傅里叶(Fourier)级数的指数形式与傅里叶变换
傅里叶级数和傅里叶变换
第九章 傅里叶级数和傅里叶变换在自然界中广泛地存在各种各样的周期性运动（即相隔一定时间间隔往复循返的过程）。
例如，日月星球的运动，海洋潮汐的运动，电磁波与声波的运动，工厂里机器部件的往复运动，时钟摆的摆动以及人体心脏的跳动等等，都是周期性运动。
为了描述周期性的运动过程，数学上是借助某类函数来描述的。
当然这类函数也要体现出周期性。
这类函数称为周期函数。
在前面几章中，为了研究函数的性质，常常采用分析表示法，将这些函数在某区域展开成幂级数的形式，如泰勒级数或罗朗级数。
但是，这种幂级数形式的展开式是体现不出周期性来的，那么，对于周期性函数应采取怎样的分析表示法呢？这就是本章要讨论的内容。
9.1 周期函数和傅里叶级数9.1.1 周期函数 凡满足以下关系式：)()(x f T x f =+ （T 为常数） （9.1.1） 的函数，都称为周期函数。
周期的定义（1） 满足式（9.1.1）的T 值中的最小正数，即为该函数的周期； （2） 一个常数以任何正数为周期。
9.1.2 基本三角函数系按某一规律确定的函数序列称为函数系。
如下形式的函数系：1，x l πcos，x l πsin，x l π2cos ，x l π2sin ，…，x l k πcos ，x lk πsin ，… （9.1.2）称为基本三角函数系。
所有这些函数具有各自的周期，例如x l k πcos 和x lk πsin 的周期为kl2，但它们的共有周期为l 2（即所有周期的最小公倍数）。
通常这个周期命名为函数系的周期。
所以式（9.1.2）的三角函数系的周期为l 2。
如果我们将基本三角函数系中的函数，任意取n 个组合，则我们可以得到一个较复杂的函数。
例如图9.1（a ）是两个函数的组合x lx l x f ππ2sin 21sin )(-=；图9.1（b ）是三个函数的组合x lx l x l x f πππ3sin 312sin 21sin )(+-=。
第一节傅立叶级数与傅里叶积分
理意义(从频谱的角度来描述函数的特征),
因而在许多领域被广泛地应用.离散和快速
Fourier变换在计算机时代更是特别重要．
Fourier 变换是在周期函数的 Fourier
6. 离散频谱与频谱图 a n jbn a0 a n jbn , , c n 分析 由 c0 , cn 2 2 2
An 1 2 2 a n bn ， 得 c0 A0 , | cn | | c n | 2 2
arg cn arg c n θn , ( n 0) .
1 j t j t (D) f (t ) [ f ( t ) e d t ] e dω 2π 1 在 f (t ) 的间断处，公式的左端应为 [ f ( t 0) f ( t 0)] . 2
级数的基础上发展起来的。在微积分课程
中已经学习了Fourier 级数的有关 内容，
因此本节将先简单地回顾一下 Fourier
级数展开。
§8.1 Fourier 级数与Fourier 积分
一、周期函数的 Fourier 级数 二、非周期函数的 Fourier级数即
Fourier积分
一、周期函数的 Fourier 级数
n 1
A0 a n cos n 0 t bn sin n 0 t
n 1
A0 An cos(n 0 t n ) .
n 1
3. Fourier 级数的三角形式 定理 ( Dirichlet 定理)设 fT (t )是以 T 为周期的实值函数，且在 区间 [T /2 , T /2] 上满足如下条件(称为 Dirichlet 条件)： (1) 连续或只有有限个第一类续点处有
傅里叶级数和傅里叶变换
傅里叶级数和傅里叶变换傅里叶级数和傅里叶变换是数学中常见且重要的概念，它们在信号处理、图像处理、电路分析以及物理学等领域中起着重要的作用。
本文将介绍傅里叶级数和傅里叶变换的基本原理、应用以及它们之间的关系。
一、傅里叶级数傅里叶级数是将一个周期性函数表示为正弦函数和余弦函数的无限级数。
在数学上，一个周期为T的函数f(t)可以表示为傅里叶级数的形式：f(t) = a0/2 + ∑(an*cos(nω0t) + bn*sin(nω0t))其中，a0表示直流分量，an和bn分别表示函数f(t)在一个周期内的cosine分量和sine分量，n为正整数，ω0为角频率，ω0 = 2π/T。
傅里叶级数的基本原理是，任何一个函数都可以用一系列基本的正弦和余弦函数来表示。
通过计算函数f(t)在一个周期内的各种正弦和余弦分量的系数，我们可以将函数f(t)展开成傅里叶级数的形式。
傅里叶级数在信号处理中有广泛的应用，例如音频信号的分析与合成、图像压缩等。
通过对信号进行傅里叶级数分解，我们可以得到信号的频率成分，从而对信号进行频域分析和处理。
二、傅里叶变换傅里叶变换是将一个非周期性函数或一个有限区间内的函数表示为连续频谱的方法。
傅里叶变换可以将一个时域上的函数转换为频域上的函数，从而能够更方便地观察信号在不同频率上的分量。
函数f(t)的傅里叶变换定义为：F(ω) = ∫f(t) * exp(-jωt) dt其中，F(ω)表示函数f(t)的频域表示，ω为频率。
傅里叶变换将函数f(t)从时域转换到频域，提供了频域上对信号进行分析和处理的方法。
傅里叶变换在信号处理中有广泛的应用，例如频率滤波、信号去噪、图像处理等。
通过对信号进行傅里叶变换，我们可以将信号表示为一系列复指数函数的线性组合，从而得到信号的频谱信息。
三、傅里叶级数与傅里叶变换的关系傅里叶级数和傅里叶变换之间存在着密切的关系。
事实上，傅里叶级数可以看作是傅里叶变换的一种特殊形式，即周期为T的函数的傅里叶级数可以看作是傅里叶变换在频率上的离散表示。
傅里叶级数与傅里叶变换关系与应用
论文题目傅里叶级数与傅里叶变换的关系与应用目录摘要： 0关键词 0Abstract 01绪论 (1)2傅里叶级数的概念 (1)2.1周期函数 (2)2.2傅里叶级数的定义 (2)3 傅里叶变换的概念及性质 (10)3.1傅里叶变换的概念 (10)3.2傅立叶变换的性质 (11)4傅里叶变换与傅里叶级数之间的区别与联系 (12)5傅里叶级数和傅里叶变换的应用 (12)5.1傅里叶级数的应用 (12)5.2傅里叶变换的应用 (13)参考文献 (15)傅里叶级数与傅里叶变换的关系与应用摘要：傅里叶级数是对周期性现象做数学上的分析，而傅里叶变换则可以看作傅里叶级数的极限形式，它也可以看作是对周期现象进行数学上的分析。
