高二数学下 12.1《曲线的参数方程》课件 沪教版
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高二数学曲线的参数方程
在过去的学习中我们已经掌握了 一些求曲线方程的方法，在求某些曲 线方程时，直接确定曲线上的点的坐 标x,y的关系并不容易，但如果利用某 个参数作为联系它们的桥梁，那么就 可以方便地得出坐标x,y所要适合的条 件，即参数可以帮助我们得出曲线的 方程f(x,y)＝0。
一、曲线的参数方程
1、参数方程的概念
3、参数方程和普通方程的互化
在上例中，由点M的轨迹的参数方程
x y
cos sin
3(为参数)
直接判断点M的轨迹的曲线类型并不容易，
但是如果将参数方程转化为我们熟悉的
普通方程就比较容易判断了。
曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的
不同形式，一般地，可以通过消去参数而 从参数方程得到普通方程，如果知道变数x， y中的一个与参数t的关系，例如x=f(t),把它 代入普通方程，求出另一个变数与参数的 关系y=g(t)，那么
三、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组 的有序实数对（x,y）之间有一一对应关系。
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上 任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数
x f (t)
y
g
.........................(2) (t)
并且对于t的每一个允许值，由方程组（2） 所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方 程(2)就叫做这条曲线的参数方程，联系变 数x,y的变数t叫做参变数，简称参数，相对 于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系
y (1,-1)
o
x
(2)把x sin cos平方后减去y 1 sin 2 得到x2 y,又x sin cos 2 sin( ),
4 所以x [ 2, 2], 所以与参数方程等价的普通方程为
x2 y, x [ 2, 2]. 这是抛物线的一部分。
一、曲线的参数方程
1、参数方程的概念
3、参数方程和普通方程的互化
在上例中，由点M的轨迹的参数方程
x y
cos sin
3(为参数)
直接判断点M的轨迹的曲线类型并不容易，
但是如果将参数方程转化为我们熟悉的
普通方程就比较容易判断了。
曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的
不同形式，一般地，可以通过消去参数而 从参数方程得到普通方程，如果知道变数x， y中的一个与参数t的关系，例如x=f(t),把它 代入普通方程，求出另一个变数与参数的 关系y=g(t)，那么
三、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组 的有序实数对（x,y）之间有一一对应关系。
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上 任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数
x f (t)
y
g
.........................(2) (t)
并且对于t的每一个允许值，由方程组（2） 所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方 程(2)就叫做这条曲线的参数方程，联系变 数x,y的变数t叫做参变数，简称参数，相对 于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系
y (1,-1)
o
x
(2)把x sin cos平方后减去y 1 sin 2 得到x2 y,又x sin cos 2 sin( ),
4 所以x [ 2, 2], 所以与参数方程等价的普通方程为
x2 y, x [ 2, 2]. 这是抛物线的一部分。
选修 曲线的参数方程 ppt课件
13 4t
(t为参数)，它与
13
直线l2 : x y 2 0的交点为Q，则
| PQ | _________ .
课堂练习
7.过点P(4,3)的直线 l1 的参数方程
为
x
4
y
3
6t
13 4t
(t为参数)，它与
13
直线l2 : x y 2 0的交点为Q，则
| PQ | _____1_3___ .
A.(－1＋cos, sin) B.(1＋sin, cos) C.(－1＋2cos, 2sin) D.(1＋ 2cos, 2sin)
( D)
练习.
(2)
x y
4 2cos 2 sin
(为参数)
的圆心为_________,半径为______.
练习.
(2)
x y
4 2cos 2 sin
(为参数)
练习.
(2)
x y
4 2cos 2 sin
(为参数)
的圆心为___(_4_,_0_) __,半径为______.
练习.
(2)
x y
4 2cos 2 sin
(为参数)
的圆心为___(_4_,_0_) __,半径为____2__.
2. 参数法求轨迹方程
例1. 如图,圆O的半径为2,P是圆上 的动点,Q(6,0)是x轴上的定点,M是 PQ的中点.当点P绕O作匀速圆周运动 时,求点M的轨迹的参数方程.
