1.2.2复合函数求导公式PPT精品文档
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ly n ln x 1 ) ( 1 ln x 1 ) ( 2 ln x 4 ) ( x 3
上式两边 x求对导得 y1 1 2 1 y x1 3(x1) x4
y (x (x 1 ) 4 3 )2 x e x 1 [x 1 1 3 (x 1 1 ) x 2 4 1 ]
四、反函数求导法则
定理 设 y f( x )为 x f 1( y )的反函数,
y 的某邻域内单调可导, 且 [ f 1( y )] 0
f (x) 1
[ f 1( y)]
或 dy 1
dx dx
dy
例4、 求反三角函数的导数
解: 1) 设 y arcsin x , 则 x sin y , y ( , ) ,
y与x间的函数关系
,
称此为由参数方程所确定的函数.
例如
x 2t,
y
t
2,
t x 2
消去参数 t
（1） yx3sinx (2)yx4x2x3
（ 3） y2x33x25x4
(4)y(2x23)3(x2)
（ 5）y x 2 sin x
（ 6） y sin x cos x
练习4：设 yxcosx4lnxsin,求 y
7
解 : y ( xco x) s(lx)n (s i)n 7
(x ) c o s x x ( c o s x ) 4 ( ln x ) 0
22 cos y 0 , 则
(arcsin x)
1 (sin y)
1 cos y
1 1 sin2 y
1
1 x2
(arccos x) ? 1 1 x2
利用
arccos
x
arcsin
x
2
类似可求得
(arctan x)
1 1 x2
,
(arccot
x)
1 1 x2
五、三个求导方法
1、 隐函数求导法则 显函数：： 因变y可 量由含有x自 的变 数量 学式子直
2 (c2o xsi2x n)2co 2xs
定理 如 果u函 (数 x在 ) x点 可,导 而 yf(u) 在u点 (x可 ) ,导 则 复 合 yf函 [(x数 在 )] 点 x可,导 且 其 导 数 为
d ydd yu (或 f[(x) ]f(u )(x))
dx dd ux
即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量 求导, 乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)
由原方x程 0,y知 0,
ddxyx0
exxeyy
x0 y0
1.
2、对数求导法
观察函数 y(x (x 1)43)2 xe x1, yxsix n.
方法: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数.
--------对数求导法
例8： 设y(x1)3 x1,求 y. (x4)2ex
解: 等式两边取对数得
方法：直接对方程两边用复合函数求导法则求
导.
当方程的两端对x求导时，要记住y是x 是函数，然后用 复合函数求导法则 去求导。
例7：求由方x程 yex ey 0所确定的隐函 y的导dd数 xy, ddxyx0.
解： 方程两边x对 求导,
yxdyexeydy0
dx
dx
解得
dy ex y dx x ey ,
练习、求下列函数的导数 （1）y= 12x cos x （2）y=ln (x+ 1 x2 )
理论推广 复合函数法则可推广到多个中间变量的情形
例如, y f ( u ) ,u ( v ) , v ( x )
y
dy dx
dy du
ห้องสมุดไป่ตู้
du dv
dv
dx
u v
f ( u ) ( v ) ( x )
3.2.2求复合函数的导数(2)
一、课前练习
练习 1、求下列函数的导数
(1) yx5
(2) y5 (3) y 1 x
(4) ylnx (5) ylo2gx (6) ycoxs
练习 2、求下列函数的导数：
5
(1) y x
(2)
y
1 x5
(3) y 5x
(4) y e5
练习3、求下列函数的导数：
4u5(3) 1u251(1 23x)5
12 (1 3x)5
．
例2： 求函y数 a2 x2的导数
解：此函数可 数y看 作 u与由 ya函 2 x2
复合而成
dy 1 du 2 u
du 2x dx
dy2x 1 x dx 2u a2x2
思考题
函数
y
ln cos( ex
) ,求
dy . dx
对于思考题 函y数 si2nx，y求
函数可看 y作 siu n由 与 u函 2x复 数合而
dy cos u du
du 2 dx
dy dy du 2cou s2co2xs dxdu dx
例1函数
y 1 (1 3x)4
的导数.
解：
1 y
(1 3x)4
(13x)4
．
设 y u 4 u13x
y'xy'uu'x(u4)u'(13x)x'
x
关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.
例3、设
y ln cos( ex ) , 求
dy . dx
解: 函 数 可 以 看 y作 lnu由 、u函 co数 vs 与vex复 合 而 成
dy 1 du u
du sinv dv
dv e x dx
d d x y u 1( siv)n ex c1 o ex(ssex i)e n x
例8：设 y x sx in (x 0 )求 ,y .
解： 等式两边取对数得
上式两x边 求对 导得
1ycoxslnxsix n1
y
x
yy(cx o ln sxsixn 1) x
xsix n(cx olsn xsix n ) x
3、由参数方程所确定的函数的导数
若参数方程
x y
(t (t
)确定 )
cosx xsinx4
2x
x
二、复合函数的求导法则
思考 求函 y数 si2nx的导数
比较下列两种做法
方法 :由 一 公 (sx i式 )ncox,s 得 y(s2 ixn )co2xs
方:法 y s2 i二 x n 2 sx ic nx os
y(2sixn cox)s 2[(sx)ic nox ssixn (cx o)]s
出来的函数y， f形 (x)如：
隐函数： 由方程所确定的函数y y( x )称为隐函数.
对 于 隐 函 数 化 我 ， 们 如 可 x由 y以 3方 1显 0程 解y出 31x化 成 显 函 数 的 性 质
但是有的不易甚 显至 化不 ，能 例如：方 ey 程 xy0 所确定的隐函数
问题: 隐函数不易显化或不能显化如何求导?
