1.2.2复合函数求导公式PPT精品文档
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251简单的复合函数的求导法则 11页PPT文档
若y f (u)是中间变量u的函数，
u (x)是自变量x的函数，则称 y f ( (x))是自变量x的复合函数.
11:52:40
练习1
指出下列函数是怎样复合而成：
(1) y sin 2x；
y sin u, u 2x
(2) y 3x2 x 1； (3) y cos(sin x)； (4) y (a bxn )m； (5) y sin(1 1).
x
y u, u 3x2 x 1 y cos u, u sin x
y um , u a bxn.
y sin u, u 1 1 x
11:52:40
问题： 如何求y (3x 2)2的导数？
① y'x y' [(3x 2)2]' 9x2 12x 4 ' 18x 12
11:52:40
课前练习：
1.y x(x2 1 1 ),求y '； x x2
2.y x sin x cos x ,求y '； 22
3.y x cos(x), 求y '；
y
'
2x2
1 x2
y ' 1 1 cos x 2
y ' x cos x x sin x 2x
1) (u(x) v(x)) ' u '(x) v '(x)
2) (u(x) v(x)) ' u '(x)v(x) u(x)v '(x)
推论：[c· f(x)]’ = c f’(x)
u(x) u '(x)v(x) u(x)v '(x)
u (x)是自变量x的函数，则称 y f ( (x))是自变量x的复合函数.
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练习1
指出下列函数是怎样复合而成：
(1) y sin 2x；
y sin u, u 2x
(2) y 3x2 x 1； (3) y cos(sin x)； (4) y (a bxn )m； (5) y sin(1 1).
x
y u, u 3x2 x 1 y cos u, u sin x
y um , u a bxn.
y sin u, u 1 1 x
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问题： 如何求y (3x 2)2的导数？
① y'x y' [(3x 2)2]' 9x2 12x 4 ' 18x 12
11:52:40
课前练习：
1.y x(x2 1 1 ),求y '； x x2
2.y x sin x cos x ,求y '； 22
3.y x cos(x), 求y '；
y
'
2x2
1 x2
y ' 1 1 cos x 2
y ' x cos x x sin x 2x
1) (u(x) v(x)) ' u '(x) v '(x)
2) (u(x) v(x)) ' u '(x)v(x) u(x)v '(x)
推论：[c· f(x)]’ = c f’(x)
u(x) u '(x)v(x) u(x)v '(x)
课件：复合函数的求导法则,反函数的求导法则
dy
即：反函数的导数等于原函数的导数的倒数.
证 任取x I x , 给x以增量x (x 0, x x I x ) 由y f ( x)的单调性可知 y 0,
于是有
y x
1 x
,
f ( x)连续,
y
当x 0时，必有 y 0.又知 ( y) 0
f ( x) lim y x0 x
lim 1 y0 x
例1
y lntan x，求
dy dx
.
解 令 u tan x ，则 y ln u
故 dy ln utan x 1 sec2 x
dx
u
1 sec2 x tan x
1 sin x cos x
例2
y 3 1 2x2 ，求 dy
dx
.
解
dy
1 2x2
1 3
dx
1
1 2x2
证 由 y f (u)在u处可导,可得
f (u) lim y u0 u
则有 y f (u) o(1),其中lim o(1) 0
u
u0
即 y f (u)u o(1)u
所以 y f (u) u o(1) u
x
x
x
注意到:当x 0时, 由u (x) 的连续性
可得 u 0,从而 lim o(1) lim o(1) 0
2 3
1 2x2
3
1
1 2x2
2 3
4x
3
4x
33 (1 2x2 )2
例3 y sin nx sinn x ,求y. nsinn1 x sin(n 1)x
例4 y ln( x x2 1), 求 yy. 1
例5
y
1
复合函数与隐函数的偏导数-PPT
z x
0,
Fy
Fz
z y
0.
因为 Fz 连续,且Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0，所以存在
点( x0 , y0 ,
于就是得
z0 ) 得一个邻域,在这个邻域内 z Fx , z Fy .
Fz
0,
x Fz y Fz
隐函数的求导公式
z Fx , x Fz
例
已知 x2 a2
y2 b2
(2) F (0,0) 0; (3) Fy (0,0) 1 0, 隐函数存在定理1 所以方程在点 (0, 0) 附近确定一个有连续导数、 当x 0时y 0得隐函数 y f ( x),且
dy dx
Fx Fy
y x
e e
x y
.
