轴对称知识点总结
轴对称知识点的总结
轴对称与轴对称图形、知识点:1 .什么叫轴对称:如果把一个图形沿着某一条直线折叠后,能够与另一个图形重合,那么这两个图形关于这条直线成轴对称,这条直线叫做对称轴,两个图形中的对应点叫做对称点。
2 。
什么叫轴对称图形:如果把一个图形沿着一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴。
3. 轴对称与轴对称图形的区别与联系:区别:①轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合,而轴对称图形是指一个图形的两个部分沿某直线对折能完全重合。
②轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系;轴对称图形是反映一个图形的特性.联系:①两部分都完全重合,都有对称轴,都有对称点。
②如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体,这个整体就是一个轴对称图形;如果把一个轴对称图形的两旁的部分看成两个图形,这两个部分图形就成轴对称。
常见的轴对称图形有:圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰二角形、等边三角形、角、线段、相交的两条直线等.4. 线段的垂直平分线:I 垂直并且平分一条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线。
(也称线段的中垂线) A B5. 轴对称的性质:⑴成轴对称的两个图形全等.⑵如果两个图形成轴对称,那么对称轴是对称点连线的垂直平分线.6. 怎样画轴对称图形:画轴对称图形时,应先确定对称轴,再找出对称点。
二、举例:例1 :判断题:①角是轴对称图形,对称轴是角的平分线; ()②等腰三角形至少有1条对称轴,至多有3条对称轴; ( )③关于某直线对称的两个三角形一定是全等三角形;()④两图形关于某直线对称,对称点一定在直线的两旁。
()例2 :下图曾被哈佛大学选为入学考试的试题•请在下列一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律,然后把图形空白处填上恰当的图形•例3 :如图,由小正方形组成的L形图中,请你用三种方法分别在下图中添画一个小正方形使它成为一个轴对称图形:例4 :如图,已知:方法ABC和直线I ,请作出法Δ^BC关于直线I的对法三角形.例5 :如图,DA 、CB 是平面镜前同一发光点 S 发出的经平面镜反射后的反射光线,请通过画图确例6:如图,撞击黑球E ,才能使黑球先碰撞台边AB 反弹后再击中白球F ?例7:如图,要在河边修建一个水泵站,向张庄 送水。
关于轴对称的知识点
关于轴对称的知识点1.轴对称的定义把一个图形沿着某一条直线翻折,如果它能够与另一个图形重合,那么称这两个图形关于这条直线对称,也称这两个图形成轴对称,这条直线叫做对称轴。
折叠后重合的点是对应点,也叫做对称点。
【轴对称指的是两个图形的位置关系,两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合。
成轴对称的两个图形一定全等。
】2.轴对称图形的定义把一个图形沿着某直线折叠,如果直线两旁的部分能互相重合,那么这个图形是轴对称图形,这条直线就是对称轴。
【轴对称图形是指一个图形,图形被对称轴分成的两部分能够互相重合.一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条,也可能有两条或多条,因图形而定。
】3.轴对称与轴对称图形的区别与联系轴对称与轴对称图形的主要区别:轴对称是指两个图形,而轴对称图形是一个图形;轴对称图形和轴对称的关系非常密切,若把成轴对称的两个图形看作一个整体,则这个整体就是轴对称图形;反过来,若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形,则这两个图形关于这条直线(原对称轴)对称.。
4.轴对称的性质轴对称的性质:成轴对称的两个图形中,对应点的连线被对称轴垂直平分;成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称;成轴对称的两个图形全等。
5.线段的轴对称性①线段是轴对称图形,线段的垂直平分线是它的对称轴。
②线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
③线段垂直平分线的性质定理的逆定理:到线段两个端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
【①线段的垂直平分线,画出到线段两个端点的距离,这样就出现相等线段,直接或间接地为构造全等三角形创造条件。
②三角形三边垂直平分线交于一点,该点到三角形三顶点的距离相等,这点是三角形外接圆的圆心——外心。
】6.线段的垂直平分线垂直并且平分一条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,也叫线段的中垂线。
7.角的轴对称性(1)角是轴对称图形,角的平分线所在的直线是它的对称轴。
(2)角平分线上的点到角两边的距离相等。
轴对称知识点总结
轴对称知识点总结轴对称是指物体具有在某一平面上的镜像对称性质。
在数学和几何学中,轴对称是一种特殊的对称形式,是对称性的重要表现形式之一。
下面将对轴对称的知识点进行总结。
一、轴对称的概念轴对称是指物体或图形在某一平面上的镜像对称性质。
这个平面被称为轴线或对称轴。
沿着轴线对物体进行镜像变换,使得物体的每一个点与镜像点相关联,二者之间的距离保持不变。
轴对称可以存在于二维图形、立体物体以及其他几何结构中。
二、轴对称的特点1. 图形的每一点都关于轴线对称,对称点在轴线上。
2. 对称图形的延长线与轴线重合,对称图形的每一条直线都是轴线上两个对称点的中垂线或垂直平分线。
3. 对称图形的面积、周长和内角和与其镜像图形相等。
4. 对称图形的对称中心与图形的每一个点距离的平方和最小。
三、轴对称的判定方法1. 观察图形是否有明显的对称形状,例如正方形、圆等。
2. 通过自身对折或平移观察是否可以重合。
3. 镜像变换:通过将图形投影到一个平面上,并观察是否与投影前的图形重合完成。
四、轴对称的应用1. 图案设计:轴对称的图案可以给人以和谐、美感的感受,常用于服装、陶瓷、织物等设计中。
2. 建筑设计:许多建筑物在设计中运用了轴对称的原则,例如古代的宫殿、寺庙等,可以使建筑更加庄重、稳定。
3. 生物学:许多生物体的结构具有轴对称性,例如动物的身体结构,植物的花朵等都存在轴对称现象,这也是生命体的一种基本特征。
4. 数学研究:轴对称是数学中的一个重要概念,广泛应用于几何、代数和图论等领域的研究中。
特别是在图论中,轴对称是许多图形算法的基础。
五、轴对称的相关定理1. 轴对称的性质可以应用于线段、角、多边形、三角形等几何概念的研究中,例如轴对称定理、轴对称三角形定理等。
2. 轴对称可以通过镜像变换来实现,这也与线性变换和矩阵运算有关。
研究轴对称问题可以进一步理解和应用线性代数等数学知识。
六、轴对称与其他对称性质的关系1. 轴对称是平移对称的一种特殊形式。
《轴对称》知识点总结及章节检测解析
《轴对称》知识点总结及章节检测解析一、知识点总结:1.轴对称的定义:如果一个图形经过其中一条直线折叠后,能够与自身完全重合,则这条直线被称为这个图形的轴对称线,这个图形是轴对称的。
2.旋转对称:如果一个图形能够围绕其中一点旋转一定的角度后,能够与自身完全重合,则这个图形是旋转对称的。
3.轴对称图形的特点:轴对称图形的特点是,对称轴两侧的各点关于对称轴对应,即对称轴上的一点与对应点互为图形的对称点。
4.轴对称的判定方法:判断一个图形是否为轴对称图形,可以按照以下方式进行判定:(1)观察是否能找到一个或多个对称轴;(2)沿对称轴将图形折叠,看是否能够重合。
5.制作轴对称图形:制作一个轴对称图形可按照以下步骤进行:(1)在纸上画出一条轴对称线;(2)沿着对称线将图形的一边折叠;(3)检查折叠后的图形与未折叠的图形是否重合,如重合则完成。
二、章节检测解析:以小学三年级数学教材为例,进行《轴对称》的章节检测解析。
教材章节:第三章图形与设计1.知识点掌握情况:首先,学生需要了解轴对称的概念、特点和判定方法,并能够制作轴对称图形。
2.基础练习题:对于基础的练习题,要求学生绘制给定图形的对称线,并判断是否为轴对称图形。
3.综合应用题:在综合应用题中,要求学生设计自己的轴对称图形,并描述其特点。
