平行数据模型：扩展模型
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• 不包含外生解释变量情况下的动态模型的IV估计 • 包含外生解释变量情况下的动态模型的IV估计 • 随机影响动态模型的一般表述 • 随机影响动态模型的IV估计
动态平行数据模型
• 动态模型，即指包含滞后被解释变量作为解释变 量的模型。
• 当采用平行数据作为样本观测值时，变截距模型 写为：
2 i X i X i i I T
复合随机项的协方差矩 阵的第i个对角分块
2 1 1 Wi [ i ( X i X i ) ] [ i2 ( X i X i ) 1 ]1 i 1
n
1
1 ˆ i ( X i X i ) X i yi
各种文献中提出各种V矩阵的方 法，形成了各种FGLS估计
ˆ
1 1 1 (X V X ) X V y GLS ＝
2.随机影响模型
令 i i ，假定
E i 0 Exit j 0
原模型写成：
E i j 0 i2 I T Eui u j 0
说明GLS估计是每一个横截面个体 上最小二乘估计的矩阵加权平均。 权与它们的协方差成比例。
GLS 估计的协方差矩阵为：
1 ˆ Var ( GLS ) X i i X i i 1
n
1
2 1 1 [ i ( X i X i ) ] i 1
平行数据计量经济学模型:扩展模型
一、变系数模型 二、动态模型 三、关于平行数据模型的总结
一、变系数模型
要点
• 变系数模型的表达式
• 固定影响模型——随机干扰项在不同横截面个体 之间不相关——OLS估计
• 固定影响模型——随机干扰项在不同横截面个体 之间相关——GLS估计
• 随机影响模型的复合误差项 • 随机影响模型的GLS估计
x1i1 x1i 2 Xi x 1iT 源自文库 i1 u ui i 2 u iT
x 2 i1 x 2i 2 x 2 iT
x Ki1 x Ki 2 x KiT T K
一种FGLS
n n n n 1 1 1 1 2 1 ˆ n ˆ )( ˆ n ˆ ) ˆ ˆ ( ( X X ) i j i j i i i n 1 i 1 n j 1 j 1 i 1
二、动态模型
要点
• 动态模型的“动态”的含义及表达
n
1
1
ˆ ( X X ) X y 和它们的残差 Swamy 建议使用最小二乘估计 i i i i i ˆ 得到 2 和 的无偏估计： ˆ i yi X i u i i ˆ i2 ˆiu ˆi u 1 yi[ I X i ( X i X i ) 1 X i ] yi T K T K
1.固定影响模型
• 将βi视为固定的不同的常数时，可写成：
y X u
将截距项也看作一个虚变量
y1 X1 0 0 1 u1 y 0 X2 0 u2 2 y 2 X u y u n nT 1 0 0 X n nT nK n nK 1 n nT 1
• 显然，如果随机干扰项在不同横截面个体之间不 相关，上述模型的参数估计极为简单，即以每个 截面个体的时间序列数据为样本，采用经典单方 程模型的估计方法分别估计其参数。即使采用 GLS估计同时得到的GLS估计量，也是与在每个 横截面个体上的经典单方程估计一样。
• 条件：
Eui uj 0
Eui ui I
• 提出了变系数平行数据模型问题。
模型表达
系数随横截面上个体而改变的模型为：
y it X it i u it , i 1, , n; t 1, , T
其中 X it 和 i 是解释变量和参数向量。也可写成
yi X i i u i
其中
y i1 y i2 yi y iT T 1 i1 i i2 iK
实际经济分析中的变系数问题
• 线性模型中，系数表示边际倾向（对于直接线性 模型）或者弹性（对于对数线性模型），而它们 相对于不同的截面个体经常是不同的。例如：
– 不同地区收入的边际消费倾向不同。 – 不同地区FDI的边际效益不同。 – 不同家庭的边际储蓄倾向不同。
• 而它们在各自的时间序列中一般是相同的。
i j i j i j i j
后两项组成 复合随机项 问题变成具有复杂 随机项结构的不变 系数模型
~ y X X u
• β的最佳线性无偏估计是GLS估计：
ˆ GLS 1 X i i X i i 1
n 1
n n 1 ˆ W X y i i i i i i 1 i 1
2 i
i j
• 如果随机项在不同横截面个体之间的协方差不为 零，GLS估计比每个横截面个体上的经典单方程 估计更有效。 • 为什么？
