江西省重点中学协作体2021届高三第一次联考理科数学试题与答案
江西省重点中学协作体(鹰潭一中、上饶中学等)2021届高三下学期第一次联考数学(理)试题
江西省重点中学协作体2021届高三第一次联考数学(理)试卷考试时间：120分钟分值：150分一､选择题：本题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{0,1,2,3}A =，集合{}2|B x x x ==，则A B =（ ） A. {0,1,2.3} B. {1,0,1}-C. {1.2}D. {0,1}D利用集合交集的定义计算即可．{}{}2|0,1B x x x ===，则{}0,1A B =故选：D2. 已知复数511i z i-=+，z 的虚部是（ ）A. 1-B. i -C. 1D. iC利用复数的乘方和除法法则化简复数z ，利用共轭复数的概念以及复数的概念可得出复数z 的虚部.()()()25111211112i i ii z i i i i i ----=====-+++-，z i ∴=，因此，z 的虚部是1.故选：C.3. 已知1::P p a≤1，2:10q a -≥则P 是q 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件B根据题意，化简,p q ，即可利用集合之间的关系，判定得到结论.1:p a≤1，化简可得:0p a <或1a ≥， 2:10q a -≥，化简可得:1q a ≤-或1a ≥，由{|1a a ≤-或1}a ≥ {|0a a <或1}a ≥， 可知,pq q p ⇒，故p 是q 的必要不充分条件，故选：B方法点睛：判断充要条件的方法是：①若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件； ②若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件； ③若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；④若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件． ⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系．4. sin155sin35cos25cos35︒︒-︒︒=（ ）A. B. 12-C.12B根据诱导公式，以及两角和的余弦公式直接化简，即可得出结果.sin155sin35cos25cos35sin 25sin35cos25cos35︒︒-︒︒=︒︒-︒︒()1cos 2535cos602=-︒+︒=-︒=-.故选：B.关键点点睛：该题主要考查利用两角和的余弦公式化简求值，涉及诱导公式，正确解题的关键是熟练掌握公式.5. 在6()2x y x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，25x y 的系数是（ ）A. 20B.152C. 12-D. 252-C将原式变形为666()()()22x x y x y x y y x y =⎛⎫-++-+ ⎪⎝⎭，再根据6()x y +的展开式的通项公式616rr r r T x y C -+=，分别令=5r ， 4r =求解.666()()()22x x y x y x y y x y =⎛⎫-++-+ ⎪⎝⎭， 6()x y +的展开式的通项公式为616rr r r T x y C -+=，令=5r 时，25x y 的系数是56123C =； 令4r =时，25x y 的系数是4615C =--，所以6()2x y x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，25x y 的系数是3-15=-12，故选：C6. “干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲､乙､丙､丁､戊､己､庚､辛､壬､癸被称为“十天干”；子､丑､寅､卯､辰､巳､午､未､申､酉､戌､亥叫做“十二地支”“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子､乙丑､丙寅……癸酉；甲戌､乙亥､丙子…癸未；甲申､乙酉､丙戌…癸巳；…，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽．2021年是“干支纪年法”中的辛丑年，那么2121年是“干支纪年法”中的（ ） A. 庚午年 B. 辛未年C. 庚辰年D. 辛巳年D根据“干支纪年法”的规则判断．2021年是辛丑年，则2081年是辛丑年，天干10个一循环，地支12个一循环，2082年到2121年共40年，天干正好又是辛，因为40除以12的余数为4，故地支为丑后的第四个巳，因此2021年是辛巳年．故选：D ．7. 已知|1|3()5x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列不等关系正确的是（ ）A. ()()20.5log 71 2.5(1)f f f <∞<B. ()()0.52log 2.5log 7(1)f f f <<C. ()()0.52(1)log 2.5log 7f f f <<D. ()()20.5(1)log 7log 2.5f f f <<B根据|1|3()5x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，分别求得()()0.52log 2.5,log 7,(1)f f f ，再利用35xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递减求解.因为|1|3()5x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()0.50.50.50.5|log 2.51||log 2.51|og 5og 0502..3333log 2.55555l l f ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪ ⎪===⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()22|log 71|log 2 3.533log 755f -=⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，03(1)5f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又因为0.50.5222log 0.2log 0.252,1log 2log 3.5log 42>==<<=，所以0.52log 0.2log 3.50>>，又35xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递减，所以0.52og log00.2 3.5333 555 l⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝<⎭⎭<，即()()0.52log 2.5log7(1)f f f<<，故选：B8. 若函数sin23y xπω⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后与函数cos2y xω=的图象重合，则ω的值可能为（）A. 1-B. 2-C.12- D.14-C写出平移的函数解析式，根据诱导公式求得ω的表达式，比较可得．函数sin23y xπω⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后得图象的解析式为1sin2()sin2633y x xππωωωπ-⎡⎤⎛⎫=-+=-⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，它与cos2y xω=相同，则1232kωπππ--=+，16,2k k Zω=--∈，只有C满足．故选：C．9. 如图ABCDEF为五面体，其中四边形ABCD为矩形，//EF AB，3332AB EF AD===，ADE和BCF△都是正三角形，则该五面体的体积为（）A.23B.232 D.322A把该五面体分割为两个等体积的四棱锥和一个直三棱柱，结合棱锥和棱柱的体积公式，即可求解.过点F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，取BC的中点P，连接PF，过点F作FQ AB⊥，垂足为Q，连接OQ，交CD于G，得到四棱锥F BCGQ-，同理得到四棱锥E ADMN-，可得F BCGQ E ADMNV V--=，如图所示，因为ADE 和BCF △都是边长为2的等边三角形，所以11()1,3,122OP AB EF PF OQ BC =-====，可得222OF PF OP =-=，所以112212233E ADMN F BCGQ BCGQ V V S OF --==⋅=⨯⨯⨯=，中间部分三棱柱FGQ EMN -为直三棱柱， 其体积为 122122FGQ EMN FGQV SEF -=⨯=⨯⨯⨯=， 所以该五面体的体积为22722233FGQ EMN E ADMN F BCGQ V V V V ---=+==+⨯=.故选：A.求空间几何体的表面积与体积的求法：（1）公式法：对于规则的几何体的表面积和体积，可直接利用公式进行求解；（2）割补法：把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行体积的计算，或不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算；（3）等体积法：等体积法也称积转化或等积变形，通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决锥体的体积，特别时三棱锥的体积.10. 在三角形ABC 中，E ､F 分别为AC ､AB 上的点，BE 与CF 交于点Q 且2AE EC →→=，3AF FB →→=，AQ 交BC 于点D ，AQ QD λ→→=，则λ的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6C由题得2(1)3AQ x AB x AC →→→=+-，3(1)4AQ y AC y AB →→→=+-，求出,x y 的值，再根据1+123AD AB AC λλλλ→→→+=+，,,B D C 共线，得解.因为,,B Q E 三点共线，所以2(1)(1)3AQ x AB x AE x AB x AC →→→→→=+-=+-,因为,,C Q F 三点共线，所以3(1)(1)4AQ y AC y AF y AC y AB →→→→→=+-=+-,所以3(1)114,.223(1)3x y x y y x ⎧=-⎪⎪∴==⎨⎪=-⎪⎩， 所以11=,231AQ AB AC AD λλ→→→→=++ 所以1+123AD AB AC λλλλ→→→+=+， 因为,,B D C 共线， 所以1+11,523λλλλλ++=∴=.故选：C 结论点睛：如果,,A B C 三点共线，则1212(1)OA OB OC λλλλ→→→=++=，要根据已知条件灵活运用这个结论解题.11. 已知A ．B ．C 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的三个点，AB 经过原点O ，AC 经过右焦点F ，若BF AC ⊥且3||||AF CF =，则该双曲线的离心率是（ ）A. B.53C.D.94A根据题意，连接','AF CF ，构造矩形'FAF B ；根据双曲线定义表示出各个边长，由直角三角形勾股定理求得a c 、的关系，进而求出离心率． 设左焦点为'F ，AF m =，连接','AF CF ，则3FC m = ，'2AF a m =+ ，'23CF a m =+，'2FF c =， 因为BF AC ⊥，且AB 经过原点O ， 所以四边形'FAF B 为矩形，在Rt △'AF C 中，222'+'AF AC F C =， 将边长代入得()()()2222+4=23a m m a m ++， 化简得m a =，所以在Rt △'AF F 中，222'+'AF AF F F =，代入边长得()()()22222a a a c ++=化简得2252c a =，即10e ，故选：A.关键点点睛：该题考查的是有关双曲线的离心率的求解问题，根据题意画出草图，分析出'FAF B 为矩形是解题关键，然后根据垂直和已知边长关系及双曲线定义写出每条线段长度，最后借助勾股定理形成等式求解离心率即可.12. 设k 、b R ∈，若关于x 的不等式()ln 1x x k x b +≤++在()0,∞+上恒成立，则221k b k +--的最小值是（ ） A. 2e - B. 11e -+ C. 1e -+ D. 1e --C令()()ln 1f x x x k x =+-+，分析得出()max b f x ≥，分1k ≤、1k >两种情况讨论，可得出()()max ln 11f x k k =----，进而可得出()ln 1222111k k b k k -++-≥---，令10t k =->，利用导数求出函数()ln 21t g t t+=-的最小值，即可得解. 令()()ln 1f x x x k x =+-+，则()f x b ≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立，所以，()max b f x ≥. ①当1k ≤时，()110f x k x'=+->，函数()f x 在()0,∞+上单调递增，函数()f x 无最大值，不合乎题意；②当1k >时，令()0f x '=，可得11x k =-. 当101x k <<-时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增， 当11x k >-时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减， 所以，()()max 1111ln 1ln 111111f x f k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫==+-+=---- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭， 即()ln 11b k k ≥----，()()ln 11ln 12222211111k k k k b bk k k k -++-++-∴=+≥-=-----，设10t k =->，令()ln 21t g t t +=-，则()2ln 1t g t t+'=， 当10<<t e 时，()0g t '<，此时函数()g t 单调递减，当1t e>时，()0g t '>，此时函数()g t 单调递增.所以，()min 11g t g e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，因此，221k b k +--的最小值是1e -.故选：C.结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤； （2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥； （3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤； （4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.二､填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分13. 已知实数x ，y 满足约束条件222440x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =-的最大值为_____．10作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．作出可行域，如图ABC 及其内部（含边界），其中()0,1A ，()2,0B ，()4,2C ，作直线30x y -=，由3z x y =-得3y x z =-，直线向下平移时截距减小，z 增大， 当直线l 过()4,2C 时，max 34210z =⨯-=， 故答案为：10.14. 已知函数()f x 是奇函数，当0x <时，()sin 1f x x =-，则函数() f x 在2x π=处的切线方程为_____．2y =先求出切线的斜率，再求出切线的方程.详解】当0x <时，()=cos f x x '，所以()=cos()022f ππ'--=，因为函数是奇函数，所以对称点处的导数相同，所以()()=022f f ππ''=-，所以切线的斜率为0，又因为()()[sin()1]2222f f πππ=--=---=， 所以切线方程为2y =. 故答案为：2y =结论点睛：曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-，这个结论要理解记住并熟练利用.15. 过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线l 与C 相交于A.B 两点，且A.B 两点在准线上的射影分别为M.N ，AFM △的面积与BFN 的面积互为倒数，则MFN △的面积为_____． 2根据题意，画出图形，结合抛物线的定义以及三角形的面积公式，根据题中所给的条件，列出等量关系，求得结果.【详解】设,,MAF AF a BF b θ∠===，由抛物线定义可得,AM a BN b ==， 且180********AFM BFN ︒-∠+︒-∠=︒，故90AFM BFN ∠+∠=︒， 故90MFO NFO ∠+∠=︒即MF NF ⊥.设MAF θ∠=，则由余弦定理得222(1cos )MF a θ=-，222(1cos )NF b θ=+，2211sin ,sin 22MAFNBFSa Sb θθ== 因为AFM △的面积与BFN 的面积互为倒数，所以有2211sin sin 122a b θθ⋅=，即222sin 4a b θ=，所以2222221()()sin 44MFN S MF NF a b θ===，所以MFN △的面积为2， 故答案：2.关键点点睛：该题考查的是有关抛物线中的三角形的面积的求解问题，正确解题的关键是熟练掌握抛物线的定义，得到其相应的性质.16. 在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，//,AB CD AB AD ⊥，22CD AD AB ===，若动点Q 在平面P AD 内运动，使得CQD ∠与BQA ∠相等，则三棱锥- Q ACD 的体积最大时的外接球的体积为_____． 40103π 根据题意推出AB QA ⊥，CD QD ⊥，再根据CQD BQA ∠=∠推出2QD AQ =，在平面PDA 内，建立直角坐标系求出Q 点轨迹是圆22(3)8x y -+=，从而可求出点Q 到DA 的距离最大为22，即三棱锥 - Q ACD 的高的最大值为22，再寻找三棱锥的外接球球心，计算球半径，进而计算球的体积即得结果.因为PA ⊥平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ，因为//AB CD ，AB ⊥AD ，所以AB ⊥平面PAD ，CD ⊥平面PAD ， 因为Q 在PAD △内及边上，所以QA 、QD 在平面PAD 内， 所以AB QA ⊥，CD QD ⊥， 所以在Rt CDQ △内，tan CD CQD DQ ∠=，在Rt ABQ △内，tan ABBQA QA=，因为CQD BQA ∠=∠，所以CD AB DQ QA=，因为2,2CD AB ==， 所以2QD AQ=，在平面PDA 内，以DA 的中点为原点O ，线段DA 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系： 则(1,0)D -，(1,0)A ，设(,)P x y ，则22||(1)DQ x y =++，22||(1)QA x y =-+，由2QD AQ =得2222(1)2(1)x y x y ++=⋅-+，化简得22(3)8x y -+=， 所以动点Q 在平面P AD 内运动，Q 点轨迹是圆22(3)8x y -+=，如图所示，当Q 在过圆心的垂线时点Q 到DA 的距离最大为半径22，也就是三棱锥Q ACD -的高的最大值为22，下面的计算不妨设点Q 在x 轴上方，QAD 外接圆圆心在DA 中垂线上，即y 轴上，设外接圆圆心N ，半径r ，则2sin DQr DAQ=∠，而22,2,4QS AS DS ===，故()()222222223,42226AQ DQ =+==+=，222sin sin 233QS DAQ QAS AQ ∠=∠===，所以32266sin 2DQ r DAQ ==⨯=∠，故3AN r ==，则223122ON =-=.如图三棱锥Q ACD -，CD ⊥平面PAD ，2CD AD ==，ACD △的外接圆圆心在斜边中点M 上，过M ，N 作平面ACD 和平面QAD 的垂线，交于点I ，即是三棱锥外接球球心，因为12,222DM AC IM ON ====， 所以三棱锥Q ACD -外接球半径()()222222210R DI DM IM ==+=+=，所以三棱锥Q ACD -的外接球的体积为3344333V R ππ===.故答案为：3. 方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可. 三､解答题：共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．第T ~22为必考题，每个试题考生都必须作答，第22､23题为选做题，考生根据要求作答． (一)必考题：共60分17. 已知等差数列{}n a 为递减数列且首项15a =，等比数列{}n b 前三项依次为11a -，22a +，33a ．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b +的前n 项和n S ．（1）6n a n =-，1342n n b -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭；（2）211388222nn n n S ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭.（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题设求出d 即可求得n a ，进而求得等比数列{}n b 的首项1b 和公比q ，即可求得n b ；（2）先由（1）求得n n a b +，再利用分组求和法求得其前n 项和n S 即可. （1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得：2(7)4(156),1d d d +=⨯+∴=-，或11d =（舍）6n a n ∴=-又11254,6b a b =-==，∴公比133422n n q b -⎛⎫=∴=⋅ ⎪⎝⎭（2）13 6,42nn na n b-⎛⎫=-=⋅ ⎪⎝⎭1122n n nS a b a b a b=++++⋯⋯⋯⋯⋯⋯++()()1212n na a ab b b=++⋯⋯⋯⋯+++⋯⋯⋯211388222nnn ns⎛⎫∴=-+-+ ⎪⎝⎭．思路点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题思路如下：（1）首先设出数列的公差，利用题中所给的条件，建立等量关系式，求得公差，根据首项，写出{}n a的通项，进而求得{}n b的首项和公比，求得其通项公式；（2）结合（1）的结论，利用分组求和法，求得其前n项和n S.18. 如图，在三棱锥A BCD-中，ABD△是等边三角形，2AC=，2BC CD==，BC CD⊥，E为空间内一点，且CDE△为以CD为斜边的等腰直角三角形．（1）证明：平面ABD⊥平面BCD；（2）若2BE=，试求平面ABD与平面ECD所成锐二面角的余弦值．（1）证明见解析；（26（1）取BD的中点O，连接OC，OA，证明二面角A BD C--的平面角AOC∠是直角，得面面垂直；（2）以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OA为z轴建立空间直角坐标系，不妨令E在平面BCD上方，取CD的中点F，连接OF，EF，可证明CD⊥平面EOF，得证平面EOF⊥平面OCD，EFOπθ∠=-，得出各点坐标，由2BE=求得cosθ，得出E点坐标，再求出两个平面的法向量，由法向量夹角得二面角．解：（1）取BD的中点O，连接OC，OA，因为ABD △是等边三角形，2BD =，所以AO BD ⊥，且3AO =，又因为2BC CD ==，所以OC BD⊥112CO BD ==，又2AC = 222AO OC AC AO OC ∴+=∴⊥ 又AO BD ⊥，因为CO BD O ⋂=，二面角A BD C --的平面角AOC ∠是直角， ∴平面ABD ⊥平面BCD ；（2）由（1）以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴建立空间直角坐标系， 不妨令E 在平面BCD 上方取CD 的中点F ，连接OF ，EF ，则,OF CD EF CD ⊥⊥．OF EF F ⋂=，,OF EF ⊂平面EOF ，∴CD ⊥平面EOF ，CD ⊂平面OCD ，∴平面EOF ⊥平面OCD ，22OF =，6EF =，设EFO πθ∠=-，则(0,0,0)O ，(1,0,0)C ，(0,1,0)D ，3)A ，(0,1,0)B -1111211132cos ,cos ,cos ,cos 22222222E BE θθθθθθ⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 13336232cos 2,cos ,sin ,,,22444BE E θθθ⎛=+=∴=∴=∴ ⎝⎭所以(1,1,0)CD =-，13,,444CE ⎛=- ⎝⎭，设平面ECD 的一个法向量为(,,)n x y z =，则0CD n CE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩， 0136044x y x y z -+=⎧⎪∴⎨-++=⎪⎩， 令1x =，则1,1,3n ⎛=- ⎝⎭因为平面ABD 的一个法向量为(1,0,0)OC =，所以|cos ,|4OC n〈〉==，即平面ECD 与平面ECD 方法点睛：本题考查证明面面垂直，考查向量法求二面角．求二面角的方法：（1）几何法（定义法）：根据定义作出二面角的平面角并证明，然后解三角形得出结论； （2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出二面角两个面的法向量，由两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）．19. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，长轴为4，不过原点O 且不平行于坐标轴的直线l 与C有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值34-．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 过右焦点2F ，问y 轴上是否存在点D ，使得三角形ABD 为正三角形，若存在，求出点D ，若不存在，请说明理由．（1）22143x y +=；（2）不存在这样的点D ，理由见解析.（1）由题意可得2a =，设点()11,A x y ，()22B x y ，利用点差法可得22AB OMk k b a=-⋅，即可求出b ，从而得解；（2）设直线:(1)l y k x =-，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，即可表示出点M ，假设存在点D ，求出MD 的直线方程，从而得到D 点坐标，利用弦长公式求出AB 、MD ，由ABD △为等边三角形，则||||MD AB =，即可得到方程，即可判断； 解（1）由题意可知：24a =，所以2a =设点()11,A x y ，()22B x y ，A ，B 在椭圆上2211221x y a b∴+=．．．．．．．．．．．．．．① 2222221x y a b +=．．．．．．．．．．．．．．．② 因为34AB OM k k ⋅=-2112211234y y y y x x x x -+∴⋅=--+．．．．．．．．．．．．．．③ 由①-②得2222121222220x x y y a a b b -+-=，即22221212220x x y y a b--+=，所以2211222112y y y y b x x x x a -+⋅=--+ 由③得2234b a -=-23b ∴=∴椭圆C 方程为：22143x y +=（2）设直线:(1)l y k x =-联立22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()22223484120k x k x k +-+-= 221212228412,3434k k x x x x k k-∴+==++ ()()()2121212228623112344k ky y k x x x k k k k x k k k =-+-=-∴=-+⨯++-=+ 22243,3434k k M k k ⎛⎫∴- ⎪++⎝⎭，假设存在点D ，则MD 的直线方程为：2223143434k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭ 20,34k D k ⎛⎫∴ ⎪+⎝⎭所以()2122121||34k AB x k +=-==+．||0MD =-=若ABD △为等边三角形则：||||MD AB =()2221214||23434k k k k+=++即223270k +=，方程无实数解， ∴不存在这样的点D(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 20. 某超市计划按月订购一种预防感冒饮品，每天进货量相同，进货成本每瓶5元，售价每瓶8元，未售出的饮品降价处理，以每瓶3元的价格当天全部处理完．根据一段时间以来的销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：C ︒)有关．如果最高气温不低于30，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[25,30)，需求量为300瓶；如果最高气温低于25，需求量为200瓶．为了确定七月份的订购计划，统计了前三年七月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． （1）求七月份这种饮品一天的需求量x (单位：瓶)的分布列；（2）若七月份一天销售这种饮品的利润的数学期望值不低于700元，则该月份一天的进货量n (单位：瓶)应满足什么条件? （1）答案见解析；（2）267400n ≤≤.