水资源系统分析作业

1．用EXCEL 规划求解或Matlab 优化工具求解下列随机线性规划问题（10分） 目标函数：max E (z)=E (C 1).x 1+ E (C 2).x 2 约束条件: P(5 x 1+4x 2≤b 1)≥0.975

P(2 x 1+3x 2≤b 2)≥0.985

式中, C 1、C 2、b 1、b 2均为正态分布的随机变量

C 1，N （9，32）；C 2，N （8，22）；b 1，N （30，82）；b 2，N （20，72） （要求附规划求解的屏幕拷贝图，或Matlab 程序求解的屏幕拷贝图） 解：(1) 目标函数：21221189)()()(m ax x x x C E x C E z E +=+=

约束条件：

在上述模型中，对于机会约束，查正态分布表得到与025.0975.01=-和015.0985.01=-对应的960.1-=z 和170.2-=z ，于是

320.14)960.1(*830)025.0(1

=-+=b 810.4)170.2(*720)

015.0(2

=-+=b 原约束转化为确定性约束：

810

.432320.14452121≤+≤+x x x x

(2) 在MATLAB 中求解，问题如下： Obj: 2189)(m ax x x z E += Sb.to:

810

.432320.14452121≤+≤+x x x x

即目标函数的最大值为25.2514，在x 1=3.3886，x 2=-0.6557时取得。

2. 某水源地可供水量为Q,可以分配给3个用户，分配水量x j 给用户j 时所产生的效益可近似表示为E j =a j x j 2+b j x j +c j ，j=1,2,3。如何分配水量才能使总效益最大？列出数学模型，并用Lagrange 乘子法求解。如果Q=19.25，a 1=-0.5，a 2=-0.4，a 3=-0.5，b 1=7.65，b 2=6.40，b 3=6.85，c 1=1710，c 2=1650，c 3=1580，求出具体的水量分配方案（15分）

解：(1) 以分配水量获得的总效益最大为目标函数，根据题意建立如下数学模型： 目标函数：

∑=++=3

1

2max j j j j j j c x b x a Z

4940

*85.6*5.0*40.6*4.0*65.7*5.01580*85.6*5.01650*40.6*4.01710*65.7*5.032

322

212

1323222121++-+-+-=++-++-++-=x x x x x x x x x x x x

约束条件：

,,25.19321321≥=≤++x x x Q x x x

(2) 构造拉格朗日函数：

4940*85.6*5.0*40.6*4.0*65.7*5.0),(32

322

212

1++-+-+-=x x x x x x X L λ

)25.19(*2321θλ+-+++x x x

其驻点满足条件：

040.68.0065.72211

=++-=∂∂=++-=∂∂λλx x L

x x L

0**2025.19085.6232133

==∂∂=+-++=∂∂=++-=∂∂θλθ

θλλL

x x x L

x x L

(3) 解得：

考虑到θλ,至少有一个为0，则存在以下三种情况。 ① 0==θλ

解得：85.6,8,65.7321===x x x ，不符合约束条件，因而舍去。

② 0,0≠=θλ

此时，约束条件不起作用，解得：85.6,8,65.7321===x x x ，也不符合条件，因而也舍去。 ③ 0,0=≠θλ

解得：85.5,75.6,65.6,1321===-=x x x λ。

3．一个灌区耕地面积AREA =1500hm 2，可用灌溉水量W 为600万m 3。在安排种植计划时，考虑三种粮食作物A ，B ，C ，其灌溉定额分别为4000m 3/hm 2、4500 m 3/hm 2，6000 m 3/hm 2，净收入分别为4500元/hm 2、5000元/hm 2、6000元/hm 2。问如果希望在保证灌区净收入达到480万元的基础上尽可能多的节约灌溉水量，应如何安排三种作物的种植面积？建立多目标规划模型，并用线性目标规划求解（15分）（要求附MATLAB 程序或其他程序求解过程的屏幕拷贝图） 解：(1) 依据原问题建立多目标规划模型如下： 以作物A 、B 、C 的种植面积为决策变量。 目标函数：

)

6.045.04.0(600max 6.05.045.0max 32123

211x x x Z x x x Z ++-=++=

约束条件：

,,6006.045.04.01500

321321321≥≤++≤++x x x x x x x x x (2) 以作物A 、B 、C 的种植面积为决策变量，以-+11,d d 表示灌区净收入

3216.05.045.0x x x ++与480万元之间的正、负偏差，以-+22,d d 表示灌溉水

量3216.045.04.0x x x ++与600万m 3之间的正、负偏差。第一个目标要求净收入达到480万元，即要求-1d 尽可能小；第二个目标要求节约灌溉水量最多，即要求-2d 尽可能大。原多目标规划模型改为线性目标规划模型为：

目标函数： )()(min 2

211---+d P d P 目标约束： 600

6.045.04.04806.05.045.02

2

32111321=-+

++=-++++-+-d d x x x d d x x x

绝对约束：

600

6.045.04.01500

23211321=+++=+++y x x x y x x x

非负约束： 0,,,,,,,,221121321≥+

-+-d d d d y y x x x 利用MATLAB 求解上述模型，可得： (3) 求解过程：

第一步：求解如下模型： -1min d

4806.05.045.011321=-++++-d d x x x 6006.045.04.01500

23211321=+++=+++y x x x y x x x

运行结果如下：