湖南大学弹塑性力学第三章

EI
得:
u0 0,
v0


Ml 2 2EI
,
Ml .
EI
第三章 平面问题的直角坐标解答 求位移
例2:如图悬臂梁，求刚体位移 u0 , v0 , . 和梁轴的挠度。
M
o
M
y
l
M
A
x
( l >>h)
解：求出各个常数，代入式(d)，得到该简支梁的位移分量为:
u M l xy, v M (l x)2 M y2.

3F 2h
(1 4
y2 h2
).
M
第三章 平面问题的直角坐标解答
半逆解法
3.半逆解法
步骤：
⑴ 假设部分或全部应力分量的函数形式 （根 据弹性体边界形状、受力情况等）； ⑵ 由应力(d)式，推出应力函数Φ 的形式；
⑶ 代入相容方程 4Φ 0 ，求出 Φ 的具体形式；
⑷ 由式（d），求出应力； ⑸ 校核全部应力边界条件（对于多连体，
4
y2 h2
);
fx

(σ x )xl

12Fl h3
y,
fy

( xy ) xl


3F 2h
(1
4
y2 h2
).
第三章 平面问题的直角坐标解答
在x = 0,l 小边界上的面力 f x , f y 如下图中(a) 所
示，而其主矢量和主矩如(b)所示。 由此，可得出结论：上述应力函数可以解决悬
y
Φ=ax2：可以解决矩形板在y方向受均布拉力和均布压力的问题。 Φ=bxy：可以解决矩形板受均布剪力的问题。 Φ=by2：可以解决矩形板在x方向受均布拉力和均布压力的问题。
第三章 平面问题的直角坐标解答
逆解法
例3 假定体力不计，三次多项式Φ=ay3 ，表示受 纯弯曲的边界条件。
o
x
y
Φ=ay3：可以解决矩形梁受纯弯曲的问题。
EI
2EI
2EI
梁轴的挠度为：
(v) y0


M 2EI
(l

x)2
第三章 平面问题的直角坐标解答
归纳：由应力求位移步骤： 1. 由物理方程求出形变；
2.代入几何方程，积分求 u, v ；
3.由边界约束条件确定刚体位移分量 u0 , v0 , 。
第三章 平面问题的直角坐标解答
纯弯曲问题的讨论：
第三章 平面问题的直角坐标解答
第三章 平面问题的直角坐标解答
第三章 平面问题的直角坐标解答
第一节 逆解法与半逆解法 多项式解答 第二节 矩形梁的纯弯曲 第三节 位移分量的求出 第四节 简支梁受均布荷载 第五节 楔形体受重力和液体压力
第三章 平面问题的直角坐标解答
按Φ 求解
§3-1 逆解法和半逆解法 多项式解答
最终得应力解
σx
12M h3
y

M I
y,
σ y xy 0. (e)
当l h 时，即使在 x 0,l 边界上面力不同于 σ x的
分布，其误差也仅影响梁的两端部上的应力。
第三章 平面问题的直角坐标解答
问题提出
§3-3 位移分量的求出
在按应力求解中，若已得出应力，如何 求出位移？
以纯弯曲问题为例，已知
解：左边自由端，右边对于任何y都要求u=0和v=0。假设右端中
点不移动，中点水平线段不转动，
则约束条件为:
(u ) x l y0
0,
(v) xl y0
0,

v
x
xl y0
0.
代入u，v表达式得: u0 0,

Ml 2 2EI
l

v0

0,
Ml 0.
y0
y0
y0
代入u，v表达式得:
u0 0,
v0 0,

Ml 2 2EI
l

v0

0
(



Ml 2EI
).
第三章 平面问题的直角坐标解答 求位移
例1:如图简支梁，求刚体位移 u0 , v0 , . 和梁轴的挠度。
M
o
M
y
l
M
A
x
( l >>h)
解：求出各个常数，代入式(d)，得到该简支梁的位移分量为:
第三章 平面问题的直角坐标解答
逆解法
例4 设图中所示的矩形长梁，l >>h，试考
察应力函数 Φ