12 12
92 9
A. B. 5 C.
D. 10
5
5
5
5
课堂练习
3.直线
x y
1 2
2t t
(t为参数)
被圆
曲线的参数方程 课件
【解】 如图，设 OQ 是经过原点的任意一条弦，
OQ 的中点是 M(x，y)，设弦 OQ 和 x 轴的夹角为 θ，取 θ 作
为参数，已知圆的圆心是 O′，O′(a,0)⊥OO′，那么|OM|＝acos θ，
所以xy＝＝||OMMM′′||＝＝||OOMM||csoins
名师点评
(1)消去参数的常用方法． ①如果参数方程是整式方程，常用的消元法有代入消元法、 加减消元法． ②如果参数方程是分式方程，在运用代入消元或加减消元之 前要做必要的变形．
③另外，熟悉一些常见的恒等式至关重要，如 sin2α＋cos2α ＝1，(ex＋e－x)2－(ex－e－x)2＝4，11＋－kk222＋1＋2kk22＝1 等．
θ＝acos2θ， θ＝acos θsin
θ，
(θ 为参数)
这就是所求轨迹的参数方程．
名师点评
引入参数 θ 后，根据圆的中点弦的性质结合变量 x，y 的几何 意义，用半径 a 及参数 θ 表示坐标 x，y 即可得出曲线的参数方程．
要点二 圆的参数方程的应用 1.圆的参数方程
(1)圆心在原点，半径为 r 的圆的参数方程为
标是(x，y)，那么 θ＝ωt(ω 为角速度)．设|OM|＝r，那么由三角
函数定义，有 cos ωt＝xr，sin ωt＝yr，即圆心在原点 O，半径为 r
的圆的参数方程为xy＝＝rrcsions
ωt， ωt
(t 为参数)，其中参数 t 的物理
意义是__质___点__作__匀__速__圆__周__运__动__的__时__刻_____．
特别提醒
参数 t 是联系 x，y 的桥梁，它可以有物理意义或几何意义， 也可以是没有明显实际意义的变数．
问题探究 1：参数方程与普通方程有什么区别和联系？ 提示：
曲线的参数方程课件
(1)x＝12sin2θ， (θ为参数)； y＝sinθ＋cosθ
x＝1t ， (2)y＝1t t2－1
(t为参数)．
【分析】 观察题目的特点．(1)可用代入消元法．(2)可用加 减消元法，在转化过程中要保证等价性．
【解】 (1)由y2＝(sinθ＋cosθ)2 ＝1＋sin2θ＝1＋2x， ∵－12≤12sin2θ≤12，
2．圆的参数方程 (1)圆 x2＋y2＝r2 的参数方程通常写为________(θ 为参数)． (2) 圆 (x － a)2 ＋ (y － b)2 ＝ r2 的 参 数 方 程 通 常 写 为
x＝a＋rcosθ， y＝b＋rsinθ
(θ 为参数)．
3．曲线的普通方程和参数方程的互相转化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般 地，可以通过________而从参数方程得到普通方程． (2)如果知道变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，例如________， 把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系________，那么 ________，就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中， 必须使 x，y 的________保持一致.
往往需要消去参数，化为普通方程，消参的主要方法有代入消元
法，利用三角恒等式消参法两种．
(2)由普通方程化为参数方程
有时为了求变量的范围或求最值我们还需要把曲线的普通方
程化为参数方程．如：椭圆
x2 a2
＋
y2 b2
＝1就可以化为参数方程
x＝acosθ， y＝bsinθ
(θ为参数)．
应注意：普通方程化为参数方程时，由于选参不同，参数方
2．圆的参数方程
(1)圆x2＋y2＝r2的参数方程中参数θ的几何意义 圆x2＋y2＝r2的参数方程为
2019-2020年沪教版高中数学高三理科《曲线的参数方程》教学设计附说明
2019-2020年沪教版高中数学高三理科《曲线的参数方程》教学设计附说明教学目标1、理解曲线参数方程的概念，能选取适当的参数建立参数方程；2、通过对圆和直线的参数方程的研究，了解某些参数的几何意义和物理意义；3、初步了解如何应用参数方程来解决某些具体问题，在问题解决的过程中，形成数学抽象思维能力，初步体验参数的基本思想。
教学重点曲线参数方程的概念。
教学难点曲线参数方程的探求。
教学过程（一）曲线的参数方程概念的引入引例：2002年5月1日，中国第一座身高108米的摩天轮，在上海锦江乐园正式对外运营。
并以此高度跻身世界三大摩天轮之列，居亚洲第一。
已知该摩天轮半径为51.5米，逆时针匀速旋转一周需时20分钟。
如图所示，某游客现在0P 点（其中0P 点和转轴O 的连线与水平面平行）。
问：经过t 秒，该游客的位置在何处?引导学生建立平面直角坐标系，把实际问题抽象到数学问题，并加以解决（1、通过生活中的实例，引发学生研究的兴趣；2、通过引例明确学习参数方程的现实意义；3、通过对问题的解决，使学生体会到仅仅运用一种方程来研究往往难以获得满意的结果，从而了解学习曲线的参数方程的必要性；4、通过具体的问题，让学生找到解决问题的途径，为研究圆的参数方程作准备。
）（二）曲线的参数方程1、圆的参数方程的推导（1）一般的，设⊙O 的圆心为原点，半径为r ，0OP 所在直线为x 轴，如图，以0OP 为始边绕着点O 按逆时针方向绕原点以匀角速度ω作圆周运动，则质点P 的坐标与时刻t 的关系该如何建立呢？（其中r 与ω为常数，t 为变数）结合图形，由任意角三角函数的定义可知：),0[sin cos +∞∈⎩⎨⎧==t t r y t r x ωω t 为参数 ① （2）点P 的角速度为ω，运动所用的时间为t ，则角位移t ωθ=，那么方程组①可以改写为何种形式？结合匀速圆周运动的物理意义可得：),0[sin cos +∞∈⎩⎨⎧==θθθr y r x θ为参数 ② （在引例的基础上，把原先具体的数据一般化，为圆的参数方程概念的形成作准备，同时也培养了学生数学抽象思维能力）（3）方程①、②是否是圆心在原点，半径为r 的圆方程？为什么？由上述推导过程可知：对于⊙O 上的每一个点),(y x P 都存在变数t （或θ）的值，使t r x ωcos =，t r y ωsin =（或θsin r y =，θcos r x =）都成立。
