点、直线和圆的位置关系

典型例题
如图:∠AOB = 30°M是OB上的一点,且OM =5 cm 以M为圆 心,以r 为半径的圆与 直线OA 有怎样的关系？为什么？ A （1）r = 2 cm ; (2) r = 4 cm ; (3) r = 2.5 cm .
解: 过 M 作 MC⊥OA 于 C，
C
在 Rt △OMC 中, ∠AOB = 30° O
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP = d，
则有：
点P在圆内 d ＜ r ；
点P在圆上 d = r；
点P在圆外 d ＞ r .
P
P
符号 读
作“等价于”，它
表示从符号
的左端可以得到右
端从右端也可以得
到左端．
P
O·
r
A
意观把察太直阳线看与成圆一的个公圆共，点地的平个线数看成一条直a(线地平,注线)
问题探究
问题１：观察图中点A，点B，点C与圆的位
置关系？
点A在圆内，
A
点B在圆上， 点C在圆外.
O·
C
r
B
问题２：设⊙O半径为r,说出点A，点B，点C 与圆心O的距离与半径的关系：
OA < r， OB = r，
OC > r.
问题3：反过来，已知点到圆心的距离和圆 的半径，能否判断点和圆的位置关系？
直线和圆只有一个公共点,这时我们就说这条直线和圆相切, 这条直线叫做圆的切线,这个点叫做切点.
直线和圆没有公共点,这时我们就说这条直线和圆相离.
1.直线和圆的位置关系有三种(从直线与圆 公共点的个数)
2.用图形表示如下:
有两个公共点
有一个公共点
没有公共点
. ..o l 相交
.o
.
.o
l
lபைடு நூலகம்
相切
相离
点交
r ●O
d ┐ 相切
d < r;
d = r;
d > r;
r ●O
d
┐ 相离
归纳：
一判定直线 与圆的位置关系的方法有_两___种：
（1）根据定义，由_直__线___与__圆___的__公__共_ 点 的个数来判断；
（2）由_圆__心__到__直__线__的__距__离__d与半径r 的大小关系来判断。
解得 m1= -8 m2= 0
d=r
当m=-8时原方程 为x2+ 2x+1=0
x1=x2= -1 (不符合题意舍去)
当m=0时原方程 为9x2- 6x+1=0
∴ x1=x2=
1 3
m=0
b2－4ac=0
[-(m+6)]2－4(m+9)=0
随堂检测
1．⊙O的半径为3 ,圆心O到直线l的距离为d,若直线l
例题的变式题
如图:M是OB上的一点,且OM =5 cm 以M为圆心,
半径r=2.5cm作⊙M. 试问过O的射线 OA与OB所夹的
锐角a取什么值时射线OA与 ⊙M
A
1）相离 (2)相切 (3)相交 ?
C
解: 过 M 作 MC⊥OA 于 C 1)当∠a = 30°时,d=2.5cm=r O a
2.5
此时射线OA与 ⊙M相切 2)当 30°<∠a < 90°时
5
M
B
射线OA与⊙M相离
3)当∠a <30°时
射线OA与⊙M相交
方程 几何综合练习题
设⊙O的圆心O到直线的距离为d,半径为r,d.r是
方程(m+9)x2－ (m+6) x +1=0的两根,且直线与⊙O相切
时,求m的值?
析:直线与⊙O相切
解:由题意可得
b2－4ac= [-(m+6)]2－4(m+9)=0
与直线BC的位置关系是 相离 ,以A为圆心, 3 为半径的圆与
直线BC相切.
如图，已知等边三角形ABC中，边长为6cm，求 它的外接圆半径。
A
E O
B
C
D
如图，已知 Rt⊿ABC 中 C 90 ，若 AC=12cm，
BC=5cm，求的外接圆半径。
C
B A
如图，等腰⊿ABC中，AB AC 13cm ，
●
●
O
●
O ●
●
●
●
O
a(地平线)
●
O
●
•你发现这O个自然现象反映出直线和圆的公共点个数有 三
种情况
• 把钥匙环看作一个圆,把直尺边缘看成一条直线. • 固定圆,平移直尺,
直线和圆分别有几个公共点?
两个公共点
●O
一个公共点
没有公共点
●O直线与圆的交点个 ●O 数可判定它们关系
相交
相切
相离
直线和圆有两个公共点,这时我们就说这条直线和圆相交,这条 直线叫做圆的割线
与⊙O没有公共点，则d为（A）：
A．d ＞3 B．d<3 C．d ≤3 D．d =3
2．圆心O到直线的距离等于⊙O的半径，则直线
和⊙O的位置 关系是（ C ）：
A．相离
B.相交
C.相切
D.相切或相交
3.判断:若直线和圆相切,则该直线和圆一定有一个公共点.( √ )
4.等边三角形ABC的边长为2,则以A为圆心,半径为1.73的圆
BC 10cm ，求外接圆的半径。
A
O
B
C
D
直线和圆的位置关系有三种
相交
相切
相离
d
●
●
EC F
直线 l与⊙A
相交
1)直线和圆相交 2) 直线和圆相切 3) 直线和圆相离
r ●O
d ┐ 相切
d < r;
d = r;
d > r;
r ●O
d
┐ 相离
直线与圆的位置关系量化
你能根据d与r的大小关系确定直线与圆的位置关系吗?
d:圆心O到直线的距离为d 过圆心作直线的垂线段
r ●O ┐d
相交
1)直线和圆相交 2) 直线和圆相切 3) 直线和圆相离
1、已知⊙O的半径为6cm, 圆心O与直线AB的距离为d, 根据 条件填写d的范围:
1)若AB和⊙O相离, 则 d > 6cm ; 2)若AB和⊙O相切, 则 d = 6cm ; 3)若AB和⊙O相交,则 0cm≤ d < 6cm.
2.直线和圆有2个交点,则直线和圆__相__交_____; 直线和圆有1个交点,则直线和圆___相__切____; 直线和圆有没有交点,则直线和圆___相__离____;
割 线
切 点
切 线
快速判断下列各图中直线与圆的位置关系
(从直线与圆公共点的个数)
l l
.O
.O1
.O2
.O ●
l
●
●
1) 相离
l
2)
直线l与O1相离 直线l与 O2相交
3)
相切
●
.
O
● 4) 相交
直线与圆的位置关系量化
• 如图,圆心O到直线的距离d与⊙O的半径r的大小有什么 关系?
r ●O ┐d
1
1
30°
2.5
MC= 2 OM= 2 x5=2.5
5M
B
即圆心 M 到OA的距离 d = 2.5 cm.
(1) 当 r = 2 cm 时，有 d > r, 因此⊙M 和 直线OA 相离.
(2) 当 r = 4 cm 时，有 d < r, 因此⊙M 和直线O A 相交.
(3) 当 r = 2.5cm 时，有 d = r ，因此⊙M 和直线 OA 相切.