ij Eui uj
11 12 1n 22 2n V 21 n1 n 2 nn nT nT
动态平行数据模型
• 动态模型，即指包含滞后被解释变量作为解释变 量的模型。
• 当采用平行数据作为样本观测值时，变截距模型 写为：
2 i X i X i i I T
复合随机项的协方差矩 阵的第i个对角分块
2 1 1 Wi [ i ( X i X i ) ] [ i2 ( X i X i ) 1 ]1 i 1
n
1
1 ˆ i ( X i X i ) X i yi
各种文献中提出各种V矩阵的方 法，形成了各种FGLS估计
ˆ
1 1 1 (X V X ) X V y GLS ＝
2.随机影响模型
令 i i ，假定
E i 0 Exit j 0
原模型写成：
E i j 0 i2 I T Eui u j 0
说明GLS估计是每一个横截面个体 上最小二乘估计的矩阵加权平均。 权与它们的协方差成比例。
GLS 估计的协方差矩阵为：
1 ˆ Var ( GLS ) X i i X i i 1
n
1
2 1 1 [ i ( X i X i ) ] i 1
平行数据计量经济学模型:扩展模型
一、变系数模型 二、动态模型 三、关于平行数据模型的总结
一、变系数模型
要点
• 变系数模型的表达式
• 固定影响模型——随机干扰项在不同横截面个体 之间不相关——OLS估计
• 固定影响模型——随机干扰项在不同横截面个体 之间相关——GLS估计
• 随机影响模型的复合误差项 • 随机影响模型的GLS估计
x1i1 x1i 2 Xi x 1iT 源自文库 i1 u ui i 2 u iT
x 2 i1 x 2i 2 x 2 iT
x Ki1 x Ki 2 x KiT T K
一种FGLS
n n n n 1 1 1 1 2 1 ˆ n ˆ )( ˆ n ˆ ) ˆ ˆ ( ( X X ) i j i j i i i n 1 i 1 n j 1 j 1 i 1
二、动态模型
要点
• 动态模型的“动态”的含义及表达
n
1
1
ˆ ( X X ) X y 和它们的残差 Swamy 建议使用最小二乘估计 i i i i i ˆ 得到 2 和 的无偏估计： ˆ i yi X i u i i ˆ i2 ˆiu ˆi u 1 yi[ I X i ( X i X i ) 1 X i ] yi T K T K
1.固定影响模型
• 将βi视为固定的不同的常数时，可写成：
y X u
将截距项也看作一个虚变量
y1 X1 0 0 1 u1 y 0 X2 0 u2 2 y 2 X u y u n nT 1 0 0 X n nT nK n nK 1 n nT 1
• 显然，如果随机干扰项在不同横截面个体之间不 相关，上述模型的参数估计极为简单，即以每个 截面个体的时间序列数据为样本，采用经典单方 程模型的估计方法分别估计其参数。即使采用 GLS估计同时得到的GLS估计量，也是与在每个 横截面个体上的经典单方程估计一样。
• 条件：
Eui uj 0
Eui ui I
• 提出了变系数平行数据模型问题。
模型表达
系数随横截面上个体而改变的模型为：
y it X it i u it , i 1, , n; t 1, , T
其中 X it 和 i 是解释变量和参数向量。也可写成
yi X i i u i
其中
y i1 y i2 yi y iT T 1 i1 i i2 iK
实际经济分析中的变系数问题
• 线性模型中，系数表示边际倾向（对于直接线性 模型）或者弹性（对于对数线性模型），而它们 相对于不同的截面个体经常是不同的。例如：
– 不同地区收入的边际消费倾向不同。 – 不同地区FDI的边际效益不同。 – 不同家庭的边际储蓄倾向不同。
• 而它们在各自的时间序列中一般是相同的。
i j i j i j i j
后两项组成 复合随机项 问题变成具有复杂 随机项结构的不变 系数模型
~ y X X u
• β的最佳线性无偏估计是GLS估计：
ˆ GLS 1 X i i X i i 1
n 1
n n 1 ˆ W X y i i i i i i 1 i 1
2 i
i j
• 如果随机项在不同横截面个体之间的协方差不为 零，GLS估计比每个横截面个体上的经典单方程 估计更有效。 • 为什么？
ij Eui uj
11 12 1n 22 2n V 21 n1 n 2 nn nT nT