除此之外，傅里叶变换还是处理信号领域的一种很重要的算法。
傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。
很多波形可以作为信号的成分，例如余弦波，方波，锯齿波等等，傅里叶变换作为信号的成分。
在电子类学科，物理学科，信号处理学科等众多领域都有着广泛的应用。
傅里叶级数针对的是周期性函数，傅里叶变换针对的是非周期性函数，它们在本质上都是一种把信号表示成复正选信号的叠加，存在相似的特性。
关键词：傅里叶级数；傅里叶变换；周期性Fourier series And Fourier TransformsAbstract: Fourier series is made mathematical analysis to cyclical phenomenon, and Fourier transform can be seen as the limit form of Fourier series, it also can be regarded as a mathematical analysis of cycle phenomenon. In addition, the Fourier transform is a kind of very important in the field of signal processing algorithms.Fourier transform is a method of signal analysis, it can analyze signal component, also can use these ingredients synthetic signal. Many waveform can be used as a signal of ingredients, such as cosine wave, square wave, sawtooth wave, etc., the Fourier transform as a signal of composition. In electronics disciplines, physics, signal processing disciplines etc many fields have a wide range of applications.Fourier series is for periodic function, Fourier transform for is a periodic function, they are in essence a kind of papers said the signal into a complex signal superposition, similar features.Key words: Fourier series; Fourier Transform; Periodic1绪论傅里叶级数是法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出来的，从而极大的推动了偏微分方程理论的发展，在数学物理以及工程中都具有重要的应用。
傅里叶变换及其应用
傅里叶变换及其应用傅里叶变换（Fourier Transform）是一种将一个函数（或信号）从时域（时间域）转换为频域的数学技术。
它是由法国数学家傅里叶（Jean-Baptiste Joseph Fourier）提出的，因此得名。
傅里叶变换在信号处理、图像处理、通信等领域有广泛的应用，并且为这些领域的发展做出了重大贡献。
一、傅里叶变换的定义和性质傅里叶变换可以将一个连续函数表示为正弦和余弦的加权和，它的数学公式如下：F(ω) = ∫[f(t) * e^(-iωt)] dt其中，F(ω)表示频域上的函数，f(t)表示时域上的函数，e^(-iωt)是复指数函数。
傅里叶变换有一些重要的性质，如线性性、时移性、频移性、对称性等。
这些性质使得傅里叶变换成为一种非常有用的工具，在信号处理中广泛应用。
二、傅里叶级数与傅里叶变换的关系傅里叶级数是傅里叶变换的一种特殊形式，主要用于分析周期性信号。
傅里叶级数可以将一个周期为T的函数展开成正弦和余弦函数的和。
而傅里叶变换则适用于非周期性信号，它可以将一个非周期性函数变换为连续的频谱。
傅里叶级数和傅里叶变换之间存在着密切的关系，它们之间可以相互转换。
傅里叶级数展开的周期函数可以通过将周期延拓到无穷大，得到其对应的傅里叶变换。
而傅里叶变换可以通过将频谱周期化，得到其对应的傅里叶级数。
三、傅里叶变换的应用1. 信号处理傅里叶变换在信号处理中有着重要的应用。
通过将信号从时域转换到频域，我们可以分析信号的频谱特性，如频率成分、幅度、相位等。
这对于音频、图像、视频等信号的处理非常有帮助，例如音频信号的降噪、图像的去噪、视频的压缩等。
2. 图像处理傅里叶变换在图像处理中也有广泛的应用。
通过对图像进行傅里叶变换，可以将图像从时域转换为频域，进而进行频域滤波和频域增强等操作。
这些操作可以实现图像的模糊处理、边缘检测、纹理分析等。
3. 通信在通信领域中，傅里叶变换是无线通信、调制解调、信道估计等技术的基础。
复变函数第1节 傅氏积分,傅氏变换
解. 由Fourier变换的定义
F (w) F [ f (t)] f (t) e-iw td t -
1 e-iw t d t e-iwt 1 2sinw
-1
-iw -1
w
再求F(w)的Fourier逆变换即得 f(t)的积分表达式,
f (t) F -1[F (w)] 1 F (w) eiwtd w
1
1/2
t
二、单位脉冲函数及其傅氏变换
在物理学和工程技术中，除了连续分布量之外， 还有集中作用在一点的量. 例如，点电荷、点热源、 质点、单位脉冲等. 下面分析在原点处的单位脉冲.
