坐标三角形及其面积
三角形坐标求面积公式
三角形坐标求面积公式三角形是一个由三条线段组成的图形，它有三个顶点和三条边。
我们可以使用坐标来计算三角形的面积，其中每个顶点的坐标可以表示为(x,y)。
在本文中，我将介绍三个方法来计算三角形的面积：海伦公式、向量法和行列式法。
方法一：海伦公式海伦公式是一种计算三角形面积的常用方法，它使用三条边的长度来计算。
根据海伦公式，三角形的面积可以通过以下公式计算：s=(a+b+c)/2area = √(s × (s - a) × (s - b) × (s - c))其中，a、b和c分别代表三角形的三条边的长度，s是三角形的半周长。
例如，假设三角形的顶点坐标分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)和C(x3,y3)，我们可以通过以下步骤计算三角形的面积：1.计算每条边的长度：a=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)b=√((x3-x2)²+(y3-y2)²)c=√((x1-x3)²+(y1-y3)²)2.计算半周长：s=(a+b+c)/23.计算面积：area = √(s × (s - a) × (s - b) × (s - c))方法二：向量法向量法是另一种计算三角形面积的方法，它使用两个边的向量的叉积来计算。
在使用向量法之前，我们需要计算两个边的向量。
对于两个向量A(x1,y1)和B(x2,y2)，向量AB可以通过以下公式计算：AB=(x2-x1,y2-y1)使用向量法来计算三角形的面积时，我们可以按照以下步骤进行：1.计算两条边的向量：AB=(x2-x1,y2-y1)AC=(x3-x1,y3-y1)2.计算两个向量的叉积：cross_product = AB×AC = (x2 - x1) * (y3 - y1) - (x3 - x1) * (y2 - y1)3.计算面积：area = 0.5 * ，cross_product方法三：行列式法行列式法是另一种计算三角形面积的方法，它使用矩阵的行列式来计算。
坐标系内三角形面积的求法
坐标系内三角形面积的求法平面直角坐标系内三角形面积的计算问题，是一类常见题型，也是坐标系内多边形面积计算的基础，那么如何解决这类问题呢？一、三角形的一边在坐标轴上例1如图1,三角形ABC的三个顶点的坐标分别是A(4,0),B(-2,0),C(2,4),求三角形ABC的面积.ffl 1分析：要求三角形的面积，需要分别求出底边及其高•由图1可知，三角形ABC的边AB在x轴上，容易求得AB的长，而AB边上的高，恰好是C点到x 轴的距离，也就是C 点的纵坐标的绝对值.解：因为A(4,0),B(-2,0),所以AB=4-(-2)=6.因为C(2,4),所以C点到x轴的1距离，即AB边上的高为4,所以三角形ABC的面积为1 6 4 12.2二、三角形有一边与坐标轴平行例1如图2,三角形ABC三个顶点的坐标分别为A(4，1)，B(4, 5)，C(-1，2)，求三角形ABC的面积.H 2分析：由A(4, 1)，B(4, 5)两点的横坐标相同，可知边AB与y轴平行，因而AB的长度易求.作AB边上的高CD，则D点的横坐标与A点的横坐标相同，也是4,这样就可求得线段CD的长，进而可求得三角形ABC的面积.解：因为A, B两点的横坐标相同，所以边AB // y轴，所以AB=5-1=4.作AB边上的高CD，则D点的横坐标为4,所以CD=4- (-1) =5,所以三角形ABC1 的面积为-4 5 10.2三、坐标平面内任意三角形的面积例3如图3,在直角坐标系中，三角形ABC的顶点均在网格点上.其中A点坐标为（2,-1）,则三角形ABC的面积为_______________ 方单位.H 3分析：本题中三角形ABC的任何一边都不在坐标轴上或与坐标轴平行，因此直接运用三角形的面积公式不易求解•可运用补形法，将三角形补成长方形，从而把求一般三角形面积的问题转化为求长方形面积与直角三角形面积的问题.