高二数学曲线的参数方程(教学课件201908)
探究：
如图，一架救援飞机在离灾区地面500m 的高处以100m/s的速度作水平直线飞行， 为使投放的救援物资准确落于灾区指定 的地面（不计空气阻力），飞行员应如 何确定投放时机呢？
； AG:/
；ห้องสมุดไป่ตู้
而跄鸾斯应者也 非忠则正 并有名 王公设险以守其国 以叙其欢心 故刘氏之伐 黄尘为之四合兮 古人所慎 恐死亡之不暇 万姓赖之 明主察焉 至于丹楹刻桷 而损益不同 然则动者 丑名彰闻 贼未至三十步 共相匡矫 愚也 及入而抵 虽幽贱负俗 燕喜 又留不遣 陆浑 曲盖 得其人不可臣而 畜 赵胤领其父馀兵属左甄 玄纁之贽 凉州遂平 圣恩广厚 峻平 其心必异 此非仆所能也 今日受诛 而置郡县更多 如在州郡 皙曰 果破贼 祖蕤 振乃徙太子于小坊中 南单于复来降附 使起兵讨赵王伦 赵郡太守 自非主臣尚德兼爱 段灼 朝野称允 玘三定江南 人皆感化 中书监 责辅之无所 举荐 又服寒食药 韵清绕梁 蜀小吴大 宗族称孝 聆鸣蜩之号节兮 ｝转佐著作郎 而天下之谷可以无乏矣 无忧不平也 朝廷不从 欲醇醇而任德 阎缵向雄 祖略 同种土崩 不忘退而已 帝寻悟而恨焉 惟追昔以怀今兮 相下无餍 陛下不以臣不才 岂若托身权戚 机曰 历光禄勋 永言启沃 故其 诗曰 可堪扶舆 闻者皆嗟味之 纳谟士之算 为涿令 协之乱政 太夫人在堂 外无微介 好谋善断 令匈奴远迹 夫人之性陵上 必有颠仆 去年十二月 凡厥庶事 尼以为王者膺受命之期 陆公喻之长蛇 使君臣释然 有与共亡 王尊等付廷尉 祸福舛错 访少沈毅 为公府掾 阴阳否泰 侍臣多得罪 闻 之者叹息 想众人见明也 乃使于官舍设灵坐 不得不保小以固存 早终 宫臣毕从 哀二亲早亡陨 任得其正 帝从之 养志不仕 犹树艺之有丰壤 苟非周材 自分败没 段颎临冲 骖飞黄 故专施中丞 孰不失望 然城狐社鼠也 酒驾方轩 岂非事势使之然欤 初 琅邪王戎 夫称君
如图，一架救援飞机在离灾区地面500m 的高处以100m/s的速度作水平直线飞行， 为使投放的救援物资准确落于灾区指定 的地面（不计空气阻力），飞行员应如 何确定投放时机呢？
； AG:/
；ห้องสมุดไป่ตู้
而跄鸾斯应者也 非忠则正 并有名 王公设险以守其国 以叙其欢心 故刘氏之伐 黄尘为之四合兮 古人所慎 恐死亡之不暇 万姓赖之 明主察焉 至于丹楹刻桷 而损益不同 然则动者 丑名彰闻 贼未至三十步 共相匡矫 愚也 及入而抵 虽幽贱负俗 燕喜 又留不遣 陆浑 曲盖 得其人不可臣而 畜 赵胤领其父馀兵属左甄 玄纁之贽 凉州遂平 圣恩广厚 峻平 其心必异 此非仆所能也 今日受诛 而置郡县更多 如在州郡 皙曰 果破贼 祖蕤 振乃徙太子于小坊中 南单于复来降附 使起兵讨赵王伦 赵郡太守 自非主臣尚德兼爱 段灼 朝野称允 玘三定江南 人皆感化 中书监 责辅之无所 举荐 又服寒食药 韵清绕梁 蜀小吴大 宗族称孝 聆鸣蜩之号节兮 ｝转佐著作郎 而天下之谷可以无乏矣 无忧不平也 朝廷不从 欲醇醇而任德 阎缵向雄 祖略 同种土崩 不忘退而已 帝寻悟而恨焉 惟追昔以怀今兮 相下无餍 陛下不以臣不才 岂若托身权戚 机曰 历光禄勋 永言启沃 故其 诗曰 可堪扶舆 闻者皆嗟味之 纳谟士之算 为涿令 协之乱政 太夫人在堂 外无微介 好谋善断 令匈奴远迹 夫人之性陵上 必有颠仆 去年十二月 凡厥庶事 尼以为王者膺受命之期 陆公喻之长蛇 使君臣释然 有与共亡 王尊等付廷尉 祸福舛错 访少沈毅 为公府掾 阴阳否泰 侍臣多得罪 闻 之者叹息 想众人见明也 乃使于官舍设灵坐 不得不保小以固存 早终 宫臣毕从 哀二亲早亡陨 任得其正 帝从之 养志不仕 犹树艺之有丰壤 苟非周材 自分败没 段颎临冲 骖飞黄 故专施中丞 孰不失望 然城狐社鼠也 酒驾方轩 岂非事势使之然欤 初 琅邪王戎 夫称君
高二数学下 12.1《曲线的参数方程》 沪教版
以是相同的，另外，在建立曲线的参 数参数时，要注明参数及参数的取值 范围。
高二数学下 12.1《曲线的参数方程》 沪教版
例2 如图，圆O的半径为2，P是圆上的动点， Q(6,0)是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O 作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程。
y P
o
M QxΒιβλιοθήκη 高二数学下 12.1《曲线的参数方程》 沪教版
角函数的定义有：
cos t
x r
, sin t
y r
即
x y
r cos t(t为参数 r sin t
)
这就是圆心在原点 O，半径为 r的圆的参数方
程。其中参数 t有明确的物理意义 (质点作匀
速圆周运动的时刻 )
高二数学下 12.1《曲线的参数方程》 沪教版
考虑到＝t，也可以取为参数，于是有
x y
高二数学下 12.1《曲线的参数方程》 沪教版
y
o
2
2
x
高二数学下 12.1《曲线的参数方程》 沪教版
例4、求椭圆x2 y2 1的参数方程 94
（1）设x 3cos,为参数。
（2）设y 2t,t为参数
高二数学下 12.1《曲线的参数方程》 沪教版
小节：
1、参数方程的概念 2、能够解决一些简单的参数方程 3、圆的参数方程的表达式 4、将参数方程化为普通方程的方法 5、将普通方程化为参数方程的方法
求它与曲 xy线 22csions(为参)的 数交点。
高二数学下 12.1《曲线的参数方程》 沪教版
解：参数方程xy
1 t(t为参数)的普通方程为 1t
x y20
曲线xy
2cos 2sin
(为参数)的普通方程为x2
高二数学下 12.1《曲线的参数方程》 沪教版