隐函数的求导公式
例 已知ln x2 y2 arctan y ,求 dy . x dx
z f [ ( x, y), ( x, y),( x, y)]在对应点( x, y)
u
v
w
得两个偏导数存在, 且可用下列公式计算:
z x
z u
u x
z v
v x
z w
w x
ux
z y
z u u y
z v
v y
z w
w y
zv wy
多元复合函数的求导法则
例 设z
u2
1 v2
w2
,u
x2
y2,v
x2
x
x
z y z x x y
隐函数的求导公式
设方程 xy yz zx 1 确定了隐函数
z
y
z
z
z(
x,
y),
试求
2z x 2
0202函数的求导法则-精品文档
elnx(lnx)
x 1
x
x1.
◆一般幂指函数的导数公式:
设 ( x ) f( x ) g (x ) ,其 f( x ) 中 0 ,g ( x ) 均 ,求 可 ( x ).
(x)[f(x)g(x)] [eg(x)lnf(x)]
f(x )g (x )[g (x )ln f(x )]
f(x )g (x )[g(x)ln f(x)g(x) f ( x ) f (x)
].
例4 求 [2 (sixn )co x]s.
解 原式[ecoxlsn2 (sixn )]
e cx o ln s 2 s(ix )n [cx lo n 2 ss (ix )] n (2six n)coxs[sinxln2 (six n )cx o s cosx ].
例6 设 f(x) x22x2 , x0,求 f(x). ln xco x,sx0
解 当x0时, f(x)(x22x2)2x2xln2,
当x0时, f(x ) (lx n cx o )s1 sinx, x
当x0时,
f(0 ) 1 2 ,f(0 ) , 2x2xln 2, x0
[f1(x)] 1 , f(y)
dy dx
1 dx
.
dy
反函数的导数等于直接函数导数的倒数
如 :x f(y ) 2 y ,其反 :y 函 f 1(x数 )1x, 2
显然 [f1(x)]1, 2
f(y)2,
[f1(x)] 1 . f(y)
例1 求函 ya数 rcx的 sin导 . 数
推论
( 1 )[ k (x ) f ] k f(x ).
n
n
(2) [kifi(x)]kifi(x).
导数的运算法则 课件
(5)y′＝cos3x－π4·3x－π4′＝3cos3x－π4. (6)y′＝2cosx·(cosx)′＝－2cosx·sinx＝－sin2x.
[方法规律总结] 应用复合函数的导数公式求导时，应把 握好以下环节：
(1)选取恰当的中间变量，使构成复合函数的基本函数，符 合导数公式中的函数结构．
(2)从外到内，层层剥皮，依次求导． (3)把中间变量转换成自变量的表达式．
(8)y′＝2sinx(sinx)′＝2sinxcosx＝sin2x. (9)∵y＝sin2x－2sinx＋3，∴y′＝sin2x－2cosx. (10)y′＝cos2x′x·2x－cos2x＝－2xsinx2x2－cos2x ＝－xsin2x2＋x22cos2x.
典例探究学案
复合函数的导数
求下列函数的导数：
写出下列函数的导数：
(1)y＝lnsixnx，y′＝________________；
(2)y＝ 1－x x，y′＝________________；
(3)y＝sin2x1－2cos24x，y′＝________________.
[答案]
xcosx－sinx (1) xsinx
(2)12x－12(1－x)－32
1 x
(3)－
2
3 1－3x
(4)22xln2
(5)2e2x－ex
2lnx＋1 (6) x
sinx (7)cos2x
(8)sin2x (9)sin2x－2cosx
(10)－xsin2x2＋x22cos2x
[解析] (1)解法1：y′＝(sin2x)′＝(2sinxcosx)′ ＝2(sinx)′·cosx＋2sinx(cosx)′ ＝2cos2x－2sin2x＝2cos2x. 解法2：y′＝cos2x·(2x)′＝2cos2x. (2)解法1：∵y＝ln1－lnx＝－lnx， ∴y′＝－1x. 解法2：y′＝x·(1x)′＝－1x.
