湖南大学弹塑性力学第三章
塑性力学复习纲要
复习纲要第一章绪论1．弹性与弹性变形物体受到不大的外力作用后产生的变形，在外力除去后可以全部恢复，物体仍保持原有的形状和尺寸。
这种性质称为材料的弹性，这种可以全部恢复的变形叫弹性变形。
这时称物体处于弹性状态。
2．塑性与塑性变形当外力超过一定限度后，在物体某些部分内，任意点上的应变将不随应力的消失而恢复。
这种变形不可恢复的性质称为塑性，不随应力消失而恢复的那部分变形称为塑性变形。
3．弹性区与塑性区在加载过程中，物体的一部分产生塑性变形时，称该部分已进入塑性状态，同时将该部分称为物体的塑性区，未进入塑性状态的区域则为弹性区。
4．塑性变形的特点（1）塑性应变和应力之间不再有一一对应的关系。
塑性变形不仅与当前的应力状态有关，还与加载的历史有关。
（2）应力与应变（或应变率）之间呈非线性关系。
5．塑性力学研究的主要内容（1）建立在塑性状态下应力与应变（或应变率）之间的关系。
（2）研究物体受外力作用进入塑性状态后产生的应力和变形，包括研究在加载过程中的每一时刻，物体内各点的应力和变形。
以及确定弹性区与塑性区的界限。
（3）有时根据需要还可以绕过加载过程中应力与变形的变化而直接去求物体达到极限状态（塑性变形无限制发展，物体已达到它对外力的最大承载能力）时的荷载，即极限荷载。
这种研究方法通常称为极限分析。
6．塑性力学的基本假设1、材料的塑性行为与时间、温度无关（在我们所研究的范围内，通常不考虑时间因素对变形的影响（如弹性后效、蠕变等），而且只限于考虑在常温下和缓慢变形的情形，所以也忽略温度和应变速度对材料性质的影响。
）2、材料具有无限的韧性3、材料是均匀的、连续的，并在初始屈服前为各向同性，且拉伸和压缩的应力-应变曲线一致；4、任何状态下的总应变可以分解为弹性和塑性两部分，且材料的弹性性质不因塑性变形而改变；5、对应于塑性变形部分的体积变化为零，静水压力不产生塑性变形。
7．简单拉伸与压缩试验 （1）拉伸试验由拉伸应力—应变曲线可知：图1.1 图1.2①拉伸开始阶段σ和ε成正比，变形全是弹性的。
弹塑性力学-03
16
这样， 这样，对于纯变形来说
δ S i = u i , j S j ⇒ δS i = ε i , j S j
现在说明应变张量 ε i, j 的物理意义。 的物理意义。 平行X轴 如S平行 轴，则 S x = S , S y = 0 平行
∂u ∂u Sx + Sy ∂x ∂y ⇒ ε = ∂u = ε = δ S x = δ S 11 x ∂x Sx S ∂v ∂v δS y = Sx + Sy ∂x ∂y
假定位移u,v为 的单值连续函数 的单值连续函数， 假定位移 为x,y的单值连续函数，按泰勒级数展开
∂u ∂u 2 2 u = u0 + Sx + S y + o( S x , S y ) ∂x ∂y ∂v ∂v 2 2 v = v 0 + S x + S y + o( S x , S y ) ∂x ∂y
o
u
P
∂u u+ dx ∂x A
x
∂v dx ∂x
v
y
v+ ∂v dy ∂y
B
P′
α
β
B′
v+
A′
u+
∂u dy ∂y
3
图2－5
同理可求得： 二、P点的切应变
εy
∂v = ∂y
o
u
P
∂u u+ dx ∂x A
x
∂v dx ∂x
v
y
P′ B
线段PA的转角：
α
β
B′
v+
A′
∂v (v + dx) − v ∂v ∂x α= = dx ∂x
弹塑性力学PPT
研究对象:
P
与其他学科的关系：
课程 理论力学 材料力学 结构力学 弹性力学 塑性力学 研究对象 刚体 弹性杆件 （一维） 弹性杆系 （二维） 弹性体（三维） 塑性体 解决的问题 力的静力平衡、运动 学、动力学 杆的拉、压、弯、 剪、扭 杆系的内力位移 应力、应变、位移 塑性加工 工程力学 固体力学 力学范畴 一般力学
哑标号:
三、求和约定:
当一个下标符号在一项中出现两次时，这个下标符号应理解为 取其变程N中所有的值然后求和，这就叫做求和约定。
ai xi a1 x1 a2 x2 a3 x3
ii 11 22 33 (i : 哑标，i 1, 2,3） S Ni ij l j i1l1 i 2l2 i 3l3
2 2 2
uy
2
主要参考书目
1 、杨伯源 《工程弹塑性力学》 2 、杨桂通 《弹塑性力学》 3 、徐秉业 《应用弹塑性力学》
二阶以上的张 量已不可能在 三维空间有明 显直观的几何 意义。
