数列前n项和(分组求和法)教案资料
等比数列求和教案
课题：等比数列的前n项和（一课时）教材：浙江省职业学校文化课教材《数学》下册（人民教育出版社）一、教材分析●教学内容《等比数列的前n项和》是中职数学人教版（基础模块）（下）第六章《数列》第四节的内容。
是数列这一章中的一个重要内容, 就知识的应用价值上看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等,另外公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．就内容的人文价值来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、归纳、猜想、证明，这有助于培养学生的创新思维和探索精神,同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体．二、学情分析●知识基础：前几节课学生已学习了等差数列求和，等比数列的定义及通项公式等内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用.●认知水平与能力：高二学生具有自主探究的能力，能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题，但从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有所不同，这对学生q 这一特殊情况，学生也往往容易忽略，尤的思维是一个突破，另外，对于1其是在后面使用的过程中容易出错．三、目标分析依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标：1.教学目标●知识与技能目标理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题．●过程与方法目标通过对公式的研究过程，提高学生的建模意识及探究问题、培养学生观察、分析的能力和协作、竞争意识。
●情感、态度与价值目标通过学生自主对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，培养学生主动探索的求知精神和团结协作精神,感受数学的美。
数列的通项公式及前n项和的求法(自己整理的学案)
数列：通项公式的求法一 、公式法(定义法)：适用于等差或等比数列等差数列的通项公式： 1(1)n a a n d =+-；等比数列的通项公式： 11n n a a q -= 等差数列的定义： 1n n a a d --=；变式：112n n n a a a +-=+，1n n a a d -=+； 等比数列的定义：1n n a q a -=；变式：211n n n a a a +-=，1n n a qa -=； 二 、利用n S 求n a （知n S 求n a ）⎩⎨⎧-=-11n n n S S S a )2()1(≥=n n ； 利用n S 求n a 一般为三步：（1）当n=1时利用S 1＝a 1求出a 1 （2）当2n ≥时，利用1n n n S S a --=求出n a ； （3）检验a 1的值合不合由第二步求出的n a 的表达式； 例一：数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若S n ＝2a n －1， ((1)求1a 的值(2)求数列的通项公式a n解：（1）当n=1时，有S 1＝2a 1－1即a 1＝2a 1－1求得a 1=1；（2）当2n ≥时，S n ＝2a n －1① S n-1＝2a n-1－1②； ①—②有a n ＝2a n —2a n-1 得1122n n n n a a a a --=⇒=，所以{a n }为一以2为公比1为首项的等比数列，所以11122n n n a --=⨯= （3）经检验，11a =也合12n n a -=，所以数列{a n }的通项公式为12n n a -=。
练习1、数列{a n }的各项为正数， 11a =且有2211230n n n n a a a a ++--=，则{a n }的通项公式是__________．2、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝3n ＋n ，则数列的通项公式a n ＝________.3、各项都为正数的数列{a n }中，有11a =且331log 3log n n a a --=，则通项公式a n ＝________.4、数列{a n }中，11a =，且当1n >时有13n n a a -=，求数列的通项公式a n ________.5、数列{a n }中，11a =且点1(,)n n a a +在直线2y x =-上，通{a n }的通项公式为________.6、数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若2S n ＝3a n —3，(1)求1a 的值(2)求数列的通项公式a n三、形如sra pa a n n n +=--11型（取倒数法）例3. 已知数列{}n a 中，21=a ，)2(1211≥+=--n a a a n n n ，求通项公式n a解：取倒数：⇔+=-2111n n a a 2111=--n n a a 1113(1)222n n n a a ∴=+-⋅=- 2.43n a n ∴=- 练习1。
数列的前n项和求解方法(优质课)教案
数列的前n 项和求解方法（优质课）教案教学目标：教学重点： 掌握数列前n 项和的求和方法，公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化求和法、并项求和等方法的应用。
教学难点： 了解数列求和的方法的应用。
教学过程：一、数列求和基本方法1．拆项求和法：将一个数列拆成若干个简单数列（如等差数列、等比数列、常数数列等等），然后分别求和.2．并项求和法：将数列的相邻的两项（或若干项）并成一项（或一组）得到一个新的且更容易求和的数列.3．裂项求和法：将数列的每一项拆（裂开）成两项之差，使得正负项能互相抵消，剩下首尾若干项. 4．错位求和法：将一个数列的每一项都作相同的变换，然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各项相减，这是仿照推导等比数列前n 项和公式的方法.5．反序求和法：将一个数列的倒数第k 项（k =1，2，3，…，n ）变为顺数第k 项，然后将得到的新数列与原数列进行变换（相加、相减等），这是仿照推导等差数列前n 项和公式的方法. 二．常用结论（1）1nk k ==∑ 1+2+3+...+n =2)1(+n n （2）1(21)nk k =−=∑1+3+5+...+(2n-1) =2n（3）31nk k ==∑2333)1(2121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+++n n n（4）21nk k ==∑)12)(1(613212222++=++++n n n n （5）111)1(1+−=+n n n n)211(21)2(1+−=+n n n n （6）)()11(11q p qp p q pq <−−=类型一： 用公式法、倒序相加法求数列的和 例1. 求和：.3521ln ln ln ln n n S x x x x −=++++解析：法一：①则 ②∴①+②有：∴法二：.答案：见解析练习1. 求和.答案：∴∴∴ 例2. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()211,1,1,2,2n n a S n a n n n ==--=鬃? （Ⅰ）写出n S 与1n S -的递推关系式()2n ³，并求n S 关于n 的表达式；（Ⅱ）设()1n n n n b S x x R n +=?，求数列{}n b 的前n 项和n T 。
数列求和(公开课)
4.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之 差，即数列的每一项都可按此法拆成两 项之差，在求和时一些正负项相互抵消， 于是前n项的和变成首尾若干少数项之和， 这一求和方法称 为裂项相消法.
5.倒序相加法：如果一个数列 an ，与首末 两项等距的两项之和等于首末两项之和， 可采用把正着写与倒着写的两个和式相加， 有公因式可提，并且剩余的项的和可求出来， 这一求和的方法称为倒序相加法。
课堂诊断
1 1 1 1 ． 数 列 ， ， ， „ ， 2· 5 5· 8 8· 11 1 ，„的前 n 项和为( B ) (3n－1)· (3n＋2) n n A. B. 3n＋2 6n＋4 n＋1 3n C. D. 6n＋4 n＋2
2 －1 2．已知数列{an}的通项公式是 an＝ n ， 2 321 其前 n 项和 Sn＝ ，则项数 n 等于( D ) 64 A．13 B．10 C．9 D．6
1 2 n 变式、求和： S n 2 n a a a
【解析】 (1)a＝1 时，Sn＝1＋2＋„＋n＝ n(n＋1) ； 2 1 2 3 n (2)a≠1 时，Sn＝ ＋ 2＋ 3＋„＋ n① a a a a n－1 1 1 2 n S n ＋ n＋1② n＝ 2＋ 3＋„＋ a a a a a 由①－②得
1 1 1－ n 2 2 1 ＝2 n－ ＝2n－1－ + 1 2n 1－2 1 ＝2n－2＋ n－1. 2
思维升华：要求和，先弄清通项（长什么 样用什么样的方法）！
错位相减法
例3、数列 {an }中a1 3,已知点（an , an 1）在 直线y x 2上， （ 1 ）求数列 {an }的通项公式； （2）若bn an 3 , 求数列 {bn }的前n项的和Tn .