3复合函数,隐函数求导-PPT精品文档
v(x) v(x) v ( x ) 设 y u(x) 可导 ( u ( x ) 0 ) , 则 y u(x) [ln u ( x ) ]
例 5 求下列函数的导数 : x2 1 (1) y 2 2x x ( 2 ) y (1 2x) , x 0
1 x
3.抽象函数求导法
例2求下列函数的导数
( 1 )y ( x 1 ) .
2 10) ( 3 )y a x arcsin (a0 2 2 a
2 3 ( 4 )y lg arccos x
2
1 (ln x) 例 3求 y ln x 的导数 x
三、求导的方法
• • • • 1.复合函数求导 2.高阶导数 3.隐函数求导法 4.参数求导法
一、复合函数求导法则 • 1.链式法则 • 2.对数求导法 • 3.抽象函数求导法
1.链式法则
性质
如果函数 ug (x ) 在点 x 可导 ,而 yf( u ) 在点 u (x ) 可导 , 则复合函数 yf[ g (x )] 在点 x 可导 , 且其导数为 dy dydu (x f( u )g ). dx dudx
( n ) n y ( 1 ) ( n 1 ) x ( n 1 )
( n ) n y ( 1 ) ( n 1 ) x ( n 1 )
若 为自然数 n ,则
( n ) n( ) n !, y ( x )n
高阶导数求法举例
1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数.
例 1 设 y arctan x , 求 f ( 0 ), f ( 0 ).
注意: 求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并, 分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明) 例2 求下列函数的n阶导数
复合函数求导
= f ′( u0 ) g ′( x0 ).
复合函数的求导法则可以写成: 复合函数的求导法则可以写成
dy dy du = dx du dx
即因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求 即因变量对自变量求导， 导乘以中间变量对自变量求导，我们称它为链式法则 导乘以中间变量对自变量求导，我们称它为链式法则. 复合函数的微分公式为: 复合函数的微分公式为
n n1 (sin x n ) ′(sin x n ) cos x n nx n1
= n 3 x n1 cos x n f n1[ n (sin x n )]
n1 (sin x n ) f ′[ n (sin x n )] ′(sin x n ).
三、一阶微分的形式不变性
设函数 y = f ( x )有导数 f ′( x )
第四节
复合函数求导 法则及其应用
一、复合函数求导法则 二、初等函数的求导问题 三、一阶微分的形式不变性 四、隐函数的导数 五、对数求导法 六、参数形式的函数的求导公式
一、复合函数求导法则
定理4.4.1 (复合函数求导法则 ) 设函数 u = g( x ) 在 x0可导， 可导， 定理 复合函数求导法则 处可导， 而函数 y = f (u) 在 u0 = g( x0 ) 处可导，则复合函数 y = f [ g( x )] 在 x0 可导，且有 可导，且有:
d[ f ( g( x))] = f ′(u) g′( x)dx
推广
设 y = f ( u), u = (v ), v = ψ ( x ),
则复合函数
y = f { [ψ ( x )]}的导数为 :
dy dy du dv = dx du dv dx
例4.4.1 解: 求函数 y = ln sin x 的导数 .
复合函数的求导法则可以写成: 复合函数的求导法则可以写成
dy dy du = dx du dx
即因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求 即因变量对自变量求导， 导乘以中间变量对自变量求导，我们称它为链式法则 导乘以中间变量对自变量求导，我们称它为链式法则. 复合函数的微分公式为: 复合函数的微分公式为
n n1 (sin x n ) ′(sin x n ) cos x n nx n1
= n 3 x n1 cos x n f n1[ n (sin x n )]
n1 (sin x n ) f ′[ n (sin x n )] ′(sin x n ).
三、一阶微分的形式不变性
设函数 y = f ( x )有导数 f ′( x )
第四节
复合函数求导 法则及其应用
一、复合函数求导法则 二、初等函数的求导问题 三、一阶微分的形式不变性 四、隐函数的导数 五、对数求导法 六、参数形式的函数的求导公式
一、复合函数求导法则
定理4.4.1 (复合函数求导法则 ) 设函数 u = g( x ) 在 x0可导， 可导， 定理 复合函数求导法则 处可导， 而函数 y = f (u) 在 u0 = g( x0 ) 处可导，则复合函数 y = f [ g( x )] 在 x0 可导，且有 可导，且有:
d[ f ( g( x))] = f ′(u) g′( x)dx
推广
设 y = f ( u), u = (v ), v = ψ ( x ),
则复合函数
y = f { [ψ ( x )]}的导数为 :
dy dy du dv = dx du dv dx
例4.4.1 解: 求函数 y = ln sin x 的导数 .
