近似计算

1 37
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第九章 无穷级数
第7页
在上述展开式中取前四项,
r4
2
1 9
1 39
1 11
1 311
1 13
1 313
2 311
1
1 9
(1)2 9
2 311
1
1
1 9
1 4 39
1 0.2 104
78732
ln 2
2
1 3
1 3
1 33
1 5
1 35
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第1页
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第2页
9.6.1 近似计算
A a1 a2 an ,
A a1 a2 an , 误差 rn an1 an2 .
两类问题:
1.给定项数,求近似值并估计精度;
2.给出精度,确定项数.
关健: 通过估计余项,确定精度或项数.
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第Βιβλιοθήκη Baidu页
例2. 计算 5 240 的近似值, 精确到 104.
35 243
解:
5
240
5
243 3
3
(1
1 34
1
)5
3
1
1 5
1 34
1 4 52 2!
1 38
1 4 53
9 3!
1 312
r2
3
51242!
1 38
1 4 53
9 3!
1 312
0.15643
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第10页
二、计算定积分
例如函数 ex2 , sin x , 1 , 原函数不能用初等 x ln x
函数表示, 难以计算其定积分.
解法 被积函数
定积分的近似值
展开成幂级数
逐项积分
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1 7
1 37
0.6931
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第8页
说明: 在展开式
2 x 1 x3 1 x5
35 中,令 x 1 ( n为自然数) , 得
2n 1
ln
n
n
1
2
1 2n
1
1 3
( 1 )3 2n 1
1 5
( 1 )5 2n 1
ln(n
1)
ln
n
例4. 计算积分
的近似值, 精确到
(取
1 π
0.56419)
解: ex2 1 (x2 ) (x2 )2 (x2 )3
1!
2!
3!
(1)n x2n ( x )
n0
n!
2
π
1 2
ex2 dx
0
2 π
1 2
0
(1)n
n0
x2n n!
dx
2 (1)n π n0 n!
的近似值 , 并估计
(弧度)
sin π π 1 ( π )3 1 ( π )5 1 ( π )7 20 20 3! 20 5! 20 7! 20
r2
1 ( π )5 5! 20
1 (0.2)5 120
1 105 3
sin π π 1 ( π )3 0.157080 0.000646 20 20 3! 20
第18页
据此可得
y
(cos i sin )n cos n i sin n
z xiy
(德莫弗公式)
ry
利用幂级数的乘法, 不难验证
O xx
e z1 z2 e z1 e z2
特别有
exi y ex ei y ex (cos y i sin y) (x, y R)
exi y ex (cos y i sin y) ex
揭示了三角函数和复变量指数函数之间的一种关系.
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第15页
9.6.2 欧拉(Euler)公式
对复数项级数
③
若 un u , vn v, 则称 ③ 收敛 , 且其和为 u i v.
n1
n1
若 un ivn
un2 vn2 收敛, 则称 ③ 绝对收敛.
n1
n1
由于 un un2 vn2 , vn un2 vn2 , 故知
(un i vn ) 绝对收敛
un, vn 绝对收敛
n1
n1
n1
(un i vn ) 收敛 .
n1
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定义: 复变量
的指数函数为
第16页
易证它在整个复平面上绝对收敛 .
当 y = 0 时, 它与实指数函数 ex 的幂级数展式一致.
当 x = 0 时,
1 1 y2 1 y4 (1)n y2n
2! 4!
(2n)!
y 1 y3 1 y5 3! 5!
(1)n1 y2n1 (2n 1)!
cos y i sin y
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ei x cos x i sin x
ei x cos x i sin x
第17页
（欧拉公式）
则
（也称欧拉公式）
y
利用欧拉公式可得复数的指数形式
z xiy
z x i y r cos i sin
ry
r ei
O xx
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1
4 54
9 14 4!
1 316
3
1 52
4 2!
1 38
1
1 81
1 2 81
6 25
1 38
1
1
1
81
0.5
104
5
240
3 (1
1 5
1 34
)
3
0.00741
2.9926
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例2. 计算 ln 2 的近似值 ,使准确到 104.
解: 已知
第6页
求 ln2 计算量大
ln(1 x) x x2 x3 x4
234
故
ln1 x ln(1 x) ln(1 x)
1 x
2 x 1 x3 1 x5
35
令 1 x 2 得 x 1 , 于是有
1 x
3
(1 x 1)
ln
2
2
1 3
1 3
1 33
1 5
1 35
1 7
2
1 2n 1
1( 1 )3 3 2n 1
1 ( 1 )5 5 2n 1
具此递推公式可求出任意正整数的对数 . 如
ln
5
2
ln
2
2
1 9
1 3
(1)3 9
1 5
(1)5 9
1.6094
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第9页
例3. 利用
求
误差.
解: 先把角度化为弧度 9
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第七节 第六节2020年6月8日星期一
1 2
x
2n
d
x
0
2 π
n0
(1)n n! (2n
1)
1 22n
1
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第13页
2
1 2
ex2
dx
π0
1 π
1
1 22 3
24
1 5 2!
26
1 7
3!
欲使截断误差
rn
1 π
n!(2n
1 1)
2
2n
10
4
则 n 应满足 π n!(2n 1) 22n 104
则所求积分近似值为
2
1 2
e
x
2
dx
π0
1 π
1
1 22
3
2
4
1 5
2!
26
1 7
3!
0.5205
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三、欧拉公式：
eix cos x i sin x
第14页
— 称欧拉公式
eix eix
cos x 2
sin
x
e ix
eix 2i
—也叫欧拉公式