4.拓展思考题:为了拓展学生的思维,可以提出一些拓展思考题,如“如何判断一个图形是否为旋转对称图形”、“如何找到一个图形的所有对称轴”等。
总结:通过针对《轴对称》这一章节的检测解析,学生可以对轴对称的知识点进行复习和巩固。
同时,综合应用题和拓展思考题能够提高学生的思维能力和创造力。
轴对称知识点整理总结
§13.1 轴对称(一)一、轴对称:如果一个图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够完全重合,这个图形就叫轴对称图形,这条直线叫对称轴.二、两个图形成轴对称:把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称.下列各图,你能找出它们的对称轴吗?(1) (2) (3) (4) (5)§13.1 轴对称(二)一、线段垂直平分线的定义:经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做线段的垂直平分线.二、图形轴对称的性质:如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线.类似地,轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线.三、线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线的点到这条线段两个端点的距离相等;反过来,与这条线段两个端点距离相等的点都在它的垂直平分线上.[探究1]线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.即AP 1=BP 1,AP 2=BP 2,… 证明.证法一:利用判定两个三角形全等.如下图,在△APC 和△BPC 中,P C P C P C A P C BR t A C B C =⎧⎪∠=∠=∠⎨⎪=⎩ ⇒ △APC ≌△BPC ⇒PA=PB.证法二:利用轴对称性质.由于点C 是线段AB 的中点,将线段AB 沿直线L 对折,线段PA 与PB 是重合的,•因此它们也是相等的.[探究2]1.作线段AB ,取其中点P ,过P 作L ,在L 上取点P 1、P 2,连结AP 1、AP 2、BP 1、BP 2.会有以下两种可能.2.讨论:要使L 与AB 垂直,AP 1、AP 2、BP 1、BP 2应满足什么条件?探究过程:1.如上图甲,若AP 1≠BP 1,那么沿L 将图形折叠后,A 与B 不可能重合,也就是∠APP 1≠∠BPP 1,即L 与AB 不垂直.2.如上图乙,若AP 1=BP 1,那么沿L 将图形折叠后,A 与B 恰好重合,就有∠APP 1=∠BPP 1,即L 与AB 重合.当AP 2=BP 2时,亦然.§12.2作轴对称图形一.如何由一个平面图形得到它的轴对称图形.【探究】四边形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A(-5,1)、B(-2,1)、C(-2,5)、D(-5,4),分别作出与四边形ABCD 关于x 轴和y 轴对称的图形.(归纳:与已知点关于y 轴或x 轴对称的点的坐标的规律;)【引申】分别作出△PQR 关于直线x=1(记为m)和直线y=-1(记为n)对称的图形,你能发现它们的对应点的坐标之间分别有什么关系吗?若△P 1Q 1R 1中P 1(x 1,y 1)关于x=1(记为m)轴对称的点的坐标P 2 (x 2,y 2) , 则m x x =+221,y 1= y 2.若△P1Q1R1中P1(x1,y1)关于y=-1(记为n)轴对称的点的坐标P2(x2,y2) ,则x1= x2,221yy=n.13.3. 1等腰三角形等腰三角形的定义:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两边叫做腰,另一边叫做底边,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫底角.同学们在自己作出的等腰三角形中,注明它的腰、底边、顶角和底角.思考:1.等腰三角形是轴对称图形吗?请找出它的对称轴.2.等腰三角形的两底角有什么关系?3.顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗?4.底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗?底边上的高所在的直线呢?结论:等腰三角形是轴对称图形.它的对称轴是顶角的平分线所在的直线.因为等腰三角形的两腰相等,所以把这两条腰重合对折三角形便知:等腰三角形是轴对称图形,它的对称轴是顶角的平分线所在的直线.沿等腰三角形的顶角的平分线对折,发现它两旁的部分互相重合,由此可知这个等腰三角形的两个底角相等,而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线,也是底边上的高.由此可以得到等腰三角形的性质:1.等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”).2.等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线、•底边上的高互相重合(通常称作“三线合一”).例题与练习1.如图2其中△ABC是等腰三角形的是[ ]2.①如图3,已知△ABC中,AB=AC.∠A=36°,则∠C______(根据什么?).②如图4,已知△ABC中,∠A=36°,∠C=72°,△ABC是______三角形(根据什么?).③若已知∠A=36°,∠C=72°,BD平分∠ABC交AC于D,判断图5中等腰三角形有______.④若已知AD=4cm,则BC______cm.3.以问题形式引出推论l______.4.以问题形式引出推论2______.13.3.2等边三角形等边三角形定义:在等腰三角形中,有一种特殊的情况,就是底边与腰相等,这时,三角形三边都相等。
轴对称知识点汇总3篇
轴对称知识点汇总3篇轴对称这一章,知识点琐碎,内容繁杂,极易混淆,多练这些题,有助同学们把握重难点,有所突破!下面是小编给大家带来的轴对称知识点汇总,欢迎大家阅读参考,我们一起来看看吧!轴对称最全知识点汇总一、知识梳理1、轴对称如果把一个图形沿着某一条直线折叠后,能够与另一个图形重合,那么这两个图形关于这条直线成轴对称,这条直线叫做对称轴.两个图形中的对应点叫对称点.2、轴对称图形把一个图形沿一条直线折叠,如果直线两旁的部分能互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴.这个图形关于这条直线(成轴)对称.3、轴对称与对称轴的区别与联系区别:轴对称指的是两个图形的位置关系,而轴对称图形指的是具有对称性的某一个图形.联系:如果把成轴对称的两个图形看成一个整体,那么这个整体就是一个轴对称图形.如果把一个轴对称图形位于对称轴两旁的部分看成两个图形,那么这两部分图形就成轴对称.4、一些典型图形的对称轴条数和表述语言正方形有4条对称轴,分别是对角线所在直线,2条;对边中点连线所在直线,2条.长方形有2条对称轴,是对边中点连线所在直线,2条.等腰三角形有1条对称轴,是顶角顶点与对边中点连线所在直线.(或顶角角平分线,底边中线,底边上的高所在直线)等边三角形有3条对称轴,分别是任意顶点与对边中点连线所在直线,3条.(或任意角角平分线,任意边的中线,任意边上的高所在直线)等腰梯形有1条对称轴,是上底中点与下底中点连线所在直线.圆有无数条对称轴,分别是直径所在直线,无数条.5、垂直平分线(中垂线)定义垂直并且平分一条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.书写格式:判定:∵AO=A′O,∠1=90°,∴l 是AA′的垂直平分线.性质:∵l是AA′的垂直平分线,∴AO=A′O,∠1=∠2=90° .6、轴对称性质成轴对称的两个图形全等,且(1)对应点的连线被对称轴垂直平分.(2)对应点的连线互相平行(或在同一条直线上).(3)对应线段相等,对应角相等.(4)对应线段所在直线的交点在对称轴上(或对应线段所在直线互相平行).7、对称轴的作法法1:作一条对应点的连线,并作其中垂线.法2:作两条对应点的连线,并分别作其中点,两点确定一条直线.法3:分别延长两对对应线段,确定两个交点,两点确定一条直线.8、给出一个图形及对称轴,作其对称图形的作法过原图形各点画对称轴的垂线,以各点到垂足的距离为半径,截取相等,将所作对应点分别相连.八年级数学轴对称知识讲解轴对称【学习目标】1.