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则2 人教课标版精品课件
解：根据基本初等函数导数公式表，有
p'(t) 1.05t ln 1.05
p'(10) 1.0510 ln 1.05 0.08(元/ 年)
因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的 速度上涨。
例3 日常生活中的饮用水通常是经过净化的。随着水 纯净度的提高，所需净化费用不断增加。已知将1吨水 净化到纯净度x%时所需费用（单位：元）为
人，活着其实很累，在公司，上有可能需要讨好领导，下还需要和同事打好关系，回家需要处理好家庭的关系，交际需要维护好朋友自己的友谊，一不小心就有可能会各种质疑的话语，让我们心里、身体上背负着更重的压力。
也许经常有这样的场景，喧嚣的闹市，聚会上，热闹非凡，尽情的喝着酒，各种嘈杂，殊不知在心里巴不得这聚会早点结束就好，想着明天还要早起上班，想着家里的妻儿还在幽幽的盼着，而你自己也根本就不喜欢这样的场合，偶尔还可以，时间长了，你已经不知该怎样去选择。年纪越大，时间越来越少，身体越来越没以前那么能抗，而自己明白的事情却越来越迷茫，入夜时分，站在这个城市的中央，越来越觉得生活的选择已经不由的我们自己来做主，只剩下了莫名的伤感。
c(x) 5284 (80 x 100) 100 x
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率： （1）90％ （2）98％
解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数
c'(x) ( 5284 )' 100 x
5284'(100
x) 5284 (100 x)2
回忆的老墙，偶尔依靠，黄花总开不败，所有囤积下来的风声雨声，天晴天阴，都是慈悲。时光不管走多远，不管有多老旧，含着眼泪，伴着迷茫，读了一页又一页，一直都在，轻轻一碰，就让内心温软。旧的时光被揉进了岁月的折皱里，藏在心灵的沟壑，直至韶华已远，才知道走过的路不能回头，错过的已不可挽留，与岁月反复交手，沧桑中变得更加坚强。
2-2求导法则复合函数求导89731
a ( t) v ( t) [ f ( t) ] . 定义 如果函 f(x数 )的导f数 (x)在点 x处可,即 导
(f(x))limf(xx)f(x)
x0
x
存在 ,则称 (f(x))为函f数 (x)在点 x处的二阶. 导
记作 f(x),y,d d22 yx或 d2 df(2x x). 二阶导数的导数称为三阶导数,
定义:由方程所确 y定 y(x)的 称函 为数 隐 . 函
y f(x)形式称为显.函数 F(x,y)0 yf(x) 隐函数的显化 问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
例11 求由方x程 yex ey 0所确定的隐函
y的导dd数 xy, ddxyx0.
线通过原 . 点
解 方程两边 x求对导 , 3 x 2 3 y 2 y 3 y 3 x y
y
33 (,) 22
yx2 y2 x
(3,3) 1. 22
所求切线方程为 y3(x3) 即 xy30.
2
2
法线方 y3 程 x为 3即yx, 显然通过原点. 22
多个函数相乘和 数u幂 (x)指 v(x)的 函情.形
例15 设y(x1)3 x1,求 y. (x4)2ex
解 等式两边取对数得
ly n ln x 1 ) ( 1 ln x 1 ) ( 2 ln x 4 ) ( x 3
上式两边 x求对导得 y1 1 2 1 y x1 3(x1) x4
同理可得 (arcx)cos 1 .
1x2
(arcxt)an11x2; (arccoxt)11x2.