二、下标记号法:
为了书写上的方便，在张量的记法中，都采用下标字母符号 来表示和区别该张量的所有分量。这种表示张量的方法，就 称为下标记号法。
( x, y, z) ( x1, x2 , x3 ) xi (i 1, 2,3)
一、张量的概念
只需指明其大小即足以被说明的物理量，称为标量 温度、质量、力所做的功 除指明其大小还应指出其方向的物理量，称为矢量 物体的速度、加速度 在讨论力学问题时，仅引进标量和矢量的概念是不够的 如应力状态、应变状态、惯性矩、弹性模量等
张量
具有多重方向性的物理量，称为张量
关于三维空间，描述一切物理恒量的 分量数目可统一地表示成： M=rn=3n 标量:n=0,零阶张量 矢量:n=1,一阶张量 应力,应变等:n=2,二阶张量
弹塑性力学部分讲义（ＰＤＦ）
弹塑性力学引言一、固体力学在工程中的作用工程中的各种机械都是用固体材料制造而成的、各种结构物也都是用固体材料建造的。
为了使机械结构正常使用、实现其设计的功能，首先要保证它们在工作载荷与环境作用下不发生材料的破坏或影响使用的过大的变形，即保证它们具有足够的强度、刚度和稳定性。
在设计阶段，要根据要求实现的功能，对于设计的机械结构的形式按强度要求确定其各部分的形状和尺寸，以及所需选择的材料。
要完成这样的任务，首先要解决如下基本问题：在给定形状尺寸与材料的机械结构在设计规定载荷与环境（如温度）作用下所产生的变形与应力。
对于柔性结构，如细长梁、薄板、薄壳，以及它们的组合结构，还要分析其是否会丧失稳定性。
这些都是固体力学的基本问题。
如果机械结构所受载荷或环境的作用是随时间变化的，那么，它们的振动特性也对其性能有重要的影响。
在设计时往往要对其进行模态分析，求出影响最大的各个低阶固有频率与相应的振型，以确保不会与主要的激振载荷产生共振，导致过大的交变应力与变形，影响强度和舒适性。
有些情况下还要考虑它们在瞬态或冲击载荷作用下的瞬态响应。
这些也是固体力学的基本问题。
此外、许多机械零件和结构元件在制造工程中，采用各种成型工艺，材料要产生很大的塑性变形。
如何保证加工质量，提高形状准确性、减少残余应力、避免产生裂纹、皱曲等缺陷？如何设计加工用的各种模具，加工的压力，以及整个工艺流程，这里也都有固体力学问题。
正因为工程中提出了各种各样的固体力学问题，有时还有流体力学问题，在19世纪产生了弹性力学和流体力学，才导致力学逐渐从物理学中独立出来。
工程技术发展的要求是工程力学，包括固体力学、流体力学等发展的最重要的推动力。
而工程力学的发展则大大推动了许多工程技术的飞速发展。
因此，力学是许多工程部门设计研究人员的基本素质之一。
二、力学发展概况力学曾经是物理学的一个部分，最初也是物理学中最重要的组成部分。
力学知识最早起源于人们对自然现象的观察和在生产劳动中积累的经验。
弹塑性力学课件第三章
zx C61x C62 y C63z C64 xy C65 yz C66 zx
C ij
ijkl kl
Cijkl Cijlk
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4
第三章 本构关系
一、线性弹性体的本构方程——具有一个弹性对称面的线
性弹性体
x
y
C11
C12 C22
C13 C23
C14 C24
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第三章 本构关系
一、线性弹性体的本构方程——各向同性弹性体
x
1 E
x
( y
z ) ,
xy
1 G
xy
y
1 E
y
( x
z ) ,
yz
1 G
yz
z
1 E
z
( x
y ) ,
zx
1 G
zx
ij 1Eij Ekkij
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第三章 本构关系 一、线性弹性体的本构方程——各向同性弹性体
0 x
0
y
z xy
C33 0 0
对
C44 0
0 z
0
xy
yz
zx
称
C55
0 C66
yz zx
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6
第三章 本构关系 一、线性弹性体的本构方程——正交各向异性弹性体
x y z xy
1 Ex
xy
1 Ey
对
xz
yz
弹塑性力学课件第三章
第三章 本构关系
本章学习要点：