理解轴对称图形以及两个图形成轴对称的概念,弄清它们之间的区别与联系,能识别轴对称图形.2.理解图形成轴对称的性质,会画一些简单的关于某直线对称的图形.3.理解线段的垂直平分线的概念,掌握线段的垂直平分线的性质及判定,会画已知线段的垂直平分线.4.能运用线段的垂直平分线的性质解决简单的数学问题及实际问题.【要点梳理】要点一、轴对称图形轴对称图形的定义一个图形沿着某直线折叠,直线两旁的部分能完全重合,这个图形就叫做轴对称图形,该直线就是它的对称轴.要点诠释:轴对称图形是指一个图形,图形被对称轴分成的两部分能够互相重合.一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条,也可能有两条或多条,因图形而定.要点二、轴对称1.轴对称定义把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称(或说这两个图形成轴对称),这条直线叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点,也叫做对称点要点诠释:轴对称指的是两个图形的位置关系,两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合.成轴对称的两个图形一定全等.2.轴对称与轴对称图形的区别与联系轴对称与轴对称图形的区别主要是:轴对称是指两个图形,而轴对称图形是一个图形;轴对称图形和轴对称的关系非常密切,若把成轴对称的两个图形看作一个整体,则这个整体就是轴对称图形;反过来,若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形,则这两个图形关于这条直线(原对称轴)对称.要点三、轴对称与轴对称图形的性质轴对称、轴对称图形的性质轴对称的性质:若两个图形关于某直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线;轴对称图形的性质:轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.要点四、线段的垂直平分线定义:经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,也叫线段的中垂线.性质:性质1:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等;性质2:与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.要点诠释:线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法,那就是遇见线段的垂直平分线,画出到线段两个端点的距离,这样就出现相等线段,直接或间接地为构造全等三角形创造条件.三角形三边垂直平分线交于一点,该点到三角形三顶点的距离相等,这点是三角形外接圆的圆心初二数学轴对称测试题及答案1.下列图形不是轴对称图形的是( )2.已知三角形两边的长分别是4和10,则此三角形第三边的长可能是( )A.5B.6C.11D.163.已知am=5,an=6,则am+n的值为( )A.11B.30C.D.4.下列计算错误的是( )A.(﹣2x)3=﹣2x3B.﹣a2•a=﹣a3C.(﹣x)9+(﹣x)9=﹣2x9D.(﹣2a3)2=4a65.如图,将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起,使AA′、BB′能绕着点O自由转动,就做成了一个测量工具,由三角形全等可知A′B′的长等于内槽宽AB,那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是( )A.SASB.ASAC.SSSD.AAS6.计算(x+3y)2﹣(3x+y)2的结果是( )6.计算(x+3y)2﹣(3x+y)2的结果是( )A.8x2﹣8y2B.8y2﹣8x2C.8(x+y)2D.8(x﹣y)27.如图:DE是△ABC中AC边的垂直平分线,若BC=8厘米,AB=10厘米,则△EBC的周长为( )厘米.A.16B.18C.26D.288.计算(﹣2x+1)(﹣3x2)的结果为( )A.6x3+1B.6x3﹣3C.6x3﹣3x2D.6x3+3x29.分解因式:x2﹣4y2的结果是( )A.(x+4y)(x﹣4y)B.(x+2y)(x﹣2y)C.(x﹣4y)2D.(x﹣2y)210.如图,AD是角平分线,E是AB上一点,AE=AC,EF∥BC交AC于F.下列结论①△ADC≌△ADE;②CE平分∠DEF;③AD垂直平分CE.其中正确的是( )A①②③ B、① C、② D、③二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)11.计算:20130﹣2﹣1=__________12.化简(1- )(m+1)的结果是 .13.如图,这是由边长为1的等边三角形摆出的一系列图形,按这种方式摆下去,则第n个图形的周长是.14.如图,点D在△ABC边BC的延长线上,CE平分∠ACD,∠A=80°,∠B=40°,则∠ACE的大小是度.15.如图,已知△ABC是等边三角形,点B、C、D、E在同一直线上,且CG=CD,DF=DE,则∠E=度.16.已知一个多边形的内角和与外角和的差是1260°,则这个多边形边数是.三、解答题(共8题,共72分)17.(本题8分)计算:(1)(3a﹣2b)(9a+6b); (2)(﹣2m﹣1)2;18.(本题8分)分解因式:4m2﹣9n219.(本题8分)解分式方程 =20.(本题8分)已知:如图,AB=CD,AB∥CD,DE⊥AC,BF⊥AC,E、F是垂足,AF=5,求CE的长.21.(本题10分)如图,在平面直角坐标系中,直线l是第一、三象限的角平分线.实验与探究:(1)由图观察易知A(0,2)关于直线l的对称点A′的坐标为(2,0),请在图中分别标明B(5,3)、C(﹣2,5)关于直线l的对称点B′、C′的位置,并写出他们的坐标:B′、C′;归纳与发现:(2)结合图形观察以上三组点的坐标,你会发现:坐标平面内任一点P(a,b)关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为;运用与拓广:22.(本题8分)2015年12月28日“青烟威荣”城际铁路正式开通,从烟台到北京的高铁里程比普快里程缩短了81千米,运行时间减少了9小时,已知烟台到北京的普快列车里程约为1026千米,高铁平均时速为普快平均时速的2.5倍.(1)求高铁列车的平均时速;(2)某日王老师要去距离烟台大约630千米的某市参加14:00召开的会议,如果他买到当日8:40从烟台至城市的高铁票,而且从该市火车站到会议地点最多需要1.5小时,试问在高铁列车准点到达的情况下他能在开会之前到达吗?23.(本题10分)如图,点E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C、D.求证:(1)∠ECD=∠EDC;(2)OC=OD;(3)OE是线段CD的垂直平分线.24.(本题12分)如图,已知△ABC中,∠B=∠C,AB=8厘米,BC=6厘米,点D为AB的中点.如果点P在线段BC上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上以每秒a厘米的速度由C点向A点运动,设运动时间为t(秒)(0≤t≤3).(1)用的代数式表示PC的长度;(2)若点P、Q的运动速度相等,经过1秒后,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由;(3)若点P、Q的运动速度不相等,当点Q的运动速度a为多少时,能够使△BPD与△CQP全等?参考答案一、选择题1. B.2. C.3. B.4. A.5. A.6. B.7. B.8. C.9. B. 10. A二、填空题11. 12. m. 13. 2+n. 14. 60 15. 15 16.十一.三、解答题17.解:(1)原式=3(3a﹣2b)(3a+2b)=3(9a2﹣4b2)=27a2﹣12b2;(2)原式=4m2+4m+1;18.解:4m2﹣9n2=(2m+3n)(2m﹣3n).19.解:去分母得:3x=2x+2,解得:x=2,经检验x=2是分式方程的解.故答案为:x=2.20.解:∵DE⊥AC,BF⊥AC,∴∠DEC=∠AFB=90°,∵AB∥CD,在△DEC和△BFA中,∠DEC=∠AFB,∠ C=∠A,DC=BA,∴△DEC≌△BFA,∴CE=AF,∴CE=5.21.解:(1)如图:B′(3,5),C′(5,﹣2);(2)(b,a);22.