广东四会中学2017九年级奥数培训.三角形的“四心”-奥数精讲与测试(无答案)
三角形的四心
平面向量中的三角形四心问题向量是高中数学中引入的重要概念，是解决几何问题的重要工具.本文就平面向量与三角形四心的联系做一个归纳总结。
在给出结论及证明结论的过程中，可以体现数学的对称性与推论的相互关系。
一、重心（barycenter)三角形重心是三角形三边中线的交点。
重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
结论1：是三角形的重心所在平面内一点，则为若G GC GB GA ABC G ⇔=++∆0202,,BC D GD GB GC GA GB GC GA GB GC GA GD G AD G BF CE G ABC =+++=⇔-=+∴-=∆证明：设中点为，则这表明，在中线上同理可得在中线上故为的重心结论2：1P ()31()()()()030ABC PG PA PB PC G ABC PG PA PB PC PG PA PG PB PG PC GA GB GC G ABC ∆=++⇔∆=++⇔-+-+-=⇔++=⇔∆若为所在平面内一点，则是的重心证明：是的重心A'GAB例1． G 是△ABC 所在平面内一点，GC GB GA ++=0⇔点G 是△ABC 的重心.证明 作图如右，图中GE GC GB =+连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线.将GE GC GB =+代入GC GB GA ++=0，得EG GA +=0⇒GD GE GA 2-=-=，故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略））例2． P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31PC PB PA PG ++=.证明CGPC BG PB AG PA PG +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++=∵G 是△ABC 的重心 ∴GC GB GA ++=0⇒CG BG AG ++=0，即PC PB PA PG ++=3由此可得)(31PC PB PA PG ++=.（反之亦然（证略）） 例3 若O 为ABC ∆内一点，0OA OB OC ++= ，则O 是ABC ∆ 的（ ）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心解析：由0OA OB OC ++=得OB OC OA +=-，如图以OB 、OC 为相邻两边构作平行四边形，则OB OC OD +=，由平行四边形性质知12OE OD =，2OA OE =，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D 。
三角形四心
三角形四心一、“四心”分类讨论 (1)1、外心 (1)2、内心 (2)3、垂心 (3)4、重心 (5)5、外心与内心 (6)6、重心与内心 (6)7、外心与垂心 (7)8、外心与重心 (8)9、垂心与内心 (8)10、垂心、重心、外心 ............................................................................................................................................ 8 旁心 . (9)二、“四心”的联想 (9)1、由内心、重心性质产生的联想 (9)2、重心的巧用 (11)3、三角形“四心”与一组面积公式 (12)三角形各心间的联系 (15)与三角形的心有关的几何命题的证明 (16)三角形的内心、外心、垂心及重心(以下简称“四心”)是新颁发的初中数学竞赛大纲特别加强的内容。
由于与四心有关的几何问题涉及知识面广、难度大、应用的技巧性强、方法灵活，是考查学生逻辑思维能力和创造思维能力的较佳题型，因此，它是近几年来升学、竞赛的热点。
92、93、94、95连续四年的全国初中数学联赛均重点考察了这一内容。
本讲拟分别列举四心在解几何竞赛中的应用，以期帮助同学们掌握这类问题的思考方法，提高灵活运用有关知识的能力。
一、“四心”分类讨论1、外心三解形三条垂直平分线的交点叫做三角形的外心，即外接圆圆心。
△ABC 的外心一般用字母O 表示，它具有如下性质：(1)外心到三顶点等距，即OA=OB=OC 。
(2)∠A=AOB C AOC B BOC ∠=∠∠=∠∠21,21,21。
如果已知外心或通过分析“挖掘”出外心，与外心有关的几何定理，尤其是圆周角与圆心角关系定理，就可以大显神通了。
下面我们举例说明。
例2证明三角形三边的垂直平分线相交于一点，此点称为三角形的外心．已知：△ABC 中，XX ′，YY ′，ZZ ′分别是BC ，AC ，AB 边的垂直平分线，求证：XX ′，YY ′，ZZ ′相交于一点(图3－111)． 分析先证XX ′，YY ′交于一点O ，再证O 点必在ZZ ′上即可． 证因为XX ′，YY ′分别是△ABC 的BC 边与AC 边的中垂线，所以XX ′，YY ′必相交于一点，设为O(否则，XX ′∥YY ′，那么∠C 必等于180°，这是不可能的)．因Y 'X 'Z ' 3-111O Z Y X C B A为OB=OC ，OC=OA ，所以OB=OA ，所以O 点必在AB 的垂直平分线ZZ ′上，所以XX ′，YY ′，ZZ ′相交于一点．说明由于O 点与△ABC 的三个顶点A ，B ，C 距离相等，所以以O 点为圆心，以OA 长为半径作圆，此圆必过A ，B ，C 三点，所以称此圆为三角形的外接圆，O 点称为三角形的外心．例1、如图9-1所示，在△ABC 中，AB=AC ，任意延长CA 到P ，再延长AB 到Q ，使AP=BQ ，求证：△ABC 的外心O 与点A 、P 、Q 四点共圆。
初高中知识点衔接-三角形的四心
三角形的四心1、三角形的外心三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)．三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等． 都等于三角形的外接圆半径． 锐角三角形的外心在三角形内； 直角三角形的外心在斜边中点； 钝角三角形的外心在三角形外． 2、三角形的内心三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)． 三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径． 内切圆半径r 的计算：设三角形面积为S ，并记p =12(a +b +c )，则r =Sp ．特别的，在直角三角形中,有 r =12(a +b －c )．3、三角形的重心三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心．三角形的重心到边的距离与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2．例1 证明重心定理。
ABCDEFG IK HE FABCMABCO证法1 如图，D 、E 、F 为三边中点，设BE 、CF 交于G ，连接EF ，显然EF ∥=12BC ，由三角形相似可得GB ＝2GE ，GC =2GF ． 又设AD 、BE 交于G '，同理可证G 'B =2G 'E ，G 'A =2G 'D ，即G 、G '都是BE 上从B 到E 的三分之二处的点，故G '、G 重合． 即三条中线AD 、BE 、CF 相交于一点G ．证法2 设BE 、CF 交于G ，BG 、CG 中点为H 、I ．连EF 、FH 、HI 、IE ，因为EF ∥=12BC ，HI ∥=12BC ， 所以 EFHI 为平行四边形．所以 HG =GE 、IG=GF ，GB =2GE ，GC =2GF ．同证法1可知AG =2GD ，AD 、BE 、CF 共点． 即定理证毕．4、三角形的垂心三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心．斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”．练习：设G 为△ABC 的重心，M 、N 分别为AB 、CA 的中点，求证：四边形GMAN 和△GBC 的面积相等．证明 如图，连GA ，因为M 、N 分别为AB 、CA 的中点，所以△AMG 的面积=△GBM 的面积，△GAN 的面积=△GNC 的面积,即四边形GMAN 和△GBC 的面积相等．ABCD EFGCC。
初中数学竞赛 知识点和真题 第19讲 三角形的四心