掌握各项同性材料的广义Hooke定律 掌握弹性应变能密度函数的概念及计算 理解初始屈服、后继屈服以及加卸载的概 念 掌握几个常用的屈服条件 理解弹塑性材料的增量和全量本构关系的 基本概念
弹塑性力学第三章
2013-12-10
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§3-5 变形协调条件（相容条件）
对于多连域附加补 充条件办法为： 假想通过适当截断， 使域为单连域.
a
u
-
u+
b
在截断面 ab 两侧 u+i = u -i即为补充条件。
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30
作业：
1. 给定位移分量 u1= cx1(x2+x3)2, u2=cx2(x1+x3)2,u3=cx3(x1+x2)2 此处c为一个很小的常数，求应变张量ij 和转 动张量 ij 。 2. 将直角坐标系绕x3轴转动角，求新坐标系 应变分量的转换关系。
21= (u2 ,1 +u1 ,2 )/ 2
+
x1
x2
21=(u2 ,1 -u1 ,2 ) /2
(+)/2
12= (u1 ,2 -u2 ,1 ) /2
x1
11=u1 ,1
12=(u1 ,2 +u2 ,1 ) /2
11，12= 21，22 纯变形
12= -21 纯转动
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12=2k x1 x2 x3, 23= 13=0
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作业：
(2) 11=k(x12+x22) , 22=kx22 , 33=0,
12=2kx1x2, 23= 13=0
(3) 11=ax1x22 , 22=ax12x2 , 33= ax1x2,
12=0, 23= ax32+bx2, 13=ax12+bx22
或 用张量表示：
0
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§3-5 变形协调条件（相容条件）
弹塑性力学课件
5．Ramberg-Osgood模型
其加载规律可写为： （ 9）
如取 就有
说明：这对应于割线余率为0.7E的应力和应变，上式 中有三个参数可用来刻画实际材料的拉伸特性，而在 数学表达式上也较为简单。
6. 等向强化模型及随动强化模型
M
M1 C
等向强化模型
S
A
—— 是刻画塑性变形历史的参数
假定材料是不可压缩的：A0l0=Al，并认为名义应力 达到最高点C时出现颈缩：
[1] 由
则在颈缩时真应力应满足条件
结论：拉伸失稳分界点的斜率正好和该点的纵坐标值相等。
[2] 注意到
颈缩时的条件也可写为：
即
结论： 拉伸失稳点C的斜率为其纵坐标值除以 (1 )
[3] 以截面积收缩比q为自变量
其中
——为变形后第2杆与第1杆（和第3杆）之间的夹角 可见（33）式中有三个未知量 在不卸载的情况下，由本构方程：
得到 P 与 a 之间的非线性关系
结论： 随着 的增长， 的值将会由于强化效应和 角的减小而提高， 但也会随着杆件截面积的收缩而下降。故当 很大时，结构将可能 变成不稳定的。
§1.8 弹性极限曲线
卸载时的载荷-位移曲线（见图9） 与初始弹性加载时的曲线有相同 的斜率。
应力和应变:
最终的应力和应变值可由（21）、（25）和（22）、（26）下式的叠加求得：
残余应力和残余应变:
特别地，当载荷P值全部卸除后，由△P=-P*，便得到杆 中的残余应力和残余应变（见图10）为：
其中
节点O的残余位移为：
不产生新的塑性变形的限制条件：
其中
值满足
（37）式对应于图12中虚线所构成 的六边形区域。 说明： 可见在加载方向一侧屈服载荷有所提高而与加载方向相反 的一侧屈服载荷有所降低。可用来对应变硬化和包氏效应 等现象做一个比较形象的解释。
弹塑性力学第三章
b
y
b
x
图 3-1b
§ 3-1
多项式解答
♦ 同理，应力函数
cy 2
c 0
O
能解决矩形板在 x 方向受 均布拉力（设 c> 0 ）或均 布压力 （设 c < 0 ） 的问 题，图3-1c 。
2
2 2Φ 12kxy Φ x 2 3 y 2 0 y h x 2Φ 6ky 2 3k 3 xy xy h 2h
O l y
h x
(2)边界条件：
上下边界
y y h 2
0
2
xy y h 2
h 6k 3k 2 0 3 h 2h
y
