<m <32.因为m ∈Z ，所以m ＝0或m ＝1.当m ＝0时，f (x )＝x 3它不是偶函数．当m ＝1时，f (x )＝x 2是偶函数．所以m ＝1，f (x )＝x 2.(2)由(1)知g (x )＝log a (x 2－2x )，设t ＝x 2－2x ，x ∈(2,3]，则t ∈(0,3]，此时g (x )在(2,3]上的值域就是函数y ＝log a t 在t ∈(0,3]上的值域． 当a >1时，y ＝log a t 在区间(0,3]上是增函数，所以y ∈(－∞，log a 3]； 当0<a <1时，y ＝log a t 在区间(0,3]上是减函数，所以y ∈log a 3，＋∞)．所以当a >1时，函数g (x )的值域为(－∞，log a 3]；当0<a <1时，g (x )的值域为log a 3，＋∞)．20．解：(1)因为f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即lg －kx －1－x －1＝－lg kx －1x －1， ∴－kx －1－x －1＝x －1kx －1，1－k 2x 2＝1－x 2， ∴k 2＝1，k ＝±1，而k ＝1不合题意舍去，∴k ＝－1.由－x －1x －1>0，得函数y ＝f (x )的定义域为(－1,1)． (2)∵f (x )在10，＋∞)上是增函数，∴10k －110－1>0，∴k >110. 又f (x )＝lg kx －1x －1＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫k ＋k －1x －1， 故对任意的x 1，x 2，当10≤x 1<x 2时，恒有f (x 1)<f (x 2)，即lg ⎝⎛⎭⎪⎫k ＋k －1x 1－1<lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋k －1x 2－1， ∴k －1x 1－1<k －1x 2－1，∴(k －1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1－1x 2－1<0， 又∵1x 1－1>1x 2－1，∴k －1<0，∴k <1. 综上可知k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫110，1. 解题技巧：本题主要考查了对数型函数的性质，解决本题的关键是充分利用好奇偶性和单调性．21．(1)解：由题意得f (－x )＋f (x )＝0对定义域中的x 都成立，所以log 31＋x 1＋mx ＋log 31－x 1－mx ＝0，即1＋x 1＋mx ·1－x 1－mx＝1， 所以1－x 2＝1－m 2x 2对定义域中的x 都成立，所以m 2＝1，又m ≠1，所以m ＝－1，所以f (x )＝log 31－x 1＋x. (2)证明：由(1)知，g (x )＝1－x 1＋x， 设x 1，x 2∈(－1,1)，且x 1<x 2，则x 1＋1>0，x 2＋1>0，x 2－x 1>0.因为g (x 1)－g (x 2)＝2(x 2－x 1)(1＋x 1)(1＋x 2)>0，所以g (x 1)>g (x 2)， 所以函数y ＝g (x )在区间(－1,1)上单调递减．(3)解：函数y ＝f (x )的定义域为(－1,1)，设x 1，x 2∈(－1,1)，且x 1<x 2，由(2)得g (x 1)>g (x 2)，所以log 3g (x 1)>log 3g (x 2)，即f (x 1)>f (x 2)，所以y ＝f (x )在区间(－1,1)上单调递减．因为f (t ＋3)<0＝f (0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1<t ＋3<1，t ＋3>0， 解得－3<t <－2.故不等式的解集为(－3，－2)．22．解：(1)由函数f (x )是偶函数可知f (x )＝f (－x )，∴log 4(4x ＋1)＋kx ＝log 4(4－x ＋1)－kx ，化简得log 44x ＋14－x ＋1＝－2kx ， 即x ＝－2kx 对一切x ∈R 恒成立，∴k ＝－12.(2)函数f (x )与g (x )的图象有且只有一个公共点，即方程log 4(4x＋1)－12x ＝log 4(a ·2x ＋a )有且只有一个实根， 化简得方程2x＋12x ＝a ·2x ＋a 有且只有一个实根，且a ·2x ＋a >0成立，则a >0.令t ＝2x >0，则(a －1)t 2＋at －1＝0有且只有一个正根．设g (t )＝(a －1)t 2＋at －1，注意到g (0)＝－1<0，所以①当a ＝1时，有t ＝1，符合题意；②当0<a <1时，g (t )图象开口向下，且g (0)＝－1<0，则需满足⎩⎨⎧ t 对称轴＝－a 2(a －1)>0，Δ＝0，此时有a ＝－2＋22或a ＝－2－22(舍去)；③当a >1时，又g (0)＝－1，方程恒有一个正根与一个负根，符合题意．综上可知，a 的取值范围是{－2＋22}∪1，＋∞)．。
人教B版数学高一版必修1练习第二章函数测评(B卷)
第二章 函数测评(B 卷)【说明】 本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题栏内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答，共120分，考试时间90分钟．第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．设M ＝{x|0≤x≤2}，N ＝{y|0≤y≤2}，给出下列4个图形，其中能表示定义域M 到值域N 的函数关系的有A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．已知f(1－x1＋x )＝x ，则f(x)的表达式为A.x ＋1x －1 B.1－x 1＋x C.1＋x 1－x D.2xx ＋13．已知奇函数f(x)在实数集上是减函数，且对实数a 满足f(a)＋f(a 2)>0，则a 的取值范围是A ．a<－1B ．a>1C ．0<a<1D ．－1<a<0 4．函数f(x)对于任意x∈R，都有f(x ＋1)＝2f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则f(－1.5)的值是A.116B.18C.14 D ．－1545．下图中的图象所表示的函数解析式为A ．y ＝32|x －1|(0≤x≤2)B ．y ＝32－32|x －1|(0≤x≤2)C ．y ＝32－|x －1|(0≤x≤2) D ．y ＝1－|x －1|(0≤x≤2)6．若函数y ＝(2m －3)x ＋(3n ＋1)的图象经过第一、二、三象限，则m 与n 的取值范围分别是A ．m>32，n>－13B ．m>3，n>－3C ．