解：由题意知，B（4, 3），C（1,2）.如图4,过点A作x轴的平行线，过点C 作y轴的平行线，两线交于点E.过点B分别作x轴、y轴的平行线，分别交EC 的延长线于点D，交EA的延长线于点FJ则长方形BDEF的面积为3M=12，三1i角形BDC的面积为-1 3 1.5,三角形CEA的面积为-1 3 1.5，三角形2 21ABF的面积为-2 4 4.所以三角形ABC的面积为：长方形BDEF的面积-2（三角形BDC的面积+三角形CEA的面积+三角形ABF的面积）=12-（1.5+1.5+4）=5 （平方单位）.图4。
一例说明坐标系中三角形面积的求法
三角形面积的计算公式为S＝底×高÷2．在平面直角坐标系中，我们常常使用割补法来求一个三角形的面积．如果给定三个点的坐标，有没有公式可以直接算出三点组成的三角形的面积呢？答案是肯定的．下面一起来推导一下．如图1：分别过点A，B，C，作AE⊥x轴，BD⊥x轴，CF⊥x轴，垂足分别为E，D，F．A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），S△ABC＝S梯形ABDE＋S梯形ACFE－S梯形BCFD＝1/2（y1＋y2）（x1－x2）＋1/2（y1＋y3）（x3－x1）－1/2（y2＋y3）（x3－x2）＝1/2（x1y2＋x2y3＋x3y1－x1y3－x2y1－x3y2）．如图2：分别过点A，B，C，作AE⊥x轴，BD⊥x轴，CF⊥x轴，垂足分别为E，D，F．A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），S△ABC＝S梯形BCFD－S梯形ABDE－S梯形ACFE＝1/2（y2＋y3）（x3－x2）－1/2（y1＋y2）（x1－x2）－1/2（y1＋y3）（x3－x1）＝1/2（x1y3＋x2y1＋x3y2－x1y2－x2y3－x3y1）．综上所述，在平面直角坐标系中，若A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则△ABC的面积为1/2｜x1y2＋x2y3＋x3y1－x1y3－x2y1－x3y2｜．这个公式这么复杂，应该如何记忆呢？第一步：按A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）顺序排列，计算x1y2，x2y3，x3y1；第二步：按C（x3，y3），B（x2，y2），A（x1，y1）（与A，B，C排列相反）顺序排列，计算x3y2，x2y1，x1y3；第三步：计算1/2｜x1y2＋x2y3＋x3y1－x1y3－x2y1－x3y2｜．。
已知顶点坐标三角形面积
已知顶点坐标三角形面积
在解析几何中,如果给定了三角形三个顶点的坐标,我们可以通过下面的公式计算三角形的面积:
设三个顶点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3),则三角形面积S可以通过以下公式计算:
S = 1/2 * |x1(y2-y3) + x2(y3-y1) + x3(y1-y2)|
其中|...|表示取绝对值。
这个公式实际上是利用了向量外积的性质。
我们可以将三角形的两个边向量进行外积,所得向量的模长就等于这两个边向量所围成的平行四边形的面积。
由于三角形面积是平行四边形面积的一半,所以最终的公式就是上面这个形式。
需要注意的是,在使用该公式时,我们输入的顶点坐标必须按照逆时针或顺时针的顺序给出,否则将得到负值。
通过这个公式,我们可以快速而准确地计算出任意三角形的面积,只要知道它的三个顶点坐标即可。
这在计算机辅助设计、图形学等领域有着广泛的应用。
直角坐标系三角形面积公式(一)
直角坐标系三角形面积公式(一)
直角坐标系三角形面积公式
1. 直角坐标系下的三角形面积公式