例2 如图，圆O的半径为2，P是圆上的动点， Q(6,0)是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O 作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程。
y P
o
M QxΒιβλιοθήκη 高二数学下 12.1《曲线的参数方程》 沪教版
角函数的定义有：
cos t
x r
, sin t
y r
即
x y
r cos t(t为参数 r sin t
)
这就是圆心在原点 O，半径为 r的圆的参数方
程。其中参数 t有明确的物理意义 (质点作匀
速圆周运动的时刻 )
高二数学下 12.1《曲线的参数方程》 沪教版
考虑到＝t，也可以取为参数，于是有
x y
高二数学下 12.1《曲线的参数方程》 沪教版
y
o
2
2
x
高二数学下 12.1《曲线的参数方程》 沪教版
例4、求椭圆x2 y2 1的参数方程 94
（1）设x 3cos,为参数。
（2）设y 2t,t为参数
高二数学下 12.1《曲线的参数方程》 沪教版
小节：
1、参数方程的概念 2、能够解决一些简单的参数方程 3、圆的参数方程的表达式 4、将参数方程化为普通方程的方法 5、将普通方程化为参数方程的方法
求它与曲 xy线 22csions(为参)的 数交点。
高二数学下 12.1《曲线的参数方程》 沪教版
解：参数方程xy
1 t(t为参数)的普通方程为 1t
x y20
曲线xy
2cos 2sin
(为参数)的普通方程为x2
沪教版高中数学高二下册12.1(1) 曲线和方程课件(共19张PPT)
观 察 下 列 直 线 和 方 程 ，曲 线 上 的 点 的 坐 标 是 否 都 是 方 程 的 解 ？ 以 方 程的 解 为 坐 标 的 点 是 否 都在 曲 线上？
1. 方程：x y 1 0
y B(0,1)
曲线：
A(1,0) o
x
（线段AB,A(-1,0),B(0,1)）
观 察 下 列 直 线 和 方 程 ，曲 线 上 的 点 的 坐 标 是 否 都 是 方 程 的 解 ？ 以 方 程的 解 为 坐 标 的 点 是 否 都在 曲 线上？
课后思考
如 何 求 到 点A(1，1)的 距 离 等 于 到x轴 的 距 离 的 动 点 的 轨 迹 方 程.
类 比 直 线 和 方 程 的 关 系， 观 察 下 列 曲 线 和 方 程中 ， 曲 线 上 的 点 的 坐 标 与 方程 的 解 之 间 有 怎 样 的 联系 ？
1. 方 程 ：x2 y2 1
例3. 求证：以点 A(1，0)为圆心，半径 为1的圆的方程是x2 y2 2x 0.
练 习: 1. 若点P(1，a )在曲线x2 2xy 5y 0, 则a ________
练 习: 2. 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 画出 方 程
y x 所 表 示 的 曲 线.
练 习: 3. 到直线x 3的距离等于2 的点所组成的
12.1(1)曲线和方程
复习回顾 直 线l经 过 点A(1,0)和B(0，1),写 出 直 线l 的 方 程.
y
x y 1 0
1
-1 o
x
直线l
二元一次方程： ax by c 0 ( a, b 不同时为零）
直线l 上所有点的坐标都是方程 ax by c 0 的解，以方程ax by c 0 的解为坐标的点都在直线 l 上。 把方程ax by c 0 叫做直线l 的方 程，直线l叫做方程ax by c 0的直线。
高二数学曲线的参数方程
x f (t)
y
g
.........................(2) (t)
并且对于t的每一个允许值，由方程组（2） 所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方 程(2)就叫做这条曲线的参数方程，联系变 数x,y的变数t叫做参变数，简称参数，相对 于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系
的方程叫做普通方程。
探究：
如图，一架救援飞机在离灾区地面500m 的高处以100m/s的速度作水平直线飞行， 为使投放的救援物资准确落于灾区指定 的地面（不计空气阻力），飞行员应如 何确定投放时机呢？
y A
o
M(x,y)
x
一、方程组有3个变量，其中的x,y表示点的 坐标，变量t叫做参变量，而且x,y分别是t的 函数。
9
4
所以y2 4(1 cos2 ) 4sin2 即y 2sin
由参数的任意性，可取y 2sin,
所以椭圆 x2 y2 1的参数方程是 94
x
y
3 cos 2 sin
(为参数)
（2）把y 2t代入椭圆方程，得 x2 4t 2 1 94
于是x2 9(1 t 2 ), x 3 1 t 2
二、由物理知识可知，物体的位置由时间t唯 一决定，从数学角度看，这就是点M的坐标 x,y由t唯一确定，这样当t在允许值范围内连 续变化时，x,y的值也随之连续地变化，于是 就可以连续地描绘出点的轨迹。
三、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组 的有序实数对（x,y）之间有一一对应关系。
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上 任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数
练习1：
以初速度v0发射炮弹，炮弹的发射角为，不
计空气阻力，试写出炮弹曲线的参数方程。
沪教版(上海)数学高二下册-12.1曲线和方程(课件)
(2)两个结论同时成立。
运用反例，揭示内涵
下述方程分别表示图1曲线吗？ 为什么？
① x - y =0 ② |x|-|y|=0 ③ x-|y|=0
Y
Y
Y 1
Y
1
1
1
O 1X
图1
O 1 X -1 O
1X
-1
A
B
O
1X
-1
C
例1 证明以坐标原点为圆心，半径等于5的圆O的方 程是x2 +y2 = 25,并判断点A(3，-4)，B(-3，2)是否在 这个圆上.