m<32，n<－13D ．m>32，n<137．设函数f(x)＝x 3＋bx ＋c 是[－1,1]上的增函数，且f(－12)·f(12)<0，则方程f(x)＝0在[－1,1]内A ．可能有三个实数根B ．可能有两个实数根C ．有唯一的实数根D ．无实数根 8．已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上是单调递增函数，若f(x 1)>f(x 2)，则下列结论一定成立的是A ．x 1>x 2B ．x 1＋x 2>0C ．x 1<x 2D ．x 21>x 229．已知二次函数f(x)＝x 2＋x ＋a(a>0)，若f(m)<0，则f(m ＋1)的值是A ．正数B ．负数C ．零D ．符号与a 有关10．直角梯形ABCD 如图(1)所示，动点P 从B 点出发，由B→C→D→A 沿边运动，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为f(x)．如果函数y ＝f(x)的图象如图(2)所示，则△ABC 的面积为A ．10B ．16C ．18D ．32第Ⅱ卷(非选择题 共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案需填在题中横线上)11．函数y ＝ 3x ＋2＋1x －2的定义域为__________．12．已知函数f(x)＝x 2－|x|，若f(－m 2－1)<f(2)，则实数m 的取值范围是__________．13．已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x≤0，－2x ，x>0，若f(x)＝10，则x ＝__________.14．已知f(x)＝ax 2＋bx ，ab≠0，且f(x 1)＝f(x 2)＝2 008，则f(x 1＋x 2)＝__________.三、解答题(本大题共5小题，共54分.15～17题每小题10分，18～19题每小题12分．解答应写出必要的文字说明，解题步骤或证明过程)15．已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x<1，x 2－2x ，x≥1.(1)试比较f[f(－3)]与f[f(3)]的大小；(2)求满足f(x)＝3的x 的值．16．已知函数y ＝f(x)的图象由下图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求此函数的解析式．17.已知某种商品涨价x 成(1成＝10%)时，每天的销售量减少45x 成．(1)应该涨价多少，才能使每天的营业额(售出的总金额)最大？(2)如果适当地涨价，能使每天的营业额增加，求x 的取值范围．18．一块电路板的线段AB 之间等距均衡地设有64个串联的焊接点，如图所示，如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致，要想快速检验出哪一处焊口脱落，问至多需要检测的次数是多少？19．设函数f(x)对于任意x 、y∈R，都有f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)，且x>0时，f(x)<0，f(1)＝－2.(1)证明f(x)为奇函数；(2)证明f(x)在R 上为减函数；(3)若f(2x ＋5)＋f(6－7x)>4，求x 的取值范围．答案与解析1．C2．B 方法一：令x ＝0，x ＝1，根据f(1)＝0，f(0)＝1检验；方法二：换元法，令1－x 1＋x ＝t ，则x ＝1－t1＋t ，∴f(t)＝1－t 1＋t ，即f(x)＝1－x1＋x.3．D4.A 2f(－1.5)＝f(－1.5＋1)＝f(－0.5)，2f(－0.5)＝f(0.5)，f(0.5)＝0.5×(1－0.5)＝14，∴f(－1.5)＝14f(0.5)＝116.5．B 6.A 7.C8．D 由条件，知f(|x 1|)>f(|x 2|)，∴|x 1|>|x 2|. ∴x 21>x 22.9．A f(x)＝x 2＋x ＋a ＝(x ＋12)2＋a －14，它的图象是以x ＝－12为对称轴，开口向上的抛物线，又f(0)＝a>0，且f(m)<0， ∴－1<m<0.∴0<m＋1<1. ∴f(m＋1)>0.10．B 由题图(2)知，BC ＝4，CD ＝5，DA ＝5，过D 作DE⊥AB 于E ，则AE ＝52－42＝3，AB ＝3＋5＝8，∴S △ABC ＝12×8×4＝16.11．{x|x≥－23且x≠2}12．(－1,1) f(x)＝x 2－|x|＝|x|2－|x|，f(2)＝2，f(－m 2－1)＝|1＋m 2|2－|1＋m 2|，∴|1＋m 2|2－|1＋m 2|－2<0，解得－1<|1＋m 2|<2，即|1＋m 2|<2， 解得－1<m<1. 13．－314．0 由题意，知x 1、x 2是方程ax 2＋bx －2 008＝0的两个实根，∴x 1＋x 2＝－b a ，故f(x 1＋x 2)＝f(－b a )＝a(－b a )2＋b(－ba )＝0.15．解：(1)∵f[f(－3)]＝f(7)＝72－2×7＝35，f[f(3)]＝f(3)＝32－2×3＝3，∴f[f(－3)]>f[f(3)]．(2)当x<1时，f(x)＝3，即－2x ＋1＝3， ∴x＝－1；当x≥1时，f(x)＝3，即x 2－2x ＝3， ∴x 2－2x －3＝0， 即(x －3)(x ＋1)＝0.∴x＝3或x ＝－1(舍去)．综上知，当x ＝－1或3时，f(x)＝3.16．解：设左侧射线对应的函数解析式为y ＝kx ＋b. ∵点(1,1)、(0,2)在该射线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝1，b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝2.∴左侧射线对应的函数解析式为y ＝－x ＋2(x<1)．同理，当x>3时，函数的解析式为y ＝x －2(x>3)． 再设抛物线对应的二次函数解析式为y ＝a(x －2)2＋2(1≤x≤3，a<0)． ∵点(1,1)在抛物线上， ∴a＋2＝1，a ＝－1.∴当1≤x≤3时，函数的解析式为y ＝－x 2＋4x －2(1≤x≤3)．综上，可知函数的解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2，x<1，－x 2＋4x －2，1≤x≤3，x －2，x>3.17．解：设商品原价格为m ，每天的原销售量为n ，则每天的原营业额为m·n，涨价后每天的营业额为：y ＝m·(1＋x 10)(1－45·x10)·n.(1)y ＝m·(1＋x 10)·(1－45·x10)·n＝[－1125(x －54)2＋8180]·m·n.当x ＝54时，即涨价12.5%时，每天的营业额最大；(2)要使涨价后每天的营业额比原来增加，则需m·(1＋x 10)·(1－45·x10)·n>m·n，即2x 2－5x<0.