直角坐标系下，给定三角形的三个顶点坐标为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，可以使用以下公式计算三角形的面积：
S=1
2
|x1(y2−y3)+x2(y3−y1)+x3(y1−y2)|
其中，S代表三角形的面积。
2. 解释和示例
解释
直角坐标系下的三角形面积公式是通过计算三角形的顶点坐标和三角形三边之间的关系来求解的。
公式中的|x|代表取绝对值，确保计算结果永远为正值。
示例
假设有一个直角三角形，其三个顶点坐标为A(0, 0)，B(3, 0)，C(0, 4)，我们可以使用直角坐标系三角形面积公式计算其面积：将顶点坐标代入公式，计算过程如下：
S=1
2
|0⋅(0−4)+3⋅(4−0)+0⋅(0−0)|
S=1
2
|12|
S=6
因此，该直角三角形的面积为6平方单位。
通过这个示例，我们可以看出直角坐标系三角形面积公式的实际
应用，它可以帮助我们方便且准确地计算直角坐标系下的任意三角形
的面积。
总结
直角坐标系三角形面积公式是一种常用的计算三角形面积的方法。
通过给定三角形的顶点坐标，我们可以使用该公式计算三角形的面积。
这个公式在实际应用中非常方便，可以帮助我们解决各种与三角形面
积相关的问题。
三角形的面积与坐标下的位置
三角形的面积与坐标下的位置一、三角形面积的计算1.三角形面积的定义：三角形面积是指三角形所围成的平面区域的大小。
2.三角形面积的计算公式：三角形的面积S等于底a与高h的乘积的一半，即S = (1/2) * a * h。
3.特殊三角形的面积计算：等边三角形、等腰三角形、直角三角形的面积计算公式。
二、坐标系与点的位置1.坐标系的定义：坐标系是由两条互相垂直的数轴组成，用于确定点在平面上的位置。
2.平面直角坐标系：横轴（x轴）和纵轴（y轴）组成的坐标系，点的坐标表示为(x, y)。
3.坐标的正负性：x轴向右为正方向，向左为负方向；y轴向上为正方向，向下为负方向。
三、三角形在坐标系中的表示1.三角形顶点的坐标表示：三角形的三个顶点分别在坐标系中的位置，用坐标点表示。
2.三角形边长的计算：根据顶点坐标计算三角形各边的长度。
3.三角形面积的坐标表示：利用三角形的顶点坐标计算三角形面积。
四、三角形面积的坐标计算方法1.向量法：通过计算两个向量的叉积来求解三角形面积，叉积的模即为三角形面积的两倍。
2.坐标差法：通过计算三角形三边垂直平分线的交点，形成一个小矩形，矩形的面积即为三角形的面积。
五、三角形在坐标系中的特殊性质1.重合三角形：两个或多个三角形在坐标系中部分或全部重合，其面积相加等于重合部分的面积。
2.平行四边形三角形：在坐标系中，两个相邻的三角形可以构成一个平行四边形，其面积相等。
六、三角形面积的应用1.几何问题：解决实际问题中涉及三角形面积的问题，如测量土地、计算图形面积等。
2.物理问题：利用三角形面积计算力的大小、电场强度等物理量。
3.数学问题：在坐标系中研究三角形的性质，如三角形的不等式、三角形的内切圆等。
七、坐标系与三角形面积的拓展1.空间坐标系：将坐标系扩展到三维空间，利用空间坐标系计算四面体、立方体等立体图形的面积和体积。
2.坐标变换：通过坐标变换，如平移、旋转、缩放等，研究三角形面积的变化规律。
坐标三角形及其面积
坐标 三角形
在平面直角坐标系中,直 线y〓 肋十以庀≠Ol与 两条坐标轴围成的三角形叫做
坐标三 角形。坐标三 角形是直 角三 角形。
如 图 (1)月旰;云 ,堇W线
+乙 (乃 ≠0)与 艿车由:交 于 ∫氪/〔 -钅 ,0)疒与y车由蚕Σf点
`=肋
BlO,Θ ,Rt△ /@B就 是 一个坐标三 角形 。
(2)求 (3)在
图象与 艿轴 的交点 /的 坐标 (2)的 条件下,求 △/@B的
,与
`轴 面积。
的交
点
B点
的坐
标Hale Waihona Puke ;第 2页图 (2)
习题 5.∵ 次函数 y〓 :r+3的 图象与两条坐标轴围成的三角形的面积为
习题 6.原 点 @到 直线
十3的 距 离为
.