设矩形电流脉冲：
(t
)
1
/
0
0t
其它
- (t)dt 1
(t)
1/
O
t
lim
0
(
t
)
0
t 0 t 0
引进狄拉克(Dirac)的函数,
i
-
f
( ) sin w(t
-
)d
dw
1
2p
-
-
f
(
)
cos w (t
-
)
d
d
w
(1.5)
由
f (t) 1
2p
-
-
f
(
)
cos w (t
-
)
d
d
w
(1.5)
可得
f (t) 1
p
0
-
f ( ) cosw(t
-
)
d
d
w
(1.6)
傅氏积分公式的三角形式
-
)
d
d
如果看了这篇文章你还不懂傅里叶变换,那就过来掐死我吧
如果看了这篇文章你还不懂傅里叶变换，那就过来掐死我吧这篇文章的核心思想就是：要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。
傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。
但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。
老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。
（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。
所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。
至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。
————以上是定场诗————下面进入正题：抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。
但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。
这样的例子太多了，也许几年后你都没有再打开这个页面。
无论如何，耐下心，读下去。
这篇文章要比读课本要轻松、开心得多……一、嘛叫频域从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。
这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。
而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。
但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，你会不会觉得我疯了？我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。
先举一个公式上并非很恰当，但意义上再贴切不过的例子：在你的理解中，一段音乐是什么呢？这是我们对音乐最普遍的理解，一个随着时间变化的震动。
但我相信对于乐器小能手们来说，音乐更直观的理解是这样的：好的！下课，同学们再见。
第4(5)章 傅里叶级数和变换
t0
2 2
f (t ) cos( n1t )dt
2 T1
2
E cos( n1t )dt
4 T1
0
E cos( n1t )dt
2
4E 1 sin n1t T1 n1
变
0
不 变
2E n an sin n T1
n sin 2E n T1 n n T1 T1 2 E n Sa ( ) T1 T1
§4.1 引言 信号与系统的时域分析→变换域分析（频域分析）
第四章 连续系统的频域分析P116
任一周期信号都可以用三角函数的线性组合来表示
1822年，法国数学家傅里叶提出；
Poisson、Gauss等将其应用到电学中；
20世纪后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等为傅立 叶分析的应用开辟了广阔的前景 周期信号——傅里叶级数 非周期信号——傅里叶变换
T 2 T 2 T 2 T 2
(3) 半波重迭信号 fT(t)=f(t±T/2)
f (t )
-T/2
T/2
t
半波重叠周期信号只含有正弦与余弦 的偶次谐波分量，而无奇次谐波分量。
(4) 半波镜像信号 fT(t)=f(t±T/2)
f (t )
T/2 0 T
t
半波镜像周期信号只含有正弦与余弦的奇 次谐波分量，而无直流分量与偶次谐波分量。
④ t =±π，±2π，…±nπ；Sa(t)=0
正弦分量的幅度： bn
2 T1
t 0 T1
2 2
t0
f (t ) sin( n1t )dt
2 T1
傅里叶级数展开与傅里叶变换的区别与联系
傅里叶级数展开与傅里叶变换的区别与联系傅里叶级数展开和傅里叶变换是信号处理领域中常用的数学工具，用于分析和处理周期性和非周期性信号。
它们在电子工程、通信工程、图像处理、物理学等领域具有广泛的应用。
本文将介绍傅里叶级数展开和傅里叶变换的定义、区别和联系。
一、傅里叶级数展开傅里叶级数展开是一种将周期性信号分解为多个正弦波成分的方法。