（1）根据题意，求得随机变量X 的所有可能取值为500，300，200，求得相应的概率，即可求得随机变量的分布列；（2）由题意得出200500n ≤≤，分别求得300500n ≤≤和200300n ≤<时，12(,)()E Y E Y ，再令1)(700E Y ≥和2)(700E Y ≥，即可求解.（1）依题意，可得随机变量X 的所有可能取值为500，300，200，． 由表格数据知273627(500)0.3,(300)0.4,(200)0.3909090P x P x P x =========， 因此分布列为（2）由题意可知，这种饮品一天的需求量最多为500瓶，最少为200瓶， 因此只需考虑200500n ≤≤， 当300500n ≤≤时，1(0.3[20032(200)]0.4[3003(300)2]0.339000.5)E Y n n n n =⨯⨯--+⨯--⨯+⨯=-，令1)(700E Y ≥，即9000.5700n -≥，解得400n ≤． 当200300n ≤<时，2()0.3[20032(200)]0.73 1.5n 300E Y n n =⨯⨯--+⨯=+令2)(700E Y ≥，即1.5n 300700+≥，解得 8003n ≥， 因为n Z ∈，所以267n ≥， 综上可得267400n ≤≤. 21. 已知函数ln()()ax f x ax=． （1）讨论函数()f x 的单调区间． （2）若当1a =时，()9()2()f x F x f x ex=+，求证：()0F x > （1）答案见解析；（2）证明见解析.（1）对函数()f x 求导，分0a >和0a <两种情况，结合函数的定义域得出函数的单调性；（2）要证()0F x >，由于0x >，即证ln 2ln e90x xx +>．令ln ()2ln e9(0)x xm x x x =+>，对函数求导并化简，构造()(1ln )ln h x x x x =-+二次求导，令分子为()2ln 1x x x ϕ=-+，利用导数判断出单调性和最小值，得出函数()h x 的单调性，由零点存在定理知极小值即为最小值，利用导数判断出最小值的范围，命题得证． （1）()21ln ()ax f x ax -'=， 当0a >，定义域为(0,)+∞，令()0f x '>，得0e x a <<，()0f x '<得e x a> ()f x ∴在0,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在,e a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减当0a <，定义域为(,0)-∞，令()0f x '>，得ex a <，()0f x '<得0e x a<< ()f x ∴在,e a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递增，在,0e a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减（2）要证()0F x >，0x，即证ln 2ln e90x xx +>．令ln ()2ln e9(0)x xm x x x =+>，则ln ln ln 221ln 12m ()2ln 2[ln (1ln )]xxx xxxxex ex e x x x x x x-'=⋅⋅+⋅=-+， 设()(1ln )ln h x x x x =-+，则12ln 2ln 1()1x x x h x x x x'-+=-+=， 令()2ln 1x x x ϕ=-+，其中0x >，22()1x x x xϕ-'=-=． 当02x <<时，()0x ϕ'<，此时函数()ϕx 单调递减；所以，min ()(2)32ln 20x ϕϕ==->，则对任意的0x >，()0h x '>， 所以，函数()h x 在(0,)+∞上为增函数，因为11111ln ln 02222h ⎛⎫⎛⎫=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(1)10h =>，由零点存在定理可知，存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()()00001ln ln 0h x x x x =-+=，可得000ln 1ln 1x x x =-．当00x x <<时，h(x)<0，即()0F x '<，此时函数()F x 单调递减；当0x x >时，()0h x >，即()0F x '>，此时函数()F x 单调递增．()0000ln 11ln 1ln 2min 000009m()m 2ln 92ln 9ln 2ln x x x x x x e x ex x e x --⎛⎫∴==+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭， 令1121022929ln (ln 2,0),()2,()0(1)t t t x p t e p t e t t t '--=∈-=+=--<-， 则函数()p t 在(ln 2,0)t ∈-时单调递减， 所以，1ln 229()(ln 2)20ln 2p t p e -+<-=-<，所以，()min 0m()0x m x => 因此，对任意的0x >，m()0x >，即()0F x >．方法点睛：本题考查导函数在函数单调性和极值以及最值中的应用，考查导数证明不等式，考查分类讨论思想，其中利用导函数判断单调性的步骤为：1. 先求出原函数的定义域；2. 对原函数求导；3. 令导数大于零；解出自变量的范围；该范围即为该函数的增区间；同理令导数小于零，得到减区间；4. 若定义域在增区间内，则函数单增；若定义域在减区间内则函数单减，若以上都不满足，则函数不单调．(二)选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22. 在直角坐标系 xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为44241121t x t ty t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos 43πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． （1）写出曲线1C 的普通方程，2C 的直角坐标方程；（2）过曲线1C 上任意一点P 作与2C 夹角为60°的直线，交2C 于点A ，求||PA 的最大值与最小值．（1）221(0)x y y +=≥，80x -=；（2）最小值3，最大值3. （1）用消元法得1C 的普通方程，由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩化极坐标方程为直角坐标方程； （2）求出P 到直线2C 的距离的最大值和最小值后可得结论．（1）曲线1C 的普通方程为221(0)x y y +=≥直线2C 的普通方程为80x -=．（2）曲线1C 上任意一点(cos ,sin )[0,]P θθθπ∈到2C 的距离为1|cos 8|cos 423d πθθθ⎛⎫=-=+- ⎪⎝⎭．则cos 4sin 603d PA πθ⎛⎫==+- ⎪︒⎝⎭，当0θ=，||PA 取得最小值，最小值为3．当23πθ=，||PA 取得最大值，最达值为3． 关键点点睛：本题考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查点到直线的距离公式．化参数方程为直角坐标方程时，注意变量的取值范围，本题中0y ≥，对圆来讲可以用参数方程cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩表示圆上的点，从而求得点到直线的距离，利用三角函数知识求得最值．这里仍然要注意θ的范围是[0,]π．23. 已知a ，b ，c 为正数．（1）证明233232332b c a a c b a b c a b c+-+-+-++≥； （2）求4444111a b c a b c ⎛⎫+++++ ⎪⎝⎭的最小值．（1）证明见解析；（2）（1）利用基本不等式可证得命题成立；（2）三次使用不等式且等号同时成立，可求得最小值．（1）证明a ，b ，c 均为正数，23322223232b a c a c b a b a c b c∴+≥+≥+≥ 以上三式相加，得233263232b a c a c b a b a c b c +++++≥ 2332111333223b c a c a b a a b b c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+-++-++-≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即233232332b c a a c b a b c a b c+-+-+-++≥．（当且仅当32a b c ==时等号成立） （2）因为0a >，0b >，0c >，444444343111813()()a b c abc a b c abc ⎛⎛⎫∴+++++≥=+ ⎪ ⎝⎭⎝≥= 当且仅当383a b c ===，即时等号成立．所以原式的最小值为。
江西省五市九校协作体2021届上学期高三年级第一次联考数学试卷(理科)
江西省五市九校协作体2021届上学期高三年级第一次联考数学试卷（理科）本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ＝{x|x 2－4x ＋3>0}，B ＝{x|x －a ≤0}，若B ∪A ＝R ，则实数a 的取值范围为( )A.(3，＋∞)B.[3，＋∞)C.(－∞，1)D.(－∞，1] 2.已知复数z 满足121ii z+=-(i 为虚数单位)，则z (z 为z 的共轭复数)在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 3.“(a －2)3>(b －2)3”是“lga>lgb ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 4.为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心。
某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾。
某班按此四类由9位同学组成四个宣传小组，其中可回收物宣传小组有3位同学，餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾宣传小组各有2位同学。
现从这9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为( ) A.27 B.514 C.37 D.10215.函数f(x)＝cos(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<2π)的图像如图所示，为了得到y ＝sinωx 的图像，只需把y ＝f(x)的图像上所有点( )A.向右平移6π个单位长度 B.向右平移12π个单位长度C.向左平移6π个长度单位 D.向左平移12π个长度单位6.若x ，y 满足约束条件40240220x y x y x y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪--≥⎩，则z ＝x ＋4y 的最小值为( )A.26B.4C.265D.－267.蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x(每分钟鸣叫的次数)与气温y(单位：℃)存在着较强的线性相关关系。
2021届江西省重点中学协作体高三第一次联考数学(理)试题Word版含解析
2021届江西省重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题一、单选题1．已知()12i z i -=+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】首先化简z ，得到1322z i =+，再求出1322z i =-，判断对应的点位于的象限即可. 【详解】因为()12i z i -=+，所以22(2)(1)22131(1)(1)222i i i i i i z i i i i ++++++====+--+. 所以1322z i =-，对应的点为13(,)22-，位于第四象限. 故选：D 【点睛】本题主要考查复数的运算，同时考查了共轭复数和复数对应点的象限，属于简单题. 2．设全集U =R ，(){}2lg 6A x y x x ==--，{}2,0xB y y x ==<，则() UA B =（ ）A ．{2x x <-或}1x ≥B ．{0x x ≤或}1x ≥ C ．{2x x <-或}3x > D ．{}33x x -<<【答案】B【解析】求出集合A 、B ，利用补集和并集的定义可求得集合() UA B .【详解】(){}{}{22lg 6602A x y x x x x x x x ==--=-->=<-或}3x >，{}{}2,001x B y y x y y ==<=<<，{0U B y y ∴=≤或}1y ≥，因此，(){ 0UA B x x ⋃=≤或}1x ≥.故选：B. 【点睛】本题考查补集和并集的混合运算，同时也考查了对数型复合函数定义域和指数函数值域的求解，考查计算能力，属于基础题.3．已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，35a =，若5a 是2a 和14a 的等比中项，则d =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】首先根据题意得到25214a a a =⋅，再转化为2333(2)()(11)a d a d a d +=-⋅+，计算d 即可.【详解】由题知：25214a a a =⋅，即：2333(2)()(11)a d a d a d +=-⋅+， 整理得：222233333441111a a d d a a d a d d ++=+--.因为0d ≠，所以1530d =，解得2d =. 故选：B 【点睛】本题主要考查等差，等比数列综合应用，同时考查了等比中项，属于简单题 4．函数sin xy e x =的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】分析函数sin xy e x =在0x =处的取值，以及该函数在区间(),0π-函数值符号、该函数的奇偶性，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对于函数sin x y e x =，当0x =时，sin 0xy e x ==，即该函数图象过原点，排除B 选项； 当(),0x π∈-时，sin 0x <，则sin 0xy e x =<，排除D 选项.当()x k k Z π≠∈时，()sin sin x x e x e x -⋅-≠-，所以，函数sin x y e x =不是奇函数，排除C 选项.故选：A. 【点睛】本题考查利用函数解析式选择函数图象，一般需分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点与函数值符号，结合排除法得出正确选项，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 5．已知log 9log 9n m >，则下列结论中一定不正确的是（ ） A ．1m n >> B ．10n m >>>C ．10n m >>>D ．10m n >>>【答案】C【解析】分log 9log 90n m >>、log 90log 9n m >>和0log 9log 9n m >>，利用换底公式、不等式的性质以及对数函数的单调性可得出结论. 【详解】分以下三种情况讨论：①当log 9log 90n m >>时，由换底公式可得lg 9lg 90lg lg n m>>，lg90>，lg lg 0m n ∴>>，可得1m n >>；②当log 90log 9n m >>时，由换底公式得lg 9lg 90lg lg n m>>，lg90>，lg 0lg n m ∴>>，可得10n m >>>；③当0log 9log 9n m >>时，由换底公式可得lg 9lg 90lg lg n m>>，lg90>，lg lg 0n m ∴<<，可得01n m <<<.综上所述，不可能的是10n m >>>. 故选：C. 【点睛】本题考查利用对数的大小关系比较底数的大小关系，考查换底公式和对数函数单调性的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.6．已知()1312axdx a =>⎰，则5ax ⎫-⎪⎭的展开式中的2x 的系数为（ ）A ．80-B ．80C ．160-D ．160【答案】A【解析】首先根据微积分定理得到2a =，再求出52x⎫⎪⎭展开式的通项532215(2)rr r r T C x -++=-⋅⋅，即可得到答案. 【详解】 由题知：221113|2222aa x a xdx ==-=⎰，因为1a >，所以2a =.所以52x⎫-⎪⎭展开式的通项53522155(2)(2)r r r r r rr T C x C x -+-+=⋅⋅-=-⋅⋅.令53222r -+=，得：3r =. 故展开式中的2x 的系数为335(2)80C -⋅=-.故选：A 【点睛】本题主要考查二项式定理，同时考查了微积分定理，熟记二项式定理展开式的通项为解题的关键，属于中档题.7．有歌唱道：“江西是个好地方，山清水秀好风光.”现有甲乙两位游客慕名来到江西旅游，分别准备从庐山、三清山、龙虎山和明月山4个著名旅游景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件A ：甲和乙至少一人选择庐山，事件B ：甲和乙选择的景点不同，则条件概率()P B A =（ ） A ．716B ．78C ．37D ．67【答案】D【解析】首先根据题意分别算出()n A 和()n AB ，再利用条件概率公式计算即可. 【详解】由题知：事件A ：甲和乙至少一人选择庐山共有：1123()17n A C C =⋅+=种情况， 事件AB ：甲和乙选择的景点不同，且至少一人选择庐山，共有1123()6n AB C C =⋅=种情况，()()6=()7n AB P B A n A =. 故选：D 【点睛】本题主要考查条件概率，理解条件概率及掌握公式为解题的关键，属于中档题.8．把函数()cos cos2f x x x x =+的图像先向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图像，再将()g x 的图像上的所有点的横坐标变成原来的12，得到函数()h x 的图像，则下列说法正确的是（ ） A ．函数的最小正周期为2π B ．5,06π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()h x 图像的一个对称中心 C ．函数()h x 图像的一条对称轴方程为6x π=D ．函数()h x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 【答案】C【解析】由三角公式可得()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再通过平移变换及周期变换得到()2sin 46x h x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再利用三角函数的性质逐一判断即可. 【详解】解：()cos cos 22cos 22sin 26f x x x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，则()2sin 22sin 2666g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ()2sin 46x h x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，此时242T ππ==，故A 错误； 当56x π=时，55662sin 416h πππ⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，故B 错误；当6x π=时，2sin 46626h πππ⎛⎫=⨯-= ⎛⎫⎪⎝⎪⎭⎭⎝，故C 正确；当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则574666x πππ-≤-≤， 因为函数sin y x =在57,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不是单调函数， 则函数()h x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单不是单调函数，故D 错误. 故选：C. 【点睛】本题考查三角恒等变形，考查三角函数的性质，是基础题.9．生活中我们通常使用十进制计数法，计算机常用二进制和十六进制，其中十六进制是逢十六进一，采用数字09-和字母A F -共16个计算符号，这些符号与十进制数的对应关系如下表：例如：用十六进制表示，15A B +=，1C F B +=，则B B ⨯=（ ） A ．2B B ．79C ．4BD ．81【答案】B【解析】首先计算出B B ⨯的值，再根据十六进制的含义表示出结果. 【详解】解：∵1111121B B ⨯=⨯=，121167÷=余9， 9160÷=余9，∴用十六进制表示为79. 故选：B. 【点睛】本题考查对十六进制含义的理解，是基础题.10．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2sin f x f x x --=，当0x ≤时，()1f x '>，若()36f t f t t ππ⎛⎫⎛⎫≤-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则实数t 的取值范围为（ ）A ．,6π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．,6π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．,3π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．,3π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】构造函数()()sin g x f x x =-，可得出该函数为偶函数，利用导数分析出函数()y g x =在(],0-∞上单调递增，进而可得出该函数在[)0,+∞上单调递减，将所求不等式变形为()3g t g t π⎛⎫≤-⎪⎝⎭，可得()3g t g t π⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，可得出3t t π≥-，由此可解得实数t 的取值范围.【详解】由()()2sin f x f x x --=可得()()sin sin f x x f x x -=-+，构造函数()()sin g x f x x =-，则()()()()()sin sin g x f x x f x x g x -=---=-+=， 所以，函数()y g x =为偶函数，当0x ≤时，()()cos 1cos 0g x f x x x ''=->-≥，所以，函数()y g x =在(],0-∞上单调递增，则该函数在[)0,+∞上单调递减，13sin sin sin sin sin 3226t t t t t t t t ππ⎫⎛⎫⎛⎫--=--==-⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由()36f t f t t ππ⎛⎫⎛⎫≤-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得()sin sin 33f t f t t t ππ⎛⎫⎛⎫≤-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即()sin sin 33f t t f t t ππ⎛⎫⎛⎫-≤--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()3g t g t π⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，则()3g t g t π⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，由于函数()y g x =在[)0,+∞上单调递减，所以，3t t π≥-，解得6t π≥. 因此，实数t 的取值范围是,6π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故选：B. 【点睛】本题考查函数不等式的求解，利用题中等式构造新函数()()sin g x f x x =-是解答的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题. 11．已知ABC 的面积为2，23A π=，P 为线段BC 上一点，2PC BP =，点P在线段AB 和AC 上的投影分别为点,M N ，则PMN 的面积为（ ） A ．29B ．13C ．49D ．59【答案】B【解析】首先利用三角形的面积公式得到833AB AC ⋅=，之后根据比值得到小三角形的面积，进而求得43PM PN ⋅=，之后应用三角形面积公式求得结果. 【详解】因为ABC 的面积为2，23A π=，所以3sin A =，所以1sin 22ABC S AB AC A ∆=⋅=，即33AB AC ⋅=， 因为2PC BP =，所以12ABP ACP S S ∆∆=， 又因为1122233ABP S AB PM ∆=⋅⋅=⨯=，所以43AB PM ⋅=， 同理可得83AC PN ⋅=，所以329AB PM AC PN ⋅⋅⋅=，因为AB AC ⋅=，所以PM PN ⋅=因为sin sin()2NPM A π∠=-=所以111sin()22923PMN S PM PN A π∆=⋅⋅⋅-=⨯=， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关三角形的问题，涉及到的知识点有三角形的面积公式，属于中档题.12．已知双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的焦距为4，直线l 与双曲线C 的渐近线分别交于,A B 两点，若AB 的中点在双曲线C 上，O 为坐标原点，且ABO C 的离心率为（ ）A B C ．2 D ．2【答案】C【解析】由渐近线设1122,,,b b A x x B x x a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,求出中点,代入双曲线方程可得212x x a =，设1l 的倾斜角为α，利用三角形面积公式1sin 22S OA OB α=，化简可得ab =,a b ，进而可得离心率. 【详解】由题意可知,A B 只能在双曲线的同侧，当交点,A B 在y 轴右侧时，作图如下：双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>，则渐近线方程为：b y x a =±.则1122,,,b b A x x B x x a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则AB 的中点()1212,22b x x x x M a -⎛⎫+ ⎪⎝⎭在双曲线C 上，可得:()()22121222144x x x x a a +--=,即212x x a =. 设1l 的倾斜角为α，则tan baα=， 又因为ABO 的面积1sin sin 2cos cos sin cos 2cos S OA OB OA OB OA OB ααααααα===212tan 3bx xa ab aα==⋅==， 222+=a b c ，24c =，解得：31a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩或13a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，故离心率为：23c e a ==或2. 同理可知当交点,A B 在y 轴左侧，利用对称性，可转化为在y 轴右侧情况. 故选：C.【点睛】本题考查双曲线的方程与性质，考查直线与双曲线的关系，考查运算求解能力以及转化思想，属于难题.二、填空题13．若某班40名同学某次考试数学成绩X （满分150分）近似服从正态分布()290,N σ，已知()60900.35P X <<=，则可估计该班120分以上的人数约为______.【答案】6【解析】根据考试的成绩X 服从正态分布()290,N σ，得到考试的成绩X 关于90X =对称，根据()60900.35P X <<=，得到()90120P X <<，进而可得到()120P X >，根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数. 【详解】解：∵考试的成绩X 服从正态分布()290,N σ，∴考试的成绩X 关于90X =对称， ∵()60900.35P X <<=，∴()()9012060900.35P X P X <<=<<=，()()()19012060901200.152P X P X P X -<<-<<∴>==，∴该班数学成绩在120分以上的人数约为400.156⨯=. 故答案为：6. 【点睛】本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩X 关于90X =对称，利用对称求出要用的一段分数的频率，题目得解.14．已知实数,x y 满足不等式组1021020x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，若目标函数z x ay =+仅在点13,22⎛⎫⎪⎝⎭处取最大值，则实数a 的取值范围为______. 【答案】1,【解析】画出可行域，将目标函数z x ay =+仅在点13,22⎛⎫⎪⎝⎭处取最大值，转化为目标函数仅在过A 点时，在x 轴上的截距最大，得出直线的斜率范围，从而求得a 的取值范围. 【详解】作出可行域如图所示，目标函数z x ay =+，令0y =，则z x =，即目标函数仅在过A 点时，在x 轴上的截距 最大，如图旋转l 并观察，则l 的斜率k ∈(1,0)-，即110a-<-<，得1a >. 故答案为：(1,)+∞ 【点睛】本题考查了线性规划中目标函数仅在某点处取最值的问题，解题的关键在于画出可行域，转化为目标函数仅在过该点取最值，确定直线的斜率的范围.15．已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 在棱AD 上，且2AE DE =，则过点1B 且与平面1A BE 平行的正方体的截面面积为______.【答案】3【解析】取ED 的中点F ，取G,使11113AG A D =，取H 使13BH BC =,连接1,,GF FH GB ,根据面面平行的判定定理可证得面1//A EB 面1FHB G ,求出边长，及对角线长，根据菱形的面积公式即可求出结果. 