`〓 :艿
习题
7.如 图
(3)所
示 ,直
线
`〓
J+3与
导
丌轴
交 f点
Z,与
丿轴 交 I点
B.
(1)求 △/@B的 面积;
(2)求 原 点 @到 该直线 的距 离。
图 (3)
习题 8。 作 出函势田 =:艿 -4的 图象,并 回答 下面 的 问题 : (1)求 它 的 图象与 艿轴 、 `轴 所 围成 图形 的面积 ; (2)求 原 点到此 图象 的距 离。
`=-:艿
形的面积.(提 示:根 据 3的 符号分类讨论)
图 (4)
习题 10。 已知直线 缸+6与 两坐标轴所围成的三角形的面积是 ⒛,求 常数 七
`〓
的值。
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各
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直角坐标系求三角形面积公式
直角坐标系求三角形面积公式引言在几何学中，求解三角形的面积是一个经常遇到的问题。
对于直角坐标系中的三角形，我们可以利用其顶点的坐标来求解其面积。
本文将介绍直角坐标系下求解三角形面积的公式，并给出详细的推导过程。
问题描述给定三角形的三个顶点坐标：点A(x₁, y₁)、点B(x₂, y₂)和点C(x₃, y₃)，我们的目标是求解三角形ABC的面积。
解决方法我们可以通过向量的方法来求解三角形的面积。
首先，我们定义向量AB和向量AC：向量AB: v₁= (x₂ - x₁, y₂ - y₁)向量AC: v₂= (x₃ - x₁, y₃ - y₁)接下来，我们可以利用向量的叉积来求解三角形ABC的面积。
向量的叉积的长度等于由这两个向量所确定的平行四边形的面积。
我们可以将这个面积除以2，得到三角形ABC的面积。
向量的叉积可以通过以下公式计算：v₁ × v₂= (x₁ * y₂ - x₂ * y₁) - (x₁ * y₃ - x₃ * y₁) + (x₂ * y₃ - x₃ * y₂)实际上，这个公式可以简化为以下形式：v₁ × v₂= (x₁ * (y₂ - y₃) + x₂ * (y₃ - y₁) + x₃ * (y₁ - y₂)) / 2于是，我们可以将这个公式代入计算三角形ABC的面积：面积 = |v₁ × v₂| / 2 = |(x₁ * (y₂ - y₃) + x₂ * (y₃ - y₁) + x₃ * (y₁ - y₂)) / 2|其中，|x|表示取x的绝对值。
示例为了更好地理解这个公式，我们举一个具体的例子来计算一个三角形的面积。
假设我们要计算三角形ABC的面积，其中点A的坐标为(0, 0)，点B的坐标为(3, 0)，点C的坐标为(0, 4)。
按照上述公式，我们可以计算向量AB和向量AC：向量AB: v₁ = (3 - 0, 0 - 0) = (3, 0)向量AC: v₂ = (0 - 0, 4 - 0) = (0, 4)接下来，我们代入计算三角形ABC的面积：面积 = |(0 * (0 - 4) + 3 * (4 - 0) + 0 * (0 - 0)) / 2|面积 = |(0 + 12 + 0) / 2|面积 = |12 / 2|面积 = 6所以，三角形ABC的面积为6。
坐标系中求三角形面积公式
坐标系中求三角形面积公式在二维坐标系中，求三角形的面积是一个常见而重要的问题。
一个三角形可以由三个顶点确定，我们可以利用这些顶点的坐标来计算三角形的面积。
假设我们有一个三角形，其顶点分别为A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3)。
我们可以利用这三个顶点的坐标来计算三角形的面积。
首先，我们可以定义两个向量。
向量AB可以表示为向量V1 = (x2 - x1, y2 - y1)，向量AC可以表示为向量V2 = (x3 - x1, y3 - y1)。
接下来，我们可以利用向量叉乘的方法来计算三角形的面积。
向量叉乘的公式是V1 × V2 = |V1| * |V2| * sin(θ)，其中|V1|和|V2|分别表示向量V1和V2的模长，θ表示V1和V2之间的夹角。
三角形的面积可以通过向量叉乘的结果来计算，即S = 0.5 * |V1 × V2|。
