图形变换共顶点旋转.习题集(2014-2015)

【例1】
下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）．
（2013北京中考）
【答案】A
【例2】 在ABC △中，AB AC =，BAC α∠=（︒<<︒600α
），将线段BC 绕点B 逆时针旋转60°得到线
段BD ．
（1）如图1，直接写出ABD ∠的大小（用含α的式子表示）；
（2）如图2，15060BCE ABE ∠=︒∠=︒，
，判断ABE △的形状并加以证明； （3）在（2）的条件下，连结DE ，若45DEC ∠=︒，求α的值．
（2013北京中考）
【答案】（1）302
ABD α
∠=︒-
；
（2）ABE △是等边三角形． 证明：连结AD CD ，， ∵60DBC BD BC ∠=︒=，，
∴BDC △是等边三角形，60BDC BD DC ∠=︒=，． 又∵AB AC AD AD ==，， ∴ABD ACD ≌
△△， 真题链接
共顶点旋转
∴ADB ADC ∠=∠， ∴150ADB ∠=︒， ∵60ABE DBC ∠=∠=︒， ∴ABD EBC ∠=∠，
又∵150BD BC ADB ECB =∠=∠=︒，， ∴ABD EBC ≌
△△， ∴AB EB =，
∴ABE △是等边三角形．
B
C
E
D
A
（3）∵BDC ∆是等边三角形， ∴60BCD ∠=︒，
∴90DCE BCE BCD ∠=∠-∠=︒， 又∵45DEC ∠=︒， ∴CE CD BC ==， ∴15EBC ∠=︒， ∵302
EBC ABD α
∠=∠=︒-，
∴30α=︒．
一、旋转的概念和性质
【例3】 下图中，不是旋转对称图形的是（ ）．
【答案】B
【例4】 有下列四个说法，其中正确说法的个数是（ ）．
课堂练习
①图形旋转时，位置保持不变的点只有旋转中心；
②图形旋转时，图形上的每一个点都绕着旋转中心旋转了相同的角度；
③图形旋转时，对应点与旋转中心的距离相等；
④图形旋转时，对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小都没有发生变化
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【例5】如图，若正方形DCEF旋转后能与正方形ABCD重合，则图形所在平面内可作为旋转中心的点共有（）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】本题很多考生容易做错，将答案选为B，认为只有两个旋转点，但是一定要注意CD边的中点也是一个旋转点，所以应该有3个旋转点．
【例6】如图，这是一个正面为黑，反面为白的未拼完的拼木盘，给出如下四块正面为黑、反面为白的拼木，现欲拼满拼木盘并使其颜色一致，请问应选择的拼木是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】将所给的拼木分别尝试拼接或由拼木盘观察，直接选出拼木．A、C和D旋转之后都不能与图形拼满，B旋转180°后可得出与图形相同的形状，故选B．
【例7】已知：如图，若线段CD是由线段AB经过旋转变换得到的．
求作：旋转中心O点．
【答案】分两类：（1）A与C是对应点．（2）B与C是对应点，对（1）的作法：
首先，连结AC，作线段AC的垂直平分线l1；
其次，连结BD，作线段BD的垂直平分线l2，与l1交于O点，则O点为所求．
同理可作出（2）的O′选点．
【解析】采用旋转的作图方法和旋转的性质进行解题．
【例8】 如图，在平面直角坐标系xOy 中，ABC △顶点的横、纵坐标都是整数．若将ABC △以某点
为旋转中心，顺时针旋转90︒得到DEF △，则旋转中心的坐标是（ ）． A ．(0,0) B ．(1,0) C ．(1,1)- D ．(2.5,0.5)
（2014西城期末）
【答案】C
【解析】旋转中心为对应顶点连线的垂直平分线，故选C ．
【例9】 实验操作
（1）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，ABC △的顶点的横、纵坐标都是整数，若将ABC △以点()
1,1P -为旋转中心，按顺时针方向旋转
90︒得到DEF △，请在坐标系中画出点P 及DEF △； （2）如图2，在菱形网格图（最小的菱形的边长为1，且有一个内角为60︒）中有一个等边ABC △，它的顶点A 、B 、C 都落在格点上，若将ABC △以点P 为旋转中心，按顺时针方向旋转60︒得到A B C '''△，请在菱形网格图中画出A B C '''△．其中，点A 旋转到点A '所经过的路线长为__________．
（2014石景山一模）
【答案】（1）画出点P ，画出DEF △．
∠°P
C
A
C
B 图1 图2
x
y
–5
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
–5
–4–3–2–11
234
5C
B
A
O
x
y
–5
–4
–3
–2
–11
2
3
4
5–5
–4–3–2
–11
23
45P
F
E D
C
B
A
O
（2）如图所示：
∠
°
A'
C'
B'
P
C
A C
B
A 旋转到点A '所经过的路线长为43
l π=
．
二、中心对称
【例10】 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）．
A ．
D
C
B ．
D
B
C
A
C ．
D ．
B
C
A
（2014昌平一模）
【答案】A
【例11】 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ．
（2014海淀一模）
【答案】A
【例12】 有五张形状、大小、质地都相同的卡片，上面分别画有下列图形：①正方形；②正三角形；③平
行四边形；④等腰梯形；⑤圆．将卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，正面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是（ ）．
A ．15
B ．
25 C ．35
D ．
45
（2014东城一模）
【答案】B
【例13】 已知：如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 成中心对称，试画出它们的对称中心，并简要说明理
由．
【答案】H
G
F
E
D
C
B
A
【解析】根据中心对称的性质，分别连结CG 、BF ，则它们的交点O 为两四边形的对称中心．其理由是关
于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而CG 、BF 两线段不共线，所以它们的交点即为对称中心．
三、共顶点旋转之全等
【例14】 如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形，D 是AN 中点，E 是BM 中点，
求证：CDE ∆是等边三角形．
M D
N
E
C
B
A
【答案】∵ACN MCB ∆∆≌，∴AN BM =，ABM ANC ∠=∠
又∵D 、E 分别是AN 、BM 的中点，
∴BCE NCD ∆∆≌，∴CE CD =，BCE NCD ∠=∠ ∴60DCE NCD NCE BCE NCE NCB ∠=∠+∠=∠+∠=∠= ∴CDE ∆是等边三角形
【例15】 在等边ABC △中，AD BC ⊥于点D ．
（1）如图1，请你直接写出线段AD 与BC 之间的数量关系：AD =__________BC ；。