【详解】取ED 的中点F ，取G,使11113AG A D =，取H 使13BH BC =,连接1,,GF FH GB ,由平行性质可知1//FH GB 且1FH GB =，即四边形1FHB G 为平行四边形，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 在棱AD 上，且2AE DE =，1233AE AD ==, ∴1//,//BE FH A E GF ,∴//BE 面1FHB G ,1//A E 面1FHB G ,1,A E EB E ⋂= ∴面1//A EB 面1FHB G ,FH EB ===1FG A E ===,∴四边形1FHB G 为菱形，1GH A E ==∴ 13B F ===.截面面积1112233S GH B F =⨯=⨯=【点睛】本题考查截面面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.16．已知抛物线()2:0C y ax a =>的通径长为4，点(),P x y 是抛物线C 上任意一点，则()2241xy y y x +++的最大值为______. 【答案】15【解析】由抛物线的通径公式可求得4a =，由()2241xy y y x +++取最大值可得出0y >，利用基本不等式求得11x y+≥，由()()22141411xy yx y y x x y+=+++++，设11x t y +=≥，()14f t t t =+，利用双勾函数的单调性可求得()2241xy y y x +++的最大值.【详解】已知抛物线()2:0C y ax a =>的通径长为4a =，所以，抛物线C 的方程为24y x =，当0y >时，2111142144y x y y y y y y++==+≥⋅=，当且仅当12y =时，等号成立， 所以，()()()()2222114141411x yxy yx y y x y x x y++==+++++++，当()2241xy y y x +++取最大值时，0y >，且11x y+≥， 令1x t y +=，则1t ≥，由双勾函数的单调性可知，函数()14f t t t=+在[)1,+∞上单调递增， 因此，当11x y +=时，()2241xy y y x +++取得最大值15. 故答案为：15. 【点睛】本题考查利用基本不等式和双勾函数求代数式的最值，同时也考查了抛物线方程的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题17．在锐角ABC 中，内角A 、B 、C 的对应的边长分别为a 、b 、c ，若ABC 的面积2sin S a B =，且sin sin sin A B C =. （1）求角B ；（2）求22b a的值.【答案】（1）6B π=；（2）225b a=-.【解析】（1）由21sin sin 2S a B ac B ==可得出2c a =，再由sin sin sin A B C =结合正弦定理边角互化思想可求得sin B 的值，再由角B 为锐角可求得角B 的值；（2）由（1）可得2c a =，再由余弦定理可求得22b a的值.【详解】（1）因为21sin sin 2S a B ac B ==，所以2c a =， 而sin sin sin A B C =，即sin a c B =，所以1sin 2B =，又因为B 为锐角，所以6B π=；（2）由（1）知2c a =，又因为6B π=，则cos B =由余弦定理得(2222222cos 545b a c ac B a a a =+-=-=-，因此，225b a =-.【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想和三角形面积公式的应用，同时也考查了利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于基础题.18．已知椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的短轴长为C 经过点3,12A ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知点,P Q 是椭圆C 上关于原点的对称点，记AP AQ λ=⋅，求λ的取值范围.【答案】（1）22143y x +=（2）31,44λ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 【解析】（1）先由短轴长求出b ，再将点3,12A ⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入椭圆方程可得a ，进而可得椭圆方程；（2）设()00,P x y ，则()00,Q x y --，由点,P Q 在椭圆C 上得到220334y x =-，代入点的坐标可得201144AP AQ y λ=⋅==-，由20y 的范围可得λ的取值范围.【详解】解：（1）依题意得2b =b =将点3,12A ⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入椭圆方程得：221914a b+=，又因为b =2a =，所以椭圆C 的方程为22143y x +=；（2）设()00,P x y ，则()00,Q x y --，有2200143y x +=，即2200334y x =-， 则000033,1,122AP AQ x y x y λ⎛⎫⎛⎫=⋅=--⋅---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22222000003991113144444y x y y y ⎛⎫=-+-=--+-=- ⎪⎝⎭， 又因为[]200,4y ∈，所以201131,4444y λ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，考查椭圆的对称性及有界性的应用，是中档题.19．如图所示，正方形ABCD 边长为2，将ABD △沿BD 翻折到PBD △的位置，使得二面角P BD A --的大小为120︒.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBD ；（2）点M 在直线PD 上，且直线BM 与平面ABCD 3M BC P --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）57【解析】（1）根据已知可得,AE BD PE BD ⊥⊥，证明得BD ⊥平面PAC ，即可证明结论；（2）由（1）得PEA ∠即为二面角P BD A --的平面角，即120PEA ∠=︒，建立如下图直角坐标系，得出,,,D B C P 坐标，设DM DP λ=，由已知条件结合直线与平面所成角公式，求出λ，确定DM 坐标，分别求出平面MBC 和平面PBC 法向量坐标，再由空间向量的二面角公式，即可求解. 【详解】（1）证明：设AC 交BD 于点E ，连接PE ，即E 为BD 中点， 又因为AB AD =，所以AE BD ⊥，因为PD PB =，所以PE BD ⊥ 由于AE ⊂平面PAC ，PE ⊂平面PAC ，AE PE E ⋂= 所以BD ⊥平面PAC ，又因为BD ⊂平面PBD ， 所以平面PAC ⊥平面PBD .（2）因为,AE BD PE BD ⊥⊥，所以PEA ∠即为二面角P BD A --的平面角，即120PEA ∠=︒， 得60PEC ∠=︒，由2AB =，2EP EC PC ===以D 点为原点建立如图空间直角坐标系D xyz -， 则()0,0,0D ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，136,22P ⎛⎝⎭， 设136(,)22DM DP λλλ==， 所以1362,22BM BD DM λλ⎛⎫=+=--⎪⎝⎭平面ABCD 的一个法向量可为()0,0,1n =， 因为直线BM 与平面ABCD 3所以222632cos ,213622222n BM n BM n BMλλλλ⋅===⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 解得2λ=，所以(6BM =-，()2,0,0CB =，设平面MBC 的法向量为()1111,,n x y z =，则1100n BM n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11116020x y z x ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩，令16y =()10,6,1n =-，因为11,,222CP ⎛=- ⎝⎭，()2,0,0CB =设平面PBC 的法向量为()2222,,n x y z =，则2200n CP n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22221102220x y z x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，令2y =，得()20,6,1n =， 所以121265cos 77n n n n θ⋅===， 即二面角M BC P --的余弦值为57. 【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直，以及应用空间向量法求线面与面面所成的角，注意空间垂直关系相互转化，考查逻辑推理和计算求解能力，属于中档题. 20．已知函数()()1axf x x e =-（a R ∈，e 为自然对数的底数）.（1）若1a =，求函数()f x 的图像在点()()1,1f 处的切线方程； （2）()()g x f x x =+在R 上单调递增，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）e e0xy （2）(],2-∞【解析】（1）首先求导()xf x xe '=，求出切点坐标和斜率，再利用点斜式即可求出切线方程.（2）首先根据题意得到()0g x '≥恒成立，令0x =，得到()20g x a '=-≥，即2a ≤，再分类讨论a 的范围证明()g x 在R 上单调递增即可. 【详解】（1）当1a =时，()()1xf x x e =-，()xf x xe '=所以()10f =，切点为(1,0)，()1k f e '== 所以切线方程为()01y e x -=-，即e e 0x y（2）()()1axg x x e x =-+所以()()()1111axaxaxg x e a x e ax a e '=+-+=-++因为()g x 在R 上单调递增，则()0g x '≥恒成立， 令0x =，则()20g x a '=-≥，得2a ≤ 下面证当2a ≤时，()g x 在R 上单调递增. 构造函数()()1,2axF x ax a ex R a -=-++∈≤()()1ax ax F x a ae a e --'=-=-当0a <时，0x <时，()0F x '<，0x >时，()0F x '> 得()F x 在(),0-∞单调递减，在()0,∞+单调递增.()()min 020F x F a ==->，即10ax ax a e --++>恒成立，整理得：()11axax a e-+>-恒成立，即：()()110axg x ax a e '=-++>恒成立，所以()g x 在R 上单调递增. 当0a =时，()21g x x =-显然在R 上单调递增.当02a <≤时，0x <时，()0F x '<，0x >时，()0F x '> 得()F x 在(),0-∞单调递减，在()0,∞+单调递增.()()min 020F x F a ==-≥，即：10ax ax a e --++≥恒成立，整理得：()11axax a e -+≥-恒成立，从而()()110axg x ax a e '=-++≥恒成立，所以()g x 在R 上单调递增.综上，实数a 的取值范围为(],2-∞ 【点睛】本题第一问主要考查导数的几何意义中的切线问题，第二问考查利用导数研究函数的单调性，根据题意构造函数为解题的关键，属于难题.(1)求出数列{}n P 的通项公式和1n S +的表达式；(2)设该人进行一次答题活动中获得的积分记为X ，该人答对每道题的概率设为45p =，求随机变量X 的分布列和数学期望EX .（估算时请使用以下数据：540.335⎛⎫≈ ⎪⎝⎭，1040.115⎛⎫≈ ⎪⎝⎭，计算结果保留到小数点后两位.） 【答案】(1)()()211nn P n p p =+-；()()111111n n S n p p++=-++-⎡⎤⎣⎦；(2)分布列见解析；期望为2.97.【解析】(1)根据题意可知，该人共答了2n +道题，前1n +道题中答错1题且最后一题是答错的，由此列式即可求出n P ，然后利用错位相减法即可求出1n S +；(2)求出X 的所有可能取值并求出相应的概率，然后列出X 的分布列，根据数学期望公式即可求出EX . 【详解】(1)由题意知，答题过程中每次均有两题答错后离场，且最后一题一定是答错的，故()()211(1)(1)11n nn n P C p p p n p p +=-⋅-=+-，所以()()22111231n n S p p p n p +⎡⎤=-+++++⎣⎦①，()()22311123...1n n n pS p p p p np n p ++⎡⎤=-++++++⎣⎦②，①－②得：()()()()()1222311111111111n nn n n p p S p p p p p n pp n p p ++++⎡⎤-⎡⎤-=-+++++-+=--+⎢⎥⎣⎦-⎣⎦， 故()()111111n n S n p p++=-++-⎡⎤⎣⎦.(2)X 的所有可能取值为03,6,()501234540120.345P X P P P P P S ⎛⎫==++++==-⨯≈ ⎪⎝⎭，()51056789104443230.3355P X P P P P P S S ⎛⎫⎛⎫==++++=-=⨯-⨯≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()61030.33P X P X P X ==-=-=≈，所以X 的分布列为：所以X 的数学期望00.3430.3360.33 2.97EX =⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题主要考查二项分布，事件独立性的概率计算及数学期望的计算，同时考查错位相减法求数列的和，属于中档题.22．在极坐标系中，点P 的极坐标是()1,π，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为k 的直线l 经过点P .（1）若1k =时，写出直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 和曲线C 相交于不同的两点,A B ，求线段AB 的中点M 的在直角坐标系中的轨迹方程.【答案】（1）10x y -+=；()2211x y -+=（2）221x y +=，1,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【解析】(1)利用极坐标和直角坐标的互化公式即可得解；(2)方法一：设直线l 的参数方程为：1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数）与曲线C 的方程联立，根据参数的几何意义求得()12cos 2M A B t t t α=+=，代入直线方程求得()212cos ,2sin cos M ααα-+化简消参即可得出结果. 方法二: 由于直线l 的斜率存在，设直线():1l y k x =+，与曲线C 方程联立，根据韦达定理可得2122121M x x k x k+-==+，代入直线求得()2211M M k y k x k =+=+，化简可得221M M x y +=，即可得出结果. 【详解】解：（1）P 点的直角坐标为()1,0-，所以直线:10l x y -+=22cos ρρθ=，可得222x y x +=，即()2211x y -+=（2）如图可知，直线和圆相切时，6πα=±.方法一：设直线l 的参数方程为：1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数）由于直线l 和曲线C 相交，所以,66ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭联立直线l 和曲线C 的方程可得24cos 30t t α-+=()12cos 2M A B t t t α=+= 所以()212cos ,2sin cos M ααα-+，即()cos2,sin 2M αα因此221M M x y +=，其中1cos 2,12M x α⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦即点M 的轨迹方程为221x y +=，1,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦方法二：显然直线l 的斜率存在，不妨设为k ，即直线():1l y kx =+， 与()2211x y -+=联立可得：()()22221220k x k x k ++-+=，()()222222410k k k =--+>△，可以解得213k <，即：k << 设()11,A x y ，()22,B x y ，所以2122221k x x k-+=+，所以2122121M x x k x k +-==+， 可得()2211M M k y k x k =+=+ 所以()()2222422422222222121241211111M M k k k k k k k x y k k k k ⎛⎫--++++⎛⎫+=+=== ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭++ 另一方面，由于213k <，所以2221211,1112M k x k k -⎛⎤==-∈ ⎥++⎝⎦ 综上，点M 的轨迹方程为211x y +=，1,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查极坐标和直角坐标的互化，考查利用参数方程和韦达定理解决直线和圆的关系中的轨迹法问题，属于中档题.23．设函数()x x =，()21g x x =-.（1）解不等式()()2f x g x +≤；（2）若()()22f x g x ax +>-对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）113x x ⎧-≤≤⎫⎨⎬⎩⎭（2）[]4,4- 【解析】(1) 零点分区间，去掉绝对值，()()f x g x +写成分段函数的形式，分段解不等式即可；(2)()()2f x g x +零点区间讨论写成分段函数，分别讨论在每一个区间()()22f x g x ax +>-恒成立时，参数满足的情况即可得解.【详解】解：（1）()()131,21211,0213,0x x f x g x x x x x x x ⎧-≥⎪⎪⎪+=+-=-<<⎨⎪-≤⎪⎪⎩当12x ≥时，312x -≤，即33x ≤，即1x ≤，即1x ≤，即112x ≤≤ 当102x <<时，12-≤x ，即1x ≥-，即102x << 当0x ≤时，312x -+≤，即13x ≥，即103x -≤≤ 综上所述，不等式的解集为113x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭（2）()()141,2122211,0214,0x x f x g x x x x x x ⎧-≥⎪⎪⎪+=+-=<<⎨⎪-≤⎪⎪⎩当12x ≥时，412x ax ->-，即()410a x -+> 所以()4014102a a -≥⎧⎪⎨-+>⎪⎩，得4a ≤ 当102x <<时，12ax >-，即30ax -<，所以132a ≤，即6a ≤ 当0x ≤时，142x ax ->-，即()430a x +-<，40a +≥即可，即4a ≥-综上所述，44a -≤≤，即a 的取值范围为[]4,4-【点睛】本题考查零点区间讨论法在解绝对值不等式中的应用，考查绝对值不等式恒成立时求解参数问题，属于中档题.。
江西省重点中学盟校2021届高三第一次联考数学(理)答案
n 6n ⎩ 1 1 ⎝ ⎭⎝ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎭江西省重点中学盟校 2021 届高三第一次联考理科数学答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BDCADAABBCCD5730 ⋅ ⎛ ln N f ⎫N ⎪ 10、t = ⎝ 0 ⎭ = 5730⋅ (2 log 3- 3)≈ 5730⨯ 0.17 ≈ 974ln 2 21 2 2⎛ 3 5 ⎫ 19π 11、 a = 1,V = π(⎰ 0 3xdx + ⎰ 1 (4- x )dx ) = π + ⎪ = ⎝ 2 3 ⎭ 612、设a = k ，则k - 1 ≤ ≤ k + 1 ，即 k 2 - k + 1 ≤ n ≤ k 2 + k + 1n2 2 4 4所以 a = k 数的项共有 2k 项， k = 45 时， k 2 - k = 1980 ， k 2+ k = 2080 所以 a= 44, a = 45∴ 1 + 1 + ....... + 1 = 1 ⨯ 2k ⨯ 44 + 1 ⨯ 41 = 88 411980 198113、λ= -2a 1 a 2 a 2021 k45 45⎧ 1 , n = 114、 a n = ⎨2n -2, n ≥ 215、10000⨯ 0.1359 = 135916、cos B =617、（1）设数列{a }的公差为 d ，则由题意(a + d )2= a (a +3d )----------------1 分 n1 1 1⇒ d 2 = a d ∴d = a = 2或者d = 0 ------------------3 分又 a 1 ≠ a 2021 ∴d ≠ 0∴d = 2 -----------------4 分∴ a n = a 1 + (n - 1)2 = 2n ---------------6 分（2）1=1=1 ⎛ 1-1⎫ ------------8 分a n a n +14n (n +1) 4 n n +1 ⎪1 ⎛ ⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫ ⎫n ∴T n = 4 1- 2 ⎪ + 2 - 3 ⎪ + .......+ n - n +1 ⎪ ⎪ =4 (n +1 )--------------------10 分1 2 2 1 1 1 1 1 1 { n 由 4 (n +1) = 505 2021得n = 2020 --------------12 分18、由棱台性质知：平面 ABCD ∥平面 A 1B 1C 1D 1 ， AD ∥ A 1D 1 ,取 A 1D 1 的中点 E ，AD = AA 1 且 AD ∥ A 1E ∴ 四 边 形 ADA 1D 1 是 平 行 四 边 形 ∴ DE 、 AA 1 ⊥ 平 面ABCD ∴ A A 1 ⊥ AD ∴ A 1D = DD 1 = ∴ A D 2 +D D 2 =A D 2∴ A D ⊥ DD ------------2 分AA 1 ⊥ 平面 A 1B 1C 1D 1 ∴C 1D 1 ⊥ AA 1 又C 1D 1 ⊥ A 1D 1 ，∴C 1D 1 ⊥ 平面 A 1D 1DA --------4 分故 A 1D ⊥ C 1D 1 ，又 A 1D ⊥ DD 1 ， DD 1 ⋂ C 1D 1 =D 1 ∴ A 1D ⊥ 平面DD 1C 1C ------6 分（2）如图建坐标系 D （0,1,1）, B 1 (2,0，0) D 1 (0,2，0） C 1 (2,2，0) ,C(1,1，1)由（1）知 A 1D =（0,1,1）是平面DD 1G 一个法向量-----------------------7 分令 n = (x , y , z ) 是平面CD 1B 1 的一个法向量，设 B 1C = (-1,1,1) , B 1D 1 = (-2, 2, 0)n ⋅ B 1 D 1 =0 n ⋅B 1C =0{x = y =1-2 x + 2 y =0- x + y + z =0 令cos z =0 则 n = (1,1, 0) ------------------------------9 分1n , A 1D = = 2-----------------------------11 分所以二面角 D - GD - B 的平面角为120︒------------12 分1119、（1）完成表格如下骑车不骑车 合计 45 岁以下 35 15 50 45 岁及其以上20 30 50 合计5545100-------2 分2 ⇒ { ,= 2 + = 2 10（0 35 ⨯30-15 ⨯ 20）2(7 ⨯ 6-3⨯ 4)2κ2 ==50 ⨯ 50 ⨯ 55⨯ 4511⨯ 9≈9.1 >7.879 -------5 分所以有 95%把握认为该地区市民是否考虑骑自行车与他(她)是不是“青年人”有 关--------6 分。
2021年江西省重点中学高考数学第一次联考试卷(理科)有答案
2021年江西省重点中学高考数学第一次联考试卷（理科）学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 已知集合A＝{0, 1, 2, 3}，集合B＝{x|x2＝x}，则A∩B＝（）A.{0, 1, 2, 3}B.{−1, 0, 1}C.{1, 2}D.{0, 1}2. 已知复数z＝，则的虚部是（）A.1B.−1C.−iD.i3. 已知p：≤1，q:a2−1≥0，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. sin155∘sin35∘−cos25∘cos35∘＝（）A. B. C. D.5. 在的展开式中，x2y5的系数是（）A.20B.C.−12D.6. “干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为”十天干”；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、西、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅、……癸酉；甲戌、乙亥、丙子、…、癸未；甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳；…，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽．2021年是“干支纪年法”中的辛丑年，那么2121年是“干支纪年法”中的（）A.庚午年B.辛未年C.庚辰年D.辛巳年7. 若函数的图象向右平移个单位后与函数y＝cos2ωx的图象重合，则ω的值可能为（）A.−1B.−2C.D.8. 如图ABCDEF为五面体，其中四边形ABCD为矩形，EF // AB，AB＝3EF＝AD＝3，△ADE和△BCF都是正三角形，则该五面体的体积为（）A. B. C. D.9. 在三角形ABC中，E、F分别为AC、AB上的点，BE与CF交于点Q，且＝2，＝3，AQ交BC于点D，，则λ的值为（）A.3B.4C.5D.610. 如图所示，A，B，C是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BF⊥AC且|BF|=|CF|，则该双曲线的离心率是( )A.√102B.√10 C.32D.311. 设k，b∈R，若关于x的不等式ln x+x≤k(x+1)+b在(0, +∞)上恒成立，则的最小值是（）A.−e2B.C.−e+1D.−e−112. （3分）已知，则下列不等关系正确的是（）A.f(log27)<f(log0.52.5)<f(1)B.f(log0.52.5)<f(log27)<f(1)C.f(1)<f(log0.52.5)<f(log27)D.f(1)<f(log27)<f(log0.52.5)13. 已知实数x，y满足约束条件{x+2y≥2 x−y≤2x−4y+4≥0，则z=3x−y的最大值为________．14. 已知函数f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝sin x−1，则函数f(x)在处的切线方程为________．15. 过抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l与C相交于A．B两点，且A，B两点在准线上的射影分别为M，N，△AFM的面积与△BFN的面积互为倒数，则△MFN的面积为________．16. 在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB // CD，AB⊥AD，CD＝AD＝AB＝2，若动点Q在平面PAD内运动，使得∠CQD与∠BQA相等，则三棱锥Q−ACD的体积最大时的外接球的体积为________．17. 已知等差数列{a n}为递减数列且首项a1＝5，等比数列{b n}前三项依次为a1−1，a2+2，3a3．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{a n+b n}的前n项和S n．18. 如图，在三棱锥A−BCD中，△ABD是等边三角形，AC＝2，BC＝CD＝，E为空间内一点，BC⊥CD，且△CDE为以CD为斜边的等腰直角三角形．（1）证明：平面ABD⊥平面BCD；（2）若BE＝2，试求平面ABD与平面ECD所成锐二面角的余弦值．19. 已知椭圆C：，长轴为4，不过原点O且不平行于坐标轴的直线l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，直线OM的斜率与直线1的斜率的乘积为定值．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线1过右焦点F2，问y轴上是否存在点D，使得三角形ABD为正三角形，若存在，求出点D，若不存在，请说明理由．20. 某超市计划按月订购一种预防感冒饮品，每天进货量相同，进货成本每瓶5元，售价每瓶8元，未售出的饮品降价处理，以每瓶3元的价格当天全部处理完．根据一段时间以来的销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：∘C）有关．如果最高气温不低于30，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[25, 30)，需求量为300瓶；如果最高气温低于25，需求量为200瓶．为了确定七月份的订购计划，统计了前三年七月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．（1）求七月份这种饮品一天的需求量x（单位：瓶）的分布列；（2）若七月份一天销售这种饮品的利润的数学期望值不低于700元，则该月份一天的进货量n（单位：瓶）应满足什么条件？21. 已知函数．（1）讨论函数f(x)的单调区间．（2）若当a＝1时，，求证：F(x)>0．