第19讲三角形的“四心”有一个人开始跟欧几里德学习几何学，当他学完第一个命题时，他就问欧几里德：我能通过学习这些东西得到什么好处呢？于是欧几里德叫来他的仆人，并说：给他三个便士，因为他想从所学的知识中获取实利。
——斯托比亚斯知识方法扫描1．三角形的三条角平分线交于一点，这点是三角形的内切圆的圆心，称为三角形的内心。
如果△ABC的内心为I，则有①I 到△ABC的三边距离相等；1∠C；②∠AIB＝90°＋2③若延长CI交三角形ABC的外接圆于D，则DA=DB=DI。
2．三角形的三边的垂直平分线交于一点，这点是三角形的外接圆的圆心，称为三角形的外心。
如果△ABC的外心为O，则有①O到三个顶点的距离相等；②∠AOB＝2∠C；③外心到一边的距离等于这边所对的顶点到垂心的距离的一半。
3．三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心。
如果△ABC的重心为G，则有①重心到一个顶点的距离是到对边中点距离的2倍；②△ABG，△BCG，△CAG的面积相等。
4．三角形的三条高所在的直线交于一点，这点称为三角形的垂心。
如果△ABC的垂心为H ，则有①若△ABC是锐角三角形，则∠AHB＝180°－∠C；②若AD是△ABC的高，AD交三角形ABC的外接圆于E，则DE=DH。
经典例题解析例1（1995年全国初中数学联赛试题）如图, 已知∠ACE＝∠CDE＝90°, 点B在CE上, CA＝CB＝CD, 过A、C、D三点的圆交AB于F. 求证：F为△CDE 的内心.分析若连结DF、CF, 显然要证明DF平分∠CDE,CF平分∠DCE. 证明DF平分∠CDE只要证∠CDF＝45°,这是容易解决的. 证明CF平分∠DCE可以转证∠CFD＝∠CFB, 这样便于与已知条件CA＝CD沟通起来.证明∵∠ACE＝90°, CA＝CB, ∴∠A＝45°.连结DF, 则∠CDF＝∠A＝45°.∵∠CDE＝90°, ∴DF平分∠CDE.连结AD、CF. ∵CA＝CD, ∴∠CAD＝∠CDA.∵∠CFD 与∠CAD 互补, ∠CFB 与∠CFA 互补, 而∠CFA ＝∠CDA, ∴∠CFB 与∠CDA 互补. ∴∠CFD ＝∠CFB. ∴F 是△CDE 的内心.例2 (河南省第三届初中数学竞赛试题) 一条直线DE 平分△ABC 的周长, 同时直线DE 又平分了△ABC 的面积. 求证：直线DE 经过△ABC 的内切圆圆心O.证明 如图, 设点D 、E 分别在边AB 、AC 上, r 为△ABC 的内切圆半径, 连结AO 、BO 、CO 、DO 、EO, 由题设, 得：AD ＋AE ＝BD ＋BC ＋CE,∵r ＞0, ∴2r (AD ＋AE)＝2r (BD ＋BC ＋CE).结合图形, 得：S △AOD ＋S △AOE ＝S △DOB ＋S △BOC ＋S △COE ① 又∵DE 平分△ABC 的面积, 由图可知 S △ADE ＝S 四边形BCED ②比较①、②, 可知只有当S △DOE ＝0时, 才能使两个等式都成立.，所以直线DE 经过△ABC 的内切圆圆心O.从而O 点必在DE 上, 即直线DE 经过△ABC 的内切圆圆心.例3（2001年我爱数学初中生夏令试题）在锐角△ABC 中，AD ⊥BC ，D 为垂足；DE ⊥AC ，E 为垂足；DF ⊥AB ，F 为垂足，O 为△ABC 的外心，求证：（1）△ABC ∽△AEF ；（2）AO ⊥EF 。
值得回味的三角形的“四心”
ʏ袁有亮三角形的四心 是三角形的重要性质,下面举例说明三角形的 四心 在平面向量中的应用,供大家学习与参考㊂一㊁三角形的重心例1 已知A ,B ,C 是平面上不共线的三点,若动点P满足O P ң=O A ң+λA Bң|A B ң|s i n B+A Cң|A C ң|s i n C,λɪ(0,+ɕ),则动点P 的轨迹一定通过әA B C 的( )㊂A.重心 B .垂心C .内心 D .外心解:(方法1)由正弦定理可得|A B ң|s i n C=|A C ң|s i n B,即|A B ң|s i n B =|A C ң|s i n C ,所以O Pң-O A ң=λA Bң|A B ң|s i n B +A Cң|A C ң|s i n C,即A P ң=λ|A B ң|s i n B (A B ң+A C ң)=2λ|A B ң|s i n B㊃A M ң(其中M 为B C 的中点),所以P ɪA M ,所以动点P 的轨迹一定通过әA B C 的重心㊂应选A ㊂(方法2)作A D ʅB C 于点D (图略),即A D 是B C 边上的高,则O P ң-O A ң=A P ң=λA Bң|A B ң|s i n B +A Cң|A C ң|s i n C=λ|A D ң|(A B ң+A C ң)=2λ|A D ң|A M ң(其中M 为BC 的中点),即A P ң与A M ң共线,所以动点P 的轨迹一定通过әA B C 的重心㊂应选A ㊂评注:三角形的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2ʒ1㊂O 是әA B C 的重心⇔O A ң+O B ң+O C ң=0㊂二㊁三角形的内心例2 已知әA B C ,I 为三角形所在平面上的一点,且点I 满足a ㊃I A ң+b ㊃I B ң+c ㊃I C ң=0,则点I 为әA B C 的( )㊂ A.外心 B .垂心C .重心 D .内心解:如图1所示,在A B ,A C 上分别取点D ,E ,使得A D ң=A B ңc ,A E ң=A Cңb,则A D ң=A E ң=1㊂作菱形A D F E ,则A F ң=A D ң+A E ң=AB ңc +A C ңb,所以A F 为øB A C 的平分线㊂图1因为a ㊃I A ң+b ㊃I B ң+c ㊃I C ң=0,所以a ㊃I A ң+b ㊃I A ң+A B ң +c ㊃I A ң+A C ң =0,所以A I ң=b a +b +c ㊃A B ң+c a +b +c㊃A Cң=b c a +b +c ㊃A B ңc +A C ңb=b c a +b +c A F ң,所以A ,I ,F 三点共线,即点I 在øB A C 的平分线上㊂同理可得,点I 在其他两个角的平分线上㊂故点I 是三角形的内心㊂应选D ㊂评注:三角形的内心是三个内角的角平分线的交点(即三角形内切圆的圆心),它到三条边的距离相等㊂O 是әA B C 的内心⇔O A ң㊃A Bң|A B ң|+A C ң|A C ң|=O B ң㊃B A ң|B A ң|+B C ң|B C ң|=O C ң㊃C A ң|C A ң|+C B ң|C B ң|=0㊂向量λA Bң|A B ң|+A Cң|A C ң|(λʂ0)所在直线过әA B C 的内心(即øB A C 的平分线所在的直线)㊂三㊁三角形的外心例3 设O 是平面A B C 内的一定点,P为平面A B C 内一动点,若(P B ң-P C ң)㊃(O Bң11知识结构与拓展高一数学 2023年6月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.+O C ң)=(P C ң-P A ң)㊃(O C ң+O A ң)=(P A ң-P B ң)㊃(O A ң+O B ң)=0,则O 为әA B C的( )㊂A.内心 B .外心C .重心 D .垂心解:由(P B ң-P C ң)㊃(O B ң+O C ң)=(P C ң-P A ң)㊃(O C ң+O A ң)=(P A ң-P B ң)㊃(O A ң+O B ң)=0,可得C B ң㊃(O B ң+O C ң)=A C ң㊃(O C ң+O A ң)=B A ң㊃(O A ң+O B ң)=0,即(O B ң-O C ң)㊃(O B ң+O C ң)=(O C ң-O A ң)㊃(O C ң+O A ң)=(O A ң-O B ң)㊃(O A ң+O B ң)=0,也即|O A ң|2=|O B ң|2=|O C ң|2,所以|O A ң|=|O B ң|=|O C ң|㊂故O 为әA B C 的外心㊂应选B ㊂评注:三角形的外心是三边的中垂线的交点(三角形外接圆的圆心),外心到三个顶点的距离相等㊂四㊁三角形的垂心例4 设O 是平面上一定点,A ,B ,C 是平面上不共线的三点,若动点P 满足O P ң=O A ң+λA B ң|A B ң|c o s B +A C ң|A C ң|c o s C,λɪ[0,+ɕ),则点P 的轨迹一定经过әA B C 的( )㊂A.内心 B .外心C .垂心 D .重心解:因为O P ң㊃B C ң=O A ң㊃B C ң+λA B ң㊃B C ңA B ңc o s B +A C ң㊃B C ңA C ңc o s C=O A ң㊃B C ң+λ-B C ң+B C ң=OA ң㊃B C ң,所以O P ң㊃B C ң-O A ң㊃B C ң=0,即(O P ң-O A ң)㊃B C ң=0,所以A P ң㊃B C ң=0,则A P ʅB C ,故点P 的轨迹一定经过әA B C 的垂心㊂应选C ㊂评注:三角形的垂心是三边上的高的交点(通常用H 表示)㊂O 是әA B C 的垂心⇔O A ң㊃O B ң=O B ң㊃O C ң=O C ң㊃O A ң㊂五㊁等边三角形的中心例5 已知非零向量A B ң与A C ң满足A Bң|A B ң|+A C ң|A C ң|㊃B C ң=0且A B ң|A B ң|㊃A C ң|A C ң|=12,则әA B C 为( )㊂A.