F 2h3
xy(3h2

4 y2 )能解决什么
样的受力问题？
o
h/2
h/2
x
l y
( l >>h)
第三章 平面问题的直角坐标解答
解：按逆解法。 1. 将 Φ代入相容方程，可见 4Φ 0 是
满足的。
v x

u y
xy
0。
(b) (c)
⑵ 对式(b)两边乘 d y 积分 , 得
v

M
2 EI
y2

f2 ( x)。
⑶ 将u、v再代入(c) , 并分开变量，得
Mx d f2 (x) d f1( y) ( )。
EI d x
dy
上式对任意的 x , y 都必须成立，故两边都
1. 当体力为常量，按应力函数Φ 求解平面 应力问题时，Φ 应满足
⑴ A内相容方程 4Φ 0.
（a）(a)
⑵ S = S 上应力边界条件,
l x m yx

s
fx,
m y l xy

s
f y .（b(）b)
⑶ 多连体中的位移单值条件。 （c）
第三章 平面问题的直角坐标解答
u M x l y, v M (l x)x M y2.
EI 2
2EI
2EI
梁轴的挠度为：
(v) y0
M (l x)x 2EI
与材料力学结果相同。
第三章 平面问题的直角坐标解答 求位移
例2:如图悬臂梁，求刚体位移 u0 , v0 , . 和梁轴的挠度。
b.后校核次要边界（小边界），若不能精确满足应
力边界条件，则应用圣维南原理，用积分的应力边界
条件代替。
第三章 平面问题的直角坐标解答
主要边界 yh/2,
主要边界
(σ y ) yh/2 0,
( xy )yh/ 2 0 .
(b)
从式(a)可见，边界条件(b)均满足。
次要边界 x=0, l,
逆解法
下面Fra Baidu bibliotek以逆解法求出几个简单的平面问题，应力函数取为多项式。
例1 假定体力不计。则一次式 Φ ax by c 对应于无面力，无应力状态。故应力函数加减 一次式，不影响应力。
不论各系数取何值，相容方程都能满足。由式（2-24）得 应力分量为： x 0, y 0, xy 0. 不论弹性体为任何形状，也不 论坐标如何选取，由应力边界条件可得出：f x 0, f y 0.
。同材料力学里求梁的挠度时
所用的基本公式相同。
故在纯弯曲情况下，弹性力学解与材料力学解相同。
x

M EI
y,
(a)
v y
y


M
EI
y,
(b)
v x

u y

xy

0。
(c)
求形变
第三章 平面问题的直角坐标解答
求位移
⑴ 对式(a)两边乘 d x
积分,得
u x
x

M EI
y,
(a)
u
M EI
xy
f1 ( y ),
v y
y
M
EI
y,

v0。
(d)
3.待定的刚体位移分量为 u0 , v0 .
刚体位移分量须由边界约束条件来确定。
第三章 平面问题的直角坐标解答
学生自己做
求位移
例1:如图简支梁，求刚体位移 u0 , v0 , . 和梁轴的挠度。
M
o
M
y
l
M
A
x
( l >>h)
u v

M xy EI
M
1. 弯应力 σx与材料力学的解相同。
2.
铅直线的转角


u y

M EI
x
,
故在同一横截面上，x是
常数，因而β也是常数。可见:同一横截面上的各铅直线
段的转角相同，说明横截面保持为平面，即平面截面假
设成立。
3.不论约束情况如何，梁的各纵向纤维的曲率为：
1 2v M

x2 EI
还须满足位移单值条件）。
如能满足，则为正确解答；否则修改假设，重新求解。
第三章 平面问题的直角坐标解答
问题提出
§3-2 矩形梁的纯弯曲
梁l×h×1，无体力，只受M作用（力矩/单位宽度， 与力的量纲相同）。本题属于纯弯曲问题。求矩形梁 受纯弯曲时的应力分量？
o
M
y
h/2
h/2
x
M
l
( l >>h)
第三章 平面问题的直角坐标解答
( xy ) x0,l 0,
满足。
(c)
σx 的边界条件无法精确满足。
第三章 平面问题的直角坐标解答
次要边界
用两个积分的条件代替
h/2 h / 2
(σ x
) x 0,l
d
y
1