等差数列前n项和教案
等差数列前n项和优秀教案第一章：等差数列的概念1.1 等差数列的定义引导学生了解等差数列的定义，即从第二项起，每一项与它前一项的差都是一个常数，这个常数叫做等差数列的公差。
通过示例让学生理解并掌握等差数列的定义。
1.2 等差数列的性质引导学生学习等差数列的性质，如等差数列的通项公式、相邻项的关系等。
通过示例让学生应用等差数列的性质解决问题。
第二章：等差数列的前n项和2.1 等差数列前n项和的定义引导学生了解等差数列前n项和的定义，即前n项的和。
通过示例让学生理解并掌握等差数列前n项和的定义。
2.2 等差数列前n项和的公式引导学生学习等差数列前n项和的公式，即S_n = n/2 (a_1 + a_n)，其中S_n 表示前n项的和，a_1表示首项，a_n表示第n项。
通过示例让学生应用等差数列前n项和的公式解决问题。
第三章：等差数列前n项和的性质3.1 等差数列前n项和的性质引导学生学习等差数列前n项和的性质，如前n项和与项数的关系、前n项和与首项和末项的关系等。
通过示例让学生应用等差数列前n项和的性质解决问题。
3.2 等差数列前n项和的计算方法引导学生学习等差数列前n项和的计算方法，如高斯求和法、分组求和法等。
通过示例让学生应用等差数列前n项和的计算方法解决问题。
第四章：等差数列前n项和的应用4.1 等差数列前n项和在实际问题中的应用引导学生了解等差数列前n项和在实际问题中的应用，如计算工资、统计数据等。
通过示例让学生应用等差数列前n项和解决实际问题。
4.2 等差数列前n项和在数学竞赛中的应用引导学生了解等差数列前n项和在数学竞赛中的应用，如解决数列问题、证明数学定理等。
通过示例让学生应用等差数列前n项和解决数学竞赛问题。
第五章：等差数列前n项和的拓展5.1 等差数列前n项和的拓展知识引导学生学习等差数列前n项和的拓展知识，如等差数列的求和公式、等差数列的极限等。
通过示例让学生了解等差数列前n项和的拓展知识。
等差数列求和公式教案
过 多媒体演示：
加的方法。
堆放的钢管共 21 层，自上而下各
项和公式的推导的讲解打 下基础。
层的钢管数组成等差数列
1,2,3,4，… 21，求钢管的总数。
程 通过多媒体演示堆放的
观 看 并 思 考 大 屏 钢管求和的例子，使学生 幕 上 演 示 的 堆 放 的 形象的感受并建立倒序相 钢管的总数，通过多 加的思想，从而引发学生 媒 体 演 示 观 察 出 倒 想到用同样的方法推导等 序相加的方法。 差数列的前 n 项和的公 7’
情感态度 价值观
一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题、解决问题的一般思路 和方法； 2、通过与生活实际相联系的例题及习题，使学生了解数学在生活中
的实用性，渗透学以致用的思想。
教学重点 等差数列的前 n 项和的公式及其应用
教学难点 等差数列的前 n 项和的公式的推导
教学方法 讲授法、启发法、分组教学法
象，便于更好的掌握。 形公式并记忆。
提问学生用通项公式将上式展
开得：Sn = a1 +（ a1 + d）+（ a1 +2 d）
+……+[ a1 +（n -1）d]
利用倒序相加的思想将 Sn 写成
通过例题 1 要让学生 思考，与老师共同
程
Sn = an + an1 + an2 +……+ a1
学会应用等差数列的求 分析求解，找到公式
(1100) (2 99) (3 98)... (50 51)
学 50 101
5050
引导学生在不同的类型 的等差数列中充分讨论高 斯算法，
问题 1：
通过详细此题，使学生 整理思路，通过这 初 步 感 受 倒 序 相 加 的 方
数列求和公开课教案(1)
数列求和公开课教案(1)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN《数列求和复习》教学设计开课时间：2016/12/22 开课人：洪来春一、学情分析：学生在前一阶段的学习中已经基本掌握了等差、等比数列这两类最基本的数列的定义、通项公式、求和公式，同时也掌握了与等差、等比数列相关的综合问题的一般解决方法。
本节课作为一节复习课，将会根据已知数列的特点选择适当的方法求出数列的前n项和，从而培养学生观察、分析、归纳、猜想的能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力。
二、教法设计：本节课设计的指导思想是：讲究效率，加强变式训练、合作学习。
采用以具体题目为切入点，引导学生进行探索、讨论，注重分析、启发、反馈。
先引出相应的知识点，然后剖析需要解决的问题，在例题中巩固相应方法，再从讨论、反馈中深化对问题和方法的理解，从而较好地完成知识的建构，更好地锻炼学生探索和解决问题的能力。
在教学过程中采取如下方法：（1）诱导思维法：使学生对知识进行主动建构，有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性；（2）讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。
三、教学设计：1、教材的地位与作用：对数列求和的考查是近几年高考的热点内容之一，属于高考命题中常考的内容；另一个面，数学思想方法的考查在高考中逐年加大了它的份量。
化归与转化思想是本课时的重点数学思想方法，化归思想就是把不熟悉的问题转化成熟悉问题的数学思想，即把数学中待解决或未解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换、转化，归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题上，最终解决原问题的一种数学思想方法；化归思想是解决数学问题的基本思想，解题的过程实际上就是转化的过程。
2、教学重点、难点：教学重点：根据数列通项求数列的前n项，本节课重点复习分组求和与裂项法求和。
教学难点：解题过程中方法的正确选择。
3、教学目标：(1)知识与技能：会根据通项公式选择求和的方法，并能运用分组求和与裂项法求数列的前n项。
数列求和的七种方法｜数列求和教案
数列求和是知识掌握的重点，下面是为大家带来的数列求和教案，希望能帮助到大家!数列求和教案篇一汉滨高中李安锋教学目标:知识目标①复习等差和等比数列的前n项和公式、回忆公式推导过程所用倒序想加和错位相减的思想方法,及用数列求和公式求和时,应弄清基本量中各基本量的值,特别是用等比数列求和公式求和时,应关注公比q是否为1;②记住一些常见结论便于用公式法对数列求和;③学会分析通项的结构并且对通项进行分拆;能运用拆并项求和思想方法解决非特殊数列求和问题。
能力目标培养学生用联系和变化的观点,结合转化的思想来分析问题和解决问题的能力。
情感目标培养学生用数学的观点看问题,从而帮助他们用科学的态度认识世界. 教学重点与难点教学重点等差等比数列求和及特殊数列求和的常用方法教学难点分析具体数列的求和方法及实际求解过程.教学方法、手段通过设问、启发、当堂训练的教学程序,采用启发式讲解、互动式讨论、反馈式评价的授课方式,培养学生的自学能力和分析与解决问题的能力,借助幻灯片辅助教学,达到增加课堂容量、提高课堂效率的目的,营造生动活泼的课堂教学氛围. 学法指导为了发挥学生的主观能动性,提高学生的综合能力,确定了三种学法(1)自主性学习法,(2)探究性学习法,(3)巩固反馈法,教学过程(一)情景导入复习回顾:等差数列和等比数列的前n项和公式?n(a1?an)n(n?1)?na1?d 等差数列求和公式Sn?22(q?1)?na1? 等比数列求和公式Sna1(1?qn)a1?anq ?(q?1)?1?q?1?q 教师引导学生回忆数列几种常见的求和方法?①公式法②分组求和法③裂项相消法④错位相减法(充分发挥学生学习的能动性,以学生为主体,展开课堂教学)(二)自学指导若已知一个数列的通项,如何对其前n项求和?①an?3n ②an?3n?2n?1 ③an?n(n?1)④an?1 ⑤an?n?3n n(n?1)(通过学生对几种常见的求和方法的归纳、总结,结合具体的实例、简单回忆各方法的应用背景.把遗忘的知识点形成了一个完整的知识体系)巩固检测题(1) a?a2?a3?an?________(2) 1+3+5+?+(2n+1)=(3)12?22?32n2?(复习等差与等比数列的求和公式:(1)中易忘讨论公比是否为1(2)中易错项数(3)与(4)是为用公式法求和作铺垫.)(三)例题展示例设Sn=1-3+5-7+9++101 求Sn分析: 拆并项求和思路? Sn=(1-3)+(5-7)+(9-11)+(97-99)+101=?Sn=1+(-3+5)+(-7+9)+(-11+13)+(-99+101)=? Sn=(1+5++101)-(3+7++99)=意图通过一题多解,开阔学生的思维.，分析①②③培养学生的拆项求和与并项求和的意识, 比较分析①②思考应留下。
等比数列前n项和 教学设计表
对公式的记忆整理进一步强化学生对本节课的重点公式的理解。
在公式应用环节，例题设计层次分明，强调五个量之间的关系。
在等比数列求和时时刻体现对公比的分类研究。
最后在课堂小结方面，分别从知识和思想方法方面进行提炼。
初始能力
对象刚进入高中的学生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因此片面、不严谨。
教学
目标
课程
标准
课标安排本节课为两课时，本节课为第一课时，重在研究等比数列的前n项和公式的推导过程并充分揭示公式的结构特征及公式的简单应用．
归纳：在运用公式时要根据条件，注意分类选择公式。
设计说明：剖析公式中的基本量及结构特征，熟记公式，及时总结、巩固。强化探究成果，提高学生对公式的理解和辨别运用能力，加强认知的深度。
例2：已知等比数列{an}中,a1=3,q=7
（1）求此数列前8项的和；（2）求此数列第5项到第8项的和；（3）求前2n项中偶数项的和。