接着，我们需要计算向量叉乘的结果。
向量叉乘的结果是一个新的向量，其模长等于|V1| * |V2| * sin(θ)，方向垂直于V1和V2所在的平面。
其模长也可以表示为S = 0.5 * |(x2 - x1)(y3 - y1) - (y2 - y1)(x3 - x1)|。
最后，我们可以根据得到的面积公式计算三角形的面积。
如果得到的面积为正数，表示三角形是顺时针方向的；如果得到的面积为负数，表示三角形是逆时针方向的。
绝对值即为三角形的面积。
综上所述，坐标系中求三角形面积的公式是S = 0.5 * |(x2 - x1)(y3 - y1) - (y2 -y1)(x3 - x1)|。
这个公式可以有效地帮助我们计算任意三角形的面积，无需其他复杂的几何知识，只需要利用三个顶点的坐标即可进行计算。
初中数学三点坐标求三角形面积公式
初中数学三点坐标求三角形面积公式
初中数学中，我们学习了三角形的面积公式：S=1/2×底×高。
但是，如果我们没有给出三角形的底和高，我们如何求得三角形的面积呢？
这时，我们可以利用三角形的三个顶点坐标来求得三角形的面积。
假设三角形的三个顶点坐标为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)。
我们可以利用向量的方法来求解。
首先，我们需要求出向量AB和向量AC的坐标表示：
向量AB的坐标表示为：(x2-x1, y2-y1)
向量AC的坐标表示为：(x3-x1, y3-y1)
接着，我们可以利用向量叉积的公式求出向量AB和向量AC的叉积，即：
AB × AC = |AB|×|AC|×sinθ
其中，|AB|和|AC|分别为向量AB和向量AC的模长，θ为夹角。
由于θ为锐角，因此sinθ的值为正值。
将上式变形，得到：
S = 1/2×AB × AC = 1/2×|AB|×|AC|×sinθ
由于|AB|和|AC|的值可以通过坐标差来求得，因此我们可以将上式表示为：
S = 1/2×| (x2-x1)×(y3-y1)-(y2-y1)×(x3-x1) | 这就是初中数学中三点坐标求三角形面积的公式。
需要注意的是，由于向量叉积的结果为正负值，因此在计算时需
要取绝对值。
此外，这种方法只适用于已知三角形三个顶点坐标的情况。
如果只给出了三角形的边长或角度等信息，则需要使用其他方法来求解。
三角形坐标求面积公式
三角形坐标求面积公式三角形是几何学中最基本的形状之一，也是我们日常生活中经常遇到的形状。
在讨论三角形时，我们经常需要计算其面积，因为面积是我们描述和比较不同三角形大小的重要参数。
那么，如何用坐标来计算三角形的面积呢？要计算一个三角形的面积，我们通常使用一个简单的公式，即“1/2乘以底边长乘以高”。
但是，当我们的三角形不是规则的，或者无法准确测量底边长和高时，我们就需要利用坐标来求解面积了。
首先，我们需要知道三角形的三个顶点的坐标。
假设三角形的顶点分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)和C(x3, y3)。
那么，我们可以得出边AB的长度为√[(x2-x1)² + (y2-y1)²]，边BC的长度为√[(x3-x2)² + (y3-y2)²]，边AC的长度为√[(x3-x1)² + (y3-y1)²]。
接下来，我们需要通过这些边长来计算三角形的半周长。
半周长的计算公式为s = (AB + BC + AC)/2。
然后，我们可以使用海伦公式来计算三角形的面积。
海伦公式是三角形面积计算的一种常用方法。
根据海伦公式，三角形的面积可以通过半周长和边长来计算，公式为：面积= √[s(s-AB)(s-BC)(s-AC)]最后，我们可以根据以上步骤来计算三角形的面积。
将计算得到的结果进行四舍五入，即可得到三角形的面积。
需要注意的是，我们在计算过程中，需要将坐标值代入公式中，计算出具体的数值，而不是直接使用坐标值进行计算。
因此，在使用坐标计算三角形的面积时，我们需要准确地测量和记录三角形顶点的坐标。
通过上述的计算方法，我们可以用坐标来求解任意形状的三角形的面积。
这为我们在日常生活中的建筑设计、地理测量、工程项目等提供了很大的方便和指导。
