简谐运动的动力学和运动学

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高中物理【机械振动】知识点、规律总结

第 1 讲机械振动
一、简谐运动 1．概念：质点的位移与时间的关系遵从_正__弦__函__数___的规律，即它的振动图象(x -t 图象)是一条_正__弦__曲___线__． 2．简谐运动的表达式 (1)动力学表达式：F＝___－__k_x__，其中“－”表示回复力与__位__移__的方向相反． (2)运动学表达式：x＝Asin(ωt＋φ)，其中 A 代表振幅，ω＝__2_π_f___表示简谐运动的快慢，(ωt＋φ)代表简谐运动的_相__位___，φ 叫做初相．
3．做简谐运动的物体经过平衡位置时，回复力一定为零，但所受合外力不一定为零，如单摆．
4．物体做受迫振动的频率一定等于驱动力的频率，但不一定等于系统的固有频率，固有频率由系统本身决定．
考点一简谐运动的特征
师生互动
受力特征回复力 F＝－kx，F(或 a)的大小与 x 的大小成正比，方向相反
靠近平衡位置时，a、F、x 都减小，v 增大；远离平衡位置时，a、F、x 运动特征
4．周期公式：T＝2π
l g.
5．单摆的等时性：单摆的振动周期取决于摆长 l 和重力加速度 g，与振幅和振子(小
球)质量都没有关系．
四、受迫振动及共振
1．受迫振动 (1)概念：物体在_周__期__性___驱动力作用下的振动． (2)振动特征：受迫振动的频率等于_驱__动__力___的频率，与系统的_固__有__频__率___无关． 2．共振 (1)概念：当驱动力的频率等于_固__有__频__率___时，受迫振动的振幅最大的现象． (2)共振的条件：驱动力的频率等于_固__有__频__率___． (3)共振的特征：共振时_振__幅___最大．
受迫振动
共振
由驱动力提供
振动物体获得的能量最大

简谐运动-高考物理知识点

简谐运动-高考物理知识点
物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动，叫做简谐运动。

2.动力学特征：回复力F与位移x之间的关系为F＝－kx式中F为回复力，x为偏离平衡位置的位移，k是常数。

简谐运动的动力学特征是判断物体是否为简谐运动的依据。

3.简谐运动的运动学特征a＝－kx加速度的大小与振动物体相对平衡位置的位移成正比，方向始终与位移方向相反，总指向平衡位置。

4.简谐运动加速度的大小和方向都在变化，是一种变加速运动。

简谐运动的运动学特征也可用来判断物体是否为简谐运动。

5.简谐运动图象：简谐运动的位移—时间图象通常称为振动图象，也叫振动曲线。

简谐运动振动图象的特点所有简谐运动的振动图象都是正弦或余弦曲线。

6.简谐运动图象的物理意义表示振动物体相对于平衡位置的位移随时间的变化情况，或反映位移随时间的变化规律。

振动图象描述的是一个振动质点在各个不同时刻相对于平衡位置的位移，不是反映质点的运动轨迹。

简谐运动的表达式动力学表达式

动的依据） 2.对称性——简谐振动物体具有对平衡位置的对称
性，在关于平衡位置对称的两个位置，动能、势能相等，位移、回复力、加速度大小相等，方向相反,速度大小相等，方向可能相同，也可能相反,振动过程相对平衡位置两侧的最大位移值相等.
3.周期性——简谐运动的物体经过相同时间t=nT(n) 为整数,必回复到原来的状态,经时间t=(2n+1) T2 (n为整数)，则物体所处的位置必与原来的位置关于平衡位置对称，因此在处理实际问题中，
图2 3.简谐运动的能量
简谐运动过程中动能和势能相互转化，机械能守恒，振动能量与振幅有关，振幅越大，能量越大.
二、简谐运动的两种基本模型
弹簧振子（水平）
单摆
模型示意图
条件平衡位置
回复力
忽略弹簧质量、无摩擦等阻力
细线不可伸长、质量忽略、无空气等阻力、摆角很小
弹簧处于原长处
最低点
度方向上的力充当向心力，即F向=F-mgcosθ；摆球重力在平行于速度方向上的分力充当摆球的回复
力.当单摆做小角度摆动时，由于F回=-mgsinθ= - mg x=-kx，所以单摆的振动近似为简谐运动.
l
3.单摆的周期公式 (1)单摆振动的周期公式T=2π l ,该公式提供了
g
一种测定重力加速度g的方法. (2)l为等效摆长,表示从悬点到摆球重心的距离, 要区分摆长和摆线长，悬点实质为摆球摆动所在
2. 简谐运动的描述（1）描述简谐运动的物理量 ①位移x：由平衡位置指向振动质点所在位置的有向线段表示振动位移，是矢量. ②振幅A：振动物体离开平衡位置的最大距离，是标量，表示振动的强弱. ③周期T和频率f:做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间叫周期，而频率则等于单位时间内完成全振动的次数；它们是表示振动快慢的物理量.二者互为倒数关系.

简谐振动的动力学特征及运动学-PPT

• 动力学方程
d2 dt
x
2
2
x
0
9
§4-1 简谐振动的动力学特征
x Acos(t )
T 2π 取 0
x xt图
A
o
T
A
v vt 图
t
v A sin(t ) A
o
Tt
A cos(t π ) A
2
a a t图
a A 2 cos(t ) A 2
o
Tt
A 2 cos(t π ) A 2
两振动位相之差
＝2－ 1
•当=2k ,k=0,±1,±2…,两振动步调相同,称同相
•当=(2k+1) , k=0,±1,±2...
两振动步调相反,称反相
•0<<
2 超前于1 或 1滞后于2
位相差反映了两个振动不同程度的参差错落
•谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系
x
A cos( t
A sin(
§4-2 简谐振动的运动学
例题质点沿x轴作谐振动, 周期T=s, t=0时， xo 2m ,o 2 2m / s,求振动方程。
解： x =Acos( t+ )
2 2
T
A
xo2
o2 2
2
cos 2
2
sin 2
2
3
4
得x 2cos( 2t 3 )m
4 32
dt 2
x Acos(t 0 )
cos(t
0
)
sin(t
0
2
)
令
'
0
2
x Asin(t ' )
简谐振动的运动规律也可用正弦函数表示.