所以x 的取值范围为0<x<52.答：(1)涨价12.5%时，营业额最大；(2)x 的取值范围为(0，52)．18．解：对焊接点一一检测很麻烦，当然也是不必要的．只需选线段AB 的中点C ，然后判断出焊口脱落的点所在的线路为AC 还是BC ，然后依次循环上述过程即可很快检测出焊点的位置，最多次数是6次．根据“二分法”的思想，具体分析如下：第1次取中点把焊点数减半为642＝32(个)，第2次取中点把焊点数减半为644＝16(个)，第3次取中点把焊点数减半为648＝8(个)，第4次取中点把焊点数减半为6416＝4(个)，第5次取中点把焊点数减半为6432＝2(个)，第6次取中点把焊点数减半为6464＝1(个)，所以至多需要检测的次数是6次.19．(1)证明：∵x、y∈R ， f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)．∴令x ＝y ＝0，∴f(0)＝f(0)＋f(0)， ∴f(0)＝0.令y ＝－x ，代入f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)，得f(0)＝f(x)＋f(－x)． 而f(0)＝0，∴f(－x)＝－f(x)(x∈R )． ∴f(x)为奇函数．(2)证明：任取x 1、x 2∈R 且x 1<x 2，则Δx＝x 2－x 1>0， 由f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)，知 f(x 2－x 1)＝f(x 2)＋f(－x 1)．∵f(Δx)＝f(x 2－x 1)<0，且f(x)为奇函数， ∴f(－x 1)＝－f(x 1)．∴f(x 2)－f(x 1)＝f(Δx)<0. 即Δy＝f(x 2)－f(x 1)<0. 而Δx＝x 2－x 1>0，∴f(x)在R 上为减函数．(3)解：∵f(2x＋5)＋f(6－7x)＝f(2x ＋5＋6－7x)＝f(11－5x)， 而f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＝－2＋(－2)＝－4， 即4＝－f(2)＝f(－2)，∴f(2x＋5)＋f(6－7x)>4等价于 f(11－5x)>f(－2)． 由(2)知，11－5x<－2.∴x>135.。
2016-2017学年高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)章末检测B 新人教版必修1
章末检测(B)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知函数f (x )＝lg(4－x )的定义域为M ，函数g (x )＝0.5x－4的值域为N ，则M ∩N 等于( )A ．MB ．NC ．[0,4)D ．[0，＋∞)2．函数y ＝3|x |－1的定义域为[－1,2]，则函数的值域为( ) A ．[2,8] B ．[0,8] C ．[1,8] D ．[－1,8]3．已知f (3x )＝log 29x ＋12，则f (1)的值为( )A ．1B ．2C ．－1 D.124．21log 52 等于( ) A ．7B ．10C ．6 D.925．若100a ＝5,10b＝2，则2a ＋b 等于( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 6．比较13.11.5、23.1、13.12的大小关系是( ) A ．23.1<13.12<13.11.5B ．13.11.5<23.1<13.12C ．13.11.5<13.12<23.1D ．13.12<13.11.5<23.17．式子log 89log 23的值为( )A.23B.32 C ．2 D ．3 8．已知ab >0，下面四个等式中： ①lg(ab )＝lg a ＋lg b ；②lg a b＝lg a －lg b ；③12lg(a b )2＝lg a b； ④lg(ab )＝1log ab 10.其中正确命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．39．为了得到函数y ＝lg x ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点( )A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度10．函数y ＝2x 与y ＝x 2的图象的交点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．311．设偶函数f (x )满足f (x )＝2x－4(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}等于( ) A ．{x |x <－2或x >4} B ．{x |x <0或x >4} C ．{x |x <0或x >6} D ．{x |x <－2或x >2}12．函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的关系是( ) A ．f (－4)>f (1) B ．f (－4)＝f (1) C ．f (－4)<f (1) D ．不能确定二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ， x ≥4f x ＋， x <4，则f (2＋log 23)的值为______．14．函数f (x )＝log a 3－x3＋x (a >0且a ≠1)，f (2)＝3，则f (－2)的值为________．15．函数y ＝212log (32)x x -+的单调递增区间为______________．16．设0≤x ≤2，则函数y ＝124x -－3·2x＋5的最大值是________，最小值是________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知指数函数f (x )＝a x(a >0且a ≠1)． (1)求f (x )的反函数g (x )的解析式； (2)解不等式：g (x )≤log a (2－3x )．18．(12分)已知函数f (x )＝2a ·4x －2x－1.(1)当a ＝1时，求函数f (x )在x ∈[－3,0]的值域； (2)若关于x 的方程f (x )＝0有解，求a 的取值范围．19．(12分)已知x >1且x ≠43，f (x )＝1＋log x 3，g (x )＝2log x 2，试比较f (x )与g (x )的大小．20．(12分)设函数f (x )＝log 2(4x )·log 2(2x )，14≤x ≤4，(1)若t ＝log 2x ，求t 的取值范围；(2)求f (x )的最值，并写出最值时对应的x 的值．