知识
与技能
能够推导出等比数列前n项和公式，并能运用公式解决一些简单的数列求和问题。
过程
与方法
通过对等比数列前n项和公式的推导探究过程，初步体会类比、递推、方程等数学思想，加深分类讨论的数学意识，并学会错位相减这一数学计算技巧。
情感、态度与价值观
通过情景问题与实际解决方案的关系建立过程，增强联想、类比与理论联系实际的开放式的思维方式。
设计说明：进一步研究公式特点，增强公式的应用，促进学生认知结构的形成，深化对公式的认识和理解。一题多变及变式教学，有利于提高学生思维的梯度、深度和灵活度。
数列前n项和教案
专题：数列的前n 项和教案通榆蒙校 李学颖复习目标：通过数列通项公式观察数列特点和规律，在分析数列通项公式的基础上，判断求和的类型，寻找求和的方法，或拆为基本数列求和，或转化为基本数列。
求和过程中同时要对项数做出准确判断。
重点与难点：重点：对于数列求和方法的判断。
难点：准确把握数列求和的方法，并准确的计算出来。
教学过程：归纳总结求数列前n 项和的方法：1.公式法：直接由公式求数列的前n 项和。
（等比数列求和时注意分q=1、q ≠1的讨论）等差数列求和公式：等比数列求和公式：其它常见数列前n 项和)1(21n 321+=+⋅⋅⋅+++n n )12)(1(61n 3212222++=+⋅⋅⋅+++n n n 23333)1(21321⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+⋅⋅⋅+++n n n例一：已知 ,log 1log 323-=x求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n nn 项和.由等比数列求和公式得2.分组求和法：把数列的每一项分成几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求和。
例二．求数列 的前n 项和. 解: n s n 4=3.错位相减法：设数列{ a n }是等比数列，数列{ b n }是等差数列，则数列 {a n b n } 的前 n 项和S n 求解，均可用错位相减法。
例三．求和S n =1+2x+3x 2+…+nx n-1 (x ≠0,1)解：S n =1 + 2x +3x 2 + …… +n x n-1 ①xS n = x + 2x 2 +……+ (n -1)x n-1 + n x n ②(1-x)S n =1 + x + x 2+ …… + x n-1- n x nS n= 1-(1+n)x n +nx n +1(1-x)2解：由 212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x x x x n --=1)1(n S211)211(21--=n n 211-=222221,,1,1⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n x x x x x x 21⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n x x a 2122++=n n x x 242242111(2)(2)(2)n n n S x x x x x x ∴=+++++++++1x =±当时，22222211(1)(1)12111n n n x x x x x n x x --≠±=++--当时，S 22222(1)(1)2(1)n n n x x n x x +-+=+-4.裂项相消法：把数列的通项拆成几项之差,使在求和时能出现隔项相消(正负相消),剩下（首尾）若干项求和.常见的拆项公式有：111)1(1.1+-=+n n n n )121121(21)12)(12(1.2+--=+-n n n n n n n n -+=++111.3例四．设数列{a n }的前n 项和为Sn ，点(n ， )(n ∈N*)均在函数y=3x-2的图象上.（1）求数列{ a n }的通项公式；（2） ，Tn 是数列{ b n }的前n 项和,求使得Tn ＜ 对所有n ∈N*都成立的最小正整数m.解（1）依题意得 =3n-2，即Sn=3n2-2n.当n ≥2时,a n =Sn-S n-1= (3n 2-2n)-［3(n-1)2-2(n-1)］=6n-5；当n=1时，a 1=S 1=1=6×1-5,∴a n =6n-5(n ∈N*).（2）由(1)得bn故T n =b 1+b 2+…+b n1n n n a a 3b +=20m n S n n S n ).16n 1-5-6n 1(21 +=[]5-1)6(n 5)-(6n 3+=1n n a a 3+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⋅⋅⋅++=)16n 1-5-6n 1()131-71()71-1(21)16n 1-1(21+=因此，使得 (n ∈N*)成立的m 必须满 足 ,即m ≥10. 故满足要求的最小正整数m 为10.5.倒序相加法：即等差数列求和公式的推导方法例5.已知解：小结： 数列求和方法总结练习：求下列数列的前n 项和.(5)求数列 ，…的前n 项和.221(2)1(1)(1)(1)n n S a a a a a a -=+++++++++++20m <)1+6n 1-(12120m ≤21lg(xy)2=n n-11n-1n S =lgx +lg(x ·y)+...+lg(x·y )+lgy ,(x >0,y >0)n n-1n S =lgx +lg(x ·y)+...+lgy n n-1n S =lg +lg(·x)+...+lg y y x ∴n n n 2S =lg +lg +...+lg (xy)(xy)(xy)=2n(n +1)∴S =n(n +1)1111(1).147[(32)]2482n n S n =++++-+()23(3).230n n S x x x nx x =++++≠()()114313212114++--+⨯+⨯+⨯=n n S n 841,631,421,2112222++++(6).已知等差数列{ }的前3项和为6，前8项和为-4， ( 1) 求数列{ }的通项公式;（2）设 求数列{ }的前n 项和.作业：板书设计：n a ),0()4(1*-∈≠-=N n q q a b n n n n b n a专题：数列的前n项和教案通榆蒙校李学颖。
等差数列求和公式教学设计
等差数列前n项的和教学设计一、教材分析本节教学内容选自高中必修5，教材安排1课时。
数列是中职数学教学的重要内容之一，与实际生活有着紧密的联系，而“等差数列前n项的和”一节，更是体现了数列在生产实际中的广泛应用, 如堆放物品总数的计算，分期付款、储蓄等有关计算都用到本节课的一些知识，因此，本节课对于学生能否树立“有用的数学”的思想，有着重要作用。
本节课的教学不仅关系到学生对数列知识的学习,也关系到学生对数学这一学科的兴趣, 因此设计好这节课的教学是至关重要的，通过这节课要让学生体会到：（1）数学来源于生活，生活需要数学；（2）数学学习是为专业课学习服务的；并以此激发学生学习数学的兴趣和热情。
因此，本节课可谓本章教学的关键点之一，有着举足轻重的地位。
二、教学目标知识目标：掌握等差数列前n项的和的公式。
能力目标：1、能够运用等差数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题，增强学生应用知识的能力；2、通过分组探究的方式提高学生合作学习的能力；3、练习题采取由学生讲解的方式完成，锻炼学生的语言表达能力。
情感态度价值观：1、通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题、解决问题的一般思路和方法；2、通过与生活实际相联系的例题及习题，使学生了解数学在生活中的实用性，渗透学以致用的思想。
3、通过对解题步骤的严格要求，培养学生严谨的工作作风。
三、重点、难点教学重点：等差数列的前n项和的公式及其应用。
教学难点：等差数列的前n项和的公式的推导。
学生对于公式的推导不容易接受，新课程标准也要求弱化推导，重在应用，因此，等差数列的前n项和的公式的推导不做重点讲解，只让学生简单了解。
四、教学方法教学方法：本着以学生发展为本，引导学生主动参与的原则，我主要采用讲授法、启发法和分组教学法；组织学生以小组为单位讨论、分析、探究，步步深入的学习，使学生在动手、动脑的过程中深化对所学内容的理解，进而锻炼自己自主学习及分析问题、解决问题的能力，养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生在尝试探索中不断地发现问题，并在寻求解决问题的方法的尝试过程中获得自信心和成功感，并通过分组的方式来激发学生的竞争意识，使其始终处于思维紧张的状态下，从而实现师生互动，学生乐学。
等差数列的前n项和公式
《等差数列的前n项和公式》教学设计一、教学内容分析《等差数列的前n项和公式》是高等教育出版社数学基础模块下册第六章的重要内容之一，本节课主要研究如何应用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式以及该求和公式的应用．等差数列在现实生活中比较常见，因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的一类问题．同时，求数列前n项和也是数列研究的基本问题，通过对公式推导，可以让学生进一步掌握从特殊到一般的研究问题方法。
它反映了从特殊到一般的数学思维形式，这对发展学生的思维能力、培养学生的创新意识等方面有着重要的作用。
二、学情分析任教的班级是一年级物流专业。