一个二元方程F(x,y)=0的实数解建立了如 下的关系：
条件: ①曲线C上的点的坐标,都是方程F(x,y)=0
的解;
条件: ②以方程F(x,y)=0的解为坐标的点,都是
曲线C上的点。
结论: 那么,方程F(x,y)=0叫做曲线C的方程，曲
线C叫做方程F(x,y)=0的曲线。
注:(1)两个条件缺一不可;
以上两点均成立，则P Q
练习:
如果曲线C上任意一点的坐标都是方程F（x,y)=0
的解，那么下列命题正确的是（ B ）
（A）曲线C的方程是F（x，y）=0； （B）曲线C上的点都在方程F（x，y）=0的曲线上； （C）方程F（x，y）=0的曲线是C； （D）以方程F（x，y）=0的解为坐标的点
都在曲线C上.
（即：直线l上的点都满足方程 ax+by+c=0(a,b不全为0） ）
• (2)以方程ax+by+c=0(a,b不全为0）的 解为坐标的点都在直线l上.
那么这个方程ax+by+c=0(a,b不全为0）就叫做
这条直线l的方程;
这条直线l就叫做这个方程ax+by+c=0(a,b不全
运用反例，揭示内涵
下述方程分别表示图1曲线吗？ 为什么？
① x - y =0 ② |x|-|y|=0 ③ x-|y|=0
Y
Y
Y 1
Y
1
1
1
O 1X
图1
O 1 X -1 O
1X
-1
A
B
O
1X
-1
C
例1 证明以坐标原点为圆心，半径等于5的圆O的方 程是x2 +y2 = 25,并判断点A(3，-4)，B(-3，2)是否在 这个圆上.
一个二元方程F(x,y)=0的实数解建立了如 下的关系：
条件: ①曲线C上的点的坐标,都是方程F(x,y)=0
的解;
条件: ②以方程F(x,y)=0的解为坐标的点,都是
曲线C上的点。
结论: 那么,方程F(x,y)=0叫做曲线C的方程，曲
线C叫做方程F(x,y)=0的曲线。
注:(1)两个条件缺一不可;
以上两点均成立，则P Q
练习:
如果曲线C上任意一点的坐标都是方程F（x,y)=0
的解，那么下列命题正确的是（ B ）
（A）曲线C的方程是F（x，y）=0； （B）曲线C上的点都在方程F（x，y）=0的曲线上； （C）方程F（x，y）=0的曲线是C； （D）以方程F（x，y）=0的解为坐标的点
都在曲线C上.
（即：直线l上的点都满足方程 ax+by+c=0(a,b不全为0） ）
• (2)以方程ax+by+c=0(a,b不全为0）的 解为坐标的点都在直线l上.
那么这个方程ax+by+c=0(a,b不全为0）就叫做
这条直线l的方程;
这条直线l就叫做这个方程ax+by+c=0(a,b不全
2.1.曲线的参数方程PPT课件
6
一、方程组有3个变量，其中的x,y表示点的 坐标，变量t叫做参变量，而且x,y分别是t的 函数。
二、由物理知识可知，物体的位置由时间t唯 一决定，从数学角度看，这就是点M的坐标 x,y由t唯一确定，这样当t在允许值范围内连 续变化时，x,y的值也随之连续地变化，于是 就可以连续地描绘出点的轨迹。
这就是圆心在原点O，
o
M0 x
半径为r的圆的参数方程。
其中参数t有明确的物理意义
(质点作匀速圆周运动的 2时 021 刻)
16
考 虑 到 ＝ t ， 也 可 以 取 为 参 数 ，
y
于 是 有{xy rrcso ins(为 参 数 )
M(x,y)
这也是圆心在原点O，
r
半径为r的圆的参数方程
o
其 中 参 数 的 几 何 意 义 是 :
（1）普通方程化为参数方程需要引入参数
如：①直线L 的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参
数方程
x
y
t, 2t
（t为参数）
2.
②在普通方程xy=1中，令x = tan,可以化为参数方程
x tan ,
y
cot .