简谐运动讲解

简谐运动【知识要点表解】机械振动是日常生活中常见的一种运动，简谐运动是机械振动中最简单、最基本的运动形式．例如弹簧振子和音叉的振动都是简谐运动．发生振动的物体一定受到回复力的作用，所调回复力就是跟振动物体偏高平衡位置的位移方向相反、能使振动物体返回平衡位置的力．●学法建议本节重点是对机械振动和简谐运动的概念的理解，学习中要建立关于弹簧振子和单摆的振动模型，对简谐运动过程中，力、加速度、速度和能量大小的变化情况一定要掌握，且对简谐运动物体来说，除了最大位移位置外，其余任何位置上速度都有两个可能方向，而位移、加速度、回复力只能有一个确定方向．●释疑解难运动学中的位移和简谐运动中的位移有何不同？［解答]主要区别是起点位置不同．运动学中位移抬起始位置指向末位置的有向线段；振动物体的位移是从平衡位置引向观察时刻位置的有向线段．起点始终为平衡位置．●典型题例倒1用手协调地拍皮球，使球上下往复跳动的时间相等，皮球的往复运动是不是简谐运动？[分析]表面看来，此时皮球的运动似乎与弹托振子和单摆的振动情况相同，每阳相同时间，皮球往复运动一次，其实，拍皮球时除了手接触皮球和皮球落地这两个瞬间受到手和地面的作用力外，在上下往复过程的其余时间里，球都只受=－kx的条件，所以不是简一个恒力（即重力）的作用（阻力不计），不符合F回谐运动．例2一弹关振子作简谐运动，则下列说法正确的有[ ]A.若位移为负值，则速度一定为正值．B.振子通过平衡位置时，速度为零，加速度最大．C.振子每次通过平衡位置时，加速度相同，速度也相同．D.振子每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但加速度一定相同.［分析］如图7－l所示，因为弹簧振子的位移是以。

平衡位巨O为起点的，设向右为正，则当振子在OB段时，位移为正；在OA段时，位移为负，可见当振于由o向A运动时，其位移为负值，速度也为负值，故A错．根子在平衡位置时，回复力为零，加速度a为零，但速度最大，故B惜．振子经过平衡位置O时，速度方向可以是不同的（可正、可负）。

9-1 简谐运动的动力学特征

物理学
第五版
9-1 简谐运动的动力学特征
2) 弹簧振子的运动分析
F
o
m
x
2
x
F kx ma
2
d x 2 x 得 a 2 x 即 2 dt 简谐运动的特征：加速度 a 与位移的大小x 成正比，方向相反
第九章振动
11
k 令 m
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9-1 简谐运动的动力学特征
第九章振动
17
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9-1 简谐运动的动力学特征
作
业
教材P38 9-10
第九章振动
18
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第九章振动
19
d 2 (或 2 2 0) dt
第九章振动
J ml P
2
14
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9-1 简谐运动的动力学特征
d 2 M m glsin J J 2 dt
复摆 M l F
转动正向 O
( 5 )

d mgl J 2 dt
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物理学
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第九章
振
动
第九章振动
1
物理学
第五版
物理学
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知识回顾
振动：一种周期性的运动，是指在时间上具有重复性
或往复性的一种运动。如：行星的运动，血液的运动，生
态的循环，消费指数的振荡等，遍及自然界和社会科学界。
机械振动：物体或物心脏的跳动，钟摆，乐器，地震等。

高中物理复习：简谐运动规律

做机械振动的物体的偏离平衡位置的位移x 随时间t 做正弦规律变化时，物体的运动就被称之为简谐运动，其基本规律是sin()x A t ωϕ=+，其中ω为简谐运动的圆频率，由振动系统本身决定，A 为振幅，φ为初相位，这两者由振动系统的初始状态决定。

一、求导角度理解已知位移随时间的变化规律，即可根据x v t ∆=∆和v a t∆=∆得出振动物体的速度、加速度随时间的变化规律，这需要用到求导的知识。

1、简谐运动的速度规律：由x v t∆=∆得m cos()cos()v x A t v t ωωϕωϕ'==+=+，其中m v A ω=。

2、简谐运动的加速度规律：由v a t ∆=∆得2m sin()sin()a v A t a t ωωϕωϕ'==-+=-+，其中2m a A ω=。

由上述分析可知，振动物体的位移x 和速度v 这两个物理量中，一个振动量按正弦规律变化，另一个振动量就按余弦规律变化，而且有2a x ω=-，即振动物体的加速度a 大小正比于物体偏离平衡位置的位移x ，方向与位移x 的方向相反。

二、从运动方程角度理解将2a x ω=-写成微分方程，即222d d x x t ω=-，由数学知识可知，这个方程的解为sin()x A t ωϕ=+，其中A 为振幅，φ为初相位，这两者由振动系统的初始状态决定。

三、从动力学角度理解由牛顿第二定律，有2F ma m x ω==-，令2k m ω=，可得F kx =-，即做简谐运动的物体的回复力F 大小正比于物体偏离平衡位置的位移x ，方向与位移x 的方向相反。

将2k m ω=变形，可得ω=，则振动系统的周期为2πT ω==，此即为做简谐运动的物体的周期公式，由这个公式可以看出，简谐运动的周期仅仅由振动系统本身决定——振动物体的质量m 和比例系数k 。