三边均不相等的三角形B .直角三角形C .等腰非等边三角形D .等边三角形解:因为非零向量A B ң与A C ң满足A Bң|A B ң|+A C ң|A C ң|㊃B C ң=0,所以øB A C 的平分线垂直于B C ,所以A B =A C ㊂又因为A B ң|A B |㊃A C ң|A C ң|=1ˑ1ˑc o søB A C =12,所以c o s øB A C =12,即øB A C =π3,所以әA B C 为等边三角形㊂应选D ㊂评注:等边三角形的 四心 共点,也称为等边三角形的中心㊂(多选题)已知әA B C 的外心为O ,重心为G ,垂心为H ,且A B =3,A C =4,则下列各式正确的是( )㊂A .A H ң㊃B C ң=0B .A G ң㊃B C ң=-73C .A O ң㊃B C ң=72D .O H ң=O A ң+O B ң+O Cң提示:由H 为垂心,可得A H ʅB C ,则A H ң㊃B C ң=0,A 正确㊂由A G ң=13(A B ң+A C ң),BC ң=(A C ң-A B ң),可得A G ң㊃B C ң=13(A C ң2-A B ң2)=73,B 错误㊂由垂径定理和向量投影得A O ң㊃A B ң=12|A B ң|2,A O ң㊃A C ң=12|A C ң|2,则A O ң㊃B C ң=A O ң㊃(A C ң-A B ң)=12(|A C ң|2-|A B ң|2)=72,C 正确㊂由O G ң=12G H ң,可得O G ң=13O H ң,由G A ң+G Bң+G C ң=0,可得O G ң=13(O A ң+O B ң+O C ң),所以O H ң=O A ң+O B ң+O C ң,D 正确㊂应选A C D ㊂作者单位:湖北省巴东县第一高级中学(责任编辑 郭正华)21 知识结构与拓展 高一数学 2023年6月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
三角形四心竞赛讲义全
三角形四心竞赛讲义
一、“四心 ”分类讨论 ...................................................................................................................2.................... 1、外心 .....................................................................................................................................2.................... 2、内心 .....................................................................................................................................4.................... 3、垂心 .....................................................................................................................................6.................... 4、重心 .....................................................................................................................................8.................... 5、外心与内心 ......................................................................................................................1..1.................. 6、重心与内心 ......................................................................................................................1..1.................. 7、外心与垂心 ......................................................................................................................1..2.................. 8、外心与重心 ......................................................................................................................1..3.................. 9、垂心与内心 ......................................................................................................................1..4.................. 10、 垂心 、 重心 、 外心 .........................................................................................................1..4............... 旁心 ........................................................................................................................................1..5.....................
三角形四心竞赛讲义
三角形四心竞赛讲义一、“四心”分类讨论 (1)1、外心 (1)2、内心 (2)3、垂心 (3)4、重心 (5)5、外心与内心 (6)6、重心与内心 (6)7、外心与垂心 (7)8、外心与重心 (8)9、垂心与内心 (8)10、垂心、重心、外心 ............................................................................................................................................ 8 旁心 . (9)二、“四心”的联想 (9)1、由内心、重心性质产生的联想 (9)2、重心的巧用 (11)3、三角形“四心”与一组面积公式 (12)三角形各心间的联系 (15)与三角形的心有关的几何命题的证明 (16)三角形的内心、外心、垂心及重心(以下简称“四心”)是新颁发的初中数学竞赛大纲特别加强的内容。
由于与四心有关的几何问题涉及知识面广、难度大、应用的技巧性强、方法灵活，是考查学生逻辑思维能力和创造思维能力的较佳题型，因此，它是近几年来升学、竞赛的热点。
92、93、94、95连续四年的全国初中数学联赛均重点考察了这一内容。
本讲拟分别列举四心在解几何竞赛中的应用，以期帮助同学们掌握这类问题的思考方法，提高灵活运用有关知识的能力。
一、“四心”分类讨论1、外心三解形三条垂直平分线的交点叫做三角形的外心，即外接圆圆心。
△ABC 的外心一般用字母O 表示，它具有如下性质：(1)外心到三顶点等距，即OA=OB=OC 。
(2)∠A=AOB C AOC B BOC ∠=∠∠=∠∠21,21,21。
如果已知外心或通过分析“挖掘”出外心，与外心有关的几何定理，尤其是圆周角与圆心角关系定理，就可以大显神通了。
下面我们举例说明。