1、知识基础：在本节课之前学生已经掌握了等差数列的通项公式，理解等差数列的基本性质，小学时对高斯算法有所了解，这三者形成了学生思维的“最近发展区”，为新课学习提供了基础；2、认知水平与能力：学生初步具有一定的逻辑思维能力，但思维不够深刻、片面、不严谨，对问题解决的一般性思维过程认识模糊．3、班级学生特点：多数学生能积极主动参与数学学习，动手操作能力较强。
但缺乏自信，同时渴望表现，渴望肯定。
三、设计思想建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动地建构知识的过程，因此，应该让学生在具体的问题情境中经历知识的生成与发展，让学生利用自己的原有认知结构中相关的知识与经验，自主地在教师的引导下促进对新知识的建构．在教学过程中，根据教学内容，从《张丘建算经》中等差数列的求和问题及泰姬陵陵寝三角形图案中的圆宝石谈起，结合小学高斯的算法，探究这种方法如何推广到一般等差数列的前n项和的求法．以问题驱动任务完成为主线，通过设计一些从简单到复杂、从特殊到一般、从具体到抽象的问题，层层铺垫，步步深入，组织和启发学生通过观察、类比、联想、猜测、实践操作获得公式的推导思路，并且充分引导学生展开自主、合作、探究学习，通过生生互动和师生互动等形式，让学生在问题解决中学会思考、学会学习．四、教学目标1、知识目标：掌握等差数列的前n项和公式，并能用公式解决简单的问题；2、能力目标：通过公式的探索、发现，体验从特殊到一般的研究方法，培养学生观察猜想、类比分析、归纳总结和逻辑推理的能力，渗透方程（组）思想.3、情感目标：通过生动有趣的数学史故事，激发学生求知的欲望和探究的热情，渗透数学文化，增强学生爱国主义情感。
(完整版)数列前n项和的求法
数列前n项和的求法一.用倒序相加法求数列的前n项和如果一个数列{a n}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。
我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。
例题1：设等差数列{a n}，公差为d，求证：{a n}的前n项和S n=n(a1+a n)/2解：S n=a1+a2+a3+...+a n ①倒序得：S n=a n+a n-1+a n-2+…+a1②①+②得：2S n=(a1+a n)+(a2+a n-1)+(a3+a n-2)+…+(a n+a1)又∵a1+a n=a2+a n-1=a3+a n-2=…=a n+a1∴2S n=n(a2+a n) S n=n(a1+a n)/2点拨：由推导过程可看出，倒序相加法得以应用的原因是借助a1+a n=a2+a n-1=a3+a n-2=…=a n+a1即与首末项等距的两项之和等于首末两项之和的这一等差数列的重要性质来实现的。
二.用公式法求数列的前n项和对等差数列、等比数列，求前n项和S n可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。
运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。
例题2：求数列的前n项和S n解：点拨：这道题只要经过简单整理，就可以很明显的看出：这个数列可以分解成两个数列，一个等差数列，一个等比数列，再分别运用公式求和，最后把两个数列的和再求和。
三.用裂项相消法求数列的前n项和裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。
例题3：求数列(n∈N*)的和解：点拨：此题先通过求数列的通项找到可以裂项的规律，再把数列的每一项拆开之后，中间部分的项相互抵消，再把剩下的项整理成最后的结果即可。
高中数学 数列的求和(分组求和、错位相减)教学设计
错位相减法求和 适用于：通项公式可以写成 “等差等比”的数列
规
cn anbn ，其中 {an}是公差为d的等差数列
律
{bn}是公比为q ( q≠1)的等比数列
三：导学过程
第一行，写出数列的每一项：
Sn a1b1 a2b2 a3b3 an1bn1 anbn
规
第二行，等比数列公比乘以 Sn：
目录
1 学生X因子分析（教练扮演） 2 第二部分：教学目标 3 第三部分：高级导学过程
1 学生X因子分析（教练扮演） 2 第二部分：教学目标 3 第三部分：高级导学过程
一：学生X因子分析（教练扮演）
学生概括：性格开朗，成绩中等偏上
学习能力
学习习惯
学习心理
注意力：听课专注
思维：接受能力良好， 逻辑思维不错；
1 1
(2n
1) (1)n1 3
3
4 ( 2n 4)(1)n
Sn
2
(n
2)(1)n 3
3
33
三：导学过程
分组求和 适用于：通项公式可以分解成
规 “等比等比”、“等差 等比”的数列 cn an bn ，其中 {an} 、{bn}
分别是等差或等比数列，则分别求和再相加减
律
三：导学过程
记忆力：一般
课下没有温故知新 不主动完成作业
容易满足 不喜欢受到批评
1 学生X因子分析（教练扮演） 2 第二部分：教学目标 3 第三部分：高级导学过程
二：教学目标
123
掌握方法
分组求和 错位相减
123
学会观察
123
快速定位，准确解决
1 学生X因子分析（教练扮演） 2 第二部分：教学目标 3 第三部分：高级导学过程
高考数学一轮复习 专题31 数列求和教学案 理-人教版高三全册数学教学案
专题31 数列求和1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式；2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法。
1．求数列的前n 项和的方法 (1)公式法①等差数列的前n 项和公式S n ＝n （a 1＋a n ） 2＝na 1＋n （n －1）2d ．②等比数列的前n 项和公式 (ⅰ)当q ＝1时，S n ＝na 1；(ⅱ)当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q.(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． (4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． (5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广． (6)并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝ (－1)nf (n )类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 2．常见的裂项公式 (1)1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1.(2)1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1.(3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .高频考点一 分组转化法求和例1、(2016·天津卷)已知{a n }是等比数列，前n 项和为S n (n ∈N ＋)，且1a 1－1a 2＝2a 3，S 6＝63.(1)求{a n }的通项公式；(2)若对任意的n ∈N ＋，b n 是log 2a n 和log 2a n ＋1的等差中项，求数列{(－1)n b 2n }的前2n 项和. 【方法规律】(1)若数列{c n }的通项公式为c n ＝a n ±b n ，且{a n }，{b n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{c n }的前n 项和. (2)若数列{c n }的通项公式为c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，其中数列{a n }，{b n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和.【变式探究】 (1)数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和S n 的值等于( )A.n 2＋1－12nB.2n 2－n ＋1－12nC.n 2＋1－12n －1D.n 2－n ＋1－12n(2)数列{a n }的通项公式a n ＝n cos n π2，其前n 项和为S n ，则S 2 016等于( ) A.1 008B.2 016C.504D.0【答案】 (1)A (2)A 高频考点二 错位相减法求和例2、(2016·山东卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝（a n ＋1）n ＋1（b n ＋2）n .求数列{c n }的前n 项和T n .【解析】 (1)由题意知，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，符合上式. 所以a n ＝6n ＋5.设数列{b n }的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，即⎩⎪⎨⎪⎧11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ， 可解得b 1＝4，d ＝3.所以b n ＝3n ＋1.(2)由(1)知，c n ＝（6n ＋6）n ＋1（3n ＋3）n ＝3(n ＋1)·2n ＋1.. 又T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n .得T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n ＋1].2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋2].