解:(1)设普快的平均时速为x千米/小时,高铁列车的平均时速为2.5x千米/小时,由题意得,,解得:x=72,经检验,x=72是原分式方程的解,且符合题意,则2.5x=180,答:高铁列车的平均时速为180千米/小时;(2)630÷180=3.5,则坐车共需要3.5+1.5=5(小时),王老师到达会议地点的时间为1点40.故他能在开会之前到达.23.解:(1)∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,∴ED=EC,即△CDE为等腰三角形,∴∠ECD=∠EDC;(2)∵点E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥OA,ED⊥OB,∴∠DOE=∠COE,∠ODE=∠OCE=90°,OE=OE,∴△OED≌△OEC(AAS),∴OC=OD;(3)在△DOE和△COE中,OC=OD,∠EUC=∠BOE,OE=OE,∴△DOE≌△COE,∴DE=CE,∴OE是线段CD的垂直平分线.24.解:(1)BP=2t,则PC=BC﹣BP=6﹣2t;(2)△BPD和△CQP全等理由:∵t=1秒∴BP=CQ=2×1=2厘米,∴CP=BC﹣BP=6﹣2=4厘米,∵AB=8厘米,点D为AB的中点,∴B D=4厘米,∴PC=BD,在△BPD和△CQP中,BD=PC,∠B=∠C,BP=CQ,∴△BPD≌△CQP(SAS);(3)∵点P、Q的运动速度不相等,∴BP≠CQ又∵△BPD≌△CPQ,∠B=∠C,∴BP=PC=3cm,CQ=BD=4cm,∴点P,点Q运动的时间t= = 秒,∴VQ= = 厘米/秒.。
【八上数学】《轴对称》最全知识点汇总
5、垂直平分线(中垂线)定义垂直并且平分⼀条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.书写格式:判定:∵AO=A′O,∠1=90°,∴l 是AA′的垂直平分线.性质:∵l是AA′的垂直平分线,∴AO=A′O,∠1=∠2=90° .6、轴对称性质成轴对称的两个图形全等,且(1)对应点的连线被对称轴垂直平分.(2)对应点的连线互相平⾏(或在同⼀条直线上).(3)对应线段相等,对应⾓相等.(4)对应线段所在直线的交点在对称轴上(或对应线段所在直线互相平⾏).如图:(1)AA′,BB′,CC′,DD′,被l垂直平分.(2)AA′∥BB′∥CC′,CC′、DD′在同⼀直线上.(3)AB=A′B′,BC=B′C′,CD=C′D′,AD=A′D′,∠BAD=∠B′A′D′,∠ABC=∠A′B′C′,∠BCD=∠B′C′D′,∠CDA=∠C′D′A′.(4)BA、B′A′,BC、B′C′,CD、C′D′的延长线交点在l上.DA、D′A′的延长线平⾏.7、对称轴的作法法1:作⼀条对应点的连线,并作其中垂线.法2:作两条对应点的连线,并分别作其中点,两点确定⼀条直线.法3:分别延长两对对应线段,确定两个交点,两点确定⼀条直线.8、给出⼀个图形及对称轴,作其对称图形的作法过原图形各点画对称轴的垂线,以各点到垂⾜的距离为半径,截取相等,将所作对应点分别相连.⼆、实战演练例1:请在下列三个2×2的⽅格中,各画出⼀个三⾓形,要求所画三⾓形与图中三⾓形成轴对称,且所画的三⾓形顶点与⽅格中的⼩正⽅形顶点重合,并将所画三⾓形涂上阴影.分析:我们应该利⽤轴对称图形的性质,先选择不同的直线当对称轴,再作对称图形.显然⼤⽅格作为正⽅形,有4条对称轴,⽽还有⼀条⽐较难想,对称轴可以经过斜边和直⾓边的中点.解答:例2:如图,桌⾯上有A、B两球,若要将B球射向桌⾯任意⼀边,使⼀次反弹后击中A球,则可以瞄准的点有哪些?分析:本题中,对于桌⾯反弹的问题,其实属于物理中的光路问题,⼊射⾓等于反射⾓,⽽将⼊射⾓作对称后,恰好与反射⾓是对顶⾓,光线在同⼀直线上,因此我们考虑作对称.解答:变式:如图是⼀个台球桌⾯的⽰意图,图中四个⾓上的阴影部分分别表⽰四个⼊球孔.若⼀个球按图中所⽰的⽅向被击出(球可以经过多次反弹),则该球最后落⼊的球袋是______袋.分析:本题与例2类似,但如果每次都作对称,未免太过⿇烦,我们不难发现⼊射线与桌边的夹⾓为45°,则反射后的夹⾓也为45°,问题得解.解答:例3:如图,已知∠AOB=60°,点P为∠AOB内⼀点,分别作点P关于OA,OB的对称点P1,P2,连接P1P2,交OA于点M,交OB于点M.(1)连接OP1,OP2,求∠P1OP2的度数.(2)若P1P2=8,求△PMN周长.分析:(1)要求∠P1OP2的度数,直接求显然很困难,我们不妨从对应线段考虑,则想到连接OP.(2)同样的,将组成三⾓形的三条线段中,能找到对应相等的线段找出,进⾏转化.解答:变式:如图,△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称,△A′B′C′和△A′′B′′C′′关于直线EF对称.(1)画出直线EF;(2)直线MN与EF相交于点O,试探究∠BOB′′与直线MN、EF所夹锐⾓α的数量关系.分析:(1)问不难,只需⽤3种⽅法中的任意⼀种即可.(2)问与例3类似,准确依据题意,画出图形后,根据对称性,连接对应线段就能有所突破.解答:(1)如图,连接B′B′′,C′C′′,各取中点,连接后,直线EF即为所求.(2)连接OB′,∵△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称,∴∠BOM=∠B′OM,同理可得∠B′OE=∠B′′OE,∴∠BOB′′=∠BOB′+∠B′OB′′=2∠B′OM+2∠B′OE=2∠MOE=2α.。
中考数学轴对称知识点总结
中考数学轴对称知识点总结一、轴对称的基本概念1.定义:平面上有一条直线l,如果平面上的任意一点A关于这条直线l对称的点A'仍在平面上,那么,点A和点A'就是轴对称的。
2.轴对称轴:直线l二、轴对称的性质1.对称性:图形关于对称轴对称2.对称图形的性质:对称图形的性质有对称图形的性质有点的对称性,直线的对称性和图形的对称性(1)对称图形的重要性质之一是:对称图形的对应点关于对称轴的距离相等,即在同一个垂直于对称轴的直线上。
(2)对称图形的关于对称轴对称的图形有相等的面积(3)对称图形的关于对称轴对称的图形有相等的周长(4)对称图形的对称轴上的点是对称图形的特殊点,其特点就是对称点是对称图形的重要性质之一。
(5)对称图形的两点关于对称轴的坐标值成等差数列(6)对称图形的两点关于对称轴的距离等于这两个点的距离与对称轴的距离的差的绝对值。
三、轴对称的作图1.作法一:通过纸折法:将一角落对着另一个角落折叠,如图1所示,然后用笔在折线上贴上点,最后将纸展开,在对称轴处连结这些点,就得到了折线对称的形状。
2.作法二:通过线段在对称轴的投影:将要对称的形状隔绝一个水平的或垂直的对称轴,如图2所示,然后将这个形状通过容器等物体描绘再一对对称轴的一边,然后再将这个形状在对称轴的投影到对称轴另一边,最后形状保持不变。
最终得到了线段的对称形状。
四、轴对称的应用1.轴对称在几何中的应用:轴对称在几何中被广泛应用,比如用轴对称的性质证明图形的对称性、图形的面积和周长、构造图形等。
2.轴对称在日常生活中的应用:轴对称在日常生活中有许多应用,如我们在家里摆设摆件、铺地砖、装饰墙壁等都需要用到轴对称的知识。
五、轴对称的相关知识1.轴对称的判断:如果图形关于一条直线对称,那么这条直线就是对称轴,如图中所示的三角形ABC绕着O轴对称成了三角形A'B'C'。
2.轴对称的问题:轴对称的问题通常是指图形相对于轴线的位置,或者轴线的位置相对于图形的位置。
轴对称课本知识点总结
轴对称课本知识点总结一、轴对称的概念轴对称是指一个图形围绕某条中心轴线旋转180度,旋转后的图形和原图形完全重合。
在二维几何中,轴对称是一种重要的对称形式,常见于各种图形和实物之中。
二、轴对称的性质1. 轴对称图形的两个部分互相对称,互为镜像。
2. 轴对称图形的对称中心为图形的轴心。
3. 轴对称图形每一点的对应点与对称中心的距离相等。
三、轴对称的图形1. 对称图形:直线对称图形是最简单的轴对称图形,常见的有点、线段、正多边形等。
2. 音符:音符是一个常见的轴对称图形,它围绕中心轴线旋转180度后,可以和原音符完全重合。
3. 字母、数字:如字母A、M、H等和数字0、8等都是轴对称图形。
四、轴对称的判断方法1. 观察法:观察图形围绕某一条中心轴线旋转180度后是否和原图形重合。
2. 设坐标法:设定坐标轴,通过图形的对称特点来判断是否轴对称。
3. 折叠法:将图形折叠在对称轴上,判断折叠后两部分是否完全重合。
五、轴对称的应用1. 轴对称图形的设计:在各种设计中,轴对称图形的运用可以使设计更加美观。