21．(12分)已知f (x )＝log a 1＋x1－x(a >0，a ≠1)．(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明； (3)求使f (x )>0的x 的取值范围．22．(12分)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x＋b2x ＋1＋2是奇函数．(1)求b 的值；(2)判断函数f (x )的单调性；(3)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．章末检测(B)1．C [由题意，得M ＝{x |x <4}，N ＝{y |y ≥0}， ∴M ∩N ＝{x |0≤x <4}．]2．B [当x ＝0时，y min ＝30－1＝0，当x ＝2时，y max ＝32－1＝8， 故值域为[0,8]．]3．D [由f (3x )＝log 29x ＋12，得f (x )＝log 23x ＋12，f (1)＝log 22＝12.] 4．B [21log 52 ＝2·2log 52＝2×5＝10.] 5．B [由100a＝5，得2a ＝lg 5，由10b＝2，得b ＝lg 2，∴2a ＋b ＝lg 5＋lg 2＝1.] 6．D [∵13.11.5＝1.5－3.1＝(11.5)3.1， 13.12＝2－3.1＝(12)3.1，又幂函数y ＝x 3.1在(0，＋∞)上是增函数， 12<11.5<2， ∴(12)3.1<(11.5)3.1<23.1，故选D.]7．A [∵log 89＝log 232log 223＝23log 23，∴原式＝23.]8．B [∵ab >0，∴a 、b 同号． 当a 、b 同小于0时①②不成立； 当ab ＝1时④不成立，故只有③对．]9．C [y ＝lg x ＋310＝lg(x ＋3)－1，即y ＋1＝lg(x ＋3)．故选C.]10．D [分别作出y ＝2x 与y ＝x 2的图象．知有一个x <0的交点，另外，x ＝2，x ＝4时也相交，故选D.]11．B [∵f (x )＝2x－4(x ≥0)，∴令f (x )>0，得x >2.又f (x )为偶函数且f (x －2)>0，∴f (|x －2|)>0，∴|x －2|>2，解得x >4或x <0.]12．A [由f (x )＝a |x ＋1|(a >0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，可知a >1，而f (－4)＝a |－4＋1|＝a 3，f (1)＝a |1＋1|＝a 2，∵a 3>a 2，∴f (－4)>f (1)．]13.124解析 ∵log 23∈(1,2)，∴3<2＋log 23<4， 则f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝23log 312+⎛⎫ ⎪⎝⎭＝(12)3·12log 32-＝18×13＝124. 14．－3解析 ∵3－x3＋x>0，∴－3<x <3∴f (x )的定义域关于原点对称．∵f (－x )＝log a 3＋x 3－x ＝－log a 3－x3＋x＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数． ∴f (－2)＝－f (2)＝－3. 15．(－∞，1)解析 函数的定义域为{x |x 2－3x ＋2>0}＝{x |x >2或x <1}，令u ＝x 2－3x ＋2，则y ＝12log u 是减函数，所以u ＝x 2－3x ＋2的减区间为函数y ＝()212log 32x x -+的增区间，由于二次函数u ＝x 2－3x ＋2图象的对称轴为x ＝32，所以(－∞，1)为函数y 的递增区间． 16.52 12 解析 y ＝124x -－3·2x ＋5＝12(2x )2－3·2x＋5.令t ＝2x，x ∈[0,2]，则1≤t ≤4，于是y ＝12t 2－3t ＋5＝12(t －3)2＋12，1≤t ≤4.当t ＝3时，y min ＝12；当t ＝1时，y max ＝12×(1－3)2＋12＝52.17．解 (1)指数函数f (x )＝a x(a >0且a ≠1)， 则f (x )的反函数g (x )＝log a x (a >0且a ≠1)． (2)∵g (x )≤lo g a (2－3x )，∴log a x ≤log a (2－3x )若a >1，则⎩⎪⎨⎪⎧ x >02－3x >0x ≤2－3x，解得0<x ≤12，若0<a <1，则⎩⎪⎨⎪⎧x >02－3x >0x ≥2－3x，解得12≤x <23，综上所述，a >1时，不等式解集为(0，12]；0<a <1时，不等式解集为[12，23)．18．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝2·4x －2x －1＝2(2x )2－2x －1，令t ＝2x，x ∈[－3,0]，则t ∈[18，1]，故y ＝2t 2－t －1＝2(t －14)2－98，t ∈[18，1]，故值域为[－98，0]．(2)关于x 的方程2a (2x )2－2x －1＝0有解，等价于方程2ax 2－x －1＝0在(0，＋∞)上有解．记g (x )＝2ax 2－x －1，当a ＝0时，解为x ＝－1<0，不成立；当a <0时，开口向下，对称轴x ＝14a<0，过点(0，－1)，不成立；当a >0时，开口向上，对称轴x ＝14a>0，过点(0，－1)，必有一个根为正，符合要求． 故a 的取值范围为(0，＋∞)．19．解 f (x )－g (x )＝1＋log x 3－2log x 2＝1＋log x 34＝log x 34x ，当1<x <43时，34x <1，∴log x34x <0；当x >43时，34x >1，∴log x 34x >0.即当1<x <43时，f (x )<g (x )；当x >43时，f (x )>g (x )．20．解 (1)∵t ＝log 2x ，14≤x ≤4，∴log 214≤t ≤log 24，即－2≤t ≤2.(2)f (x )＝(log 24＋log 2x )(log 22＋log 2x )＝(log 2x )2＋3log 2x ＋2， ∴令t ＝log 2x ，则y ＝t 2＋3t ＋2＝(t ＋32)2－14，∴当t ＝－32即log 2x ＝－32，x ＝322-时，f (x )min ＝－14.当t ＝2即x ＝4时，f (x )max ＝12.21．解 (1)由对数函数的定义知1＋x1－x>0，故f (x )的定义域为(－1,1)．(2)∵f (－x )＝log a 1－x 1＋x ＝－log a 1＋x1－x＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(3)(ⅰ)对a >1，log a 1＋x 1－x >0等价于1＋x1－x>1，①而从(1)知1－x >0，故①等价于1＋x >1－x 又等价于x >0. 