浙江省学考选考高2020届高2017级高考数学一轮复习经典题目专题汇编：排列组合二项式定理
高考数学一轮复习排列与组合专题练习及答案
高考数学一轮复习排列与组合专题练习及答案高考数学一轮复习排列与组合专题练习及答案一、填空题1.市内某公共汽车站有6个候车位(成一排)，现有3名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是________.[解析] 由于题目要求的是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇.如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种选择)，之后十位(2种选择)，最后百位(2种选择)，共322=12种;如果是第二种偶奇奇的情况，个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0,1种情况)，共321=6种，因此总共12+6=18种情况.[答案] 182.若从1,2,3，，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有________种.[解析] 满足题设的取法可分为三类：一是四个奇数相加，其和为偶数，在5个奇数1,3,5,7,9中，任意取4个，有C=5(种);二是两个奇数加两个偶数其和为偶数，在5个奇数中任取2个，再在4个偶数2,4,6,8中任取2个，有CC=60(种);三是四个偶数相加，其和为偶数，4个偶数的取法有1种，所以满足条件的`取法共有5+60+1=66(种).[答案] 663.(2014福州调研)若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，称这个数为伞数.现从1,2,3,4,5,6这六个数字中取3个数，组成无重复数字的三位数，其中伞数有________个.[解析] 分类讨论：若十位数为6时，有A=20(个);若十位数为5时，有A=12(个);若十位数为4时，有A=6(个);若十位数为3时，有A=2(个).因此一共有40个.[答案] 404.一个平面内的8个点，若只有4个点共圆，其余任何4点不共圆，那么这8个点最多确定的圆的个数为________.[解析] 从8个点中任选3个点有选法C种，因为有4点共圆所以减去C种再加1种，共有圆C-C+1=53个.[答案] 535.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有________种.[解析] 分两种情况：选2本画册，2本集邮册送给4位朋友有C=6(种)方法;选1本画册，3本集邮册送给4位朋友有C=4(种)方法，不同的赠送方法共有6+4=10(种).[答案] 106.用数字1,2,3,4,5,6六个数字组成一个六位数，要求数字1,2都不与数字3相邻，且该数字能被5整除，则这样的五位数有________个.[解析] 由题可知，数字5一定在个位上，先排数字4和6，排法有2种，再往排好的数字4和6形成的3个空位中插入数字1和3，插法有6种，最后再插入数字2，插法有3种，根据分步乘法计数原理，可得这样的六位数有263=36个.[答案] 367.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法有________种.[解析] 第一类，含有1张红色卡片，共有不同的取法CC=264(种);第二类，不含有红色卡片，共有不同的取法C-3C=220-12=208(种).由分类计数原理知不同的取法有264+208=472(种).[答案] 4728.在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的三位数共有________个.[解析] 在1,2,3,4,5这五个数字中有3个奇数，2个偶数，要求三位数各位数字之和为偶数，则两个奇数一个偶数，符合条件的三位数共有CCA=36(个).[答案] 36二、解答题9.从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是多少?(用数字作答).[解] 分三类：选1名骨科医生，则有C(CC+CC+CC)=360(种);选2名骨科医生，则有C(CC+CC)=210(种);选3名骨科医生，则有CCC=20(种).骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是360+210+20=590种.10.四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中.(1)若每个盒子放一球，则有多少种不同的放法?(2)恰有一个空盒的放法共有多少种?[解] (1)每个盒子放一球，共有A=24(种)不同的放法;(2)法一先选后排，分三步完成.第一步：四个盒子中选一只为空盒，有4种选法;第二步：选两球为一个元素，有C种选法;第三步：三个元素放入三个盒中，有A种放法.故共有4CA=144(种)放法.法二先分组后排列，看作分配问题.第一步：在四个盒子中选三个，有C种选法;第二步：将四个球分成2,1,1三组，有C种放法;第三步：将三组分到选定的三个盒子中，有A种放法.故共有CCA=144种放法.。
浙江省学考选考高2020届高2017级高考数学一轮复习经典题目专题汇编：三角函数
浙江省学考选考高2020届高2017级高考数学一轮复习经典题目专题汇编三角函数一、选择、填空题1、(温州市2019届高三8月适应性测试)在ABC ∆中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,,AD 是BC 上的高,若337=a ,3=AD ,60=A ,则bc =________,c b +=_________. 2、(金丽衢十二校2019届高三第一次联考)已知函数y ＝sin x +3cos x 是由y ＝sin x －3cos x 向左平移((0,2])ϕϕπ∈个单位得到的,则ϕ＝_____3、(浙江省名校协作体2019届高三上学期第一次联考)在ABC ∆中,内角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,,已知 45=A , 60=B ,3=b ,则=a ( )A. 2B.6 C.223 D. 623 4、(七彩阳光联盟2019届高三上学期期初联考)已知函数()sin 23cos 2f x x x m =+-在[0,]2π上有两个不同的零点,则m 的取值范围为( )A. [3,2)-B. [3,3)-C. [3,2)D. [0,2)5、(温州九校2019届高三第一次联考)已知函数x x x f 2sin )tan 1()(+=,则)(x f 的定义域为__________,)(x f 的最大值为_________.6、(嘉兴市2019届高三上学期期末检测)已知函数f (x) = sin(ωx ＋3π)(ω>0)的最小正周期是4π, 则ω＝ ▲ ,若f ( θ＋3π)＝35,则 cos θ ＝ ▲ .7、(丽水、衢州、湖州三地市2019届高三上学期期末)已知x ∈(0,π),cos(x ﹣6π)＝﹣33,则cos(x ﹣3π)＝( ) A.366+－ B.366－－ C.366－ D.366+ 8、(宁波市2019届高三上学期期末考试)将函数的图像的每一个点横坐标缩短为原来的一半,再向左平移个单位长度得到的图像,则;若函数在区间,上单调递增,则实数的取值范围是9、(台州市2019届高三上学期期末质量评估)已知函数sin cos y x a x =+,π[0,]3x ∈的最小值为a ,则实数a 的取值范围是A.[0,3]B.[3,3]-C.(,3]-∞D.3(,]3-∞ 10、(浙南名校联盟(温州九校)2019届高三上学期期末联考)在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .若sin sin b A a C =,1c =,则b =______,ABC ∆面积的最大值为______. 11、(绍兴市2019届高三3月适应性考试)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若1cos 3A =,23b c =,且△ABC 的面积是2,则b = ▲ ,sin C = ▲ .12、(杭州市2019届高三4月教学质量检测(二模))在ABC △中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知1cos24C =-,则sin C = ;当2a =,2sin sin A C =时,则b = .13、(稽阳联谊学校2019届高三4月联考)在ABC V 中,5cos25C =,1BC =,5AC =,则cos C = ,sin A = .14、(绍兴市上虞区2019届高三第二次(5月)教学质量调测)在ABC ∆中,角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ,若2222c b a =+,则角C 的取值范围A.06π⎛⎤ ⎥⎝⎦，B.64ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦，C.03π⎛⎤ ⎥⎝⎦，D.43ππ⎛⎤⎥⎝⎦，15、(台州市2019届高三4月调研)在ABC D 中,AD 是BC 边上的中线,∠ABD ＝6π. (1)若3AB BD ＝,则∠CAD ＝ ;(2)若22AC AD ==,则ABC D 的面积为 .16、(温州市2019届高三2月高考适应性测试)在∆ABC 中,C ＝45°,AB ＝6 ,D 为 BC 边上的点,且AD ＝5,BD ＝3 ,则cos B ＝▲ ,AC ＝▲ .17、(浙江省名校协作体2019届高三上学期第一次联考)知54sin =α,),2(ππα∈,则=αcos ________,α2tan ________.参考答案: 1、 2、23π3、A4、C5、{|}2x x k k Z ππ≠+∈，,12+ 6、17,225- 7、A 8、9、C 10、1;1211、 12、13、14、C15、;33π16、59,873; 17、35－,247二、解答题1、(温州市2019届高三8月适应性测试)已知23tan ),,2(-=∈αππα。
浙江省高2020届高2017级高三新高考考前原创冲刺卷四数学及参考答案解析
37金考卷浙江新高考考前原创冲刺卷(四)数学本试题卷分选择题和非选择题两部分.满分150分,考试时间120分钟. 参考公式：若事件A ,B 互斥,则()()()P A B P A P B +=+ 若事件A ,B 相互独立,则()()()P AB P A P B =若事件A 在一次试验中发生的概率是p ,则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()()()10,1,2,,n kk kn n P k C p p k n -=-=台体的体积公式()112213V S S S S h =++ 其中1S ,2S 分别表示台体的上、下底面积,h 表示台体的高 柱体的体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 锥体的体积公式13V Sh =其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高 球的表面积公式24S R π= 球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径选择题部分(共40分)一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.()211ii +=-( )A.1122i - B.1122-+i C.2i - D.2i +【参考答案】B 【试题解析】利用复数的乘除运算求解.()211112221ii i i i ++==-+--. 故参考答案：B.本题主要考查复数的运算,还考查了运算求解的能力,属于基础题. 2.已知集合{}{}23100,A x x x B x x m =--≤=≥,若2m ≤-,则 A.A B ⊂≠ B.B A ⊂≠ C.A B =∅D.AB R =【参考答案】A 【试题解析】通过解不等式得出集合A ,根据m 的范围,可以做出集合A 与集合B 的关系示意图,得出选项. ∵{}2|3100A x x x =--≤,解不等式23100x x --≤ 得：25x -≤≤,所以集合{|25}A x x =-≤≤因为2m ≤-,所以做出集合A 与集合B 的示意图如下图所示,从图中可以看出A B ⊂≠, 故选A .本题考查集合间的关系,属于基础题.3.已知直线,m n 和平面α,若m α⊥,则“m n ⊥”是“//n α”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.不充分不必要【参考答案】B 【试题解析】由线面关系可知m n ⊥,不能确定n 与平面α的关系,若//n α一定可得m n ⊥,即可求出答案.,m m n α⊥⊥,不能确定αn ⊂还是αn ⊄,//m n n α∴⊥,当//n α时,存在a α⊂,//,n a , 由,m m a α⊥⇒⊥ 又//,n a 可得m n ⊥,所以“m n ⊥”是“//n α”的必要不充分条件, 故参考答案：B本题主要考查了必要不充分条件,线面垂直,线线垂直的判定,属于中档题.4.若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ,以F 为圆心F与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ,B 两点,若四边形OAFB 为菱形(O 为坐标原点),则双曲线C 的离心率e =( )B.3D.2【参考答案】D 【试题解析】根据四边形OAFB 为菱形,且圆的半径为c =得到OFB △是正三角形,60BOF ∠=︒,则ba=.双曲线C 的半焦距c =,∴圆F 过原点O .依题意易知OFB △是正三角形,60BOF ∴∠=︒,ba∴=2e ∴==.故参考答案：D.本题主要考查双曲线的几何性质,还考查了运算求解的能力,属于基础题.5.在二项式()1nx -的展开式中,已知3x 项和4x 项的系数之和为0,则该展开式中的所有项的二项式系数之和为( ) A.0B.64C.128D.256【参考答案】C 【试题解析】先得到二项式()1nx -的展开式的通项()11n rrr r n T C x -+=⋅-⋅,然后分别令3r =,4r =,求得3x 项和4x 项的系数,然后根据之和为0,解得n ,再由所有项的二项式系数之和为2n 求解.二项式()1nx -的展开式的通项()11n rr r r n T C x -+=⋅-⋅,令3r =,得3x 项的系数为()331n n C -⋅-, 令4r =,得4x 项的系数为()441n n C -⋅-.根据题意得()()3434110n n n n C C --⋅-+⋅-=,所以34n n C C =,得7n =,所以该展开式中的所有项的二项式系数之和为72128=. 故参考答案：C.本题主要考查二项式定理的项的系数和二项式系数的和,还考查了运算求解的能力,属于基础题.6.已知随机变量X 的所有可能取值为1-,1,2,且()mP X k n k==+(1k =-,1,2,m ,n 为实数),则随机变量X 的数学期望()E X 的最大值为( ) A.10- B.10C.107-D.107【参考答案】D 【试题解析】根据()mP X k n k==+,分别求得()()(),1,–12===P X P X P X ,代入期望公式得到()32=+E X m n ,再根据概率之和为1,确定m ,n 的关系代入上式,建立函数模型求解.由题意知,()–1==-+P X m n ,()1P X m n ==+,()22mP X n ==+, 所以()()12m m n m n n ⎛⎫-+++++=⎪⎝⎭,即312m n +=,所以()()()()1122⎛⎫=--++⋅++⋅+⎪⎝⎭m E X m n m n n , ()326132616=+=-+=-m n n n n ,又0m n -+≥且312mn +=, 所以27n ≥, 所以106167n -≤, 即()E X 的最大值为107. 故参考答案：D.本题主要考查离散型随机变量的期望,还考查了运算求解的能力,属于基础题.7.现有A ,B ,C ,D ,E 五位学生人座教室中间的编号分别为A ,B ,C ,D ,E 的五个座位,每位学生规定只能坐一个座位,若五位学生中只能有一位学生的编号与座位编号相同,其余学生不能坐与自己编号相同的座位,则不同的安排方案共有( ) A.120种 B.45种 C.24种 D.9种【参考答案】B 【试题解析】根据要求,先从A ,B ,C ,D ,E 五位学生中选一位学生坐到与自己编号相同的座位上,算出方法数,再从剩余的四位学生选一位学生先选座位,然后由被选到的学生去选,以此类推,最后用分步计数原理求解.根据题意,先从A ,B ,C ,D ,E 五位学生中选一位学生坐到与自己编号相同的座位上,有155C =种选法,不妨设选到学生E 去坐座位E ,然后A ,B ,C ,D 四位学生坐A ,B ,C ,D 四个座位,每位学生不能坐与自己编号相同的座位,不妨先由A选,可从B,C,D三个位置中选1个,有3种选法, 再由编号与A选到的位置编号相同的学生去选,有3种选法, 剩下两人和两个位置只有1种选法,由分步乘法计数原理得共有15331145C⨯⨯⨯⨯=种不同的安排方案. 故参考答案：B.本题主要考查排列组合计数原理,还考查了理解辨析,逻辑推理的的能力,属于中档题. 8.在等腰梯形ABCD中,已知AB＝AD＝CD＝1,BC＝2,将△ABD沿直线BD翻折成△A′BD,如图,则直线BA′与CD所成角的取值范围是( ) A.[,]32ππ B.[,]63ππ C.[,]62ππ D.[0,]3π【参考答案】A 【试题解析】根据翻折过程中∠A′BD=30°,BA′可以看成以B为顶点,BD为轴的圆锥的母线,将问题转化为圆锥的母线与底面内的直线所成角的取值范围. 由题：在等腰梯形ABCD中,已知AB＝AD＝CD＝1,BC＝2, 取BC中点M,连接AM,易得四边形AMCD是平行四边形,所以AM=DC=AB, 所以△ABM是等边三角形,则∠ABC=60°,∠ABD=30°,∠A′BD=30°,CD⊥BD, 在翻折过程中,BA′绕着BD旋转,BA′可以看成以B为顶点,BD为轴的圆锥的母线,CD为圆锥底面内的直线,将本问题转化为求解如图圆锥中母线与底面直线所成角的取值范围,其中母线与轴夹角为30°,所以母线与底面直线所成角的取值范围为[,]32ππ故参考答案：A此题考查平面图形翻折问题,根据翻折变化求解直线所成角的取值范围,关键在于合理进行等价转化求解.9.已知向量a ,b ,c 满足1a ≤,2b ≤,且()()0c a c b -⋅-≥恒成立,则c 的最小值为( ) A.2B.5C.7D.3【参考答案】B 【试题解析】设OA a =,OB b =,OC c =,根据1a ≤,2b ≤,由几何意义画出图形,再根据()()0c a c b -⋅-≥恒成立,由圆的知识可得其夹角2ACB π∠≤恒成立,再利用数形结法合求解. 如图：设OA a =,OB b =,OC c =,则A 是以O 为圆心,1为半径的圆周上的一点或其内部的一点,B 是以O 为圆心,2为半径的圆周上的一点或其内部的一点.因为()()cos 0c a c b c a c b ACB -⋅-=-⋅-⋅∠≥恒成立,所以2ACB π∠≤恒成立.所以点C 在以点O 为圆心,2为半径的圆外.由图形可知,当CA ,CB 分别与两圆相切,且CA ,CB 在OC 两侧时,ACB ∠最大, 当2ACB π∠=时,c 最小.此时,四边形OACB 为矩形,2c OA =+=.故参考答案：B.本题主要考查平面向量的模的求法以及几何意义的应用,还考查了数形结合的思想和分析问题,求解问题的能力,属于中档题.10.已知实数1a >,正实数1x 满足方程1xa x=,正实数2x 满足方程21log 2a x x =,则124x x +的取值范围是( ) A.()3,+∞ B.[)3,+∞C.()4,+∞D.[)4,+∞【参考答案】B 【试题解析】根据实数2x 满足方程21log 2a x x =,化简得到22122x x a =,实数1x 满足方程1x a x=,则有111x a x =,根据方程的结构可得1x ,221x 均是方程1xa x =的根,然后构造函数()11x y a a x =->,由()11xy a a x =->在()0,∞+上单调递增,得到1221x x =,代入124x x +,建立函数模型利用导数求解. 因为实数2x 满足方程21log 2a x x =, 所以2221log 2a x x =,即22221log a x x =,即22122x x a =. 又实数1x 满足方程1xa x=, 所以111x a x =,所以1x ,221x 均是方程1xa x=的根. 易知函数()11xy a a x=->在()0,∞+上单调递增, 所以方程1xa x=有唯一根, 所以1221x x =, 所以1222244x x x x +=+. 令24y x x =+,0x >,则381y x '=-+, 当()0,2x ∈时,0y '<,当()2,x ∈+∞时,0y '>,所以()240y x x x=+>在()0,2上单调递减,在()2,+∞上单调递增, 又当0x →时,y →∞＋,当x →+∞时y →+∞,所以(2)3≥=y y ,故124x x +的取值范围是[)3,+∞. 故参考答案：B.本题主要考查函数与方程以及导数的应用,还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,属于难题.非选择题部分(共110分)二、填空题：本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.11.“割圆术”由魏晋时期数学家刘徽首创,他在其所著的《九章算术注》中提出“割圆”之说,即从圆内接正六边形开始,每次把边数加倍,直至圆内接正九十六边形,记正多边形的面积为S ,外接圆的半径为r ,利用2Sr 估计圆周率.割圆术的第二步是利用正十二边形估算圆周率,利用正十二边形估算的圆周率的值为________. 【参考答案】3 【试题解析】先分析出正十二边形的构成,再利用三角形面积求解正十二边形的面积,即可估算圆周率.如图所示：可知,正十二边形由12个全等的顶角为30的等腰三角形组成,每个等腰三角形的面积为2211sin 3024r r ⨯︒=⨯, 故正十二边形的面积2211234S r r =⨯=,故利用正十二边形估算的圆周率的值为23Sr=.故答案为：3本题主要考查正多边形和圆,三角形的面积公式,还考查了理解应用的能力,属于基础题. 12.已知某几何体的三视图如图所示,所有线段的长均为1,弧线均为14圆弧,则该几何体的体积为________,表面积为________.【参考答案】 (1).16π- (2).64π-【试题解析】根据三视图得到,该几何体为一个棱长为1的正方体挖去一个半径为1的18球,然后利用柱体和球的表面积和体积公式求解. 如图所示：由三视图可知,该几何体是棱长为1的正方体ABCD A B C D ''''- ,挖去一个以A 为圆心,1为半径的18球, 故该几何体的体积为：3314111836ππ=-⨯⨯=-V ,该几何体表面积为：221161131416484πππ=⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯=-S .故答案为：(1).16π- (2).64π-本题主要考查三视图还原几何体及几何体的表面积和体积的求法,还考查了空间想象和运算求解的能力,属于基础题.13.已知函数()22,0,2,0x x f x x x x ⎧≤=⎨-+>⎩,则()()1f f -=________,满足()()–f x f x ≤的x 的取值范围是________.【参考答案】 (1).1 (2).(][],10,1-∞-⋃ 【试题解析】利用分段函数先求()11f -=,再求()()1ff -.根据分段函数的定义域,分0x <,0x >,0x =三种情况讨论求解.由题意知()11f -=,()()()111ff f -==.若0x <,则0x ->,则由()()f x f x -≤, 得：()()222x x x --+-≤,解得1x ≤-.若0x >,则0x -<,则由()()f x f x -≤, 得()222x x x -+≤, 解得01x <≤.若0x =,满足()()–f x f x ≤. 综上,x 的取值范围是(][],10,1-∞-⋃. 故答案为：(1).1 (2).(][],10,1-∞-⋃本题主要考查分段函数求值以及分段函数解不等式,还考查了运算求解的能力,属于中档题.14.已知函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示,则函数()f x 的最小正周期为________,34f π⎛⎫= ⎪⎝⎭________.【参考答案】 (1).π (2).1- 【试题解析】根据函数图象易知2A =,再通过函数图象过点(3,求得ϕ,由函数图象过点7,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭,且33274412T ππω=⋅>,求得ω,得到函数()f x ,然后再求周期和相应函数值. 由函数图象易知2A =,且函数图象过点(3所以3sin ϕ=, 因为02πϕ<<,所以3πϕ=.所以()()2sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭, 又因为函数图象过点7,212π⎛⎫-⎪⎝⎭, 所以72sin 2123ππω⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,所以7sin 1123ππω⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,所以73=2,1232k k Z πππωπ++∈, 所以77=2,126k k Z ππωπ+∈, 所以()2427k k Z ω=+∈. 由图知33274412T ππω=⋅>,所以1807ω<<,所以2ω=,所以函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭, 所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==, 3332sin 22sin 2cos 1443233f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：(1).π (2).1-本题主要考查利用三角函数的图象求解析式及其应用,还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于中档题.15.已知实数x ,y 满足36x y x y aππ+≤⎧⎪⎪≥⎨⎪≥⎪⎩,若存在(),x y 使得()sin 1x y +=,则实数a 的最大值为________.【参考答案】3π 【试题解析】根据不等式组作出可行域.令z x y =+,作出直线0x y +=,并平移,求得z 的最值,得到z x y =+的范围2,63ππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦a ,再根据存在(),x y 使得()sin 1x y +=,由2,263πππ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦a 求解.作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.令z x y =+,作出直线0x y +=,并平移,数形结合可知, 当平移后的直线经过点,6A a π⎛⎫⎪⎝⎭时,z x y =+取得最小值,且min 6z a π=+,当平移后的直线经过点,62B ππ⎛⎫⎪⎝⎭时,z x y =+取得最大值,且max 2623z πππ=+=, 故263a y x ππ++≤≤. 因为存在(),x y 使得()sin 1x y +=, 所以62a ππ+≤,解得3a π≤,所以实数a 的最大值为3π. 