2. 轴对称图形的制作:通过手工制作,可以制作各种轴对称图形的手工作品。
3. 轴对称图形的应用:在建筑、工程、美术、工艺等领域都有轴对称图形的应用。
六、轴对称的作用1. 保持图形的对称美:轴对称可以使图形保持一定的对称美。
2. 方便图形的绘制:对称图形通过轴对称可以方便地进行绘制和复制。
七、轴对称的练习1. 描绘轴对称图形:通过规定的对称轴来描绘对称图形。
2. 判断轴对称图形:判断给定图形是否对称,并找出对称轴。
3. 补全轴对称图形:在已知半图形的基础上补全对称图形。
八、轴对称的拓展知识1. 轴对称的组合:两个或多个轴对称图形组合成一个新的轴对称图形。
2. 轴对称的面积计算:轴对称图形的面积计算可以通过对称轴进行分割和计算。
九、轴对称的应用案例1. 建筑设计中的轴对称图形应用:在建筑设计中,轴对称图形的应用可以使建筑更加美观大方。
轴对称图形知识点归纳
2.轴对称知识梳理3.一、根本观点4.轴对称图形5.假设一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的局部可以相互重合,这个图形就叫做轴对称图6.形,这条直线就叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.7.线段的垂直均分线8.经过线段中点而且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直均分线9.轴对称变换10.由一个平面图形获得它的轴对称图形叫做轴对称变换.11.等腰三角形12.有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰,另一条边叫做底边,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底角.13.等边三角形14.三条边都相等的三角形叫做等边三角形.15.二、主要性质16.假设两个图形对于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直均分线.17.或许说轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直均分线.18.线段垂直均分钱的性质19.线段垂直均分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.20.〔1〕点P〔x,y〕对于x轴对称的点的坐标为P′〔x,-y〕.21.〔2〕点P〔x,y〕对于y轴对称的点的坐标为P″〔-x,y〕.22.等腰三角形的性质23.1〕等腰三角形的两个底角相等〔简称“等边平等角〞〕.24.2〕等腰三角形的顶角均分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.25.3〕等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线〔顶角均分线、底边上的高〕所在直线就是它的对称轴.26.4〕等腰三角形两腰上的高、中线分别相等,两底角的均分线也相等.27.5〕等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。
28.6〕等腰三角形顶角的外角均分线平行于这个三角形的底边.29.等边三角形的性质30.1〕等边三角形的三个内角都相等,而且每一个角都等于60°.31.2〕等边三角形是轴对称图形,共有三条对称轴.32.3〕等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的均分线相互重合.三、相关判断33. 1.与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直均分线上.34.假设一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等〔简写成“等角平等边〞〕.35.三个角都相等的三角形是等边三角形.36.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.。
轴对称知识点总结
轴对称知识点总结轴对称是初中数学中的重要概念,在几何图形的研究和实际生活中都有广泛的应用。
下面我们来详细总结一下轴对称的相关知识点。
一、轴对称的定义如果一个平面图形沿着一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴。
例如,等腰三角形是轴对称图形,底边的高所在的直线就是它的对称轴;矩形是轴对称图形,对边中点的连线所在的直线是它的对称轴。
二、轴对称图形的性质1、对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
2、对应线段相等,对应角相等。
3、成轴对称的两个图形全等。
三、轴对称与轴对称图形的区别与联系1、区别轴对称是指两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合,是两个图形的位置关系。
轴对称图形是指一个图形沿着某条直线对折后直线两旁的部分能够完全重合,是一个图形自身的特性。
2、联系都有对称轴。
如果把成轴对称的两个图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形;如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分,那么这两部分关于这条对称轴成轴对称。
四、作轴对称图形1、作轴对称图形的对称轴如果一个图形是轴对称图形,那么连接一对对应点的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴。
对于两个成轴对称的图形,对称轴是连接对称点的线段的垂直平分线。
2、作轴对称图形几何图形都可以看作由点组成,我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点,再连接这些对应点,就可以得到原图形的轴对称图形。
五、用坐标表示轴对称1、点(x,y)关于 x 轴对称的点的坐标为(x,y)。
2、点(x,y)关于 y 轴对称的点的坐标为(x,y)。
例如,点(2,3)关于 x 轴对称的点的坐标为(2,-3);点(-1,4)关于 y 轴对称的点的坐标为(1,4)。
六、轴对称的实际应用轴对称在实际生活中有很多应用,比如:1、建筑设计中,许多建筑都采用了轴对称的设计,使得建筑更加美观、稳定。
2、飞机、汽车等交通工具的外形设计也常常运用轴对称,以减少空气阻力,提高性能。
认识轴对称知识点总结
认识轴对称知识点总结一、轴对称的定义轴对称是指一个几何图形相对于某条轴线对称,即图形的两侧关于轴线对称。
轴对称是一种基本的几何变换,它可以帮助我们理解和研究各种几何图形的性质,解决与几何图形相关的问题。
二、轴对称的性质1. 被轴对称的图形的对称轴上的点不动,对称轴的垂线上的点互为对称点。
2. 被轴对称的图形的对称轴上任意两点的对称点都在对称轴上。
3. 被轴对称的图形上的任意一点,与其对称点关于对称轴的距离相等。
三、轴对称的应用轴对称在几何学中有着广泛的应用。
在平面几何中,我们经常通过轴对称来研究图形的性质、判断图形的对称特征、构造具有对称性的图形等。
在日常生活中,轴对称也有很多实际的应用,比如建筑设计、工艺品制作、装饰设计等。
四、轴对称的判定方法1. 通过观察图形的性质来判断是否具有轴对称性。
2. 通过观察图形的对称性来判断是否具有轴对称性。
3. 通过对称图形的性质和定理来判断是否具有轴对称性。
五、轴对称的性质及定理1. 轴对称的图形的对称轴上的点不动定理:轴对称的图形的对称轴上的点不动,即对称轴上的任意一点都是自身的对称点。
2. 轴对称的图形的对称轴是垂直的定理:如果一个图形具有轴对称性,那么图形的对称轴一定是垂直的。
3. 被轴对称的图形的对称轴上任意两点的对称点都在对称轴上定理:对任意一点A在对称轴上,A的对称点B也在对称轴上。
4. 对称中心位置可以通过对称图形的性质来判断定理:对称中心位置是轴对称的图形的重要性质之一。
5. 被轴对称的图形上的任意一点,与其对称点关于对称轴的距离相等定理:被轴对称的图形上的任意一点,与其对称点关于对称轴的距禿相等。
六、轴对称的图形1. 线段线段是具有轴对称性的图形。
2. 三角形三角形也可以是轴对称的图形。
3. 正方形和矩形正方形和矩形也是轴对称的图形。
4. 圆形圆形也具有轴对称性。
七、轴对称的构造1. 利用尺规作图的方法来构造轴对称的图形。
2. 利用计算机绘图软件来构造轴对称的图形。