对于一个周期为T的信号f(t)，它可以表示为以下级数展开的形式：f(t) = a₀ + Σ(aₙcos(nω₀t) + bₙsin(nω₀t))其中a₀、aₙ和bₙ分别为信号的直流分量、余弦系数和正弦系数，n为正整数，ω₀为角频率。
通过计算这些系数，可以将信号分解为多个具有不同频率的正弦波成分。
傅里叶级数展开的优势在于对周期性信号的分析和重构具有简洁的数学表达形式，能够准确地描述信号的频谱特性。
然而，傅里叶级数展开仅适用于周期性信号，对于非周期性信号需要通过周期化处理后再进行展开。
二、傅里叶变换傅里叶变换是一种将非周期性信号分解为连续频谱成分的方法。
对于一个非周期信号f(t)，它的傅里叶变换表达式为：F(ω) = ∫[f(t)e^(-jωt)]dt其中F(ω)为信号的频谱，ω为角频率，e^(-jωt)为复指数函数。
傅里叶变换将信号从时域转换到频域，得到的频谱表示了信号在不同频率上的能量分布。
与傅里叶级数展开不同，傅里叶变换适用于非周期性信号的分析和频谱表示。
它能够捕捉信号的全局变化和瞬态特性，对于时域上的瞬变信号和非周期性信号分析更加有效。
然而，傅里叶变换无法对离散信号进行处理，需要使用离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）等离散形式进行处理。
三、傅里叶级数展开与傅里叶变换的联系傅里叶级数展开和傅里叶变换有着紧密的联系，它们是傅里叶分析的两种不同形式。
傅里叶级数展开是傅里叶变换的特殊情况，当一个信号为周期性时，它的傅里叶变换可以用傅里叶级数展开来表示。
信号分析与处理-傅里叶变换
第三章傅里叶变换本章提要：◆傅里叶级数（Fourier Series）◆非周期信号的傅里叶变换◆傅里叶变换的性质◆周期信号的傅里叶变换◆采样信号和采样定理J.B.J. 傅里叶（Fourier）◆1768年生于法国◆1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示”，但其数学证明不很完善。
◆拉普拉斯赞成，但拉格朗日反对发表◆1822年首次发表在《热的分析理论》◆1829年狄里赫利第一个给出收敛条件周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示傅里叶分析方法的应用：（1）泊松（Possion）、高斯（Gauss）等将其应用于电学中；（2）在电力系统中，三角函数、指数函数及傅里叶分析等数学工具得到广泛的应用。
（3）20世纪以后，在通信与控制系统的理论研究与实际应用中开辟了广阔的前景。
（4）力学、光学、量子物理和各种线性系统分析等得到广泛而普遍的应用。
§ 3.1 周期信号的傅立叶级数◆三角函数形式的傅里叶级数◆复指数形式的傅里叶级数◆几种典型周期信号的频谱◆吉伯斯现象一、三角函数形式的傅里叶级数∞Tianjin University Tianjin University二、复指数形式的傅里叶级数周期信号的复数频谱图三、几种典型周期信号的频谱+-1T t tjn ωTianjin UniversityTianjin University∞n A τωτ思考题：KHz T f T 100101011 26=⨯===-，πω2. 奇函数：f (t )= -f (-t)1tω只含正弦项n F =3.奇谐函数T四、吉伯斯现象)(t f有限项的N越大，误差越小例如: N=11§ 3.2 非周期信号的傅立叶变换∞从物理意义来讨论傅立叶变换(FT)Tianjin University Tianjin UniversityTianjin UniversityTianjin University )0>arctg -=)(t f时域中信号变化愈尖锐，其频域所包含的高频分量就愈丰富；反之，信号在时域中变化愈缓慢，其频域所包含的低频分量就愈多。
数学物理方法第五章傅里叶变换
l
l
l
l kx nx
sin cos dx0
l
l
l
l
1 2 dx 2 l
l
l
sin
2 k x dx
l
l
l
cos
2 k x dx
l
l
2、可以由函数的正交性求出傅立叶级数中的系数；
a f 1 l
0 2l l
xdx
a f 1l n l l
xconsxdx
l
(n1,2,3, )
b f 1l n l l
( a k cos
kπx l
b k sin
kπx )
l
k 1
2
2l l
说明 1、三角函数族是两两正交的
l kx
cos d x 0
l
l
(k 0),
l kx
sin d x 0
l
l
l kx nx
cos cos d x 0 (k n)
l
l
l
l kx nx
sin sin dx0 (kn),
f (x)
a
x
l
延拓到（- l，l）后再周期延拓，如图做偶延拓：
f (x)
a
l 0 l
x
所以
1l
x
a
a0
l
a(1
0
l
)dx 2
ak2 l0 la(1x l)co k lx sd x 2(2 4 n a 0 1 )2(k (k 2n )2n1 )
如图做奇延拓： f (x)
a
l
0l
x
2l x kx 2a
An 2cn