两式作差，得－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n ＋1－(n ＋1)×2n ＋2]＝3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋4（1－2n ）1－2－（n ＋1）×2n ＋2＝－3n ·2n ＋2. 所以T n ＝3n ·2n ＋2.【方法规律】(1)一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比，然后作差求解；(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式.【变式探究】 已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2－5x ＋6＝0的根. (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和.高频考点三 裂项相消法求和例3、S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和.【方法规律】(1)利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项.(2)将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.【变式探究】 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 3＝a 7，a 8－2a 3＝3. (1)求a n ；(2)设b n ＝1S n，求数列{b n }的前n 项和为T n .【解析】 (1)设数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝a 1＋6d ，（a 1＋7d ）－2（a 1＋2d ）＝3，解得a 1＝3，d ＝2， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋1. (2)由(1)得S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n (n ＋2)，∴b n ＝1n （n ＋2）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2.∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n －1＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2.【举一反三】在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫S n －12.(1)求S n 的表达式； (2)设b n ＝S n2n ＋1，求{b n }的前n 项和T n . 1.【2016高考山东理数】（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和S n =3n 2+8n ，{}n b 是等差数列，且1.n n n a b b +=+（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1).(2)n n n nn a c b ++=+ 求数列{}n c 的前n 项和T n . 【答案】（Ⅰ）13+=n b n ；（Ⅱ）223+⋅=n n n T .（Ⅱ）由（Ⅰ）知11(66)3(1)2(33)n n n nn c n n +++==+⋅+， 又n n c c c c T +⋅⋅⋅+++=321，得23413[223242(1)2]n n T n +=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯，345223[223242(1)2]n n T n +=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯，两式作差，得 所以223+⋅=n n n T【2015江苏高考，11】数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na 的前10项和为 【答案】2011【解析】由题意得：112211(1)()()()1212n n n n n n n a a a a a a a a n n ---+=-+-++-+=+-+++=所以1011112202(),2(1),11111n n n S S a n n n n =-=-==+++【2015高考天津，理18】（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足212()*,1,2n n a qa q q n N a a +=≠∈==为实数，且1，，且 233445,,a a a a a a 成等差数列.(I)求q 的值和{}n a 的通项公式； (II)设*2221log ,nn n a b n N a -=∈，求数列n b 的前n 项和. 【答案】(I) 1222,2,.n n n n a n -⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数,为偶数; (II) 1242n n n S -+=-.(II) 由(I)得22121log 2n n n n a nb a --==，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，则012111111232222n n S n -=⨯+⨯+⨯++⨯， 两式相减得2311111111*********2222212n n n n n n n n n n S --=+++++-=-=---， 整理得1242n n n S -+=-所以数列{}n b 的前n 项和为124,*2n n n N -+-∈. 【2015高考四川，理16】设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记数列1{}n a 的前n 项和n T ，求得1|1|1000n T -<成立的n 的最小值. 【答案】（1）2nn a =；（2）10.（2）由（1）得112n n a =.所以2311[1()]1111122112222212n n n nT -=++++==--. 由1|1|1000n T -<，得11|11|21000n --<，即21000n>. 因为9102512100010242=<<=， 所以10n ≥. 于是，使1|1|1000n T -<成立的n 的最小值为10. 【2015高考新课标1，理17】n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0，2n n a a +=43n S +.（Ⅰ）求{n a }的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a +=,求数列{n b }的前n 项和. 【答案】（Ⅰ）21n +（Ⅱ）11646n -+ 【解析】（Ⅰ）当1n =时，211112434+3a a S a +=+=，因为0n a >，所以1a =3，当2n ≥时，2211n n n n a a a a --+--=14343n n S S -+--=4na ，即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，因为0n a >，所以1n n a a --=2，所以数列{na }是首项为3，公差为2的等差数列，所以n a =21n +；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，n b =1111()(21)(23)22123n n n n =-++++，所以数列{n b }前n 项和为12n b b b +++=1111111[()()()]235572123n n -+-++-++ =11646n -+. 1．（2014·江西卷）已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)满足a nb n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0.(1)令c n ＝a nb n，求数列{c n }的通项公式； (2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .2．（2014·全国卷）等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .3．（2014·山东卷）已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝(－1)n －14na n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .【解析】 (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2，S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12， 由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1， 所以a n ＝2n －1. (2)由题意可知，b n ＝(－1)n －14na n a n ＋1＝(－1)n －14n（2n －1）（2n ＋1）＝(－1)n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1. 