轴对称知识点总结学生
轴对称知识点总结学生一、什么是轴对称轴对称又称对称轴或镜像轴,是指一个图形或者物体,分别绕着一条线或者平面旋转180度后,形状不变,看起来就好像是对折在轴上一样。
这条线或者平面叫做轴对称轴。
二、轴对称的特点1. 图形的各个部分分别相互对称2. 对称轴是存在的,可以是直线,也可以是曲线3. 对称轴可以有一个或者多个4. 轴对称的图形和另一半镜像相同三、轴对称的图形分类1. 点的轴对称:固定在对称轴上的点,和他在对称轴的对称点组成轴对称的图形。
2. 直线的轴对称:直线与它本身关于对称轴对称3. 曲线的轴对称:曲线与它本身关于对称轴对称四、轴对称图形的判定方法1. 观察法:通过眼睛观察,看有没有对称的特点2. 对折法:将图形对折,看两边是否重合3. 角度法:利用形状的特点,通过角度的计算,确定对称关系五、轴对称线的性质1. 轴对称线上的任何点,相对于轴对称线对称2. 三角形的三个角平分线相交于一点,这个点是三角形的外心,也就是外心与顶点相连的线是一条轴对称线3. 三角形的中位线长相等,中线相等4. 顶点在轴对称线上的三角形是轴对称的5. 一个平行四边形的对角线互相平分,它的对角线就是轴对称线6. 正方形的对角线相等,互相平分,对角线是轴对称线7. 矩形的对角线相等,互相平分,对角线是轴对称线六、轴对称图形的应用1. 轴对称图形是美的2. 在艺术领域,轴对称图形被广泛应用3. 在建筑设计中,轴对称图形被广泛应用4. 在日常生活中,轴对称图形随处可见七、轴对称图形的图形变换1. 轴对称图形的旋转:围绕一个点旋转,形成一个新的图形2. 轴对称图形的平移:图形在一个方向上平移,形成一个新的图形3. 轴对称图形的放射:图形在一个点固定的情况下,从这个点向外放射,形成一个新的图形4. 轴对称图形的缩放:图形按比例大小缩放,形成一个新的图形八、轴对称图形的图形组合1. 轴对称图形的组合:将两个轴对称图形进行组合,形成一个新的图形2. 轴对称图形的分解:将一个轴对称图形分解为几个小的轴对称图形总结:轴对称图形具有明显的对称性,能够展现出很好的美感,在各个领域都有广泛的应用。
轴对称知识点总结
轴对称知识点总结一、轴对称1.轴对称图形的定义:如果一个平面图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴.这时,我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称.2.判断一个图形是不是轴对称图形,可利用轴对称图形的定义,将图形对折,看是否能够完全重合,若能够完全重合,则这个图形是轴对称图形,否则这个图形不是轴对称图形.注意:(1)对称轴是一条直线,而不是射线或线段.(2)一个轴对称图形的对称轴可以有1条,也可以有多条,还可以有无数条.(3)轴对称图形是对于一个图形而言的,它表示具有一定特性(轴对称性)的某一类图形.3.把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.4.轴对称和轴对称图形的区别与联系5.轴对称的性质:(1)两个图形成轴对称的性质:如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.(2)轴对称图形的性质:轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.(3)轴对称图形(或关于某条直线对称的两个图形)的对应线段(对折后重合的线段)相等,对应角(对折后重合的角)相等.(4)成轴对称的两个图形全等;轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等,但全等的两个图形不一定是轴对称图形.二、线段垂直平分线的性质和判定1.线段垂直平分线的定义:经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,也叫线段的中垂线.2.线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.如下图所示,点P在线段AB 的垂直平分线上,则P A=PB.3.线段垂直平分线的判定:与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.如上图所示,若P A=PB,则点P在线段AB的垂直平分线上三、尺规作图(线段的垂直平分线)1.作图步骤:(1)以A为圆心,以大于线段AB一半的长度画弧(2)再以B为圆心,以相同长度为半径画弧,交前弧于C、D两点(3)连接CD,直线CD即为线段AB的垂直平分线四、尺规作图(轴对称)1.轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴的画法,步骤如下:(1)找出轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一对对应点;(2)连接这对对应点;(3)画出对应点所连线段的垂直平分线.这条垂直平分线就是该轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴.注意:对于轴对称图形或两个图形成轴对称,它们的对应点有一个共同的特征——对应点所连的线段被对称轴垂直平分,这是我们画图形的对称轴的依据.2.在坐标系中画轴对称图形的方法:(1)计算——计算对称点的坐标;(2)描点——根据对称点的坐标描点;(3)连接——依次连接所描各点得到成轴对称的图形五、关于坐标轴对称的点的坐标1.关于坐标轴对称的点的坐标特点:(1)点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y);(2)点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y).2.已知两个点的坐标分别为P1(x1,y1),P2(x2,y2),若x1=x2,y1+y2=0,则点P1,P2关于x轴对称;若x1+x2=0,y1=y2,则点P1,P2关于y轴对称.反之也成立。
轴对称知识点总结小学
轴对称知识点总结小学一、轴对称的概念轴对称是指一个平面图形相对于一条直线对称,即围绕这条直线旋转180°后,图形保持不变。
这条直线就称为图形的对称轴。
轴对称是几何中的重要概念,能够帮助我们理解和设计图形,同时也是理解对称性的基础知识。
二、轴对称的特点1. 对称轴是图形的一个特殊线段或线。
2. 对称轴将图形分成两个对称的部分,这两个部分关于对称轴是完全一样的。
3. 对称轴上的任意点和其对称点的连线垂直于对称轴。
4. 沿着对称轴旋转180°后,图形完全重合于原图形。
三、轴对称的判定方法1. 观察法:通过观察图形是否存在对称性来判断是否关于某条直线对称。
2. 折叠法:将图形沿着疑似对称轴折叠,看是否能够完全重合。
3. 对称性质法:根据对称性质,判断是否对称。
四、轴对称图形的引用1. 对称轴:直线对称或旋转对称,使图形与自身相等的直线或轴。
例如:矩形的对角线、圆的直径等。
2. 对称中心:旋转对称图形的中心,是图形相互对称的中心。
例如:正六边形的中心。
3. 对称点:图形上具有对称关系的点,关于对称中心对称。
例如:圆上的任意两点。
4. 对称问题:解决对称性质相关的数学问题,例如:通过对称性质求图形面积。
五、轴对称图形的种类1. 点对称:图形旋转180°后保持不变,具有旋转对称性。
例如:正方形。
2. 线对称:图形关于一条直线对称,具有镜像对称性。
例如:梯形。
3. 中心对称:图形有一个对称中心,图形上的点关于对称中心对称。
例如:正五边形。
六、轴对称与生活的应用1. 装饰设计:利用轴对称图形设计房间装饰,使整个空间更加和谐、美观。
2. 工艺制作:通过对称性设计工艺品或雕刻艺术品,使作品更有美感和观赏性。
3. 建筑设计:利用轴对称原理设计建筑外观或布局,使建筑更加稳固和美观。
4. 计算面积和周长:通过对称性质,计算复杂图形的面积和周长,简化计算过程。
七、轴对称与数学的联系1. 对称性质:轴对称是数学中的基本概念,是计算图形面积和周长的重要依据。
《轴对称》知识点总结
1、轴对称图形:一个图形沿一条直线对折,直线两旁的部分能够完全重合。
这条直线叫做对称轴。
互相重合的点叫做对应点。
2、轴对称:两个图形沿一条直线对折,其中一个图形能够与另一个图形完全重合。
这条直线叫做对称轴。
互相重合的点叫做对应点。
3、轴对称图形与轴对称的区别与联系:(1)区别。
轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系” ;轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。