A n 称为f ( x)的振幅频谱（简称为频谱）.它描述了各次谐波 的振幅随频率变化的分布情况。它清楚地表明了一个非正旋 周期函数包含了哪些频率分量及各分量所占的比重（如振幅 的大小）。因此频谱图在工程技术中应用比较广泛.所谓频谱 图，通常是指频率和振幅的关系图。
(完整版)傅立叶级数的指数形式(图)
傅立叶级数的指数形式（图）上一回说到，利用傅立叶级数（Fourier Series，简称FS）这个数学法宝，可以将一般的周期信号分解为直流成分、基波和无穷多个高次谐波成分的叠加，从而方便地确定其频谱。
但上述的傅立叶级数表达式只是傅立叶级数的三角形式，在实用中还有傅立叶级数的指数形式，本文介绍。
一、傅立叶级数的三角形式对于一个周期为T的周期函数f T（t），在一定条件下可以在连续点t处展开为傅立叶级数的三角形式，即：（1）其中ω1=2π/T为周期函数的圆频率，也就是信号的基频；傅立叶系数分别为（2）（3）（4）在信号分析理论中a0叫做直流分量，a n叫做余弦分量系数，b n叫做正弦分量系数。
二、傅立叶级数的指数形式根据欧拉公式有（5）其中j为虚数单位，即（6）不难从傅立叶级数的三角形式导出傅立叶级数的指数形式：（7）其中傅立叶系数一般为复数（8）三、傅立叶级数的指数形式与三角形式的关系根据欧拉公式由式（7）有（9）不难看出傅立叶级数的指数形式与三角形式可以描述同一个周期信号，只是数学形式不同而已。
其中两种形式的傅立叶系数关系如下：（10）或（11）可以看出傅立叶级数的指数形式中的傅立叶系数不再是实数，而是复数。
四、周期信号的频谱分析从傅立叶级数的指数形式也可以进行频谱分析。
由式（9）得（12）可知，周期函数f T（t）包含的直流分量为（13）基波分量的振幅为（14）基波初相位为各高次谐波分量的振幅为（16）各高次谐波分量的初相位为（17）这样，周期信号f T（t）的振幅频谱函数可表示为（18）五、为什么需要傅立叶级数的指数形式？实际上，如果考虑信号的双边频谱，用傅立叶级数的指数形式更方便。
在双边频域（∞，－∞）内，周期信号的频谱函数就是傅立叶系数，即（19）傅立叶系数一般为复数，可写成（20）其模就是双边的振幅频谱其幅角φn就是双边频率各次谐波成分的初相位，其中n为整数。
再看看傅立叶级数的指数形式可写成（22）其数学含义就是说，一般周期信号可以分解为无穷多个离散频率分量的叠加，各分量的频率是基频的整数倍，振幅是傅立叶系数C n的复模，初相位是傅立叶系数C n的幅角。
傅里叶变换(周期和非周期信号)
f (t) Fne jn0t n
n1
e e jn0t jn0t
e e jn0t jn0t
a0 (an
n1
2
bn
2j
)
a0
n1
( an
- jbn 2
e
jn0t
an
2
jbn
e
jn0t
)
*
F0 Fne jn0t F en jn0t
n1
n1
*
F0 a0 是实数，Fn与 F n 是一对共轭复数
n1
c0 a0
cn an2 bn2
a0
1 T
T
2 -T
f (t) dt
2
an
2 T
T
2 T
2
f (t) cosn0t dt
bn
2 T
T
2 T
2
f (t)sin n0t dt
周期信号的傅里叶变换——傅里叶级数
1、 三角函数式傅里叶级数
若周期函数 f (t) 满足狄里赫利（ Dirichlet）条件:
或
f (t) c0 cn cos(n0t n ) n1
谐波形式
ω0是基谐波角频率,简称基波频率。
例1 已知周期信号f(t)如下， 画出其频谱图。
f (t) 1
2
c
os0t
c
os(20t
5
4
)
2
s in 0t
1 2
sin
30t
解 ： 将f(t)整理为标准形式
f
(t)
1 2 cos(0t
4
f (t) a0 (an cos0t bn sin0t)
n1
a0
傅里叶变换(周期和非周期信号)
例1的频谱图
周期信号的傅里叶变换——傅里叶级数
2、指数形式的傅里叶级数
式中，
f (t) Fne jn0t n
1
Fn T
T
2 T
f (t )e jn0tdt
2
证明
- n
傅里叶复系数
周期信号的傅里叶变换——傅里叶级数
2、指数形式的傅里叶级数
式中，
f (t) Fne jn0t n
1
Fn T
A
T1
2 A sin n1
n1 n
2
cos n1t
A
T1
2A sin
1
2
cos1t
A
sin
1
cos 21t
2A sin
3
31
2
cos 31t
......
2. 指数形式的傅里叶级数
周期矩形脉冲
f (t) Fne jn1t n
Fn
1 T1 A T1
T1
2 T1
f (t )e jn1tdt
2. T不变，τ减小，则频谱的幅度也将减小，谱线密度 保持不变，但包络过零点的间隔将增大。
A
F0 T
Back
非周期信号的傅立里叶变换
两个重要公式：
f ( t ) F( ) : F( ) f ( t )e jtdt
F( ) f (t ):
F -1F( ) f ( t ) 1 F( )e jtd
1、 三角函数式傅里叶级数
若周期函数 f (t) 满足狄里赫利（ Dirichlet）条件:
(1)在任意周期内存在有限个第一类间断点； (2)在任意周期内存在有限个的极值点； (3)在任意周期上是绝对可积的，即
傅里叶变换算法详细介绍.