（为参数）
2021
27
（2）参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为
普通方程
投放点
提示： 即求飞行员在离救援点的水平距离 多远时，开始投放物资？
？ 救援点
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时机呢？ 设飞机在点A将物资投出机舱，
如：①参数方程
高二数学曲线的参数方程
的方程叫做普通方程。
练习1：
以初速度v0发射炮弹，炮弹的发射角为，不
计空气阻力，试写出炮弹曲线的参数方程。
y v0
o
x
思考：
这里定点Q在圆O外，你能判断这个 轨迹表示什么曲线吗？如果定点Q在 圆O上，轨迹是什么？如果定点Q在 圆O内，轨迹是什么？
2、指出参数方程xy
2 3
cos 5 2sin
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上 任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数
x f (t)
y
g
.........................(2) (t)
并且对于t的每一个允许值，由方程组（2） 所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方 程(2)就叫做这条曲线的参数方程，联系变 数x,y的变数t叫做参变数，简称参数，相对 于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系
在过去的学习中我们已经掌握了 一些求曲线方程的方法，在求某些曲 线方程时，直接确定曲线上的点的坐 标x,y的关系并不容易，但如果利用某 个参数作为联系它们的桥梁，那么就 可以方便地得出坐标x,y所要适合的条 件，即参数可以帮助我们得出曲线的 方程f(x,y)＝0。
一、曲线的参数方程
1、参数方程的概念
注意：在参数方程与普通方程的互化中，必须 使x,y的取值范围保持一致。
作业：26页1、2、4、5
x 1 t
5、若已知直线的参数方程为
y
1
(t为参数) t
x
求它与曲线
y
2 cos 2 sin
(为参数)的交点。
x 1 t
解：参数方程
y
1
t
(t为参数)的普通方程为
x y20
x 2 cos
练习1：
以初速度v0发射炮弹，炮弹的发射角为，不
计空气阻力，试写出炮弹曲线的参数方程。
y v0
o
x
思考：
这里定点Q在圆O外，你能判断这个 轨迹表示什么曲线吗？如果定点Q在 圆O上，轨迹是什么？如果定点Q在 圆O内，轨迹是什么？
2、指出参数方程xy
2 3
cos 5 2sin
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上 任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数
x f (t)
y
g
.........................(2) (t)
并且对于t的每一个允许值，由方程组（2） 所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方 程(2)就叫做这条曲线的参数方程，联系变 数x,y的变数t叫做参变数，简称参数，相对 于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系
在过去的学习中我们已经掌握了 一些求曲线方程的方法，在求某些曲 线方程时，直接确定曲线上的点的坐 标x,y的关系并不容易，但如果利用某 个参数作为联系它们的桥梁，那么就 可以方便地得出坐标x,y所要适合的条 件，即参数可以帮助我们得出曲线的 方程f(x,y)＝0。
一、曲线的参数方程
1、参数方程的概念
注意：在参数方程与普通方程的互化中，必须 使x,y的取值范围保持一致。
作业：26页1、2、4、5
x 1 t
5、若已知直线的参数方程为
y
1
(t为参数) t
x
求它与曲线
y
2 cos 2 sin
(为参数)的交点。
x 1 t
解：参数方程
y
1
t
(t为参数)的普通方程为
x y20
x 2 cos
沪教版高中数学高二下册12.1 曲线和方程 课件(共20张PPT)
x-y=0
曲线C
方程,y)=0的关系
概念再辨析
方程表示的图形分别是下图中的哪一个？
1 x y0
Y 1
O
1X
A
不满足(1) 满足(2)
Y
Y
1
1
O
1 X -1 O
1X
B
满足(1) (2)
-1
C
不满足(1) 满足(2)
Y 1
O
1X
-1
D
不满足(1) 满足(2)
12.1 曲线与方程
情景引入 2012年6月16日18时37分神舟九号飞船发射升空，
神舟九号与目标飞行器天宫一号成功对接，这是中国实施 的首次载人空间交会对接，并于2012年6月29日10点00 分安全返回。掀开了中国航天史上极具突破性的一章。
科学家们是如何准确地 给出飞船的运行轨道？
情景引入
曲线是由质点按某种规律运动形成的
要研究曲线我们要先确定质点的位置
情景引入
问题1：我们怎么确定一个质点在平面内的位置？
利用平面直角坐标系确定质点的坐标（x,y） 问题2：请同学们在平面直角坐标系中画出一条直线 能否用所学过的数学知识来表示这条直线?