当n 为偶数时，T n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋…＋⎝⎛12n －3＋⎭⎪⎫12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1 ＝1－12n ＋1＝2n2n ＋1. 当n 为奇数时，T n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋…－⎝⎛⎭⎪⎫12n －3＋12n －1＋⎝⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1. 所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n2n ＋1，n 为偶数.⎝ ⎛⎭⎪⎫或T n＝2n ＋1＋（－1）n －12n ＋14．（2013·江西卷）正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n)＝0. (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝n ＋1（n ＋2）2a 2n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：对于任意的n∈N *，都有T n <564. 5．（2013·湖南卷）设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝(－1)n a n －12n ，n∈N *，则(1)a 3＝________；(2)S 1＋S 2＋…＋S 100＝________．6．（2013·山东卷）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ＋a n ＋12n ＝λ(λ为常数)，令c n ＝b 2n (n∈N *)，求数列{c n }的前n 项和R n .【解析】：(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d. 由S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝8a 1＋4d ，a 1＋（2n －1）d ＝2a 1＋2（n －1）d ＋1， 解得a 1＝1，d ＝2，因此a n ＝2n －1，n∈N *.(2)由题意知T n ＝λ－n 2n －1，所以n≥2时，b n ＝T n －T n －1＝－n 2n －1＋n －12n －2＝n －22n －1.故c n ＝b 2n ＝2n －222n －1＝(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1，n∈N *.所以R n ＝0×⎝ ⎛⎭⎪⎫140＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫141＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1，则14R n ＝0×⎝ ⎛⎭⎪⎫141＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋(n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ，两式相减得34R n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫141＋⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1－(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＝14－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n1－14－(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n＝13－1＋3n 3⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ， 整理得R n ＝194－3n ＋14n －1.所以数列{c n }的前n 项和R n ＝194－3n ＋14n －1.1.等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项的和为( ) A.120 B.70 C.75 D.100【答案】 C【解析】析 因为S n n ＝n ＋2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为10×3＋10×92＝75.2.数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，则S 17＝( )A.9B.8C.17D.16【答案】 A3.数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( )A.200B.－200C.400D.－400【答案】 B【解析】析 S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.4.已知数列5，6，1，－5，…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S 16等于( ) A.5 B.6 C.7 D.16【答案】 C【解析】析 根据题意这个数列的前7项分别为5，6，1，－5，－6，－1，5，6，发现从第7项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为5＋6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0.又因为16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S 16＝2×0＋7＝7.故选C. 5.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n(n ∈N ＋)，则S 2 016＝( )A.22 016－1B.3·21 008－3C.3·21 008－1D.3·21 007－2 【答案】 B【解析】 a 1＝1，a 2＝2a 1＝2，又a n ＋2·a n ＋1a n ＋1·a n ＝2n ＋12n ＝2.∴a n ＋2a n ＝2.∴a 1，a 3，a 5，…成等比数列；a 2，a 4，a 6，…成等比数列，∴S 2 016＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋…＋a 2 015＋a 2 016＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 015)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 016)＝1－21 0081－2＋2（1－21 008）1－2＝3·21 008－3.故选B. 6．在等差数列{a n }中，a 1＞0，a 10·a 11＜0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是________．【答案】 60【解析】析 由a 1＞0，a 10·a 11＜0可知d ＜0，a 10＞0，a 11＜0， ∴T 18＝a 1＋…＋a 10－a 11－…－a 18＝S 10－(S 18－S 10)＝60.7．整数数列{a n }满足a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若此数列的前800项的和是2013，前813项的和是2000，则其前2015项的和为________．【答案】 －138．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，∀n ∈N *,2S n ＝a 2n ＋a n ，令b n ＝1a n a n ＋1＋a n ＋1a n ，设{b n }的前n 项和为T n ，则在T 1，T 2，T 3，…，T 100中有理数的个数为________．【答案】 99．已知数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝5，且{a n －1}是等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n .【解析】 (1)∵{a n －1}是等比数列且a 1－1＝2，a 2－1＝4，a 2－1a 1－1＝2， ∴a n －1＝2·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n ＋1.(2)b n ＝na n ＝n ·2n ＋n ，故T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝(2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n )＋(1＋2＋3＋…＋n )． 令T ＝2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n ， 则2T ＝22＋2×23＋3×24＋…＋n ·2n ＋1. 