总结一下，计算三角形面积的坐标方法包括以下几个步骤：确定三角形的顶点坐标、计算三角形的边长、计算三角形的半周长、利用海伦公式计算三角形的面积，并将结果四舍五入得到最终的面积值。
三角形面积公式与坐标关系
三角形面积公式与坐标关系三角形是平面几何中最基本的多边形之一，也是研究三维空间的基础。
在计算三角形面积时，我们可以使用不同的公式和方法，其中一种常用的方法是通过三个点的坐标来计算。
假设我们有一个三角形，其三个顶点分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。
根据欧几里得空间几何学，我们可以通过这三个顶点的坐标来计算该三角形的面积。
这种方法被称为两个向量的叉乘。
首先，我们需要确定两条边的向量。
假设边AB的向量为u，边AC的向量为v：u=(x2-x1,y2-y1)v=(x3-x1,y3-y1)接下来，我们可以计算向量u和v的叉乘，得到一个新的向量w：w=(u1*v2-u2*v1)这个新向量的大小等于原来两个向量所围成的平行四边形的面积。
由于我们需要计算的是三角形的面积，所以我们只需要将w的大小除以2即可得到最终的结果。
S=，w，/2通过这种方法，我们可以计算出任意三角形的面积，无论其大小、形状、旋转角度等。
举例来说，如果我们有一个三角形，其三个顶点的坐标分别为A(1,2)，B(3,4)，C(5,6)。
我们可以按照上述步骤进行计算：u=(3-1,4-2)=(2,2)v=(5-1,6-2)=(4,4)w=(2*4-2*4)=0S=，0，/2=0因此，这个三角形的面积为0.这是因为三个点所构成的线段是共线的，无法构成一个有效的三角形。
在使用这种方法计算三角形面积时需要注意以下几点：1.三个点的顺序：计算面积的前提是三个点的顺序。
具体来说，我们需要确保顶点按照顺时针或逆时针的顺序连接起来，以便正确计算向量和叉乘。
如果顶点的顺序错误，计算结果将是负数或绝对值不正确的情况。
因此在计算之前要仔细检查点的顺序。
2.坐标的单位：在使用坐标进行计算时，要保持一致的单位。
如果使用的是米，那么所有点的坐标都应该是米。
如果使用的是厘米，那么所有点的坐标也应该是厘米。
否则，计算结果将产生误差。
3.精度：在处理坐标时，要注意保持足够的精度。
直角坐标系中三角形面积的计算
直角坐标系中三角形面积的计算
直角坐标系中三角形面积的计算方法是通过坐标点之间的距离
计算得出的。
首先，我们需要找出三角形的三个顶点坐标，假设它们分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)和C(x3, y3)。
然后，我们通过计算AB、AC和BC三条边的长度来确定三角形的类型。
如果AB = AC，那么三角形是等腰三角形；如果AB = BC，那
么三角形是等腰三角形；如果AC = BC，那么三角形是等腰三角形；如果三条边长度都不相等，那么三角形是一般三角形。
最后，我们可以使用海龙公式或向量叉积的方法来计算三角形的面积。
使用海龙公式，我们可以通过三边的长度计算出半周长，并使用半周长和三边的长度计算出三角形的面积。
而使用向量叉积的方法，我们可以通过三个坐标点的向量叉积计算出三角形的面积。
无论使用何种方法，直角坐标系中三角形面积的计算都可以在几步简单的计算中完成。
- 1 -。
坐标系中的三角形的面积
坐标系中的三⾓形的⾯积
坐标系中的三⾓形的⾯积
姓名：考试时间： 25分钟得分：
⽅法指导：1、如果三⾓形有⼀边与坐标轴平⾏或重合，则以平⾏或重合于坐标轴的边为三⾓形的底边计算三⾓形的⾯积。
2、如果三⾓形没有与坐标轴平⾏或重合的边，则运⽤求差法计算三⾓形的⾯积（长⽅形减三个直⾓三⾓形或梯形减⼆⾓直⾓三⾓形）。
3、如果图形为规则四边形，按⾯积公式进⾏计算。
4、如果图形为不规则四边形，则运⽤求和法或求差法算计⾯积
1、如图，在同⼀平⾯直⾓坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（－6，0），B（2，0），C（－1，8），则△ABC的⾯积是Array
2、如图，在三⾓形AOB中，A、B两点的坐标分别为（2,4）、（6，2）
⾓形AOB的⾯积.