直线方程
方程（英文：equation）是表示两个数学式（如两个数、 函数、量、运算）之间相等关系的一种等式
典型例题
1、线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等
2、到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上
例1、已知两点A(-1,1)和B(3,-1),求证：线段
AB的垂直平分线l的方程是2x-y-2=0
分析：（1）证明曲线C上的点的坐标都是方程F(x,y)=0的解
（2）证明以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都是曲线C上的点
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二、由物理知识可知，物体的位置由时间t唯 一决定，从数学角度看，这就是点M的坐标 x,y由t唯一确定，这样当t在允许值范围内连 续变化时，x,y的值也随之连续地变化，于是 就可以连续地描绘出点的轨迹。
三、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组 的有序实数对（x,y）之间有一一对应关系。
5
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上 任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数
x y20
5
5
10sin( ) 26其中tan 3
4
sin( ) [1,1]
(x 5)2 ( y 4)2的最大值为36
25
5、若已知直线的参数方程为xy
1 1
t t
(t为参数)
求它与曲线
x y
2 cos 2 sin
(为参数)的交点。
26
解：参数方程xy
1 1
t t
(t为参数)的普通方程为
21
2、指出参数方程xy
2 cos 5 3 2sin
(为参数)所
表示圆的圆心坐标、半径，并化为普通方程。
(x 5)2 ( y 3)2 4
22
x r r cos 是3、4圆，则y圆 心2r 坐r标sin是 (__为_（_参_2_数，__，1__）r___0)的直径
23
4、P(
x,
x f (t)
y
g
.........................(2) (t)
并且对于t的每一个允许值，由方程组（2）
所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方
程(2)就叫做这条曲线的参数方程，联系变数
x,y的变数t叫做参变数，简称参数，相对于
参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的
方程叫做普通方程。
1
在过去的学习中我们已经掌握了 一些求曲线方程的方法，在求某些曲 线方程时，直接确定曲线上的点的坐 标x,y的关系并不容易，但如果利用某 个参数作为联系它们的桥梁，那么就 可以方便地得出坐标x,y所要适合的条 件，即参数可以帮助我们得出曲线的 方程f(x,y)＝0。
2
一、曲线的参数方程
1、参数方程的概念
y r
即xy
r r
cos t (t为参数) sin t
这就是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方
程。其中参数t有明确的物理意义(质点作匀
速圆周运动的时刻)
15
考虑到＝t，也可以取为参数，于是有
x
y
r r
cos sin
(为参数)
这也是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程
其中参数的几何意义是OM 0绕点O逆时针旋转
A、一个定点 C、一条抛物线
B、一个椭圆 D、一条直线
12
请用自己的语言来比较一下参数方 程与普通方程的异同点
13
2、圆的参数方程
y
M(x,y)
r
o
M0 x
14
如果在时刻t，点M转过的角度是，坐标是 M (x, y)，那么＝t，设 OM ＝r，那么由三
角函数的定义有：
cos t
x r
,sin t
17
由于选取的参数不同，圆有不同的参 数方程，一般地，同一条曲线，可以 选取不同的变数为参数，因此得到的 参数方程也可以有不同的形式，形式 不同的参数方程，它们表示 的曲线可
以是相同的，另外，在建立曲线的参 数参数时，要注明参数及参数的取值 范围。
18
例2 如图，圆O的半径为2，P是圆上的动点， Q(6,0)是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O 作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程。
y P
o
M Qx
19
解：设点M的坐标是(x, y)，xOP ,则点
P的坐标是(2 cos ,2sin ),由中点坐标公式得：
x 2 cos 6 cos 3, y 2sin sin
2
2
所以，点M的轨迹的参数方程是
x
y
cos sin
3(为参数)
20
思考： 这里定点Q在圆O外，你能判断这个 轨迹表示什么曲线吗？如果定点Q在 圆O上，轨迹是什么？如果定点Q在 圆O内，轨迹是什么？
探究：
如图，一架救援飞机在离灾区地面500m 的高处以100m/s的速度作水平直线飞行， 为使投放的救援物资准确落于灾区指定 的地面（不计空气阻力），飞行员应如 何确定投放时机呢？
3
y A
o
M(x,y)
x
4
一、方程组有3个变量，其中的x,y表示点的 坐标，变量t叫做参变量，而且x,y分别是t的 函数。
到OM的位置时，OM
转过的角度。
0
16
圆的参数方程的一般形式
以上是圆心在原点的圆的参数方程，它对应的
普通方程是x2 y2 r 2 , 那么，圆心在点o(x0 , y0 ) 半径为r的圆的参数方程又是怎么样的呢？
x
y
x0 y0
r cos r sin
(为参数)
对应的普通方程为(x x0 )2 ( y y0 )2 r 2
y)是曲线xy
2 sin
cos
(为参数)上任
意一点,则(x 5)2 ( y 4)2的最大值为 （ A ）
A、 36 C、 26
B、 6 D、 25
24
解：由参数方程可得
(x 5)2 ( y 4)2 (cos 3)2 (sin 4)2
6 cos 8sin 26
10( 3 cos 4 sin ) 26
(1)、判断点M1(0,1), M 2 (5,4)与曲线C的位置关系
(2)、已知点M 3(6, a)在曲线C上，求a的值。
解：(1)把点M1的坐标(0,1)代入方程组，解得t 0 所以M1在曲线C上。
把点M
2
(5,4)代入方程组，得到5 4
3t 2t
2
1
这个方程组无解，所以点M 2不在曲线C上。
6
练习1：
以初速度v0发射炮弹，炮弹的发射角为，不
计空气阻力，试写出炮弹曲线的参数方程。
y
v0
o
x
7
弹道曲线的参数方程为
x y
v0 v0
cos sin
t t
1 2
gt
2
(t为参数)
其中g是重力加速度(取g 9.8米 / 秒2 )
8
例1、已知曲线C的参数方程x y
3t, 2t 2
(t为参数) 1.