两式相减，得－T ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1 ＝21－2n 1－2－n ·2n ＋1， ∴T ＝2(1－2n )＋n ·2n ＋1＝2＋(n －1)·2n ＋1. ∵1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12， ∴T n ＝(n －1)·2n ＋1＋n 2＋n ＋42.10．正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝n ＋1n ＋22a 2n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：对于任意的n ∈N *，都有T n <564. 11.已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且S n ＋12a n ＝1(n ∈N ＋). (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 13(1－S n ＋1)(n ∈N ＋)，令T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1，求T n . 【解析】 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1，由S 1＋12a 1＝1，得a 1＝23， 当n ≥2时，S n ＝1－12a n ，S n －1＝1－12a n －1， 则S n －S n －1＝12(a n －1－a n )，即a n ＝12(a n －1－a n )， 所以a n ＝13a n －1(n ≥2). 故数列{a n }是以23为首项，13为公比的等比数列. 故a n ＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n (n ∈N ＋).。
《等差数列前n项和》教案
《等差数列前n项和》教案第一章：等差数列的定义与性质1.1 等差数列的定义引导学生回顾数列的概念，引入等差数列的定义。
通过实例让学生理解等差数列的特点，即相邻两项的差是常数。
1.2 等差数列的性质探讨等差数列的通项公式，引导学生理解等差数列的规律。
引导学生推导等差数列的求和公式，即等差数列前n项和的公式。
第二章：等差数列的通项公式2.1 等差数列的通项公式的推导通过具体的等差数列例子，引导学生观察和分析等差数列的规律。
引导学生利用数学归纳法推导等差数列的通项公式。
2.2 等差数列的通项公式的应用引导学生运用通项公式解决等差数列的相关问题，如求特定项的值、判断数列的性质等。
第三章：等差数列的前n项和公式3.1 等差数列前n项和公式的推导引导学生通过观察和分析等差数列的前n项和的规律，引导学生利用数学归纳法推导前n项和公式。
3.2 等差数列前n项和公式的应用引导学生运用前n项和公式解决等差数列的相关问题，如求特定项的和、判断数列的性质等。
第四章：等差数列的求和问题4.1 等差数列的求和问题的方法引导学生回顾等差数列的求和方法，如分组求和法、错位相减法等。
通过实例引导学生运用不同的方法解决等差数列的求和问题。
4.2 等差数列的求和问题的应用引导学生运用不同的方法解决实际问题，如计算等差数列的前n项和、求特定项的和等。
第五章：等差数列前n项和的性质与应用5.1 等差数列前n项和的性质引导学生探讨等差数列前n项和的性质，如对称性、单调性等。
通过实例引导学生运用性质解决等差数列前n项和的相关问题。
5.2 等差数列前n项和的实际应用引导学生运用等差数列前n项和的性质解决实际问题，如计算特定项的和、判断数列的性质等。
第六章：等差数列前n项和的图像表示6.1 等差数列前n项和的图像引导学生回顾函数图像的基本概念，引入等差数列前n项和的图像表示。
通过实例让学生理解等差数列前n项和的图像特点，如直线图形等。
6.2 等差数列前n项和的图像的应用引导学生运用等差数列前n项和的图像解决等差数列的相关问题，如判断特定项的符号、估计和的大小等。
数列分组求和法(新)
分组求和法1典题导入[例1] (2021山东高考)等比数列｛a n｝中,a i, a2, a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且a i, a2, a3中的任何两个数不在下表的同一列.A列第二列第三列第一行 3 2 10第二行 6 4 14第三行9 8 18(1)求数列｛a n｝的通项公式；(2)假设数列｛b n｝满足:b n=a n+(—1)n ln a n,求数列｛b n｝的前2n项和S2n.[自主解答](1)当a1 = 3时,不合题意；当a1=2时,当且仅当a2=6, a3=18时,符合题意；当a1=10时,不合题意.因此a1 = 2, a2= 6, a3=18.所以公比q=3,故a n= 2 3n 1.(2)由于b n=a n+(—1)n ln a n=2 3n 1+(-1)n ln(2 3n1)= 2 3n〔+(—1)n(ln 2- In 3)+(— 1)n nln 3,所以S2n= b〔 +b2+…+ b2n= 2(1 + 3+…+ 32n〔)+[ —1 + 1 —1+ …+ (— 1)2n](ln 2-ln 3), 1 — 32n o+ [ —1 + 2 —3+…+ ( — 1)2n]ln 3 = 2X------------------- +nln 3 =32n + nln 3-1.1-32由题悟法分组转化法求和的常见类型(1)假设a n= b ni c n,且｛ b n｝ , ｛C n｝为等差或等比数列, 可采用分组求和法求｛ a n｝的前n项和.b n, n为奇数,(2)通项公式为a n= ,沙山的数列,其中数列｛b n｝, ｛C n｝是等比数列或等差数C n, n为偶数列,可采用分组求和法求和.3以题试法1. (2021威海模拟)数列｛X n｝的首项X1 = 3,通项X n = 2n p+ nq(nC N*, p, q为常数), 且X1 , X4 , X5成等差数列.求：(1)p, q 的值；(2)数列｛ x n｝前n项和S n的公式.解：⑴由 x i = 3,得 2p+q=3,又由于 x 4=24p+4q, x 5=25p+5q,且 xi+x 5=2x 4,得 3 + 25p+5q = 25p+8q, 解得 p= 1, q=1.n n+1(2)由(1),知 x n=2n+n,所以 S n= (2+22+…+ 2n)+(1+2+…+n) = 2n+〔一2+-2-11112 .数列12-, 3], 5g, 7,,…白向刖n 项和&为( ).21B . n + 2—2n21D . n + 2—2n —11解析 由题息知数列的通项为an=2n —1+2T ,,答案 C3 .等差数列｛a n ｝的前n 项和为S,且a 3 = 5, Ss= 225. ⑴ 求数列｛a n ｝的通项公式；(2)设b n=2a n+2n ,求数列｛b n ｝的前n 项和T n .解析：(1)设等差数列｛a n ｝的首项为公差为d,a1 +2d=5,a 1 二 1,解得,a n = 2n —1.d=2,1 n 一(2) .• b n=2a n +2n=2 ・ 4 + 2n, Tn=b1+b2+-- -+ bn= 2(4+42+―+4n ) + 2(1 +2+…+ n)A. n 2+ 1 - 2n-r21C. n+1 — 2n那么 Sn= —1 +2n — 1215a1 + 15X 14 2d = 225,n 2+n = | . 4n+n 2+ n-|. 3 34 .设｛a n ｝是公比为正数的等比数列,a i = 2, a 3 = a 2 + 4.⑴ 求｛a n ｝的通项公式;〔2〕设｛b n ｝是首项为1,公差为2的等差数列,求数列｛a n+b n ｝的前n 项和S n .解析〔1〕设q 为等比数列｛a n ｝的公比,那么由a i = 2, a 3 = a 2+ 4得2q 2 = 2q+4,即 q 2— q —2=0,解得 q = 2 或 q= — 1〔舍去〕,因此 q = 2.所以｛a n ｝的通项为 a n = 2 • 2nT = 2n (nC N*).一 1 1 . 1 . 1,1, , 15 .求和 Sn=1+ 1+2 + 1+2+4 +…+ 1+2+4 +….解和式中第k 项为 1 d 1 2 1 二 2n11-26.数列｛an ｝的前 n 项和为 S n, a 1 = 1, a 2= 2, a n+2—a n= 1 + (—1)n (n C N ),那么 S 100 =答案 2 600斛析 由 3n+ 2 — a n =1+( — 1)知 32k+ 2— 32k= 2 ,a 2k+1 — a2k 1 = 0, a 1 = a 3= a 5= 11• = a2n 1 = 1, 数列｛a 2k ｝是等差数列,a 2k= 2k.600= (a 1 + a 3+ a 5+ …+ a 99)+ (a 2+ a 4+ a 6+ …+ a [00)100 +2 X 50= 50+(2 + 4+6+ ••+ 100)=50 + ---------------- 2 --------- = 2 600.「 小力 小c 39 25 65 n 2n + 17.求和：(1)S n=3+9+25+65+…+ —；H —； 24 o 16 2 (2)S n= X+12+ X 2+W 2+…+ X n +)2. X X Xn 2n +1 1解 (1)由于 an=-2-=A+|K,1••S n= 1+21 + 2+ 22 + 3+ 23 +…+ n + 2n“-八 、111,,工= (1 + 2+3+ - +n)+ 2+ 22+23+ (2)/+1 /4 -4 =^6~~c 2 (2) S = _n1-2 1-2n nx 1 + -n-1 2X2=2n +1+n 2 —2.1.1.. ak=1 + 2+4+…+1 — 1k 12 =1k 112 1 __ 12 =2 ,1 1 -2k .