对于弹簧振子模型，可以这样理解T =相同的回复力引起的加速度越小，振子回到平衡位置的时间就会越长；从最大位移处回到平衡位置过程中，弹簧的劲度系数越小，则相同位移处的回复力越小，振子的加速度越小，振子回到平衡位置的时间就会越长。

论简谐运动动力学与运动学公式的统一

论简谐运动动力学与运动学公式的统一——用导数、微积分知识推导简谐运动的运动学与动力学公式【摘要】本文通过简谐运动与数学知识的联系，用导数、微积分的知识推导简谐运动的动力学、运动学公式。

【研究背景】本人通过对《物理》选修3-4第十一章简谐运动的学习，了解了简谐运动的运动学与动力学性质。

但是书中并未给出其具体的证明过程，于是对其开展研究。

【正文】根据简谐运动的定义，如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数规律，即它的振动图像（x-t图像）是正弦函数图像，这样的运动叫做简谐运动。

接下来我们来证明做简谐运动的质点一定受到随位移均匀变化的合力。

由定义可知，质点的位移随时间变化关系x=A sin（ωt+φ）(1)对时间求导，即可得到速度随时间变化关系v=dx=Aωcos（ωt+φ）(2)dt再次求导，可得加速度随时间变化关系=−Aω2sin(ωt+φ)(3)a=dvdt由牛顿第二定律，可得质点所受合力为F=ma(4)联立（3）（4）可得F=−mAω2sin(ωt+φ)(5)将(1)代入(5)得F=−mω2x(6)上式中，m 与ω都是常数，从而写成F =−kx (7)这就证明了做简谐运动的质点一定受到随位移均匀变化的合力，同时联立(6)(7)得ω= k m (8) 根据周期公式T =2πω可得T =2π m k 以上便是简谐运动的周期公式既然做简谐运动的质点一定受到随位移均匀变化的合力，那么如果一个质点受到随位移均匀变化的合力，是否做简谐运动。

答案是肯定的，接下来，我们给出证明。

由简谐运动的运动学公式，得到其所受合力随位移的变化关系 F =−kx (1)由牛顿第二定律得F =ma (2)联立(1)(2)得a =−k m x (3)对(3)进行积分可得速度的平方随位移的变化关系v 2=2 −k m x 0x dx +C =−k m x 2+C (4) 假设质点处于平衡位置时的速度为v 0，则当x=0时，有C =v 02 (5)将(5)带入(4)即可得到v 2v 02+kx 2mv 02=1 (6)由sin θ2+cos θx 2=1可对(6)三角换元v =v 0cos f (t ) (7)x = m k v 0sin f (t ) (8) 其中f(t)是一个关于t 的函数对(8)式求导可得速度随时间变化关系为v = m kv 0f (t )cos f t (9) 联立(8)(9)得f (t )= m k (10) 通过对(10)积分可得到原函数f t = f (t t 0)dt = m kt +φ (11) 代入(8)得x = m k v 0sin( m k t +φ)(12) 上式可化为x =A sin(ωt +φ)(13)因此联立(12)(13)可得ω= m k (14) 同样可得周期公式T=2πm k下面我们讨论单摆的周期公式设一摆长为l，球的质量为m，摆线某时刻与竖直线的夹角为θ，小球距离最低点位移为x。