22. 在直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）写出曲线C1，C2的普通方程；（2）过曲线C1上任意一点P作与C2夹角为60∘的直线，交C2于点A，求|PA|的最大值与最小值．23. 已知a，b，c为正数．（1）证明≥3；（2）求的最小值．参考答案与试题解析2021年江西省重点中学高考数学第一次联考试卷（理科）一、选择题（本题共计 11 小题，每题 3 分，共计33分）1.【答案】D【考点】交集及其运算【解析】可求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】∵A＝{0, 1, 2, 3}，B＝{0, 1}，∴A∩B＝{0, 1}．2.【答案】A【考点】复数的运算【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求出得答案．【解答】∵＝，∴，则则的虚部是1，3.【答案】B【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】根据不等式的性质求出p和q的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】由≤1，得a≥1或a<0，即p:a≥1或a<0，由a2−1≥0，得a≥1或a≤−1，即q:a≥1或a≤−1，则q⫋p，故p是q的必要不充分条件，4.B【考点】两角和与差的三角函数【解析】由已知结合诱导公式及两角和的余弦公式，即可求解．【解答】sin155∘sin35∘−cos25∘cos35∘＝sin25∘sin35∘−cos25∘cos35∘＝−cos60∘＝-．5.【答案】C【考点】二项式定理及相关概念【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】D【考点】进行简单的合情推理【解析】从2021到2121年经过100年，由简单的合情推理结合阅读，理解“干支纪年法”，通过运算可得解．【解答】天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥，天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，2021年是“干支纪年法”中的辛丑年，则2121的天干为辛，地支为巳，7.【答案】C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】A棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】过F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，取BC中点P，连接OP，PF，过O作BC的平行线QH，交AB于点Q，交CD于H，采用分割的方法，把该几何体分为三部分，如图，包含1个三棱柱EMN−FQH，两个全等的四棱锥E−AMND，F−QBCH，分别求出其体积即可求出所求．【解答】过F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，取BC中点P，连接OP，PF，过O作BC的平行线QH，交AB于点Q，交CD于H，因为AD＝3，所以AD＝2，因为△ADE和△BCF都是正三角形，边长为2，所以OP＝QB＝(AB−EF)＝(3−1)＝1，PF＝，OF＝，采用分割的方法，把该几何体分为三部分，如图，包含1个三棱柱EMN−FQH，两个全等的四棱锥E−AMND，F−QBCH，所以该几何体的体积为V＝V EMN−FQH+2V F−QBCH，又因V EMN−FQH＝S△QFH×MQ＝|QH|⋅|OF|×MQ＝，V F−QBCH＝S矩形QBCH×FQ＝，所以V＝+2×＝．9.【答案】C【考点】平面向量的基本定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】A【考点】双曲线的离心率双曲线的标准方程运用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，求得A的坐标，由对称得B的坐标，由于BF⊥AC且|BF|=|CF|，求得C的坐标，代入双曲线方程，结合a，b，c的关系和离心率公式，化简整理成离心率e的方程，代入选项即可得到答案．【解答】解：设左焦点为F′，连接AF′，BF′，CF′，由OA=OB，OF=OF′，BF⊥AC，可得四边形AFBF′为矩形，设AF=m，则FC=FB=AF′=m+2a，CF′=m+4a，在直角△ACF′中，(m+2a)2+(2a+2m)2=(m+4a)2，解得m=a，在直角△FAF′中，AF2+AF′2=FF2，即a2+(3a)2=(2c)2，即4c2=10a2，a，即c=√102故e=√10.2故选A.11.【答案】C【考点】利用导数研究函数的最值【解析】由ln x+x−k(x+1)≤b在(0, +∞)上恒成立，令f(x)＝ln x+x−k(x+1)，(x>0)，根据函数的单调性求出f(x)的最大值，得到−ln(k−1)−1−k≤b，而≥，令k−1＝u，g(u)＝1−-，根据函数的单调性求出g(u)的最小值，从而求出的最小值即可．【解答】ln x+x≤k(x+1)+b在(0, +∞)上恒成立，则ln x+x−k(x+1)≤b在(0, +∞)上恒成立，令f(x)＝ln x+x−k(x+1)，(x>0)，则f′(x)＝+1−k，若k≤1，则f′(x)>0，可得f(x)在(0, +∞)递增，当x→∞时，f(x)→∞，故不等式不能成立，故k>1当＝k−1时，f(x)取得最大值，f(x)max＝f（）＝−ln(k−1)−k−1，即b≥−ln(k−1)−1−k，故≥，∴＝2+≥2+＝，令k−1＝u，g(u)＝＝1−-，故g′(u)＝-＝，当ln u＝−1时，u＝，g(u)min＝−2e+e+1＝1−e，故的最小值是1−e，二、多选题（本题共计 1 小题，共计3分）12.【答案】【考点】对数值大小的比较【解析】画出函数的大致图像，由函数f(x)的图像可知，f(1)是最大值，f(x)的图像关于直线x＝1对称，再比较log27和log0.52.5与1的距离，即可得到f(log27)与f(log0.52.5)的大小关系．【解答】画出函数的大致图像，如图所示：，函数f(x)的图像关于直线x＝1对称，由函数f(x)的图像可知，f(1)是最大值，∵|log27−1|＝|log27−log22|＝<2，|log0.52.5−1|＝|log0.52.5−log0.50.5|＝log25>2，∴f(log27)>f(log0.52.5)，∴f(log0.52.5)<f(log27)<f(1)，故选：B．三、填空题（本题共计 4 小题，每题 3 分，共计12分）13.【答案】10【考点】简单线性规划【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】由约束条件作出可行域如图，联立{x−4y+4＝0x−y＝2，解得A(4, 2)，化目标函数z=3x−y为y=3x−z，由图可知，当直线y=3x−z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为10．14.【答案】y＝2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答15.【答案】2【考点】抛物线的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答16.【答案】4π【考点】球的表面积和体积柱体、锥体、台体的体积计算球内接多面体【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答四、解答题（本题共计 7 小题，每题 10 分，共计70分）17.【答案】设等差数列{a n}的公差为d，由题设可得：(a2+2)2＝3a3(a1−1)，又a1＝5，∴(5+d+2)2＝3(5+2d)×4，即(d+7)2＝12(5+2d)，解得d＝−1或d＝11（舍），∴a n＝5−(n−1)＝6−n，又∵b1＝a1−1＝4，b2＝a2+2＝6，∴公比q＝，b n＝4×（）n−1；由（1）可得：a n+b n＝6−n+4×（）n−1，∴S n＝(5+4+3+...+6−n)+4[1++（）2+...+（）n−1]＝+4×＝+8[（）n−1]．【考点】等差数列与等比数列的综合数列的求和【解析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，由题设求出d即可求得a n，进而求得等比数列{b n}的首项b1与公比q，即可求得b n；（2）先由（1）求得a n+b n，再利用分组求和法求得其前n项和S n即可．【解答】设等差数列{a n}的公差为d，由题设可得：(a2+2)2＝3a3(a1−1)，又a1＝5，∴(5+d+2)2＝3(5+2d)×4，即(d+7)2＝12(5+2d)，解得d＝−1或d＝11（舍），∴a n＝5−(n−1)＝6−n，又∵b1＝a1−1＝4，b2＝a2+2＝6，∴公比q＝，b n＝4×（）n−1；由（1）可得：a n+b n＝6−n+4×（）n−1，∴S n＝(5+4+3+...+6−n)+4[1++（）2+...+（）n−1]＝+4×＝+8[（）n−1]．18.【答案】证明：取BD中点O，连接OC、OA，因为△ABD是等边三角形，BD＝2，所以AO⊥BD，OA＝，又因为BC＝CD＝，BC⊥CD，所以OC＝1，OC⊥BD，AC2＝OA2+OC2所以AO⊥OC，又OC∩BD＝O，所以OA⊥平面BCD，又OA⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCD，由（1）知OA、OD、OC两两垂直，所以可建立如图所示的空间直角坐标系．取CD中点F，连接OF、EF，△CDE为以CD为斜边的等腰直角三角形，所以CD⊥EF，EF＝OF＝，设∠OFE＝π−θ，E（(1+cosθ)，(1+cosθ)，），B(0, −1, 0)，BE＝2，（(1+cosθ)−0)2+（(1+cosθ)+1)2+（−0)2＝4，解得cosθ＝，sinθ＝，E（，，），C(1, 0, 0)，D(0, 1, 0)，＝(−1, 1, 0)，＝（，，），设平面ECD的法向量为＝(x, y, z)，则•＝0，•＝0，，令y＝1，＝(1，1，-）平面ABD的法向量为＝(1, 0, 0)，|cos<>|＝＝＝．所以平面ABD与平面ECD所成锐二面角的余弦值为．【考点】二面角的平面角及求法平面与平面垂直【解析】（1）先证明△AOC为直角三角形，再证明OA⊥平面BCD，最后证明平面ABD⊥平面BCD即可；（2）建立坐标系，先求平面ABD与平面ECD面的法向量，再用夹角公式，得到夹角余弦值．【解答】证明：取BD中点O，连接OC、OA，因为△ABD是等边三角形，BD＝2，所以AO⊥BD，OA＝，又因为BC＝CD＝，BC⊥CD，所以OC＝1，OC⊥BD，AC2＝OA2+OC2所以AO⊥OC，又OC∩BD＝O，所以OA⊥平面BCD，又OA⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCD，由（1）知OA、OD、OC两两垂直，所以可建立如图所示的空间直角坐标系．取CD中点F，连接OF、EF，△CDE为以CD为斜边的等腰直角三角形，所以CD⊥EF，EF＝OF＝，设∠OFE＝π−θ，E（(1+cosθ)，(1+cosθ)，），B(0, −1, 0)，BE＝2，（(1+cosθ)−0)2+（(1+cosθ)+1)2+（−0)2＝4，解得cosθ＝，sinθ＝，E（，，），C(1, 0, 0)，D(0, 1, 0)，＝(−1, 1, 0)，＝（，，），设平面ECD的法向量为＝(x, y, z)，则•＝0，•＝0，，令y＝1，＝(1，1，-）平面ABD的法向量为＝(1, 0, 0)，|cos<>|＝＝＝．所以平面ABD与平面ECD所成锐二面角的余弦值为．19.【答案】由题意可知2a＝4，可得a＝7，设点A(x1, y1)，B(x7, y2)，A，B在椭圆上，所以+＝1，①+；②k AB⋅k OM＝-，所以•＝-②-①可得：-＝-，所以b2＝•a2＝×4＝3，所以椭圆C的方程为：+＝1；设直线l:y＝k(x−1)，，整理可得：(5+4k2)x8−8k2x+8k2−12＝0，所以x7+x2＝，x1x2＝，所以y1+y2＝k(x1+x2−2)＝，所以AB的中点M（，），假设存在点D，则MD的直线方程为：y+(x−），可得y＝，所以D(0，），|AB|＝•＝•＝；|DM|＝•|，若△ABD为等边三角形，则|MD|＝，×＝，整理可得23k3+27＝0，显然无实数解，所以不存在这样的点D．【考点】椭圆的标准方程直线与椭圆的位置关系椭圆的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答20.【答案】依题意得，X的所有可能取值为200，300，500，由表格数据知：P(X＝200)＝＝0.3，P(X＝300)＝＝0.4，P(X＝500)＝＝0.3，则分布列为：由题意可知，这种饮品一天的需求量最多为500瓶，至少为200瓶，因此只考虑200≤n≤500．当300<n≤500时，E(Y1)＝0.3[200×3−2(n−200)]+0.4[300×3−(n−300)×2]+0.3×3n＝900−0.5n，当E(Y1)≥700，所以n≤400，当200≤n≤300时，E(Y2)＝0.3[200×3−2(n−200)]+0.7×3n＝1.5n+300，E(Y2)≥700，所以n≥，因为n∈Z，所以n≥267，所以267≤n≤400．【考点】离散型随机变量及其分布列离散型随机变量的期望与方差【解析】（1）由题意知X的可能取值为200，300，500，分别求出相应的概率，可得X的分布列；（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，考虑200≤n≤500，根据300<n≤500和200≤n<300分类讨论，即可求得n的取值范围．【解答】依题意得，X的所有可能取值为200，300，500，由表格数据知：P(X＝200)＝＝0.3，P(X＝300)＝＝0.4，P(X＝500)＝＝0.3，则分布列为：500瓶，至少为200瓶，因此只考虑200≤n≤500．当300<n≤500时，E(Y1)＝0.3[200×3−2(n−200)]+0.4[300×3−(n−300)×2]+0.3×3n＝900−0.5n，当E(Y1)≥700，所以n≤400，当200≤n≤300时，E(Y2)＝0.3[200×3−2(n−200)]+0.7×3n＝1.5n+300，E(Y2)≥700，所以n≥，因为n∈Z，所以n≥267，所以267≤n≤400．21.【答案】f′(x)＝，当a>0时，定义域是(0, +∞)，令f′(x)>0，解得：0<x<，令f′(x)<0，解得：x>，故f(x)在(0，）单调递增，在（，+∞)单调递减；当a<0时，定义域是(−∞, 0)，令f′(x)>0，解得：x<，令f′(x)<0，解得：<x<0，故f(x)在(−∞，）递增，在（，0)单调递减；综上：当a>0时，f(x)在(0，）单调递增，在（，+∞)单调递减；当a<0时，f(x)在(−∞，）递增，在（，0)单调递减．证明：要证F(x)>0，∵x>0，即证2ln x+9>0，令m(x)＝2ln x+9(x>0)，则m′(x)＝2••ln x+2•＝[ln x(1−ln x)+x]，设ℎ(x)＝(1−ln x)ln x+x，则ℎ′(x)＝-+1＝，令φ(x)＝x−2ln x+1，(x>0)，其中φ′(x)＝1−＝，当0<x<2时，φ′(x)<0，此时函数φ(x)单调递减，当x>2时，φ′(x)>0，此时函数φ(x)单调递增，故φ(x)min＝φ(2)＝3−2ln2>0，则对任意x>0，ℎ′(x)>0，故函数ℎ(x)在(0, +∞)上单调递增，∵ℎ（）＝(1−ln）ln+<0，ℎ(1)＝1>0，由零点存在定理可知，存在x0∈（，1)，使得ℎ(x0)＝(1−ln x0)ln x0+x0＝0，可得＝，当0<x<x0时，ℎ(x)<0，即F′(x)<0，此时函数F(x)单调递减，当x>x0时，ℎ(x)>0，即F′(x)>0，此时函数F(x)单调递增，故m(x)min＝m(x0)＝2ln x0+9＝2ln x0+9＝ln x0(2+），令t＝ln x0∈(−ln2, 0)，p(t)＝2+，p′(t)＝--<0，则函数p(t)在t∈(−ln2, 0)时单调递减，故p(t)<p(−ln2)＝2-<0，故m(x)min＝m(x0)>0，故对任意x>0，m(x)>0，即F(x)>0．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）令m(x)＝2ln x+9(x>0)，求出函数的导数，设ℎ(x)＝(1−ln x)ln x+x，根据导函数的单调性求出m(x)的单调性，求出m(x)的最小值，证明结论成立即可．【解答】f′(x)＝，当a>0时，定义域是(0, +∞)，令f′(x)>0，解得：0<x<，令f′(x)<0，解得：x>，故f(x)在(0，）单调递增，在（，+∞)单调递减；当a<0时，定义域是(−∞, 0)，令f′(x)>0，解得：x<，令f′(x)<0，解得：<x<0，故f(x)在(−∞，）递增，在（，0)单调递减；综上：当a>0时，f(x)在(0，）单调递增，在（，+∞)单调递减；当a<0时，f(x)在(−∞，）递增，在（，0)单调递减．证明：要证F(x)>0，∵x>0，即证2ln x+9>0，令m(x)＝2ln x+9(x>0)，则m′(x)＝2••ln x+2•＝[ln x(1−ln x)+x]，设ℎ(x)＝(1−ln x)ln x+x，则ℎ′(x)＝-+1＝，令φ(x)＝x−2ln x+1，(x>0)，其中φ′(x)＝1−＝，当0<x<2时，φ′(x)<0，此时函数φ(x)单调递减，当x>2时，φ′(x)>0，此时函数φ(x)单调递增，故φ(x)min＝φ(2)＝3−2ln2>0，则对任意x>0，ℎ′(x)>0，故函数ℎ(x)在(0, +∞)上单调递增，∵ℎ（）＝(1−ln）ln+<0，ℎ(1)＝1>0，由零点存在定理可知，存在x0∈（，1)，使得ℎ(x0)＝(1−ln x0)ln x0+x0＝0，可得＝，当0<x<x0时，ℎ(x)<0，即F′(x)<0，此时函数F(x)单调递减，当x>x0时，ℎ(x)>0，即F′(x)>0，此时函数F(x)单调递增，故m(x)min＝m(x0)＝2ln x0+9＝2ln x0+9＝ln x0(2+），令t＝ln x0∈(−ln2, 0)，p(t)＝2+，p′(t)＝--<0，则函数p(t)在t∈(−ln2, 0)时单调递减，故p(t)<p(−ln2)＝2-<0，故m(x)min＝m(x0)>0，故对任意x>0，m(x)>0，即F(x)>0．22.【答案】曲线C1的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为x2+y2＝1(y≥0)．曲线C2的极坐标方程为，根据转换为直角坐标方程为．曲线C1上的任意一点坐标为(cosθ, sinθ)θ∈[0, π]，到C2的距离d＝＝|，则PA＝＝，当θ＝0∘时，|PA|取得最小值为，当时，|PA|取得最大值为．【考点】参数方程与普通方程的互化圆的极坐标方程【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；（2）利用点到直线的距离公式和三角函数关系式的变换和余弦型函数的性质的应用求出结果．【解答】曲线C1的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为x2+y2＝1(y≥0)．曲线C2的极坐标方程为，根据转换为直角坐标方程为．曲线C1上的任意一点坐标为(cosθ, sinθ)θ∈[0, π]，到C2的距离d＝＝|，则PA＝＝，当θ＝0∘时，|PA|取得最小值为，当时，|PA|取得最大值为．23.【答案】证明：因为a>0，b>0，c>0，所以+≥2＝2，同理可得+≥2，+≥2，以上三式相加可得+++++≥6，所以（+−1)+（+−1)+（+−1)≥3，即++≥3（当且仅当3a＝2b＝c时等号成立）；因为a>0，b>0，c>0，所以a4+b4+c4+（++）4≥3+(3）4＝3(abc)+≥2＝18，当且仅当a＝b＝c＝3时，取得等号．所以原式的最小值为18．【考点】不等式的证明【解析】（1）由基本不等式分别推得+≥2，+≥2，+≥2，再由累加法，即可得证；（2）两次运用基本不等式，注意等号成立的条件，可得所求最小值．【解答】证明：因为a>0，b>0，c>0，所以+≥2＝2，同理可得+≥2，+≥2，以上三式相加可得+++++≥6，所以（+−1)+（+−1)+（+−1)≥3，即++≥3（当且仅当3a＝2b＝c时等号成立）；因为a>0，b>0，c>0，所以a4+b4+c4+（++）4≥3+(3）4＝3(abc)+≥2＝18，当且仅当a＝b＝c＝3时，取得等号．所以原式的最小值为18．。
2021届江西省高三第一次联考测试数学(理)试题Word版含答案
2021届江西省高三第一次联考测试数学（理）试题第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2|1,|A x x B x x a =≤=<，若AB B =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞B ．(],1-∞-C ．()1,+∞D ．[)1,+∞2.函数y = ）A ．()1,3-B ．(]1,3-C ．()()1,00,3-D ．()(]1,00,3-3.下列命题中：①“2000,10x R x x ∃∈-+≤”的否定；②“若260x x +-≥，则2x >”的否命题； ③命题“若2560x x -+=，则2x =”的逆否命题； 其中真命题的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 4.幂函数()()226844m m f x m m x-+=-+在()0,+∞为增函数，则m 的值为（ ）A ．1或3B ．1C ．3D ．25.已知函数()21xf x =-+，定义函数()()(),0,0f x x F x f x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩，则()F x 是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数6.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E F 、分别是边11AA CC 、的中点，点M 是1BB 上的动点，过三点E M F 、、的平面与棱1DD 交于点N ，设BM x =，平行四边形EMFN 的面积为S ，设2y S =，则y 关于x 的函数()y f x =的解析式为（ ） A ．()[]2322,0,12f x x x x =-+∈ B ．()[]2322,0,12f x x x x =-++∈C ．()[]3,0,12f x x x =-∈ D ．()[]3,0,12f x x x =-∈ 7.若函数()()22log 3f x x ax a =--在区间(],2-∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),4-∞ B ．(]4,4- C ．()[),42,-∞-+∞ D ．[)4,4-8.函数221x x e x y e =-的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．9.函数()ln x y e x a =-+（e 为自然对数的底数）的值域是正实数集R +，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(),1-∞- B ．(]0,1 C ．(]1,0- D ．()1,-+∞ 10.已知()f x '为()f x 的导函数，若()ln 2x f x =，且()3111212b b dx f a b x '=+-⎰，则a b +的最小值为（ ）A ．42．2 C ．92 D ．9222+ 11.已知函数()f x 和()1f x +都是定义在R 上的偶函数，若[]0,1x ∈时，()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．1532f f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ B ．1532f f ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．1532f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．1932f f ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12.如果定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意12x x ≠，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +≥+，则称()f x 为“H 函数”．给出下列函数：①31y x x =-++；②()32sin cos y x x x =--；③1xy e =+；④()()()ln 101x x f x x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，其中“H 函数”的个数有（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个第Ⅱ卷 非选择题二、填空题（本小题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若方程210x mx m -+-=有两根，其中一根大于2一根小于2的充要条件 是____________． 14.设,A B 是非空集合，定义{}|A B x x AB x A B ⊗=∈∉且．已知{}{}21|2,02,|2,0x M y y x x x N y y x -==-+<<==>，则M N ⊗=___________．15.若函数()()3211,220,11log ,2x a x f x a a x x -⎧⎛⎫⎪≤ ⎪⎪⎝⎭=>≠⎨⎪>⎪⎩且的值域是R ，则实数a 的取值范围是___________． 16.给出下列四个命题：①函数()()log 211a f x x =--的图像过定点()1,0；②已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，()()1f x x x =+，则()f x 的解析式为()2f x x x =-；③函数11y x =-的图像可由函数1y x =图像向右平移一个单位得到； ④函数11y x =-图像上的点到()0,1其中所有正确命题的序号是_____________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）设()()()()log 1log 30,1a a f x x x a a =++->≠，且()12f =． （1）求a 的值及()f x 的定义域； （2）求()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．18.（本小题满分12分）命题2:,10p x R ax ax ∀∈+-<，命题3:101q a +<-． （1）若“p 或q ”为假命题，求实数a 的取值范围；（2）若“非q ”是“[],1m m α∈+”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 19.（本小题满分12分）已知二次函数()f x 的对称轴()2,x f x =-的图像被x 轴截得的弦长为，且满足()01f =． （1）求()f x 的解析式；（2）若12x f k ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对[]1,1x ∈-恒成立，求实数k 的取值范围．20.（本小题满分12分）某店销售进价为2元/件的产品A ，假设该店产品A 每日的销售量y （单位：千件）与销售价格x （单位：元/件）满足的关系式()210462y x x =+--，其中26x <<． （1）若产品A 销售价格为4元/件，求该店每日销售产品A 所获得的利润；（2）试确定产品A 销售价格x 的值，使该店每日销售产品A 所获得的利润最大．（保留1位小数点） 21.（本小题满分12分） 已知函数()()22xf x x x cec R -=-+∈．（1）若()f x 是在定义域内的增函数，求c 的取值范围； （2）若函数()()()52F x f x f x '=+-（其中()f x '为()f x 的导函数）存在三个零点，求c 的取值范围． 22.（本小题满分12分） 已知函数()()ln ,x af x m a m R x-=-∈在x e =（e 为自然对数的底）时取得极值且有两个零点． （1）求实数m 的取值范围；（2）记函数()f x 的两个零点为12,x x ，证明：212x x e >．2021届江西省高三第一次联考测试数学（理）试题参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CDCBAADACCAA二、填空题13. 3m > 14. ()10,1,2⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦15. 2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎭16. ②④ 三、解答题17.解：（1）∵()12f =，∴()log 420,1a a a =>≠，∴2a =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分函数()f x 在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是()21log 42f ==，函数()f x 在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是()20log 3f =，∴()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域是[]2log 3,2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分18.解：（1）关于命题2:,10p x R ax ax ∀∈+-<，0a >时，显然不成立，0a =时成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 0a <时，只需240a a ∆=+<即可，解得：40a -<<，故p 为真时：(]4,0a ∈-；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分关于命题3:101q a +<-，解得：21a -<<，．．．．．．．．．．．．．．．6分 命题“p 或q ”为假命题，即,p q 均为假命题，则41a a ≤-≥或；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分（2）非:21q a a ≤-≥或，所以121m m +≤-≥或， 所以31m m ≤-≥或．