3、如图，△ABC在直⾓坐标系中，求△ABC的⾯积。
4、在平⾯直⾓坐标系中，顺次连接点A（-2,0）、B（0,3）、C（3,3）、D（4,0）
5、在平⾯直⾓坐标系中描出下列各点：A（4，6），B（0，0），C（10，0），D（10，2）；
求四边形ABCD的⾯积。
点坐标计算三角形面积
点坐标计算三角形面积
点坐积计算三角形面积
三角形的面积可以通过已知三个顶点的坐标来计算。
设三个顶点的坐标分别为(x1, y1)、(x2, y2)、(x3, y3)。
那么，三角形的面积可以按照下面的公式计算:
Area = 1/2 * |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)|
其中|...|表示取绝对值。
这个公式也被称为"鞋带公式"。
它利用了向量外积的概念,通过计算两个向量的外积的绝对值并除以2来获得三角形的面积。
具体计算步骤如下:
1. 将三个顶点坐标代入上述公式;
2. 分别计算x1(y2 - y3)、x2(y3 - y1)、x3(y1 - y2)的值;
3. 将这三个值相加;
4. 取绝对值;
5. 再除以2,即得到三角形的面积。
这种方法适用于任何三角形,包括钝角三角形和锐角三角形。
它为我们提供了一种简单而有效的计算三角形面积的方法,只需要知道三个顶点的坐标。
三角形面积公式在坐标中表示方法
三角形面积公式在坐标中表示方法
坐标系中三角形面积公式：
S=(1/2)*(x1y2+x2y3+x3y1-x1y3-x2y1-x3y2)。
坐标系，是理科常用辅助方法。
常见有直线坐标系，平面直角坐标系。
为了说明质点的位置、运动的快慢、方向等，必须选取其坐标系。
在参照系中，为确定空间一点的位置，按规定方法选取的有次序的一组数据，这就叫做“坐标”。
三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应用。
常见的三角形按边分有普通三角形（三条边都不相等），等腰三角（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）。
三角形面积用坐标表示的公式
三角形面积用坐标表示的公式坐标表示三角形面积的公式有几个，它们分别是：1. 用三角形的三个坐标点表示三角形面积公式：$S=\frac{1}{2}|(x_1y_2+x_2y_3+x_3y_1)-(y_1x_2+y_2x_3+y_3x_1)|$ 2. 用三角形的两条对角线表示三角形面积公式：$S=\frac{1}{2}(d_1\cdot d_2\cdot \sin \alpha)$其中，$d_1$和$d_2$分别表示三角形的两条对角线，$\alpha$代表连接两条对角线的角的大小。
3. 用三角形的一条边及其垂直交点表示三角形面积公式：$S=\frac{1}{2}a\cdot h$其中，$a$表示三角形的边，$h$代表垂直交点到三角形底线的距离。
4. 用三角形的一条边和角度表示三角形面积公式：$S=\frac{1}{2}ab\cdot \sin(\theta)$其中，$a$和$b$分别表示三角形的两条边，$\theta$表示两条边之间的夹角度数。
5. 用三角形另外两条边以及它们之间夹角度数表示三角形面积公式：$S=\frac{1}{2}ab\cdot \sin(\theta)$其中，$a$和$b$分别表示三角形的两条边，$\theta$表示两条边之间的夹角度数。
上述几个公式均可用于坐标图中求出三角形的面积。
但除了上述几个公式以外，还可以用其它多边形的表示方式来表示三角形的面积，例如：- Heron公式：$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$其中，$a$，$b$，$c$分别表示三角形的三边，而$p$则由以下加权平均得出：$p=\frac{a+b+c}{2}$，也即半周长$p$。
- 斯特林公式（Pick's theorem）：$S=i+\frac{b}{2}-1$其中，$i$是三角形内部格点数（也称为介角数），$b$是三角形边界上格点数。
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坐标三角形及其面积
坐标三角形
在平面直角坐标系中,直线()0≠+=k b kx y 与两条坐标轴围成的三角形叫做坐标三角形.坐标三角形是直角三角形.