例2证明三角形三边的垂直平分线相交于一点，此点称为三角形的外心．已知：△ABC 中，XX ′，YY ′，ZZ ′分别是BC ，AC ，AB 边的垂直平分线，求证：XX ′，YY ′，ZZ ′相交于一点(图3－111)． 分析先证XX ′，YY ′交于一点O ，再证O 点必在ZZ ′上即可． 证因为XX ′，YY ′分别是△ABC 的BC 边与AC 边的中垂线，所以XX ′，Y 'X 'Z ' 3-111O Z Y X C B AYY ′必相交于一点，设为O(否则，XX ′∥YY ′，那么∠C 必等于180°，这是不可能的)．因为OB=OC ，OC=OA ，所以OB=OA ，所以O 点必在AB 的垂直平分线ZZ ′上，所以XX ′，YY ′，ZZ ′相交于一点．说明由于O 点与△ABC 的三个顶点A ，B ，C 距离相等，所以以O 点为圆心，以OA 长为半径作圆，此圆必过A ，B ，C 三点，所以称此圆为三角形的外接圆，O 点称为三角形的外心．例1、如图9-1所示，在△ABC 中，AB=AC ，任意延长CA 到P ，再延长AB 到Q ，使AP=BQ ，求证：△ABC 的外心O 与点A 、P 、Q 四点共圆。
三角形的四心与内心
三角形的四心与内心在数学的奇妙世界中，三角形是一个基础且重要的图形。
而三角形的“四心”，即重心、外心、垂心和内心，更是蕴含着丰富而有趣的性质和规律。
今天，咱们就先来好好聊聊这“四心”中的内心。
先来说说什么是三角形的内心。
内心，顾名思义，就是三角形内部的一个特殊点。
它是三角形三条内角平分线的交点。
这意味着从内心到三角形三边的距离相等。
为了更直观地理解内心，咱们不妨做一个小实验。
假设我们有一张三角形的纸，然后分别把三个角对折，使角的顶点都汇聚到一个点上，这个点就是内心。
那内心到底有什么用呢？这得从它的性质说起。
由于内心到三角形三边的距离相等，所以如果我们要在三角形内部找一个点，使得这个点到三边的距离之和最小，那这个点非内心莫属。
举个例子，假如要在一个三角形的区域内建一个仓库，并且要使仓库到三角形三条边的运输路线长度之和最短，那么仓库的最佳位置就应该选在内心处。
在实际生活中，内心的概念也有着广泛的应用。
比如在城市规划中，如果要在一个三角形的街区内设置一个消防站点，为了能够最快地到达街区的各个位置，站点的位置就可以参考三角形的内心来确定。
再深入一点，从数学计算的角度来看，知道了内心的位置和性质，对于求解三角形的面积、周长等问题也会带来很大的便利。
比如，如果我们知道了三角形的边长和内心到三边的距离，就可以通过一定的公式快速求出三角形的面积。
另外，内心还和三角形的内切圆有着密切的关系。
以内心为圆心，以内心到三边的距离为半径所画的圆，就是三角形的内切圆。
这个内切圆与三角形的三边都相切。
想象一下，一个三角形被一个圆紧紧地包裹在里面，而且这个圆与三角形的三边都刚好接触，是不是很神奇？而且，通过内心和内切圆，我们还可以进一步研究三角形的一些特殊性质和规律。
比如，对于一些特殊的三角形，如等边三角形，其内心、外心、重心和垂心是重合的，这就为我们研究等边三角形的性质提供了更多的线索和便利。
总之，三角形的内心虽然只是三角形“四心”中的一员，但它却有着独特的性质和重要的作用。
三角形四心竞赛讲义全
三角形四心竞赛讲义一、"四心"分类讨论21、外心22、内心33、垂心54、重心65、外心与内心86、重心与内心87、外心与垂心98、外心与重心109、垂心与内心1110、垂心、重心、外心11旁心12二、"四心"的联想121、由内心、重心性质产生的联想122、重心的巧用143、三角形"四心"与一组面积公式16三角形各心间的联系20与三角形的心有关的几何命题的证明21三角形的内心、外心、垂心及重心<以下简称"四心">是新颁发的初中数学竞赛大纲特别加强的内容。
由于与四心有关的几何问题涉及知识面广、难度大、应用的技巧性强、方法灵活,是考查学生逻辑思维能力和创造思维能力的较佳题型,因此,它是近几年来升学、竞赛的热点。
92、93、94、95连续四年的全国初中数学联赛均重点考察了这一内容。
本讲拟分别列举四心在解几何竞赛中的应用,以期帮助同学们掌握这类问题的思考方法,提高灵活运用有关知识的能力。
一、"四心"分类讨论1、外心三解形三条垂直平分线的交点叫做三角形的外心,即外接圆圆心。
△ABC 的外心一般用字母O 表示,它具有如下性质：<1>外心到三顶点等距,即OA=OB=OC 。
<2>∠A=AOB C AOC B BOC ∠=∠∠=∠∠21,21,21。
如果已知外心或通过分析"挖掘"出外心,与外心有关的几何定理,尤其是圆周角与圆心角关系定理,就可以大显神通了。
下面我们举例说明。
例2证明三角形三边的垂直平分线相交于一点,此点称为三角形的外心．已知：△ABC 中,XX ′,YY ′,ZZ ′分别是BC,AC,AB 边的垂直平分线,求证：XX ′,YY ′,ZZ ′相交于一点<图3－111>．分析先证XX ′,YY ′交于一点O,再证O 点必在ZZ ′上即可．证因为XX ′,YY ′分别是△ABC 的BC 边与AC 边的中垂线,所以XX ′,YY ′必相交于一点,设为O<否则,XX ′∥YY ′,那么∠C 必等于180°,这是不可能的>．因为OB=OC,OC=OA,所以OB=OA,所以O 点必在AB 的垂直平分线ZZ ′上,所以XX ′,YY ′,ZZ ′相交于一点．说明由于O 点与△ABC 的三个顶点A,B,C 距离相等,所以以O 点为圆心,以OA 长为半径作圆,此圆必过A,B,C 三点,所以称此圆为三角形的外接圆,O 点称为三角形的外心．例1、如图9-1所示,在△ABC 中,AB=AC,任意延长CA 到P,再延长AB 到Q,使AP=BQ,求证：△ABC 的外心O 与点A 、P 、Q 四点共圆。
三角形的“四心讲解”-初升高数学衔接(含解析)
三角形的“重心”、“外心”、“内心”、“垂心”讲解【知识衔接】————初中知识回顾————1、重心：三角形的三条中线交点．2、外心：是三角形三边中垂线的交点．3、内心：是三角形的三内角平分线的交点．4、垂心：是三角形三条高的交点．————高中知识链接————1、重心：它到顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍，重心和三顶点的连线将△ABC的面积三等分，重心一定在三角形内部．2、外心：它到各顶点的距离相等，锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外．学-科网3、内心：它到三边的距离相等，内心一定在三角形内．4、垂心：垂心和三角形的三个顶点，三条高的垂足组成六组四点共圆，锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心为直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形外．【经典题型】初中经典题型例1：求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1．三边BC、CA、AB的中点，已知：D、E、F分别为ABC求证：AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1．证明：连结DE，设AD、BE交于点G，D 、E 分别为BC 、AE 的中点，则DE //AB ，且12DE AB ， GDE ∆∴∽GAB ∆，且相似比为1：2，GE BG GD AG 2,2==∴．设AD 、CF 交于点'G ，同理可得，'2','2'.AG G D CG G F则G 与'G 重合， ∴AD 、BE 、CF 交于一点，且都被该点分成2:1．例2：已知ABC ∆的三边长分别为,,BC a AC b AB c ，I 为ABC ∆的内心，且I 在ABC ∆的边BC AC AB 、、上的射影分别为D E F 、、，求证：2b c a AE AF ． 证明：作ABC ∆的内切圆，则D E F 、、分别为内切圆在三边上的切点，例3：已知：O 为ABC ∆的重心和内心，求证：ABC ∆为等边三角形．证明：如图，连AO 并延长交BC 于D ，O 为三角形的内心，故AD 平分BAC ∠， DC BD AC AB =∴(角平分线性质定理) O 为三角形的重心，D 为BC 的中点，即BD =DC ． 1=∴AC AB ，即AB AC ．同理可得，A B =BC ．ABC ∆∴为等边三角形．例4：已知：ABC ∆中，，于于E AC BE D BC AD ⊥⊥,AD 与BE 交于H 点．求证：AB CH ⊥．高中经典题型1、已知三角形的三边长分别为5，12，13，则其垂心到外心的距离为 ，重心到垂心的距离为 ．【答案】6.5，3142、已知三角形的三边长为5，12，13，则其内切圆的半径r ＝ ．【答案】23、在△ABC 中，∠A 是钝角，O 是垂心，AO ＝BC ，则cos(∠OBC+∠OCB)= ．【答案】22- 4、设G 为△ABC 的重心，且AG ＝6，BG ＝8，CG ＝10，则△ABC 的面积为 ．【答案】725、若︒<<︒900α，那么以αsin 、αcos 、ααcot tan ⋅为三边的△ABC 的内切圆，外接圆的半径之和为 ．