从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、上前言第一部分、DFT第一章、傅立叶变换的由来第二章、实数形式离散傅立叶变换（Real DFT）从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、下第三章、复数第四章、复数形式离散傅立叶变换/***************************************************************************************************/这一片的傅里叶变换算法，讲解透彻，希望对大家会有所帮助。
感谢原作者们（July、dznlong）的精心编写。
/**************************************************************************************************/前言：“关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解”---dznlong，那么，到底什么是傅里叶变换算法列?傅里叶变换所涉及到的公式具体有多复杂列?傅里叶变换（Fourier transform）是一种线性的积分变换。
因其基本思想首先由法国学者傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。
哦，傅里叶变换原来就是一种变换而已，只是这种变换是从时间转换为频率的变化。
这下，你就知道了，傅里叶就是一种变换，一种什么变换列?就是一种从时间到频率的变化或其相互转化。
ok，咱们再来总体了解下傅里叶变换，让各位对其有个总体大概的印象，也顺便看看傅里叶变换所涉及到的公式，究竟有多复杂：以下就是傅里叶变换的4种变体（摘自，维基百科）连续傅里叶变换一般情况下，若“傅里叶变换”一词不加任何限定语，则指的是“连续傅里叶变换”。
连续傅里叶变换将平方可积的函数f（t）表示成复指数函数的积分或级数形式。
第六章傅里叶级数与傅里叶积分
第六章 傅里叶级数与傅里叶积分，δ函数简介【教材第十章第一节，第十一章第一节】§6-1 复习: 傅里叶级数（一）三角函数族的正交性定义：函数()x ϕ和()x ψ在区间[],a b 上正交, 是指()x ϕ和()x ψ在区间[],a b 上满足下列条件：()()0ba x x dx ϕψ*=⎰。
正交函数族： 若函数族(){},1,2,n x n ψ=中的任意两个函数()kx ψ，()lx ψ在区间[],a b 上正交，即()()()0,bk l a x x dx k l ψψ*=≠⎰，则称函数组(){},1,2,n x n ψ=为区间[],a b 上的正交函数族。
= {1，cos x l π，2cos x l π，，cosk xlπ，，sinxlπ，2sinxlπ，，sink xlπ，}是区间[],l l -上的正交函数族，即其中任意两个函数均是正交的（两两正交）:coscos 0,,0,1,2,llm x n xdx m n m n l lππ-=≠=⎰sinsin 0,,1,2,llm x n xdx m n m n l lππ-=≠=⎰cossin 0,0,1,2,1,2,llm x n x dx m n l lππ-===⎰（学生自己验证）（二）傅里叶级数将一个周期函数用正交三角函数族的级数表示出来，叫作傅立叶级数展开。
满足什么样的条件的周期函数能够展开成傅立叶级数的形式？数学上可以证明，满足Dirichlet 条件的周期函数可以按正交三角函数族展开成傅里叶级数。
函数f (x )在某区间内满足Dirichlet 条件，是指： (1) f (x ) 在该区间内处处连续，或只有有限个第一类间断点；(2)f (x )在该区间内只有有限个极值点，即函数在该区间内不作无限次振荡。
间断点（也叫不连续点）：如果在点0x 处出现下列三种情形之一，则称0x 为函数f (x )的间断点（不连续点）: (1) f (x )在该点无定义；(2) f (x )在该点虽有定义，但极限0lim ()x xf x →不存在；(3) f (x )在该点有定义且极限0lim ()x x f x →也存在，但00lim ()()x xf x f x →≠。
傅里叶变换 拉普拉斯变换
傅里叶变换拉普拉斯变换傅里叶变换傅里叶变换（Fourier Transform）是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具。
它是以法国数学家约瑟夫·傅里叶的名字命名的，用于分析周期性信号和非周期性信号。
1. 傅里叶级数傅里叶级数是傅里叶变换的前身，它是一种将周期函数表示为正弦和余弦函数的无限级数的方法。
根据欧拉公式，正弦和余弦函数可以表示为复指数形式：$$\sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$$$$\cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$$假设一个连续周期函数$f(t)$可以表示为以下级数：$$f(t)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos(n\omegat)+b_n\sin(n\omega t))$$其中$\omega$是角频率，$a_0,a_n,b_n$是系数。
这个级数就称为$f(t)$的傅里叶级数。
通过求解系数$a_0,a_n,b_n$，可以得到$f(t)$在周期内任意时刻$t$的值。
2. 傅里叶变换对于非周期信号，我们无法使用傅里叶级数进行分析。
此时，我们需要使用傅里叶变换。
傅里叶变换将一个时域信号$f(t)$转换为一个频域函数$F(\omega)$，它表示了$f(t)$中各个频率成分的强度和相位。