故对a >1，当x ∈(0,1)时有f (x )>0.(ⅱ)对0<a <1，log a 1＋x 1－x >0等价于0<1＋x1－x<1，②而从(1)知1－x >0，故②等价于－1<x <0. 故对0<a <1，当x ∈(－1,0)时有f (x )>0. 综上，a >1时，x 的取值范围为(0,1)； 0<a <1时，x 的取值范围为(－1,0)．22．解 (1)因为f (x )是奇函数，所以f (0)＝0，即b －12＋2＝0⇒b ＝1.∴f (x )＝1－2x2＋2x ＋1. (2)由(1)知f (x )＝1－2x2＋2x ＋1＝－12＋12x＋1， 设x 1<x 2则f (x 1)－f (x 2)＝12112121x x -++＝()()2112222121x x x x -++. 因为函数y ＝2x在R 上是增函数且x 1<x 2， ∴22x－12x>0.又(12x＋1)( 22x＋1)>0，∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)． ∴f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数． (3)因为f (x )是奇函数，从而不等式：f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0.等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (k －2t 2)，因f (x )为减函数，由上式推得：t 2－2t >k －2t 2.即对一切t ∈R 有：3t 2－2t －k >0，从而判别式Δ＝4＋12k <0⇒k <－13.。
2021_2022学年高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)检测(B)(含解析)新人教A版必修1
第二章根本初等函数〔Ⅰ〕检测(B)(时间:90分钟总分值:120分)一、选择题(本大题共10小题,每题5分,共50分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的)1.log a9=-2,那么a的值为()A.-3B.−13C.3D.1 3解析:∵log a9=-2,∴a-2=9=(13)-2,且a>0,∴a=13.答案:D2.函数f(x)=√1-2x的定义域是()A.(-∞,0]B.[0,+∞)C.(-∞,0)D.(-∞,+∞)解析:要使函数有意义,那么有1-2x≥0,即2x≤20,可知x≤0.答案:A3.幂函数的图象经过点(3,19),则它的单调递增区间是() A.(0,+∞) B.[0,+∞)C.(-∞,0)D.(-∞,+∞)解析:设幂函数f (x )=x α,将(3,19)代入得α=-2,所以f (x )=1x2,易知其单调增区间为(-∞,0).答案:C4.以下函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 ( ) A .y=-x 3B .y=l og 12xC .x =xD .x =(12)x解析:B,D 选项中函数不具有奇偶性;C 中函数在定义域内为增函数.应选A . 答案:A5.函数f (x )={log 12x ,x ≥1,e x ,x <1的值域为( )A.(e,+∞)B.(-∞,e)C.(-∞,-e)D.(-e,+∞)解析:当x ≥1时,l og 12x ≤0,当x<1时,0<e x<e,所以函数f (x )的值域为(-∞,e),应选B .答案:B6.设a =(35)25,x =(25)35,x =(25)25,则x ,x ,x 的大小关系是( )A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.b>c>a解析:函数y =(25)x在R 上是减函数,又35>25,则(25)35<(25)25,所以b<c ;函数y =x 25在(0,+∞)上是增函数,又35>25,则(35)25>(25)25,所以c<a.所以a>c>b. 答案:A7.假设log a(a2+1)<log a2a<0(a>0,且a≠1),那么a的取值范围是()A.0<a<1B.12<x<1C.0<a<12D.x>1解析:∵a2+1>1,log a(a2+1)<0,∴0<a<1.又∵log a2a<0,∴2a>1,∴a>12.综上所述,所求a的取值范围是12<x<1.答案:B8.函数y=21-x的大致图象为()解析:∵y=21-x=(12)x-1,∴此函数图象可由y=(12)x的图象向右平移1个单位得到.答案:A9.假设f(x),g(x)分别是R上的奇函数、偶函数,且满足f(x)-g(x)=e x,那么有()A.f(2)<f(3)<g(0)B.g(0)<f(3)<f(2)C.f(2)<g(0)<f(3)D.g(0)<f(2)<f(3)解析:∵f(x)-g(x)=e x,①∴f(-x)-g(-x)=e-x.由得f(x)+g(x)=-e-x.②由①②解得f(x)=e x-e-x2,x(x)=-e-x-e x2,可判断得f(x)在R上为增函数.∴f(3)>f(2)=e2-1e22>0,x(0)=-1-12=−1.∴g(0)<f(2)<f(3).答案:D10.设函数f(x)=log a|x|(a>0,且a≠1)在区间(-∞,0)内单调递增,那么f(a+1)与f(2)的大小关系为()A.f(a+1)=f(2)B.f(a+1)>f(2)C.f(a+1)<f(2)D.不确定解析:易知f(x)为偶函数,所以f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,所以0<a<1,那么1<a+1<2.所以f(a+1)>f(2).答案:B二、填空题(本大题共5小题,每题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.假设函数y=x2x+1x-1的图象恒过定点x,则点x的坐标为________________________.解析:令2x+1x-1=0,则x=−12,故点P的坐标为(-12,1).答案:(-12,1)12.幂函数f(x)的图象过点(4,12),则x(8)=________________.解析:设幂函数f(x)=xα(α为常数),将(4,12)代入,求得α=−12.则f(x)=x-12,所以f(8)=8-12=√24.答案:√2413.假设函数y=f (x )是函数y=a x(a>0,且a ≠1)的反函数,且函数y=f (x )的图象经过点(√x ,x ),则x (x )=________________.解析:由f (x )=log a x ,将点(√x ,x )代入得log x √x =x ,∴x =12,∴x (x )=log 12x .