故答案为：3π 本题主要考查简单线性规划求最值以及正弦函数性质的应用,还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于中档题.16.已知数列{}n a 满足13a =-,212nn n na a a a +-=,设21log 1n n n ab a -=+,则数列{}n b 的通项公式为n b =_______,数列{}n b 的前8项和为_______.【参考答案】 (1).12n - (2).255 【试题解析】根据2112n n n n a a a a +--=,变形得到()21112nn n a a a +--=,()21112n n na a a +++=,两式相除得到()()21211111n n n n a a a a ++--=++,两边同取对数化简得到122111log 2log 11n n n n a a a a ++--=++,再由等比数列的定义求解即可.因为2112n n n na a a a +--=,所以2211122n n n n n na a a a a a +-+=-=, 所以()21112n n na a a +--=,()21112n n na a a +++=,所以()()21211111n n n n a a a a ++--=++,所以()()2122221111log log 2log 111n n n n nn a a a a a a ++---=++=+, 即12n n b b +=.又13a =-, 所以11b =,所以数列{}n b 是首项为1,公比为2的等比数列, 所以12n nb -=,所以数列{}n b 的前8项和为()881122125512⨯-=-=-.故答案为： (1).12n - (2).255本题主要考查等比数列的定义,通项公式及求和公式,还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,属于中档题.17.已知曲线M 上任意一点P 到()0,2F 的距离比到x 轴的距离大2,圆22:430N x y y +-+=,直线:2l y kx =+与曲线M 交于A ,D 两点,与圆N 交于B ,C 两点,其中点A ,B 在第一象限,则4AC BD +的最小值为_______.【参考答案】23 【试题解析】根据曲线M 上任意一点P 到()0,2F 的距离比到x 轴的距离大2,利用抛物线的定义可知,曲线M 为抛物线,其方程为28x y =,焦点为()0,2F ,易知直线:2l y kx =+经过抛物线的焦点F ,则有11212AF DF p +==.然后利用圆的对称性得到445+++=AC BD AF DF ,再利用“1”的代换,用基本不等式求解.因为曲线M 上任意一点P 到()0,2F 的距离比到x 轴的距离大2, 所以曲线M 上任意一点P 到()0,2F 的距离与到直线2y =-的距离相等, 所以曲线M 为抛物线,其方程为28x y =,焦点为()0,2F .易知直线:2l y kx =+经过抛物线的焦点F ,所以11212AF DF p +==. 圆22:430N x y y +-+=,即()2221x y +-=,所以圆N 的圆心为F ,半径为1.()14441AC BD AF DF AF DF ++++=+=+5,()11245⎛⎫=+⨯++ ⎪ ⎪⎝⎭AF DF AF DF, 255255423⎛⎛⎫ =+++≥++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝AF DF DF AF ,当且仅当2AF DF =时取等号, 所以4AC BD +的最小值为23. 故答案为：23本题主要考查抛物线的定义,焦点弦,以及基本不等式的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.三、解答题：本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.已知ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,120C ∠=︒. (1)若2a b =,求tan A 的值；(2)若ACB ∠的平分线交AB 于点D ,且1CD =,求+a b 的最小值；【参考答案】(1)2；(2)4 【试题解析】(1)由2a b =,利用正弦定理将边转化为角得到sin 2sin A B =,再根据120C ∠=︒,有()sin 2sin 60A A =︒-,然后利用两角差的正弦公式展开求解.(2)根据ACB ∠的平分线交AB 于点D ,且1CD =,由+=ACDBCDABCSSS,可得111sin 60sin 60sin120222b a ab =︒︒+︒,化简得到111a b +=,则()11a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭,再利用基本不等式求解.(1)解法一 由2a b =及正弦定理,知sin 2sin A B = 即()sin 2sin 60A A =︒-,sin sin s A A A -=∴,tan 2A ∴=. 解法二 22222212cos 42272c a b ab C b b b b b ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭,7c b ∴=,222222227c 7os b c a A b bc b +-⨯===⨯∴,2431cos 1si 7n 7A A =-=-=∴, sin tan cos 3A A A ∴==. (2)ACDBCDABCSSS+=,111sin 60sin 60sin120222b a ab ∴︒+︒=︒, a b ab ∴+=,即111a b+=,()1124a b t a b a b a b b a ⎛⎫=+=++=+⎝∴+≥ ⎪⎭,当且仅当2a b ==时等号成立,a b ∴+的最小值为4.本题主要考查正弦定理,基本不等式的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题. 19.在如图所示的几何体中,平面PAB 垂直于圆D 所在的平面,AC 为圆D 的直径,B (不与A ,C 重合)为圆周上一点,M 为AB 的中点,22PAPB,24AB BC ==.(1)求证：DM PA ⊥；(2)求直线PA 与平面PDB 所成角的正弦值. 【参考答案】(1)证明见解析；3【试题解析】(1)根据AC 为圆D 的直径,B 为圆周上一点,得到AD BD =,又M 为AB 的中点,从而DM AB ⊥,又平面PAB ⊥平面ABC ,则DM ⊥平面PAB ,从而得证.(2)根据PA PB =,M 为AB 的中点,得到PM AB ⊥,根据平面PAB ⊥平面ABC ,得到PM ⊥平面ABC ,再由DM AB ⊥,以M 为坐标原点,分别以MA ,MD ,MP 所在直线为x 轴、y 轴与z 轴建立的空间直角坐标系,再分别求得平面PDB 的一个法向量和AP 的坐标,然后代入公式cos ,⋅=⨯m AP m AP m AP求解.(1)在圆D 中,因为AC 为圆D 的直径,B 为圆周上一点, 所以AD BD =,又M 为AB 的中点, 所以DM AB ⊥.又平面PAB ⊥平面ABC ,平面PAB ⋂平面ABC AB =,DM ⊂平面ABC , 所以DM ⊥平面PAB . 因为PA ⊂面PAB , 所以DM PA ⊥.(2)连接PM ,因为PA PB =,M 为AB 的中点,所以PM AB ⊥.又PM ⊂平面PAB ,平面PAB ⊥平面ABC ,平面PAB ⋂平面ABC AB =, 所以PM ⊥平面ABC .所以PM MA ⊥,PM MD ⊥, 由(1)可知DM AB ⊥,故以M 为坐标原点,分别以MA ,MD ,MP 所在直线为x 轴、y 轴与z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则()2,0,0A ,()2,0,0B -,()0,1,0D ,()002P ,,,所以()0,1,2PD =-,()2,1,0BD =,()2,0,2AP =-. 设平面PDB 的一个法向量为(),,m x y z =,则00m PD m BD ⎧⋅=⎨⊥=⎩,得2020y z x y -=⎧⎨+=⎩,令2y =,则1z =,1x =-,所以()–1,2,1m =所以cos ,6m AP mAP m AP⋅===⨯所以直线PA 与平面PDB 本题主要考查线线垂直,线面垂直,面面垂直的转化以及向量法求线面角,还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,属于中档题. 20.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()*212n n S n a N =∈-.(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若()()1211n n n n a b a a ++=--,求证：()12312311114n nb b b b a a a a ++++<++++.【参考答案】(1)12n n a ；(2)证明见解析【试题解析】(1)根据数列通项与前n 项和的关系,当1n =时,解得11a =,当2n ≥时,由21n n S a =-,得1121n n S a --=-,两式相减得到12n n a a -=,再利用等比数列的定义求解.(2)由(1)知,111122121n n n b +⎛⎫=- ⎪--⎝⎭,用裂项相消法求得123n b b b b ++++,根据1112n n a -=,用等比数列求和公式得到1231111n a a a a +++⋯+,再利用分析法证明.(1)当1n =时,有11212a a =-,解得11a =.当2n ≥时,由21n n S a =-,得1121n n S a --=-, 两式相减得12n n a a -=,又212a a =,所以数列{}n a 是首项为1,公比为2的等比数列, 所以12n na .(2)由(1)知,()()()()11112211111221212121n n n n n n n n n a b a a -++++⎛⎫===- ⎪------⎝⎭, 所以12311111111111123373372121n n n b b b b +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⨯-+-++-+-++-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,1111221n +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭, 所以()3112142121n n b b b b +⎛⎫=- ⎪-++⎝++⎭.因为1112n n a -=, 所以11231111111221212-⎛⎫- ⎪⎝⎭+++⋯+==--nn n a a a a .要证()12312311114n nb b b b a a a a ++++<++++,即证1111221221n n -+⎛⎫-<- ⎪-⎝⎭, 即证1121212n n +-<-,即证1221n n +<-,即证21n >. 因为对任意的*n N ∈,都有12221n ≥=>,所以得证.本题主要考查数列通项与前n 项和的关系,等比数列的定义,求和公式以及裂项相消法求和,还考查了运算求解的能力,属于中档题.21.已知椭圆()222210x y C a b a b +=>>：的左、右焦点分别为12,F F ,离心率为3,直线12y =与椭圆C 交于A ,B 两点,且11AF BF ⊥. (1)求椭圆C 的方程.(2)不经过点12F F 和的直线():0,0l y kx m k m =+<>被圆224x y +=截得的弦长与椭圆C的长轴长相等,且直线l 与椭圆C 交于D ,E 两点,试判断2F DE ∆的周长是否为定值?若是,求出定值；若不是,请说明理由.【参考答案】(1)22 1.3x y +=(2)2F DE ∆的周长为定值为详见解析【试题解析】(1)根据已知条件求出A 、B 两点的坐标,再由11AF BF ⊥建立关于a ,b ,c 的方程,从而得椭圆的方程；(2)根据直线被圆所截得的弦长等于椭圆的长轴长得出k ,m 的关系,再将直线与椭圆的方程联立消去y ,得到交点的横坐标的韦达定理表达式,分别求出22,,DE F D F E ,得出2F DE ∆的周长为定值,得解.(1)因为e =,所以2222213c b a a =-=,则2213b a =，即223a b ,所以椭圆C 的方程可化为22233x y b +=,由22233,1,2x y b y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得x =不妨令11,,22A B ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭ 易知()()12,0,,0F c F c -，则2113113,,3,,22F A b c F B b c ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭因为11AF BF ⊥,所以110F A F B ⋅=,即22313044c b -++=, 又22222,3a c b a b =+=,所以2213b a ==，，所以椭圆C 的方程为22 1.3x y +=(2)由(1)知椭圆C的长轴长为因为直线():0,0l y kx m k m =+<>被圆224x y +=截得的弦长与椭圆C 的长轴长相等,所以圆224x y +=的圆心O (O 为坐标原点)到直线l 的距离1d ==,1=,即221.m k =+设()()1122,,,D x y E x y ,联立方程,得221,3,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩整理得()()222316310,kx kmx m +++-=()()()222222236123111231240,k m k m k m k ∆=-+-=-+=>()2121222316,,3131m km x x x x k k -=+=-++所以12DE x =-=,又221m k =+,所以DE =又2DF ===11.3x x -=-2EF ===22.3x -=所以()22122331DF EF x x k +=+=+, 所以2F DE ∆的周长是22DE DF EF ++==.所以2F DE ∆的周长为定值,为23.得解.本题考查求椭圆的方程和直线与圆、椭圆的关系中的定值问题,关键是运用设而不求的方法,设点得关系,化简求值,属于难题. 22.已知函数()1xax f x xe+=,其中()0,x ∈+∞,a R ∈. (1)讨论函数()f x 的单调性； (2)若对任意的0x >,()11x f x e <-恒成立,求实数a 的取值范围. 【参考答案】(1)当0a ≥时,在()0,∞+上单调递减；当0a <时,在1140,2a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝-⎭+-上单调递减,在1142a a ⎛⎫--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；(2)1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【试题解析】(1)求导()221---'=xax x f x x e,根据()0,x ∈+∞,分0a ≥和0a <两种情况讨论求解.(2)首先将对任意的0x >,()11xf x e <-恒成立,转化为()()110x xax e xe +--<,对任意的0x >恒成立,令()()()11x xg x ax e xe =+--,然后用导数法证明()0g x <即可.(1)()()()()22211x x x xx axe ax e xe ax x f x x e xe -++---'==.当0a ≥时,()2210xax x f x x e---'=<,所以()f x 在()0,∞+上单调递减.当0a <时,对于方程210ax x ---=,140a ∆=->,所以当x ∈R 时,方程210ax x ---=有两个不相等的实数根,设为1x ,2x ,解方程,不妨取1x =,2x =,因为1210x x a⋅=<,所以10x <,20x >, 所以当20x x <<时,()0f x '<,当2x x >时,()0f x '>,所以()f x在10,2a ⎛ ⎝⎭-上单调递减,在⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增. (2)()11x f x e <-可化为111x x ax xe e +<-,由于0x >,所以10x e ->,所以()()11xxax e xe +-<,即()()110xxax e xe +--<.令()()()11xxg x ax e xe =+--,于是对任意的0x >,()0g x <恒成立.()()()()111x x x x xg x a e ax e e xe a x a e a '=-++--=-+-⎡⎤⎣⎦,令()()1xh x a x a e a ⎡⎤⎣⎦=-+-,则()()121xh x a x a e '=-+-⎡⎤⎣⎦,令10210a a -≤⎧⎨-≤⎩,即12a ≤时,()0h x '≤,所以()h x 在()0,∞+上是减函数, 所以当0x >时,()()00h x h <=,即()0g x '<,所以()g x 在()0,∞+上是减函数,()()00g x g <=,符合题意. 当1a ≥时,10a -≥,210a ->,当0x >时,()1210a x a -+->,即()0h x '>, 所以()h x 在()0,∞+上是增函数, 所以当0x >时,()()00h x h >=,即()0g x '>,所以()g x 在()0,∞+上是增函数,()()00g x g >=,这与()0g x <矛盾,不符合题意.当112a <<时,令()0h x '>,得()1210a x a -+->,得1201a x a -<<-,所以()h x 在120,1a a -⎛⎫⎪-⎝⎭上是增函数, 当1201ax a -<<-时,()()00h x h >=,即()0g x '>, 所以()g x 在120,1a a -⎛⎫⎪-⎝⎭上是增函数,当1201ax a -<<-时,()()00g x g >=,这与()0g x <矛盾,不符合题意. 因此实数a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.本题主要考查导数与函数的单调性,导数与不等式恒成立,还考查了转化化归,分类讨论的思想和运算求解的能力,属于难题.。
2020年4月17日浙江省学考选考高2020届高2017级高三温州二模数学试题参考答案
|1 2 + 2 1−1 2 | 2
12 + ( 2 )2 + (−1)2 ( 2)2 +12 + ( 2
=1， 5
2)2
所以直线 SD 与平面 SBC 所成角的正弦值为 1 . 5
20．解：（I）设数列{an}的公差为 d ，数列{bn}的公比为 q
根据题意：
1+ 4d = q2
3[1 +
(q2
O
B
x
D
设 n = (x，y，z) 为平面 SBC 的一个法向量， 为直线 SD 与平面 SBC 所成角，
C y
A
则
SB n SC n
= =
0，即 0，
x
−z 2y
= 0，
取
− z = 0，
n
=
(
2，1， 2) .
从而 sin =| cos SD，n |= | SD n | = | SD || n |
易得 SO =1， OD =
6 ， SD =
10
,
ED = 1 OD =
6 ， SE =
15 ，
2
2
3
6
3
故 cos DSE = SD2 + SE2 − ED2 = (
10 )2 + ( 2
15 )2 − ( 3
6 )2 6
=
2
6，
2SD SE
2 10 155
5
23
则 sin DSE = 1 . 5
数学（高考试题）参考答案 第 2 页（共 6 页）
所以直线 SD 与平面 SBC 所成角的正弦值为 1 . 5
z
法 二 ： 如 图 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 o − xyz ， 则 点
浙江省名校学考选考高2020届高2017级高三仿真训练卷数学一及参考答案解析
21.名校仿真训练卷(一)数学本试卷满分150分,考试时间120分钟.参考公式：如果事件A ,B 互斥,那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A ,B 相互独立,那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率为p ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(0,1,2,,)k k n kn n P k C p p k n -=-=台体的体积公式()112213V S S S S h =+,其中12,S S 表示台体的上、下底面积,h 表示台体的高柱体的体积公式V Sh =,其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh =,其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高 球的表面积公式24S R π=,球的体积公式343V R π=,其中R 表示球的半径选择题部分(共40分)一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}|22,[0,4]A x x B =+≤=,则()R C A B =( )A.RB.{}0C.{}|,0x x R x ∈≠D.φ【参考答案】C 【试题解析】先解含绝对值不等式得集合A,再根据集合的交集与补集定义求结果. 由集合{|22}A x x =+≤解得{||40}A x x =-≤≤ 则{||0}A B x x ⋂==故(){|,0}R C A B x x R x ⋂=∈≠, 故选C .本题考查含绝对值不等式以及交集与补集定义,考查基本求解能力. 2.若复数2i z =-,i 为虚数单位,则(1)(1)z z +-= A .24i +B.24i -+C.24i --D.4-【参考答案】B 【试题解析】()()11z z +-=2211(2)1(34)24z i i i -=--=--=-+ ,选B.,3.如图是半球和圆柱组合而成的几何体的三视图,则该几何体的体积为( )A.53π B.83π C.103πD.1223π+ 【参考答案】B 【试题解析】由三视图知半球的半径为1,圆柱的底面圆半径为1,高为2,根据球的体积公式和柱体体积公式,即可求得该几何体的体积.由三视图知半球的半径为1,圆柱的底面圆半径为1,高为2, 根据球的体积公式和柱体体积公式：∴该几何体的体积32418112323V πππ=⨯⨯+⨯⨯=, 故参考答案：B.本题主要考查三视图、圆柱与球的体积,意在考查考生的逻辑思维能力、空间想象能力、运算求解能力,考查的核心素养是直观想象、数学运算.4.已知,a b 为实数,22:0,:0p a b q a b +=+=,则p 是q 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【参考答案】B 【试题解析】根据充分条件、必要条件的定义即可得出结果.由0a b +=,取1,1a b ==-则220a b +≠,所以p 是q 的不充分条件； 由220a b +=则有0ab ,0a b +=成立,所以p 是q 的必要条件.综上,p 是q 的必要不充分条件. 故参考答案：B本题考查了充分条件、必要条件的定义,属于基础题.5.若实数,x y 满足条件0222x y x y x y -≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≥-⎩,则2z x y =+的最大值是( )A.10B.8C.6D.4【参考答案】C 【试题解析】试题分析：画出0{222x y x y x y -≤+≥--≥-所表示的可行,如图,当直线2y x z =-+过()2,2时,z 的最大为2226⨯+=,故选C.考点：1、可行域的画法；2、最优解的求法.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值,属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：(1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线)；(2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或最后通过的顶点就是最优解)；(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.6.若用红、黄、蓝、绿四种颜色填涂如图方格,要求有公共顶点的两个格子颜色不同,则不同的涂色方案数有A.48种B.72种C.96种D.216种【参考答案】C 【试题解析】分析：直接按照乘法分步原理解答. 详解：按照以下顺序涂色,111111432212::::::A C B C D C C C E C F C →→→→→, 所以由乘法分步原理得总的方案数为111114322296C C C C C ⋅⋅⋅⋅=种.所以总的方案数为96, 故答案为：C：(1)本题主要考查排列组合计数原理的应用,意在考查学生的逻辑思维能力和排列组合的基本运算能力.解答排列组合时,要思路清晰,排组分清.(2)解答本题时,要注意审题,“有公共顶点的两个格子颜色不同”,如C 和D 有公共的顶点,所以颜色不能相同. 7.函数21()cos 2f x x x =+的大致图象是( ). A. B. C.D.【参考答案】C 【试题解析】根据函数的奇偶性和利用导数得出其单调性,即可得出答案.函数21()cos 2f x x x =+的定义域为R 21()()2f x x -=-21cos()cos ()2x x x f x +-=+=,所以函数21()cos 2f x x x =+为偶函数,函数图象关于y 轴对称,排除A,D ；()sin f x x x '=-,令()sin g x x x =-,()1cos 0g x x '=-≥,故函数()g x 在R 上单调递增由(0)0sin 00g =-=可知,当0x >时,()sin 0f x x x '=->,函数21()cos 2f x x x =+单调递增,排除B,只有C 选项中的图象符合. 故参考答案：C本题主要考查了函数图象的识别,函数的图象可以从定义域、值域、增减性、奇偶性、图象经过的特殊点等方面判断,属于中档题. 8.已知两个平面,αβ和三条直线,,m a b ,若m αβ=,a α⊂且,a m b β⊥⊂,设α和β所成的一个二面角的大小为1θ,直线a 和平面β所成的角的大小为2θ,直线,a b 所成的角的大小为3θ,则( )A.123θθθ=≥B.312θθθ≥=C.1323,θθθθ≥≥D.1232,θθθθ≥≥【参考答案】D 【试题解析】在一个平行六面体中,对三个角进行比较,即可选出正确答案. 如图,在平行六面体中,1190,90A AD A AB ∠=∠>不妨设面11AA D D 为α,面ABCD 为β,BC b =.则AD m =,1AA a = 此时,由图可知,12390,90,90θθθ><=.只有C 选项符合. 故选:D.本题考查了线面角,考查了面面角的概念.一般情况下,涉及到线面角和面面角问题时可借助空间向量进行求解.但在本题中,没有具体的几何体,因此,我们可以采取举实例的方法,在一个具体地几何体中探究角的大小关系.9.已知,m n 是两个非零向量,且1m =,2||3m n +=,则||+||m n n +的最大值为 510C.4D.5【参考答案】B 【试题解析】先根据向量的模将||+||m n n +转化为关于||n 的函数,再利用导数求极值,研究单调性,进而得最大值.