五、对数求导法
观察函数
(x1)3x1 y(x4)2ex ,
简单复合函数的求导法则精华版
1 f ( ) x
×
1 1 2 f ( ) x x
( x 2 1 ) f
2x x2 1
小结
＊ 复合函数求导公式： f ( x ) f (u ) ( x ) 关键：分清函数的复合关系，合理选定中间变量。 利用复合函数的求导公式可以求抽象函数的导数。 ＊ 抽象复合函数的导数： 对于抽象复合函数的求导, 要从其形式上把握其 结构特征，找出中间变量；另外要充分运用复合关
100 y h(t ) 2t 1 求其在 t 3 时的导数，并解释其意义。解析
例4 求列函数的导数：
(1) y f ( x )
2
( 2) y f (sin x )
前面所求的都是具体的复合函数的导数，而此题 中的对应法则 f 是未知的，是抽象的复合函数。它们
的导数如何求得？？
知识回顾
1、导数公式表
函数 导函数
y c(c是常数）
y x (为实数）
y a x (a 0, a 1)
y 0 y x 1
y a x ln a
ye
x
y e x
y 1 x ln a 1 y x
y log a x (a 0, a 1)
y ln x
y sin x
y cos x
Title
y cos x
y sin x
y 1 cos 2 x
1 sin 2 x
y tan x
y cot x
y
＊ 导数的加减法法则： f ( x) g ( x) f ( x ) g ( x)
分运用复合关系的求导法则。
解： （1）函数是由 y f (u ) 与 u ( x ) x 2复合而成的， 由复合函数的求导法则知：
高等数学-电子课件04第九章 第4节多元复合函数求导法则
u y v y
z (udxudy) z ( vdx v dy)
u x y
v x y
z du z dv
u
v
这说明,无论 u , v 是自变量还是中间变量, 其全微分表
达式一样, 这性质叫做全微分形式不变性 .
15
例 6. zeusiv,n ux,v yxy,求 z, z.
解: dzd(eu sinv )
第四节 多元复合函数的求导法则
一元复合函数 yf(u),u(x)
求导法则 d y d y du
dx du dx
微分法则 d y f(u )d u f(u )(x )dx
推广 （1）多元复合函数求导的链式法则 （2）多元复合函数的全微分
2
一. 复合函数求导的链式法则
定理 如果函数 u(t),v(t)都在点 t可导,函数
x2z2 y2z2 (x2y2)(fuufvv)
14
二. 复合函数的全微分
设函数 z f( u ,v ) ,u ( x ,y ) ,v ( x ,y ) 都可微,
则复合函数 zf((x,y),(x,y))的全微分为
dzzdxzdy x y
(zuzv)dx (zuzv)dy
u x v x
f
uv
x yxy
z x
2xf x2 [uf uxfvxv]
2x f x2f1(xy2)x2f2y
12
x
2x f yf1x2yf2
f1( f2)
uy
vx
2z xy
y
2x y(f) y(yf1)x2 y(yf2 )
2x[f uf v] u y v y
f1y[ fu1 u yfv1 yv]
高中数学第一章导数及其应用1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则2
第三十四页，共四十八页。
2.求复合函数的导数的注意点 (1)内、外层函数通常为基本初等函数． (2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量(biànliàng)求层，这是
求复合函数导数时的易错点．
(3)逐层求导结束后对结果进行化简整理，使导数式尽量简洁．
2021/12/9
第三十五页，共四十八页。
跟踪练习 3
1.2.2 基本(jīběn)初等函数的导数公式及导数的
运算法则
2021/12/9
第一页，共四十八页。
情景导入
高铁是目前一种非常受欢迎的交通工
具，既低碳又快捷．设一高铁走过的路程
s(单位：m)关于时间 t(单位：s)的函数为 s
＝f(t)，求它的瞬时速度，就是求 f(t)的导
数．根据导数的定义，就是求当 Δt→0 时，ΔΔyt所趋近的
写出下列函数的导数： (1)y＝lnsixnx，y′＝__x_c_o_xs_xsi－ _n_xs_i_n_x__；
(2)y＝ 1－x x，y′＝__2_1x_－_12_(_1_－__x_)_－_32 __；
(3)y＝sin2x1－2cos24x，y′＝___－__12_c_o_s_x___.
2021/12/9
∴f ′4π＝6cos34π＋π4＝－6.
2021/12/9
பைடு நூலகம்
第十四页，共四十八页。
命题方向1 ⇨导数公式(gōngshì)的应 例 1 求用下列函数的导数： (1)y＝x14；(2)y＝x14；(3)y＝5 x3；(4)y＝(13)x.
2021/12/9
第十五页，共四十八页。
解：(1)y′＝(x14)′＝14x13.(2)y′＝x14′＝(x－4)′＝－4x－5＝－x45.