A 、)cos (sin 21αα+B 、)cot (tan 21αα+ C 、ααcos sin 2D 、ααcos sin 1⋅ 【答案】A 【实战演练】————先作初中题 —— 夯实基础————A 组1．在三角形内部，到三角形三边距离相等的点是( )A ． 三条中线的交点B ． 三条高线交点C ． 三个内角平分线交点D ． 三边垂直平分线交点【答案】C【解析】试题解析：如图，∵OG ⊥AB ，OF ⊥AC ，OG =OF ，∴O 在∠A 的平分线上，同理O 在∠B 的平分线上，O 在∠C 的平分线上，即O 是三条角平分线的交点，故选C ．2．已知等腰△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，G 是△ABC 的重心，那么AG=_____．【答案】【解析】分析：如图延长AG 交BC 于H ．利用等腰三角形的三线合一，可知AH 是高，利用勾股定理求出AH ，根据重心的性质AG =AH 计算即可．详解：如图延长AG 交BC 于H ．∵G是重心，∴BH=CH=3．∵AB=AC=5，∴AH⊥BC，∴AH==4，∴AG=AH=．故答案为：．3．如图，点G是△ABC的重心，AG的延长线交BC于点D，过点G作GE∥BC交AC于点E，如果BC ＝6，那么线段GE的长为______．【答案】2【解析】分析：由点G是△ABC重心，BC=6，易得CD=3，AG：AD=2：3，又由GE∥BC，可证得△AEG∽△ACD，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得线段GE的长．详解：∵点G是△ABC重心，BC=6，∴CD=BC=3，AG：AD=2：3，∵GE∥BC，∴△AEG∽△ADC，∴GE：CD=AG：AD=2：3，∴GE=2．故答案为：2．点睛：本题考查了三角形重心的定义和性质、相似三角形的判定和性质．利用三角形重心的性质得出AG：AD=2：3是解题的关键．4．已知点G是△ABC的重心，AG=8，那么点G与边BC中点之间的距离是________．【答案】4【解析】分析：根据三角形重心的性质进行求解．详解：如图，D是BC边的中点，∵G是△ABC的重心，∴AG=2GD=8，即GD=4，故点G与边BC中点之间的距离是4．故答案为4．5．如图，等腰直角ABC的中线AE、CF相交于点G，若斜边AB的长为42，则线段AG的长为_______．45【解析】∵F为AB中点，E为BC中点，∴中线AE、CF的交点G为ACB的重心，∴:2:1CG GF=，∵42AB=ACB，∴1222AF AB==1233GF CF==，CF AB⊥于F，∴Rt AGF中，22845 89AG AF GF=+=+=点睛：本题考查的是直角三角形的性质、三角形的中心的概念和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．6．．如图，在△ABC中，AB=AC，AB边的垂直平分线DE交AC于点D．已知△BDC的周长为14，BC=6，则AB=___．【答案】8【解析】试题分析：根据线段垂直平分线的性质，可知AD=BD，然后根据△BDC的周长为BC+CD+BD=14，可得AC+BC=14，再由BC=6可得AC=8，即AB=8．故答案为：8．点睛：此题主要考查了线段的垂直平分线的性质，解题时，先利用线段的垂直平分线求出BD=AD，然后根据三角形的周长互相代换，即可其解．7．阅读下面材料：如图，AB是半圆的直径，点C在半圆外，老师要求小明用无刻度的直尺画出△ABC的三条高．小明的作法如下：(1)连接AD，BE，它们相交于点P；(2)连接CP并延长，交AB于点F．所以，线段AD ，BE ，CF 就是所求的△ABC 的三条高．请回答，小明的作图依据是________．【答案】半圆(或直径)所对的圆周角是直角，三角形三条高线相交于一点．【解析】∵AB 是直角，∴∠AEB ＝90°，∠ADB =90°，∴AD ,BE 是△ABC 的高．∵三角形三条高线相较于一点，∴CF 是△ABC 的高8．如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，BE 平分ABC ∠，DE AB ⊥于D ，如果3cm AC =，那么AE DE +等于_________cm ．【答案】3【解析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CE DE =，从而得出AE DE AE CE +=+3cm AC ==．故填3． 9．ABC ∆中，点O 是ABC ∆内一点且到ABC ∆三边的距离相等， 40A ∠=︒，则BOC ∠=_________．【答案】110°【解析】试题解析：如图，∵O 到三角形三边距离相等，∴O 是内心，∴AO ，BO ，CO 都是角平分线，∴∠CBO=∠ABO=12∠ABC ，∠BCO=∠ACO=12∠AC B ， ∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°，∠OBC+∠OCB=70°，∠BOC=180°-70°=110°．10．两个城镇A B 、与一条公路CD ，一条河流CE 的位置如图所示，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到A B 、的距离必须相等，到CD 和CE 的距离也必须相等，且在DCE ∠的内部，请画出该山庄的位置P ．(不要求写作法，保留作图痕迹．)【答案】作图见解析．试题解析：如下图，作线段AB 的中垂线与DCE ∠的平分线交于点P ,点P 即为所求．————再战高中题 —— 能力提升————B 组1、在锐角△ABC 中，内角为A 、B 、C 三边为a 、b 、c ，则内心到三边的距离之比为 ，重心到三边的距离为 ，外心到三边的距离之比为 ，垂心到三边的距离之比为 ．2、如图，锐角△ABC 的垂心为H ，三条高的垂足分别为D 、E 、F ，则H 是△DEF 的 ．3、如图，D 是△ABC 的边BC 上任一点，点E 、F 分别是△ABD 和△ACD 的重心连结EF 交AD 于G 点，DG ：GA ＝ ．4、设△ABC 的重心为G ，GA ＝32，22=GB ，2=GC ，则ABC S ∆＝ ．5、若H 为△ABC 的重心，AH ＝BC ，则∠BAC 的度数是( )A 、45°B 、30°C 、30°或150°D 、45°或135°6、已知平行四边形ABCD 中，E 是AB 的中点，AB ＝10，AC ＝9，DE ＝12，求平行四边形ABCD 的面积． B 组参考答案1、1：1：1；c b a 1:1:1； C B A cos :cos :cos ； C B A cos 1:cos 1:cos 1 2、内心3、21 4、265、D6、分析：设AC 交DE 于G ，可推出G 为△ABD 的重心，∠EGA ＝90°，故可求出EGA S ∆及S □ABCD 。
三角形四心习题及解析
三角形的四心习题及剖析一、单项选择题1. （）△ ABC 中，若∠ A ：∠ B ：∠ C ＝ 1：2： 3， G 为△ ABC 的重心，则△ GAB 面积：△ GBC面积：△ GAC 面积＝(Ａ) 1：2：3 (Ｂ) 1： 3 ：2 (Ｃ ) 2：1： 3 (Ｄ) 1：1：1。
答案： (Ｄ )剖析：∵ G 为△ ABC 的重心∴△ GAB 面积：△ GBC 面积：△ GAC 面积＝ 1： 1：12. （ ）如图，△ ABC 中， AB ＝ AC ，两腰上的中线订交与 G ，若∠ BGC ＝ 90°，且 BC ＝ 22 ，则 BE 的长为多少 (Ａ ) 2 (Ｂ) 2 2 (Ｃ)3 (Ｄ) 4。
答案： (Ｃ )剖析：∵ AB ＝ AC ，且 G 为△ ABC 的 重心∴BE ＝CD∴BG ＝CG 又∵∠ BGC ＝90°， BC ＝22∴BG ＝BC ＝2 2＝2 ∴BE ＝3BG ＝3×2＝32 22 23. （）如图，等腰△ ABC 中， AB ＝ AC ＝ 13， BD ＝ CD ＝ 5， O 为△ ABC 的外心，则 OD ＝ (Ａ) 117 (Ｂ ) 119 (Ｃ ) 121 (Ｄ )123 。
24 24 2424答案： (Ｂ )剖析：∵△ ABC 为等腰三角形，∴ AD ⊥BC ， AD ＝ 13 2－52 ＝12，连接 OB ，令 OD ＝x, 则 OB ＝OA ＝AD －OD ＝ 12－ x（12－x ）2＝x 2＋52x ＝119应选 (Ｂ)244. （ ）如图， D 、 E 分别为 AB 、 AC 中点， BE 、CD 交于 F ，若斜线部分的面积为 7 ，则△ACD 的面积为多少 (Ａ) 21(Ｂ ) 24(Ｃ ) 28(Ｄ ) 35。
答案： (Ａ)剖析：连接BC ，则△ BDF ＝ 1△ABC而△ ACD ＝1△ABC△ACD ＝3×7＝21 平方公分应选(Ａ)625. （）直角三角形ABC 中，∠A ＝ 90°， O 为外心，G 为重心，若AC ＝6， AB ＝ 8，则OG＝ (Ａ)2(Ｂ)4(Ｃ)5(Ｄ) 7。