=2[(1 + 1+…+ 1 .11 — 22 +…+1 1 一 2n=2 n — —n-1 + 2n — 2. 2 nH^(2 +। 1 …+2n )]1 1n n+ 1 2 1 — 2n n n+ 1 1 = 2 + 1 - = 2 一才+1.1 -- (2)当 x= + 时,S n=4n.当 xw 十 时, S n= X+[ 2+ X2 + ±2+…+ X n + J 2 X X X = X 2+2 + / + X 4 + 2 + $ + …+ X 2n +2 + , =(X 2+X 4+…+ X 2n )+2n+ ]+]+…+ J x 2--1 x 21 —x 2nX2-1 + 1 -x 2 x 2n —1 x 2n +2+1x 2n —1 x 2n+2+18 .数列｛a n ｝中,a 1 = -60, a n+1 = a n+3,那么这个数列前30项的绝对值的和是 .答案 765解析 由题意知｛a n ｝是等差数列,a n=- 60+3(n-1)=3n-63,令a n>0,解得n>21. 「• |a 1|+ |a 2|+ |a 3|+ …+ |a 30|=—(a 〔+ a2+ …+ a 20)+ (a 21 + …+a 3.)-60 + 90-63 x 30=S30- 2S 20= --------------------------- 2 --------------— ( — 60+ 60- 63) X 20 = 765. 9 .数列｛a n ｝的前n 项和S n=n 2-4n+2,那么冏|+标|+…+ |a 〔0| =答案 66解析 当 n= 1 时,a1=S1=— 1. 当 n>2 时,a n=S n — S n —1= 2n — 5.—1 n= 1 a n = .2n-5 n>2 5 令 2n- 5< 0,得 nW 2,・•・当 nw 2 时,a n <0,当 n>3 时,a n >0,「• |a 1|+ |a 2|+ …+ |a 10|=一 (a 〔 + a 2) + (a 3 + a 4 + …+ a [0) = S 10— 2s2= 66. 10 .数列｛a n ｝的通项公式为a n=( —1)广1 (4n —3),那么它的前100项之和S 100等于()A. 200B. - 200C. 400D. - 400答案 B解析 S 100= (4X 1 -3)-(4X 2-3)+(4X 3-3) - - - -(4X 100—3)=4X [(1 -2)+ (3-4) + …+ (99- 100)] =4X (-50) = - 200.11 .(2021课标全国)数列｛a n ｝满足a n+1+(-1)n a n=2n-1,那么｛a n ｝的前60项和为.+ 2n+ 2n.x 2n x 2— 1+ 2n xw =y .4n答案 1 830解析-an+i+(-1)n an=2n-1,••a2=1+a i, a3=2—a i, a4 = 7 — a i, a5=a i, a6=9+a i, a7=2 —a i, a8= 15 — a i, a9 =ai, a io=i7+a i, a ii=2 —a i, a i2 = 23 —ai,…,a57= a i, a58=ii3+a i, a59= 2 — a i, a60= ii9 — a i,「• a i + a2+…+ a60= (a i+ a2+ a3 + a4)+ (a5+ a6+ a7+ a8)+ …+ (a57+ a58 + a59+ a6o)= io+ 26 + 42+ …+234 i5X i0+234 = 2 = i 830.12 .数列2 008,2 009,i , -2 008, -2 009,…这个数列的特点是从第二项起,每一项都等于它的前后两项之和,那么这个数列的前 2 0i3项之和S2 0i3等于()A. iB. 2 0i0C. 4 0i8D. 0答案C解析由得a n = a n i+a n+i (n>2),,a n+i=a n—a n i.故数列的前8项依次为2 008,2 009,i , - 2 008, - 2 009, - i, 2 008,2 009.由此可知数列为周期数列,周期为6,且Ss= 0./2 0i3=6X335+3,,S2 0i3 = S3=4 0i8., i ........... .......................................... ~ ...................13 .设f (x) ――,利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法,可求2x 2f( 5) f( 4) f(0) ... f(5) f(6)的值为A. 3<2B. 22C. 2v12D.—2解：由于f(x) f (i x) —,那么原式I｛[ f( 5) f(6)] [f( 4) f (5)]2 2[f(6) f( 5)]｝- i2 — 3石,选A2 2i4.数列｛a n｝的前n 项和为S n,满足：a i i , 3tS n (2t 3)& i 3t,其中t 0,n N且n 2 (i)求证：数列｛an｝是等比数列；i ............ ............... .(n)设数列｛a n｝的公比为f (t),数列｛b n｝满足b i i,b n f (——)(n 2),求b n的通项b ni〔出〕记T n b i b2 b2b3 b3b4 b4b5 b2ni b2n b2n b2ni,求证：「20 92 时,3tS n(2t 3)S ni 3t ①,3tS ni (2t 3)S n3t ②+ a 4+a 8+…+ a2n ,那么 T n =解析：设｛a n ｝的公差为dw0,由a 1, a 2, a 5成等比数列,得 a2=a 1a 5, 即(7 — 2d)2= (7 — 3d)(7 + d) . .d = 2 或 d = 0(舍去)..-,an=7+(n-4)X2=2n-1.又 a 2n = 2 2n — 1 =2n +1—1, .•T n=(22— 1)+(23— 1)+(24— 1)+ …+ (2n +1 —1)= (22+ 23+ ••• +2n+1)-n=2n+2-n- 4.②一①得：3ta n 1 (2t 3)a n 0a n 1 a n2t 3 - ------ (n 2) 3t又a 1 1,3t(a i a ?) (2t 3)4 3t ,解得: a 22t 3 3ta 2 a n a ia 2a n2t 3 3t ｛a n ｝是首项为2t 3 ,2~^的等比数列.3t-33 h b n1-,b n --------------n 3b n 13b n1 3 2b nb n b n(n 1) 3(m)T n b 2(b 1b 4(b 3b 5)b 2n (b 2n 1b 2n1)4(b 2 b 4 3b 2n ) 当n 2时,2n 23n 为增,4n3 2 51) 2n(4n 96)4 2(2n 2 3n)915.1002 99298297222A. 2525B. 5050C. 解：原式(100 99) (98 97)20 912的值是10100(2 1) D. 202105050 ,选 B16.等差数列｛a n ｝的公差不为零,a 4=7, a 1,a 5成等比数列,数列｛T n ｝满足条件 T n=a 2。
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1.求数列的前n 项和：ΛΛ,231,,71,41,
1112-++++-n a
a a n
2.数列{a n }的通项公式a n ＝n cos n π2，其前n 项和为S n ，则S 2012等于( )
A. 1006
B. 2012
C. 503
D. 0
3.设f (x )＝12x ＋2
，则f (－9)＋f (－8)＋…＋f (0)＋…＋f (9)＋f (10)的值为________．
4.求︒+︒+⋅⋅⋅+︒+︒+︒89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222的值。
5.求数列13521,,,,,2482
n n -L L 的前n 项的和。
6.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N ＋，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图像上．
(1)求r 的值；
(2)当b ＝2时，记b n ＝n ＋14a n
(n ∈N ＋)，求数列{b n }的前n 项和T n .
7.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n n S n +=22，n ∈N*，数列{}n b 满足
3log 42+=n n b a ，n ∈N*.
(1)求n n b a ,；
(2)求数列{}n n b a •的前n 项和Tn.
8.设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，n ∈N ＋.
(1)求数列{a n }的通项；
(2)设b n ＝n
a n ，求数列{
b n }的前n 项和S n .
9.求和 )2(1
531
421
311
+++⨯+⨯+⨯n n Λ
10.求数列
⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和。
11.已知数列｛a n ｝：11，211+，3
211++，…1123n +++L ，…，求它的前n
12.设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＝na n －2n (n －1)(n ∈N *)．
(1)求证：数列{a n }为等差数列，并分别写出a n 和S n 关于n 的表达式；
(2)设数列{
1a n a n ＋1
}的前n 项和为T n .求证：15≤T n <14.。