( 人教A版第2课时导数的运算法则课件 (共36张PPT)
(5)y＝sincxo＋s 2cxos x ＝csoins2xx＋－csoins2xx＝cos x－sin x， ∴y′＝(cos x－sin x)′＝－sin x－cos x. (6)y＝xln x＝12xln x， ∴y′＝12(x)′·ln x＋12x·(ln x)′＝12ln x＋12.
1．运用可导函数求导法则和导数公式求可导函数的导数，一定要先分析 函数 y＝f(x)的结构和特征，若直接求导很烦琐，一定要先进行合理的化简 变形，再选择恰当的求导法则和导数公式求导． 2．若要求导的函数解析式与三角函数有关，往往需要先运用相关的三角 函数公式对解析式进行化简、整理，然后再套用公式求导．
1.2 导数的计算
1.2.1 几个常用函数的导数
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
第 2 课时 导数的运算法则
考纲定位
重难突破
1.能利用导数的四则运算法 则求解导函数. 2.能运用复合函数的求导法 则进行复合函数的求导.
重点：用导数的运算法则求 函数的导数. 难点：求复合函数的导数.
又点 P 在第二象限内，∴x0＝－2. 又点 P 在曲线 C 上， ∴y0＝(－2)3－10×(－2)＋3＝15， ∴点 P 的坐标为(－2,15)．
求解与切线有关的综合问题： (1)在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点 P 处的切线方程 和求曲线过点 P 的切线方程．在点 P 处的切线，一定是以点 P 为切点，过点 P 的切线，点 P 不一定是切点； (2)求过点 P 的曲线的切线方程的步骤为：先设出切点坐标为(x0，y0)，然后写 出切线方程 y－y0＝f′(x0)(x－x0)，最后代入点 P 的坐标，求出(x0，y0)．切点 在解决此类问题时起着至关重要的作用．
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3.2.2求复合函数的导数(2)
一、课前练习
练习 1、求下列函数的导数
(1) yx5
(2) y5 (3) y 1 x
(4) ylnx (5) ylo2gx (6) ycoxs
练习 2、求下列函数的导数：
5
(1) y x
(2)
y
1 x5
(3) y 5x
(4) y e5
练习3、求下列函数的导数：
对于思考题 函y数 si2nx，y求
函数可看 y作 siu n由 与 u函 2x复 数合而
dy cos u du
du 2 dx
dy dy du 2cou s2co2xs dxdu dx
例1函数
y 1 (1 3x)4
的导数.
解：
1 y
(1 3x)4
(13x)4
．
设 y u 4 u13x
y'xy'uu'x(u4)u'(13x)x'
cosx xsinx4
2x
x
二、复合函数的求导法则
思考 求函 y数 si2nx的导数
比较下列两种做法
方法 :由 一 公 (sx i式 )ncox,s 得 y(s2 ixn )co2xs
方:法 y s2 i二 x n 2 sx ic nx os
y(2sixn cox)s 2[(sx)ic nox ssixn (cx o)]s
4u5(3) 1u251(1 23x)5
12 (1 3x)5
．
例2： 求函y数 a2 x2的导数
解：此函数可 数y看 作 u与由 ya函 2 x2
复合而成
dy 1 du 2 u
du 2x dx
dy2x 1 x dx 2u a2x2
思考题
函数
y
ln cos( ex
) ,求
dy . dx
出来的函数y， f形 (x)如：
隐函数： 由方程所确定的函数y y( x )称为隐函数.
对 于 隐 函 数 化 我 ， 们 如 可 x由 y以 3方 1显 0程 解y出 31x化 成 显 函 数 的 性 质
但是有的不易甚 显至 化不 ，能 例如：方 ey 程 xy0 所确定的隐函数
问题: 隐函数不易显化或不能显化如何求导?
方法：直接对方程两边用复合函数求导法则求
导.
当方程的两端对x求导时，要记住y是x 是函数，然后用 复合函数求导法则 去求导。
例7：求由方x程 yex ey 0所确定的隐函 y的导dd数 xy, ddxyx0.
解： 方程两边x对 求导,
yxdyexeydy0
dx
dx
解得
dy ex y dx x ey ,
x
关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.