()22224419||=1||3m m n m nn m n =+∴+=+⋅+=，，,22n m n +⋅=,()2222=52-m nm m n n n ∴+=++⋅,25||+||m n n n n ∴+=-+,令()(0x x f x x n =<≤=,则()'1f x =+,令()'0f x =,得x =∴当0x <<, ()'0f x >,x <<, ()'0f x <, ∴当2x =时, ()f x 取得最大值2f ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭故选B.向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”,转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题. 10.当(,]x a b ∈时,不等式2112x x -≤+恒成立,则实数a 的取值范围为( ) A.[2,3)- B.(2,3]-C.(2,3)-D.{2}-【参考答案】A 【试题解析】 解不等式2112x x -≤+可得23x -<≤,(,]x a b ∈时不等式恒成立转化为(,](2,3]a b ⊆-即可. 由2112x x -≤+,得2131022x x x x ---=≤++, 解得23x -<≤,因为当(,]x a b ∈时,不等式2112x x -≤+恒成立, 所以(,](2,3]a b ⊆-, 则[2,3)a ∈-, 故参考答案：A本题主要考查不等式恒成立问题,转化思想,子集,正确求解不等式得到不等式的解集是解题的关键,属于中档题.非选择题部分(共110分)二、填空题：本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.把答案填在题中的横线上.11.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若335,12a S ==,则公差d =__________；通项公式n a =__________.【参考答案】 (1).1 (2).2n + 【试题解析】 因335,12a S ==,所以1111253,(1)31211332122n a d a a a n d n n d a d +=⎧=⎧⎪∴=+-=+-=+⎨⎨=+⨯⨯=⎩⎪⎩12.已知函数()()2220log 10x x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩，，，，则()()3f f -=____,()f x 的最小值为_____.【参考答案】 (1).2 (2).1- 【试题解析】利用分段函数,分别求的各段函数的最小值,即可求解分段函数的最小值.函数()()222,0log 1,0x x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩,则()()()()23963log 42ff f f -=-===,当0x ≤时,二次函数开口向上,对称轴1x =-,∴函数的最小值为()1121f -=-=-；当0x ≥时,函数是增函数,0x =时函数取得最小值为0,0x ∴>时,()0f x >,综上函数的最小值为1-,故答案为 2, 1-.求分段函数的最值要注意：分段函数的最小值是各段最小值中最小值,最大值是各段最大值中最大值,值域是各段值域的并集. 13.已知随机变量ξ分布列为若,,a b c 成等差数列,且1()3E ξ=,则b 的值是___________,()D ξ的值是________. 【参考答案】 (1).13(2).59【试题解析】由等差中项及分布列可得2b a c =+,1a b c ++=,1()3E a c ξ=-+=,联立求解,然后结合方差公式运算即可.解:由,,a b c 成等差数列得2b a c =+①, 又由分布列得1a b c ++=②,1()3E a c ξ=-+=③, 联立①②③解得111,,632a b c ===, 则2221111115()1013633329D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故答案为:13;59. 本题考查离散型随机变量的分布列、期望和方差,熟记离散型随机变量的期望和方差公式是解题的关键,属基础题.14.若3nx ⎛- ⎝的展开式中所有项的系数的绝对值之和大于100,则n 的最小值为________；当n 取最小值时该展开式中的常数项是__________. 【参考答案】 (1).4 (2).-12 【试题解析】根据题意可知3nx ⎛+ ⎝的展开式中所有项的系数和大于100,令1x =,解得3n >,即n 的最小值为4,再利用二项式展开式的通项即可求解.3nx ⎛ ⎝的展开式中所有项系数的绝对值之和等于3nx⎛+ ⎝的展开式中所有项的系数和, 令1x =,得4100n >,解得3n >. 因为*n ∈N ,所以n 的最小值为4.当4n =时,该展开式的通项444431443((1)3rr r r r r rr T C C xx ---+⎛⎫==-⋅⋅ ⎪⎝⎭⋅⋅,由4403r -=,得3r =,所以该展开式中的常数项是334(1)312C -⋅⋅=-. 故答案为：4；-12本题考查了赋值法求二项式的系数和以及二项式展开式的通项,需熟记公式,属于基础题. 15.在ABC 中,3A π=,3BC =,点D 在线段BC 上,且2BD DC =,则AD 的最大值是________.1 【试题解析】由角A 和边BC 可求出外接圆半径R ,设外接圆的圆心为O ,利用余弦定理求出OD , 而OA R =,再由AD AO OD ≤+,求出AD 的最大值.设ABC 的外接圆的圆心为O ,则由正弦定理得2sin BCOA OB OC A====又因为223BOC BAC π∠=∠=,所以1()26OBC BOC ππ∠=-∠=, 则在BOD 中,由余弦定理得222222cos 222cos6OD BO BD BO BD OBC π=+-⋅∠=+-⨯1=,所以1OD =,则1AD AO OD ≤+=+,当且仅当A ,O ,D 三点共线时,等号成立,所以AD 1.1本题考查正弦定理、余弦定理,利用正弦定理和余弦定理求解相关线段的长度是解题的关键. 16.已知点M 为单位圆221x y +=上的动点,点O 为坐标原点,点A 在直线2x =上,则AM AO ⋅的最小值为_____.【参考答案】2 【试题解析】设出动点坐标(2,)A t ,(cos ,sin )M θθ,用坐标运算计算出向量的数量积242cos sin AM AO t t θθ⋅=+--,然后由辅助角公式和二次函数性质可求得最小值.设(2,)A t ,(cos ,sin )M θθ,则(cos 2,sin ),(2,)AM t AO t θθ=--=--, 所以242cos sin AM AO t t θθ⋅=+--.又max (2cos sin )t θθ+=,故24AM AO t ⋅≥+令s =,则2s ≥,又2242t s s +=-≥, 当2s = 即0t =时等号成立,故min ()2AM AO ⋅=. 故答案为2.本题考查平面向量的数量积的最值,解题关键是建立一个函数式,本题中有两个动点,因此要有两个变量,为此设(2,)A t ,(cos ,sin )M θθ,这样建立关系后,注意到两变量之间没有任何关系,因此可分别求最值,即先对θ求最值,再对t 求最值. 17.设函数()1411f x a x a x =--++-有两个零点,则实数a 的值是_________. 【参考答案】17,,422⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ 【试题解析】分析：将原问题进行换元,转化为两个函数有两个交点的问题,然后结合函数图像的特征整理计算即可求得最终结果.详解：不防令11tx=-,则11xt=+.原问题转化为函数1y t a a=-+与函数2144113yt t⎛⎫=+-=+⎪⎝⎭的图像有2个交点,函数243yt=+的图像是确定的,如下所示(三个函数图像对应满足题意的三种情况),而函数1y t a a=-+是一动态V函数,顶点轨迹y=x,当动态V函数的一支与反比例函数相切时,即为所求.联立1243y a t a t ayt=-+=-+⎧⎪⎨=+⎪⎩可得()23240t a t+-+=,则满足题意时：()232160a∆=--=,解得：1217,22a a=-=,注意到当V函数的顶点为()4,4时满足题意,此时4a=.综上可得：实数a的值是17,,422⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点.(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)＜0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差,画两个函数的图象,看其交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.三、解答题：本大题共5小题,共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.18.已知函数()2cos cos 6f x x x π⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭在,(0)44a a a ππ⎡⎤-+>⎢⎥⎣⎦上是减函数. (Ⅰ)求()f x 的最小正周期和对称轴方程； (Ⅱ)求实数a 的取值范围. 【参考答案】(Ⅰ)=T π；212k x ππ=+,k Z ∈；(Ⅱ)06a π<≤.【试题解析】(Ⅰ)利用三角恒等变换化简函数解析式,再借助正弦函数的图象与性质求解即可； (Ⅱ)求出函数()f x 的单调递减区间,由此得到关于a 的不等式组,通过解不等式组,并结合a 的范围,即可得解.【详解】(Ⅰ)()2cos cos 6f x x x π⎛⎫=⋅-⎪⎝⎭12cos sin 2x x x ⎫=⋅+⎪⎪⎝⎭12cos 2cos sin 2x x x x =+⋅ 1cos 2)sin 222x x =++ 1cos 2sin 2222x x =++ sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 所以()f x 的最小正周期为22=2T πππω==, 令232x k πππ+=+,k Z ∈,解得212k x ππ=+,k Z ∈, 所以()f x 的对称轴方程为212k x ππ=+,k Z ∈.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知()3sin 23f xx π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭, 3222232k x k πππππ+≤+≤+,k Z ∈, 解得71212k x k ππππ+≤≤+,k Z ∈, 所以,()f x 在7,()1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦上是减函数, 所以4127412a k a k ππππππ⎧-≥+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩,k Z ∈,即36a k a k ππππ⎧≤+⎪⎪⎨⎪≤-+⎪⎩,k Z ∈,因为()f x 在,44a a ππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上是减函数,所以4422T a a πππ⎛⎫⎛⎫+--≤=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 即04a π<≤,结合3a k ππ≤+,且6a k ππ≤-+,k Z ∈,解得0k =,所以06a π<≤.所以实数a 的取值范围为06a π<≤.本题考查了三角恒等变换及正弦函数的图象与性质,具体考查了两角差的余弦公式、二倍角公式、两角和的正弦公式、正弦型函数的周期性、正弦型函数的对称轴和正弦型函数的单调性等知识点,考查学生对这些知识的掌握能力,属于中档题. 19.在三棱锥A BCD -中,2,2,2AB AD BD BC DC AC ======.(1)求证：BD AC ⊥；(2)若点P 为AC 上一点,且3AP PC =,求直线BP 与平面ACD 所成的角的正弦值.【参考答案】(1)证明见解析；(2)43【试题解析】(1)取BD 的中点E ,连接,AE CE ,然后由等腰三角形的性质推出,AE BD CE BD ⊥⊥,从而利用线面垂直的判定定理与性质可使问题得证；(2)以E 为坐标原点建立空间直角坐标系,然后求出相关点的坐标,再求出平面ACD 的一个法向量,从而利用空间向量的夹角公式求解即可.解：(1)证明：取BD 的中点E ,连接,AE CE , ∵2AB AD BD ===,∴AE BD ⊥, 同理可得CE BD ⊥, 又AECE E =,∴BD ⊥平面ACE ,又AC ⊂平面ACE ,∴BD AC ⊥. (2)∵2,2AB AD BD BC DC =====∴BCD 为等腰直角三角形,且3,1AE CE ==,∴222AE EC AC +=,∴2AEC π∠=,即AE EC ⊥,又AE BD ⊥,且BD EC E ⋂=,∴AE ⊥平面BCD ,∴以E 为坐标原点,EC 所在直线为x 轴,ED 所在直线为y 轴,EA 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.∴(0,1,0),(0,1,0),(1,0,0),3)B D C A -, 设()000,,P x y z ,∵3,(1,0,3)4AP AC AC ==-,(000,,3AP x y z =-, ∴(0003333,,3(1,0,3),0,44x y z ⎛-== ⎝⎭,∴0003,40,333x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩∴33,0,44P ⎛ ⎝⎭,∴33,1,44BP ⎛= ⎝⎭,又(0,1,3),(1,1,0)DA DC =-=-, 设()111,,n x y z =是平面ACD 的法向量,则11110,30,00,n DA y z n DC x y ⎧⎧⋅=-+=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=-=⎪⎪⎩⎩令11x =,得1131,3y z ==,∴31,1,3n ⎛= ⎝⎭, 设直线BP 与平面ACD 所成角为θ, 则sin |cos ,|||||n BPn BP n BP θ⋅=<>=4377734==⨯,∴直线BP 与平面ACD 所成角的正弦值为43. 本题考查空间中直线与平面的位置关系、利用空间向量解决直线与平面所成角问题. (1)求出直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角后(求出是钝角时取其补角),取其余角即为直线与平面所成的角.(2)若求线面角的余弦值,要注意利用平方关系221sin cos θθ+＝求出其值.不要误认为直线的方向向量与平面的法向量所成夹角的余弦值即为所求.20.已知数列{}n a 为递增的等差数列,其中35a =,且125,,a a a 成等比数列. (1)求{}n a 的通项公式； (2)设()()1111n n n b a a +=++记数列{}n b 的前n 项和为n T ,求使得n mT 5<成立的m 的最小正整数.【参考答案】(1)21n a n =-；(2)2. 【试题解析】(1)利用待定系数法,设出首项1a 和公差d ,依照题意列两个方程,即可求出{}n a 的通项公式； (2)由()()1111n n n b a a +=++,容易想到裂项相消法求{}n b的前n 项和为n T ,然后,恒成立问题最值法求出m 的最小正整数. (1)在等差数列中,设公差为d ≠0, 由题意,得,解得.∴a n ＝a 1+(n ﹣1)d ＝1+2(n ﹣1)＝2n ﹣1； (2)由(1)知,a n ＝2n ﹣1.则＝,∴T n ＝＝.∵T n +1﹣T n ＝＝＞0,∴{T n }单调递增,而,∴要使成立,则,得m,又m ∈Z ,则使得成立的m 的最小正整数为2.本题主要考查等差、等比数列的基本性质和定义,待定系数法求通项公式,裂项相消求数列的前n 项和,以及恒成立问题的一般解法,意在考查学生综合运用知识的能力.21.如图,焦点在x 轴上的椭圆1C 与焦点在y 轴上的椭圆2C 都过点()0,1M ,中心都在坐标原点,且椭圆1C 与2C 的离心率均为3. (Ⅰ)求椭圆1C 与椭圆2C 的标准方程；(Ⅱ)过点M 的互相垂直的两直线分别与1C ,2C 交于点A,B (点A 、B 不同于点M ),当MAB ∆的面积取最大值时,求两直线MA,MB 斜率的比值.【参考答案】(1)2214x y +=,22+114x y =997-【试题解析】分析：(1)根据题的条件,得到对应的椭圆的上顶点,即可以求得椭圆中相应的参数,结合椭圆的离心率的大小,求得相应的参数,从而求得椭圆的方程；(2)设出一条直线的方程,与椭圆的方程联立,消元,利用求根公式求得对应点的坐标,进一步求得向量的坐标,将S 表示为关于k 的函数关系,从眼角函数的角度去求最值,从而求得结果.详解：(Ⅰ)依题意得对1C ：1b =,2222324a b e e a-=⇒==,得1C ：2214x y +=； 同理2C ：22+114x y =. (Ⅱ)设直线MA MB ，的斜率分别为12k k ，,则MA ：11y k x =+,与椭圆方程联立得：2222111414041x y x k x y k x ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩（）,得22114180k x k x ++=（）,得1A 218=41k x k -+,21A 2141=41k y k -++,所以2112211841A(,)4141k k k k -+-++ 同理可得222222224,44k k B k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭.所以221122222211228822=(,),,414144k k k k MA MB k k k k ⎛⎫----= ⎪++++⎝⎭,从而可以求得()()()221221122122222212211216822811==24144412414k k k k k k k k S k k k k k k -----⋅-⋅++++++因为121k k =-,所以()()3112218+=41k k S k+,不妨设()()()()34211111242211+4910,4141k k k k k f k f k kk'--+>==++，()42211190491=0=8f k k k k ，，=∴--+',所以当S 最大时,219=8k ,此时两直线MA,MB 斜率的比值2112=k k k -. ：该题考查的是有关椭圆与直线的综合题,在解题的过程中,注意椭圆的对称性,以及其特殊性,与y 轴的交点即为椭圆的上顶点,结合椭圆焦点所在轴,得到相应的参数的值,再者就是应用离心率的大小找参数之间的关系,在研究直线与椭圆相交的问题时,首先设出直线的方程,与椭圆的方程联立,求得结果,注意从函数的角度研究问题. 22.已知函数()()ln 12xf x ex =+-,()xg x e=.(Ⅰ)求()f x 的单调区间；(Ⅱ)()()()F x f x g x =+,记min ()M F x =,求证：M >.【参考答案】(Ⅰ)单调递减区间是(,)-∞+∞,无单调递增区间.(Ⅱ)见解析【试题解析】(Ⅰ)首先求出()f x ',然后根据()f x '与0的大小关系求得函数()f x 的单调性；(Ⅱ)首先求出()F x ',然后通过研究函数()F x 的单调性求得min ()F x ,从而利用放缩法可使问题得证. 解：(Ⅰ)∵2()211x xx x e e x e ef --=-=+'+,∴()0f x '<, ∴()f x 的单调递减区间是(,)-∞+∞,无单调递增区间.(Ⅱ)证明：∵()()ln 12x xF x e x e =+-+, ∴211(2)2x x x x xe e x e e e F ---='+=++,∴当(x ∈-∞时,()0F x '<,()F x 单调递减,当)x ∈+∞时,()0F x '>,()F x 单调递增,∴min ()ln(1M F x F ===-1ln 2+=+>. 本题考查导数与函数单调性的关系、导数在不等式证明中的应用.由()0f x '>确定函数()f x 的增区间,由()<0f x '确定函数()f x 的减区间,确定了单调性后可得函数的极值和最值.。
2017年4月浙江数学学考试卷(精校版)
2017年4月浙江省普通高中学业水平考试数学试题第Ⅰ卷（共54分）一、选择题：本大题共18个小题,每小题3分,共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}1,2,3,4U = ，若{}1,3A =，则U A =（ ）A ．{}1,2B ．{}1,4C ．{}2,3D ．{}2,42.已知数列1，a ，5是等差数列，则实数a 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4 D3.计算lg 4lg 25+=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．104.函数3x y =的值域为（ ）A ．(0,)+∞B ．[1,)+∞C ．(0,1]D ．(0,3]5.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =60A =︒，45B =︒，则b 的长为（ ）A ．2B ．1CD ．26.若实数10,20,x y xy -+>⎧⎨-<⎩则点(,)P x y 不可能落在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7.在空间中，下列命题正确的是（ ）A ．若平面α内有无数条直线与直线l 平行，则//l αB ．若平面α内有无数条直线与平面β平行，则//αβC ．若平面α内有无数条直线与直线l 垂直，则l α⊥D ．若平面α内有无数条直线与平面β垂直，则αβ⊥8.已知θ锐角，且3sin 5θ=，则sin(45)θ+︒=（ ）A ．10B ．10-C ．10D ．10-9.直线y x =被圆22(1)1x y -+=所截得的弦长为（ ）A ．2B ．1CD ．210.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若121n n S a +=+，*n N ∈，则3a =（ ）A ．3B ．2C ．1D ．011.如图，在三棱锥A BCD -中，侧面ABD ⊥底面BCD ，BC CD ⊥，4AB AD ==，6BC =，BD =该三棱锥三视图的正视图为（ ）12.在第11题的三棱锥A BCD -中，直线AC 与底面BCD 所成角的大小为（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒13.设实数a ，b 满足||||a b >，则“0a b ->”是“0a b +>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14.过双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左顶点A 作倾斜角为45︒的直线l ，l 交y 轴于点B ，交双曲线的一条渐进线于点C ，若AB BC =，则该双曲线的离心率为（ ）A ．5BCD ．215.若实数a ，b ，c 满足12b a <<<，108c <<，则关于x 的方程20ax bx c ++=（ ） A ．在区间()1,0-内没有实数根 B ．在区间()1,0-内有一个实数根，在()1,0-外有一个实数根C ．在区间()1,0-内有两个相等的实数根D ．在区间()1,0-内有两个不相等的实数根16.如图（1），把棱长为1的正方体沿平面11AB D 和平面11A BC 截去部分后，得到如图（2）所示几何体，该几何体的体积为（ ）A ．34B ．1724C ．23D ．1217.已知直线22(2)0x y y λ+++-=与两坐标轴围成一个三角形，该三角形的面积记为()S λ，当(0,)λ∈+∞时，()S λ的最小值是（ ）A ．12B ．10C ．8D ．418.已知函数2()f x x ax b =++（a ，b R ∈），记集合{}|()0A x R f x =∈≤，{}|(()1)0B x R f f x =∈+≤，若A B =≠∅，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[]4,4-B ．[]2,2-C ．[]2,0-D ．[]0,4第Ⅱ卷（共46分）二、填空题（每空3分，满分15分，将答案填在答题纸上）19.设向量(1,2)a =，(3,1)b =，则a b +的坐标为 ，a b ⋅= ．20.椭圆2213x y +=两焦点之间的距离为 ． 21.已知a ，b R ∈，且1a ≠-，则1||||1a b b a ++-+的最小值是 ． 22.设点P 是边长为2的正三角形ABC 的三边上的动点，则()PA PB PC ⋅+的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共3小题，共31分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）23.已知函数2()2cos 1f x x =-，x R ∈． （Ⅰ）求()6f π的值； （Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅲ）设()()24g x f x x π=-+，求()g x 的值域． 24.已知抛物线C ：22y px =过点(1,1)A ．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）过点(3,1)P -的直线与抛物线C 交于M ，N 两个不同的点（均与点A 不重合）．设直线AM ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k ⋅为定值．25.已知函数()3|||1|f x x a ax =-+-，其中a R ∈．（Ⅰ）当1a =时，写出函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 为偶函数，求实数a 的值；（Ⅲ）若对任意的实数[]0,3x ∈，不等式()3||f x x x a ≥-恒成立，求实数a 的取值范围．。
浙江省高2020届高2017级高三新高考名校联考信息卷五数学及参考答案解析
