2电磁场基本方程
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第2章 电磁场基本方程
2.1 / 2.1-1设空气中有一半径为a 的电子云，其中均匀充满着密度为ρv 的电荷。试求球内
（ra ）任意点处的电通密度D 和电场强度E 及D ⋅∇和E ⋅∇。
[解] 应用高斯定理,取半径为r 的同心球面为高斯面.
dv r r
D s d D s
v
v
⎰
⎰=
⋅=⋅ρ
π2
4ˆ
1) r 3 3 4r dv v v v πρρ⎰= 3ˆ,3 ˆε ρρr r E r r D v v ==∴ 0,31022 =⨯∇=⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛⋅∂∂=⋅∇E r r r r D v v ρερ 2) r>a: 3 3 4 a dv v v v πρρ⎰ = 2 032 3 3ˆ,3ˆr a r E r a r D v v ερρ==∴ 0,0313 2 =⨯∇=⎪⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛⋅∂∂=⋅∇E a r r D v ρ 2.2 / 2.1-2设空气中内半径a 、外半径b 的球壳区域内均分布着体密度为ρv 的电荷。试求 以下三个区域的电场强度E E ⋅∇、及E ⨯∇：(a)rb. [解] 应用高斯定理,取半径为r 的同心球面为高斯面. dv r r D s d D s v v ⎰ ⎰= ⋅=⋅ρ π2 4ˆ (a) r 0=⎰dv v v ρ 0,0==∴E D 0,0=⨯∇=⋅∇E E (b) a ()3 3 3 4a r dv v v v -=⎰ πρρ ()()3 3 2 03 3 2 3ˆ,3ˆa r r r E a r r r D v v -=-=∴ερρ () 0,3103 302=⨯∇=⎥ ⎦ ⎤⎢⎣⎡-∂∂=⋅∇E a r r r E v v ερερ (c) r>b: ()3 3 3 4a b dv v v v -=⎰πρρ () ()3 3 2 03 3 2 3ˆ,3 ˆa b r r E a b r r D v v -=-=∴ερρ 0,0=⨯∇=⋅∇E E 2.3 / 2.1-3一半径等于3cm 的导体球，处于相对介电常数εr =2.5的电介质中，已知离球心 r=2m 处的电场强度E=1mv/m ，求导体球所带电量Q 。 [解] 由高斯定理知, Q r E =⋅24πε C E r Q 12 3 9 2 10 11.110 5.210 361444---⨯=⨯⨯⨯⨯ ⨯==∴π πεπ 2.4 / 2.1-4 一硬同轴线内导体半径为a ，外导体内外半径分别为b 、c ，中间介质为空气（题图2-1）。当内外导体分别通过直流I 和-I 时，求：(a)内导体（ρ B H ⋅∇⨯∇、。 [解] (a) :a r < 应用安培环路定律， 2 220 2 2a Il d d a I H l d H l = = ⋅=⋅⎰⎰ ⎰πρ ϕρρππρ 题图2-1 同轴线横截面图 2 2ˆa I H πρϕ =， 2 002ˆa Il H B πμϕμ== J a I z a I z H ==⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛∂∂=⨯∇22 2 ˆ21 ˆππρρρ 01=∂∂= ⋅∇ϕ ρϕ B B (b) :b r a << I H =⋅πρ2 πρ ϕ2ˆI H =, πρ μϕ 2ˆ0I B = 021ˆ =⎪⎭ ⎫ ⎝⎛∂∂=⨯∇πρρI z H 01=∂∂= ⋅∇ϕ ρϕ B B (c) :c r b << () ( )2 2 222 2 2 2 2b c c I b b c I I H --=-⋅-- =⋅ρρ πππρ 2 2 222ˆb c c I H --=ρ πρϕ , 2 2 2202ˆb c c I B --=ρπρμϕ () J b c I z b c c I z H '-=--=⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛--∂∂=⨯∇222 22 2ˆ21ˆπρ πρρ 01=∂∂= ⋅∇ϕ ρϕ B B 2.5 / 2.2-1 一矩形线圈与载有电流I 的直导线同平面，如题图 2-2所示。求下述情况下线圈的感应电动势： a)线圈静止，I=I 0sin ωt ； b)线圈以速度v 向右边滑动，I=I 0。 [解] (a) 应用安培环路定律, I H I l d H l ==⋅⎰πρ2, πρ μρ πρ ρ2ˆ,2ˆI B I H ==∴a b a I c dl dz I dz Bd s d B C b a a s c b a a m += = = ⋅= ⎰ ⎰ ⎰⎰⎰ ++ln 220 π μρ π μρψ 题图2-2载流直导线与矩形线圈 （b ） ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣⎡+++- =- =vt a vt b a c I dt d dt d m ln 20πμψε ()() ()2 012vt a vt b a v vt a v vt a vt b a c I +++-+⋅ +++- =π μ ()() vt a vt b a vb c I +++= 02π μ 2.6 / 2.2-2一平行板电容器由两块导体圆片构成，圆片半径为a ，间距为d ，d< 介电常数为ε、磁导率为μ0的介质。在电容器中心加一正弦电压U=U 0sin ωt 。(a)