例3、设
y ln cos( ex ) , 求
dy . dx
解: 函 数 可 以 看 y作 lnu由 、u函 co数 vs 与vex复 合 而 成
dy 1 du u
du sinv dv
dv e x dx
d d x y u 1( siv)n ex c1 o ex(ssex i)e n x
（1） yx3sinx (2)yx4x2x3
（ 3） y2x33x25x4
(4)y(2x23)3(x2)
（ 5）y x 2 sin x
（ 6） y sin x cos x
练习4：设 yxcosx4lnxsin,求 y
7
解 : y ( xco x) s(lx)n (s i)n 7
(x ) c o s x x ( c o s x ) 4 ( ln x ) 0
由原方x程 0,y知 0,
ddxyx0
exxeyy
x0 y0
1.
2、对数求导法
观察函数 y(x (x 1)43)2 xe x1, yxsix n.
方法: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数.
--------对数求导法
例8： 设y(x1)3 x1,求 y. (x4)2ex
解: 等式两边取对数得
例8：设 y x sx in (x 0 )求 ,y .
解： 等式两边取对数得
上式两x边 求对 导得
1ycoxslnxsix n1
y
x
yy(cx o ln sxsixn 1) x
xsix n(cx olsn xsix n ) x
3பைடு நூலகம்由参数方程所确定的函数的导数
若参数方程
x y
(t (t
)确定 )
2 (c2o xsi2x n)2co 2xs
定理 如 果u函 (数 x在 ) x点 可,导 而 yf(u) 在u点 (x可 ) ,导 则 复 合 yf函 [(x数 在 )] 点 x可,导 且 其 导 数 为
d ydd yu (或 f[(x) ]f(u )(x))
dx dd ux
即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量 求导, 乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)
ly n ln x 1 ) ( 1 ln x 1 ) ( 2 ln x 4 ) ( x 3
上式两边 x求对导得 y1 1 2 1 y x1 3(x1) x4
y (x (x 1 ) 4 3 )2 x e x 1 [x 1 1 3 (x 1 1 ) x 2 4 1 ]
22 cos y 0 , 则
(arcsin x)
1 (sin y)
1 cos y
1 1 sin2 y
1
1 x2
(arccos x) ? 1 1 x2
利用
arccos
x
arcsin
x
2
类似可求得
(arctan x)
1 1 x2
,
(arccot
x)
1 1 x2
五、三个求导方法
1、 隐函数求导法则 显函数：： 因变y可 量由含有x自 的变 数量 学式子直
y与x间的函数关系
,
称此为由参数方程所确定的函数.
例如
x 2t,
y
t
2,
t x 2
消去参数 t
练习、求下列函数的导数 （1）y= 12x cos x （2）y=ln (x+ 1 x2 )
理论推广 复合函数法则可推广到多个中间变量的情形
例如, y f ( u ) ,u ( v ) , v ( x )
y
dy dx
dy du
du dv
dv
dx
u v
f ( u ) ( v ) ( x )
四、反函数求导法则
定理 设 y f( x )为 x f 1( y )的反函数,
y 的某邻域内单调可导, 且 [ f 1( y )] 0
f (x) 1
[ f 1( y)]
或 dy 1
dx dx
dy
例4、 求反三角函数的导数
解: 1) 设 y arcsin x , 则 x sin y , y ( , ) ,
一、课前练习
练习 1、求下列函数的导数
(1) yx5
(2) y5 (3) y 1 x
(4) ylnx (5) ylo2gx (6) ycoxs
练习 2、求下列函数的导数：
5
(1) y x
(2)
y
1 x5
(3) y 5x
(4) y e5
练习3、求下列函数的导数：
对于思考题 函y数 si2nx，y求
函数可看 y作 siu n由 与 u函 2x复 数合而
dy cos u du
du 2 dx
dy dy du 2cou s2co2xs dxdu dx
例1函数
y 1 (1 3x)4
的导数.
解：
1 y
(1 3x)4
(13x)4
．
设 y u 4 u13x
y'xy'uu'x(u4)u'(13x)x'
cosx xsinx4
2x
x
二、复合函数的求导法则
思考 求函 y数 si2nx的导数
比较下列两种做法
方法 :由 一 公 (sx i式 )ncox,s 得 y(s2 ixn )co2xs
方:法 y s2 i二 x n 2 sx ic nx os
y(2sixn cox)s 2[(sx)ic nox ssixn (cx o)]s
4u5(3) 1u251(1 23x)5
12 (1 3x)5
．
例2： 求函y数 a2 x2的导数
解：此函数可 数y看 作 u与由 ya函 2 x2
复合而成
dy 1 du 2 u
du 2x dx
dy2x 1 x dx 2u a2x2
思考题
函数
y
ln cos( ex
) ,求
dy . dx
出来的函数y， f形 (x)如：
隐函数： 由方程所确定的函数y y( x )称为隐函数.