(2)联系。
把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称;把轴 对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。
4、轴对称的性质:(1)成轴对称的两个图形全等。
(2)对称轴与连结“对应点的线段”垂直。
(3)对应点到对称轴的距离相等。
(4)对应点的连线互相平行。
5、线段的垂直平分线:(1)定义。
经过线段的中点且与线段垂直的直线,叫做线段的垂直平分线。
如图2,∵CA=CB ,直线m ⊥AB 于C ,∴直线m 是线段AB 的垂直平分线。
(2)性质。
线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。
m C A B图1 图 2mC A B P D'D C'B'A'K J I H如图3,∵CA=CB ,直线m ⊥AB 于C ,点P 是直线m 上的点。
∴PA=PB 。
(3)判定:与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。
如图3,∵PA=PB ,直线m 是线段AB 的垂直平分线, ∴点P 在直线m 上 。
6、等腰三角形:(1)定义。
有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形。
✍相等的两条边叫做腰。
第三条边叫做底。
✍两腰的夹角叫做顶角。
✍腰与底的夹角叫做底角。
说明:顶角=180°- 2底角;底角=顶角顶角21-902180︒=-︒可见,底角只能是锐角。
(2)性质。
✍等腰三角形是轴对称图形,其对称轴是“底边的垂直平分线”,只有一条。
✍等边对等角。
如图5,在△ABC 中,∵AB=AC ∴∠B=∠C 。
轴对称知识点总结19600
欢迎共阅轴对称知识点总结1、轴对称图形:一个图形沿一条直线对折,直线两旁的部分能够完全重合。
这条直线叫做对称轴。
互相重合的点叫做对应点。
2、轴对称:两个图形沿一条直线对折,其中一个图形能够与另一个图形完全重合。
这条直线叫做对称轴。
互相重合的点叫做对应点。
3、轴对称图形与轴对称的区别与联系:(1)区别。
轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系”;轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。
(2)联系。
把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称;把轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。
4、轴对称的性质:(1)成轴对称的两个图形全等。
(2)对称轴与连结“对应点的线段”垂直。
(3)对应点到对称轴的距离相等。
(4)对应点的连线互相平行。
5、线段的垂直平分线:(1)定义:经过线段的中点且与线段垂直的直线,叫做线段的垂直平分线。
性质:线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。
(2)判定:与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。
6、等腰三角形:(1)定义。
有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形。
(2)性质。
✍等腰三角形是轴对称图形,其对称轴是“底边的垂直平分线”,只有一条。
✍等边对等角。
✍三线合一。
(3)判定。
✍有两条边相等的三角形是等腰三角形。
✍有两个角相等的三角形是等腰三角形。
7、等边三角形:(1)定义。
三条边都相等的三角形,叫做等边三角形。
说明:等边三角形就是腰和底相等的等腰三角形,因此,等边三角形是特殊的等腰三角形。
(2)性质。
✍等边三角形是轴对称图形,其对称轴是“三边的垂直平分线”,有三条。
✍三条边上的中线、高线及三个内角平分线都相交于一点。
✍等边三角形的三个内角都等于60°。
(3)判定。
✍三条边都相等的三角形是等边三角形。
✍三个内角都相等的三角形是等边三角形。
✍有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形。
(4)重要结论。
在Rt△中,30°角所对直角边等于斜边的一半。
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轴对称与轴对称图形一、知识点:1.什么叫轴对称:如果把一个图形沿着某一条直线折叠后,能够与另一个图形重合,那么这两个图形关于这条直线成轴对称,这条直线叫做对称轴,两个图形中的对应点叫做对称点。
2.什么叫轴对称图形:如果把一个图形沿着一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴。
3.轴对称与轴对称图形的区别与联系:区别:①轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合,而轴对称图形是指一个图形的两个部分沿某直线对折能完全重合。
②轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系;轴对称图形是反映一个图形的特性。
联系:①两部分都完全重合,都有对称轴,都有对称点。
②如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体,这个整体就是一个轴对称图形;如果把一个轴对称图形的两旁的部分看成两个图形,这两个部分图形就成轴对称。
常见的轴对称图形有:圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形、角、线段、相交的两条直线等。
4.线段的垂直平分线:Array垂直并且平分一条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线。
(也称线段的中垂线)5.轴对称的性质:⑴成轴对称的两个图形全等。
⑵如果两个图形成轴对称,那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。
6.怎样画轴对称图形:画轴对称图形时,应先确定对称轴,再找出对称点。
二、举例:例1:判断题:①角是轴对称图形,对称轴是角的平分线;()②等腰三角形至少有1条对称轴,至多有3条对称轴;()③关于某直线对称的两个三角形一定是全等三角形;()④两图形关于某直线对称,对称点一定在直线的两旁。
()例2:下图曾被哈佛大学选为入学考试的试题.请在下列一组图形符号中找出它们所蕴含的在规律,然后把图形空白处填上恰当的图形.例3:如图,由小正方形组成的L 形图中,请你用三种方法分别在下图中添画一个小正方形使它成为一个轴对称图形:例4:如图,已知:ΔABC 和直线l ,请作出ΔABC 关于直线l 的对称三角形。
例5:如图,DA 、CB 是平面镜前同一发光点S 发出的经平面镜反射后的反射光线,请通过画图确定发光点S 的位置,并将光路图补充完整。
lBA ClBAClBACCADB方法1 方法2 方法3例6:如图,四边形ABCD 是长方形弹子球台面,有黑白两球分别位于E 、F 两点位置上,试问怎样撞击黑球E ,才能使黑球先碰撞台边AB 反弹后再击中白球F ?例7:如图,要在河边修建一个水泵站,向庄A 、庄B 送水。
修在河边什么地方,可使使用的水管最短?例8:如图,OA 、OB 是两条相交的公路,点P 是一个邮电所,现想在OA 、OB 上各设立一个投递点,要想使邮电员每次投递路程最近,问投递点应设立在何处?··ABa· PBOA线段、角的轴对称性一、知识点:1.线段的轴对称性:① 线段是轴对称图形,对称轴有两条;一条是线段所在的直线, 另一条是这条线段的垂直平分线。
②线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
③到线段两端距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
结论:线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合 2.角的轴对称性:①角是轴对称图形,对称轴是角平分线所在的直线。
②角平分线上的点到角的两边距离相等。
③到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上。