第11章机械振动第3讲简谐运动的回复力和能量

第3讲简谐运动的回复力和能量[目标定位] 1.知道回复力的概念，了解它的来源.2.理解从力的角度来定义的简谐运动.3.理解简谐运动中位移、回复力、加速度、速度、能量等各物理量的变化规律.4.知道简谐运动中机械能守恒，能量大小与振幅有关．会用能量守恒的观点分析水平弹簧振子中动能、势能、总能量的变化规律．一、简谐运动的回复力1．简谐运动的动力学定义：如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动．2．回复力：由于力的方向总是指向平衡位置，它的作用总是要把物体拉回到平衡位置，所以通常把这个力称为回复力．3．简谐运动的回复力与位移的关系：F＝－kx，式中k是比例系数．想一想回复力是不是除重力、弹力、摩擦力等之外的一种新型的力？它有什么特点？答案不是．回复力是指将振动的物体拉回到平衡位置的力，是按照力的作用效果来命名的，不是一种新型的力，所以分析物体的受力时，不分析回复力．回复力可以由某一个力提供(如弹力)，也可能是几个力的合力，还可能是某一个力的分力，归纳起来，回复力一定等于物体沿振动方向所受的合力．二、简谐运动的能量1．如果摩擦力等阻力造成的损耗可以忽略，在弹簧振子运动的任意位置，系统的动能与势能之和都是一定的．2．简谐运动是一种理想化的模型．想一想弹簧振子在振动过程中动能与势能相互转化，振子的位移x、回复力F、加速度a、速度v四个物理量中有哪几个与动能的变化步调一致？答案只有速度v.一、简谐运动的回复力1．对回复力的理解(1)回复力是指将振动物体拉回到平衡位置的力，它可以是物体所受的合外力，也可以是一个力或某一个力的分力，而不是一种新的性质力．(2)简谐运动的回复力：F＝－kx.①k是比例系数，并非弹簧的劲度系数(水平弹簧振子中k为弹簧的劲度系数)，其值由振动系统决定，与振幅无关．②“－”号表示回复力的方向与偏离平衡位置的位移的方向相反．③x是指物体对平衡位置的位移，不一定是弹簧的伸长量或压缩量．④回复力的作用总是把物体拉向平衡位置．2．简谐运动的加速度据牛顿第二定律，a＝Fm＝－km x，表明简谐运动的加速度大小也与位移大小成正比，加速度方向与位移方向相反．说明：k是比例系数，不能与弹簧的劲度系数相混淆．3．判断振动为简谐运动的方法(1)运动学方法：找出物体的位移与时间的关系，若遵从正弦函数的规律，即它的振动图象(xt 图象)是一条正弦曲线，就可判定此振动为简谐运动．(2)动力学方法：若回复力F与位移x间的关系满足F＝－kx，则物体做简谐运动，否则就不是简谐运动．例1如图1所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做往复运动，下列说法正确的是()图1A．弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用B．弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复的力作用C．振子由A向O运动过程中，回复力逐渐增大D．振子由O向B运动过程中，回复力的方向指向平衡位置解析回复力是根据效果命名的力，不是做简谐运动的物体受到的具体的力，它是由物体受到的具体的力所提供的，在此情景中弹簧的弹力充当回复力，故A正确，B错误；回复力与位移的大小成正比，由A向O运动过程中位移的大小在减小，故此过程回复力逐渐减小，C错误；回复力总是指向平衡位置，故D正确．答案AD例2如图2所示，将一劲度系数为k，原长为L0的轻弹簧的一端固定在倾角为θ的光滑斜面的顶端，另一端连接一质量为m的小球．将小球沿斜面拉下一段距离后松手．证明：小球的运动是简谐运动．图2证明设小球在弹簧长度为L1时在平衡位置O，弹簧原长为L0，选沿斜面向上为正方向，则由平衡条件得k(L1－L0)－mg sin θ＝0.当小球振动经过O点以上距O点为x处时，受力为F合＝k(L1－L0－x)－mg sin θ，整理得F合＝－kx，当小球振动经过O点以下位置时，同理可证，因此小球的运动是简谐运动．二、简谐运动的能量1．不考虑阻力，弹簧振子振动过程中只有弹力做功，在任意时刻的动能与势能之和不变，即机械能守恒．2．简谐运动的机械能由振幅决定对同一振动系统来说，振幅越大，振动的能量越大．如果没有能量损耗，振幅保持不变，它将永不停息地振动下去，因此简谐运动又称等幅振动．例3如图3所示，一弹簧振子在A、B间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子的质量为M.图3(1)简谐运动的能量取决于________，物体振动时动能和________能相互转化，总机械能________．(2)振子在振动过程中，下列说法中正确的是()A．振子在平衡位置，动能最大，势能最小B．振子在最大位移处，势能最大，动能最小C．振子在向平衡位置运动时，由于振子振幅减小，故总机械能减小D．在任意时刻，动能与势能之和保持不变(3)若振子运动到B处时将一质量为m的物体放到M的上面，且m和M无相对滑动而一起运动，下列说法正确的是()A．振幅不变B．振幅减小C．最大动能不变D．最大动能减小解析(1)简谐运动的能量取决于振幅，物体振动时动能和弹性势能相互转化，总机械能守恒．(2)振子在平衡位置两侧往复运动，在最大位移处速度为零，动能为零，此时弹簧的形变最大，势能最大，所以B正确；在任意时刻只有弹簧的弹力做功，所以机械能守恒，D正确；到平衡位置处速度达到最大，动能最大，势能最小，所以A正确；振幅的大小与振子的位置无关，所以C错误．(3)振子运动到B点时速度恰为零，此时放上m，系统的总能量即为此时弹簧储存的弹性势能，由于简谐运动中机械能守恒，所以振幅保持不变，因此选项A正确，B错误；由于机械能守恒，最大动能不变，所以选项C正确，D错误．答案(1)振幅弹性势守恒(2)ABD(3)AC三、简谐运动中各物理量的变化情况如图4所示的弹簧振子图4例4如图5图5A．在第1 s内，质点速度逐渐增大B．在第1 s内，质点加速度逐渐增大C．在第1 s内，质点的回复力逐渐增大D．在第4 s内质点的动能逐渐增大E．在第4 s内质点的势能逐渐增大F．在第4 s内质点的机械能逐渐增大解析在第1 s内，质点由平衡位置向正向最大位移处运动，速度减小，位移增大，回复力和加速度都增大；在第4 s内，质点由负向最大位移处向平衡位置运动，速度增大，位移减小，动能增大，势能减小，但机械能守恒．答案BCD简谐运动的回复力1．如图6所示，弹簧振子B上放一个物块A，在A与B一起做简谐运动的过程中，下列关于A受力的说法中正确的是()图6A．物块A受重力、支持力及弹簧对它的恒定的弹力B．物块A受重力、支持力及弹簧对它的大小和方向都随时间变化的弹力C．物块A受重力、支持力及B对它的恒定的摩擦力D．物块A受重力、支持力及B对它的大小和方向都随时间变化的摩擦力解析物块A受到重力、支持力和摩擦力的作用．摩擦力提供A做简谐运动所需的回复力，其大小和方向都随时间变化，D选项正确．答案 D简谐运动的能量2．沿水平方向振动的弹簧振子在做简谐运动的过程中，下列说法正确的是()A．在平衡位置，它的机械能最大B．在最大位移处，它的弹性势能最大C．从平衡位置向最大位移处运动过程中，它的弹性势能减小D．从最大位移处向平衡位置运动的过程中，它的机械能减小解析弹簧振子在振动过程中机械能守恒，故A、D错误；位移越大，弹簧的形变量越大，弹性势能越大，故B正确，C错误．答案 B3．