对 于 隐 函 数 化 我 ， 们 如 可 x由 y以 3方 1显 0程 解y出 31x化 成 显 函 数 的 性 质
但是有的不易甚 显至 化不 ，能 例如：方 ey 程 xy0 所确定的隐函数
问题: 隐函数不易显化或不能显化如何求导?
方法：直接对方程两边用复合函数求导法则求
导.
当方程的两端对x求导时，要记住y是x 是函数，然后用 复合函数求导法则 去求导。
例7：求由方x程 yex ey 0所确定的隐函 y的导dd数 xy, ddxyx0.
解： 方程两边x对 求导,
yxdyexeydy0
dx
dx
解得
dy ex y dx x ey ,
x
关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.
例3、设
y ln cos( ex ) , 求
dy . dx
解: 函 数 可 以 看 y作 lnu由 、u函 co数 vs 与vex复 合 而 成
dy 1 du u
du sinv dv
dv e x dx
d d x y u 1( siv)n ex c1 o ex(ssex i)e n x
（1） yx3sinx (2)yx4x2x3
（ 3） y2x33x25x4
(4)y(2x23)3(x2)
（ 5）y x 2 sin x
（ 6） y sin x cos x
练习4：设 yxcosx4lnxsin,求 y
7
解 : y ( xco x) s(lx)n (s i)n 7
(x ) c o s x x ( c o s x ) 4 ( ln x ) 0
由原方x程 0,y知 0,
ddxyx0
exxeyy
x0 y0
1.
2、对数求导法
观察函数 y(x (x 1)43)2 xe x1, yxsix n.
方法: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数.
--------对数求导法
例8： 设y(x1)3 x1,求 y. (x4)2ex
解: 等式两边取对数得
例8：设 y x sx in (x 0 )求 ,y .
解： 等式两边取对数得
上式两x边 求对 导得
1ycoxslnxsix n1
y
x
yy(cx o ln sxsixn 1) x
xsix n(cx olsn xsix n ) x
3பைடு நூலகம்由参数方程所确定的函数的导数
若参数方程
x y
(t (t
)确定 )
2 (c2o xsi2x n)2co 2xs
定理 如 果u函 (数 x在 ) x点 可,导 而 yf(u) 在u点 (x可 ) ,导 则 复 合 yf函 [(x数 在 )] 点 x可,导 且 其 导 数 为
d ydd yu (或 f[(x) ]f(u )(x))
dx dd ux
即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量 求导, 乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)
ly n ln x 1 ) ( 1 ln x 1 ) ( 2 ln x 4 ) ( x 3
上式两边 x求对导得 y1 1 2 1 y x1 3(x1) x4
y (x (x 1 ) 4 3 )2 x e x 1 [x 1 1 3 (x 1 1 ) x 2 4 1 ]
22 cos y 0 , 则
(arcsin x)
1 (sin y)
1 cos y
1 1 sin2 y
1
1 x2
(arccos x) ? 1 1 x2
利用
arccos
x
arcsin
x
2
类似可求得
(arctan x)
1 1 x2
,
(arccot
x)
1 1 x2
五、三个求导方法
1、 隐函数求导法则 显函数：： 因变y可 量由含有x自 的变 数量 学式子直
y与x间的函数关系
,
称此为由参数方程所确定的函数.
例如
x 2t,
y
t
2,
t x 2
消去参数 t
练习、求下列函数的导数 （1）y= 12x cos x （2）y=ln (x+ 1 x2 )
理论推广 复合函数法则可推广到多个中间变量的情形
例如, y f ( u ) ,u ( v ) , v ( x )
y
dy dx
dy du
du dv
dv
dx
u v
f ( u ) ( v ) ( x )
四、反函数求导法则
定理 设 y f( x )为 x f 1( y )的反函数,
y 的某邻域内单调可导, 且 [ f 1( y )] 0
f (x) 1
[ f 1( y)]
或 dy 1
dx dx
dy
例4、 求反三角函数的导数
解: 1) 设 y arcsin x , 则 x sin y , y ( , ) ,