结论:角的平分线是到角的两边距离相等的点的集合二、举例:例1:已知∆ABC 中,AB=AC=10,DE 垂直平分AB ,交AC 于E ,已知∆BEC 的周长是16。
求∆ABC 的周长.例2:如图,已知∠AOB 及点C 、D ,求作一点P ,使PC=PD ,并且使点P 到OA 、OB 的距离相等。
例3:如图,已知直线l 及其两侧两点A 、B 。
(1) 在直线l 上求一点P ,使PA=PB ; (2)在直线l 上求一点Q ,使l 平分∠AQB 。
· CB OA· Dl··A B例4:如图,直线a 、b 、c 表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,可供选择的地址有几处?如何选?例5:已知:如图,在ΔABC 中,O 是∠B 、∠C 外角的平分线的交点,那么点O 在∠A 的平分线上吗?为什么?例6:如图,已知:AD 和BC 相交于O ,∠1=∠2,∠3=∠4。
试判断AD 和BC 的关系,并说明理由。
ODCB AEO DC BA1 23 4例7:已知:如图,△ABC 中,BC 边中垂线ED 交BC 于E ,交BA 延长线于D ,过C 作CF⊥BD 于F ,交DE 于G ,DF=21BC ,试说明∠FCB=21∠B例8:已知:在∠ABC 中,D 是∠ABC 平分线上一点,E 、F 分别在AB 、AC 上,且DE=DF 。
试判断∠BED 与∠BFD 的关系,并说明理由.2、已知:在ΔABC 中,D 是BC 上一点,DE ⊥BA 于E ,DF ⊥AC 于F ,且DE=DF.。
试判断线段AD 与EF 有何关系?并说明理由。
BC3、如图,已知:在△ABC中,∠BAC=90°,BD平分∠ABC,DE⊥BC于E。
试说明BD垂直平分AE等腰三角形的轴对称性一、知识点:3.等腰三角形的性质:①等腰三角形是轴对称图形,顶角平分线所在直线是它的对称轴;②等腰三角形的两个底角相等;(简称“等边对等角”)③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
(简称“三线合一”) 4.等腰三角形的判定:①如果一个三角形有2个角相等,那么这2个角所对的边也相等;(简称“等角对等边”)②直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。
3.等边三角形:①等边三角形的定义:三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形。
②等边三角形的性质:等边三角形是轴对称图形,并且有3条对称轴;等边三角形的每个角都等于600。
③等边三角形的判定:3个角相等的三角形是等边三角形; 有两个角等于600的三角形是等边三角形; 有一个角等于600的等腰三角形是等边三角形。
4.三角形的分类:斜三角形:三边都不相等的三角形。
三角形 只有两边相等的三角形。
等腰三角形等边三角形二、举例:例1、如图,已知D 、E 两点在线段BC 上,AB =AC ,AD =AE ,试说明BD=CE 的理由?例2:如图,已知:△ABC 中,AB =AC ,BD 和CE 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线,且相交于O 点。
①试说明△OBC 是等腰三角形;②连接OA ,试判断直线OA 与线段BC 的关系?并说明理由。
ABCE例3:如图,已知:AD 和BC 相交于O ,∠1=∠2,∠3=∠4。
试判断AD 和BC 的关系,并说明理由。
例4:如图,已知:△ABC 中,∠C=900,D 、E 是AB 边上的两点,且AD=AC ,BD=BC 。
求∠DCE 的度数。
例5:如图,已知:△ABC 中,BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高,G 、F 分别是BC 、DE 的中点。
试探索FG 与DE 的关系。
AE D BCOO DCA123 4GF ED CBA· ·A FCED MP 例6:如图,已知:△ABC 中,∠C=900,AC=BC ,M 是AB 的中点,DE ⊥BC 于E ,DF ⊥AC 于F 。
试判断△MEF 的形状?并说明理由。
例7:如图,已知:△ABC 为等边三角形,延长BC 到D ,延长BA 到E ,AE=BD ,连结EC 、ED ,试说明CE=DE 。
例8:如图,在等边△ABC 中,P 为△ABC 任意一点,PD ⊥BC 于D ,PE ⊥AC 于E ,PF ⊥AB 于F ,AM ⊥BC 于M ,试猜想AM 、PD 、PE 、PF 之间的关系,并证明你的猜想.等腰梯形的轴对称性一、知识点:5. 等腰梯形的定义:①梯形的定义:一组对边平行,另一组对边不平行为梯形。
E DCBA梯形中,平行的一组对边称为底,不平行的一组对边称为腰。
②等腰梯形的定义:两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
6. 等腰梯形的性质:①等腰梯形是轴对称图形,是两底中点的连线所在的直线。
②等腰梯形同一底上两底角相等。
③等腰梯形的对角线相等。
3.等腰梯形的判定:③ 在同一底上的2个底角相等的梯形是等腰梯形。
④ 补充:对角线相等的梯形是等腰梯形。
二、举例:例1:填空:1、等腰梯形的腰长为12cm ,上底长为15cm ,上底与腰的夹角为120°,则下底长为 cm .2、如果一个等腰梯形的二个角的和为 1000 ,那么此梯形的四个角的度数分别为 .3、等腰梯形上底的长与腰长相等,而一条对角线与一腰垂直,则梯形上底角的度数是______;4、已知等腰梯形的一个底角等于600,它的两底分别为13cm 和37cm ,它的周长为_______;5、如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB =CD ,∠A =120°,对角线BD 平分∠ABC ,则∠BDC 的度数是 ;又若AD =5,则BC = . 6、如图,在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB = AD ,BD = BC ,则∠C= 0。
例2:如图,等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC ,对角线AC 、BD 相交于点O .试说明:AO =DO .CADC B例3:如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AC=BD 。
试说明:梯形ABCD 是等腰梯形。
例4:如图,在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AD =3cm ,BC =7cm ,E 为CD 的中点,四边形ABED 的周长比△BCE 的周长大2 cm ,试求AB 的长.例5:如图,在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB=CD ,M 为BC 中点,则:(1)点M 到两腰AB 、CD 的距离相等吗?请说出你的理由。
(2)若连结AM 、DM ,那么△AMD 是等腰三角形吗?为什么?(3)又若N 为AD 的中点,那么MN ⊥AD 一定成立.你能说明为什么吗?ADBCEA D例6、如图,在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB =CD ,E 为CD 中点,AE 与BC 的延长线交于F .(1)判断S △ABF 和S 梯形ABCD 有何关系,并说明理由.(2)判断S △ABE 和S 梯形ABCD 有何关系,并说明理由. (3)上述结论对一般梯形是否成立?为什么?例7、如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,E 为CD 的中点,AD+BC =AB .则: (1)AE 、BE 分别平分∠DAB 、∠ABC 吗?为什么?(2)AE ⊥BE 吗?为什么?ADEFCBA D EC例8:在梯形ABCD 中,∠B =900,AB =14cm ,AD =18cm ,BC =21cm ,点P 从点A 开始沿AD 边向点D 以1 cm/s 的速度移动,点Q 从点C 开始沿CB 向点B 以2cm/s 的速度移动,如果点P 、Q 分别从两点同时出发,多少秒后,梯形PBQD 是等腰梯形?中心对称与中心对称图形一、知识点:1、图形的旋转:A P DQ B C在平面,将一个图形绕一个定点旋转一定的角度,这样的图形运动称为图形的旋转,这个定点称为旋转中心,旋转的角度称为旋转角。