132 三角形的“四心”(培优讲义)-2022年初升高数学无忧衔接(原卷版)
第1.3章几何篇1.3.2 三角形的“四心”初中要求了解三角形的外心、内心、重心的概念；高中要求掌握三角形外心、内心、重心的性质.1.三角形的重心(1)三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心．点D、E、F是中点，则点O是∆ABC的重心.(2)三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点．如上图，AO=2OD,CO=2OE,BO=2DF。
2.三角形的内心(1)三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心.AD、CE、BF是角平分线，则点O是∆ABC的内心.(2)三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.3.三角形的垂心(1)三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.(2)锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.4.三角形的外心(1)三角形三边的垂直平分线所在直线相交于一点，该点称为三角形的外心.OE、OD、OF分别是AB、BC、AC的垂直平分线，点O是三角形的外心.(2)三角形的外心到三个顶点的距离相等.5.拓展(1)等腰三角形底边上三线(角平分线、中线、高线)合一．因而在等腰三角形ABC中，三角形的内心I、重心G、垂心H必然在一条直线上．(2)正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心(内心、重心、垂心、外心)合一，该点称为正三角形的中心.【题型一】三角形的“四心”的性质证明【典题1】求证D、E、F分别为△ABC三边BC、CA、AB的中点，AD、BE、CF交于一点，且A都被该点分成2:1.【典题2】已知△ABC中，AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,AD与BE交于H点,求证CH⊥AB.变式练习1.已知：ABC∆是三边都不相等的三角形，点O和点P是这个三角形内部两点．(1)如图①，如果点P是这个三角形三个内角平分线的交点，那么BPC∠有怎样的数量关系？请说∠和BAC明理由；(2)如图②，如果点O是这个三角形三边垂直平分线的交点，那么BOC∠有怎样的数量关系？请说∠和BAC明理由；(3)如图③，如果点P(三角形三个内角平分线的交点)，点O(三角形三边垂直平分线的交点)同时在不等边∠有怎样的数量关系？请直接回答．ABC∠和BOC∆的内部，那么BPC2. 已知△ABC的三边长分别为BC=a,AC=b,AB=c，I为△ABC的内心，且I在△ABC的边BC,AC,AB上的.射影分别为D,E,F，求证：AE=AF=b+c−a23.若三角形ABC的面积为S，且三边长分别为a、b、c，求三角形的内切圆的半径.【题型二】三角形的“四心”的运用【典题1】若已知O为三角形ABC的重心和内心，求证三角形ABC为等边三角形.【典题2】在△ABC中，AB=AC=3，BC=2，求(1)△ABC的面积S△ABC及AC边上的高BE；(2)△ABC的内切圆的半径r；(3)△ABC的外接圆的半径R.【典题3】在ABC ∆中，10AB =，AD 是BC 边上的高，已知AD BD =，点H 、O 分别是ABC ∆的垂心和外心，则HO 的最小长度为 ．变式练习1.O 是ABC ∆的内切圆圆心，90C ∠=︒，105BOC ∠=︒，20BC cm =，则AC 长为 cm ．2.在ABC ∆中，A ∠是钝角，H 是垂心，AH BC =，则∠BHC = .3.在ABC ∆中，两中线AD 与CF 相交于点G ，若45AFC ∠=︒，60AGC ∠=︒，则ACF ∠的度数为 .4.如图，在Rt∆ABC 中，∠BCA =90∘，中线CM 垂直于中线BN ，且BC =2,求BN 的长.5.求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形．6.锐角ABC ∆中，AB BC CA >>，O 、I 、H 分别是它的外心、内心，垂心，已知60A ∠=︒，求证：(1)OIH ABC ∠-∠是一个定值；(2)OIH ACB ∠+∠也是一个定值．。
三角形的四心习题及解析
三角形的四心习题及解析一、单项选择题1. ( ) △ ABC 中,假设/ A: / B:1 : 2: 3, G^A ABC 的重心,那么△ GAB 面积：△ GBCffi积：△ GAC 面积=(A) 1: 2:卷(B ) 1 :焰:2 ( C) 2: 1 : ^3 ( D ) 1 : 1: 1.答案：(D)「.△GAB 面积：zXGBC 面积：△ GAC 面积=1: 1: 12. ()如图,△ ABC 中,AB = AC ,两腰上的中线相交与G,假设/ BGC = 90° ,且BC =2 J2 ,贝 U BE 的长为多少？( A) 2( B )2^2( C) 3 ( D )4.答案：(C)3. ()如图,等腰△ ABC 中,AB = AC= 13, BD = CD = 5, O 为△ ABC 的外心, 那么 OD =AB = =AC ,且G 为△ ABC 的重心 BE ==CD BG ==CG— B C 2：2 — 3 - 3 _ _BG 二—= = -------- =2 :. BE =—BG =—立=32 .2 2 2又BGC = 90° , BC = 2^~2(A ) 117( B )24119( C)121( D) 24 24123 24答案：(B )回 ■■■ △ ABC 为等腰三角形,AD± BC , AD = v132-52 =12,连接 OB,令 OD = x ,那么OB = OA = AD — OD= 12G 为△ ABC 的重心24.()如图,D 、E 分别为AB 、AC 中点,BE 、CD 交于F,假设斜线局部的面积为7 ,那么△ ACD 的面积为多少？( A ) 21( B ) 24( C ) 28( D ) 35.B答案：(A)p 7］连接 BC,那么^ BDF= 1 AABC 而/\ ACD = 1 A ABCAACD =3)7 = 21 平方公分 应选(A)5.()直角三角形 ABC 中,Z A = 90° , O 为外心,G 为重心,假设AC= 6, AB = 8,那么OG=?(A)2(B)-(C)-(D)7.答案：(c)---15 “ .OC= OA= 5 OG= 5 — = _ 应选(C )3 36.()如图,△ ABC 中,AB = 8, AC= 6, ?C= 10, M 龙C 中点,那么 AM = ?(A ) —( B ) — ( C ) — ( D) 5.2 3 3答案：(D )10△ ABC 直角二角形■ M 为外心,BM = MC=AM = — = 5 应选(D)7.()由尺规作图得知正三角形的外心、内心、重心均在同一点,请问正三角形外接 圆的面积是内接圆面积的几倍？ ( A ) 2( B ) J 3 ( C) 3( D ) 4.答案：(D )(12 — x) 2= x 2 + 52119 24应选(B )忡析| BC= 丁62 + 810/?2 八2OA 24应选〔D 〕12 OD兀8.(答案: 解析: 9.( 〕如图,△ ABC中,G为重心,,BG= 10^JA ABC的面积为何？在AD上取一点G',使得GD= G'D = 4,假设(A) 24( B ) 36( C ) 48( D ) 72.G f△ GG'B= 6〕如图,△ ABC = 24)3= 72 应选(D)G为舄△ ABC的重心,现分别从A及G作垂线交BC于於A'及G',CG= 6那么AA':GG'=? (A) 2 : 1( B ) 3: 1( C )4: 1( D) - : 1.2D\11外心、内心、重心皆在.点 OA "答案:A _1 八△ BGC = - △ ABC3二：填空题■ GG': AA'= 3: 1 应选(B )1.如图,G 是直角△ ABC 的重心,/ ABC = 90° ,且AB 为【= 12, BC = 8,那么^ABG的面积国△ ABC 面积答案：161->8X2= 482■ G 为/\ ABC 之重心—一… 1…一一 ■ 一 --△ ABG 面积=—△ ABC 面积=—>48=3 3G f A f162. G 为正△ ABC 的重心,AD 为BC 之中线,BG = 16,贝U ：(1 ) AC =【】.(2 答案：(1 )16媚；(2 )32后解析 (1 ) L G 为正△ ABC 的重心,BG = 1616,31 .一 (1)(2 ) △ CDG 面积=-△ ABC 面积=-X663.