傅里叶变换的定义如下：$$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt$$其中$\omega$是角频率，$e^{-i\omega t}$是复指数形式的正弦函数。
$F(\omega)$表示了$f(t)$在频率为$\omega$时的贡献。
3. 傅里叶逆变换傅里叶变换可以将一个时域信号转换为一个频域函数，那么我们是否可以将一个频域函数转换回时域信号呢？答案是肯定的，这就需要用到傅里叶逆变换。
傅里叶逆变换的定义如下：$$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{i\omegat}d\omega$$其中$F(\omega)$是$f(t)$的傅里叶变换。
傅里叶(Fourier)级数的指数形式与傅里叶变换
傅里叶(Fourier)级数的指数形式与傅里叶变换专题摘要：根据欧拉（Euler）公式，将傅里叶级数三角表示转化为指数表示，进而得到傅里叶积分定理，在此基础上给出傅里叶变换的定义和数学表达式。
在通信与信息系统、交通信息与控制工程、信号与信息处理等学科中，都需要对各种信号与系统进行分析。
通过对描述实际对象数学模型的数学分析、求解，对所得结果给以物理解释、赋予其物理意义，是解决实际问题的关键。
这种数学分析方法主要针对确定性信号的时域和频域分析，线性时不变系统的描述以及信号通过线性时不变系统的时域分析与变换域分析。
所有这些分析方法都离不开傅里叶变换、拉普拉斯变换和离散时间系统的z变换。
而傅里叶变换的理论基础是傅里叶积分定理。
傅里叶积分定理的数学表达式就是傅里叶级数的指数形式。
不但傅里叶变换依赖于傅里叶级数，就是纯数学分支的调和分析也来源于函数的傅里叶级数。
因此，傅里叶级数无论在理论研究还是在实际应用中都占有非常重要的地位。
我们承认满足狄里克莱（Dirichlet ）条件下傅里叶级数的收敛性结果，不去讨论和深究傅里叶展式的唯一性问题。
傅里叶级数的指数形式一个以T 为周期的函数)(t f ，在]2,2[T T -上满足狄里克莱条件：1o)(t f 连续或只有有限个第一类间断点；2o只有有限个极值点。
那么)(t f 在]2,2[T T -上就可以展成傅里叶级数。
在连续点处∑∞=++=1)sin cos (2)(n n n t n b t n a a t f ωω， （1）其中Tπω2=，),2,1,0(,cos )(222 ==⎰-n dt t n t f T a TT n ω， （2） ),3,2,1(,sin )(222==⎰-n dt t n t f T b TT n ω， （3）根据欧拉（Euler ）公式：θθθsin cos j e j +=，（1）式化为∑∞=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+=10222n t jn n n t jn n n e jb a e jb a a ωω， （4）若令综合n n c c c -,,0，可合并成一个式子,2,1,0,)(122±±==⎰--n dt e t f T c TT t jn n ω， （5）若令,2,1,0,±±==n n nωω，则（1）式可写为∑∑+∞-∞=∞=--=++=n tj nn tj n tj n n n n e c ec ec c t f ωωω10)()(， （6）这就是傅里叶(Fourier)级数的指数形式。
信号Fourier变换整理
傅立叶变换是一种很重要的算法，在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。
在数字信号处理领域的应用尤其广泛。
傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。
而根据该原理创立的算法即为傅立叶变换。
傅里叶函数的三角函数级数表达式：直流系数余弦分量系数正弦分量系数下面是积分形式的傅里叶函数 (注: x 等同于t)()()()0()cos sin 11cos sin k k k k f x a kx b kx dka f x kxdxb f x kxdxππ∞∞∞-∞-∞=+==⎰⎰⎰复指数形式的傅里叶函数由欧拉公式，得到三角函数形式和复指数形式的傅里叶函数系数间关系：傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的。
傅里叶变换后，只不过是从频率的角度去理解。
傅里叶变换就是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。
理解的关键是：一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。
傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量。
从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。
它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。
傅里叶变换表达式：ωωπωd e F t f tj ⋅=⎰∞∞-)(21)( dt e t f w F t j ωπ-∞∞-⋅=⎰)(21)()sin cos (2)(11101t n b t n a a t f n n n ωω++=∑∞=⎰+=100).(210T t t dtt f T a ⎰+=100.cos ).(211T t t n dt t n t f T a ωdtt n t f T b T t t n .sin ).(210011⎰+=ω1()(0,1,2,)jn t n n f t C e n ω∞=-∞==±±∑011011()t T jn tn t C f t e dtT ω+-=⎰0000C f d a ===1()2n j n n n n C C e a jb ϕ==-22212121nn n n n b a d f C +===1()(0,1,2,)jn tnn f t C en ω∞=-∞==±±∑下面图示一些例子，表明时域和频域的区别t()1()t f()ωF 1ωt21ω()π0t 2121-()t sgn 21ωt1()t uω()ωF ()πdt t df )(τE22τ2τ-tτE2-τE2τE2τE4-2τ2τ-22)(dtt f d t)(ωF 0ω22τE τπ22τ-2ττ2E τ-τt)(t f拉普拉斯变换，也是工程数学中常用的一种积分变换。