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分19.解：（1）由题意可以设()(22f x a x x =+++-，．．．．．．．．．．．．．．．．2分 由()011f a =⇒=，∴()(22241f x x x xx =+++=++；．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）当[]1,1x ∈-时，11,222xt ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分∵()f x 开口向上，对称轴为2x =-，∴()f t 在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分∴()min 11324f t f ⎛⎫==⎪⎝⎭． ∴实数k 的取值范围是13,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20.解：（1）当4x =时，销量()210446212y =+-=千件， 所以该店每日销售产品A 所获得的利润是22142⨯=千元；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）该店每日销售产品A 所获得的利润：()()()()()()22321024610462456240278262f x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+-=+--=-+-<<⎢⎥-⎣⎦从而()()()()2121122404310626f x x x x x x '=-+=--<<．．．．．．．．．．．．．．．．．8分令()0f x '=，得103x =，且在102,3⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 在10,63⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x '<，函数()f x 递减，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 所以103x =是函数()f x 在()2,6内的极大值点，也是最大值点，．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 所以当103.33x =≈时，函数()f x 取得最大值.故当销售价格为3.3元/件时，利润最大．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分21.解：（1）因为()()22xf x x x cec R -=-+∈，所以函数()f x 的定义域为R ，且()2212xf x x ce -'=--，由()0f x '≥得22120x x c e ---≥，即()21212x c x e ≤-对于一切实数都成立．．．．．．．．．．．．2分 再令()()21212x g x x e =-，则()22x g x xe '=，令()0g x '=得0x =， 而当0x <时，()0g x '<，当0x >时，()0g x '>，所以当0x =时，()g x 取得极小值也是最小值，即()()min 102g x g ==-． 所以c 的取值范围是1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）由（1）知()2212xf x x c e-'=--，所以由()0F x =得()22252122x x x x ce x ce ---++--=，整理得2272x c x x e ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 令()2272x h x x x e ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，则()()()()222223231x xh x x x e x x e '=+-=+-， 令()0h x '=，解得3x =-或1x =， 列表得：由表可知当3x =-时，()h x 取得极大值62e -；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 当1x =时，()h x 取得极小值232e -． 又当3x <-时，2270,02x x x e +->>，所以此时()0h x >， 故结合图像得c 的取值范围是650,2e -⎛⎫⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分22.解：（1）()()21ln 1ln a x x a a xx f x x x--+-'==， 由()10a f x x e+'=⇒=，且当1a x e +<时，()0f x '>，当1a x e +>时，()0f x '<，所以()f x 在1a x e +=时取得极值，所以10a e e a +=⇒=，．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 所以()()()2ln 1ln ,0,x xf x m x f x x x -'=->=，函数()f x 在()0,e 上递增，在(),e +∞上递减，()1f e m e=-，()00x x →>时，();f x x →-∞→+∞时，()(),f x m f x →-有两个零点12,x x ，故11,00m m e e m ⎧->⎪<<⎨⎪-<⎩；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）不妨设12x x <，由题意知1122ln ln x mx x mx =⎧⎨=⎩，则()()221121221121lnln ,ln x x x x x m x x m x x m x x x =+=-⇒=-，．．．．．．．．．．．．．．．7分欲证212x x e >，只需证明：()12ln 2x x >，只需证明：()122m x x +>，即证：()122211ln2x x x x x x +>-，即证2122111ln21x x x x x x +>-，设211x t x =>，则只需证明：1ln 21t t t ->+，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 也就是证明：1ln 201t t t -->+，记()()1ln 2,11t u t t t t -=->+，∴()()()()222114011t u t t t t t -'=-=>++， ∴()u t 在()1,+∞单调递增，∴()()10u t u >=，所以原不等式成立，故212x x e >得证．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分。
江西省重点中学九校协作体2021届高三下学期第一次联考试题(2月) 数学(理)答案
江西省重点中学协作体第一次联考数学（理）答案一、选择题 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 D CBBCDBCACAC二、填空题17. 10 14.2=y 15.2 16.π31040 18. 解(1)由题意得：()()1,615472-=∴+⨯=+d d d ，或11=d (舍）∴n a n -=6............................................3分又 23,6,45211=∴==-=q b a b 公比123.4,-⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴n n b ............6分（2）123.4,6-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=n n n b n a())..........(..................................21212211n n n n n b b b a a a b a b a b a S +++++=++++++= nn n n s ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=∴23882112-2..........12分18．解：()1取BD 的中点O ，连接OC ，OA ，因为ABD △是等边三角形，2=BD 所以AO BD ⊥，...........2分 且3=AO ，又因为2BC CD ==，所以112CO BD ==，又2=AC 222AC OC AO =+∴OC AO ⊥∴................4分AO BD ⊥又因为CO BD O ⋂=，所以平面ABD BCD ⊥平面，............6分()2因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面CBD BD =，所以AO ⊥平面BCD ， 且2BD =，AO =故以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴建立空间直角坐标系，不妨令E 在平面BCD 上方取CD 的中点F ，连接OF ，EF ， 同理可证CD ⊥平面EOF，2OF =，2EF =， 设EFO πθ∠=-， 则()0,0,0O，()1,0,0C ，()0,1,0D，(00A ,，()0,1,0B -11cos ,co 1s ,221222E θθθ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭1cos ,co 113s ,22222BE θθθ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭23sin 21cos 2cos 232=∴=∴=+∴=θθθBE ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴464343，，E ..........8分 所以()1,1,0CD =-，1344CE ⎛=- ⎝⎭，， 设平面ECD 的一个法向量为(),,n x y z =，则00CD n CE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，01360444x y x y z -+=⎧⎪∴⎨-++=⎪⎩， 令1x =，则1,1,n ⎛= ⎝⎭．..........................10分因为平面ABD 的一个法向量为()1,0,0OC=，所以c os ,4OC n 〈〉==，即平面ECD 与平面ECD 的锐二面角的余弦值为46...............12分19.解（1）由题意可知：2,42==a a ................1分 设点()()2211,,y x B y x A ，B A ,在椭圆上1221221=+∴b ya x .........① 1222222=+by a x ...........② 43.-=OMAB k k 43.21211212-=++--∴x x y y x x y y ..........③由①-②及③得43-22-=a b ............................4分32=∴b∴椭圆C 方程为: 13422=+y x .....................5分 （2）设直线()1-=x k y l ；联立⎪⎩⎪⎨⎧-==+)1(13422x k y y x 得()01248432222=-+-+k x k x k 2221222143124,438k k x x k k x x +-=+=+∴ ,..............................7分 ∴)433,434222kk k M +-+（， 假设存在点D ,则MD 的直线方程为：)434(1433222kk x k k y +--=++)43340(2k k D +-∴， 2243)1(12kk AB ++= ，.............................................9分 222224314043411kk k k k k MD ++=-++=.........................10分 若ABD ∆为等边三角形则：MD =2243)11223k k ++⨯（224314k k k ++= 即027232=+k ，方程无实数解， ∴不存在这样的点D ..................................12分20.解：（1）依题意得：X 的所有可能取值为500,300,200，..................1分 由表格数据知()3.09027500P ===x ，()4.09036300P ===x ，()3.09027200P ===x ，......4分 因此分布列为..........................................................................5分 (2)由题意可知，这种饮品一天的需求量最多为500瓶，最少为200瓶，因此只需考虑500200≤≤n 。
2023年江西省重点中学盟校高考数学第一次联考试卷(理科)+答案解析(附后)
2023年江西省重点中学盟校高考数学第一次联考试卷（理科）1. 若集合，则( )A. B. C. D.2. 若复数z是方程的一个根，则的虚部为( )A. 2B. 2iC. iD. 13. 袋中装有四个大小完全相同的小球，分别写有“中、华、道、都”四个字，每次有放回地从中任取一个小球，直到写有“道”、“都”两个字的小球都被取到，则停止取球.现用随机模拟的方法估计取球停止时的概率，具体方法是：利用计算机产生0到3之间取整数值的随机数，用0，1，2，3分别代表“中、华、道、都”四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果.现经随机模拟产生了以下18组随机数：232 321 230 023 231 021 122 203 012231 130 133 231 031 123 122 103 233由此可以估计，恰好取球三次就停止的概率为( )A. B. C. D.4. 已知等差数列的前n项和，若，则( )A. 150B. 160C. 170D. 与和公差有关5. 法国数学家加斯帕蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆：的蒙日圆为C：，则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.6. 阅读程序框图，为使输出的数据为31，则判断框中应填入的条件为( )A. B. C. D.7. 如图，内接于圆O，AB为圆O的直径，，，平面ABC，E为AD的中点，且异面直线BE与AC所成角为，则点A到平面BCE的距离为( )A.B.C.D.8. 若正项递增等比数列满足：，则的最小值为( )A. B. 2 C. D. 49. 已知点P在棱长为2的正方体表面上运动，AB是该正方体外接球的一条直径，则的最小值为( )A. B. C. D. 010. 长白飞瀑，高句丽遗迹，鹤舞向海，一眼望三国，伪满皇宫，松江雾凇，净月风光，查干冬渔，是著名的吉林八景，某人打算到吉林旅游，冬季来的概率是，夏季来的概率是，如果冬季来，则看不到长白飞瀑，鹤舞向海和净月风光，若夏季来，则看不到松江雾凇和查干冬捕，无论什么时候来，由于时间原因，只能在可去景点当中选择3处参观，则某人去了“一眼望三国”景点的概率为( )A. B. C. D.11.已知双曲线的左右焦点分别为，，A为双曲线右支上一点，设，，若，则双曲线的渐近线方程为( )A. B. C. D.12. 定义在R上的函数与的导函数分别为和，满足，，且为奇函数，则( ) A. B. C. D.13. 设向量满足，则______ .14. 设，若且，则取值范围为______ .15. 已知函数，所有满足的点中，有且只有一个在圆C上，则圆C的方程可以是______ 写出一个满足条件的圆的方程即可16. 若时，关于x的不等式恒成立，则正整数n的取值集合为______ 参考数据：，，17. 在中，已知求；若D是AB边上的一点，且，求面积的最大值.18.如图，在梯形ABCD中，，，现将沿AC翻折成直二面角证明：；若，二面角余弦值为，求异面直线PC与AB所成角的余弦值.19. 中医药在抗击新冠肺炎疫情中，发挥了重要作用.中药可以起到改善平常上呼吸道的症状，同时可以起到抑制病毒繁殖的效果就可以达到治疗新型冠状病毒肺炎的作用.某地种植药材收到了很好的经济效益.根据资料显示，产出的药材的箱数单位：十箱与成本单位：千元的关系如下：x34679y78y与x可用回归方程其中为常数，且精确到进行模拟.若农户卖出的该药材的价格为500元/箱，试预测该药材10箱的利润是多少元；利润=售价-成本据统计，4月份的连续20天中农户每天为甲地可配送的药材的箱数的频率分布直方图如图，用这20天的情况来估计相应的概率.通过频率分布直方图计算农户每天平均可配送的药材的箱数同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表；一个运输户拟购置3辆小货车专门运输农户为甲地配送的该药材，一辆货车每天只能运营一趟，每辆车每趟最多只能装载40箱该药材，满载发车，否则不发车.若发车，则每辆车每趟可获利400元；若未发车，则每辆车每天平均亏损200元.试计算此项业务每天的利润平均值的大小.参考数据：设，则参考公式：对于一组数据…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，20. 设抛物线C：的焦点为F，过焦点的直线与抛物线C交于A，B两点，抛物线在A，B两点切线交于点P，当直线AB垂直y轴时，面积为求抛物线的方程；若，求直线AB的方程.21. 已知函数，讨论函数极值点的个数；存在直线与与曲线共有五个不同的交点，求a的取值范围.注：是自然对数的底数22. 在直角坐标系xOy中，笛卡尔叶形线的参数方程为为参数，曲线的普通方程为，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.写出的普通方程与的极坐标方程；若与有公共点，求a的取值范围.23. 已知a，b，c都是正数，且，证明：；答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合，则故选：求出集合B，利用交集定义能求出本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D【解析】解：，即，解得或，当时，，当时，，故的虚部为故选：根据已知条件，先求出z，再结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．本题主要考查复数的运算，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：由题意可知，恰好取球三次就停止的有：023，203，123，共3组随机数，故恰好取球三次就停止的概率为故选：根据已知条件，先求出满足题意的随机数，再结合古典概型的概率公式，即可求解．本题主要考查古典概型的概率公式，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：根据题意，等差数列中，若，则，故故选：根据题意，由等差数列的性质可得，由此计算可得答案．本题考查等差数列的求和，涉及等差数列的性质，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：直线，与椭圆都相切，且这两条直线垂直，因此其交点在圆C：上，，即，椭圆的离心率故选：由题意可知，点在圆C：上，代入后结合隐含条件求解椭圆的离心率．本题考查椭圆的几何性质，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】A【解析】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：S i 是否继续循环循环前 1 1第一圈 3 2 是第二圈 7 3 是第三圈 15 4 是第四圈 31 5 否所以当时．输出的数据为31，故选分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是利用循环求S 的值，我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况，不难给出答案．本题主要考查了循环结构，解题的关键是弄清各变量之间的关系，同时考查了分析问题的能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：AB为圆O的直径，，，，，平面ABC，AC，平面ABC，，，，CD，平面BCD，平面BCD，，CD，平面ACD，平面ACD，F为CD中点，连接EF，FB，如图，E为AD的中点，，，平面BCD，平面BCD，，异面直线BE与AC所成角为，，，，，，，，E到平面ABC的距离为，，故选：F为CD中点，异面直线BE与AC所成角为，可得，由已知条件求解所需线段的长，设点A到平面BCE的距离为h，由，能求出点A到平面BCE的距离．本题考查异面直线所成角、点到平面距离公式、等体积法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8.【答案】B【解析】解：根据题意，设等比数列的公比为q，由于数列是正项递增等比数列，则，由于，则有，变形可得，则，又由，，当且仅当时等号成立，故，当且仅当时等号成立，即的最小值为故选：据题意，设等比数列的公比为q，将变形可得，由此可得，由基本不等式的性质分析可得答案．本题考查数列与不等式的综合应用，涉及等比数列的性质，属于中档题．9.【答案】A【解析】解：由题意知：正方体的外接球的球心为O，正方体的外接球的直径，则O为AB的中点，所以，且，故，由于，所以的最小值故选：首先利用球和正方体的关系求出正方体的外接球的直径，进一步利用向量的线性运算和数量积运算求出结果．本题考查的知识要点：正方体和球的关系，向量的线性运算，向量的数量积，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．10.【答案】C【解析】解：设冬季去了一眼望三国为事件A，夏季去了一眼望三国为事件B，则，，则某人去了“一眼望三国”景点的概率为，故选：先利用古典概型的概率计算公式求出，，再利用互斥事件的概率加法公式求解即可．本题考查互斥事件的概率加法公式和古典概型的概率计算公式，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：如图，设的内切圆的圆心为I，设内切圆I与x轴的切点为H，根据内切圆的切线长相等及双曲线的性质可得：，又，，，为双曲线的右顶点，且，又根据内切圆的概念易知：，，，，，，，，，，，，，双曲线的渐近线方程为，故选：设的内切圆的圆心为I ，设内切圆I 与x 轴的切点为H ，根据内切圆的切线长相等及双曲线的性质可得：，又，从而可得，，从而可得H 为双曲线的右顶点，且，又根据内切圆的概念易知：，，从而再根据题意建立方程，化归转化，即可求解．本题考查双曲线的几何性质，双曲线焦点三角形的内切圆的性质，方程思想，化归转化思想，属中档题．12.【答案】A【解析】解：，，则，，，即，，令，则，解得，①，，又为奇函数，，即②，由①+②得③，④，由③-④得，是周期为4的周期函数，令，由②得，解得，令，由③得，令，由③得，，，故选：利用导数的定义可得，结合题意可得，令，求出c，根据奇函数的性质可得是周期为4的周期函数，可求出，即可得出答案．本题考查导数的定义和抽象函数的应用，考查转化思想，考查赋值法，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．13.【答案】【解析】解：已知向量满足，则，则，故答案为：由平面向量数量积的运算，结合平面向量的模的运算求解即可．本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算，属基础题．14.【答案】【解析】解：，若且，不妨，，所以，显然时，差值取得最小值，因为，所以，所以取值范围为故答案为：利用已知条件，结合余弦函数的图象的特征，转化求解取值范围即可．本题考查余弦函数的图象与性质的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．15.【答案】【解析】解：函数，是R上的增函数，且是奇函数，故满足的点，满足，即，故有，即，故点在直线上．再根据有且只有一个点在圆C上，故圆C和直线相切，故圆的方程可以为，故答案案为：由题意可得是单调递增的奇函数，点在直线上，再根据直线与圆相切，可得一个圆C的方程．本题考查函数的性质及导数的综合运用，训练了利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化思想，是中档题．16.【答案】【解析】解：令，则，又因为，所以，所以在上单调递增，易知函数在单调递减，单调递增，其中，则，即恒成立，又因为，，，所以，设，则，，令，函数定义域为，，令，解得，，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为，所以，即当时，有，所以，可得，即，又在上单调递增，当时，，时，，时，，只有和时，有恒成立，所以满足条件的n的取值集合为故答案为：不等式恒成立，则函数的最小值大于0，利用导数研究函数单调性，由，有恒成立，结合参考数据计算即可．本题考查了转化思想、导数的综合运用及恒成立问题，也考查了计算能力，属于难题．17.【答案】解：因为，由正弦定理可得，即，由余弦定理可得，所以，即，又因为，可得；因为因为，则，可得，则，因为，，整理可得，当且仅当时取等号，可得，所以，所以面积的最大值为【解析】由题意及正弦定理可得，再由余弦定理可得，可得的值，再由C角的范围，可得C角的大小；由向量的关系可得，平方，由余弦定理及均值不等式，可得ab的最大值，代入三角形的面积公式，可得面积的最大值．本题考查正余弦定理的应用及均值不等式的应用，属于中档题．18.【答案】证明：取AB的中点E，连接CE，，四边形ADCE是平行四边形，，，，即，又平面平面ACB，且两平面的交线为AC，平面PAC，又平面PAC，；解：由知，，取AC的中点O，则，，且，OC，OE，OP两两互相垂直，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，易得平面PAC的一个法向量为，设平面PAB的一个法向量为，由，取，得，，故，二面角余弦值为，，解得，则，设异面直线PC与AB所成角为，则，所以异面直线PC与AB所成角的余弦值为【解析】取AB的中点E，连接CE，证明，由平面平面ACB，得平面PAC，可证；取AC的中点O，以O为原点建立空间直角坐标系，设，由二面角余弦值为，利用向量法求a的值，再由向量法求异面直线PC与AB所成角的余弦值．本题考查了线线垂直的证明以及二面角和异面直线所成的角的计算，属于中档题．19.【答案】解：，，，，，所以，所以又，所以，所以10箱药材，时，千元，即该水果10箱的成本为4860元，故该水果10箱的利润为元，所以农户每天平均可配送125箱药材；根据频率分布直方图，可知该农户每天可配送的该水果的箱数的概率分布表为：箱数P该运输户购3辆车时每天的利润为Y元，则Y的可能取值为1200，600，0，其分布列为：Y12006000P，故此项业务每天的利润平均值为900元．【解析】根据公式可求得，，从而得到，当时求得，进而求得利润；利用频率分布直方图估计平均数的计算公式可求；根据频率分布直方图，可求该农户每天可配送的该水果的箱数的概率分布表，进而求得分布列，最后根据均值的计算公式求得此项业务每天的利润平均值即可．本题考查由频率分布直方图估计平均，简单离散型随机变量分布列的应用，属于中档题．20.【答案】解：由，得，则有，直线轴时，不妨设，曲线C在点A处切线PA的斜率为，切线方程为：，同理切线PB的方程为：，联立方程得，则，得抛物线的方程；设直线AB方程：，，，与抛物线方程联立方程组得：，则有，，由，得，则有，所以，切线AP方程：，切线BP方程：，联立得，，，又，得，又，所以，，所以，则直线AB方程：或【解析】直线AB垂直y轴，设，利用导数求切点处切线的斜率，得切线PA和切线PB的方程，联立方程组求得点P坐标，再由面积为4，求出，得抛物线的方程；直线AB方程：，，，利用导数求切点处切线的斜率，得切线PA和切线PB的方程，联立方程组求得点P坐标，与抛物线方程联立，韦达定理可证，，得，由，解出k，得直线AB的方程．本题考查了直线与抛物线的综合运用，属于中档题．21.【答案】解：函数，，的定义域为，求导得，令，所以函数在上单调递增，，，所以函数在上有唯一的零点，，而，，若，由，，得，当或时，，当时，，所以函数在，上单调递增，在上单调递减，所以有两个极值点，当时，恒有成立，当且仅当时取等号，在上单调递增，无极值，若时，由，得或时，，当时，，所以在，上单调递增，在上单调递减，有两个极值点，所以当或时，函数有两个极值点，当时，函数无极值点．由知，当时，函数在，上单调递增，在上单调递减，当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值，当时，，当时，与都单调递增，取值集合分别为，，即当时，函数的取值集合为，因为存在直线，与曲线共有五个不同的交点，则取，直线与曲线有2个公共点，直线与曲线必有3个公共点，当且仅当，由，得，，，令，当时，，所以函数在上单调递增，，由得，令，，，所以函数在上单调递增，所以，则，当时，在上单调递增，直线，与曲线最多只有两个不同的交点，不符合题意，当时，函数在，上单调递在，在上单调递减，当时，函数取得极小值，当时，取得极大值，当时，与都单调递增，取值集合分别为，，即当时，函数的取值集合为，因为存在直线，与曲线共有五个不同的交点，则取，直线与曲线有两个公共点，直线与曲线必有3个公共点，当且仅当，，所以当时，由得，单调递增，由得，单调递减，，所以不等式，不成立，综上所述，，所以a的取值范围为【解析】求出函数的导函数，再分类讨论函数的零点个数．按a的取值求出的极值，结合函数的图象特征列出不等式，求解作答．本题考查导数的综合应用，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题．22.【答案】解：在曲线的参数方程中，当时，，当时，，于是，整理得，显然满足上式，因此，所以的普通方程是，的极坐标方程是；把代入得：，与的极坐标方程联立整理得：，因为，即，即有，，则，，不妨令，因此，所以a的取值范围是【解析】消去的参数方程中参数得的普通方程，利用极坐标与直角坐标互化公式可得的极坐标方程；求出的极坐标方程，再与的极坐标方程联立，结合三角函数性质求解作答．本题考查了参数方程和普通方程，极坐标方程间的转化，属于中档题．23.【答案】证明：因为a，b，c都是正数，且，所以，所以，当且仅当，即时取等，故成立；因为a，b，c都是正数，且，所以，，，由柯西不等式可得，即，当且仅当，即，，时取等号，因为a，b，c都是正数，所以有，得证．第21页，共21页【解析】由已知可得，再利用基本不等式证明即可；由已知可得，，，再利用柯西不等式证明即可．本题主要考查不等式的证明，考查逻辑推理能力，属于中档题．。
江西省五市九校协作体2021届高三第一次联考数学答案
参考答案
1．B【解析】集合 或 ， ，
若 ，则 .