有一正三角形其内切圆的面积为5兀,刖其外接 圆的面积=【 答案：20兀祥析,正△的三心 共点可推得外接圆面积=内切圆面积=4: 1外接圆面积=5>4 = 20Tt4.如图,G 为重心,在AD 上取一点G',使得GD = G'D = 2,且CG= 3, ?G= 5,那么△ GG'B 是直角三角形吗？答：【G f答案：是■ GD = GD', BD = DC.•.四边形 BGCG'为平行四遑形 故 BG'= CG= 3又BG= 5, GG' = 2>2= 4△ GG'B 边长为3、4、5,故为直角三角形5.正△ ABC 的边长为10,在^ ABC 内找一点P 至三顶点等距离,HU AP=【答案：10 3 323 2同析| .正△的外心 和重心问一■点..AP = — X 副 又AB= 10 .偈=10X = 5^3 故AP= — ><5玉'3 =3 2 36.如图,△ PQR 中,ZQ = 90° ,又ZQPR = 45° , G >PQR 的重心,假设 OG = a,那么△ PQR 的周长=【】.〔以a 表不'〕)△ CDG 面积=【】.—3 一 (3)…2.3--BE = — X6= 24=— xAC - - AC = 24 _— X223 ,3[―X(16/3 ) 2〕= 1 妃戍)768= 32 J3464136aPO = OR= 3a, PR = 6a PQ= QR== 3?2a. 2那么/\ PQR 周长=3 捉a + ^2a+6a = 6a+ 6 岳AB = BC , CD = DE ,假设△ ABF 的面积为18 ,那么/\ BCE 的面积为答案：54日析I 连接 AE ■■■ AB = BC , CD = DE ... F 为ZXAEC 的重心... ABCE 面积=3AABF 面积=3X8= 54A8.如图,△ ABC 中,D 、E 、F 为各边中点,匕A = 30° , AB = 8, AC = 6,那么阴影局部面 积为【】.答案：4— 1 一一 1 ............ .... 1 一一 1祥析 BH = —AB = — >8 = 4 A ABC 面积=—>6 >4= 12 二斜线局部面 积=—△ ABC 面积=—>12= 4答案：6a+6.2a7.如图, OG= a,那么 QO二、计算题答案：延长AD 至 G',使得 GD = G'D,故GG'= GA = 5△ GDC 与^G'DB ,BD = CD, GD = G'D, ZGDC = Z G'DB GDC △ G'DB (SAS), 故 BG'= GC =1.如图,△ ABC 为正三角形,G 为重心,假设AG = 20,请I 可:(1 (2 )AB =?)△ ABC 面积为多少？答案:一 3 —(1 ) •• AD = -AG2AD = - X20= 30. △ ABC 为正三角形 AD =23 3 - —AB 30 = xAB ,22AB = 2 >30 = ‘° x' 3 = 20 V 3.3 ,3,3,、…―…3 =3 一… 3 ______________ ____________(2 )正△ ABC 面积= >^B = X(20 %’ 3 ) = >1200= 300* 3答：(1 )20 J3 ; ( 2 ) 300^31.如图,△ ABC 中,AB = 5, BC = 12, AC= 13,且G 为重心,.为外心,试求GO .CO答案：AB 2 + BC 2= 52+ 122 = 132= AC 2 /.A ABC 为直角三角形,且 AC 为斜边又O 为外心11 13 外接圆半径 OB = — AC= —. 13=—22又G 为重心. .GO= 1OB = 13 313132.如图,△ ABC中,1 •••®G'2+ BG2 = 52+ 122= 132 = BG'2 .'.A BGG'为直角三角形△BGG'=—. 12. 5=2301 1ABGD = - . A BGG' = — . 30= 15 A ABC =6. A BGD = 6. 15=902 213。
三角形的“四心”练习
三角形的“四心”习题1、若O 为△ABC 内一点，O A O B O C ==，则O 是△ABC 的（ ）A. 内心B. 外心C. 垂心D. 重心2、如图1，AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条高，求证：AD 、BE 、CF 相交于一点。
3、证明:P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心1()3P G P A P B P C ⇔=++.4、证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍（图2）。
5、O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()A B A C O P O A A B A Cλ=++,[0,]λ∈+∞则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心6、如图3，在△ABC 内求一点P ，使得222|AP|+|BP|+|CP|答案：1.B2.证：设BE 、CF 交于一点H ，,,,AB a AC b AH h === 令,,,BH h a C H h b BC b a =-=-=- 则 ,BH AC C H AB ⊥⊥()0()()()0()0h a b h a b h b a h b a h b a ⎫-⋅=⎪∴⇒-⋅=-⋅⇒⋅-=⎬-⋅=⎪⎭.AH BC ∴⊥又∵点D 在AH 的延长线上 ∴AD 、BE 、CF 相交于一点3.证：PG PA AG PB BG PC CG =+=+=+ 3()()PG AG BG C G PA PB PC ⇒=+++++∵G 是△ABC 的重心 0GA GB GC ∴++= 0,AG BG C G ⇒++= 即3PG PA PB PC =++由此可得1()3PG PA PB PC =++（反之亦然（证略））4. 证：设11,,,22A C b CB a A D AC CD b aE B E C C B b a ===+=+=+=+则∵A , G , D 共线，B , G , E 共线．∴可设,.AG AD EG EB λμ==11(),2211().22A G A D b a b a E G EB b a b a λλλλμμμμ==+=+==+=+则,A E E G A G += 111:().222b b a b a μμλλ++=+即111()()0.,222a b a b μλμλ∴-+-+=不平行,21023211130223AG AD λμλμλμ⎧⎧=-=⎪⎪⎪⎪⇒⇒=⎨⎨⎪⎪-+==⎪⎪⎩⎩即：AG = 2GD 同理可得：AG = 2GD , CG = 2GF 5.B 6.222222222.||||||()()23()()3AP BP C P b ∴++=+-+-+=-++-⋅设AP=m,AB=a,AC=b,则BP=m -a,CP=m -b m m a m b a m a b a b 3解:b +∴∆ 222a 当m =时,即P 为ABC 的重心时,3|AP|+|BP|+|CP| 的值最小.。
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知识点、重点、难点 三角形的外心、内心、重心及垂心（以下简称“四心”）是新颁发的初中数学竞赛大纲特别加强的内容，是初中数学竞赛的热点。
1.外心 三角形三条垂直平分线的交点叫三角形的外心，即该三角形外接圆的圆心，△ABC 的外心通常用字母O 表示。
它具有如下性质： (1)外心到三角形三顶点的距离相等．这个距离就是外接圆的半径； (2)在△ABC 中，若∠A 是锐角，则∠BOC =2∠A ；若∠A 是钝角，则 ∠BOC ＝360°－2∠A . 2.内心 三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即是该三角形内切圆的圆心，△ABC 的内心一般用字母I 表示．它具有如下性质： (1)内心在△ABC 三边距离相等，这个相等的距离是△ABC 内切圆的半径； (2)若I 是△ABC 的内心，则 11190,90,90222BIC A CIA B AIB C ∠=+∠∠=+∠∠=+∠；(3)若I 是△ABC 的内心，AI 延长线交△ABC 外接圆于D ，则有DI =DB ＝DC ，即D 为△BCI 的外心。
3.重心三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，它具有如下性质：(1)重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍；(2)若G 是△ABC 的重点，则13GBC GCA GAB ABC S S S S ∆∆∆∆===； (3)重心是到三角形三顶点的距离的平方和最小的点。