如图7所示，一轻弹簧一端固定，另一端连接一物块构成弹簧振子，该物块是由a、b 两个小物块粘在一起组成的．物块在光滑水平桌面上左右振动．振幅为A0，周期为T0.当物块向右通过平衡位置时，a、b之间的粘胶脱开；以后小物块a振动的振幅和周期分别为A 和T，则：A______A0(填“>”、“<”或“＝”)，T______T0(填“>”、“<”或“＝”)．图7解析物块通过平衡位置时弹性势能为零，动能最大．向右通过平衡位置，a由于受到弹簧弹力做减速运动，b做匀速运动．小物块a与弹簧组成的系统机械能小于原来系统的机械能，所以小物块a的振幅减小，A<A0，由于振子质量减小可知加速度增大，周期减小，T<T0. 答案<<简谐运动中各量的变化情况4．弹簧振子在光滑的水平面上做简谐运动，在振子向着平衡位置运动的过程中() A．振子所受的回复力逐渐增大B．振子离开平衡位置的位移逐渐增大C．振子的速度逐渐增大D．振子的加速度逐渐增大解析在振子向着平衡位置运动的过程中，振子所受的回复力逐渐减小，振子离开平衡位置的位移逐渐减小，振子的速度逐渐增大，振子的加速度逐渐减小，选项C正确．答案 C(时间：60分钟)题组一简谐运动的回复力1．对简谐运动的回复力公式F＝－kx的理解，正确的是()A．k只表示弹簧的劲度系数B．式中的负号表示回复力总是负值C．位移x是相对平衡位置的位移D．回复力只随位移变化，不随时间变化解析位移x是相对平衡位置的位移；F＝－kx中的负号表示回复力总是与振动物体的位移方向相反．答案 C2．物体做简谐运动时，下列叙述正确的是( ) A ．平衡位置就是回复力为零的位置 B ．处于平衡位置的物体，一定处于平衡状态 C ．物体到达平衡位置，合力一定为零 D ．物体到达平衡位置，回复力一定为零解析平衡位置是回复力等于零的位置，但物体所受合力不一定为零，A 、D 对．答案 AD3．对于弹簧振子的回复力和位移的关系，下列图中正确的是( )解析由简谐运动的回复力公式F ＝－kx 可知，C 正确．答案 C4．弹簧振子的质量是2 kg ，当它运动到平衡位置左侧2 cm 处时，受到的回复力是4 N ，当它运动到平衡位置右侧4 cm 处时，它的加速度是( ) A ．2 m /s 2，向右 B ．2 m/s 2，向左 C ．4 m /s 2，向右D ．4 m/s 2，向左解析由振动的对称性知右侧4 cm 处回复力为8 N ，由a ＝－kx m ＝－Fm 知a ＝4 m/s 2，方向向左．答案 D5．如图1所示，质量为m 的物体A 放置在质量为M 的物体B 上，B 与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐运动，振动过程中A 、B 之间无相对运动，设弹簧的劲度系数为k ，当物体离开平衡位置的位移为x 时，A 、B 间摩擦力的大小等于( )图1A ．0B ．kx C.m M kx D.mM ＋mkx解析当物体离开平衡位置的位移为x 时，弹簧弹力的大小为kx ，以整体为研究对象，此时A 与B 具有相同的加速度，根据牛顿第二定律得kx ＝(m ＋M )a ，故a ＝kxM ＋m.以A 为研究对象，使A 产生加速度的力即为B 对A 的静摩擦力F ，由牛顿第二定律可得F ＝ma ＝mM ＋m kx .故正确答案为D. 答案 D题组二简谐运动的能量6．关于振幅，以下说法中正确的是( ) A ．物体振动的振幅越大，振动越强烈B ．一个确定的振动系统，振幅越大，振动系统的能量越大C ．振幅越大，物体振动的位移越大D ．振幅越大，物体振动的加速度越大解析振动物体的振动剧烈程度表现为振幅的大小，对一个确定的振动系统，振幅越大，振动越剧烈，振动能量也就越大，A 、B 项正确．在物体振动过程中振幅是最大位移的大小，而偏离平衡位置的位移是不断变化的，因此C 项错．物体振动的加速度是不断变化的，故D 项错．答案 AB7．振动的物体都具有周期性，若简谐运动的弹簧振子的周期为T ，那么它的动能、势能变化的周期为( )A ．2TB ．T C.T 2 D.T 4解析振动中动能、势能相互转化，总机械能不变，动能和势能为标量，没有方向．C 正确．答案 C8．如图2为一水平弹簧振子的振动图象，由图可知( )图2A ．在t 1时刻，振子的动能最大，所受的弹力最大B ．在t 2时刻，振子的动能最大，所受的弹力最小C ．在t 3时刻，振子的动能最大，所受的弹力最小D ．在t 4时刻，振子的动能最大，所受的弹力最大解析 t 2和t 4是在平衡位置处，t 1和t 3是在最大位移处，根据弹簧振子振动的特征，弹簧振子在平衡位置时的速度最大，加速度为零，即弹力为零；在最大位移处，速度为零，加速度最大，即弹力为最大，所以B项正确．答案 B9．如图3所示为某个弹簧振子做简谐运动的振动图象，由图象可知()图3A．在0.1 s时，由于位移为零，所以振动能量为零B．在0.2 s时，振子具有最大势能C．在0.35 s时，振子具有的能量尚未达到最大值D．在0.4 s时，振子的动能最大解析弹簧振子做简谐运动，振动能量不变，选项A错；在0.2 's时位移最大，振子具有最大势能，选项B对；弹簧振子的振动能量不变，在0.35 s时振子具有的能量与其他时刻相同，选项C错；在0.4 s时振子的位移最大，动能为零，选项D错．答案 B题组三简谐运动的综合应用10．一弹簧振子振动过程中的某段时间内其加速度数值越来越大，则在这段时间内() A．振子的速度逐渐增大B．振子的位移逐渐增大C．振子正在向平衡位置运动D．振子的速度方向与加速度方向一致解析振子由平衡位置向最大位移处运动过程中，振子的位移越来越大，加速度逐渐增大，速度方向与加速度方向相反，振子做减速运动，速度越来越小，故A、D错误，B正确；振子向平衡位置运动的过程中，位移减小，回复力变小，加速度变小，故C错误．答案 B11．甲、乙两弹簧振子，振动图象如图4所示，则可知()图4A ．两弹簧振子完全相同B ．两弹簧振子所受回复力最大值之比F 甲∶F 乙＝2∶1C ．振子甲速度为零时，振子乙速度最大D ．两弹簧振子的振动频率之比f 甲∶f 乙＝2∶1解析由题图可知f 甲∶f 乙＝1∶2，因此两振子不相同，A 、D 错误；由题图可知C 正确；因F 甲＝k 甲A 甲，F 乙＝k 乙A 乙，由于k 甲和k 乙关系未知，因此无法判断F 甲与F 乙的比值，所以B 错误．答案 C12．一质点做简谐运动，其位移和时间关系如图5所示．图5(1)求t ＝0.25×10－2 s 时的位移；(2)在t ＝1.5×10－2 s 到2×10－2 s 的振动过程中，质点的位移、回复力、速度、动能、势能如何变化？(3)在t ＝0到8.5×10－2 s 时间内，质点的路程、位移各多大？解析 (1)由题图可知A ＝2 cm ，T ＝2×10－2 s ，振动方程为x ＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωt －π2＝－A cos ωt ＝－2cos2π2×10－2t cm ＝－2cos 100πt cm当t ＝0.25×10－2 s 时，x ＝－2cos π4 cm ＝－ 2 cm.(2)由题图可知在1.5×10－2～2×10－2 s 内，质点的位移变大，回复力变大，速度变小，动能变小，势能变大．(3)从t ＝0至8.5×10－2 s 时间内为174个周期，质点的路程为s ＝17A ＝34 cm ，质点0时刻在负的最大位移处，8.5×10－2 s 时刻质点在平衡位置，故位移为2 cm. 答案 (1)－ 2 cm (2)变大变大变小变小变大 (3)34 cm 2 cm。