浙江新高考名校联考信息卷(五)数学本试题卷分选择题和非选择题两部分.满分150分,考试时间120分钟.参考公式：若事件, A B 互斥,则()()()P A B P A P B +=+ 若事件, A B 相互独立,则( )() ()P A B P A P B =若事件A 在一次试验中发生的概率是p ,则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(0,1,2,,)k kn k n n P k C p p k n -=-=台体的体积公式()112213V S S S S h =+ 其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积,h 表示台体的高柱体的体积公式V Sh = 其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh =其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高球的表面积公式24S R π= 球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径选择题部分(共40分)一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合{|||2},{|13}A x x B x x ==<,则A B =( )A.{|2}x x -B.{|12}x xC.{|23}x x -≤<D.{|3}x x <【参考答案】C 【试题解析】先解绝对值不等式得到集合A ,再根据集合的并运算求AB 即可.由||2x ≤,解得22x -≤≤,故{|22}A x x =-≤≤,又{|13}x B x =≤<, 所以{|23}A B x x ⋃=-≤<. 故参考答案：C.本题主要考查绝对值不等式的求解及集合的并运算,考查考生对基础知识的掌握情况,考查数学运算核心素养.2.已知复数z 满足2(1)10z ++=,则z =( ) A.1i + B.1i -+C.1i -±D.1i ±±【参考答案】C 【试题解析】设(,)z a bi a b R =+∈,再利用复数的四则运算及复数相等求解即可. 解法一：由题意,设(,)z a bi a b R =+∈, 由2(1)10z ++=,得2(1)10a bi +++=, 所以22(1)12(1)0a b a bi +-+++=,根据复数相等,得22(1)10,2(1)0,a b a b ⎧+-+=⎨+=⎩,解得11a b =-⎧⎨=±⎩,故1z i =-±.解法二：根据2(1)10z ++=,得1z i +=±,所以1z i =-±. 故参考答案：C.本题主要考查复数的定义、复数相等以及复数的四则运算,考查数学运算核心素养. 3.函数cos ()2x f x x =⋅的图象可能是( )A. B. C.D.【参考答案】B 【试题解析】根据奇偶性、特殊值,利用排除法即可得结果. 因为cos()cos ()()22()x x f x x x f x --=-⋅=-⋅=-,所以函数()f x 是奇函数,其图象关于坐标原点O 对称,故排除A,C. 当0x >时,()0f x >,故排除D, 故参考答案：B.本题主要考查函数的奇偶性、函数图象的识别、函数值的判断,考查考生分析问题与解决问题的能力,考查直观想象核心素养.4.已知数列{}n a 是首项大于零的等比数列,则“12a a <”是“23a a <”( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【参考答案】A 【试题解析】根据充分必要性的定义分析即可. 设等比数列{}n a 的公比为q ,因为12a a <,且10a >,所以1q >,即23a a <,故充分性成立； 反之,不成立,如121,1a a ==-,31a =. 故“12a a <”是“23a a <”的充分不必要条件. 故参考答案：A.本题主要考查充分必要条件的判断,考查逻辑推理核心素养.5.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ,,A B 分别为椭圆C 的右顶点和下顶点,若||,||,||FB AB FA 成等差数列,则椭圆C 的离心率为( )C.【参考答案】C 【试题解析】先根据椭圆的几何性质分别表示出||,||,||FB AB FA ,然后根据||,||,||FB AB FA 成等差数列得出等式,并结合222a b c =+化简求解,即可得椭圆C 的离心率. 依题意得,||,|||FB a AB FA a c ====+, 因为||,||,||FB AB FA 成等差数列,所以||||2||FB FA AB +=,即a a c ++=即2a c +=两边平方并整理,得225440c ac a +-=, 两边同除以2a ,得25440e e +-=,解得e =故参考答案：C.本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、等差数列的性质等,考查考生的运算求解能力,椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中的基本量有如下关系：222a b c =+.很多考生在应用时常与双曲线中三者的关系混淆.6.若实数,x y 满足不等式组3230,360,220,x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪++≤⎩则|3412|z x y =+-的最大值是( )A.15B.152C.332D.33【参考答案】D 【试题解析】作出不等式组表示的平面区域,可以去掉绝对值符号,令3412t x y =+-,先求t 的范围,再求z 的最大值,也可以将问题转化为求可行域内的点到直线34120x y +-=的距离的最大值问题进行求解.解法一：作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示.令3412t x y =+-,作出直线340x y +=,并平移,数形结合可知,当平移后的直线经过点A 时,t 取得最大值,当平移后的直线经过点B 时,t 取得最小值.由3230,220,x y x y -+=⎧⎨++=⎩,得(1,0)A -,所以max 13401215t =-⨯+⨯-=-.由3230,360,x y x y -+=⎧⎨--=⎩得(3,3)B --,所以min 3(3)4(3)1233t =⨯-+⨯--=-.所以[]341215,33z x y =+-∈,故|3412|z x y =+-的最大值是33. 解法二：作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示|3412|z x y =+-表示可行域内的点到直线34120x y +-=的距离的5倍.作出直线34120x y +-=,结合图形可知,点B 到直线34120x y +-=的距离最大,由3230360x y x y -+=⎧⎨--=⎩,得(3,3)B --,故点B 到直线34120x y +-=的距离2233534d ==+,故|3412|z x y =+-的最大值是533d =. 故参考答案：D.本题主要考查简单的线性规划问题,考查作图能力及数形结合思想,体现对直观想象核心素养的考查.7.已知,x y 均为正数,离散型随机变量X 的分布列如下所示：则当()E X 取得最小值时,()P X y >=( )A.14B.12C.34D.1【参考答案】C 【试题解析】先根据离散型随机变量的分布列的性质得到221x xy +=,由数学期望的计算公式得到()E X ,再利用基本不等式求()E X 的最小值及取得最小值时满足的条件,最后计算()P X y >即可. 解法一：由离散型随机变量的分布列的性质得,221x xy x ++=,即221x xy +=. 由数学期望的计算公式得22117()64(2)24(24E X x xy x x y x x y x x x x x=-⋅+⋅+⋅=+=++=,当且仅当242,21,x x y x xy =+⎧⎨+=⎩即1,12x y ==时取等号,所以()E X 取得最小值时,随机变量X 的分布列为所以3()(1)(2)(14)4P X y P X P X P X >=>==+==.解法二：由离散型随机变量的分布列的性质得,221x xy x ++=,即221x xy +=, 所以12y x x =-,故2211711()64244E X x xy x x y x x x x x x x =-⋅+⋅+⋅=+=+⋅=,当且仅当1,12x y ==时取等号, 所以()E X 取得最小值时,随机变量X 的分布列为所以3()(1)(2)(14)4P X y P X P X P X >=>==+==. 故参考答案：C.本题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望、概率的求解、基本不等式在最值问题中的应用,考查考生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力,渗透对数学运算核心素养的考查.8.设数列{}n a 满足113a =,()1*1n a n a e n N -+=∈(其中e 为自然对数的底数),数列{}n a 的前n 项和为n S ,则( )A.2019201820192018,S S a a >>B.2019201820192018,S S a a <>C.2019201820192018,S S a a ><D.2019201820192018,S S a a <<【参考答案】A 【试题解析】先构造函数证明1x e x +成立,再利用此不等式对11n a n a e -+=进行放缩,得到10n n a a +>>,即可得到结果.设()1x f x e x =--,则()1xf x e =-',所以,当(,0)x ∈-∞时,()0,()f x f x '<单调递减, 当(0,)x ∈+∞时,()0,()f x f x '>单调递增, 所以()()00f x f ≥=,所以1x e x +, 所以11n a n n a e a -+=,当且仅当1n a =时等号成立,而113a =,所以10n n a a +>>, 所以2019201820192018,S S a a >>. 故参考答案：A.本题主要考查数列不等式的证明、放缩法的应用,考查考生的逻辑思维能力、化归与转化能力,考查数学运算、逻辑推理等核心素养.9.如图,在四面体VABC 中,已知VA ⊥平面VBC ,VA 与平面ABC 所成的角为45︒,D 是BC 上一动点,设直线VD 与平面ABC 所成的角为θ,则( )A.60θ︒B.30θ︒C.45θ︒D.75θ︒≤【参考答案】C 【试题解析】先分析出线面角取得最大值时的条件,再求出线面角的最大值,即可求解.通解：过点V 作VG ⊥平面ABC 于点G ,连接DG , 则VDG ∠为直线VD 与平面ABC 所成的角,即VDG θ=∠, 故sin VGVDθ=,显然θ随VD 的增大而减小, 故当VD 最小,即VD BC ⊥时,θ最大.连接AD ,因为VA ⊥平面VBC ,所以BC VA ⊥.所以当VD BC ⊥时,BC ⊥平面VAD ,所以易知,,A G D 三点共线. 因为VA 与平面ABC 所成的角为45︒,所以45VAG ︒∠=.因为VA ⊥平面VBC ,所以VA VD ⊥,所以90AVD ︒∠=,故此时45VDG ︒∠=,故45θ︒. 故参考答案：C.本题主要考查空间中直线和平面所成的角、直线和平面的位置关系等,考查的核心素养是直观想象、逻辑推理.10.已知关于x 的方程20(,)x ax b a b R ++=∈在[0,1]上有实数根,且322a b -≤+≤-,则2+a b 的最大值为( )A.1-B.0C.12D.1【参考答案】B 【试题解析】先将方程的根的问题转化为函数2()f x x =-与()g x ax b =+在[0,1]x ∈上的图象的交点问题,再根据1222a b g ⎛⎫+= ⎪⎝⎭将问题转化为求12g ⎛⎫⎪⎝⎭的最大值问题,最后数形结合求解即可. 由题意,关于x 的方程20x ax b ++=(),a b ∈R 在[0,1]上有实数根,即函数2()f x x =-与()g x ax b =+在[0,1]x ∈上的图象有交点,作出函数()f x ,()g x 的大致图象如图所示.因为322a b -≤+≤-,所以3(2)2g -≤≤-.又1122222a b a b g ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以求2+a b 的最大值可以转化为求12g ⎛⎫⎪⎝⎭的最大值. 数形结合可知,当()y g x =的图象经过点(2,3)B -且和()y f x =的图象在[0,1]x ∈上相切时,12g ⎛⎫⎪⎝⎭大.易求得切点为(1,1)-,且()21g x x =-+,此时102g ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 所以2+a b 的最大值为0. 故参考答案：B.本题主要考查方程的根,函数的图象和性质,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想,试题从方程的根入手设题,使考生将问题进行转化,创设问题的情境,然后利用数形结合思想解题,体现了直观想象、逻辑推理等核心素养.解决本题的关键有两个：(1)将方程的根的问题转化为两个函数图象的交点问题后,发现1222a b g ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,从而将问题转化为求12g ⎛⎫ ⎪⎝⎭的最大值问题；(2)画出函数图象,数形结合分析出12g ⎛⎫⎪⎝⎭取最大值时的条件. 非选择题部分(共110分)二、填空题：本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.11.已知函数11,0,()1,0,2x x f x x x ⎧-++⎪=⎨->⎪⎩则((1))=f f ______,()f x 的最大值是_____.【参考答案】 (1).12(2).1 【试题解析】根据分段函数的解析式即可求得((1))f f的值；分别求出0,0x x>时()f x的取值范围,即可得结论.由题意知,11((1))22f f f⎛⎫=-=⎪⎝⎭.当0x时,()1f x,当且仅当1x=-时取等号.当0x>时,()0f x<,故()f x的最大值是()11f-=.故答案为：12,1.本题主要考查分段函数的求值及分段函数的最大值,考查数学运算核心素养.12.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是_______,表面积是_______.【参考答案】 (1).16 (2).3662+【试题解析】先根据三视图还原出空间几何体的直观图,再求出相关数据,最后根据锥体的体积公式和表面积公式求解即可.由三视图还原该几何体的直观图,可知该几何体为如图所示的四棱锥P ABCD-, 其中PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,4,3AP AD AB===,则易得42,5DP BP==.故该几何体的体积1344163V=⨯⨯⨯=,表面积11113434445434236622222S=⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+.故答案为：16,36+.本题主要考查空间几何体的三视图、空间几何体的体积和表面积的计算,考查考生的空间想象能力和运算求解能力.13.在平面直角坐标系中,已知点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的一点,12,F F 分别为双曲线的左、右焦点,1260F PF ︒∠=,且213PF PF =,则双曲线的离心率为_________.【参考答案】2【试题解析】由213PF PF =及双曲线的定义,可得13PF a =,2PF a =,再在12PF F △中由余弦定理求得双曲线的离心率.由题意,设点P 是双曲线右支上的点,122PF PF a ∴-=,又12123,3,PF PF PF a PF a =∴==.在12PF F △中,1260F PF ︒∠=,由余弦定理得2221212122cos60F F PF PF PF PF ︒=+-⋅⋅, 即22221492372c a a a a a =+-⨯⨯⨯=, .2274c a ∴= ,即2e =.故答案为：2. 本题主要考查双曲线的几何性质,考查考生的化归与转化能力、运算求解能力,考查的核心素养是数学运算.14.已知2012(1)(1)(1)nn n x a a x a x a x =+-+-++-(其中n 为正整数),若5a 是(0,1,,)i a i n =中的唯一最大值,则n 的值为_____,1n a -的值为_____.【参考答案】 (1).10 (2).10 【试题解析】根据题意,令1x t -=,对已知等式变形,再根据5(0,1,,)i a i n a =求得n 的值,最后求1n a -的值.由题意,2012[(1)1](1)(1)(1)nnn n x x a a x a x a x =-+=+-+-++-,令1x t -=,则20110012(1)nn n n n n n n n t a a t a t a t C t C t C t -+=++++=+++,因为5a 是(0,1,,)i a i n =中的唯一最大值,所以n 是偶数,所以52n=,解得10n =. 所以1191010n a a C -===. 故答案为：10,10.本题主要考查二项展开式中系数的最大值、指定项的系数,考查换元法的应用,考查数学运算、逻辑推理等核心素养.()n a b +的展开式中二项式系数最大项的确定方法：(1)如果n 是偶数,则中间一项(第12n ⎛⎫+⎪⎝⎭项)的二项式系数最大；(2)如果n 是奇数,则中间两项(第12n +项和第32n +项)的二项式系数相等并且最大.15.在ABC 中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若12tan ,5C a b ===BC 边上的中点为D ,则sin BAC ∠=______,AD =______.【参考答案】 (1).13 (2).2【试题解析】解法一根据三角形内角和定理及三角函数的诱导公式、同角三角函数的基本关系即可求得sin BAC ∠,然后根据正弦定理求得c ,最后根据向量的线性运算及数量积即可求得AD 的长；解法二先根据同角三角函数的基本关系求得sin ,cos C C ,利用余弦定理求得c ,然后根据正弦定理求得sin BAC ∠,最后在ACD 中利用余弦定理即可求得AD 的长.解法一因为a b ==所以BAC B ∠=,又12tan 5C =, 所以12tan()tan 2tan()tan 5BAC B BAC C C π∠+=∠=-=-=-, 即22tan 12tan 21tan 5BAC BAC BAC ∠∠==--∠,即26tan 5tan 60BAC BAC ∠-∠-=, 解得3tan 2BAC ∠=或2tan 3BAC ∠=-(舍去),所以sin BAC BAC ∠=∠=易知12sin 13C =,又a =, 所以由sin sin a cBAC C=∠,得4c =.因为BC 边上的中点为D ,所以()12AD AC AB =+, 所以()22221145()2444AD AC AB AC AC AB AB =+=+⋅+=,所以AD =解法二因为12tan 5C =,所以125sin ,cos 1313C C ==,又a b ==所以22252cos 131321613c a b ab C =+-=+-=, 所以4c =.由sin sin a c BAC C =∠,41213=,得sin BAC ∠=.因为BC 边上的中点为D ,所以2a CD =, 所以在ACD ∆中,222452cos 224a a AD b b C ⎛⎫=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭,所以2AD =.故答案为：13. 本题主要考查三角函数的诱导公式,同角三角函数的基本关系,正、余弦定理的应用,考查考生分析问题、解决问题的能力,考查逻辑推理、数学运算等核心素养.16.由数字0,1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的四位数,则能被15整除且0不在个位的四位数共有________个. 【参考答案】60 【试题解析】根据题意,将0,1,2,3,4,5,6,7这8个数字分为以下三类：被3整除的有0,3,6；被3除余1的有1,4,7；被3除余2的有2,5,再利用排列组合即可. 由题意,四位数的个位数字一定是5,且4位数字之和能被3整除, 当四位数中有0时,满足题意的四位数有1112232224C C C A =(个)；当四位数中没有0时,满足题意的四位数有2132323333181836C C A C A +=+=(个), 所以能被15整除且0不在个位的四位数共有60个. 故答案为：60.本题主要考查排列组合的有关知识,考查考生分析问题、解决问题的能力,考查的核心素养是逻辑推理.17.已知平面向量,m n 满足||2,||1m n m n +=-=,若平面向量a 满足||||a m n +=,则||a 最大值为_____. 【试题解析】先得到||||||a m n +,将||a 的最大值转化为||||m n +的最大值,再分别将||,||m n 用||,||m n m n +-表示,最后利用基本不等式求解即可.因为||||a m n +=, 所以||||||||a m a m n -+=,所以||||||a m n +.又||||m n +22|()()||()()|22222m n m n m n m n m n m n m n m n +-+-++-++--=++-=222||2||52m n m n ++-=,所以||a 的最大值为5. 故答案为：5.本题主要考查平面向量的模,基本不等式的应用,考查考生分析问题、解决问题的能力,考查数学运算、逻辑推理等核心素养.三、解答题：本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证眀过程或演算步骤.18.已知函数()sin (,0,0)4f x A x x R A πωω⎛⎫=+∈>> ⎪⎝⎭的部分图象如图所示,其中点M 的坐标为(1,)A .(1)求函数()f x 的最小正周期； (2)若5cos 5PMQ ∠=-,求(2)f 的值. 【参考答案】(1)8(2)(2)2f =【试题解析】(1)先根据点()1,M A 在函数()f x 的图象上及()f x 的图象特征得到ω的值,即可求得函数()f x 的最小正周期；(2)可以根据5cos PMQ ∠=-,利用两角和的余弦公式进行求解,也可以在三角形中利用余弦定理进行求解,还可以借助向量进行求解.(1)因为点()1,M A 在函数()f x 的图象上,即sin 4A A πω⎛⎫=+⎪⎝⎭, 所以2()42k k Z ππωπ+=+∈,即2()4k k Z πωπ=+∈.由题意可知函数()f x 的最小正周期4T >, 所以24πω>,解得2πω<.又0>ω,所以4πω=,所以函数()f x 的最小正周期8T =. (2)解法一：如图,过点M 作MN x ⊥轴于点N ,由(1)知()sin 44f x A x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭.令()sin 044f x A x ππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭,得()44x k k Z πππ+=∈,得14()x k k Z =-+∈,所以(1,0),(7,0)P Q -, 所以22sin 44PMN PMN A A ∠=∠=++,sin QMN QMN ∠=∠=,所以cos cos()cos cos sin sin QMP PMN QMN PMN QMN PMN QMN∠=∠+∠=∠⋅∠-∠⋅∠5=-=-, 所以42401440A A -+=,即()()224360A A--=,又0A >,所以2A =或6A =(舍去).所以()2sin 44f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以3(2)2sin4f π==解法二：过点M 作MN x ⊥轴于点N ,由(1)知,函数()f x 的最小正周期8T =,又(1,)M A , 所以13||8,||2,||644PQ PN T QN T =====,所以|||PM QM ==所以在PMQ 中,222||||||2||||cos PQ PM QM PM QM PMQ =+-⋅⋅∠,即22644365A A ⎛=+++-- ⎝⎭,化简得42401440A A -+=,即()()224360A A--=,所以2A =或6A =(舍去). 所以()2sin 44f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭,所以3(2)2sin4f π==解法三：过点M 作MN x ⊥轴于N ,由(1)知()sin 44f x A x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭,令()sin 044f x A x ππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭,得()44x k k Z πππ+=∈,得14()x k k Z =-+∈,所以(1,0),(7,0)P Q -,又(1,)M A ,所以(2,),(6,)MP A MQ A =--=-, 所以2225cos 5436PMQ A A ∠==-+⋅+,解得2A =或6A =(舍去). 所以()2sin 44f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭,故3(2)2sin24f π==. 本题主要考查三角函数的图象和性质、两角和的余弦公式、余弦定理的应用,考查考生的运算求解能力及分析问题、解决问题的能力.试题以考查三角函数的图象和性质、三角恒等变换等为目标,通过正弦型函数在一个周期上的图象的特征设题,考查直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养. 第(1)问大部分考生可以由点(1,)M A 在函数()f x 的图象上得到2()4k k Z πωπ=+∈,但不能从题中的图象获得4T >,从而无法准确求出ω的值.第(2)问有相当一部分考生在求得2A =或6A =后,不进行验证,从而丢分.19.如图,已知四边形ABCD 是正方形,AE ⊥平面ABCD ,PD ∥AE ,PD ＝AD ＝2EA ＝2,G ,F ,H 分别为BE ,BP ,PC 的中点.(1)求证：平面ABE ⊥平面GHF ；(2)求直线GH 与平面PBC 所成的角θ的正弦值. 【参考答案】(1)证明见解析(2)3434【试题解析】(1)通过证明BC⊥平面ABE,FH∥BC,证得FH⊥平面ABE,即可证得面面垂直；(2)建立空间直角坐标系,利用向量方法求线面角的正弦值.(1)由题：,AE⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以AE⊥BC,四边形ABCD是正方形,AB⊥BC,AE与AB是平面ABE内两条相交直线,所以BC⊥平面ABE,F,H分别为BP,PC的中点,所以FH∥BC,所以FH⊥平面ABE,HF⊂平面GHF,所以平面ABE⊥平面GHF ；(2)由题可得：DA,DC,DP两两互相垂直,所以以D为原点,DA,DC,DP为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示：()()()()12,2,0,0,2,0,0,0,2,0,1,1,2,1,2B C P H G⎛⎫⎪⎝⎭,所以()()10,2,2,2,0,0,2,0,2CP CB HG⎛⎫=-==-⎪⎝⎭,设平面PBC的法向量(),,n x y z=,22020CP n y zCB n x⎧⋅=-+=⎨⋅==⎩,取()1,0,1,1y n==为平面PBC的一个法向量,12sin cos,1424n HGn HGn HGθ⋅====⋅+⨯3434所以直线GH与平面PBC所成的角θ34此题考查面面垂直的证明,关键在于准确找出线面垂直,建立空间直角坐标系,利用向量方法解决直线与平面所成角的问题.20.已知数列{}n a 满足11a =,且()*1212221321n n a a a a n N n +++⋯+=-∈-. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 的前n 项和为n S ,且13b =,()*2330n n S b n N -+=∈,数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ,求满足1992100n T <<的所有正整数n 的值. 【参考答案】(1)()*21,n a n n N =-∈(2)所有正整数n 的值为2,3,4,5【试题解析】(1)先根据题中的递推关系式求得2a 的值,得到121(2)21n n n a a n n ++=-,再利用1221213n na a a n n +===+-求解,也可利用累乘法进行求解； (2)先根据数列的通项与前n 项和之间的关系求得数列{}n b 的通项公式,即可得到nna b ,再利用错位相减法求n T ,最后根据{}n T 的增减性求解即可. (1)解法一由()*1212221321n n a a a a n N n +++⋯+=-∈-①, 得当1n =时,1221a a =-,又11a =,所以23a =, 当2n 时,1212221323n n a a a a n -++⋯+=--②, ①-②,得,12(2)21n n n a a a n n +=--,即121(2)21n n n a a n n ++=-. 