图 3-1 a
§ 3-1
多项式解答
可见，应力函数 ax 能
2
2a
O
解决矩形板在y方向受均布 拉力（设a > 0）或均布压 力（设a < 0）的问题。
2a
y 图 3-1a
x
§ 3-1
多项式解答
(2) bxy
b 0
b b
O
x 0, y 0, xy yx b
12 M x 3 y, y 0, xy yx 0 代入式（a），得： h
M x y, y 0, xy yx 0 I 结果与材料力学中完全相同。 对于长度l 远大于深度h 的梁，上面答案 是有实用价值的；对于长度l与深度h 同等大 小的所谓深梁，这个解答是不准确的。
弹塑性力学第3章
设一点应力：
四面体在所有力的作用下保持力的平衡
px = x l x yx l y + zx lz
py = xy l x y l y + zy lz pz = xz l x yz l y + z lz pi ij l j
x0 y0 z 0
px A= x l x A yx l y A+ zx lz A
sx x m
s1 1 m
sy y m
s2 2 m
sz z m
s3 3 m
偏应力的主轴方向与应力张量的主轴方向一致
J1 sx s y sz 0
2 2 J 2 s x s y s y sz sz s x s xy s2 s yz zx
对应的三个主应力的方向称之为主轴. 求解一点的主应力及主应力方向的基本公式
已知一点的应力为：
x xy xz ij yx y yz zx zy z
3.2.1 一点的应力状态
x xy xz ij yx y yz zy z zx
l x x l x xy l y xz l z l y yx l x y l y yz l z l z zx l x zy l y z l z
分别将 1 , 2 , 3 代入：
1 l x x l x xy l y 13 l z 1 l y yx l x y l y yz l z 1 l z zx l x zy l y z l z
弹塑性力学作业(含答案)(1)
第二章 应力理论和应变理论2—3．试求图示单元体斜截面上的σ30°和τ30°（应力单位为MPa ）并说明使用材料力学求斜截面应力为公式应用于弹性力学的应力计算时，其符号及正负值应作何修正。
解：在右图示单元体上建立xoy 坐标，则知 σx = -10 σy = -4 τxy = -2 （以上应力符号均按材力的规定）代入材力有关公式得：3030cos 2sin 2221041041cos 602sin 607322226.768 6.77()104sin 2cos 2sin 602cos 6022132 3.598 3.60()2x yx yxy x yxy MPa MPa σσσσσατασστατα+-=+----+=++=--⨯+=----+=⋅+=⋅-=--⨯=--代入弹性力学的有关公式得： 己知 σx = -10 σy = -4 τxy = +23030()cos 2sin 2221041041cos 602sin 607322226.768 6.77()104sin 2cos 2sin 602cos 6022132 3.598 3.60()22x yx yxy x yxy MPa MPa σσσσσατασστατα+-=++---+=++=--⨯+=----+=-⋅+=-⋅+=⨯+⨯=由以上计算知，材力与弹力在计算某一斜截面上的应力时，所使用的公式是不同的，所得结果剪应力的正负值不同，但都反映了同一客观实事。
2—6. 悬挂的等直杆在自重W 作用下（如图所示）。
材料比重为γ弹性模量为 E ，横截面面积为A 。
试求离固定端z 处一点C 的应变εz 与杆的总伸长量Δl 。
解：据题意选点如图所示坐标系xoz ，在距下端（原点）为z 处的c 点取一截面考虑下半段杆的平衡得：c 截面的内力：N z =γ·A ·z ；c 截面上的应力：z z N A zz A Aγσγ⋅⋅===⋅； 所以离下端为z 处的任意一点c 的线应变εz 为：题图1-3zz zE Eσγε==；则距下端（原点）为z 的一段杆件在自重作用下，其伸长量为：()22z z z z z z z z y zz l d l d d zd EEEγγγε=⎰⋅∆=⎰⋅=⎰=⎰=；显然该杆件的总的伸长量为（也即下端面的位移）：()2222ll A l lW ll d l EEAEAγγ⋅⋅⋅⋅⋅=⎰∆=== ；（W=γAl ）2—9.己知物体内一点的应力张量为：σij =50030080030003008003001100-⎡⎤⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦应力单位为kg ／cm 2 。