故选：B.
2．C【解析】解：因为 ，所以 ，
所以 在复平面内对应的点为 ，在第三象限.
故选:C.
3．B【解析】充分性证明：取 ，明显地有， ，由于对数的真数大于0，所以，无法推导出 ，所以，充分性不成立；
若 ，则 ，
此时 的最大值为 （1） ，此时 满足题设；
若 ，则 ，
此时 的最大值为 （1） ，令 ，得 ，满足题设；
若 ，则 ，故 不合题意，舍去．
综上所述， 或 ．
每个宣传小组至少选派 人包含的基本事件个数为 ，
则每个宣传小组至少选派 人的概率为 .
故选：D.
5．A【解析】由图可知周期满足 ，
故 ，∴ ，
，
，∴ ，
即 ，
所以将 向右平移 个单位，得到 .
故选：A.
6．B【解析】
由题意可知，如上图，不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示（包含边界），
目标函数 变为 ，
因为 是 、 的中点，所以 ，
取 中点 ，连接 ，
因为 ，四边形 是平行四边形，所以 ，
所以 ，又因为 ，所以四边形 是平行四边形，
所以 ，所以 ，即四边形 为平面图形，
且 平面 ， 平面 ， ，所以 平面 ，
设 为 中点，连接 ，所以 ，
所以四边形 是平行四边形，所以 ，且 平面 ，
平面 ，所以 平面 ，又 ，
（2）由 ，可得 .
由题知，不等式 对任意实数 恒成立，
即 对任意实数 恒成立，
令 ， .故 .
①若 ，则 ， 在 上单调递增， ，故 符合题意.
2021届江西省吉安市“省重点中学五校协作体”高三第一次联考数学(理)试题(解析版)
【分析】根据二次函数 的零点可求得 、 的值，求出 ，推导出数列 为等比数列，确定该数列的首项和公比，进而可求得 .
【详解】 有两个零点 、 ，由韦达定理可得 ，解得 ，
， .
由题意得 ，
，
， .
又 ，所以，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，所以， ，
.
故答案为： .
【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：
12．已知定义在 上的函数 是奇函数，当 时， ，则不等式 的解集为（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题首先可根据题意得出函数 的图像关于点 中心对称且 ，然后根据基本不等式得出 ，则函数 在 上单调递增，最后将不等式 转化为 或 ，通过计算即可得出结果.
【详解】因为函数 是定义在 上的奇函数，
二、填空题
13．若 ，则 的最大值是___________.
【答案】
【分析】根据约束条件作出可行域以及直线 过点A时在 轴上的截距最小， 有最大值，得出答案.
【详解】根据约束条件 作出可行域如图所示，
由 解得
将目标函数 化为 ，
表示直线 在 轴上的截距的相反数的
故当直线 在 轴上的截距最小时， 有最大值.
2021届江西省吉安市“省重点中学五校协作体”高三第一次联考数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解出集合 ，利用交集的定义可求得集合 .
【详解】 ， ，因此， .
故选：D.
2．已知 为虚数单位，复数 ，则复数 在复平面上的对应点位于（）
A．第一象限B．第二象限
10．已知圆 ，过点 的动直线 与圆 相交于 ， 两点，线段 的中点为 ，则 的轨迹的长度为（）
江西省2021届高三第一次模拟考试数学【理】试题及答案
绝密★启用前2021届高三第一次模拟考试数学试题(理科)本试卷分第Ⅰ卷和第II 卷两部分，满分150分，时间120分钟第Ⅰ卷一、选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{}512|≥-=x x A ，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==x x y x B 7cos |，则B A 等于（ ） A ．()3,7 B ．[]3,7 C ．(]3,7 D ．[)3,72．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数(2)(1)z a i i =-+在复平面内对应的点为M ，则“21=a ”是“点M 在第四象限”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足0,1n a q >>，且352620,64a a a a +==，则6S =（）A ．63B ．48C ．42D ．36 4．已知58cos 3sin =+x x ，则=-)6cos(x π（）A ．－35B ．35C ．－45D ．455．已知命题p :函数21()sin 2f x x =-的最小正周期为π；命题q ：若函数)1(+x f 为偶函数，则)(x f 关于1=x 对称.则下列命题是真命题的是（）A ．q p ∧B ．q p ∨C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝6．已知实数{},8,7,6,5,4,3,2,1∈x ，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于．．．121的概率为（ ）A ．34B ．85 C ．87 D ．21 否开始n=1输入xn= n +1x= 3x +1输入x 输出结束是3?n ≤7．已知⎰-=20)cos (πdx x a ，则912ax ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中，3x 项的系数为（） A ．638B ．6316C ．221-D ．638-8．甲乙两人从4门课程中各选修两门，则甲乙所选的课程中至少有1门不相同．．．的选法共有（） A ．30种 B ．36种 C ．60种 D ．72种9．已知F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左焦点，过F 作倾斜角为o 60的直线l ，直线l 与双曲线交于点A 与y 轴交于点B 且FB FA 31=，则该双曲线的离心率等于（） A ．15+B ．217+C ．15-D ．217- 10．已知方程sin xk x=在(0,)+∞有两个不同的解,αβ（αβ<），则下面结论正确的是（） A ．1tan()41πααα++=- B ．1tan()41πααα-+=+C ．1tan()41πβββ++=-D ．1tan()41πβββ-+=+ 11．设函数)(x f 是定义在)0,(-∞上的可导函数，其导函数为)(x f '，且有0)()(3>'+x f x x f ，则不等式0)3(27)2015()2015(3>-+++f x f x 的解集（）A ．)2015,2018(--B ．)2016,(--∞C ．)2015,2016(--D ．)2012,(--∞12．设函数⎩⎨⎧>≤=0,log 0,2)(2x x x x f x ，若对任意给定的),1(+∞∈t ，都存在唯一的R x ∈，满足at t a x f f +=222))((，则正实数．．．a 的最小值是（）A ．2B ．21C ．41D ．81第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．已知2a =，3b =，,a b 的夹角为60°，则2a b -=．14．设实数,x y 满足,102,1,x y y x x ≤⎧⎪≤-⎨⎪≥⎩则124y xz ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭的最大值为．15．棱锥的三视图如上图所示，且三个三角形均为直角三角形，则yx 11+的最小值为． 16．球O 为边长为4的正方体1111D C B A ABCD -的内切球，P为球O 的球面上动点，M 为11C B 中点，DP BM ⊥，则点P 的轨迹周长为．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知公比为负值的等比数列{}n a 中，154a a =，41a =-． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设()11112231n n n n b n n +++=++⋅⋅⋅+⨯⨯+，求数列{}n n a b +的前n 项和n S ． 18．(本小题满分12分）湖南卫视“我是歌手”这个节目深受广大观众喜爱，节目每周直播一次，在某周比赛中歌手甲、乙、丙竞演完毕，现场的某4位大众评审对这3位歌手进行投票，每位大众评审只能投一票且把票投给任一歌手是等可能的，求： （Ⅰ）恰有2人把票投给歌手甲的概率；（Ⅱ）投票结束后得票歌手的个数ζ的分布列与期望． 19．(本小题满分12分）在如图所示的几何体中，AE ⊥平面ABC ，CD ∥AE ，F 是BE 的中点，AC BC =1=，90ACB ∠=︒，22AECD ．（Ⅰ）证明 DF ⊥平面ABE ；（Ⅱ）求二面角A BD E --的余弦值的大小． 20．（小题满分12）椭圆C 的方程为22221 (0)x ya b a b +=>>，1F 、2F 分别是它的左、右焦点，已知椭圆C 过点(0, 1)，且离心率22e =． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图，设椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，直线l的方程为4x =，P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，直线PA 、PB 分别交直线l 于D 、E 两点，求12F D F E ⋅的值；（Ⅲ）过点(1 0)Q ，任意作直线m （与x 轴不垂直）与椭圆C 交于M 、N 两点，与l 交于R 点，RM xMQ =，RN yNQ =． 求证：4450x y ++=．21．（本大题满分12分）已知函数2()(0)f x x ax a =-≠，()ln g x x =，()f x 图象与x 轴异于原点的交点M 处F ED CBAm QE DR PF 2F 1yxONMBA的切线为1l ，(1)g x -与x 轴的交点N 处的切线为2l ，并且1l 与2l 平行． （Ⅰ）求(2)f 的值；（Ⅱ）已知实数R t ∈，求[]ln ,1,u x x x e =∈的取值范围及函数[][()+],1,y f xg x t x e =∈的最小值；（Ⅲ）令()()'()F x g x g x =+，给定1212,(1,),x x x x ∈+∞<，对于两个大于1的正数βα,，存在实数m 满足：21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，并且使得不等式12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-恒成立，求实数m 的取值范围.．22．(本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，ABC ∆内接于直径为BC 的圆O ，过点A 作圆O 的切线交CB 的延长线于点P ，BAC ∠的平分线分别交BC 和圆O 于点 E D 、，若102==PB PA ．（Ⅰ）求证：AB AC 2=； （Ⅱ）求DE AD ⋅的值．23．(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是t t y t x (sin cos 1⎩⎨⎧=+=αα是参数)． （Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且14=AB ，求直线的倾斜角α的值．24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数()f x x a =-．（Ⅰ）当2a =时，解不等式()41f x x ≥--； （Ⅱ）若()1f x ≤的解集为[]0,2，()110,02a m n m n+=>>，求证：24m n +≥．PABCD 22题图O鹰潭市2021届高三第一次模拟考试数学(理科)答案一、选择题：1—5 DAADB 6 —10 BCABC 11—12 AB二、填空题：1313 14．2115．510216．π558三、解答题：17．解：（Ⅰ）因为数列{}n a 是等比数列，所以42351==a a a ，则23-=a 或2，因为数列{}n a 的公比为负值，所以23=a ，故2134-==a a q ，则8231==q a a ，故111)21(8---==n n n q a a 即数列{}n a 的通项公式为1)21(8--=n n a ……………………………………6分（Ⅱ）由条件知，)1(1321211+++⋅⋅⋅⋅+⨯++⨯+=n n n n n b n ))1(1321211)(1(++⋅⋅⋅⋅+⨯+⨯+=n n n)1113121211)(1(+-+⋅⋅⋅⋅+-+-+=n n nn n n =+-+=)111)(1(………………9分则n b a n n n +-=+-1)21(8故)(21n n a a a S +⋅⋅⋅⋅++=)(21n b b b +⋅⋅⋅⋅+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=n )21(1316)1(21++n n 。
数学(理)答案
江西省重点中学协作体2021届高三第一次联考数学试题(理) 参考答案与评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.11. 9- 12. 1413. 8 14.[)+∞,5三、选做题(本小题满分5分) 15..A 2 .B ((0,1)四、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.16. （本小题满分12分） 【解】（1）1sin 462m n x π⎛⎫⋅=-- ⎪⎝⎭……………4分 由条件有3462x πππ≤-≤，故10343664cos 4cos -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππx x ……………6分 （2）由余弦定理有2222cos b a c ac x =+-，又2b ac =，从而22(12cos )2ac x a c ac +=+≥1cos 2x ⇒≥0,3x π⎛⎤⇒∈ ⎥⎝⎦……………8分由此可得74666x πππ-<-≤，结合图象可得1m =或12-.……………12分 17. （本小题满分12分）【解】（1）222PO PC PD PO DC OP OA PA PO OA ⎫==⇒⊥⎪⇒⎬+=⇒⊥⎪⎭PO ⊥平面ABCD .…………6分 (2)取AB 的中点M ，分别以,,OM OC OP为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则111,0),,0),(0,1,0),224A B D M ---，设面DAM 的法向量为1111(,,)n x y z =，则3133(,,0),(,2244DA DM ==，令1112111102030442y DA nDM n x y z +=⎧⋅=⎪⇒⎨⋅=⎪⎪⎩++=⎪⎩，取1y =，则1111x z =⎧⎨=⎩，故面DAM 的一个法向量为1(1,n =-.同理可求得面DBM 的一个法向量为2(3,n =.从而12cos ,5n n ==.……………………12分 18. （本小题满分12分）【解】(1) 函数()21f x x x η=--过(0,1)-点，在区间(4,6)上有且只有一个零点，则必有(4)0(6)0f f <⎧⎨>⎩即：1641036610ηη--<⎧⎨-->⎩，解得：153546η<<，所以，4η=或5η=…………3分 当4η=时，211201015125068245C C C P C +==，当5η=时，11201522501249C C P C ==…………5分 4η=与5η=为互斥事件，由互斥事件有一个发生的概率公式，所以681212824549245P =+=6分 (2) 从该小学任选两名教职工，用ξ表示这两人请假次数之差的绝对值，则ξ的可能取值分别是0,1,2,3，于是()22225102015250207C C C C P C ξ+++===， 1111115101020152025022(1)49C C C C C C P C ξ++===，1111520101525010(2)49C C C C P C ξ+===， 115152503(3)49C C P C ξ===…………10分 从而ξ的分布列：ξ的数学期望：0123749494949E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． …………12分19. （本小题满分12分）【解】(1) (1)1212lg()1lg lg 2n n n n n b qn a qq n---===，111()lg lg 222n n n n d a a q q +-=-=-=. ………………6分 (2)由311222n n n a b a b a b n ++++= ①得4112211(1)2n n n a b a b a b n ++++++=+ ②②-①得311(2)2n n n a b n +++=+.由于18n a nd +=+，故31(2)28n n n b nd +++=+，从而[]212(3)(8)(2)8(1)n n b n nd b n n d ++++=+++(*)由于{}n b 是等比数列，故(*)式右端应恒为常数，设为q ，由此可得222(616)48(83)2(8)dn d n qdn q d n q d +++=++++根据上述恒等式可得24q d =⎧⎨=⎩，8(1)444n a n n ∴=+-=+，n n b b 221=⇒=………………12分 20. （本小题满分13分）【解】(1)设1122(,),(,)M x y N x y ，则221122222828x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，两式相减得 121212y y x x -=--.l ∴的方程为11(1)2302y x x y -=--⇒+-=.…………6分(2)设:2AB x y m +=，再设AP PC λ=，由此得(1,1)(1,1)A A C C x y x y λ--=--11(1)1(1)1A C A C A C A C x x x x y y y y λλλλλλ+-⎧=⎪-=-⎧⎪⇒⇒⎨⎨-=-+-⎩⎪=⎪⎩.由于点,A C 均在椭圆上，且点A 在直线AB 上，故有2228C C x y +=2222(1)2(1)8A A x y λλλλ+-+-⇒+=22222(1)2(1)2(1)4(1)28A A A A x x y y λλλλλ⇒+-++++-++= 223(1)2(1)8(1)m λλλ⇒+-+=-.由0λ>3(1)28(1)2115m m λλλ⇒+-=-⇒=-.设BP PD μ=，同理有2115m μ=-，故有λμ=，从而有//AB CD . …………13分 21. （本小题满分14分）【解】(1)由1()2f x x a x'=+-知曲线()x f y =在点()00,y x P 处的切线为:()0020000ln 12x ax x x x x a x y -++-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=，将原点O 代入,经化简得01ln 020=-+x x .易知函数()1ln 2-+=x x x u 在区间()+∞,0上为递增函数, 注意到()01=u ,故10=x . …………4分(2) 当1-=a 时,()x x x x f ln 2--=.由()()()xx x x x x f 121112+-=--='知:函数()x f y =在区间()1,0上递减,在区间()+∞,1上递增.所以()()01=≥f x f ,()0,>=x x xf b ,0≥∴b 即b 的最小值为0. …………8分(3)()()212ln xx a x a xx F x e-+-+-+'=. 设()()x x a x a x x h ln 122+-+-+-=,则()a xx x x h -+++-='21122.易知()x h '在(]1,0上是减函数,从而()()a h x h -='≥'21. …………9分①当02≥-a ,即2≤a 时,()0≥'x h ,()x h 在区间(]1,0上是增函数. ()()0,01<∴=x h h 在(]1,0上恒成立,即()0≤'x F 在(]1,0上恒成立.()x F ∴在区间(]1,0上是减函数,所以 2≤a 满足题意. …………11分②当02<-a ,即2>a 时,设函数()x h '的唯一零点为0x ，则()x h 在()0,0x 上递增,在()1,0x 上递减,又()()0,010>∴=x h h . ()x F ∴在()1,0x 上递增.注意到()0<-ae h ,()x F ∴在()ae -,0上递减.这与()x F 在区间(]1,0上是单调函数矛盾.所以2>a 不合题意.综合①②得,2≤a . …………14分。
江西省部分省级示范性重点中学教科研协作体2021届高三统一联合考试数学(理科)试题
江西省部分省级示范性重点中学教科研协作体2021届高三统一联合考试数学（理科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题60分）和第Ⅱ卷（非选择题90分）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项1.答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致，务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.2.答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰，作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚、必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效.4.考试结束后，务必将试卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的。
请将正确的答案涂在答题卡上。
）1.已知集合(){}10A x x x =-≤，(){}ln B x y x a ==-，若A B A ⋂=，则实数a 的取值范围为（ ） A.(),0-∞B.(],0-∞C.()1,+∞D.[)1,+∞2.AB 是抛物线22y x =的一条焦点弦，4AB =，则AB 中点C 的横坐标是（ ） A.2B.12C.32D.523.已知α，β都为锐角，且sin α=，cos β=，则αβ-=（ ） A.3π-B.3π C.6π-D.6π 4.设a ∈R ，[)0,2b π∈.若对任意实数x 都有()sin 2sin 3x ax b π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则满足条件的有序实数对(),a b 的对数为（ ） A.1B.2C.9D.125.已知F 是双曲线C ：22145x y -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点.若OP OF =，则三角形OPF 的面积为（ ） A.32B.52C.72D.926.已知等差数列{}n a 的公差不为零，其前n 项和为n S ，若3S ，9S ，27S 成等比数列，则93S S =（ ） A.3B.6C.9D.127.四面体A BCD -中，AB BD ==1CB CD ==，则四面体A BCD -的外接球表面积为（ ）A.3πB.4πC.6πD.12π8.某车站在某一时刻有9位旅客出站，假设每位旅客选择共享单车继续出行的概率均为12，且各位旅客之间相互互不影响，设在这一时刻9位旅客中恰好有k 位旅客骑共享单车的概率为()P X k =，则（ ） A.()()45P X P X === B.()()45P X P X =>= C.()()56P X P X =<= D.()()56P X P X ===9.已知0x >，0y >，且121x y+=，则xy x y ++的最小值为（ ）A.6+B.7+C.6+D.7+10.已知椭圆C ：2214x y +=以及点11,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，过A 的直线l 交椭圆于B ，C 两点.椭圆上存在两点M ，N 使得CMB ∠，CNB ∠的外角平分线被MA ，NA 平分，则AI 长度的最小值为（ ）A.3B.45D.7811.函数()sin 24cos f x x x =-的最大值为（ ）B.12.设函数()()1x f x e a x b =+-+在区间[]0,1上存在零点，则22a b +的最小值为（ ） A.7B.eC.2eD.3e第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请在答题卷的相应区域答题。
江西省五市九校协作体2021届高三第一次联考数学试题及答案
江西省五市九校协作体2021届高三第一次联考数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}2430A x x x =-+>，{}0B x x a =-≤，若B A R ⋃=，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()3,+∞B ．[)3,+∞C ．(),1-∞D ．(],1-∞ 2．已知复数z 满足121i i z+=-（i 为虚数单位），则z （z 为z 的共轭复数）在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．“()()3322a b ->-”是“lg lg a b >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心．某市将垃圾分为四类可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由9位同学组成四个宣传小组，其中可回收物宣传小组有3位同学，餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾宣传小组各有2位同学．现从这9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为（ ）A ．27B ．514C ．37D ．1021 5．函数()()cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，为了得到sin y x ω=的图象，只需把()y f x =的图象上所有点（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移12π个长度单位6．若x ，y 满足约束条件40240220x y x y x y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪--≥⎩，则4z x y =+的最小值为（ ）A ．26B ．4C ．265D ．26-7．蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x （每分钟鸣叫的次数）与气温y （单位：C ）存在着较强的线性相关关系．某地观测人员根据下表的观测数据，建立了y 关于x 的线性回归方程0.25y x k =+则当蟋蟀每分钟鸣叫52次时，该地当时的气温预报值为（ ）A ．33CB ．34C C ．35CD ．35.5C8．已知双曲线C：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是C 的右支上一点，连接1PF 与y 轴交于点M ，若12FO OM =（O 为坐标原点），12PF PF ⊥，则双曲线C 的离心率为（ ）A B ．2 C D ．39．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数12,x x ，都有()()2112120x f x x f x x x-<-，记()33f a =，()1b f =--，()22f c -=-，则（ ） A ．a c b << B ．a b c << C ．c b a << D ．b c a << 10．如图，小方格是边长为1的小正方形，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球表面积为（ ）A ．32πB ．C ．41πD ． 11．设()2,0A -，()2,0B ，O 为坐标原点，点P 满足2216PA PB +≤，若直线60kx y -+=上存在点Q 使得6PQO π∠=，则实数k 的取值范围为（ ）A ．⎡-⎣B ．(),⎡-∞-⋃+∞⎣C ．,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭D ．⎡⎢⎣⎦ 12．已知函数()x f x ax e =-与函数()ln 1g x x x =+的图像上恰有两对关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()1,e -+∞B ．1,2e -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1,2e -⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．(),1e -∞-二、填空题13．在ABCD 中，AD 与DC 的夹角为23π，1AD =，2DC =，DE EC =，则AE DB ⋅=________14．若正实数,a b ，满足1a b +=，则33b a b+的最小值为________. 15．数列{}n a 中，11a =，121n n a a +=+（*n N ∈），则012345515253545556C a C a C a C a C a C a +++++=________16．