广东四会中学2017九年级奥数培训.三角形的“四心”-奥数精讲与测试(无答案)

知识点、重点、难点 三角形的外心、内心、重心及垂心（以下简称“四心”）是新颁发的初中数学竞赛大纲特别加强的内容，是初中数学竞赛的热点。 1.外心 三角形三条垂直平分线的交点叫三角形的外心，即该三角形外接圆的圆心，△ABC 的外心通常用字母O 表示。它具有如下性质： (1)外心到三角形三顶点的距离相等．这个距离就是外接圆的半径； (2)在△ABC 中，若∠A 是锐角，则∠BOC =2∠A ；若∠A 是钝角，则 ∠BOC ＝360°－2∠A . 2.内心 三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即是该三角形内切圆的圆心，△ABC 的内心一般用字母I 表示．它具有如下性质： (1)内心在△ABC 三边距离相等，这个相等的距离是△ABC 内切圆的半径； (2)若I 是△ABC 的内心，则 11190,90,90222

BIC A CIA B AIB C ∠=+∠∠=+∠∠=+∠；

(3)若I 是△ABC 的内心，AI 延长线交△ABC 外接圆于D ，则有DI =

DB ＝DC ，即D 为△BCI 的外心。

3.重心

三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，它具有如下性质：

(1)重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍；

(2)若G 是△ABC 的重点，则1

3

GBC GCA GAB ABC S S S S ∆∆∆∆===； (3)重心是到三角形三顶点的距离的平方和最小的点。

4.垂心

三角形三条高所在直线的交点叫做三角形的垂心“如图”，它具有如下性质：

(1)图中有六组四点共圆（如A 、F 、H 、E ；A 、B 、D 、E 等）及三组（每组四个）相似直角三角形；特别的AH ·HD =BH ·HE =CH ·FH ；

(2)垂心H 关于三边的对称点均在△ABC 的外接圆上；

(3) H 、A 、B 、C 中任一点是另三点连成的三角形的垂心；

(4) △ABC 的内接三角形（即顶点在△ABC 的边上）中，以垂足△DEF

的周长最短。

例题精讲

例1：如图，在△ABC 中，AB =AC ，延长CA 到P ，再延长AB 到Q ，使AP = BQ ，求证：△ABC 的外心O 与A 、P 、Q 四点共圆。 分析一 连结AO 、CO 、PO 、QO ，要证O 、A 、P 、Q 四点共圆，显然只要证∠P =∠Q .在△A QO 和△CPO 中，由AB =AC ，BQ =AP ，得AQ ＝CP ，又O 点是△ABC 的外心，故OA ＝OC ，∠OCP ＝∠OAC .由于等腰三角形的外心必在顶角的平分线上，所以∠OAC ＝∠OAQ .从而∠OCP ＝∠OAQ ，故△AQO ≌△CPO ，可得∠CPO ＝∠AQO .因此O 、A 、P 、Q 四点共圆。 分析二 O 是△ABC 的外心，作△ABC 的外接圆O ，并作OH ⊥AB 于H ，OG ⊥AC 于 G ，连结OP 、OQ （图略）．易知OH ＝OG ，BH = AG ，从而

Rt △OQH ≌Rt △OPG ，于是∠P =∠Q ，故O 、P 、A 、Q 四点共圆。

例2：已知∠ACE =∠CDE = 90°，点B 在CE 上，CB = CD ，过A 、C 、D 三点的圆交AB 于点F （如图241），求证：F 是△CDE 的内心。 证明 连结DF 、DB 、CF ，则∠CDF =∠A =45°，∠EDF = 45°，即DF 是∠CDE 的平分线。 因为CD = CB ，所以∠CDB =∠CBD .又∠CDF = ∠CBF =45°，所以∠FDB =∠FBD ，所以DF =BF .又CF 为公共边，所以△DCF ≌△BCF ，所以∠DCF = ∠BCF ，即CF 为∠DCE 的平分线。因此F 为△CDE