弹塑性力学习题集(有图)
~弹塑性力学习题集[殷绥域李同林编!)~中国地质大学·力学教研室二○○三年九月》目录弹塑性力学习题 (1)第二章应力理论.应变理论 (1)；第三章弹性变形.塑性变形.本构方程 (6)第四章弹塑性力学基础理论的建立及基本解法 (8)第五章平面问题的直角坐标解答 (9)第六章平面问题的极坐标解答 (11)第七章柱体的扭转 (13)]第八章弹性力学问题一般解.空间轴对称问题 (14)第九章* 加载曲面.材料稳定性假设.塑性势能理论 (15)第十章弹性力学变分法及近似解法 (16)第十一章* 塑性力学极限分析定理与塑性分析 (18)第十二章* 平面应变问题的滑移线场理论解 (19)`附录一张量概念及其基本运算.下标记号法.求和约定 (21)习题参考答案及解题提示 (22)>前言弹塑性力学是一门理论性较强的技术基础课程，它与许多工程技术问题都有着十分密切地联系。
应用这门课程的知识，能较真实地反映出物体受载时其内部的应力和应变的分布规律，能为工程结构和构件的设计提供可靠的理论依据，因而受到工程类各专业的重视。
·《弹塑性力学习题集》是专为《弹塑性力学》（中国地质大学李同林、殷绥域编，研究生教学用书。
）教材的教学使用而编写的配套教材。
本习题集紧扣教材内容，选编了170余道习题。
作者期望通过不同类型习题的训练能有助于读者理解和掌握弹塑性力学的基本概念、基础理论和基本技能，并培养和提高其分析问题和解决问题的能力。
鉴于弹塑性力学课程理论性强、内容抽象、解题困难等特点，本书对所编习题均给出了参考答案，并对难度较大的习题给出了解题提示或解答。
本习题集的编写基本取材于殷绥域老师编写的弹塑性力学习题集，由李同林老师重新修编，进一步充实而成。
书中大部分内容都经过了多届教学使用。
为保证教学基本内容的学习，习题中带“*”号的题目可酌情选做。
由于编者水平所限，错误和不妥之处仍在所难免，敬请读者指正。
<编者2003年9月@弹塑性力学习题"第二章 应力理论·应变理论2—1 试用材料力学公式计算：直径为1cm 的圆杆，在轴向拉力P = 10KN 的作用下杆横截面上的正应力σ及与横截面夹角︒=30α的斜截面上的总应力αP 、正应力ασ和剪应力ατ，并按弹塑性力学应力符号规则说明其不同点。
弹性与塑性力学基础-第三章平衡微分方程及应变协调方程
0 � zdydxd x K � ydxd xz � �
x z � � � xd zd xy � �
程方分微衡平的下系标坐角直维三 4-3§
� � � � y� x� � xy � x x � � � � � xd zd � y d � � z d y d � z d y d x d � � x �� xy � � � � � � �0=XF�程方衡平的矩力出列 �
� yx � � � �
程方分微衡平的下系标坐角直维二 2-3§
态状力应面平 1.2.3
程方调协变应及程方分微衡平 章三第
础 基 学 力 性塑与性弹
�程 方 分 微 的 似 相 个 一 得 可 � 0 � y F � 程 方 衡 平 由 � 样 同
0 � xK �
y�
xy
��
�
x
x�
��
� � yd x � � 0 � 1 � ydxd x K � 1 � xd xy � � 1 � xd � xy � � �
础 基 学 力 性塑与性弹
心中的积体的它在用作�布分匀均是为认以可力应的受所上面各 � 数 函 的 y 和 x标 坐 置 位 是 量 分 力 应 �
图力受板薄 析分力受元微
.度长位单个一为取寸尺的向方z�yd和xd为别分寸尺向方y和x � 体面六行平正的小微个一出取板薄的力受 � 态状力应面平 1.2.3
��
)式 形 化 简 中 题 问 面 平 程 方 叶 维 纳 或 ( 程 方 分 微 衡 平 的 中 题 问 面 平 � 式系关的间之量分力体与量分力应题问面平 � 态状力应面平 1.2.3
程方分微衡平的下系标坐角直维二 2-3§
弹性与塑性力学第2-3章习题答案