0,


(d)
h/2 h / 2
(σ x
) x 0,l
y

d
y
1

M。
式(d)的第一式自然满足，由第二式得出 a2M /h3。
对于单连体，(c)通常是自然满 足的。只须满足(a),(b)。
由Φ
求应力的公式是
σ
x

2Φ y 2

f
x
x,
σ
y

2Φ x 2

f
y
y,
τ
xy

2Φ xy
.
（d）
第三章 平面问题的直角坐标解答
逆解法
2 .逆解法 ── 先满足(a),再满足(b)。步骤:
⑴ 先找出满足4Φ 0 的解 Φ;
4Φ 0
本题是平面应力问题,且为单连体，若按Φ 求解，
Φ 应满足相容方程和 s s 上的应力边界条件。
求解步骤：
⑴ 由逆解法得出，可取Φ ay3 ，且满足 4Φ0.
⑵ 求应力 σx 6ay,
σ y xy 0.
(a)
⑶ 检验应力边界条件，原则是:
a.先校核主要边界（大边界），必须精确满足 应力边界条件。
2EI
y u0 ,
y2 M x2 2EI

x

v0。
(d)
第三章 平面问题的直角坐标解答 求位移
例1:如图简支梁，求刚体位移 u0 , v0 , . 和梁轴的挠度。
M
o
M
y
l
M
A
x
( l >>h)
解：在铰支座O没有水平和铅直位移，在连杆支座A没有铅直位移.
则约束条件为: (u)x0 0, (v)x0 0, (v)xl 0.
⑵ 代入(d), 求出 σ x , σ y , xy ;
⑶ 在给定边界形状S下，由式(b)反推出 各边界上的面力，
f x (lσ x mτ xy )s,
(e)
f y (mσ y lτ xy )s.
从而得出，在面力(e)作用下的解答。
逆解法没有针对性，但可以积累基本解答。
第三章 平面问题的直角坐标解答
M
o
M
y
l
M
A
x
( l >>h)
u v

M xy EI
M
2EI
y u0 ,
y2 M x2 2EI

x

v0。
(d)
第三章 平面问题的直角坐标解答 求位移
例2:如图悬臂梁，求刚体位移 u0 , v0 , . 和梁轴的挠度。
M
o
M
A
x
M
y
l
( l >>h)
于是得出： （1）线性应力函数对应于无面力、无应力的状态； （2）把平面问题的应力函数加上一个线性函数，并不
影响应力。
第三章 平面问题的直角坐标解答
逆解法
例2 假定体力不计，二次式 Φ ax2 bxycy2 ，分 别表示常量的应力和边界面力。如图示。
2a
o
2a
y
b
xo
bx
o
x
b
yb
2c
2c
必须为同一常量 。同学们推导f1(y), f2(x).
第三章 平面问题的直角坐标解答
求位移
由此解出 f1( y) y u0 ,
f2
(x)


M 2EI
x2
x v0.
得出位移为
u v

M xy EI
M
2EI
y u0 ,
y2 M x2 2EI
x
臂梁在小边界（x=0）处受集中力F作用的问题。
(a)
O
y
(b)
FO
y
x x
x 0(负x面), x l(正x面),
F
f x (σ x )x0 0,
fy

( xy ) x0

3F 2h
(1
4
y2 h2
);
fx

(σ x )xl

12Fl h3
y,
fy

( xy ) xl
σx
M I
y,
试求其位移。
σ y xy 0,
第三章 平面问题的直角坐标解答
1. 由物理方程求形变
x

1 E
(σ x
σ y )
M EI
y,

y

1 E
(σ
y σ
x
)


M
EI
y,
xy

2(1 E

)

xy
0。

2. 代入几何方程求位移
u x
因此，在 y h / 2 的边界面上，无任何 面力作用，即 fx f y 0.
第三章 平面问题的直角坐标解答
在x = 0，l的次要边界（小边界）上，
x 0(负x面), x l(正x面),
f x (σ x )x0 0,
fy

( xy )x0

3F 2h
(1
2. 由 Φ求出应力分量
σ
x

2Φ y 2

12Fxy h3
,
σ
y

2Φ x 2
0,

xy


2Φ xy

3F 2h
(14
y2 h2
).
第三章 平面问题的直角坐标解答
3. 由边界形状和应力分量反推边界上的 面力。
在主要边界（大边界）y h / 2上，
σ y 0, yx 0.