的内心。 例3：如图，已知△ABC 的高AD 、BE 交于H ，△ABC 、△ABH 的外接圆分别为⊙O 与⊙1O ，求证：⊙O 与⊙1O 的半径相等。 证明 如图所示，过A 作⊙1O 和⊙O 的直径AP 、AQ ，连结PB 、QB ，则 ∠ABP =∠ABQ = 90°，故P 、B 、Q 三点共线。因为H 为△ABC 的垂心，所以D 、C 、E 、H 四点共圆，所以∠AHE =∠C .又∠C =∠Q ，所以∠AHE = ∠Q .因为A 、H 、B 、P 均在⊙1O 上，所以∠AHE =∠P ，所以∠P =∠Q ，所以AP = AQ .所以⊙O 与⊙1O 的半径相等。

例4：如图，直线AB 与⊙O 相交于点E 、F ，EF 为⊙O 的直径，且AE =EF = FB ，直线AP 与⊙O 半径OD 垂直于D ，求证：∠ADE =∠PDB ． 证明 如图，延长DO 交⊙O 于M ，连结AM ，延长DE 交AM 于N ，则△OAM ≌△OBD ，有∠OAM =∠OBD ，知AM ∥BD ，故∠PDB =∠DAN ．因为AE ＝EF ，O 为

EF 和DM 的中点，则E 为△ADM 的重心，

所以N 为AM 的中点。又AD ⊥OD ，即DN

为Rt △ADN 斜边A M 的中线，则DN =AN =NM ，则∠ADE=∠DAN =∠PDB ．

例5：设O 为△ABC 的外心，I 为△ABC 的内心，R 和r

分别为△ABC 的外接圆和内切圆的半径，求证：

222OI R Rr =-（欧拉定理）

证明 连AI 交⊙O 于D ，连DO 并延长交⊙O 于E ，

连结BD 、BE ，连结OI ，直线OI 交外接圆于G 、H (如

图)．过I 作IF ⊥AB 于F ，则IF = r ，DE =2R .由相交弦定理，AI ·ID = GI ·IH =(R ＋OI )(R －OI )=22

R OI -．又∠BAD = ∠BED ，则△AIE ∽△EDB ，,AI IF

DE BD

=AI ·BD =DE ·IF = 2Rr ．由I 是△ABC 的内心，则ID = BD ．于是AI ·ID =AI ·BD ＝22R OI -，2Rr =22

R OI -，

即22

2OI R Rr =-. 例6：如图，设O 、G 、H 分别为△ABC 的外心、重心、垂心，AF 是中线，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，求证：O 、G 、H 三点共线，且GH =2OG . 证明 如图，连结OG 、OH 、OF ，作△ABC 的外接圆O ，连结CO 并延长CO 交⊙O 于P ，连结AP 、BP .由垂心性质知H 为AD 与BE 交点，则

BP ∥AH ， AP ∥BE ，故APBH 是平行四边形，于是得PB = AH .在△BCP 中， OF =12PB ，所以OF=12AH .在△BCP 中，OF=12PB ，所以OF=12

AH .由

OF ∥PB ，PB ∥AH ，得OF ∥AH ，故∠OFG =∠HAG ．又GF =1

2AG ， 故△OFG ∽△HAG ，于是∠AGH =∠OGF ．又∠AGH ＋∠HGF = 180°，

所以∠OGF ＋∠HGF ＝180°，故O 、G 、H 三点共线，显然有GH = 2OG （通过三角形垂心、外心、重心的直线，称为欧拉线，这一结论是由瑞士数学家欧拉提出并解决）。 A 卷 一、填空题

1.如图，已知G 是△ABC 的重心，若AG =3，BG =4，CG =5，则△ABC 的面积等于 。

2.如图，已知AD 为△ABC 中BC 边上的中线，E

是AD 的中点，F 是BE 的延长线与AC 的交点，

则AC ：AF 的值等于 。

3.如图，△ABC 中，∠C = 90°，∠A 和∠B 的平分线相交于P 点，又PE ⊥AB 于E 点。若BC =4，AC =6，则AE ·EB = 。

4.已知O 点为锐角△ABC 的外心，连结AO 、BO 、CO ，并延长分别交对边于L 、M 、N (如图)，则AO BO CO

AL BM CN

++= 。

5.如图，在△ABC 中，H 为垂心，O 为外心，∠BAC =60°，

且△ABC 外接圆直径为10，则AH = 。