弹性与塑性力学第2-3章习题答案(总26页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第二章（曾海斌）物体上某点的应力张量σij 为σij =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1003100031001000000（应力单位） 求出：（a ）面积单位上应力矢量的大小，该面元上的法线矢量为n =（1/2，1/2，1/2）；（b ）应力主轴的方位； （c ）主应力的大小； （d ）八面体应力的大小； （e ）最大剪应力的大小。
解答：(a)利用式（）计算应力矢量的分量nT i ，得n T 1=σ1j n j =σ11n 1+σ12n 2 +σ13n 3 = 0 ;同样 n T 2= j n j = nT 3=σ3j n j = 所以，应力矢量nT 的大小为=nT [(nT 1 )2+(nT 2 )2+(nT 3)2]1/2=(b)(c)特征方程：σ3—I 1σ2 + I 2σ—I 3=0其中I 1 =σij 的对角项之和、I 2 =σij 的对角项余子式之和、I 3 =σij 的行列式。
从一个三次方程的根的特征性可证明： I 1 =σ1+σ2+σ3 I 2=σ1σ2+σ2σ3+σ3σ1 I 3=σ1σ2σ3其中得，σ1=400、σ2=σ3=0 是特征方程的根。
将σ1、σ2和σ3分别代入（），并使用恒等式n 12+ n 22 + n 32=1 可决定对应于主应力每个值的单位法线n i 的分量（n 1 、n 2 、n 3）： n i （1）=（0， ±，±） n i （2）=（0， ，±） n i （3）=（±1， 0，0）注意主方向2和3不是唯一的，可以选用与轴1正交的任何两个相互垂直的轴。
(d ）由式（），可算 σotc =1/3（0+100+300）=τotc =1/3(90000+40000+10000+6*30000) 1/2=(e) 已经求得σ1=400、σ2=σ3=0，则有（）给出的最大剪应力为τmax =200 （曾海斌）对于给定的应力张量σij ，求出主应力以及它们相应的主方向。
弹塑性力学简答题
弹塑性力学简答题弹塑性力学简答题弹塑性力学简答题第一章应力1、什么是偏应力状态？什么是静水压力状态？举例说明？静水压力状态时指微六面体的每个面只有正应力作用，偏应力状态是从应力状态中扣除静水压力后剩下的部分。
2、应力边界条件所描述的物理本质是什么？物体边界点的平衡条件。
3、对照应力张量ij δ与偏应力张量ij S ，试问：两者之间的关系？两者主方向之间的关系？相同。
110220330S S S σσσσσσ=+=+=+。
4、为什么定义物体内部应力状态的时候要采取在一点的领域取极限的方法？不规则，内部受力不一样。
5、解释应力空间中为什么应力状态不能位于加载面之外？保证位移单值连续。
连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续。
6、Pie 平面上的点所代表的应力状态有何特点？该平面上任意一点的所代表值的应力状态1+2+3=0，为偏应力状态，且该平面上任一法线所代表的应力状态其应力解不唯一。
固体力学解答必须满足的三个条件是什么？可否忽略其中一个？第二章应变1、从数学和物理的不同角度，阐述相容方程的意义。
从数学角度看，由于几何方程是6个，而待求的位移分量是3个，方程数目多于未知函数的数目，求解出的位移不单值。
从物理角度看，物体各点可以想象成微小六面体，微单元体之间就会出现“裂缝”或者相互“嵌入”，即产生不连续。
2、两个材料不同、但几何形状、边界条件及体积力（且体积力为常数）等都完全相同的线弹性平面问题，它们的应力分布是否相同？为什么？相同。
应力分布受到平衡方程、变形协调方程及力边界条件，未涉及本构方程，与材料性质无关。
3、应力状态是否可以位于加载面外？为什么？不可以。
保证位移单值连续。
连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续。
4、给定单值连续的位移函数，通过几何方程可求出应变分量，问这些应变分量是否满足变形协调方程？为什么？满足。
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y u0 ,
y2 M x2 2EI
x
v0。
(d)
第三章 平面问题的直角坐标解答 求位移
例1:如图简支梁，求刚体位移 u0 , v0 , . 和梁轴的挠度。
M
o
M
y
l
M
A
x
( l >>h)
解：在铰支座O没有水平和铅直位移，在连杆支座A没有铅直位移.