答案:l og 12x14.假设f (x )=x ·2x +2x -12x +1为R 上的奇函数,那么实数a 的值为 .解析:因为f (x )=x ·2x +2x -12x+1为R 上的奇函数,所以f (0)=0,即x ·20+2x -120+1=0,所以a =13.答案:1315.假设函数y =(12)|1-x |+x 的图象与x 轴有公共点,则x 的取值范围是______________________.解析:由|1-x|≥0得0<(12)|1-x |≤1,故y ∈(m ,m+1].因为函数图象与x 轴有公共点,所以m<0≤m+1,故-1≤m<0. 答案:[-1,0)三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)求以下各式的值:(1)(827)-23+log 4√6−log 4√3; (2)(lg 14-lg25)÷100-12+7log 72+1.解:(1)(827)-23+log 4√6−log 4√3=[(23)3]-23+log 4√2=94+14=52.(2)原式=-(lg4+lg25)÷100-12+14=-2÷10-1+14=-20+14=-6.17.(8分)函数f(x)=a1+x,g(x)=a1-x(a>0,且a≠1).设h(x)=f(x)-g(x).(1)判断h(x)的奇偶性,并说明理由;(2)假设f(3)=16,求使h(x)>0成立的x的集合.解:(1)h(x)是奇函数.理由如下:由题意得,h(x)的定义域为R,关于原点对称.因为h(-x)=f(-x)-g(-x)=a1+(-x)-a1-(-x)=a1-x-a1+x=-(a1+x-a1-x)=-h(x),所以h(x)是奇函数.(2)由f(3)=16,得a3+1=16,即a=2.故h(x)=21+x-21-x>0,即21+x>21-x,所以1+x>1-x,解得x>0,所以使h(x)>0成立的x的集合为{x|x>0}.18.(9分)函数f(x)=(x+1)(x+x)x2为偶函数.(1)求实数a的值;(2)记集合E={y|y=f(x),x∈{-1,1,2}},λ=(lg 2)2+lg 2×lg 5+lg 5−14,判断实数x与集合x的关系.解:(1)∵f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x),∴(x+1)(x+x)x2=(-x+1)(-x+x)x2,∴2(a+1)x=0.∴a=-1.(2)由(1)可知f(x)=x2-1x2,当x=±1时,f(x)=0,当x=2时,f(x)=34,∴E={0,34},而λ=(lg2)2+lg2×lg5+lg5−14=lg2(lg2+lg5)+lg5−14=lg2+lg5−14=34.故λ∈E.19.(10分)函数f(x)=12x-1+12.(1)求f(x)的定义域;(2)判断函数f(x)的奇偶性;(3)证明:当x>0时,f(x)>0.分析:(1)x的取值需使分母2x-1≠0;(2)利用函数奇偶性的定义判断;(3)利用函数y=2x的值域证明.(1)解x的取值需满足2x-1≠0,那么x≠0,即f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).(2)解由(1)知,f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).∵f(-x)=12-x-1+12=2x1-2x+12=12−2x2x-1,∴f(x)+f(-x)=12x-1+12+12−2x2x-1=1-2x2x-1+1=0.∴f(-x)=-f(x).∴f(x)是奇函数.(3)证明当x>0时,2x>1,2x-1>0,则12x-1+12>0,即当x>0时,f(x)>0.20.(10分)函数f(x)=lg x-x1+x.(1)假设f(x)为奇函数,求a的值;(2)假设f(x)在区间(-1,5]上有意义,求a的取值范围;(3)在(1)的条件下,假设f(x)在区间(m,n)上的值域为(-1,+∞),求m,n的值.解:(1)∵f(x)为奇函数,∴f(x)+f(-x)=0,∴l g x-x1+x +lg x+x1-x=0,∴x2-x21-x2=1,∴x=1(x=−1舍去),此时f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称.(2)∵f(x)在区间(-1,5]上有意义,∴f(x)的定义域为(-1,a),且a>5.(3)由(1)知f(x)=l g1-x1+x,定义域为(-1,1),当x∈(-1,1)时,t=1-x1+x =−1+21+x为减函数,∴f(x)=l g1-x1+x在定义域内是减函数,∵f(x)在区间(m,n)上的值域是(-1,+∞),∴f(n)=l g1-x1+x =−1,x=−1,∴x=911.。
2021-2022年高中数学第二章基本初等函数I章末检测卷新人教版必修
2021年高中数学第二章基本初等函数I 章末检测卷新人教版必修一、选择题1.下列函数在区间(－∞，0)上为增函数的是( )A.y ＝－log 12(－x )B.y ＝x1－xC.y ＝－(x ＋1)2D.y ＝1＋x 2解析 y ＝x 1－x ＝－x x －1＝－x －1＋1x －1＝－1－1x －1，由图象平移知y ＝x1－x在(－∞，1)上为增函数，在(－∞，0)上亦为增函数. 答案 B2.若集合A ＝{x |lg x ≤0}，B ＝{y |y ＝1－x 2}，则A ∩B ＝( ) A.(－∞，1] B.(0，1) C.(0，1]D.[1，＋∞)解析 由已知得集合A ＝{x |lg x ≤0}＝{x |0＜x ≤1}，B ＝{y |y ＝1－x 2}＝{y |y ≤1}，故A ∩B ＝(0，1]. 答案 C3.(xx·福建闽清高级中学等四校联考)已知函数f (x )＝e －x －e xx，则其图象( )A.关于x 轴对称B.关于y ＝x 轴对称C.关于原点对称D.关于y 轴对称解析 函数的定义域为{x |x ≠0}，f (－x )＝e x －e －x －x ＝e －x －e xx ＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称.答案 D4.函数f (x )＝a x与g (x )＝－x ＋a 的图象大致是( )解析 当a ＞1时，对函数f (x )＝a x来说单调递增，而当x ＝0时， g (0)＝a ＞1，此时两函数的图象大致为选项A. 答案 A5.已知函数f (x )＝2log 13x 的值域为[－1，1]，则函数f (x )的定义域是( )A.[－1，1]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，3 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，3 D.