所以12121213n n a aa n n +====+-, 所以21(2)n a n n =-.又11a =也符合上式,所以()*21n a n n N =-∈.解法二由()*1212221321n n a a a a n N n +++⋯+=-∈-①, 得当1n =时,1221a a =-,又11a =,所以23a =, 当2n 时,1212221323n n a a a a n -++⋯+=--②, ①-②,得12(2)21n n na a a n n +=--,即121(2)21n na n n a n +'+=-. 又213a a =也符合上式,所以()*12121n n a n n N a n ++=∈-,所以121(2)23n n a n n a n --=-, 所以()*1211212123312123251n n n n n a a a n n a a n n N a a a n n -----=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=-∈--, 故数列{}n a 的通项公式为()*21n a n n N =-∈.(2)由()*2330n n S b n N-+=∈③,得当2n 时,112330n n S b ---+=④,③-④得112233n n n n S S b b ---=-,所以13(2)n n b b n -=, 所以数列{}n b 是以3为首项,3为公比的等比数列, 所以()*3nn b n N =∈,所以213n n n a n b -=, 所以122121321333n n nn a a a n T b b b -=+++=+++, 所以231113213333n n n T +-=+++, 两式相减得1211121121222112122293133333333313n n n n n n n n n T -+++⎛⎫- ⎪--+⎝⎭=+++-=+-=--,所以113n nn T +=-. 所以111121122111033333n n n n n n n n n n n n T T +++++++++⎛⎫-=---=-=> ⎪⎝⎭, 所以数列{}n T 递增. 又12111332T =-=<,23211932T =-=>,567999124381100T =-=<,67722991729729100T =-=>, 所以满足1992100n T <<的所有正整数n 的值为2,3,4,5. 本题主要考查数列的递推关系、数列的通项与前n 项和之间的关系、错位相减法求和、数列的增减性等,考查数学运算、逻辑推理等核心素养. 第(1)间的关键是对121(2)21n n n a a n n ++=-的处理.第(2)问的关键有三点：①数列{}n b 的通项公式的求解；②n T 的求解；③数列{}n T 的增减性的证明.21.如图,,A B 为抛物线2:2(0)C x py p =>上的两个不同的点,且线段AB 的中点M 在直线1x =上,当点M 的纵坐标为1时,点A 的横坐标为1-.(1)求抛物线C 的标准方程；(2)若点,A B 在y 轴两侧,抛物线C 的准线与y 轴交于点N ,直线,NA NB 的斜率分别为12,k k ,求12k k 的取值范围.【参考答案】(1)25x y =(2)411,102⎛⎤-∞--⎥⎝⎦【试题解析】(1)根据题意,当点M 的坐标为(1,1)时,设点(1,)A t -,则点(3,2)B t -,再将其代入抛物线方程解得即可；(2)设直线AB 的方程为(0,0)y kx m k m =+≠>,设()()1122,,,A x y B x y ,由线段AB 的中点M 在直线1x =上,可得25k =,进而可得直线AB 的方程为2(0)5y x m m =+>,再表示出直线,NA NB 的斜率12,k k ,进而运算即可.(1)由题意知,当点M 的坐标为(1,1)时,设点(1,)A t -,则点(3,2)B t -,因为,A B 为抛物线C 上的两个不同的点,所以12,92(2),pt p t =⎧⎨=-⎩解得5,21,5p t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以抛物线C 的标准方程为25x y =.(2)显然直线AB 的斜率存在且不为0,故可设直线AB 的方程为(0,0)y kx m k m =+≠>,联立方程,得25,,x y y kx m ⎧=⎨=+⎩消去y ,化简并整理得2550x kx m --=.则2(5)450k m ∆=-+⨯>,即2540k m +>.设()()1122,,,A x y B x y ,则121252,5x x k x x m +===-, 所以25k =, 故直线AB 的方程为2(0)5y x m m =+>. ()()221212121224,222555x x y y m y y x x m m ==+=++=+, 易知50,4N ⎛⎫- ⎪⎝⎭,所以1212125544,y y k k x x ++==,所以()21212121212125425525552141545164164455162m m y y y y y y k k m x x x x m m ⎛⎫+⨯+++++++ ⎪⎛⎫⎝⎭=⋅===-++ ⎪-⎝⎭.因为0m >,所以414121616mm m +⨯=当且仅当4m =时取等号,所以12151522k k ⎛⎫-⨯+=- ⎪⎝⎭.故12k k 的取值范围为1,102⎛⎤-∞-- ⎥⎝⎦. 本题主要考查抛物线的标准方程和几何性质、直线与抛物线的位置关系、直线的斜率、基本不等式的应用等,考查考生的运算求解能力及分析问题、解决问题的能力.本题涉及的信息量较大,很容易让考生找不到解题方向,本题给出的解法体现了“主元思想”,如第(1)问根据点(1,1)M 设点,A B 的坐标时,将其设为(1,),(3,2)A t B t --；第(2)问在得到25k =后,得到12y y +以及12k k 的表达式都以m 为元. 22.已知函数()221()ln 2f x ax x x ax x =--+. (1)当0a =时,求证：2()2f x x x -+；(2)若不等式()0f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立,求实数a 的取值范围.【参考答案】(1)证明见解析；(2)[0,2] 【试题解析】(1)构造新函数,利用导数研究新函数的单调性,根据新函数的最值即可证得结论； (2)对函数()f x 求导,分情况求a 的取值范围. (1)当0a =时,()ln f x x x x =-+.所以()22()2ln (ln 1)f x x x x x x x x x x --+=--=--. 设()ln 1g x x x =--,则1()1g x x'=-,所以()g x 在(0,1)上单调递减,在(1,)+∞上单调递增, 所以()(1)0g x g =, 所以2()2f x x x -+.(2)因为()221()ln 2f x ax x x ax x =--+, 所以()21()(21)ln 1(21)ln f x ax x ax x ax ax x x '=-+-⋅-+=-,在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上, ①当12ae ,210ax -≤,若1,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则()0f x '>,若(1,)x e ∈,则()0f x '<, 所以()f x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,在(1, )e 上单调递减,所以由题意得10,()0,f e f e ⎧⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪⎩,解得403e a ,所以102ae. ②当2ea时,210ax -,若1,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则()0f x '<,若(1,)x e ∈,则()0f x '>, 所以()f x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,在(1, )e 上单调递增, 所以()(1)f x f ,所以由题意得(1)0f ,解得2a ,所以22ea . ③当122e a e <<时, (i)当1122a e <<时,112e a <<,若1,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则()0f x '>,若11,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则()0f x '<,若1,2x e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则()0f x '>,所以函数()f x 在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在1,2e a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,所以由题意得10102f e f a ⎧⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩，，所以324,31,2e a a e ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩所以1122a e <<； (ii)当12a =时,在1,x e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上()0f x '恒成立,所以()f x 在1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上单调递增, 所以21183(),04e f x f f e e e -⎛⎫⎛⎫=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以12a =满足题意； (iii)当122e a <<时,1112e a <<,易得函数()f x 在11,2e a ⎛⎫⎪⎝⎭,(1,)e 上单调递增,在1,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减, 所以由题意得10,(1)0,f e f ⎧⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪⎩所以4,32,e a a ⎧⎪⎨⎪⎩所以122e a <<.综上,实数a 的取值范围为[0,2].本题主要考查利用导数研究函数的单调性、不等式的证明及由不等式恒成立求参数的取值范围,考查分析问题、解决问题的能力,运算求解能力及分类讨论思想,体现逻辑推理、数学运算等核心素养.求解本题第(2)问的关键是对参数a 的分类标准的确定,在确定分类时,头脑一定要清醒,厘清层次,做到不重不漏.。
浙江新高考数学文科一轮复习创新方案热点题型10.2排列与组合(含答案详析)
第二节摆列与组合考点一摆列问题[例 1] 3 名男生， 4 名女生，依据不一样的要求排队，求不一样的排队方案的方法种数：(1)选此中 5 人排成一排；(2)排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人；(3)全体站成一排，男、女各站在一同；(4)全体站成一排，男生不可以站在一同；(5)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾．[自主解答 ] (1)问题即为从 7 个元素中选出 5 个全摆列，有A75＝ 2 520 种排法．(2)前排 3 人，后排 4 人，相当于排成一排，共有 A 77＝ 5 040 种排法．(3)相邻问题 (捆绑法 ) ：男生一定站在一同，是男生的全摆列，有A 33种排法；女生一定站在一同，是女生的全摆列，有 A 44种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有 A 22种排法，依据分步乘法计数原理，共有 A 33·A44·A 22＝ 288 种排法．(4)不相邻问题 (插空法 )：先安排女生共有 A 44种排法，男生在 4 个女生隔成的 5 个空中安排共有 A 53种排法，故共有 A 44·A 53＝1 440 种排法．(5)先安排甲，从除掉排头和排尾的 5 个位中安排甲，有 A 51＝ 5 种排法；再安排其余人，有 A 66＝ 720 种排法．所以共有A15·A 66＝ 3 600 种排法．【互动研究】本例中若全体站成一排，男生一定站在一同，有多少种排法？解：(捆绑法 )即把全部男生视为一个元素，与 4 名女生构成 5 个元素全摆列，故有 A 33·A 55＝ 720 种排法．【方法例律】1．解决摆列问题的主要方法直接法把切合条件的摆列数直接列式计算捆绑法相邻问题捆绑办理，即能够把相邻元素当作一个整体参加其余元素摆列，同时注意捆绑元素的内部摆列插空法不相邻问题插空办理，即先考虑不受限制的元素的摆列，再将不相邻的元素插在前方元素摆列的空中除法法定序问题除法办理的方法，可先不考虑次序限制，摆列后再除以定序元素的全摆列2．解决摆列类应用题的策略(1)特别元素 ( 或地点 )优先安排的方法，即先排特别元素或特别地点．(2)分排问题直排法办理．(3)“小公司”摆列问题中先集中后局部的办理方法．1． (2012 ·宁高考辽 )一排 9 个座位坐了3 个三口之家，若每家人坐在一同，则不一样的坐法种数为()A． 3× 3! B ．3× (3！ )3C． (3！ )4D． 9!分析：选C把一家三口当作一个摆列，而后再摆列这 3 家，所以知足题意的坐法种数为 A 33(A 33) 3＝ (3！ )4.2． (2014 南·充模拟 )将 5名实习教师分派到高一年级的 3 个班实习，每班起码 1 名，最多 2 名，则不一样的分派方案有()A．30 种B．90 种C． 180 种D． 270 种2222分析：选B选分组，再摆列．分组方法共有C5 C3，所以共有C5C3322·A 3＝ 90.A 2 A 2考点二组合问题[例 2] (1)若从 1,2,3，, ， 9 这 9 个整数中同时取 4 个不一样的数，其和为偶数，则不同的取法的种数是()A． 60B． 63C． 65(2)(2013 重·庆高考 )从 3 名骨科、 4 名脑外科和灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都起码有D． 665 名内科医生中选派 5 人构成一个抗震救1 人的选派方法种数是________(用数字作答 )．[自主解答](1)由于从1,2,3， ,，9 中共有 4 个不一样的偶数和5 个不一样的奇数，要使和为偶数，则 4 个数全为奇数，或全为偶数，或 2 个奇数和 2 个偶数，故有C45＋ C44＋ C25C24＝66种不一样的取法．(2)按每科选派人数分为3,1,1 和 2,2,1 两类．入选派人数为3,1,1 时，有 3 类，共有 C33C41C51＋ C31C43C51＋ C31C41C53＝ 200 种选派方法．入选派人数为2,2,1 时，有 3 类，共有 C32C42C51＋ C32C41C52＋ C31C42C52＝ 390 种选派方法．故共有 590 种选派方法．[答案 ] (1)D(2)590【方法例律】1．解决组合应用题的一般思路第一整体分类，要注意分类时，不重复不遗漏，用到分类加法计数原理；而后局部分步，用到分步乘法计数原理．2．组合问题的常有题型及解题思路常有题型有选派问题，抽样问题，图形问题，会合问题，分组问题．解答组合应用题时，要在认真审题的基础上，分清问题能否为组合问题，对较复杂的组合问题，要搞清是“ 分类” 仍是“ 分步” 解决，将复杂问题经过两个原理化归为简单问题．3．含有附带条件的组合问题的常用方法往常用直接法或间接法，应注意“ 起码”“ 最多”“ 恰巧”等词的含义的理解，关于波及“ 起码”“ 至多”等词的组合问题，既可考虑反面情况即间接求解，也能够分类研究进行直接求解．1．某校开设 A 类选修课 3 门， B 类选修课 4 门，一位同学从中选 3 门．若要求两类课程中各起码选一门，则不一样的选法的种数为()A． 30 B ．35C． 42D． 48分析：选 A法一：分两种状况：(1)2 门 A,1 门 B，有 C32C41＝ 12种选法； (2)1门 A,2门B，有 C31C42＝ 3×6＝ 18 种选法．所以共有12＋ 18＝ 30 种选法．法二：清除法： A 类 3 门， B 类 4 门，共 7 门，选 3 门， A，B 各起码选 1 门，有 C73－C33－ C43＝35－ 1－ 4＝ 30 种选法．2．两人进行乒乓球竞赛，先赢3 局者获胜，决出输赢为止，则全部可能出现的情况(各人胜败局次的不一样视为不一样情况)种数为 ()A． 10B． 15C．20D．30分析：选 C分三种状况：恰巧打 3 局，有 2 种情况；恰巧打 4 局 (一人前 3局中赢 2局，输 1 局，第 4 局赢 )，共有 2C32＝ 6 种情况；恰巧打 5 局 (一人前 4 局中赢 2 局，输 2 局，第 5 局赢 )，共有 2C42＝ 12 种情况．全部可能出现的情况种数为2＋ 6＋12＝ 20.高频考点考点三摆列与组合的综合应用1．摆列与组合是高中数学中的重要内容，也是高考命题的一个热门，多以选择题或填空题的形式体现，试题难度不大，多为简单题或中档题．2．高考对摆列与组合综合应用题的考察主要有以下几个命题角度：(1)相邻问题；(2)相间问题；(3)特别元素 ( 地点 )问题；(4)多元问题等．[例 3](1)(2013烟·台模拟)有 4 张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和 4 张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8 张卡片中拿出 4 张卡片排成一行，假如拿出的 4 张卡片所标的数______种 (用数字作答)．字之和等于10，则不一样的排法共有(2)(2014西·安模拟)某地奥运火炬接力传达路线共分 6 段，传达活动分别由 6 名火炬手达成．假如第一棒火炬手只好从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只好从甲、乙两人________种 (用数字作答)．中产生，则不一样的传达方法共有[自主解答](1)拿出的 4 张卡片所标数字之和等于10，共有三种状况：1144,2233,1234.所取卡片是1144 的共有 A 44种排法．所取卡片是2233 的共有 A 44种排法．所取卡片是1234，则此中卡片颜色可为无红色， 1 张红色， 2 张红色， 3 张红色，全部是红色，共有 A 44＋C14A 44＋ C24A 44＋ C34A 44＋ A 44＝ 16A44种排法，所以共有 18A 44＝ 18× 4× 3× 2× 1＝ 432 种排法．(2)甲传第一棒，乙传最后一棒，共有 A 44种方法．乙传第一棒，甲传最后一棒，共有 A 44种方法．丙传第一棒，共有C12·A44种方法．由分类加法计数原理得，共有 A 44＋ A 44＋C21·A 44＝ 96 种方法．[答案 ] (1)432 (2)96摆列与组合综合问题的常有种类及解题策略(1)相邻问题捆绑法．在特定条件下，将几个有关元素视为一个元向来考虑，待整个问题排好以后，再考虑它们“ 内部” 的摆列．(2)相间问题插空法．先把一般元素排好，而后把特定元素插在它们之间或两头的空当中，它与捆绑法有同样作用．(3)特别元素 ( 地点 )优先安排法．优先考虑问题中的特别元素或地点，而后再摆列其余一般元素或地点．(4)多元问题分类法．将切合条件的摆列分为几类，而每一类的摆列数较易求出，而后依据分类计数原理求出摆列总数．1． 8 名学生和 2 位老师站成一排合影， 2 位老师不相邻的排法种数为()82828282A． A C A D．A CA分析：选A相间问题用插空法，8 名学生先排，有 A 88种排法，产生9 个空， 2 位老师插空，有 A 92种排法，所以最后有 A 88A 92种排法．2．3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排，若男生甲不站两头， 3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不一样排法的种数为()A． 360B． 288C．216D． 96分析：选 B先保证 3 位女生中有且只有两位女生相邻，则有C32·A22·A 33·A 42种排法，再从中清除甲站两头的排法，所以所求排法种数为22322222－C3·A 2·A 3·A4－ 2C3·A 2·A2·A 3＝ 6× (6× 1224)＝ 288.3．将 4 名大学生疏派到 3 个乡镇去当村官，每个乡镇起码一名，则不一样的分派方案有________ 种(用数字作答 ) ．分析：选出两人当作一个整体，再全摆列．共有C42·A33＝ 36 种分派方案．答案： 36———————————[讲堂概括——通法意会 ]———————————1 个辨别——摆列问题与组合问题的辨别方法辨别方法若互换某两个元素的地点对结果产生影响，则是摆列问题，即摆列问题与选用元素摆列次序有关若互换某两个元素的地点对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选用元素组合次序没关3 个注意点——求解摆列与组合问题的三个注意点(1)解摆列与组合综合题一般是先选后排，或充足利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个原理作最后办理．(2)解受条件限制的组合题，往常用直接法(合理分类 )和间接法 (清除法 )来解决．分类标准应一致，防止出现重复或遗漏．(3)关于选择题要慎重办理，注意等价答案的不一样形式，办理这种选择题可采纳清除法剖析选项，错误的答案都有重复或遗漏的问题．易误警告 (十二 )摆列与组合中的易错问题[典例 ]将6名教师分到 3 所中学任教，一所 1 名，一所 2 名，一所 3 名，则有 ________种不一样的分法．[解题指导 ]将6名教师分到 3 所中学，相当于将 6 名教师分红 3 组，相当于 3 个不一样元素．[分析 ]将6名教师分组，分三步达成：第 1 步，在 6 名教师中任取 1 名作为一组，有 C16种取法；第 2 步，在余下的 5 名教师中任取 2 名作为一组，有 C25种取法；第 3 步，余下的 3 名教师作为一组，有C33种取法．依据分步乘法计数原理，共有123C6C5C3＝ 60 种取法．再将这 3 组教师分派到 3 所中学，有 A 33＝ 6 种分法，故共有 60× 6＝360 种不一样的分法．[答案 ] 360[名师评论 ] 1.假如审题不认真，极易以为有 C61C52C33＝ 60 种分法．由于此题中并无明确指出哪一所学校1名、2名、3名．2．解决摆列与组合应用题应要点注意以下几点：(1)第一要分清楚是摆列问题仍是组合问题，不可以将二者混杂．(2)在解决问题时，必定要注意方法的明确性，不可以造成重复计数．(3)分类议论时，要注意分类标准确实定，应做到不重不漏．牙语在小语种提早招生考试中，某学校获取5 个介绍名额，此中俄语 1 名，而且日语和俄语都要求一定有男生参加．学校经过选拔定下2 名，日语 2 名，西班3男2女共 5个介绍对象，则不一样的介绍方法的种数为()A． 20B． 22C． 24D． 36分析：选 C 3 个男生每个语种各介绍 1 个，共有 A 33A22种介绍方法；将 3 个男生疏为两2 2 23 2 2 2 2组，此中一组 2 个人，则共有 C3A 2A 2种介绍方法．所以共有 A 3A 2＋ C3A 2A 2＝24 种不一样的介绍方法．。
浙江省高三数学理一轮复习专题突破训练：排列组合二项式定理(含答案解析)
浙江省2017届高三数学理一轮复习专题突破训练排列组合二项式定理一、二项式定理1、（2014年浙江省高考）在64(1)(1)x y ++的展开式中，记m n x y 项的系数为(f m ，)n ，则(3f ，0)(2f +，1)(1f +，2)(0f +，3)=A.45B.60C.120D.2102、（金华、丽水、衢州市十二校2017届高三8月联考） (82展开式中含3x 项的系数为（ ）A ．3112x B ．31120x - C ．112 D ．11203、（嘉兴市2017届高三上学期基础测试）在26（－x)的展开式中，含3x 的二项式系数为＿＿，系数为＿＿＿（均用数字作答）4、（温州市普通高中2017届高三8月模拟考试）在nx⎛+ ⎝的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则3x 的系数为（ ） A ．15 B ．45 C ．135 D ．4055、（温州乐清市乐成寄宿学校2016届高三3月考试）25()x x y ++展开式中52x y 系数为（ ）A ．10B ．20C ．30D ．606、在6(12)x -的展开式中，2x 的系数为__________________.（用数字作答） 7、若（ax 25的展开式中x 5的系数是—80，则实数a=_______. 8、在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________9、设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含x 4的项为（A ）－15x 4 （B ）15x 4 （C ）－20i x 4 （D ）20i x 410、281()x x-的展开式中x 2的系数为__________.(用数字作答)11、5(2x +的展开式中，x 3的系数是 .（用数字填写答案）二、排列组合1、（2014年浙江省高考）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）.2、用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 （A ）24 （B ）48 （C ）60 （D ）723、将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有 （ ） A ．12种B ．10种C ．9种D ．8种4、若从1,2,2,,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有 （ ）A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种5、将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有 （ ） A ．12种B ．18种C ． 24种D ．36种6、从0,2 中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为（ ） A ．24B ．18C ．12D ．67、6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次,进行交换的两位同学互赠一份纪念品,已知6位同学之间共进行了13次交换,则收到4份纪念品的同学人数为 （ ） A ．1或3B ．1或4C ．2或3D ．2或48、某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课个1节,则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为_______(用数字作答). 9、某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远地区支教 (每地至少1人)，其中甲和乙一定不同地，甲和丙必须同地，则不同的选派方案共有( )种.A.27B.30C.33D.36 10、某校开设10门课程供学生选修，其中A B C 、、三门由于上 课时间相同，至多选一门，学校规定：每位同学选修三门，则每位 同学不同的选修方案种数是（ ）A ．70 B. 98 C ． 108 D ．120 参考答案 一、二项式定理 1、【答案】C【解析】（1+x ）6（1+y ）4的展开式中，含x 3y 0的系数是：=20．f （3，0）=20；∴f （3，0）+f （2，1）+f （1，2）+f （0，3）=120．故选：C2、C3、20 -1604、C5、C 【解析】试题分析：：25()x x y ++的展开式的通项为()5215rr r r T C x x y -+=+，令r=2，则()32x x +的通项为()32633kkk k k C x x C x --=，令6-k=5，则k=1，∴25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为215330C C =6、60.7、-28、1129、A 10、56-11、10二、排列组合1、【答案】60【解析】分类讨论，一、二、三等奖，三个人获得，共有=24种；一、二、三等奖，有1人获得2张，1人获得1张，共有=36种，共有24+36=60种．故答案为：602、D3、【解析】选A甲地由1名教师和2名学生:122412C C=种4、【答案】D【解析】1,2,2,,9这9个整数中有5个奇数,4个偶数.要想同时取4个不同的数其和为偶数,则取法有:4个都是偶数:1种;2个偶数,2个奇数:225460C C=种;4个都是奇数:455C=种.∴不同的取法共有66种.5、答案A【命题意图】本试题考查了排列组合的用用.【解析】利用分步计数原理,先填写最左上角的数,有3种,再填写右上角的数为2种,在填写第二行第一列的数有2种,一共有32212⨯⨯=.6、【答案】B【解析】由于题目要求是奇数,那么对于此三位数可以分成两种情况:奇偶奇,偶奇奇.如果是第一种奇偶奇的情况,可以从个位开始分析3种选择,之后二位,有2种选择,最后百位2种选择,共12种;如果是第二种情况偶奇奇,分析同理,个位有3种选择,十位有2种选择,百位有一种选择,共6种,因此总共12618+=种,选B.【考点定位】本题是排列组合问题,属于传统的奇偶数排列的问题,解法不唯一,需先进行良好的分类之后再分步计算,该问题即可迎刃而解.7、【解析】选D261315132C-=-=①设仅有甲与乙,丙没交换纪念品,则收到4份纪念品的同学人数为2人②设仅有甲与乙,丙与丁没交换纪念品,则收到4份纪念品的同学人数为4人8、【答案】53【解析】语文、数学、英语三门文化课间隔一节艺术课,排列有种排法,语文、数学、英语三门文化课相邻有3344A A 种排法,语文、数学、英语三门文化课两门相邻有3312122223A C C A C 种排法.故所有的排法种数有在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为3322113343222366235A A C A C C A p A +==. 9、B 10、B。