则约束条件为: (u)x0 0, (v)x0 0, (v)xl 0.
1. 弯应力 σx与材料力学的解相同。
2.
铅直线的转角
u y
M EIx Nhomakorabea ,
故在同一横截面上，x是
常数，因而β也是常数。可见:同一横截面上的各铅直线
段的转角相同，说明横截面保持为平面，即平面截面假
设成立。
3.不论约束情况如何，梁的各纵向纤维的曲率为：
1 2v M
x2 EI
第三章 平面问题的直角坐标解答
逆解法
例4 设图中所示的矩形长梁，l >>h，试考
察应力函数 Φ
F 2h3
xy(3h2
4 y2 )能解决什么
样的受力问题？
o
h/2
h/2
x
l y
( l >>h)
第三章 平面问题的直角坐标解答
解：按逆解法。 1. 将 Φ代入相容方程，可见 4Φ 0 是
满足的。
对于单连体，(c)通常是自然满 足的。只须满足(a),(b)。
由Φ
求应力的公式是
σ
x
2Φ y 2
f
x
x,
σ
y
2Φ x 2
f
y
y,
τ
xy
2Φ xy
.
（d）
第三章 平面问题的直角坐标解答
逆解法
2 .逆解法 ── 先满足(a),再满足(b)。步骤:
⑴ 先找出满足4Φ 0 的解 Φ;
第三章 平面问题的直角坐标解答
第三章 平面问题的直角坐标解答
第三章 平面问题的直角坐标解答
第一节 逆解法与半逆解法 多项式解答 第二节 矩形梁的纯弯曲 第三节 位移分量的求出 第四节 简支梁受均布荷载 第五节 楔形体受重力和液体压力
第三章 平面问题的直角坐标解答
按Φ 求解
§3-1 逆解法和半逆解法 多项式解答
EI
2EI
2EI
梁轴的挠度为：
(v) y0
M 2EI
(l
x)2
第三章 平面问题的直角坐标解答
归纳：由应力求位移步骤： 1. 由物理方程求出形变；
2.代入几何方程，积分求 u, v ；
3.由边界约束条件确定刚体位移分量 u0 , v0 , 。
第三章 平面问题的直角坐标解答
纯弯曲问题的讨论：
臂梁在小边界（x=0）处受集中力F作用的问题。
(a)
O
y
(b)
FO
y
x x
x 0(负x面), x l(正x面),
F
f x (σ x )x0 0,
fy
( xy ) x0
3F 2h
(1
4
y2 h2
);
fx
(σ x )xl
12Fl h3
y,
fy
( xy ) xl
最终得应力解
σx
12M h3
y
M I
y,
σ y xy 0. (e)
当l h 时，即使在 x 0,l 边界上面力不同于 σ x的
分布，其误差也仅影响梁的两端部上的应力。
第三章 平面问题的直角坐标解答
问题提出
§3-3 位移分量的求出
在按应力求解中，若已得出应力，如何 求出位移？
以纯弯曲问题为例，已知
还须满足位移单值条件）。
如能满足，则为正确解答；否则修改假设，重新求解。
第三章 平面问题的直角坐标解答
问题提出
§3-2 矩形梁的纯弯曲
梁l×h×1，无体力，只受M作用（力矩/单位宽度， 与力的量纲相同）。本题属于纯弯曲问题。求矩形梁 受纯弯曲时的应力分量？
o
M
y
h/2
h/2
x
M
l
( l >>h)
第三章 平面问题的直角坐标解答
1. 当体力为常量，按应力函数Φ 求解平面 应力问题时，Φ 应满足
⑴ A内相容方程 4Φ 0.