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F ，M 分别为棱AB ，11A D ，11D C 的中点，过点M 与平面CEF 平行的平面与AB 交于点N ，则四面体NCEF 的体积为________三、解答题17．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()sin sin a A B C c B C +-=+．（1）求角C 的大小（2）若28a b +=，且ABC 的面积为ABC 的周长．18．如图，已知四边形ABCD 为菱形，对角线AC 与BD 相交于O ，60BAD ∠=︒，平面ADEF 平面BCEF =直线EF ，FO ⊥平面ABCD ，22BC CE DE EF ====（1）求证：//EF DA ；（2）求二面角A EF B --的余弦值．19．学校趣味运动会上增加了一项射击比赛，比赛规则如下：向A 、B 两个靶子进行射击，先向A 靶射击一次，命中得1分，没有命中得0分；再向B 靶连续射击两次，如果只命中一次得2分，一次也没有命中得0分，如果连续命中两次则得5分．甲同学准备参赛，经过一定的训练，甲同学的射击水平显著提高，目前的水平是：向A 靶射击，命中的概率是23；向B 靶射击，命中的概率为34．假设甲同学每次射击结果相互独立． （1）求甲同学恰好命中一次的概率；（2）求甲同学获得的总分X 的分布列及数学期望．20．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）过点E ⎛ ⎝⎭，1A ，2A 为椭圆的左右顶点，且直线1A E ，2A E 的斜率的乘积为12-．（1）求椭圆C 的方程；（2）过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线交直线l于点P ，交直线2x =-于点Q ，求PQ MN的最小值．21．已知函数211()4ln 22f x x ax a x a =-+++，其中a R ∈. （1）当1a =时，求函数()f x 在1x =处的切线方程；（2）记函数()f x 的导函数是()'f x ，若不等式()()f x xf x '<对任意的实数(1,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围；（3）设函数()()2g x f x a =+，()'g x 是函数()g x 的导函数，若函数()g x 存在两个极值点1x ，2x ，且()()()1212g x g x g x x '+≥，求实数a 的取值范围.22．在直角坐标系xOy 中，曲线221:194x y C +=，曲线233cos :3sin x C y φφ=+⎧⎨=⎩（φ为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求12,C C 的极坐标方程；（2）射线l 的极坐标方程为()0θαρ=≥，若l 分别与12,C C 交于异于极点的,A B 两点，求OB OA 的最大值.23．已知函数()21f x x m x =+--．（1）若2m =，求不等式()30f x +<的解集；（2）若()f x 的图象与直线1y =有且仅有1个公共点，求m 的值．参考答案1．B【分析】先解出集合A 、B ，然后利用B A R ⋃=，求解a 的取值范围.【详解】 集合{}{2430>3A x x x x x =-+>=或}1x <，{}{}0=|B x x a x x a =-≤≤， 若B A R ⋃=，则3a ≥.故选：B.2．C【分析】结合复数的除法性质可求出z ，进而可求出z ，即可明确z 在复平面内对应的点，从而可选出正确答案.【详解】 解：因为121i i z+=-，所以()()()()121121313111222i i i i z i i i i +++-+====-+--+， 所以1322z i =-- 在复平面内对应的点为13,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，在第三象限. 故选:C.3．B【分析】分别证明充分性和必要性即可得出正确选项.【详解】充分性证明：取()()332222a b a b ->-⇒->-，明显地有，a b >，由于对数的真数大于0，所以，无法推导出lg lg a b >，所以，充分性不成立；必要性证明：lg lg a b >0a b ⇒>>，可得()()332222a b a b ->-⇒->-， 所以，必要性成立；故选：B.4．D【分析】利用组合计数原理计算出基本事件的总数以及事件“从这9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】某市将垃圾分为四类：可回收物、餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾.某班按此四类由9位同学组成四个宣传小组，其中可回收物宣传小组有3位同学，餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾宣传小组各有2位同学. 现从这9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，基本事件总数59126n C ==， 每个宣传小组至少选派1人包含的基本事件个数为()()3221112132332260m CC C C C C =+=， 则每个宣传小组至少选派1人的概率为601012621m P n ===. 故选：D.【点睛】本题考查古典概型概率的计算，涉及组合计数原理的应用，考查计算能力，采用“先分类，再分组”的思想即可.5．A【分析】利用图象先求出周期，用周期公式求出ω，利用特殊点求出ϕ，从而确定解析式，再利用诱导公式与平移变换法则求解即可.【详解】 由图可知周期满足7πππ41234T =-=， 故πT =，∴2π2T ω==， 2,32ππk k Z ϕπ⨯+=+∈， 2πϕ<，∴π6ϕ=-， 即()ππcos 2sin 263f x x x ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以将()πsin 26f x x ⎡⎤⎛⎫=+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦向右平移π6个单位，得到sin 2y x =. 故选：A .【点睛】 由图象求三角函数解析的方法：利用最值求出A ,利用图象先求出周期，用周期公式求出ω，利用特殊点求出ϕ，正确求ωϕ，是解题的关键.求解析时求参数ϕ是确定函数解析式的关键，由特殊点求ϕ时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点.6．B【分析】求目标函数的最值，先准确地作出可行域，再确定目标函数的几何意义，根据题意确定取得最优解的点进而求出目标函数的最值.【详解】由题意可知，如上图，不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示（包含边界）， 目标函数4z x y =+变为1144y x z =-+， 当直线1144y x z =-+经过点()4,0时， z 值最小，114z =，故min 4z =. 故选：B.【点睛】 易错点睛：本题由于三条直线能够围成一个三角形，很自然的会将其看作是可行域，实际上，在判断可行域时，一定要验证一下原点是否在可行域内再确定.7．A【分析】求出x 的平均数x ，y 的平均数y ，将(),x y 代入0.25y x k =+可求得k 的值，在即将52x =代入即可求解.【详解】2030405060405x ++++==，2527.52932.536305y ++++==， 因为样本中心点(),x y 在回归直线上，所以将()40,30代入0.25y x k =+得：300.2540k =⨯+，解得：20k =，所以0.2520y x =+，当52x =时，0.25522033y =⨯+=，故选：A【点睛】易错点点睛：本题的关键是利用回归直线过样本中心点求出k 的值，易犯错误是随意选择一个数据点代入解析式求k .8．C【分析】 首先利用相似三角形，可知1122OF PF OM PF ==，再结合双曲线的定义，求1PF 和2PF ，最后根据勾股定理求双曲线的离心率.【详解】如图，由条件可知112OMF F F P ，则1122OF PF OM PF ==，得122PF PF =，又因为122PF PF a -=， 则14PF a =，22PF a =，根据勾股定理可知2221644a a c +=，解得：ce a==. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用三角形相似1122OF PF OM PF ==，求得122PF PF =，后面利用双曲线的定义和勾股定理就比较简单了. 9．A 【分析】对任意两个不相等的正数12,x x ，都有()()2112120x f x x f x x x -<-，判断()f x x在()0,∞+单调递减，再证明()f x x是()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数，根据单调性判断即可 【详解】解：不妨设120x x <<，则120x x -<，因为()()2112120x f x x f x x x -<-，所以()()21120x f x x f x ->，即()()1212f x f x x x >()f x x在()0,∞+单调递减， 因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()()()f x f x f x x x x --==--， ()f x x是()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数 ()()()11111f f b f -=--==-，()()()222222f f f c --=-==-，()33f a = 所以a c b << 故选：A 【点睛】考查根据式子的结构构造新函数的能力，同时利用单调性比较大小，基础题. 10．C 【分析】还原后的几何体如图所示，确定出球心的位置可求外接球的体积. 【详解】根据三视图可得原几何体如图所示，且PH ⊥平面ABCD ，4PH =，H 为AB 的中点，四边形ABCD 为正方形，其边长为4.设1O 为正方形ABCD 的中心，2O 为PAB △的外心，则外接球的球心O 满足1OO ⊥平面ABCD ，2OO ⊥平面PAB ，所以21//HO OO ，又2HO ⊂平面PAB ，故22OO HO ⊥，同理11OO HO ⊥ 所以四边形21HO O O 为矩形. 在正方形ABCD 中，12HO =，在PAB △中，()222244PO PO -+=，故252PO =，2=，故外接球的表面积为414414ππ⨯=， 故选：C. 【点睛】思路点睛：几何体外接球的半径的求法，关键是球心位置的确定，可用球心与各面的外接圆的圆心的连线与此面垂直来确定，如果球心的位置不确定，那么可用补体的方法来确定球心的位置. 11．C 【分析】由2216PA PB +≤可得2OP ≤，由正弦定理得出2sin 4OQ OP QPO =∠≤，再根据原点到直线的距离小于等于4即可求出k 的范围. 【详解】设(),P x y ，则()()2222222216PA PB x y x y +=+++-+≤，整理可得224x y +≤，故2OP ≤，在PQO 中，sin sin OQ OPQPO PQO=∠∠，则sin 2sin 2214sin OP QPOOQ OP QPO PQO∠==∠≤⨯⨯=∠，设原点到直线的距离为d ，则需满足4d ≤，4d ∴=≤，解得k ≤或≥k . 故选：C.【点睛】本题考查直线中参数范围的求解，解题的关键是得出2sin 4OQ OP QPO =∠≤，利用原点到直线的距离小于等于4求解. 12．A 【分析】根据题意将函数()f x 与()g x 的图像上恰有两对关于x 轴对称的点转化为ln 1x e x x a x--=有两解，令新的函数ln 1()x e x x h x x --=，求导，然后判断函数的单调性与极值，则可得a 的取值范围. 【详解】因为函数()f x 与()g x 的图像上恰有两对关于x 轴对称的点，所以()()f x g x -=，即ln 1xe ax x x -=+有两解，则ln 1x e x x a x--=有两解，令ln 1()x e x x h x x --=，则()21()1x x h x e x-'=-，所以当()0,1x ∈时，()0h x '<；当()1,x ∈+∞时，()0h x '>；所以函数()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；所以()h x 在1x =处取得极小值，所以(1)1h e =-，所以1a e >-，a 的取值范围为()1,e -+∞. 故选：A. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用． 13．12【分析】画出图形，以,AD AB 为基底表示AE DB ,，结合已知条件和平面向量的数量积公式即可求出正确答案. 【详解】解：()()()12AE DB AD DE DA DC AD AB AD AB ⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅-+ ⎪⎝⎭22222111112112cos 22222232AD AD AB AB AD AB AD AB AD AB π=-+⋅-⋅+=-+⋅+=-+⨯⨯+⨯12=. 故答案为:12.14．5 【分析】 将所求式子变形为333b aa b++，结合基本不等式即可求出最小值. 【详解】解：因为1a b +=，所以()3333333a b b b b aa b a b a b++=+=++，因为0,0a b >>，所以333=53b a a b ++≥，当且仅当33b a a b =，即13,44a b ==时等号成立， 即33b a b+的最小值为5. 故答案为:5. 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最小值，属于基础题.本题的关键是将所求式子中的3换成()3a b +.15．454 【分析】由()1121n n a a ++=+，结合等比数列的定义和通项公式可求出21nn a =-，结合二项式定理可求出012345515253545556C a C a C a C a C a C a +++++的值.【详解】解：因为()112221n n n a a a ++=+=+，所以{}1n a +以2为首项，2为公比的等比数列，所以11222n n n a -+=⨯=，所以21n n a =-，则012345515253545556C a C a C a C a C a C a +++++()01223344556012345555555555555222222C C C C C C C C C C C C =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++++⨯-++又01223344556555555222222C C C C C C ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯()0011223344555555552222222C C C C C C =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯()5212486=⨯+=，0123455555555232C C C C C C +++++==，所以原式48632454=-=，故答案为：454. 【点睛】关键点睛：本题的关键是求出数列通项公式后，结合二项式定理对所求式子进行合理变形，减少计算量. 16．124【分析】取1MD 的中点H ，证明平面CEFH 为平面图形，设Q 为EB 中点，证明平面//CEFH 平面1A QM ，Q 点即是N 点，然后利用N CEF F CEN V V --=可得答案.【详解】取1MD 的中点H ，连接CH FH 、，因为F H 、是11A D 、1MD 的中点，所以1//MA FH ， 取CD 中点P ，连接AP MP 、，因为11,//=AA MP AA MP ，四边形1AA MP 是平行四边形，所以1//MA AP ， 所以//FH AP ，又因为,//=AE CP AE CP ，所以四边形AECP 是平行四边形， 所以//CE AP ，所以//CE FH ，即四边形CEFH 为平面图形， 且1MA ⊄平面CEFH ，FH⊂平面CEFH ，1//MA FH ，所以1//MA 平面CEFH ，设Q 为EB 中点，连接1AQ MQ EH 、、，所以//QE MH QE MH =，， 所以四边形QEHM 是平行四边形，所以//HE MQ ，且MQ ⊄平面CEFH ，HE ⊂平面CEFH ，所以//MQ 平面CEFH ，又1MQ A M M =，所以平面//CEFH 平面1A QM ，所以过M 点且与平面EFC 平行的平面就是1A QM ，Q 点即是N 点，11112248CENSEQ CB =⨯⨯=⨯=，所以1111111332424N CEF F CEN CEN V V SAA --==⨯⨯=⨯⨯⨯=. 故答案为：124. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、线面平行及面面平行的判定，关键点是取1MD 的中点H ，证明平面CEFH 为平面图形，设Q 为EB 中点，证明平面//CEFH 平面1A QM ，Q 点即是N 点，考查了学生的空间想象力.17．（1）3C π=；（2）6+．【分析】（1）根据sin()sin()a A B C c B C +-=+，利用正弦定理和内角和以及诱导公式得到2sin sin cos sin sin A C C C A =求解.（2）由ABC 的面积为8ab =，再与28a b +=求得a ，b ，然后利用余弦定理求解. 【详解】 （1）sin()sin()a A B C c B C +-=+，sin sin(2)sin sin A C C A π∴-=，2sin sin cos sin sin A C C C A ∴=， sin sin 0A C ≠， 1cos ,02C C π∴=<<，3C π∴=.（2）由题意可得，12= 8ab ∴=，28a b +=联立可得，2,4a b ==，由余弦定理可得，212,c c ==此时周长为6+. 18．（1）证明见解析；（2）35． 【分析】（1）根据四边形ABCD 为菱形，得到//AD BC ，利用线面平行的判定定理得到//AD 平面BCEF ，然后利用线面平行的性质定理证明.（2）以O 为坐标原点、OA ，OB ，OF 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，取CD 中点M ，连EM ，OM ，分别求得平面ADEF 一个法向量为(,,)m x y z =，平面BCEF 一个法向量为(,,)n x y z =，然后由cos ,|||,|m nm n m n ⋅<>=求解.【详解】（1）因为四边形ABCD 为菱形，所以//AD BC ，AD ⊄平面BCEF ，BC ⊂平面BCEF //AD ∴平面BCEF ，因为平面ADEF 平面BCEF =直线,EF AD ⊂平面ADEF ，所以//EF AD ；（2）因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，因为OF ⊥平面ABCD ，所以以O 为坐标原点、OA ，OB ，OF 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，取CD 中点M ，连EM ，OM ，60BAD ︒∠=，21BC OA OC OB OD =∴====，2BC CD CE DE CDE ====∴为正三角形，EM =，11//,=,//,=22OM BC OM BC EF BC EF BC ，//,=//,=EF OM EF OM OF EM OF EM ∴∴，从而1(0,1,0),((0,1,0),(2A B C D E--，设平面ADEF一个法向量为(,,)m x y z=，则m DAm DE⎧⋅=⎨⋅=⎩，即122yx y⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，令11,(1,x y z m=∴=-==-，设平面BCEF一个法向量为(,,)n x y z=，则n BCn EC⎧⋅=⎨⋅=⎩，即122yx y⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，令11,(1,3,1)x y z n=∴=-=-=--，3cos,5|||,|m nm nm n⋅∴<>==，因此二面角A EF B--的余弦值为35.【点睛】方法点睛：求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．19．（1）16；（2）分布列见解析；期望为20348．【分析】（1）记“甲同学恰好命中一次”为事件C，“甲射击命中A靶”为事件D，“甲第一次射击B靶命中”为事件E，“甲第二次射击B靶命中”为事件F，然后利用互斥事件概率的求解方法求解即可.（2）随机变量X的可能取值为：0，1，2，3，5，6，求出概率，列出分布列，然后求解期望.【详解】（1）记“甲同学恰好命中一次”为事件C，“甲射击命中A靶”为事件D，“甲第一次射击B 靶命中”为事件E ，“甲第二次射击B 靶命中”为事件F ，由题意可知()23P D =，()()34P E P F ==．由于C DEF DEF DEF =++，()()21111313134434413446P C P DEF DEF DEF =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．（2）随机变量X 的可能取值为：0，1，2，3，5，6．()1111034448P X ==⨯⨯=()2111134424P X ==⨯⨯=()12113123448P X C ==⨯⨯⨯=()12231334144P X C ==⨯⨯⨯=()1333534416P X ==⨯⨯=()233363448P X ==⨯⨯=()20348E X =． 【点睛】关键点点睛：古典概型及其概率计算公式的应用，求离散型随机变量的分布列及其期望的求法，解题的关键为正确求出X =0，1，2，3，5，6，所对应的概率.20．（1）2212x y +=；（2）2．【分析】（1）由题意可得：221112a b+=，122112a a ⋅=-+-即可求得,ab 的值，进而可得椭圆C 的方程；（2）设直线l 的方程为1x my =+，点()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线与2212x y +=消去x 可得关于y 的一元二次方程，可求得12y y +，12y y ，计算P 点坐标，利用弦长公式求得弦长MN 、PQ ，将PQMN化简整理，利用基本不等式求最值即可求解. 【详解】 （1）依题意有，221112a b +=①， 因为()1,0A a -，()2,0A a所以121A Ek a =+，221A E k a=+，所以122112a a ⋅=-+-②，由①②解得：22a =，21b =，故椭圆的方程为2212x y +=；（2）由题意知直线l 的斜率不为0，设其方程为1x my =+， 设点()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程()22221221021x y m y my x my ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩， 得到12222m y y m -+=+，12212y y m -=+ 由弦长公式MN ===又12222P y y m y m +-==+，22221122P p m x my m m =+=-+=++，2P PQ x =-=，24PQMN =，令t =，1t ≥，上式22422422t t t t +⎛⎫=⋅=+≥= ⎪⎝⎭， 当2t t=，即1m =±时，PQ MN 取得最小值2．【点睛】思路点睛：解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系； ③利用基本不等式求出参数的取值范围； ④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．圆锥曲线中求直线过定点的问题，通常需要联立方程，得到二次方程后利用韦达定理、结合题中条件（比如斜率关系，向量关系，距离关系，面积等）直接计算，即可求出结果，运算量较大.21．（1）20x y += （2）1a ≤ （3）114a <≤ 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求切线方程；（2）先求导，则不等式()()f x xf x <'对任意的实数(1,)x ∈+∞恒成立，转化为2210x alnx -->对任意实数(1,)x ∈+∞恒成立，构造函数2()21t x x alnx =--，1x >，分类讨论，即可求出a 的范围；（3）先求导，根据函数()g x 存在两个极值点1x ，2x 可得14a >，且124x x a +=，12x x a =，再化简1212()()()g x g x g x x +'可得到880a lna --，构造()88h a a lna =--，14a >，求出函数的最值即可． 【详解】解：（1）当1a =时，213()4ln 22f x x x x =-++，其中0x >，故13(1)4222f =-+=-. 1()4f x x x'=-+，故(1)1412f '=-+=-. 所以函数()f x 在1x =处的切线方程为22(1)y x +=--，即20x y +=. （2）由211()4ln 22f x x ax a x a =-+++，可得()4a f x x a x'=-+. 由题知，不等式2114ln 422a x ax a x a x x a x ⎛⎫-+++<-+ ⎪⎝⎭对任意实数(1,)x ∈+∞恒成立， 即22ln 10x a x -->对任意实数(1,)x ∈+∞恒成立，令2()2ln 1t x x a x =--，1x >.故22()22a x at x x x x-'=-=⋅. ①若1a ≤，则()0t x '>，()t x 在(1,)+∞上单调递增，()(1)0t x t >=，故1a ≤符合题意. ②若1a >，令()0t x '=，得x =.当(x ∈时，()0t x '<，()t x在(上单调递减，故(1)0tt <=，与题意矛盾，所以1a >不符题意.综上所述，实数a 的取值范围1a ≤. （3）据题意211()()24ln 322g x f x a x ax a x a =+=-+++，其中0x >. 则24()4a x ax ag x x a x x-+'=-+=.因为函数()g x 存在两个极值点1x ，2x ， 所以1x ，2x 是方程240x ax a -+=的两个不等的正根，故220,(4)40,0,a a a a >⎧⎪∆=-->⎨⎪>⎩得14a >，且12124,.x x a x x a +=⎧⎨=⎩所以()()221211122211114ln 34ln 32222g x g x x ax a x a x ax a x a +=-++++-+++ ()()()2212121214ln ln 612x x a x x a x x a =+-+++++ ()()()212121212124ln 612x x x x a x x a x x a =+--++++ ()21(4)244ln 612a a a a a a a =--⨯+++28ln 51a a a a =-+++； ()1212124431a ag x x x x a a a a x x a'=-+=-+=-+， 据()()()1212g x g x g x x '+≥可得，28ln 5131a a a a a -+++≥-+， 即288ln 0a a a a --≤，又14a >，故不等式可简化为88ln 0a a --≤， 令()88ln a a a ϕ=--，14a >，则1()840a aϕ'=->>，所以()a ϕ在1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，又(1)0ϕ=， 所以不等式88ln 0a a --≤的解为114a <≤.所以实数a 的取值范围是114a <≤. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，极值，最值的关系，以及函数恒成立的问题，还运用导数的几何意义求切线方程，同时培养学生的转化能力，运算能力，属于难题．22．（1）1C 的极坐标方程是2245sin 36ρθ+=（），的极坐标方程是6cos ρθ=. （2）95【分析】（1）利用cos ,sin x y ρθρθ==将1C 的直角坐标方程化为极坐标方程；先把2C 的参数方程化为普通方程,再化为极坐标方程；（2）分别联立曲线1C 与2C 的极坐标方程与()0θαρ=≥,即可求得221OA ρ=,222OB ρ=,再利用二次函数的性质求得22OB OA的最大值,进而求解.【详解】解:（1）因为cos ,sin x y ρθρθ==,所以221:194x y C +=可化为22221cos sin :194C ρθρθ+=,整理得()2245sin 36ρθ+=,233cos :3sin x C y φφ=+⎧⎨=⎩（φ为参数）,则33cos 3sin x y φφ-=⎧⎨=⎩（φ为参数）,化为普通方程为2260x y x +-=,则极坐标方程为26cos 0ρρθ-=,即6cos ρθ=.所以1C 的极坐标方程是()2245sin 36ρθ+=,2C的极坐标方程是6cos ρθ=.（2）由（1）知,联立2245sin 36ρθθα⎧+=⎨=⎩（）可得22123645sin OA ρθ==+, 联立6cos ρθθα=⎧⎨=⎩可得2222=36cos OB ρθ=,所以22OB OA=224222981cos (45sin )5cos 9cos 5(cos )1020θθθθθ+=-+=--+, 当29cos 10θ=时,22OB OA 最大值为8120,所以OB OA的最大值为10. 【点睛】本题考查直角坐标方程与极坐标方程的转化,考查利用极坐标方程求弦长. 23．（1）{|1x x <-或7}x >；（2）2m =-或0m =． 【分析】（1）将2m =代入，按照零点分段法对x 分类去绝对值，求解后取并集得答案； （2）()f x 的图象与直线1y =有且仅有1个公共点，转化为()()1g x f x =-=有1个零点，对m 分类求最大值，令最大值为0求得m 值. 【详解】解：（1）22130x x +--+<，当2x <-时，22230x x --+-+<，解得1x <，故2x <-；当21x -时，22230x x ++-+<，解得1x <-，故21x -<-； 当1x >时，22230x x +-++<，解得7x >． 综上所述，不等式的解集为{|1x x <-或7}x >；（2）令()()1211g x f x x m x =-=+---，问题转化为函数()g x 有1个零点．若1m >-，则3,()33,11,1x m x m g x x m m x x m x --<-⎧⎪=+--⎨⎪-++>⎩，此时()g x 的最大值为g （1）m =，此时0m =满足题设；若1m <-，则3,1()31,11,x m x g x x m x m x m x m --<⎧⎪=--+-⎨⎪-++>-⎩，此时()g x 的最大值为g （1）2m =--，令20m --=，得2m =-，满足题设； 若1m =-，则()110g x x =---<，故1m =-不合题意，舍去． 综上所述，2m =-或0m =． 【点睛】 方法点睛：（1）利用“零点分段法”分类讨论解绝对值不等式； （2）将两函数图象的交点问题与函数零点问题之间的互化.。