[－3，3]解析 由－1≤2log 13x ≤1，得－12≤log 13x ≤12，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1312≤x ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12，解得33≤x ≤ 3.答案 B6.已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A.a >b >cB.a >c >bC.c >b >aD.c >a >b解析 0<a ＝2－13<20＝1，b ＝log 213<log 21＝0，c ＝log 1213>log 1212＝1，即0<a <1，b <0，c >1，所以c >a >b . 答案 D7.设偶函数f (x )＝log a |x ＋b |在(0，＋∞)上单调递增，则f (b －2)与f (a ＋1)的大小关系为( )A.f (b －2)＞f (a ＋1)B.f (b －2)＝f (a ＋1)C.f (b －2)＜f (a ＋1)D.不能确定解析 ∵函数f (x )是偶函数，∴b ＝0，此时f (x )＝log a |x |， ∴f (a ＋1)＞f (2)＝f (－2)＝f (b －2). 答案 C8.若函数y ＝2－|x －1|－m 的图象与x 轴有交点，则实数m 的取值范围是( ) A.－1≤m <0 B.0≤m ≤1 C.m ≥1D.0<m ≤1解析 令2－|x －1|－m ＝0，即m ＝2－|x －1|. 由－|x －1|≥0，得0<2－|x －1|≤1，即0<m ≤1. 答案 D 二、填空题9.设f (x )＝⎩⎨⎧2e x －1，x <2，log 3（2x －1），x ≥2，则f [f (2)]＝________.解析 因为f (2)＝log 3(22－1)＝1，所以f [f (2)]＝f (1)＝2e 1－1＝2. 答案 210.(xx·北京高考)2－3，312，log 25三个数中最大的数是________.解析 ∵2－3＝18<1，312＝3>1，又log 25>log 24＝2>3，∴三个数中最大的数为log 25.答案 log 25 11.函数f (x )＝ax －2 016＋2 016的图象一定过点P ，则P 点的坐标是________.解析 当x －2 016＝0，即x ＝2 016时，f (x )＝a 0＋2 016＝2 017，所以定点P 的坐标为(2 016，2 017). 答案 (2 016，2 017)12.已知2lg(x －2y )＝lg x ＋lg y ，则x y的值为________.解析 因为2lg(x －2y )＝lg x ＋lg y ，所以lg(x －2y )2＝lg(xy )，所以(x －2y )2＝xy ，所以x 2－5xy ＋4y 2＝0，故x y ＝4或x y ＝1.又因为x >0，y >0，x －2y >0，所以x y＝4. 答案 413.若偶函数f (x )在(－∞，0)上单调递减，则不等式f (－1)<f (lg x )的解集是________.解析 因为f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (|x |)，因为f (x )在(－∞，0)内单调递减，所以f (x )在(0，＋∞)内单调递增，故|lg x |>1，即lg x >1或lg x <－1，解得x >10或0<x <110.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，110∪(10，＋∞)14.已知f (x )＝x 2，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－m ，若对∀x 1∈[－1，3]，∃x 2∈[0，2]，f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________.解析 x 1∈[－1，3]时，f (x 1)∈[0，9]，x 2∈[0，2]时，g (x 2)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122－m ，⎝ ⎛⎭⎪⎫120－m ，即g (x 2)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14－m ，1－m ，要使∀x 1∈[－1，3]，∃x 2∈[0，2]，f (x 1)≥g (x 2)，只需f (x )min ≥g (x )min ，即0≥14－m ，故m ≥14.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞15.已知函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，记f (x )＝a xa x ＋2.则(1)a 的值为________； (2)f ⎝⎛⎭⎪⎫12 013＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 013＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 013＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0102 013＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0112 013＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0122 013＝________.解析 (1)∵函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，∴a ＋a 2＝20，解得a ＝4或a ＝－5(舍去).(2)由(1)知f (x )＝4x 4x ＋2，∴f (x )＋f (1－x )＝4x 4x ＋2＋41－x 41－x ＋2＝4x4x ＋2＋44x44x ＋2＝4x4x ＋2＋42×4x＋4＝4x 4x ＋2＋24x ＋2＝1. ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫12 013＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0122 013＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 013＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0112 013＝1，…，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 0062 013＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 0072 013＝1，所以原式＝1 006. 