2020年3月8日浙江省学考选考浙江省名校协作体高2020届高2017级高三数学试题及参考答案
x2
−
1 x
6
的展开式中，常数项是
▲
，所有二项式系数之和是
▲
．
14．设椭圆 C : x2 + y2 = 1的左焦点为 F ，直线 l : x − y + 2 = 0 ．动点 P 在椭圆 C 上，记点 P 到 2
直线 l 的距离为 d ，则| PF | −d 的最大值是 ▲ ．
15．在 ΔABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．若 C = 2B ，4b = 3c ，a = 1 ，则 sin A = ▲ ， ΔABC 的面积是 ▲ ．
12．我国古代数学著作《增删算法统宗》中有这样一道题：“三百七十八里关，初行健步不为难； 次日脚痛减一半，六朝才得到其关；要见每朝行里数，请君仔细详推算．”其大意为“某人行路，
每天走的路是前一天的一半， 6 天共走了 378 里．”则他第六天走 ▲ 里路，前三天共走了
▲ 里路．
13．在二项式
2019 学年第二学期浙江省名校协作体试题
高三年级数学学科
考生须知： 1．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号． 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷．
选择题部分（共 40 分）
A．a2 n−1 是单调递增数列，a2n 是单调递减数列
B． an + an+1 ln 3
C． S2020 666
D． a2n−1 a2n
非选择题部分（共 110 分）
二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分．
2017年4月浙江省学考选考浙江省普通高中学业水平考试数学试题及答案(定稿)
A． 3
B． 2
C．1
11．如图，在三棱锥 A BCD 中，侧面 ABD 底面 BCD ，
BC ⊥ CD ， AB AD 4 ， BC 6 ， BD 4 3 ． 该三棱锥三视图的正视图为
D．
2 10
D． 2
D． 0
A．
B．
(第 11 题图)
C．
D．
12．在第 11 题的三棱锥 A BCD 中，直线 AC 与底面 BCD 所成角的大小为
D．第四象限
8．已知
为锐角，且 sin
3 5
，则 sin( +45）=
A． 7 2 10
B．
72 10
C． 2 10
9．直线 y x 被圆 (x 1)2 y2 1 所截得的弦长为
A． 2 2
B．1
C． 2
10．设数列{an} 的前 n 项和为 Sn ．若 Sn1 2an 1 ， n N* ，则 a3
4．函数 y 3x 的值域为
A． (0, )
B．[1, )
C． (0,1]
D． (0,3]
5．在 ABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ．若 a 3, A 60 , B 45 ，则 b 的长为
A． 2 2
B．1
C． 2
6．若实数
x,
y
满足
x y 1 2x y 0,
绝密★考试结束前
2017 年 4 月浙江省普通高中学业水平考试
数学试题
本试题卷分选择题和非选择题两部分，共 4 页，满分 100 分，考试时间 80 分钟。
考生注意： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试
高考数学一轮总复习 第十章 排列与组合
组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数
(1)从中任取4张，共有________种不同取法；
(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？
• 拓直展接提法高 求把解符排合列条应件用的问排题列的数主直要接方列法式计算
优先法 优先安排特殊元素或特殊位置
故共有 C16C25C33＝60(种)．
(2)有序不均匀分组问题． 由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)题基础上，还应考虑 再分配，共有 C16C25C33A33＝360(种)． (3)无序均匀分组问题． 先分三步，则应是 C26C24C22种方法，但是这里出现了重复．不 妨记六本书为 A，B，C，D，E，F，若第一步取了 AB，第二步 取了 CD，第三步取了 EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则 C26C24C22种分法中还有(AB，EF，CD)，
拓展提高 组合问题常有以下两类题型：
法二 (特殊位置优先法)首尾位置可安排另 6 人中的两人， 拓展提高 均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型．解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还
是不均匀分组，无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数，还要充分考虑到是否与顺序有关；
正难则有反、A等价26种转化排的方法法 ，其他有 A55种排法，共有 A26A55＝3 600(种)．
• 思路点拨 要注意分析特殊元素是“含”、“不含”、“至少”、 “至多”．
[解] (1)共有 C318＝816(种)． (2)共有 C518＝8 568(种)． (3)分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共有 C12C418＋C318＝6 936(种)． (4)(间接法)：由总数中减去五名都是内科医生和五名都是 外科医生的选法种数，得 C520－(C512＋C58)＝14 656(种)．
2020年3月20日浙江省学考选考宁波十校联盟高2020届高2017级高三3月联考数学试题
C．
D．
8．已知随机变量的分布列如下（ 0 a 1 ）： 2
0
1
2
P
b− a
b
a
则
A． E( ) 有最小值 1 2
B． E( ) 有最大值 3 2
C． D( ) 有最小值 0
D． D( ) 有最大值 1
2
9．从 1,3,5,7 中任取 2 个数字，从 0,2,4,6,8 中任取 2 个数字，组成没有重复数字的四位数，这样
的四位数一共有（ ）个
A．576
B．1296
C．1 = 2 ， an+1 = an2 − an + 1, n N + ，则
A．存在 k N + ，使 2k−2 ak 2k−1
B．存在 m, k N + ，有 am = kak
C．存在 m, k N + ，有 am = mak
函数的定义域扩大到复数域，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重
要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知， e2020i = ▲ .
12． (x + 2)(x + 1)4 的展开式中项 x3 的系数为 ▲ .
13．在四边形 ABCD 中， AB =1, BC = 2,CD = 3, AD = 4 ，且 ABC = 120 ，则 AC = ▲ ，
D． 1 + 1 + + 1 1
a1 a2
an
宁波“十校” 数学试题卷 第 2 页 共 4 页
盟 联 校 十 波 宁
非选择题部分（共 110 分）
二、填空题：本大题共 7 小题，单空题每小题 4 分，多空题每小题 6 分，共 36 分．
浙江省名校学考选考高2020届高2017级高三预测冲刺卷数学二及参考答案解析
名校预测冲刺卷(二)数学本试卷满分150分,考试时间120分钟.参考公式：如果事件A ,B 互斥,那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A ,B 相互独立,那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()n P k =(1)(0,1,2,,)k k n kn C p p k n --=…球的表面积公式24S R π=,球的体积公式343V R π=,其中R 表示球的半径 棱柱的体积公式V Sh =,其中S 表示棱柱的底面积,h 表示棱柱的高棱锥的体积公式13V Sh =,其中S 表示棱锥的底面积,h 表示棱锥的高 棱台的体积公式()112213V S S S S h =+,其中1S ,2S 分别表示棱台的上下底面积,h 表示棱台的高选择题部分(共40分)一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合{|13}A x x =≤<,{}2|13B x x =≤<,则()RA B =( ).A.{|31}x x -<≤-B.{|31}x x ≤≤-C.{|13}x x <≤D.{|13}x x ≤≤【参考答案】A 【试题解析】先由{|13}A x x =≤<,求得A R,再利用一元二次不等式的解法化简集合B ,然后利用交集的定义求解.因为{|13}A x x =≤<, 所以{|1RA x x =<或3}x ≥,又{}2|13{|13B x x x x =≤<=≤<或31}x -<≤-, 所以()RA B ={|31}x x -<≤-,故参考答案：A.本题主要考查一元二次不等式的解法、集合的交集、补集运算,还考查了运算求解的能力,属于基础题.2.双曲线22221x y a b-=的右焦点(2,0)到双曲线的渐近线的距离为1,则双曲线的方程是( )A.22143x y -= B.22134x y -= C.2213x y -=D.2213y x -=【参考答案】C 【试题解析】由点到直线的距离公式可得双曲线焦点到渐近线的距离等于b ,由此可求得,b a ,得双曲线方程.双曲线一个焦点为2(,0)F c ,一条渐近线为by x a=,即0bx ay -=,则焦点到渐近线的距离为22bc d b a b -==+,所以1b =,又2c =,则2223a c b =-=,所以双曲线方程为2213x y -=, 故参考答案：C.本题考查双曲线的几何性质、点到直线的距离公式,解题关键是掌握性质：双曲线的焦点到其渐近线的距离等于短半轴长.3.如图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形,且体积为12.则该几何体的俯视图可以是( )A. B. C.D.【参考答案】C【试题解析】试题分析：由已知条件该几何体是一个棱长为1的正方体沿对角面截去一半后的三棱柱,底面为直角边长为1的直角三角形.故选C.考点：空间几何体的三视图、直观图.4.已知复数2i3iz=-,则z的共轭复数z=()A.13i55-- B.13i55-+ C.1355i+ D.13i55-【参考答案】A【试题解析】对复数z进行化简,然后得到z,再求出共轭复数z.因为2i3iz=-,所以()22313955i iz ii+==-+-,所以z的共轭复数1355 z i =--故选A项.本题考查复数的四则运算,共轭复数的概念,属于简单题.5.4位同学与语文老师、数学老师排成一排留影,要求两位老师不能相邻,也不能站两端,则不同的站法种数为( ).A.48B.72C.96D.144【参考答案】D【试题解析】方法一：利用插空法,先排学生,再插空排老师,然后计算即可得解；方法二：先分类讨论教师所站位置的情况,再结合学生排列情况求解即可. 方法一：用插空法.先排学生,再插空排老师,共有4243144A A ⨯=(种)不同的站法.方法二：用分类讨论思想.教师站的位置有“×师×师××”“×师××师×”“××师×师×”三种情况,故共有24243144A A ⨯⨯=(种)不同的站法.故选:D.本题考查计数原理、排列组合以及插空法,考查分类讨论思想以及学生的运算求解能力,属于中档题.6.已知实数,x y 满足不等式组4001x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥-⎩,则23z x y =-的最小值为( )A.2-B.3-C.1D.13【参考答案】A 【试题解析】通过实数,x y 满足约束条件直接画出此二元一次不等式组表示的平面区域；平移目标函数23z x y =-,观察分析即可求出z 的最小值.由不等式组4001x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥-⎩作出平面区域：将目标函数23z x y =-化为：233z y x =-. 要求23z x y =-的最小值,即求直线233zy x =-的截距的最大值.由图可知直线233zy x =-过点(2,2)A 时截距最大,z 值最小.即z 的最小值为：2- 故参考答案：A.本题考查简单的线性规划的应用,考查计算能力与作图能力,以及表达式的几何意义.属于基础题.7.函数()()cos xxf x e ex -=-在[2,2]ππ-上的大致图象为( ).A.B.C.D.【参考答案】D 【试题解析】利用排除法,根据02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π,302f π⎛⎫= ⎪⎝⎭可排除A,B ；根据()10f >可排除C ；进而可得结果. 因为22ππ<,322ππ<,且02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π,302f π⎛⎫= ⎪⎝⎭, 则函数()f x 在(0,2]π内有两个零点,选项A,B 错误；结合012π<<,且()11(1)cos10f e e-=->,可排除C 选项,故参考答案：D.本题主要考查函数图象的识辨,考查逻辑思维和估算能力,考查直观想象核心素养,属于中档题.8.若函数2()2f x x ax b =++在[1,2]上有两个零点,则+a b 的取值范围是( ). A.(0,2) B.(0,2] C.[0,2) D.[0,2]【参考答案】A 【试题解析】 【分析】利用韦达定理用零点12,x x 表示出,a b ,求出+a b ,整理成1x 的一次函数,由1x 的范围得一中间结论,再由2x 的范围得结论.设函数2()2f x x ax b =++在[1,2]上的两个零点为1x ,2x ,即一元二次方程220x ax b ++=的两实根分别为1x ,2x ,不妨设12x x <.由韦达定理得122ax x +=-,122x x a +=-,12b x x =⋅,因此12122x x a b x x ++=+⋅-, 一方面,221122x a b x x ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭可看成关于1x 的一次函数,由2(1,2]x ∈,显然可知上述函数为增函数,又1[1,2)x ∈,所以221122x a b x ⎛⎫+≥-⨯- ⎪⎝⎭211102222x =->-=,即0a b +>； 2221332()12122222x a b x x +<--=-≤⨯-=,综上,02a b <+<, 故参考答案：A.本题考查二次函数的图象和性质、函数的零点问题.由于零点的范围已知,因此可用韦达定理把+a b 用零点12,x x 表示,把其中一个作这主元,根据函数的单调性得出范围.9.正四棱台1111ABCD A B C D -中,侧棱1AA 与底面ABCD 所成角为α,侧面11AA D D 与底面ABCD 所成二面角为β,侧棱1AA 与底面ABCD 的对角线BD 所成角为γ,平面11CC D D 与平面11AA D D 所成二面角为θ,则α,β,γ,θ之间的大小关系是( ). A.αβθγ<<< B.αβγθ<<< C.αγβθ<<<D.βαγθ<<<【参考答案】B 【试题解析】将棱台恢复成为棱锥S ABCD -,作出(或找到)棱锥的侧棱SA 与底面棱所成的角,侧面与底面所成的二面角,棱锥的两侧面所成的二面角,由正棱锥的性质可确定2πγ=,,αβ锐角,用正切的大小比较角的大小,由余弦定理得θ为钝角,从而得出结论.将棱台恢复成为棱锥S ABCD -,过顶点S 作底面的垂线SO ,交底面于O 点,则O 为AC 与BD 的交点,由BD 与,AC SO 垂直得BD 平面SAC 垂直,从而BD SA ⊥,因此2πγ=.SAO α∠=,过点O 作OE AD ⊥,交AD 于点E ,连接SE ,则SEO β∠=,则tan SOOAα=,tan SO OEβ,又OA OE >,故2παβ<<.过点A 作AF SD ⊥交SD 于点F ,连接CF ,则AF CF AD =<,而2AD AC =,AC <=.因此cos θ=2222cos 02AF AC AFC AF -∠=<,所以2πθ>,因此αβγθ<<<, 故参考答案：B.本题考查空间线线角线面角、二面角.解题关键是作出直线与平面所成的角,作出二面角的平面角,求出异面直线所成的角,然后利用正切函数性质,余弦定理确定角的范围和大小. 10.已知数列{}n a ,满足()141n n n a a a +=-,若50a =,则1a 的可能取值的个数为( ). A.7B.8C.9D.10【参考答案】C 【试题解析】记()4(1)f x x x =-,若()[0,1]f x ∈,则[0,1]x ∈,由50a =,得1[0,1]a ∈.又有()()2222sin 4sin 1sin sin 2f θθθθ=-=,故令21sin a θ=,0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦,即可得到25sin 16a θ=,再由50a =,即可得到16k θπ=,k Z ∈,根据θ的取值范围,得到1a 的可能取值；解：记()4(1)f x x x =-,若()[0,1]f x ∈,则[0,1]x ∈.因此由50a =,得1[0,1]a ∈.又有()()2222sin 4sin 1sin sin 2f θθθθ=-=,故令21sin a θ=,0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦, 则22sin 2a θ=,…,25sin 16a θ=,故16k θπ=,k Z ∈,所以由0,162k ππθ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦,k Z ∈,得08k ≤≤,因此1a 的可能取值有9个,故参考答案：C.本题考查三角代换、换元思想的应用,属于中档题.非选择题(共110分)二、填空题：本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分.把答案填在题中的横线上.11.已知幂函数()y f x =的图象过点⎛ ⎝⎭,则此函数的解析式为________；在区间________上单调递减.【参考答案】 (1).()12f x x -= (2).(0,)+∞【试题解析】设()f x x α=,由题意可得()3f =,可求得α的值,再利用幂函数的单调性可求得函数()y f x =的单调递减区间.设()f x x α=,代入⎛ ⎝⎭得()33f α==,解得12α=-,所以此函数的解析式为()12f x x -=.函数()y f x =在定义域内单调递减,故单调递减区间为(0,)+∞. 故答案为：()12f x x-=；(0,)+∞.本题考查幂函数解析式和单调区间的求解,解答的关键就是求出幂函数的解析式,考查计算能力,属于基础题.12.设()662345012345(21)(1)x x x a a x a x a x a x a x--=-+++++,其中012345,,,,,a a a a a a 实数,则0a =__________,012345a a a a a a +++++=_____________.【参考答案】 (1).-1 (2).6 【试题解析】令0x =可求得0a ,列出6(21)x -的展开式可得66(21)x x --的展开式,提出公因式(1)x -再利用赋值法即可得解.令0x =可得0011a a =-⇒=-,因为66061566666(21)(1)C C (1)C (1)x x x x x x x -=+-=+-++-,所以66156666(21)(1)(1)x x C x x C x --=-++-152465666(1)C C (1)C (1)x x x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦,则1524652345666012345C (1)(1)x C x x C x a a x a x a x a x a x +-++-=+++++,令1x =,得10123456C 6a a a a a a ++++==+.故答案为：1-；6本题考查二项式定理、赋值法求指定项的二项式系数,属于中档题.13.在ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知45B ︒=,a =b ,则c =________,ABC 的面积为________.【参考答案】 【试题解析】根据正弦定理得30A ︒=求出180C ︒=()105A B ︒-+=,即可求出c 的值；再根据三角形的面积公式,即可求出结果由正弦定理sin sin a b A B =得sin 1sin 2a B A b ︒===,又a b <,所以A B <,因此30A ︒=,所以180C ︒=()105A B ︒-+=,因此sin sin 2b Cc B ==,于是得ABC 的面积为11)sin 24S ac B +==.故答案为：c =；S =本题考查正弦定理、三角形的面积公式,注意根据三角形中“大边对大角”确定角的取值范围,本题属于基础题.14.甲､乙､丙､丁参加数学学业水平考试,四人能够考到A 等级的概率都是0.8,记随机变量X 为四人中能考到A 等级的人数,则X 的数学期望()E X =________,方差()21D X +=________. 【参考答案】 (1).3.2 (2).2.56 【试题解析】根据二项分布的期望与方差的公式,以及()D X 与()D aX b +的关系求解即可. 由题可知随机变量X服从二项分布,~(4,0.8)X ,则() 3.2E X =,()40.8(10.8)0.64D X =⨯⨯-=,则(21)4 2.56D X DX +==.故答案为：3.2；2.56本题考查离散型随机变量的期望和方差､二项分布.属于基础题. 15.已知单位向量2,e e 的夹角为3π,设122a e e λ=+,则当0λ<时,a λ+的取值范围是__________. 【参考答案】(1,2)- 【试题解析】a λ==,所以?a λλλ+==+不妨令1(1)t t λ+=<,原式1t =-, 当t 1→时2max a λ+→ 当t ∞→-时1min a λ+→- 所以a λ+的取值范围是()1,2-：本题借助向量考查了范围问题,先根据题目条件计算出a 的表达式,然后运用换元法令1t λ+=,1t -,计算其范围可以先判定其单调性,然后借助极限法求得结果16.已知1,,,12a b c ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则2222a b c ab bc+++的取值范围是________.【参考答案】52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【试题解析】由()222222222a b c a b b ab bc c =≥++++++得到22222a b c ab bc++≥+,根据1,,12a b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,得到122b a ≤≤,122a b ≤≤,构造函数1y x x =+,利用其性质得52a b b a +≤,即2252a b ab +≤.同理2252b c bc +≤,代入原式化简即可.因为22222222a b c a b b c ab bc ab bc+++++=≥++222ab bcab bc +=+,当且仅当a b c ==时等号成立. 因为1,,12a b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以111,122a b ≤≤≤≤ 所以 1112,12a b ≤≤≤≤所以 122b a ≤≤,122ab≤≤令1y x x =+,y 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦的图象如图所示：所以522y ≤≤, 所以52a b b a +≤,即2252a b ab +≤.同理2252b c bc +≤,故22255222a b c ab bc ≤+++,所以222252a b c ab bc ++≤+.故答案为：52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦本题考查基本不等式、不等式的性质以及双勾函数的性质,还考查了运算求解的能力,属于中档题.17.若直线35y kx =-交椭圆22:14x E y +=于P ,Q 两点,则线段PQ 的中垂线l 在x 轴上的截距的取值范围是________.