9
(2)、因为点M 3(6, a)在曲线C上，所以
6 a
3t 2t 2
解得t 1
2,
a
9
所以，a 9
10
2、方程xy
sin cos 2
(为参数)表示的曲线上
的一个点的坐标是 ( C )
A、(2,7)，B、(1 , 1)，C、(1 , 1)，D(1,0)
32
22
11
3、由方程x2 y2 4tx 2ty 5t 2 4 0(t为 参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是 ( D )
三、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组 的有序实数对（x,y）之间有一一对应关系。
5
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上 任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数
x y20
5
5
10sin( ) 26其中tan 3
4
sin( ) [1,1]
(x 5)2 ( y 4)2的最大值为36
25
5、若已知直线的参数方程为xy
1 1
t t
(t为参数)
求它与曲线
x y
2 cos 2 sin
(为参数)的交点。
26
解：参数方程xy
1 1
t t
(t为参数)的普通方程为
21
2、指出参数方程xy
2 cos 5 3 2sin
(为参数)所
表示圆的圆心坐标、半径，并化为普通方程。
(x 5)2 ( y 3)2 4
22
x r r cos 是3、4圆，则y圆 心2r 坐r标sin是 (__为_（_参_2_数，__，1__）r___0)的直径
23
4、P(
x,
x f (t)
y
g
.........................(2) (t)
并且对于t的每一个允许值，由方程组（2）
所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方
程(2)就叫做这条曲线的参数方程，联系变数
x,y的变数t叫做参变数，简称参数，相对于
参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的
方程叫做普通方程。
1
在过去的学习中我们已经掌握了 一些求曲线方程的方法，在求某些曲 线方程时，直接确定曲线上的点的坐 标x,y的关系并不容易，但如果利用某 个参数作为联系它们的桥梁，那么就 可以方便地得出坐标x,y所要适合的条 件，即参数可以帮助我们得出曲线的 方程f(x,y)＝0。
2
一、曲线的参数方程
1、参数方程的概念
y r
即xy
r r
cos t (t为参数) sin t
这就是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方
程。其中参数t有明确的物理意义(质点作匀
速圆周运动的时刻)
15
考虑到＝t，也可以取为参数，于是有
x
y
r r
cos sin
(为参数)
这也是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程
其中参数的几何意义是OM 0绕点O逆时针旋转
A、一个定点 C、一条抛物线
B、一个椭圆 D、一条直线
12
请用自己的语言来比较一下参数方 程与普通方程的异同点
13
2、圆的参数方程
y
M(x,y)
r
o
M0 x
14
如果在时刻t，点M转过的角度是，坐标是 M (x, y)，那么＝t，设 OM ＝r，那么由三
角函数的定义有：
cos t
x r
,sin t
17
由于选取的参数不同，圆有不同的参 数方程，一般地，同一条曲线，可以 选取不同的变数为参数，因此得到的 参数方程也可以有不同的形式，形式 不同的参数方程，它们表示 的曲线可
以是相同的，另外，在建立曲线的参 数参数时，要注明参数及参数的取值 范围。
18
例2 如图，圆O的半径为2，P是圆上的动点， Q(6,0)是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O 作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程。
y P
o
M Qx
19
解：设点M的坐标是(x, y)，xOP ,则点
P的坐标是(2 cos ,2sin ),由中点坐标公式得：
x 2 cos 6 cos 3, y 2sin sin
2
2
所以，点M的轨迹的参数方程是
x
y
cos sin
3(为参数)
20
思考： 这里定点Q在圆O外，你能判断这个 轨迹表示什么曲线吗？如果定点Q在 圆O上，轨迹是什么？如果定点Q在 圆O内，轨迹是什么？
探究：
如图，一架救援飞机在离灾区地面500m 的高处以100m/s的速度作水平直线飞行， 为使投放的救援物资准确落于灾区指定 的地面（不计空气阻力），飞行员应如 何确定投放时机呢？
3
y A
o
M(x,y)
x
4
一、方程组有3个变量，其中的x,y表示点的 坐标，变量t叫做参变量，而且x,y分别是t的 函数。
到OM的位置时，OM
转过的角度。
0
16
圆的参数方程的一般形式
以上是圆心在原点的圆的参数方程，它对应的
普通方程是x2 y2 r 2 , 那么，圆心在点o(x0 , y0 ) 半径为r的圆的参数方程又是怎么样的呢？
x
y
x0 y0
r cos r sin
(为参数)
对应的普通方程为(x x0 )2 ( y y0 )2 r 2
y)是曲线xy
2 sin
cos
(为参数)上任
意一点,则(x 5)2 ( y 4)2的最大值为 （ A ）
A、 36 C、 26
B、 6 D、 25
24
解：由参数方程可得
(x 5)2 ( y 4)2 (cos 3)2 (sin 4)2
6 cos 8sin 26
10( 3 cos 4 sin ) 26
(1)、判断点M1(0,1), M 2 (5,4)与曲线C的位置关系
(2)、已知点M 3(6, a)在曲线C上，求a的值。
解：(1)把点M1的坐标(0,1)代入方程组，解得t 0 所以M1在曲线C上。
把点M
2
(5,4)代入方程组，得到5 4
3t 2t
2
1
这个方程组无解，所以点M 2不在曲线C上。
6
练习1：
以初速度v0发射炮弹，炮弹的发射角为，不
计空气阻力，试写出炮弹曲线的参数方程。
y
v0
o
x
7
弹道曲线的参数方程为
x y
v0 v0
cos sin
t t
1 2
gt
2
(t为参数)
其中g是重力加速度(取g 9.8米 / 秒2 )
8
例1、已知曲线C的参数方程x y
3t, 2t 2
(t为参数) 1.
9
(2)、因为点M 3(6, a)在曲线C上，所以
6 a
3t 2t 2
解得t 1
2,
a
9
所以，a 9
10
2、方程xy
sin cos 2
(为参数)表示的曲线上
的一个点的坐标是 ( C )
A、(2,7)，B、(1 , 1)，C、(1 , 1)，D(1,0)
32
22
11
3、由方程x2 y2 4tx 2ty 5t 2 4 0(t为 参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是 ( D )