简谐振动方程

简谐振动的方程
一、简谐振动的动力学方程
1.弹簧振子
l0 k
m
d2x m dt2
F
kx
A o
x
A
k 2
m
d2x k
dt 2
m
x0
d2 dt
x
2
2
x
0
(1)
2 单摆
sin
(ml
2
)
d2
dt 2
M mgl
d2
dt 2
g l
0
(2)
记 2 g x
l
d2x dt 2
2x
0
(1)
O
l
T
mg
mg k
1
1
(m
2kh M
)g
一、简谐振动的动力学方程
小
d2 dt
x
2
2
x
0
结
二、简谐振动的运动学方程
x Acos(t )
t t A
t
t 0 x
o
x
x Acos(t )
旋转矢量法
初始条件确定A 初位相
例:如图m=2×10-2kg,弹簧的静止形变为l=9.8 cm. t=0 时,x0=-9.8cm,v0=0
2 描述简谐振动的特征量
(1)振幅 A
x Acos(t )
(2)周期、频率、圆频率
弹簧振子 k
m
单摆 g
l
T 2 m
k
T 2 l
g
1 k 2 m
1 g 2 l
复摆 mgh T 2 I 1 mgh
I
mgh
2 I
(3) 位相和初位相
x A cos(t 0 )

一轮复习：简谐运动

一质点做简谐运动，其位移和时间的关系如图所示。 (1)求t＝0.25×10－2 s时质点的位移； (2)在t＝1.5×10－2 s到t＝2×10－2 s的振动过程中，质点的位移、回复力、速度、动能、势能大小如何变化？ (3)在t＝0到t＝8.5×10－2 s时间内，质点的路程、位移各多大？
(1)－ 2 cm
2．(多选)关于简谐运动的周期，以下说法正确的是A(CD ) A．间隔一个周期的整数倍的两个时刻，物体的振动情况相同 B．间隔半个周期的奇数倍的两个时刻，物体的速度和加速度可能同时相同 C．半个周期内物体的动能变化一定为零 D．一个周期内物体的势能变化一定为零 E．经过一个周期质点通过的路程为零
3.(多选)如图，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖
与质点的实际振动过程联系起来，图象上的一个点表示振动中的一个状态(位置、振动方向等)，图象上的一段曲线对应振动的一个过程，关键是判断好平衡位
置、最大位移及振动方向。方法二：直观结论法
简谐运动的图象表示振动质点的位移随时间变化的规律，即位移—时间的函数关系图象，不是物体的运动轨迹。直接由图象得出相关物理量，再由简谐运动的有关结论、规律求解。
(2)图象反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，图象不代表质点运动的轨迹。 (3)任一时刻图线上过该点切线的斜率数值表示该时刻振子的速度大小。正负表示速度的方向，为正时沿x正方向，为负时沿x负方向。
2．图象信息 (1)由图象可以得出质点做简谐运动的振幅、周期。 (2)可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移。 (3)可以根据图象确定某时刻质点回复力、加速度和速度的方向。 ①回复力和加速度的方向：因回复力总是指向平衡位置，故回复力和加速度在图象上总是指向t轴。 ②速度的方向：速度的方向可以通过下一时刻位移的变化来判断，下一时刻位移如增加，振动质点的速度方向就是远离t轴；下一时刻位移如减小，振动质点的速度方向就是指向t轴。 (4)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况。

机械振动——简谐运动的基本概念

f=-kx
式中的比例系数k为弹簧的劲度系数（Stiffness），它反映弹簧的固有性质，负号表示力的方向与位移的方向相反，它是始终指向平衡位置的。离平衡位置越远，力越大；在平衡位置力为零，物体由于惯性继续运动。这种始终指向平衡位置的力称为回复力。
2．动力学方程及其解
根据牛顿第二定律，
f=ma
可得物体的加速度为
对于给定的弹簧振子，m和k均为正值常量，令
则上动的微分方程。
三、简谐运动的运动学特征：
1．简谐振动的表达式（运动学方程）
简谐运动的微分方程的解具有正弦、余弦函数或指数形式。我们采用余弦函数形式，即
这就是简谐运动的运动学方程，式中A和φ是积分常数。
说明：
1）简谐运动不仅是周期性的，而且是有界的，只有正弦函数、余弦函数或它们的组合才具有这种性质，这里我们采用余弦函数。
定义：物体在2π秒时间内所作的完全振动的次数，用ω表示，单位为弧度/秒(rad. s-1或s-1)。
说明：
1）简谐运动的基本特性是它的周期性；
2）周期、频率或圆频率均有振动系统本身的性质所决定，故称之为固有周期、固有频率或固有圆频率。
3）对于弹簧振子，，，。
4）简谐运动的表达式可以表示为
三、相位(Phase)—反映振动的状态
物体在B、C之间来回往复运动。
结论：物体作简谐运动的条件：
物体的惯性——阻止系统停留在平衡位置
作用在物体上的弹性力——驱使系统回复到平衡位置
二、弹簧振子的动力学特征：
1．线性回复力
分析弹簧振子的受力情况。取平衡位置O点为坐标原点，水平向右为X轴的正方向。由胡克定律可知，物体m(可视为质点)在坐标为x(即相对于O点的位移)的位置时所受弹簧的作用力为