上式两边 x求对导得 y1 1 2 1 y x1 3(x1) x4
y (x (x 1 ) 4 3 )2 x e x 1 [x 1 1 3 (x 1 1 ) x 2 4 1 ]
四、反函数求导法则
定理 设 y f( x )为 x f 1( y )的反函数,
y 的某邻域内单调可导, 且 [ f 1( y )] 0
f (x) 1
[ f 1( y)]
或 dy 1
dx dx
dy
例4、 求反三角函数的导数
解: 1) 设 y arcsin x , 则 x sin y , y ( , ) ,
y与x间的函数关系
,
称此为由参数方程所确定的函数.
例如
x 2t,
y
t
2,
t x 2
消去参数 t
（1） yx3sinx (2)yx4x2x3
（ 3） y2x33x25x4
(4)y(2x23)3(x2)
（ 5）y x 2 sin x
（ 6） y sin x cos x
练习4：设 yxcosx4lnxsin,求 y
7
解 : y ( xco x) s(lx)n (s i)n 7
(x ) c o s x x ( c o s x ) 4 ( ln x ) 0
22 cos y 0 , 则
(arcsin x)
1 (sin y)
1 cos y
1 1 sin2 y
1
1 x2
(arccos x) ? 1 1 x2
利用
arccos
x
arcsin
x
2
类似可求得
(arctan x)
1 1 x2
,
(arccot
x)
1 1 x2
五、三个求导方法
1、 隐函数求导法则 显函数：： 因变y可 量由含有x自 的变 数量 学式子直
2 (c2o xsi2x n)2co 2xs
定理 如 果u函 (数 x在 ) x点 可,导 而 yf(u) 在u点 (x可 ) ,导 则 复 合 yf函 [(x数 在 )] 点 x可,导 且 其 导 数 为
d ydd yu (或 f[(x) ]f(u )(x))
dx dd ux
即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量 求导, 乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)
由原方x程 0,y知 0,
ddxyx0
exxeyy
x0 y0
1.
2、对数求导法
观察函数 y(x (x 1)43)2 xe x1, yxsix n.
方法: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数.
--------对数求导法
例8： 设y(x1)3 x1,求 y. (x4)2ex
解: 等式两边取对数得
方法：直接对方程两边用复合函数求导法则求
导.
当方程的两端对x求导时，要记住y是x 是函数，然后用 复合函数求导法则 去求导。
例7：求由方x程 yex ey 0所确定的隐函 y的导dd数 xy, ddxyx0.
解： 方程两边x对 求导,
yxdyexeydy0
dx
dx
解得
dy ex y dx x ey ,
练习、求下列函数的导数 （1）y= 12x cos x （2）y=ln (x+ 1 x2 )
理论推广 复合函数法则可推广到多个中间变量的情形
例如, y f ( u ) ,u ( v ) , v ( x )
y
dy dx
dy du
ห้องสมุดไป่ตู้
du dv
dv
dx
u v
f ( u ) ( v ) ( x )
3.2.2求复合函数的导数(2)
一、课前练习
练习 1、求下列函数的导数
(1) yx5
(2) y5 (3) y 1 x
(4) ylnx (5) ylo2gx (6) ycoxs
练习 2、求下列函数的导数：
5
(1) y x
(2)
y
1 x5
(3) y 5x
(4) y e5
练习3、求下列函数的导数：
4u5(3) 1u251(1 23x)5
12 (1 3x)5
．
例2： 求函y数 a2 x2的导数
解：此函数可 数y看 作 u与由 ya函 2 x2
复合而成
dy 1 du 2 u
du 2x dx
dy2x 1 x dx 2u a2x2
思考题
函数
y
ln cos( ex
) ,求
dy . dx
对于思考题 函y数 si2nx，y求
函数可看 y作 siu n由 与 u函 2x复 数合而
dy cos u du
du 2 dx
dy dy du 2cou s2co2xs dxdu dx
例1函数
y 1 (1 3x)4
的导数.
解：
1 y
(1 3x)4
(13x)4
．
设 y u 4 u13x
y'xy'uu'x(u4)u'(13x)x'
x
关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.
例3、设
y ln cos( ex ) , 求
dy . dx
解: 函 数 可 以 看 y作 lnu由 、u函 co数 vs 与vex复 合 而 成
dy 1 du u
du sinv dv
dv e x dx
d d x y u 1( siv)n ex c1 o ex(ssex i)e n x
例8：设 y x sx in (x 0 )求 ,y .
解： 等式两边取对数得
上式两x边 求对 导得
1ycoxslnxsix n1
y
x
yy(cx o ln sxsixn 1) x
xsix n(cx olsn xsix n ) x
3、由参数方程所确定的函数的导数
若参数方程
x y
(t (t
)确定 )
cosx xsinx4
2x
x
二、复合函数的求导法则
思考 求函 y数 si2nx的导数
比较下列两种做法
方法 :由 一 公 (sx i式 )ncox,s 得 y(s2 ixn )co2xs
方:法 y s2 i二 x n 2 sx ic nx os
y(2sixn cox)s 2[(sx)ic nox ssixn (cx o)]s
出来的函数y， f形 (x)如：
隐函数： 由方程所确定的函数y y( x )称为隐函数.
对 于 隐 函 数 化 我 ， 们 如 可 x由 y以 3方 1显 0程 解y出 31x化 成 显 函 数 的 性 质
但是有的不易甚 显至 化不 ，能 例如：方 ey 程 xy0 所确定的隐函数
问题: 隐函数不易显化或不能显化如何求导?