4.垂心三角形三条高所在直线的交点叫做三角形的垂心“如图”，它具有如下性质：(1)图中有六组四点共圆（如A 、F 、H 、E ；A 、B 、D 、E 等）及三组（每组四个）相似直角三角形；特别的AH ·HD =BH ·HE =CH ·FH ；(2)垂心H 关于三边的对称点均在△ABC 的外接圆上；(3) H 、A 、B 、C 中任一点是另三点连成的三角形的垂心；(4) △ABC 的内接三角形（即顶点在△ABC 的边上）中，以垂足△DEF的周长最短。
例题精讲例1：如图，在△ABC 中，AB =AC ，延长CA 到P ，再延长AB 到Q ，使AP = BQ ，求证：△ABC 的外心O 与A 、P 、Q 四点共圆。
分析一 连结AO 、CO 、PO 、QO ，要证O 、A 、P 、Q 四点共圆，显然只要证∠P =∠Q .在△A QO 和△CPO 中，由AB =AC ，BQ =AP ，得AQ ＝CP ，又O 点是△ABC 的外心，故OA ＝OC ，∠OCP ＝∠OAC .由于等腰三角形的外心必在顶角的平分线上，所以∠OAC ＝∠OAQ .从而∠OCP ＝∠OAQ ，故△AQO ≌△CPO ，可得∠CPO ＝∠AQO .因此O 、A 、P 、Q 四点共圆。
分析二 O 是△ABC 的外心，作△ABC 的外接圆O ，并作OH ⊥AB 于H ，OG ⊥AC 于 G ，连结OP 、OQ （图略）．易知OH ＝OG ，BH = AG ，从而Rt △OQH ≌Rt △OPG ，于是∠P =∠Q ，故O 、P 、A 、Q 四点共圆。
例2：已知∠ACE =∠CDE = 90°，点B 在CE 上，CB = CD ，过A 、C 、D 三点的圆交AB 于点F （如图241），求证：F 是△CDE 的内心。
证明 连结DF 、DB 、CF ，则∠CDF =∠A =45°，∠EDF = 45°，即DF 是∠CDE 的平分线。
因为CD = CB ，所以∠CDB =∠CBD .又∠CDF = ∠CBF =45°，所以∠FDB =∠FBD ，所以DF =BF .又CF 为公共边，所以△DCF ≌△BCF ，所以∠DCF = ∠BCF ，即CF 为∠DCE 的平分线。
因此F 为△CDE的内心。
例3：如图，已知△ABC 的高AD 、BE 交于H ，△ABC 、△ABH 的外接圆分别为⊙O 与⊙1O ，求证：⊙O 与⊙1O 的半径相等。
证明 如图所示，过A 作⊙1O 和⊙O 的直径AP 、AQ ，连结PB 、QB ，则 ∠ABP =∠ABQ = 90°，故P 、B 、Q 三点共线。
因为H 为△ABC 的垂心，所以D 、C 、E 、H 四点共圆，所以∠AHE =∠C .又∠C =∠Q ，所以∠AHE = ∠Q .因为A 、H 、B 、P 均在⊙1O 上，所以∠AHE =∠P ，所以∠P =∠Q ，所以AP = AQ .所以⊙O 与⊙1O 的半径相等。
例4：如图，直线AB 与⊙O 相交于点E 、F ，EF 为⊙O 的直径，且AE =EF = FB ，直线AP 与⊙O 半径OD 垂直于D ，求证：∠ADE =∠PDB ． 证明 如图，延长DO 交⊙O 于M ，连结AM ，延长DE 交AM 于N ，则△OAM ≌△OBD ，有∠OAM =∠OBD ，知AM ∥BD ，故∠PDB =∠DAN ．因为AE ＝EF ，O 为EF 和DM 的中点，则E 为△ADM 的重心，所以N 为AM 的中点。
又AD ⊥OD ，即DN为Rt △ADN 斜边A M 的中线，则DN =AN =NM ，则∠ADE=∠DAN =∠PDB ．例5：设O 为△ABC 的外心，I 为△ABC 的内心，R 和r分别为△ABC 的外接圆和内切圆的半径，求证：222OI R Rr =-（欧拉定理）证明 连AI 交⊙O 于D ，连DO 并延长交⊙O 于E ，连结BD 、BE ，连结OI ，直线OI 交外接圆于G 、H (如图)．过I 作IF ⊥AB 于F ，则IF = r ，DE =2R .由相交弦定理，AI ·ID = GI ·IH =(R ＋OI )(R －OI )=22R OI -．又∠BAD = ∠BED ，则△AIE ∽△EDB ，,AI IFDE BD=AI ·BD =DE ·IF = 2Rr ．由I 是△ABC 的内心，则ID = BD ．于是AI ·ID =AI ·BD ＝22R OI -，2Rr =22R OI -，即222OI R Rr =-. 例6：如图，设O 、G 、H 分别为△ABC 的外心、重心、垂心，AF 是中线，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，求证：O 、G 、H 三点共线，且GH =2OG . 证明 如图，连结OG 、OH 、OF ，作△ABC 的外接圆O ，连结CO 并延长CO 交⊙O 于P ，连结AP 、BP .由垂心性质知H 为AD 与BE 交点，则BP ∥AH ， AP ∥BE ，故APBH 是平行四边形，于是得PB = AH .在△BCP 中， OF =12PB ，所以OF=12AH .在△BCP 中，OF=12PB ，所以OF=12AH .由OF ∥PB ，PB ∥AH ，得OF ∥AH ，故∠OFG =∠HAG ．又GF =12AG ， 故△OFG ∽△HAG ，于是∠AGH =∠OGF ．又∠AGH ＋∠HGF = 180°，所以∠OGF ＋∠HGF ＝180°，故O 、G 、H 三点共线，显然有GH = 2OG （通过三角形垂心、外心、重心的直线，称为欧拉线，这一结论是由瑞士数学家欧拉提出并解决）。
A 卷 一、填空题1.如图，已知G 是△ABC 的重心，若AG =3，BG =4，CG =5，则△ABC 的面积等于 。
2.如图，已知AD 为△ABC 中BC 边上的中线，E是AD 的中点，F 是BE 的延长线与AC 的交点，则AC ：AF 的值等于 。
3.如图，△ABC 中，∠C = 90°，∠A 和∠B 的平分线相交于P 点，又PE ⊥AB 于E 点。
若BC =4，AC =6，则AE ·EB = 。
4.已知O 点为锐角△ABC 的外心，连结AO 、BO 、CO ，并延长分别交对边于L 、M 、N (如图)，则AO BO COAL BM CN++= 。
5.如图，在△ABC 中，H 为垂心，O 为外心，∠BAC =60°，且△ABC 外接圆直径为10，则AH = 。
6.在△ABC中，∠A是钝角，O是垂心，AO=BC，则cos(∠OBC＋∠OCB)的值是。
7.已知AD、BE、CF是锐角△ABC的三条高线，垂心为H，则图中直角三角形的个数是。
8.如图，D是△ABC的内心，E是△ABD的内心，F是△BDE的内心。
若∠BFE的度数为整数，则∠BFE至少是度。
9.设△ABC的外接圆半径为R，内切圆半径为r，内心为I，延长AI交外接圆于D，则AI·ID。
10.已知H、O分别是△ABC的垂心和外心，OE⊥BC于E，则AH：OE= 。
二、解答题11.已知平行四边形ABCD的面积是120，E、F分别是AB、BC的中点，AF 分别与ED、BD交于G、H，求四边形BHGE的面积。
12.如图，已知AB是⊙O的直径，AH是弦，C是AH的中点，CD⊥AB 分别交AH、AB于E、D，BC交AH于F，求证：AF= 2EF. 13.如图，已知△ABC的重心G与内心I的连线GI∥BC，求证：AB＋AC=2BC.14.如图，I是△ABC的内心，且I、D、C、E四点共圆。
若ED＝2，试求ID＋IE的值。
B卷一、填空题1.在△ABC中，BC=3，AC=4，BC和AC的中线AE、BD互相垂直，则AB ＝。
2.在△ABC中，BC=a，AC＝b，AB＝c，∠C＝90°，CD和BE是△ABC 的两条中线，且CD⊥BE，那么a：b：c= 。
3.设M是△ABC的重心，过M的线段交AB、AC于P、Q且,APpPB=,AQqQC=则11p q+=。
4.在△ABC中，高AD和BE所在直线交于H点，且BH= AC，则∠ABC = 。
5.在△ABC中，∠A是钝角，O是重心，AO＝BC，则∠OBC＋∠OCB= 。
6.如图，在△ABC中，G是重心，I为∠B和∠C的平分线的交点。
若IG∥BC，且BC=5，则AB＋AC= 。
7.若△ABC的重心为G，AG，BGCGABC的面积是。
8.在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，且BD⊥CE，BD =4，CE=6，则△ABC的面积= 。
9.设O为锐角三角形△ABC的外心，连结AO、BO、CO，并延长分别交对边于L、M、N，则111AC BM CN++的值是。
10.P点在△ABC中，PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC与BP交于点D，且PB=4，PD =3，则AD·DC= 。
二、解答题11.已知ABCD中，E是AB的中点，AB=10，AC =9，DE=12，求ABCD 的面积。
12.如图，已知P为△ABC内一点，且∠PAB =∠PCB，∠PBC =∠PAC.求证：P为△ABC垂心。