江西省2021届高三数学上学期第一次联考试题 理
江西省临川一中2021届高三数学上学期第一次联考试题理一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若21izi-=+则A.－2B.2C.D.－2.设集合，若为空集，则实数a的取值范围为A.(1，2)B.(－∞，1)∪(2，＋∞)C.[1，2]D.(－∞，1]∪[2，＋∞)3.设a，b∈R，则“(a－b)a2>0”是“a>b”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.若函数f(x)＝ax－lnx的图象上存在与直线x＋2y－4＝0垂直的切线，则实数a的取值范围是A. (－2，＋∞)B. (，＋∞)C. (－，＋∞)D. (2，＋∞)5.若x>0，y<0，则下列不等式一定成立的是A.2x－2y>x2B.C. 2x－2y>1＋xD. 2x－2y>1－x17.世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割。
如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿。
”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为360的等腰三角形(另一种是顶角为1080的等腰三角形)。
例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，。
根据这些信息，可得cos2160＝A. B. C.D.7.若函数，在(－∞，a]上的最大值为4，则a的取值范围为A. (1，17]B. (1，9]C.[1，17]D. [1，9]8.将编号为1，2，3，4，5，6的六个小球放入编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子中，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是A.40B.60C.80D.1009.执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内m的取值范围是A.(30，42]B.(30，42)C.(42，56]D.(42，56)10.已知F1，F2为椭圆的两个焦点， B为椭圆短轴的一个端点，，则椭圆的离心率的取值范围为A.[0，]B.[0，]C. [0，]D. [，1]11.设曲线y＝cosx与x轴、y轴、直线围成的封闭图形的面积为b，若g(x)＝2lnx－2bx2－kx在[1，＋∞]上的单调递减，则实数k的取值范围是A.[0，＋∞)B.(0.＋∞)C.[1，＋∞)D.(1，＋∞)12.设数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1＋a2＝2，，用[x]表示不超过x的最大整数，设b n＝[a n]，数列{b n}的前2n项和为T2n，则使T2n>2019成立的最小正整数n是A.5B.6C.7D.8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年江西省重点中学协作体(某校、上饶中学等)高考数学第一次联考试卷(理科)(2月份)
2021年江西省重点中学协作体（某校、上饶中学等）高考数学第一次联考试卷（理科）（2月份）一、选择题：本题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合A＝{0, 1, 2, 3}，集合B＝{x|x2＝x}，则A∩B＝（）A.{0, 1, 2, 3}B.{−1, 0, 1}C.{1, 2}D.{0, 1}【答案】D【考点】交集及其运算【解析】可求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】∵A＝{0, 1, 2, 3}，B＝{0, 1}，∴A∩B＝{0, 1}．2. 已知复数z＝，则的虚部是（）A.1B.−1C.−iD.i【答案】A【考点】复数的运算【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求出得答案．【解答】∵＝，∴，则则的虚部是1，3. 已知p：≤1，q:a2−1≥0，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】根据不等式的性质求出p和q的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】由≤1，得a≥1或a<0，即p:a≥1或a<0，由a2−1≥0，得a≥1或a≤−1，即q:a≥1或a≤−1，则q⫋p，故p是q的必要不充分条件，4. sin155∘sin35∘−cos25∘cos35∘＝（）A. B. C. D.【答案】B【考点】两角和与差的三角函数【解析】由已知结合诱导公式及两角和的余弦公式，即可求解．【解答】sin155∘sin35∘−cos25∘cos35∘＝sin25∘sin35∘−cos25∘cos35∘＝−cos60∘＝-．5. 在的展开式中，x2y5的系数是（）A.20B.C.−12D.【答案】C【考点】二项式定理及相关概念【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6. “干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为”十天干”；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、西、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅、……癸酉；甲戌、乙亥、丙子、…、癸未；甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳；…，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽．2021年是“干支纪年法”中的辛丑年，那么2121年是“干支纪年法”中的（）A.庚午年B.辛未年C.庚辰年D.辛巳年【答案】D【考点】进行简单的合情推理【解析】从2021到2121年经过100年，由简单的合情推理结合阅读，理解“干支纪年法”，通过运算可得解．【解答】天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥，天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，2021年是“干支纪年法”中的辛丑年，则2121的天干为辛，地支为巳，7. 已知，则下列不等关系正确的是（）A.f(log27)<f(log0.52.5)<f(1)B.f(log0.52.5)<f(log27)<f(1)C.f(1)<f(log0.52.5)<f(log27)D.f(1)<f(log27)<f(log0.52.5)【答案】【考点】对数值大小的比较【解析】画出函数的大致图像，由函数f(x)的图像可知，f(1)是最大值，f(x)的图像关于直线x＝1对称，再比较log27和log0.52.5与1的距离，即可得到f(log27)与f(log0.52.5)的大小关系．【解答】画出函数的大致图像，如图所示：，函数f(x)的图像关于直线x＝1对称，由函数f(x)的图像可知，f(1)是最大值，∵|log27−1|＝|log27−log22|＝<2，|log0.52.5−1|＝|log0.52.5−log0.50.5|＝log25>2，∴f(log27)>f(log0.52.5)，∴f(log0.52.5)<f(log27)<f(1)，故选：B．8. 若函数的图象向右平移个单位后与函数y＝cos2ωx的图象重合，则ω的值可能为（）A.−1B.−2C.D.【答案】C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9. 如图ABCDEF为五面体，其中四边形ABCD为矩形，EF // AB，AB＝3EF＝AD＝3，△ADE和△BCF都是正三角形，则该五面体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】过F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，取BC中点P，连接OP，PF，过O作BC的平行线QH，交AB于点Q，交CD于H，采用分割的方法，把该几何体分为三部分，如图，包含1个三棱柱EMN−FQH，两个全等的四棱锥E−AMND，F−QBCH，分别求出其体积即可求出所求．【解答】过F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，取BC中点P，连接OP，PF，过O作BC的平行线QH，交AB于点Q，交CD于H，因为AD＝3，所以AD＝2，因为△ADE和△BCF都是正三角形，边长为2，所以OP＝QB＝(AB−EF)＝(3−1)＝1，PF＝，OF＝，采用分割的方法，把该几何体分为三部分，如图，包含1个三棱柱EMN−FQH，两个全等的四棱锥E−AMND，F−QBCH，所以该几何体的体积为V＝V EMN−FQH+2V F−QBCH，又因V EMN−FQH＝S△QFH×MQ＝|QH|⋅|OF|×MQ＝，V F−QBCH＝S矩形QBCH×FQ＝，所以V＝+2×＝．10. 在三角形ABC中，E、F分别为AC、AB上的点，BE与CF交于点Q，且＝2，＝3，AQ交BC于点D，，则λ的值为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【考点】平面向量的基本定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11. 如图所示，A，B，C是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BF⊥AC且|BF|=|CF|，则该双曲线的离心率是( )A.√102B.√10 C.32D.3【答案】A【考点】双曲线的离心率双曲线的标准方程【解析】运用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，求得A的坐标，由对称得B的坐标，由于BF⊥AC且|BF|=|CF|，求得C的坐标，代入双曲线方程，结合a，b，c的关系和离心率公式，化简整理成离心率e的方程，代入选项即可得到答案．【解答】解：设左焦点为F′，连接AF′，BF′，CF′，由OA=OB，OF=OF′，BF⊥AC，可得四边形AFBF′为矩形，设AF=m，则FC=FB=AF′=m+2a，CF′=m+4a，在直角△ACF′中，(m+2a)2+(2a+2m)2=(m+4a)2，解得m=a，在直角△FAF′中，AF2+AF′2=FF2，即a2+(3a)2=(2c)2，即4c2=10a2，a，即c=√102.故e=√102故选A.12. 设k，b∈R，若关于x的不等式ln x+x≤k(x+1)+b在(0, +∞)上恒成立，则的最小值是（）A.−e2B.C.−e+1D.−e−1【答案】C【考点】利用导数研究函数的最值【解析】由ln x+x−k(x+1)≤b在(0, +∞)上恒成立，令f(x)＝ln x+x−k(x+1)，(x>0)，根据函数的单调性求出f(x)的最大值，得到−ln(k−1)−1−k≤b，而≥，令k−1＝u，g(u)＝1−-，根据函数的单调性求出g(u)的最小值，从而求出的最小值即可．【解答】ln x+x≤k(x+1)+b在(0, +∞)上恒成立，则ln x+x−k(x+1)≤b在(0, +∞)上恒成立，令f(x)＝ln x+x−k(x+1)，(x>0)，则f′(x)＝+1−k，若k≤1，则f′(x)>0，可得f(x)在(0, +∞)递增，当x→∞时，f(x)→∞，故不等式不能成立，故k>1当＝k−1时，f(x)取得最大值，f(x)max＝f（）＝−ln(k−1)−k−1，即b≥−ln(k−1)−1−k，故≥，∴＝2+≥2+＝，令k−1＝u，g(u)＝＝1−-，故g′(u)＝-＝，当ln u＝−1时，u＝，g(u)min＝−2e+e+1＝1−e，故的最小值是1−e，二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分已知实数x，y满足约束条件{x+2y≥2 x−y≤2x−4y+4≥0，则z=3x−y的最大值为________．【答案】10【考点】简单线性规划【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】由约束条件作出可行域如图，联立{x−4y+4＝0x−y＝2，解得A(4, 2)，化目标函数z=3x−y为y=3x−z，由图可知，当直线y=3x−z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为10．已知函数f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝sin x−1，则函数f(x)在处的切线方程为________．【答案】y＝2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答过抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l与C相交于A．B两点，且A，B两点在准线上的射影分别为M，N，△AFM的面积与△BFN的面积互为倒数，则△MFN的面积为________．【答案】2【考点】抛物线的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB // CD，AB⊥AD，CD＝AD＝AB＝2，若动点Q在平面PAD内运动，使得∠CQD与∠BQA相等，则三棱锥Q−ACD的体积最大时的外接球的体积为________．【答案】4π【考点】球的表面积和体积柱体、锥体、台体的体积计算球内接多面体【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题：共70分。
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江西省重点中学协作体2021届高三第一次联考数学（理）试卷考试时间：120分钟 分值:150分一、选择题:本题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}01,2,3A =，，集合{}2B x x x ==，则A B ⋂=（ ） A ．{}0,1,2,3 B ．{}1,0,1-C ．{}1,2D ．{}01，2．已知复数51-i 1+iz =，则z 的虚部是（ ）A ．1-B ．i -C ．1D ．i3．已知p ：11a≤，q ：210a -≥，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．sin155sin35-cos25cos35︒︒︒︒=（ ）A ．3- B ．12-C ．12D ．35．在()62x y x y ⎛⎫-+⎪⎝⎭的展开式中，52x y 的系数是（ ） A ．20 B ．152 C ．12- D ．252- 6．“干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅……癸酉；甲戌、乙亥、丙子……癸未；甲申、乙酉、丙戌……癸巳；……，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽.2021年是“干支纪年法”中的辛丑年，那么2121年是“干支纪年法”中的（ ）A ．庚午年B ．辛未年C ．庚辰年D ．辛巳年7．已知13()5x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列不等关系正确的是（ ）A ．20.5(log 7)(log 2.5)(1)f f f <<B ．0.52(log 2.5)(log 7)(1)f f f <<C ．0.52(1)(log 2.5)(log 7)f f f <<D ．20.5(1)(log 7)(log 2.5)f f f << 8.若函数sin 23y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后与函数cos 2y x ω=的图象重合，则ω的值可能为（ ）A ．1-B ．2-C ．12- D.14- 9．如图ABCDEF 为五面体，其中四边形ABCD 为矩形,//,EF AB 33=32AB EF AD ==，ADE △和BCF △都是正三角形，则该五面体的体积为（ ）A ．72B ．423 C ．2D ．32210．在三角形ABC 中，F E 、分别为AB AC 、上的点，CF BE 与交于点Q 且2AE EC =，3AF FB =,AQ 交BC 于点D ,AQ QD λ=,则λ的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．611．已知,,A B C 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的三个点，AB 经过原点O ，AC 经过右焦点F ，若BF AC ⊥且3AF CF =，则该双曲线的离心率是（ ）A ．102B ．53C ．173 D ．9412．设k ，b R ∈，若关于x 的不等式()ln 1x x k x b +≤++在()0,+∞上恒成立，则2+-21k b k -的最小值是（ ）A ．2e -B ．11e -+ C ．1e -+ D ．1e --二、填空题:本大题共4小题，每题5分，共20分。
13．已知实数x ，y 满足约束条件222440x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =-的最大值为14．已知函数()f x 是奇函数，当0x <时，()sin 1f x x =-，则函数()f x 在2x π=处的切线方程为 15．过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 的直线l 与C 相交于,A B 两点，且,A B 两点在准线上的射影分别为,M N ，AFM ∆的面积与BFN △的面积互为倒数，则MFN ∆的面积为16．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，AB ⊥AD ，22CD AD AB ===，若动点Q 在平面PAD 内运动，使得CQD ∠与BQA ∠相等，则三棱锥Q ACD -的体积最大时的外接球的体积为三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～22为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选做题，考生根据要求作答。
(一）必考题：共60分17．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 为递减数列且首项15a =，等比数列{}n b 的前三项依次为1-1a ，22a +，33a .（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式. （2）求数列{}n +n a b 的前n 项和n S .18．（本小题满分12分）如图，在三棱锥A BCD -中，ABD △是等边三角形，2=AC ,2BC CD ==，E 为空间内一点，BC CD ⊥,且CDE △为以CD 为斜边的等腰直角三角形.（1）证明：平面ABD ⊥平面BCD .（2）若2BE =，试求平面ABD 与平面ECD 所成锐二面角的余弦值.19.（本小题满分12分）已知椭圆2222:+1(0)x y C a b a b=>>，长轴为4，不过原点O 且不平行于坐标轴的直线l 与椭圆C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值34-. （1）求椭圆C 的方程.（2）若直线l 过右焦点2F ，问y 轴上是否存在点D ，使得三角形ABD 为正三角形，若存在，求出点D ，若不存在，请说明理由.20.（本小题满分12分）某超市计划按月订购一种预防感冒饮品，每天进货量相同，进货成本每瓶5元，售价每瓶8元，未售出的饮品降价处理，以每瓶3元的价格当天全部处理完。
根据一段时间以来的销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关。
如果最高气温不低于30，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[25，30），需求量为300瓶；如果最高气温低于25，需求量为200瓶．为了确定七月份的订购计划，统计了前三年七月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温 [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） 天数2736207（1）求七月份这种饮品一天的需求量X （单位：瓶）的分布列； （2）若七月份一天销售这种饮品的利润的数学期望值不低于700元，则该月份一天的进货量n (单位:瓶）应满足什么条件？21.（本小题满分12分）已知函数()()axax x f ln =（1）讨论函数()x f 的单调区间. （2）若当1=a 时，()()()xex f x F x f 92+= 求证：()0>x F . （二）选考题：共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号。
22．在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为()为参数t t t y t t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=42441211， 以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos 43πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）写出曲线12C C ，的普通方程； （2）过曲线1C 上任意一点P 作与2C 夹角为60°的直线，交2C 于点A ，求PA 的最大值与最小值. 23．已知a ，b ，c 为正数， （1）证明2+-33232332b c a a c b a b ca b c+-+-++≥. （2）求4444111+++a b c a b c ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值.江西省重点中学协作体第一次联考数学（理）答案一、选择题 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 D CBBCDBCACAC二、填空题17. 10 14.2=y 15.2 16.π31040 18. 解(1)由题意得：()()1,615472-=∴+⨯=+d d d ，或11=d (舍）∴n a n -=6............................................3分又 23,6,45211=∴==-=q b a b 公比123.4,-⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴n n b ............6分（2）123.4,6-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=n n n b n a())..........(..................................21212211n n n n n b b b a a a b a b a b a S +++++=++++++= nn n n s ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=∴23882112-2..........12分18．解：()1取BD 的中点O ，连接OC ，OA ， 因为ABD △是等边三角形，2=BD 所以AO BD ⊥，...........2分且3=AO ，又因为2BC CD ==，所以112CO BD ==，又2=AC 222AC OC AO =+∴OC AO ⊥∴................4分AO BD ⊥又因为CO BD O ⋂=，所以平面ABD BCD ⊥平面， (6)分()2因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面CBD BD =，所以AO ⊥平面BCD ， 且2BD =，3AO =，故以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴建立空间直角坐标系，不妨令E 在平面BCD 上方 取CD 的中点F ，连接OF ，EF ，同理可证CD ⊥平面EOF ，2OF =，6EF =， 设EFO πθ∠=-， 则()0,0,0O，()1,0,0C ，()0,1,0D ，()003A ,,，()0,1,0B -11cos ,co 1s ,sin 2212222E θθθ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭1cos ,co 113s ,sin 222222BE θθθ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭23sin 21cos 2cos 232=∴=∴=+∴=θθθBE ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴464343，，E ..........8分 所以()1,1,0CD =-，13644CE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，， 设平面ECD 的一个法向量为(),,n x y z =，则00CD n CE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，01360444x y x y z -+=⎧⎪∴⎨-++=⎪⎩， 令1x =，则61,1,3n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭．..........................10分 因为平面ABD 的一个法向量为()1,0,0OC =，所以c os,4OC n〈〉==，即平面ECD与平面ECD的锐二面角的余弦值为46...............12分19.解（1）由题意可知：2,42==aa................1分设点()()2211,,yxByxA，BA,在椭圆上1221221=+∴byax.........①1222222=+byax...........②43.-=OMABkk43.21211212-=++--∴xxyyxxyy..........③由①-②及③得43-22-=ab............................4分32=∴b∴椭圆C方程为: 13422=+yx.....................5分（2）设直线()1-=xkyl；联立⎪⎩⎪⎨⎧-==+)1(13422xkyyx得()01248432222=-+-+kxkxk2221222143124,438kkxxkkxx+-=+=+∴ ,..............................7分∴)433,434222kkkM+-+（，假设存在点D,则MD的直线方程为：)434(1433222kkxkky+--=++)43340(2kkD+-∴，2243)1(12kkAB++=，.............................................9分22222431443411kkkkkkMD++=-++=.........................10分若ABD∆为等边三角形则：MD=2243)11223kk++⨯（224314kkk++=即027232=+k，方程无实数解，∴不存在这样的点D..................................12分20.解：（1）依题意得：X的所有可能取值为500,300,200，..................1分由表格数据知()3.09027500P===x，()4.09036300P===x，()3.09027200P===x，......4分因此分布列为..........................................................................5分(2)由题意可知，这种饮品一天的需求量最多为500瓶，最少为200瓶，因此只需考虑500200≤≤n。