大学物理学：简谐运动的基本概念

例题：一个质点沿x轴作简谐运动，振幅A=0.06m，周期T=2s，初始时刻质点位于x0=0.03m处且向x轴正方向运动。求：（1）初相位；（2）在x=-0.03m处且向x轴负方向运动时物体回到平衡位置所需要的最短时间。
解：（1）用旋转矢量法，则初相位在第四象限
3
例题：一个质点沿x轴作简谐运动，振幅A=0.06m，周期T=2s，初始时刻质点位于x0=0.03m处且向x轴正方向运动。求：（1）初相位；（2）在x=-0.03m处且向x轴负方向运动时物体回到平衡位置所需要的最短时间。
物理学教学课件
大学物理学电子教案
简谐运动的基本概念
1 简谐运动 2 简谐运动的振幅、周期、频率和
相位 3 旋转矢量
1 简谐运动
研究简谐运动的意义
•在一切振动中，最简单和最基本的振动称为简谐运动
•任何复杂的运动都可以看成是若干简谐运动的合成
1 简谐运动
研究简谐运动的意义
•在一切振动中，最简单和最基本的振动称为简谐运动
余弦函数或它们的组合才具有这种性质，这里我们采用余弦函数。
二、简谐运动的特点
1、从受力角度来看——动力学特征
f －kx
2、从加速度角度来看——运动学特征
a 2 x
3、从位移角度来看——运动学特征
x Acos( t )
二、简谐运动的特点
说明：
•要证明一个物体是否作简谐运动，只要证明上面三个式子中的一个即可，且由其中的一个可以推出另外两个；
二、简谐运动的特点
说明：
•要证明一个物体是否作简谐运动，只要证明上面三个式子中的一个即可，且由其中的一个可以推出另外两个； •要证明一个物体是否作简谐运动最简单的方法就是受力方析，得到物体所受的合外力满足回复力的关系。

机械振动——简谐运动的基本概念

简谐运动在一切振动中，最简单和最基本的振动称为简谐运动，其运动量按正弦函数或余弦函数的规律随时间变化。

任何复杂的运动都可以看成是若干简谐运动的合成。

本节以弹簧振子为例讨论简谐运动的特征及其运动规律。

一、简谐运动的基本概念： 1．弹簧振子：轻质弹簧(质量不计)一端固定，另一端系一质量为m 的物体，置于光滑的水平面上。

物体所受的阻力忽略不计。

设在O 点弹簧没有形变，此处物体所受的合力为零，称O 点为平衡位置。

系统一经触发，就绕平衡位置作来回往复的周期性运动。

这样的运动系统叫做弹簧振子（harmonic Oscillator ），它是一个理想化的模型。

2．弹簧振子运动的定性分析：考虑物体的惯性和作用在物体上的弹性力：B →O ：弹性力向左，加速度向左，加速，O 点，加速度为零，速度最大； O →C ：弹性力向右，加速度向右，减速，C 点，加速度最大，速度为零； C →O ：弹性力向右，加速度向右，加速，O 点，加速度为零，速度最大； O →B ：弹性力向左，加速度向左，减速，B 点，加速度最大，速度为零。

物体在B 、C 之间来回往复运动。

结论：物体作简谐运动的条件：● 物体的惯性 ——阻止系统停留在平衡位置 ● 作用在物体上的弹性力——驱使系统回复到平衡位置二、弹簧振子的动力学特征： 1．线性回复力分析弹簧振子的受力情况。

取平衡位置O 点为坐标原点，水平向右为X 轴的正方向。

由胡克定律可知，物体m (可视为质点)在坐标为x (即相对于O 点的位移)的位置时所受弹簧的作用力为f=-kx式中的比例系数k 为弹簧的劲度系数（Stiffness ），它反映弹簧的固有性质，负号表示力的方向与位移的方向相反，它是始终指向平衡位置的。

离平衡位置越远，力越大；在平衡位置力为零，物体由于惯性继续运动。

这种始终指向平衡位置的力称为回复力。

2．动力学方程及其解根据牛顿第二定律， f=ma可得物体的加速度为x mk m f a -==0202x v v x ωω-⎪⎭⎫⎝⎛+＝2020⎪⎭⎫ ⎝⎛+ωv x ＝求02.072.0=m k ＝v x 6004.022222020+=+=ω2=4π±，由（4π-。

高考物理专题复习二简谐运动的定义和证明

高考物理专题复习二简谐运动的定义和证明一、简谐运动的定义1．从动力学角度定义：如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。

即回复力F= -kx，这是质点做简谐运动的充要条件。

2．从运动学角度定义：如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律x=A sin(ωt+φ)，即它的振动图象（x-t图象）是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐运动，这也是质点做简谐运动的充要条件。