答案 (1)4 (2)1 006 三、解答题16.计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－338－23＋0.002－12－10(5－2)－1＋(2－3)0；(2)lg 5(lg 8＋lg 1 000)＋3lg 22＋lg 16＋lg 0.06.解 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫338－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1500－12－105－2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫278－23＋50012－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679. (2)原式＝lg 5(3lg 2＋3)＋3lg 22＋lg 1－lg 6＋lg 6－2 ＝3lg 2·lg 5＋3lg 5＋3lg 22－2 ＝3lg 2(lg 5＋lg 2)＋3lg 5－2 ＝3lg 2＋3lg 5－2＝3(lg 2＋lg 5)－2 ＝3－2＝1.17.已知f (x )＝log 2(x ＋1)，当点(x ，y )在函数y ＝f (x )的图象上时，点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3，y 2在函数y ＝g (x )的图象上.(1)写出y ＝g (x )的解析式； (2)求方程f (x )－g (x )＝0的根.解 (1)依题意，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝f （x ）＝log 2（x ＋1），y 2＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＝12log 2(x ＋1)，故g (x )＝12log 2(3x ＋1).(2)由f (x )－g (x )＝0得，log 2(x ＋1)＝12log 2(3x ＋1)，∴⎩⎨⎧x ＋1>0，3x ＋1>0，3x ＋1＝（x ＋1）2，解得x ＝0或x ＝1. 18.函数f (x )＝12(a x ＋a －x)(a >0，且a ≠1)的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，419.(1)求f (x )的解析式； (2)判断f (x )的奇偶性.解 (1)∵f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫2，419.∴12(a 2＋a －2)＝419， 即12⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＝419，整理得9a 4－82a 2＋9＝0，解得a 2＝9或a 2＝19.又a >0且a ≠1，∴a ＝3或a ＝13.当a ＝3时，f (x )＝12(3x ＋3－x )；当a ＝13时，f (x )＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x＝12(3x ＋3－x ). 综上可知，所求解析式为f (x )＝12(3x ＋3－x ).(2)由(1)知f (x )＝12(3x ＋3－x )，其定义域是R ，又因为f (－x )＝12(3－x ＋3x )＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数.19.设函数f (x )＝log 3(9x )·log 3(3x )，且19≤x ≤9.(1)求f (3)的值；(2)令t ＝log 3x ，将f (x )表示成以t 为自变量的函数，并求此函数f (x )的最大值与最小值及与之对应的x 值.解 (1)f (3)＝log 327×log 39＝3×2＝6. (2)由t ＝log 3x ，又19≤x ≤9，∴－2≤log 3x ≤2，即－2≤t ≤2.则f (x )＝(log 3x ＋2)·(log 3x ＋1)＝(log 3x )2＋3log 3x ＋2＝t 2＋3t ＋2.令g (t )＝t 2＋3t ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋322－14，t ∈[－2，2].①当t ＝－32时，g (t )min ＝－14，则log 3x ＝－32，解得x ＝3－32＝39， ∴f (x )min ＝－14，此时x ＝39.②当t ＝2时，g (t )max ＝g (2)＝12， 则log 3x ＝2，解得x ＝9， ∴f (x )max ＝12，此时x ＝9.20.已知定义域为R 的函数f (x )＝b －2x2x ＋a是奇函数.(1)求a ，b 的值；(2)证明f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数.(3)若对于任意t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0恒成立，求实数k 的取值范围.(1)解 ∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0，∴b ＝1. 又f (－1)＝－f (1)，得a ＝1.经检验a ＝1，b ＝1符合题意. (2)证明 由(1)得f (x )＝1－2x2x ＋1.任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝1－2x 12x 1＋1－1－2x 22x 2＋1＝（1－2x 1）（2x 2＋1）－（1－2x 2）（2x 1＋1）（2x 1＋1）（2x 2＋1）＝2（2x 2－2x 1）（2x 1＋1）（2x 2＋1）， ∵x 1＜x 2，∴2x 2－2x 1＞0，又(2x 1＋1)(2x 2＋1)＞0，f (x 1)＞f (x 2)， ∴f (x )为R 上的减函数.(3)解 ∵t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0恒成立， ∴f (t 2－2t )＜－f (2t 2－k )∵f (x )为奇函数，∴f (t 2－2t )＜f (k －2t 2)， ∵f (x )为减函数，∴t 2－2t ＞k －2t 2. 即k ＜3t 2－2t 恒成立， 而3t 2－2t ＝3(t －13)2－13≥－13.∴k ＜－13，即实数k 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13.。