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傅里叶(Fourier )级数的指数形式与傅里叶变换
专题摘要：根据欧拉（Euler ）公式，将傅里叶级数三角表示转化为指数表示，进而得到傅里叶积分定理，在此基础上给出傅里叶变换的定义和数学表达式。
在通信与信息系统、交通信息与控制工程、信号与信息处理等学科中，都需要对各种信号与系统进行分析。
通过对描述实际对象数学模型的数学分析、求解，对所得结果给以物理解释、赋予其物理意义，是解决实际问题的关键。
这种数学分析方法主要针对确定性信号的时域和频域分析，线性时不变系统的描述以及信号通过线性时不变系统的时域分析与变换域分析。
所有这些分析方法都离不开傅里叶变换、拉普拉斯变换和离散时间系统的z 变换。
而傅里叶变换的理论基础是傅里叶积分定理。
傅里叶积分定理的数学表达式就是傅里叶级数的指数形式。
不但傅里叶变换依赖于傅里叶级数，就是纯数学分支的调和分析也来源于函数的傅里叶级数。
因此，傅里叶级数无论在理论研究还是在实际应用中都占有非常重要的地位。
我们承认满足狄里克莱（Dirichlet ）条件下傅里叶级数的收敛性结果，不去讨论和深究傅里叶展式的唯一性问题。
傅里叶级数的指数形式
一个以T 为周期的函数)(t f ，在]2
,2[T
T 上满足狄里克莱条件：1o
)(t f 连续或只有有限个第一类间断点；2o
只有有限个极值点。
那么)(t f 在]2
,2[T
T -
上就可以展成傅里叶级数。
在连续点处 ∑∞
=++=1
)sin cos (2)(n n n t n b t n a a t f ωω， （1）
其中 T
πω2=
， ),2,1,0(,cos )(2
22Λ==⎰-n dt t n t f T a T
T n ω， （2）
),3,2,1(,sin )(2
22
Λ==⎰-n dt t n t f T b T
T n ω， （3）
根据欧拉（Euler ）公式：θθθsin cos j e j +=，（1）式化为
∑∞=--⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+++=10222)(n t jn t jn n t jn t jn n j e e b e e a a t f ωωωω
∑∞=-⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++-+=10222n t jn n n t jn n n e jb a e jb a a ωω， （4） 若令
dt t f T c T
T ⎰-=22
0)(1
Λ,3,2,1,)(1
]sin )[cos (1
sin )(1cos )(1222
2222
22==-=-=-=⎰⎰⎰⎰-----n dt e t f T dt t n j t n t f T dt
t n t f T j dt t n t f T jb a c T
T t jn T
T T
T T T n n n ωωωωω
Λ,3,2,1,)(1
22
==⎰--n dt e t f T c T
T t jn n
ω 综合n n c c c -,,0，可合并成一个式子
Λ,2,1,0,)(1
22
±±==⎰--n dt e t f T c T
T t jn n ω， （5）
若令Λ,2,1,0,±±==n n n ωω，则（1）式可写为
∑∑+∞
-∞
=∞
=--=
++=n t
j n
n t
j n t
j n n n n e c e
c e
c c t f ω
ωω10)()(， （6）
这就是傅里叶(Fourier)级数的指数形式。
或写成
∑⎰+∞-∞=--⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=n t j T
T j n n e d e f T t f ωτωττ2
2
)(1)(。
（7）
傅里叶积分定理
因为任何一个非周期函数)(t f 都可以看成是由某个周期函数)(t f T 当+∞→T 时转化而来的，即)()(lim t f t f T T =+∞
→。
于是有
∑⎰+∞-∞=--+∞→⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=n t j T
T j T T n n e d e f T t f ωτ
ωττ22)(1lim )(。
可以证明（详细过程可参阅文[46]），当+∞→T 时，有
ωττπ
ωωτd e d e f t f t j j ⎰⎰∞
+∞-∞+∞--⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=
)(21
)(， （8） 公式（8）称为傅里叶积分公式。
从而得到一个非周期函数可用傅里叶积分公式表示的傅里叶积分定理。
傅里叶变换
根据傅里叶积分定理，设
dt e t f F t j ⎰
+∞∞
--=ωω)()(， （9）
则
ωωπ
ωd e F t f t j ⎰
∞
+∞
-=
)(21)(， （10）
从上两式可以看出，)(t f 和)(ωF 通过指定的积分运算可以相互表达。
（9）式叫做)(t f 的傅里叶变换，记为
=)(ωF F )]([t f .
)(ωF 叫做)(t f 的象函数，（10）式叫做)(ωF 的傅里叶逆变换，记为
)(t f = F -1
)]([ωF .
)(t f 叫做)(ωF 的原象函数。
（学习的目的是增长知识，提高能力，相信一分耕耘一分收获，努力就一定可以获得应有的回报）。