⑴简谐运动的位移x是指偏离平衡位置的位移。

⑵回复力F是一种效果力。

是质点在沿振动方向上所受的合力。

⑶k是回复力系数，有别于弹簧的劲度系数。

二、简谐运动的证明⑴证明过程，凡是题目没出现的物理量，必须说明所设物理量的符号及意义。

⑵根据F= -kx证明简谐运动，步骤是：①建立以平衡位置为原点的坐标系；②在坐标系上任取位移为x的一点（取在正方向即可，位移必须设为x，不能设为d、A等常量；③证明沿振动方向的合力（回复力）F= -kx。

⑶若要求质点振动过程的最大动能，最好选从最远点到平衡位置过程用动能定理，沿振动方向的合外力就是回复力，该过程回复力做的功等于动能变化。

（利用F-x图象或用xW⋅=）F练习题：1．单摆摆长为l，摆球质量为m。

将摆球向左拉动，使其离开平衡位置的距离为A，此时摆线与竖直方向所成角度很小。

无初速释放摆球。

取重力加速度为g。

⑴试证明释放后小球的运动是简谐运动，并求回复力系数k；⑵试求摆球振动过程的最大动能E k。

2．理论研究表明：质量均匀分布的球壳对其内部物体的引力之和为零。

设万有引力常量为G ，地球质量为M ，半径为R ，球心为O ，不考虑地球自转。

求： ⑴在地面以下距地心x 处（x ≤R ）的重力加速度大小g x ；⑵设想沿地球直径开通一条隧道，由隧道上端由静止释放一个质量为m 的小球a ．试证明小球将做简谐运动；b ．已知简谐运动的周期为km T π2=，其中m 为振子质量，k 为回复力系数。

教科版高中物理选修3-4 机械振动+机械波

（1）振幅：振动物体离开平衡位置的最大距离叫做振动的振幅。

①振幅是标量。

②振幅是反映振动强弱的物理量。

（2）周期和频率：①振动物体完成一次全振动所用的时间叫做振动的周期。

②单位时间内完成全振动的次数叫做全振动的频率。

它们的关系是T=1/f 。

在一个周期内振动物体通过的路程为振幅的4倍；在半个周期内振动物体通过的路程为振幅2倍；在1/4个周期内物体通过的路程不一定等于振幅 3）简谐运动的表达式：)sin(ϕω+=t A x 4）简谐运动的图像：振动图像表示了振动物体的位移随时间变化的规律。

反映了振动质点在所有时刻的位移。

从图像中可得到的信息： ①某时刻的位置、振幅、周期②速度：方向→顺时而去；大小比较→看位移大小 ③加速度：方向→与位移方向相反；大小→与位移成正比 3、简谐运动的能量转化过程：1）简谐运动的能量：简谐运动的能量就是振动系统的总机械能。

①振动系统的机械能与振幅有关，振幅越大，则系统机械能越大。

②阻尼振动的振幅越来越小。

2）简谐运动过程中能量的转化：系统的动能和势能相互转化，转化过程中机械能的总量保持不变。

在平衡位置处，动能最大势能最小，在最大位移处，势能最大，动能为零。

（二）简谐运动的一个典型例子→单摆： 1、单摆振动的回复力：摆球重力的切向分力。

①简谐振动物体的周期和频率是由振动系统本身的条件决定的。

②单摆周期公式中的L是指摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离，一般也叫等效摆长。

4、利用单摆测重力加速度：（三）受迫振动：1、受迫振动的含义：物体在外界驱动力的作用下的运动叫做受迫振动。

2、受迫振动的规律：物体做受迫振动的频率等于策动力的频率，而跟物体固有频率无关。

1）受迫振动的频率：物体做稳定的受迫振动时振动频率等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关。

2）受迫振动的振幅：与振动物体的固有频率和驱动力频率差有关3、共振：当策动力的频率跟物体固有频率相等时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫共振。

17.2简谐运动的动力学方程

dυ dω f =m = ml dt dt d2θ = ml 2 dt
2
dt
dθ ω= ) dt
dθ ml 2 = −mgθ dt
dθ g + θ =0 2 dt l
2
g ω= l
l T = 2π g
动力学解决问题的思路：分析系统受力，根据系统初始条件，解出系统在任意时刻的状态。简受到回复力的作用谐 F = −kx 运系统的初始条件动 x0 v0 的系统
m T =2 π k
运动学
描述物体在空间中的运动和其随时间的变化的一种学问。具体的说位移、速度就是描质点的位移速度加速度位移速度、加速度及其对时间的变化关系对时间的变化关系。对时间的变化关系
x = A cos(ωt + ϕ ) 解析法
υ = −ω A sin( ω t + ϕ )
a = −ω 2 x
f 弹 = −kx
弹簧的弹力
准弹性力举例
总结
简谐运动 ⇔ 回复力 F = − kx 动力学计算
d2x k + x =0 2 dt m
动力学方程
k ω= m
A = x +( )
2 0
ωv ϕ = arctan( − 0 ) ωx0 l 周期公式：单摆 T = 2π 弹簧振子
g
x0,v0
v0
2
x = Acos(ωt +ϕ)
解
d 2x + ω dt 2
2
x = 0
x = A cos( ω t + ϕ )
质点作简谐运动
⇒
受到回复力
F = − kx
的作用
受到回复力
F = −kx

简谐运动的动力学和运动学

高中物理【机械振动】知识点、规律总结

简谐运动-高考物理知识点

简谐运动的表达式动力学表达式

简谐振动的动力学特征及运动学-PPT

简谐运动讲解

9-1 简谐运动的动力学特征

高中物理复习：简谐运动规律

论简谐运动动力学与运动学公式的统一

第11章 机械振动 第3讲 简谐运动的回复力和能量

简谐振动方程

一轮复习：简谐运动

机械振动——简谐运动的基本概念

大学物理学：简谐运动的基本概念

机械振动——简谐运动的基本概念

高考物理专题复习二 简谐运动的定义和证明

教科版 高中物理选修3-4 机械振动+机械波

17.2简谐运动的动力学方程

第11章机械振动第3讲简谐运动的回复力和能量

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