【参考答案】99,2020⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【试题解析】设()11,P x y ,()22,Q x y ,线段PQ 的中点为()00,T x y ,然后分0k =和0k ≠两种讨论,当0k ≠时,联立直线与椭圆的方程消元,然后韦达定理可得12224541k x x k +=⋅+,然后算出12y y +、0x 、0y ,然后求出0x 的范围和得到0014ky x =-,然后可得直线l 在x 轴上的截距为034x ,即可求出答案. 设()11,P x y ,()22,Q x y ,线段PQ 的中点为()00,T x y ①当0k =时,易得线段PQ 的中垂线l 在x 轴上的截距为0；②当0k ≠时,由223514y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,得()222464410525k x kx +--=, 所以12224541k x x k +=⋅+, ()()1222122454156665541y y k k k k x x k -⎛⋅+⎫+=+-=-= ⎪⎝⎭+ 于是有0212121154154k x k k k=⋅=⋅++,()205134y k -=+因为(][)14,44,k k +∈-∞-⋃+∞ 所以033,00,55x ⎡⎫⎛⎤∈-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦,因为0212541k x k =⋅+,()205134y k -=+,所以0014ky x =-, 因为直线l 的方程为()001y y x x k-=--, 所以直线l 在x 轴上的截距为000399,00,42020ky x x ⎡⎫⎛⎤+=∈-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦. 综上,线段PQ 的中垂线l 在x 轴上的截距的取值范围是99,2020⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为：99,2020⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 涉及椭圆的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.三、解答题：本大题共5小题,共74分.解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤. 18.已知函数()2sin cos cos 2f x x x x =+,x ∈R . (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期； (Ⅱ)将()f x 的图象向右平移4π个单位得到()g x 的图象,若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,不等式|()|2g x m -≤恒成立,求实数m 的取值范围.【参考答案】(Ⅰ)π；(Ⅱ21m -≤≤. 【试题解析】(Ⅰ)利用三角恒等变换求解；(Ⅱ)利用正弦函数性质求解.解：(Ⅰ)()2sin cos cos 2sin 2cos 2f x x x x x x =+=+24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,22T ππ==,所以函数()f x 的最小正周期为π.(Ⅱ)由题意得,将()f x 的图象向右平移4π个单位得到()g x ,即 ()2sin 244f x x ππ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭2sin 2()44x ππ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦2sin 24x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,可得()2sin 24g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦, 2sin 2,14x π⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦,则()[1,2]g x ∈-,|()|2g x m -≤等价于2()2g x m -≤-≤,则有2()2m g x m -≤≤+, 依题意得21m -≤-且22m +≥,解得221m -≤≤.本题考查三角恒等变换、正弦函数的性质. 19.如图,在三棱台ABC DEF-中,BC CF ⊥,222BC EF BG AG ====,2FC =,2FQ QD =,3ABC π∠=,平面BCFE ⊥平面ABF .(Ⅰ)证明：//QG 平面BCFE ； (Ⅱ)求AD 与平面ABC 所成角的正弦值. 【参考答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ215.【试题解析】(Ⅰ)证法一：在BC 上取点H ,使12BH HC =,连接GH 、FH ,证明出四边形GHFQ 为平行四边形,可得出//QG FH ,再利用线面平行的判定定理可证得//QG 平面BCFE ；证法二：在平面ABC 内过点G 作//GP BC ,连接PQ ,证明出平面//PQG 平面BCFE ,再利用面面平行的性质定理可得出//QG 平面BCFE ；(Ⅱ)连接EC ,推导出EC ⊥平面ABF ,可得出EC AB ⊥,进一步推导出AB ⊥平面CGE ,可得出AB GE ⊥,然后取AB 的中点R ,连接RE ,推导出//AD RE ,过点E 作ET CG ⊥交CG 于点T ,连接RT ,推导出ET ⊥平面ABC ,可得出ERT ∠为直线AD 与平面ABC 所成的角,然后通过解三角形可解出sin ERT ∠的值. (Ⅰ)证法一：在BC 上取点H ,使12BH HC =,连接GH 、FH , 2AG BG =,12BG BH AG HC ∴==,//GH AC ∴且13GH AC =,由棱台的性质可知22113323FQ DF AC AC ==⨯=, 且//AC QF ,//GH QF ∴且GH QF =,∴四边形GHFQ 是平行四边形,//QG FH ∴, 又FH⊂平面BCFE ,QG ⊄平面BCFE ,//GQ ∴平面BCFE ；证法二：在平面ABC 内过点G 作//GP BC ,连接PQ ,13PC AC =,又2133FQ DF AC ==,//PC FQ ∴且PC FQ =,∴四边形QPCF 是平行四边形,//PQ FC ∴.PQ ⊄平面BCFE ,FC ⊂平面BCFE ,//PQ ∴平面BCFE ,又//GP BC ,GP ⊄平面BCFE ,BC ⊂平面BCFE ,//GP ∴平面BCFE ,PQ GP P =,∴平面//PQG 平面BCFE , QG ⊂平面PQG ,//QG ∴平面BCFE ；(Ⅱ)连接EC ,在直角梯形BCFE 中,22FC EF BC FC ==,2EFC BCF π∠=∠=, Rt EFC Rt FCB ∴,FCE CBF ∴∠=∠,又2ECB FCE π∠+∠=,2CBF ECB π∴∠+∠=,EC BF ∴⊥,又平面BCFE ⊥平面ABF ,平面BCFE ⋂平面ABF BF =,EC ⊂平面BCFE ,EC ∴⊥平面ABF ,AB ⊂平面ABF ,EC AB ∴⊥,在BCG 中,1BG =,2BC =,3GBC π∠=,由余弦定理得2222cos33CG BG BC BG BC π=+-⋅=,222BG CG BC ∴+=,AB CG ∴⊥,又CG EC C ⋂=,AB ∴⊥平面CGE ,GE ⊂平面CGE ,AB GE ∴⊥,取AB 的中点R ,连接RE ,12DE AB AR ==且//DE AR ,∴四边形ADER 为平行四边形,则//AD RE , 32AR =,12GR =,()223BE CF BC EF =+-=, 222EG BE BG ∴=-=,2232RE RG GE =+=. 过点E 作ET CG ⊥交CG 于点T ,连接RT ,AB ⊥平面CGE ,ET ⊂平面CGE ,AB ET ∴⊥,ET CG ⊥,且AB CG G ⋂=,ET ∴⊥平面ABC ,ERT ∴∠为AD 与平面ABC ∠所成的角.在EGC 中,3CE CG ==2GE =由余弦定理得2222cos 23CE CG GE CGE CE CG +-∠==⋅,则25sin 1cos CGE CGE ∠=-∠=15sin ET GE CGE ∴=∠=,152215sin 3ET ERT RE ∴∠===, 因此,AD 与平面ABC 所成角的正弦值为159. 本题考查线面平行的证明,同时也考查了线面角的正弦值的计算,考查推理能力与计算能力,属于中等题.20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且对于任意正整数n ,有n ,n a ,n S 成等差数列,且数列{}n b 满足2122222n n b b b n n +++=+…. (Ⅰ)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；(Ⅱ)设n n n c b a =+,求数列{}n c 的前n 项和n T .【参考答案】(Ⅰ)21n n a =-,12n n b n +=⨯；(Ⅱ)1(21)22n n T n n +=-⨯+-.【试题解析】(Ⅰ)利用等差数列的性质并结合1(2)n n n a S S n -=-≥得递推关系,再构造等比数列求解{}n a 的通项,同样的方法求{}n b 的通项；(Ⅱ)结合(Ⅰ)求得n c ,利用分组求和及错位相减法求解即可. 解：(Ⅰ)因为n ,n a ,n S 成等差数列, 则2n n n S a +=,①当1n =时,1112a a +=,解得11a =, 当2n ≥时,1112n n n S a ---+=,② ①-②得121n n a a -=+, 即()1121n n a a -+=+,所以数列{}1n a +是首项为2,公比为2的等比数列,所以11222n nn a -+=⨯=, 故21nn a =-.又由2122222n n b b b n n +++=+…,③ 得当1n =时,14b =, 当2n ≥时,212121(1)(1)222n n b b b n n --+++=-+-…,④ ③-④得12n n b n +=⨯,经验证当1n =时也适合,故所求的数列{}n a ,{}n b 的通项公式分别为21n n a =-,12n n b n +=⨯.(Ⅱ)1221n nn n n c b a n +=+=⨯+-(21)21n n =+⨯-,设23325272(21)2nn A n =⨯+⨯+⨯+++⨯…,23123252(21)2(21)2n n n A n n +=⨯+⨯++-⨯++⨯…,两式相减可得()23162222(21)2n n n A n +-=++++-+⨯… 212(21)22n n n ++=-+⨯-,则1(21)22n n A n +=-⨯+,1(21)22n n T n n +=-⨯+-.本题考查等差数列、等比数列、考查了错位相减法求数列的前n 项和,属于中档题. 21.如图,斜率为k 的直线交抛物线24x y =于,A B 两点,已知点B 的横坐标比点A 的横坐标大4,直线1y kx =-+交线段AB 于点R ,交抛物线于点,P Q .(1)若点A 的横坐标等于0,求||PQ 的值； (2)求||||PR QR ⋅的最大值.【参考答案】(1)8;(2)625144. 【试题解析】(1)先根据点,A B 的坐标得k 的值,然后将直线PQ 的方程与抛物线方程联立,构建关于x 的二次方程,最后利用弦长公式求解；(2)先设出直线AB 的方程,与抛物线方程联立,构建关于x 的二次方程,再根据点,A B 的横坐标满足的条件可求得,k b 满足的关系式将直线,AB PQ 的方程联立,可求得点R 的横坐标,将直线PQ 的方程与抛物线方程联立,构建关于x 的二次方程,结合根与系数的关系、弦长公式、二次函数的最值即可求解. 解：(1)(0,0),(4,4)A B ∴, 1k ∴=.联立得2214404y x x x x y=-+⎧⇒+-=⎨=⎩,设()()1122,,,P x y Q x y ,则1212124,4,||8x x x x PQ x =-+=-=-=.(2)设AB 的方程为(0)y kx b k =+≠,代入24x y =,得2440x kx b --=,216160k b ∆=+>,4,4A B A B x x b x x k =-+=,24,1B A x x k b -==∴=-.由1122R y kx b b kx y kx k =+⎧-⇒==⎨=-+⎩, 联立得2214404y kx x kx x y =-+⎧⇒+-=⎨=⎩, 12124,4x x k x x ∴+=-=-, 则()()()212||||1RR PR QR k x x xx ⋅=-+--()()2212121R Rk x x x x x x ⎡⎤=-+-++⎣⎦()2221424k k k ⎛⎫=-+-++ ⎪⎝⎭2297625418144k ⎛⎫=--+⎪⎝⎭.所以,当6k =±时,||||PR QR ⋅取得最大值625144. 本题主要考查直线与抛物线的位置关系,考查考生的数形结合能力以及运算求解能力,考查的核心素养是数学运算.计算量较大是本题的难点也是本题的易错点. 22.已知0a >,函数()()326933f x x x a x a =-++-,[]1,3x ∈.(Ⅰ)求函数()f x 在2x =处的切线；(Ⅱ)若函数()y f x =在3x =处有最大值,求实数a 的取值范围. 【参考答案】(Ⅰ)(33)38y a x a =--+(Ⅱ)3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【试题解析】(I)根据导数的几何意义求切线斜率,从而写出切线的方程；(Ⅱ)利用“先必要,后充分”的方法缩小参数范围,减少分类讨论的情形,并通过导数研究函数的单调性,从而判断并求解函数在给定区间内的最值.解：(Ⅰ)因为2()31293f x x x a '=-++,则(2)33f a '=-,又有(2)32f a =+,故函数()f x 在2x =处的切线为(33)38y a x a =--+.(Ⅱ)由32()6(93)3f x x x a x a =-++-知函数()y f x =的图象过定点(1,4),且22()312933(2)1f x x x a x a '⎡⎤=-++=-+-⎣⎦,又因为函数()y f x =在3x =处有最大值,则(1)(3)f f ,即23a. 当1a 时,()0f x '在[1,3]上恒成立,()f x 在[1,3]上单调递增,所以()y f x =在3x =处有最大值,符合题意； 当213a <时,(1)(3)30f f a ''==>,令()0f x '=,则12(1,2)x =,22(2,3)x =,从而知()f x 在()11,x 上单调递增,()12,x x 上单调递减,()2,3x 上单调递增,故函数()y f x =在[1,3]上的最大值为()1f x 或(3)f .又因为()123(22f x a a =++-所以23(226a a a ++-,即2(13(1)1a a --,令110,3a t ⎛⎤-=∈ ⎥⎝⎦,则()23g t t =+在10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增,且114g ⎛⎫=⎪⎝⎭,可得114a t -=,则314<a . 综上,实数a 的取值范围为3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭本题考查导数的运算及其几何意义、利用导数研究函数的性质,属于中档题.。
(浙江专用)高考数学一轮复习 专题十 计数原理 10.1 计数原理与排列、组合试题(含解析)-人教版
专题十计数原理【考情探究】课标解读考情分析备考指导主题内容一、计数原理、排列、组合1.分类加法计数原理,分步乘法计数原理(1)理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.(2)会用两个原理分析和解决一些简单的实际问题.2.排列与组合(1)理解排列、组合的概念.(2)能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.(3)能解决简单的实际问题.从近几年高考命题情况来看,这一部分主要考查分类加法、分步乘法计数原理以及排列、组合的简单应用.题型以选择题、填空题为主,在解答题中一般将排列、组合知识综合起来,有时也与求事件概率,分布列问题相结合考查.1.求特定项系数问题可以分两步完成:第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件,即n,r均为非负整数,且n≥r);第二步是根据所求的指数求解所求的项.2.有理项是字母指数为整数的项.解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,令其为整数,再根据数的整除性来求解.1.用排列、组合知识解决计数问题时,如果遇到的情况较为复杂,即分类较多,标准也较多,同时所求计数的结果不太容易计算时,往往利用表格法、树状图法将其所有的可能一一列举出来,这样会更容易得出结果.2.求解二项展开式的特定项时,即求展开式中的某一项,如第n项,常数项、有理项、字母指数为某些特殊值的项,先准确写出通项T r+1=r a n-r b r,再把系数与字母分离出来(注意符号),最后根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征,列出关系式求解即可.二、二项式定理1.能用计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.【真题探秘】§10.1计数原理与排列、组合基础篇固本夯基【基础集训】考点计数原理、排列、组合1.甲、乙、丙、丁、戊、己6名同学站成一排照毕业相,要求甲不站在两侧,而且乙和丙相邻、丁和戊相邻,则不同的站法种数为( )A.60B.96C.48D.72答案 C2.在我国第一艘航空母舰“某某舰”的某次舰载机起降飞行训练中,有5架“歼-15”飞机甲、乙、丙、丁、戊准备着舰,规定乙机不能最先着舰,且丙机必须在甲机之前着舰(不一定相邻),那么不同的着舰方法种数为( )A.24B.36C.48D.96答案 C3.中国国家队在2018俄罗斯世界杯亚洲区预选赛12强小组赛中以1比0力克韩国国家队,赛后有六名队员打算排成一排照相,其中队长主动要求排在排头或排尾,甲、乙两人必须相邻,则满足要求的排法有( )A.34种B.48种C.96种D.144种答案 C4.某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队,平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊,其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士,则不同的分配方案有( )A.72种B.36种C.24种D.18种答案 B5.将5个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子至少放一个球,则不同放法共有( )A.480种B.360种C.240种D.120种答案 C6.高考结束后6名同学游览某市包括日月湖在内的6个景区,每名同学任选一个景区游览,则有且只有两名同学选择日月湖景区的方案有( )A.A62×A54种B.A62×54种C.C62×A54种D.C62×54种答案 D7.如图所示,用五种不同的颜色分别给A、B、C、D四个区域涂色,相邻区域必须涂不同颜色,若允许同一种颜色多次使用,则不同的涂色方法共有种.答案1808.有3女2男共5名志愿者要全部分到3个社区去参加志愿服务,每个社区1到2人,甲、乙两名女志愿者需到同一社区,男志愿者到不同社区,则不同的分法种数为.答案12综合篇知能转换【综合集训】考法一排列、组合问题的解题方法1.(2019某某万州二模,6)某中学某班主任要从7名同学(其中3男4女)中选出两名同学,其中一名担任班长,另一名担任学习委员,且这两名同学中既有男生又有女生,则不同的安排方法有( )A.42种B.14种C.12种D.24种答案 D2.(2018某某某某调研性检测,9)用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3 000的四位数,这样的四位数有( )A.250个B.249个C.48个D.24个答案 C3.(2018豫北名校联考,9)2018年元旦假期,高三的8名同学准备拼车去旅游,其中(1)班、(2)班、(3)班、(4)班每班各两名,分乘甲乙两辆汽车,每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置),其中(1)班两位同学是孪生姐妹,需乘同一辆车,则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有( )A.18种B.24种C.48种D.36种答案 B4.(2019某某嘉峪关一中模拟)在高三某班进行的演讲比赛中,共有5位选手参加,其中3位女生,2位男生,如果2位男生不能连续出场,且女生甲不能排第一个,那么出场顺序的排法种数为.答案605.(2020届某某某某执信中学10月月考,14)有6X卡片分别写有数字1,1,1,2,2,2,从中任取4X,可排出的四位数有个.答案14考法二分组分配问题的解题方法6.(2018某某某某二模,8)某某西湖公园花展期间,安排6位志愿者到4个展区提供服务,要求甲、乙两个展区各安排一个人,剩下两个展区各安排两个人,不同的安排方案共有( )A.90种B.180种C.270种D.360种答案 B7.(2019某某某某第一次统测,11)将甲、乙、丙、丁、戊共5人分配到A、B、C、D共4所学校,每所学校至少一人,且甲不去A学校,则不同的分配方法有( )A.72种B.108种C.180种D.360种答案 C8.(2018某某某某一模,5)某学校为了更好地培养尖子生,使其全面发展,决定由3名教师对5个尖子生进行“包教”,要求每名教师的“包教”学生不超过2人,则不同的“包教”方案有( )A.60种B.90种C.150种D.120种答案 B9.(2020届某某某某一中10月月考,7)小明和小红都计划在国庆节的7天假期中,到某某“两日游”,若他们不同一天出现在某某,则他们出游的不同方案共有( )A.16种B.18种C.20种D.24种答案 C【五年高考】考点计数原理、排列、组合1.(2017课标Ⅱ,6,5分)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有( )A.12种B.18种C.24种D.36种答案 D2.(2016课标Ⅱ,5,5分)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A.24B.18C.12D.9答案 B3.(2015某某,6,5分)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有( )A.144个B.120个C.96个D.72个答案 B4.(2016课标Ⅲ,12,5分)定义“规X01数列”{a n}如下:{a n}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,…,a k中0的个数不少于1的个数,若m=4,则不同的“规X01数列”共有( )A.18个B.16个C.14个D.12个答案 C5.(2018课标Ⅰ,15,5分)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有种.(用数字填写答案)答案166.(2017某某,14,5分)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有个.(用数字作答)答案 1 0807.(2017某某,16,4分)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有种不同的选法.(用数字作答)答案6608.(2015某某,12,5分)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了条毕业留言.(用数字作答)答案 1 560教师专用题组考点计数原理、排列、组合1.(2014大纲全国,5,5分)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组.则不同的选法共有( )A.60种B.70种C.75种D.150种答案 C2.(2014某某,9,5分)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是( )A.72B.120C.144D.168答案 B3.(2014某某,8,5分)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60°的共有( )A.24对B.30对C.48对D.60对答案 C4.(2014某某,8,5分)设集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|x i∈{-1,0,1},i=1,2,3,4,5},那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为( )A.60B.90C.120D.130答案 D5.(2014某某,6,5分)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为( )A.144B.120C.72D.24答案 D6.(2014某某,6,5分)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有( )A.192种B.216种C.240种D.288种答案 B7.(2014某某,14,4分)在8X奖券中有一、二、三等奖各1X,其余5X无奖.将这8X奖券分配给4个人,每人2X,不同的获奖情况有种(用数字作答).答案608.(2014,13,5分)把5件不同产品摆成一排.若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有种.答案369.(2018某某,23,10分)设n∈N*,对1,2,…,n的一个排列i1i2…i n,如果当s<t时,有i s>i t,则称(i s,i t)是排列i1i2…i n的一个逆序,排列i1i2…i n的所有逆序的总个数称为其逆序数,例如:对1,2,3的一个排列231,只有两个逆序(2,1),(3,1),则排列231的逆序数为2.记f n(k)为1,2,…,n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数.(1)求f3(2), f4(2)的值;(2)求f n(2)(n≥5)的表达式(用n表示).解析本题主要考查计数原理、排列等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力.(1)记τ(abc)为排列abc的逆序数,对1,2,3的所有排列,有τ(123)=0,τ(132)=1,τ(213)=1,τ(231)=2,τ(312)=2,τ(321)=3,所以f3(0)=1,f3(1)=f3(2)=2.对1,2,3,4的排列,利用已有的1,2,3的排列,将数字4添加进去,4在新排列中的位置只能是最后三个位置.因此f4(2)=f3(2)+f3(1)+f3(0)=5.(2)对一般的n(n≥4)的情形,逆序数为0的排列只有一个:12…n,所以f n(0)=1.逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列,所以f n(1)=n-1.为计算f n+1(2),当1,2,…,n的排列及其逆序数确定后,将n+1添加进原排列,n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置.