如图（1）所示,直线()0≠+=k b kx y 与x 轴交于点A ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-0,k b ,与y 轴交于点B ()b ,0,Rt △AOB 就是一个坐标三角形. 正比例函数的图象不存在坐标三角形.
与坐标三角形有关的问题:
（1）已知直线的解析式,求坐标三角形的面积.
（2）求原点O 到直线的距离,即求坐标三角形斜边上的高.（等积法） （3）已知坐标三角形的面积,求直线的解析式.
在图（1）中,因为点A ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-0,k b 、B ()b ,0,所以
b OB k b k b k b OA ===-=,, △AOB 的面积为k
b OB OA S AOB 2212
=⋅=∆. 于是得到下面的结论:
在平面直角坐标系中,直线()0≠+=k b kx y 与两条坐标轴围成的坐标三角形的面积为
k
b S 22
=.（只用于解决选择题和填空题,以及某些解答题答案的检验）
图（1）坐标三角形
图（2）
在解决关于坐标三角形的问题时,应注意分类讨论思想的应用.
习题1. 直线4+-=x y 与两条坐标轴围成的三角形的面积为_________.
习题2. 若直线b x y +-=2与两坐标轴围成的三角形的面积为1,则b 的值为【 】 （A ）4 （B ）4- （C ）4± （D ）2±
分析:使用坐标三角形的面积公式k b S 22
=解决问题.
解:由题意可知:
1222
=-b ,解之得:2±=b . 习题3. 已知直线32
1
-=
x y . （1）求该直线x 轴、y 轴的交点坐标; （2）求该直线与两条坐标轴围成的三角形的面积.
习题4. 已知一次函数42+=x y .
（1）在如图（2）所示的平面直角坐标系中,画出函数的图象; （2）求图象与x 轴的交点A 的坐标,与y 轴的交点B 点的坐标; （3）在（2）的条件下,求△AOB 的面积.
习题5. 一次函数34
3
+=x y 的图象与两条坐标轴围成的三角形的面积为________.
习题6. 原点O 到直线34
3
+=x y 的距离为_________. 习题7. 如图（3）所示,直线343
+=x y 与x 轴交于点A,与y 轴交于点B.
（1）求△AOB 的面积; （2）求原点O 到该直线的距离.
习题8. 作出函数43
4
-=x y 的图象,并回答下面的问题: （1）求它的图象与x 轴、y 轴所围成图形的面积; （2）求原点到此图象的距离.
习题9. 在平面直角坐标系中,一次函数的图象与坐标轴围成的三角形叫做此一次函数的坐标三角形.例如,如图（4）所示,△AOB 就是坐标三角形.
（1）求函数
34
3+-=x y 的坐标三角形的三条边长;
图（3）
（2）若函数b x y +-=43
（b 为常数）的坐标三角形的周长为16,求此坐标三角
形的面积.（提示:根据b 的符号分类讨论）
习题10. 已知直线6+=kx y 与两坐标轴所围成的三角形的面积是24,求常数k 的值.
图（4）。