（a）(a)
⑵ S = S 上应力边界条件,
l x m yx
s
fx,
m y l xy
s
f y .（b(）b)
⑶ 多连体中的位移单值条件。 （c）
第三章 平面问题的直角坐标解答
( xy ) x0,l 0,
满足。
(c)
σx 的边界条件无法精确满足。
第三章 平面问题的直角坐标解答
次要边界
用两个积分的条件代替
h/2 h / 2
(σ x
) x 0,l
d
y
1
0,
(d)
h/2 h / 2
(σ x
) x 0,l
y
d
y
1
M。
式(d)的第一式自然满足，由第二式得出 a2M /h3。
v0。
(d)
3.待定的刚体位移分量为 u0 , v0 .
刚体位移分量须由边界约束条件来确定。
第三章 平面问题的直角坐标解答
学生自己做
求位移
例1:如图简支梁，求刚体位移 u0 , v0 , . 和梁轴的挠度。
M
o
M
y
l
M
A
x
( l >>h)
u v
M xy EI
M
v x
u y
xy
0。
(b) (c)
⑵ 对式(b)两边乘 d y 积分 , 得
v
M
2 EI
y2
f2 ( x)。
⑶ 将u、v再代入(c) , 并分开变量，得
Mx d f2 (x) d f1( y) ( )。
EI d x
dy
上式对任意的 x , y 都必须成立，故两边都
逆解法
下面先以逆解法求出几个简单的平面问题，应力函数取为多项式。
例1 假定体力不计。则一次式 Φ ax by c 对应于无面力，无应力状态。故应力函数加减 一次式，不影响应力。
不论各系数取何值，相容方程都能满足。由式（2-24）得 应力分量为： x 0, y 0, xy 0. 不论弹性体为任何形状，也不 论坐标如何选取，由应力边界条件可得出：f x 0, f y 0.
2. 由 Φ求出应力分量
σ
x
2Φ y 2
12Fxy h3
,
σ
y
2Φ x 2
0,
xy
2Φ xy
3F 2h
(14
y2 h2
).
第三章 平面问题的直角坐标解答
3. 由边界形状和应力分量反推边界上的 面力。
在主要边界（大边界）y h / 2上，
σ y 0, yx 0.
u M x l y, v M (l x)x M y2.
EI 2
2EI
2EI
梁轴的挠度为：
(v) y0
M (l x)x 2EI
与材料力学结果相同。
第三章 平面问题的直角坐标解答 求位移
例2:如图悬臂梁，求刚体位移 u0 , v0 , . 和梁轴的挠度。
y0
y0
y0
代入u，v表达式得:
u0 0,
v0 0,
Ml 2 2EI
l
v0
0
(
Ml 2EI
).
第三章 平面问题的直角坐标解答 求位移
例1:如图简支梁，求刚体位移 u0 , v0 , . 和梁轴的挠度。
M
o
M
y
l
M
A
x
( l >>h)
解：求出各个常数，代入式(d)，得到该简支梁的位移分量为:
M
o
M
y
l
M
A
x
( l >>h)
u v
M xy EI
M
2EI
y u0 ,
y2 M x2 2EI
x
v0。
(d)
第三章 平面问题的直角坐标解答 求位移
例2:如图悬臂梁，求刚体位移 u0 , v0 , . 和梁轴的挠度。
M
o
M
A
x
M
y
l
( l >>h)
x
M EI
y,
(a)
v y
y
M
EI
y,
(b)
v x
u y
xy
0。
(c)
求形变
第三章 平面问题的直角坐标解答
求位移
⑴ 对式(a)两边乘 d x
积分,得
u x
x
M EI
y,
(a)
u
M EI
xy