因此, f n+1(2)=f n(2)+f n(1)+f n(0)=f n(2)+n.当n≥5时,f n(2)=[f n(2)-f n-1(2)]+[f n-1(2)-f n-2(2)]+…+[f5(2)-f4(2)]+f4(2)=(n-1)+(n-2)+…+4+f4(2)=n2-n-22.因此,当n≥5时, f n(2)=n 2-n-22.疑难突破要做好本题,关键是理解“逆序”“逆序数”“f n(k)”的含义,不妨从比较小的1,2,3入手去理解这几个概念,这样就能得到f3(2). f4(2)是指1,2,3,4这4个数中逆序数为2的全部排列的个数,可以通过与f3(2), f3(1),f3(0)联系得到,4分别添加在f3(2)的排列中最后一个位置、f3(1)的排列中的倒数第2个位置、f3(0)的排列中的倒数第3个位置.有了上述的理解就能得到f n+1(2)与f n(2),f n(1), f n(0)的关系:f n+1(2)=f n(2)+f n(1)+f n(0)=f n(2)+n,从而得到f n(2)(n≥5)的表达式.【三年模拟】一、单项选择题(每题5分,共50分)1.(2020届九师联盟9月质量检测,8)从1,3,5,7,9中任取两个数,从0,2,4,6,8中任取2个数,则组成没有重复数字的四位数的个数为( )A.2 100B.2 200C.2 160D.2 400答案 C2.(2020届某某某某一中第一次月考,8)中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种,现有十二生肖的吉祥物各一个,甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物,甲同学喜欢牛和马,乙同学喜欢牛、兔、狗和羊,丙同学哪个吉祥物都喜欢,如果让三位同学选取礼物都满意,那么不同的选法有( )A.50种B.60种C.70种D.90种答案 C3.(2020届某某某某七中第二次月考,4)7个人排成一排准备照一X合影,其中甲、乙要求相邻,丙、丁要求分开,则不同的排法有( )A.480种B.720种C.960种D.1 200种答案 C4.(2020届某某洪湖二中月考,9)“学习强国”学习平台是由中宣部主管,以深入学习宣传新时代中国特色社会主义思想为主要内容,立足全党员、面向全社会的优质平台,现日益成为老百姓了解国家动态、紧跟时代脉搏的热门APP.该款软件主要设有“阅读文章”“视听学习”两个学习版块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题版块.某人在学习过程中,“阅读文章”与“视听学习”两个学习版块之间最多间隔一个答题版块的学习方法有( )A.192种B.240种C.432种D.528种答案 C5.(2018全国百所名校冲刺卷(四),8)航天员进行的一项太空实验中,要先后实施6个程序,其中程序A只能出现在第一或最后一步,程序B和C在实施时必须相邻,则实验顺序的编排方法共有( )A.34种B.48种C.96种D.144种答案 C6.(2019某某金卷先享题二,8)在高三下学期初,某校开展教师对学生的家庭学习问卷调查活动,已知现有3名教师对4名学生家庭进行问卷调查,若这3名教师每位至少到一名学生家中问卷调查,又这4名学生的家庭都能且只能得到一名教师的问卷调查,那么不同的问卷调查方案的种数为( )A.36B.72C.24D.48答案 A7.(2019某某某某一模)如图所示的几何体由三棱锥P-ABC与三棱柱ABC-A1B1C1组合而成,现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面A1B1C1不涂色),要求相邻的面均不同色,则不同的涂色方案共有( )A.6种B.9种C.12种D.36种答案 C8.(2018某某哈六中二模,9)从5名学生中选出4名分别参加数学,物理,化学,生物四科竞赛,其中甲不能参加生物竞赛,则不同的参赛方案种数为( )A.48B.72C.90D.96答案 D9.(2019某某某某模拟,8)已知三棱锥的6条棱代表6种不同的化工产品,有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的,没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的.现用编号为1,2,3的三个仓库存放这6种化工产品,每个仓库放2种,那么安全存放的不同方法种数为( )A.12B.24C.36D.48答案 D二、多项选择题(共5分)10.(改编题)下列说法正确的是( )A.5个不同的球,放入8个不同的盒子中,每个盒子里至多放一个球,不同的放法有A85种B.5个不同的球,放入8个不同的盒子中,每个盒子放球数量不限,不同的放法有85种C.5个相同的球,放入8个不同的盒子中,每个盒子里至多放一个球,则不同的放法有C85种D.8个相同的小球,放入5个不同的盒子中,每盒不空的放法有C84种答案ABC三、填空题(每题5分,共15分)11.(2020届某某夏季高考模拟,13)某元宵灯谜竞猜节目,有6名守擂选手和6名复活选手,从复活选手中挑选1名选手为攻擂者,从守擂选手中挑选1名选手为守擂者,则攻擂者、守擂者的不同构成方式共有种.答案3612.(2020届某某寿光现代中学10月月考,14)某工厂将甲、乙等五名新招聘员工分配到三个不同的车间.每个车间至少分配一名员工,甲、乙两名员工必须分到同一个车间,则不同分法的种数为.答案3613.(2019某某某某中学第一次摸底考试,15)由数字0,1组成的一串数字代码,其中恰好有7个1,3个0,则这样的不同数字代码共有个.答案12014.(2020届某某东阳中学10月月考,14)安排甲、乙、丙、丁、戊5名大学生去某某、某某、某某三个城市进行暑期社会实践,每个城市至少安排一人,则不同的安排方式共有种;其中学生甲被单独安排去某某的概率是.答案150;775。
2020年3月浙江省学考选考高2020届高2017级高三宁波十校联考数学试题参考答案
k =1 2k − 1
k =2
Wn
1 3
+
2m −1 1 + 3
n 成立。……13 分
②当
n
=
2m
− 1 时，Wn
= W2m−1
W2m
1 3
+
n 成立。
综上①②得：Wn
n + 1 .……15 分 3
21．解：
（1）证明：设
B(2 pt0 , 2 pt02 ),C(2 pt1, 2 pt12 ) ，则直线 BC 的方程为 y = (t0 + t1)x − 2 pt0t1 ……2 分
即 a 1.……7 分
②又 g(x) = ex (x2 + 2x + a) − 2(x + 1)(ex + 1) = (x2 + a − 2)ex − 2(x + 1) ，……9 分
(x2 + 2x + a)2
(x2 + 2x + a)2
则 g(x) = 0 等价于 a − 2 = 2(x + 1)e−x − x2 = 2 f (x) ， 由(Ⅰ)知， y = 2 f (x) 在 (−,0) 上递增，在 (0, +) 上递减, 故函数 g(x) 存在极小值，必有 a − 2 2 f (0) = 2 ，即1 a 4 .……11 分
（1） a4 = 4, a3 = S2 a1 = 1, d = 1,an = n ……2 分 Tn + bn = 1 ，Tn-1 + bn−1 = 1 ……4 分
得 b1
=
1 2
， bn
=
1 2
bn−1
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2020版高考数学(浙江专用)一轮总复习检测：11.1 排列、组合 Word版含解析
专题十一计数原理【真题典例】11.1排列、组合挖命题【考情探究】分析解读 1.排列与组合是高考常考内容,常以选择题、填空题的形式出现,有时还与概率相结合进行考查.2.常结合实际背景,以应用题形式出现,且背景灵活多变,常见的有排队问题,涂色问题等,也有跨章节、跨学科及以生活实际为出发点的问题.3.考查排列与组合的综合应用能力,涉及分类讨论思想.4.预计2020年高考试题中,排列、组合与概率一起考查的可能性很大.破考点【考点集训】考点排列、组合1.(2018浙江萧山九中12月月考,15)现有6本不同的数学资料书,分给甲、乙、丙三位同学,每人至少要有1本,至多2本,可以剩余,则不同的分法种数为.(用数字作答)答案 1 2902.(2018浙江绍兴高三3月适应性模拟,15)某单位安排5个人在六天中值班,每天1人,每人至少值班1天,共有种不同的值班方案.(用数字作答)答案 1 8003.(2018浙江稽阳联谊学校高三联考(4月),16)现将7个不同的小球放入编号分别为1、2、3的三个盒子里,要求每个盒子内的小球数不能小于其编号数,则符合要求的放法有种.(用数字作答)答案455炼技法【方法集训】方法排列组合综合问题的解题方法1.(2018浙江浙东北联盟期中,9)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏,现有4个红包,每人最多抢一个,且红包被全部抢完,4个红包中有2个6元的,1个8元的,1个10元的(红包中金额相同视为相同红包),则甲、乙都抢到红包的情况有()A.18种B.24种C.36种D.48种答案C2.(2018浙江杭州第一学期教学质检,16)有红,黄,蓝三种颜色的小球(除颜色外均相同)各4个,都分别标有字母A,B,C,D.任意取出4个,字母各不相同且三种颜色齐全的取法有种(用数字作答).答案363.(2018浙江金华十校第一学期期末调研,15)现有两本相同的语文书和两本相同的数学书,分发给三名学生,每名学生至少分得一本,则所有不同的分法有种(用数字作答).答案12过专题【五年高考】A组自主命题·浙江卷题组考点排列、组合1.(2018浙江,16,4分)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成个没有重复数字的四位数.(用数字作答)答案 1 2602.(2017浙江,16,4分)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有种不同的选法.(用数字作答)答案6603.(2014浙江,14,4分)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有种(用数字作答).答案60B组统一命题、省(区、市)卷题组考点排列、组合1.(2017课标全国Ⅱ理,6,5分)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有()A.12种B.18种C.24种D.36种答案D2.(2016课标全国Ⅱ,5,5分)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A.24B.18C.12D.9答案B3.(2016课标全国Ⅲ,12,5分)定义“规范01数列”{a n}如下:{a n}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,…,a k中0的个数不少于1的个数,若m=4,则不同的“规范01数列”共有()A.18个B.16个C.14个D.12个答案C4.(2015四川,6,5分)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有()A.144个B.120个C.96个D.72个答案B5.(2018课标Ⅰ,15,5分)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有种.(用数字填写答案)答案166.(2017天津理,14,5分)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有个.(用数字作答)答案 1 080C组教师专用题组考点排列、组合1.(2016四川,4,5分)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为()A.24B.48C.60D.72答案D2.(2014广东,8,5分)设集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|x i∈{-1,0,1},i=1,2,3,4,5},那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为()A.60B.90C.120D.130答案D3.(2014福建,10,5分)用a代表红球,b代表蓝球,c代表黑球.由加法原理及乘法原理,从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展开式1+a+b+ab表示出来,如:“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是()A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5)D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5)答案A4.(2014安徽,8,5分)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60°的共有()A.24对B.30对C.48对D.60对答案C5.(2014辽宁,6,5分)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为()A.144B.120C.72D.24答案D6.(2014大纲全国,5,5分)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组.则不同的选法共有()A.60种B.70种C.75种D.150种答案C7.(2014重庆,9,5分)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是()A.72B.120C.144D.168答案B8.(2014四川,6,5分)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有()A.192种B.216种C.240种D.288种答案B9.(2013福建,5,5分)满足a,b∈{-1,0,1,2},且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为()A.14B.13C.12D.10答案B10.(2013四川,8,5分)从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为a,b,共可得到lg a-lg b 的不同值的个数是()A.9B.10C.18D.20答案C11.(2013山东,10,5分)用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为()A.243B.252C.261D.279答案B12.(2012课标,2,5分)将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有()A.12种B.10种C.9种D.8种答案A13.(2015广东,12,5分)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了条毕业留言.(用数字作答)答案 1 56014.(2014北京,13,5分)把5件不同产品摆成一排.若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有种.答案3615.(2013浙江,14,4分)将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有种(用数字作答).答案48016.(2013重庆,13,5分)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是(用数字作答).答案59017.(2013北京,12,5分)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张.如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是.答案96【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共12分)1.(2019届浙江“超级全能生”9月联考,5)在1,2,3,4,5,6这六个数字所组成的允许有重复数字的三位数中,各个数位上的数字之和为9的三位数共有()A.16个B.18个C.24个D.25个答案D2.(2018浙江宁波模拟(5月),7)若用红、黄、蓝、绿四种颜色填涂如图所示的方格,要求有公共顶点的两个方格颜色不同,则不同的涂色方案有()A.48种B.72种C.96种D.216种答案C3.(2018浙江台州第一学期期末质检,6)有3位男生,3位女生和1位老师站在一起照相,要求老师必须站中间,与老师相邻的不能同时为男生或女生,则这样的排法种数是()A.144B.216C.288D.432答案D二、填空题(单空题4分,多空题6分,共32分)4.(2019届衢州、湖州、丽水三地教学质量检测,15)将9个相同的球放到3个不同的盒子中,每个盒子至少放一个球,且每个盒子中球的个数互不相同,则不同的分配方法共有种.答案185.(2019届浙江名校协作体高三联考,16)用黑白两种颜色随机地染如下6个格子,每个格子染一种颜色,并且从左到右数,不管数到哪个格子,总有黑色格子不少于白色格子的染色方法种数为.答案206.(2019届浙江“七彩阳光”联盟期初联考,16)甲、乙、丙3人同时参加5个不同的游戏活动,每个游戏最多有2人同时参与(如果有2人参与同一个游戏,不区分2人在其中的角色),则甲、乙、丙3人参与游戏的不同方法总数是.答案1207.(2019届浙江名校新高考研究联盟第一次联考,15)一条笔直的公路的一侧有9根电线杆,现要移除2根,且被移除的电线杆之间至少还有2根电线杆被保留,则不同的移除方法有种.答案218.(2018浙江宁波高三上学期期末,16)现有红、黄、蓝、绿四个骰子,每个骰子的六个面上的数字分别为1,2,3,4,5,6.若同时掷这四个骰子,则四个骰子朝上的数字之积等于24的情况有种(请用数字作答).答案529.(2018浙江杭州第二次高考教学质量检测(4月),15)盒子里有6个完全相同的球,每次至少取出1个球(取出不放回),取完为止,则共有种不同的取法(用数字作答).答案3210.(2018浙江新高考调研卷一(诸暨中学),16)现有男、女乒乓球选手各9人,将这些选手配成男双、女双、混双各3对,每位选手均不能兼报两项或两项以上的项目,则配对方式的总数为(用数字作答).答案9 525 60011.(2018浙江重点中学12月联考,16)甲,乙,丙,丁四名同学做传递手帕游戏(每位同学传递到另一位同学手中,记传递1次),手帕从甲手中开始传递,经过5次传递后手帕回到甲手中,则不同的传递方法的种数为.(用数字作答)答案60。
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浙江省学考选考高2020届高2017级高考数学一轮复习经典题目专题汇编排列组合二项式定理一、排列组合1、(金丽衢十二校2019届高三第一次联考)在从100到999的所有三位数中,百位、十位、个位数字依次构成等差数列的有＿＿＿ 个;构成等比数列的有 个.2、(浙江省名校协作体2019届高三上学期第一次联考)用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中6个格子,每个格子染一种颜色,并且从左到右数,不管数到哪个格子,总有黑色格子不少于白色格子的染色方法种数为_________.3、(七彩阳光联盟2019届高三上学期期初联考)甲、乙、丙3人同时参加5个不同的游戏活动,每个游戏最多有2人可以参与(如果有2人参与同一个游戏,不区分2人在其中的角色),则甲、乙、丙3人参与游戏的不同方式总数是 . 4、(舟山中学2019届高三5月高考模拟)在新华中学进行的演讲比赛中,共有5位选手参加,其中3位女生,2位男生.如果这2位男生不能连续出场,且女生甲不能排在第一个,那么出场顺序的排法种数为 (用数字作答). 5、(温州九校2019届高三第一次联考)4名学生参加3个兴趣小组活动,每人参加一个或两个小组,那么3个兴趣小组都恰有2人参加的不同的分组共有_________种.6、(嘉兴市2019届高三上学期期末检测)浙江省现行的高考招生制度规定除语、数、英之外,考生须从政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术这 7 门高中学考科目中选择 3 门作为高考选考科目,成绩计入高考总分. 已知报考某高校 A 、 B 两个专业各需要一门科目满足要求即可, A 专业:物理、化学、技术; B 专业:历史、地理、技术. 考生小李今年打算报考该高校这两个专业的选考方式有 ▲ 种.(用数字作答)7、(浙南名校联盟(温州九校)2019届高三上学期期末联考)甲、乙二人均从5种不同的食品中任选一种或两种吃,则他们一共吃到了3种不同食品的情况有A .84种B .100种C .120种D .150种 8、(绍兴市2019届高三3月适应性考试)有甲乙丙三项任务,甲乙各需一人承担,丙需2人承担且至少一个是男生,现从3男3女共6名学生中选出4人承担这三项任务,不同的选法种数是 ▲ .(用数字作答)9、(杭州市2019届高三4月教学质量检测(二模))已知集合{}1,3,5A =,{}0,2,4B =,分别从A ,B 中各取2个不同的数,能组成不同的能被3整除的四位偶数的个数是 (用数字作答).10、(绍兴市上虞区2019届高三第二次(5月)教学质量调测)某市举办全运会开幕式.现从A 、B 、C 、D 、E 5个节目中任选3个节目进行开幕式表演,若3个节目中有A 和B 时,A 需排在B 的前面出场(不一定相邻),则不同的出场方法有 种.11、(台州市2019届高三4月调研)已知六人排成一排拍照,其中甲、乙、丙三人两两不相邻,甲、丁两人必须相邻,则满足要求的排队方法数为A.72B.96C.120D.28812、(温州市2019届高三2月高考适应性测试)已知某超市为顾客提供四种结账方式:现金、支付宝、微信、银联卡、若顾客甲只带了现金,顾客乙只用支付宝或微信付款,顾客丙、丁用哪种方式结账都可以,这四名顾客购物后,恰好用了其中的三种结账方式,那么他们结账方式的可能情况有▲ 种.13、(浙江省名校协作体2019届高三2月联考)某校高一(16) 班有5位同学报名参加数学、物理、化学三科兴趣小组, 若每位同学只能参加一科兴趣小组,且每科兴趣小组都有人参加, 则共有▲ 种不同的报名方法(用数字作答).14、(七彩阳光联盟2019届高三下学期第三次联考)安排4名男生、3名女生去参加甲、乙两个不同的社团活动,每个社团至少3人,且社团甲的男生数不少于社团乙的男生数,则这样的排法有种.15、(浙江省重点中学2019届高三12月期末热身联考)如图,有7个白色正方形方块排成一列,现将其中4块涂上黑色,规定从左往右数,无论数到第几块,黑色方块总不少于白色方块的涂法有＿＿种。
16、(杭州第四中学2019届高三第二次月考)用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中6个格子,每个格子染一种颜色,并且从左到右数,不管数到哪个格子,总有黑色格子不少于白色格子的染色方法种数为_________.17、(湖州市2018届高三5月适应性考试)将不同颜色的2个小球放入5个不同的盒子中,每个盒子最多可以放一个小球,则三个空盒中恰有两个空盒相邻的方法共有▲种.(用数字回答)18、(暨阳联谊学校2018届高三4月联考)现将7个不同的小球放入编号分别为1,2,3的三个盒子里,要求每个盒子内的小球数不能小于其编号数,则符合要求的放法有________种.(用数字作答)19、(嘉兴市2018届高三上学期期末)某市的5所学校组织联合活动,每所学校各派出2名学生.在这10名学生中任选4名学生做游戏,记“恰有两名学生来自同一所学校”为事件A,则=)(AP▲ .20、(金华十校2018届高三上学期期末)现有两本相同的语文书和两本相同的数学书,分发给三个学生,每个学生至少分得一本,则所有不同的分法有_______种(用数字作答).排列组合参考答案:1、45,172、203、120.提示:第一类,每一个游戏只有1人参与,有3560A=种参与方法;第二类,有一个游戏有2人参与,另一个游戏有1人参与,有123560C A⋅=种参与方法,所以符合题意的参与方法共有120种.4、605、906、277、C8、1449、3210、5111、A12、2013、15014、5315、1416、20 17、12 18、455 19、7420、12二、二项式定理1、(金丽衢十二校2019届高三第一次联考)己知的展开式中存在常数项,则n 的最小值为＿＿＿ 此时常数项为＿＿＿＿.2、(浙江省名校协作体2019届高三上学期第一次联考)已知nx )21(+展开式第三项的二项式系数为15,则=n ________,含2x 的项的系数是_________.3、(七彩阳光联盟2019届高三上学期期初联考)210(1)x x -+展开式中所有项的系数和为 ,其中3x 项的系数为 .4、(舟山中学2019届高三5月高考模拟)二项式6312x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为 ;系数最大的项为 .5、(温州九校2019届高三第一次联考)已知5522105)1()1()1()1(x a x a x a a x -+-+-+=+ ,则3a =_________6、(嘉兴市2019届高三上学期期末检测)已知 (2－x 2 )(1+ a x)3 的展开式的所有项系数之和为 27,则实数 a ＝ ▲ ,展开式中含 x 2的项的系数是 ▲ .7、(丽水、衢州、湖州三地市2019届高三上学期期末)在二项式(2x ﹣1x)6的展开式中,所有项的二项式系数之和是 ,含x 2项的系数是 .8、(宁波市2019届高三上学期期末考试)设,则A.B.C.D.9、(台州市2019届高三上学期期末质量评估)在341(2)x x x-+的展开式中常数项为 A.28B.28-C.56-D.5610、(浙南名校联盟(温州九校)2019届高三上学期期末联考)实数(0,1,2,3,4,5)i a i =满足:对任意x ∈R ,都有52345012345(1)x a a x a x a x a x a x +=+++++,则0a =______,035124123456a a a a a a +++++=______. 11、(绍兴市2019届高三3月适应性考试)已知多项式5543243210(2)(1)x x a x a x a x a x a +=++++++,则0a = ▲ ,1a = ▲ .12、(杭州市2019届高三4月教学质量检测(二模))二项式612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项为( )A.20B.-20C.160D.-16013、(稽阳联谊学校2019届高三4月联考)若7270127(1)x a a x a x a x +=++++L ,则1a = ,17a a ++=L .14、(绍兴市上虞区2019届高三第二次(5月)教学质量调测)6)1)(2(x x a -+关于x 的展开式中,常数项为2,则=a ;2x 的系数是 .15、(台州市2019届高三4月调研)已知5250125(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x -=+++++++,则2a =A.20B.20-C.80D.80-16、(温州市2019届高三2月高考适应性测试) 若,则二项式定理参考答案: 1、5, 2 2、6, 60 3、1,210-.提示:令1x =即得各项系数和.若要凑成3x 有以下几种可能:(1):1个2x ,1个()x -,8个1,所得项为:()1218831098190C x C x C x ⋅-⋅=-;(2):3个()x -,7个1,所得项为:()337731071120C x C x -⋅=-,所以3x项的系数为210-. 4、--160;103240x 5、－406、2, 237、64, 608、C 9、A 10、1;21211、31, 75 12、D13、7, 127 14、2, 60 15、D 16、0,－6。