线段和差最值问题
一次函数综合—线段和差、存在性问题解析
一次函数的应用—线段和差、存在性问题一、一次函数线段和差最值问题【知识点】1. 最短路径原理【原理1】作法作图原理在直线l 上求一点P，使PA+PB 值最小。
连AB，与l 交点即为P．两点之间线段最短．PA+PB 最小值为AB．【原理2】作法作图原理在直线l 上求一点P，使PA+PB 值最小．作 B 关于l 的对称点B＇连A B＇，与l 交点即为P．两点之间线段最短．PA+PB 最小值为A B＇．【原理3】作法作图原理在直线l 上求一点P，使作直线AB，与直线l的交点即为P．三角形任意两边之差小于第三边．≤AB .PBPA－（1）求线段和最小时动点坐标或直线解析式； （2）求三角形周长最小值；（3）求线段差最大时点的坐标或直线解析式。
3. 口诀：“和小异，差大同”（一）一次函数线段和最小值问题【例题讲解】★★☆例题1．在平面直角坐标系xOy 中，y 轴上有一点P ，它到点(4,3)A ，(3,1)B 的距离之和最小，则点P 的坐标是( ) A ．(0,0)B ．4(0,)7C ．5(0,)7D ．4(0,)5【答案】C的值最大 .【原理 4】作法作图原理在直线 l 上求一点 P ，使的值最大 .作 B 关于 l 的对称点 B ＇作直线 A B ＇，与 l 交点即为 P ．三角形任意两边之差小于第三边．≤A B ＇ .PB PA －PB PA －PB PA －【解析】解：作A 关于y 轴的对称点C ，连接BC 交y 轴于P ，则此时AP PB +最小，即此时点P 到点A 和点B 的距离之和最小，(4,3)A ，(4,3)C ∴-，设直线CB 的解析式是y kx b =+，把C 、B 的坐标代入得：3413k bk b =-+⎧⎨-=+⎩，解得：47k =-，57b =，4577y x ∴=-+，把0x =代入得：57y =， 即P 的坐标是5(0,)7，故选：C ．【备注】本题考查了轴对称-最短路线问题，一次函数的解析式，坐标与图形性质等知识点，关键是能画出P 的位置，题目比较典型，是一道比较好的题目．★★☆练习1．如图，在平面直角坐标系中，已知点(2,3)A ，点(2,1)B -，在x 轴上存在点P 到A ，B 两点的距离之和最小，则P 点的坐标是 ．【答案】(1,0)-【解析】解：作A 关于x 轴的对称点C ，连接BC 交x 轴于P ，则此时AP BP +最小，A 点的坐标为(2,3)，B 点的坐标为(2,1)-，(2,3)C ∴-，设直线BC 的解析式是：y kx b =+，把B 、C 的坐标代入得：2123k b k b -+=⎧⎨+=-⎩解得11k b =-⎧⎨=-⎩．即直线BC 的解析式是1y x =--，当0y =时，10x --=，解得：1x =-，P ∴点的坐标是(1,0)-．故答案为：(1,0)-．【备注】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式，轴对称-最短路线问题的应用，关键是能找出P 点，题目具有一定的代表性，难度适中．★★☆练习2．如图，直线34120x y +-=与x 轴、y 轴分别交于点B 、A 两点，以线段AB 为边在第一象限内作正方形ABCD ．若点P 为x 轴上的一个动点，求当PC PD +的长最小时点P 的坐标．【答案】详见解析【解析】解：直线34120x y +-=与x 轴、y 轴分别交于点B 、A 两点，则点A 、B 的坐标分别为：(0,3)，(4,0)，如图所示，过点C 作CH x ⊥轴交于点H ，90ABO BAO ∠+∠=︒，90ABO CBH ∠+∠=︒，CBH BAO ∴∠=∠，又90AOB CHB ∠=∠=︒，AB BC =，()AOB BHC AAS ∴∆≅∆，4CH OB ∴==，3HB OA ==，故点(7,4)C ，同理可得点(3,7)D ，确定点C 关于x 轴的对称点(7,4)C '-，连接C D '交x 轴于点P ，则此时PC PD +的长最小，将点C '、D 的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线CD 的表达式为：116144y x =-+， 当0y =时，6111x =，故点61P，0)．(11【备注】本题考查的是一次函数上坐标点的特征，涉及到点的对称性、正方形性质等，本题的难点在于：通过证明三角形全等，确定点C、D的坐标．★★☆例题2．在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，3OB=，D为边OB的中点，若E为x轴上的一个动点，当CDE∆的周长最小时，求点E OA=，4的坐标()A．(3,0)-B．(1,0)C．(0,0)D．(3,0)【答案】B【解析】解：如图，作点D关于x轴的对称点D'，连接CD'与x轴交于点E，连接DE．若在边OA上任取点E'与点E不重合，连接CE'、DE'、D E''由DE CE D E CE CD D E CE DE CE'+'=''+'>'='+=+，可知CDE∆的周长最小．OB=，D为边OB的中点，42∴=，OD∴，(0,2)D在矩形OACB 中，3OA =，4OB =，D 为OB 的中点，3BC ∴=，2D O DO '==，6D B '=，//OE BC ，Rt ∴△D OE Rt '∽△D BC '，∴OE D OBC D B '=' 即236OE = 1OE =，∴点E 的坐标为(1,0)故选：B ．【备注】此题主要考查轴对称--最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边．★★☆练习1．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为(1,4)和(3,0)，点C 是y 轴上的一个动点，连接AC 、BC ，当ABC ∆的周长最小值时，ABC ∆的面积为 ．【答案】3【解析】解：如图，作点A 关于y 轴的对称点A '，连接A B '交y 轴于点C '，此时ABC ∆'的周长最小，设直线A B ' 的解析式为y kx b =+，(1,4)A '-，(3,0)B ，∴430k b k b -+=⎧⎨+=⎩，1k ∴=-，3b =，∴直线A B ' 的解析式为3y x =-+，当0x =时，3y =，(0,3)C ∴'，ABC AA BAA C S SS∆'''∴=-11242122=⨯⨯-⨯⨯ 413=-=．所以ABC ∆'的面积为3．故答案为：3．【备注】本题考查了轴对称、最短路线问题、坐标与图形性质、三角形的面积，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．★★☆练习2．如图，在平面直角坐标系中，直线122y x =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，以AB 为边 在第二象限内作正方形ABCD ．（1）求点A 、B 的坐标，并求边AB 的长；（2）求点C 和点D 的坐标；（3）在x 轴上找一点M ，使MDB ∆的周长最小，请求出M 点的坐标，并直接写出MDB ∆的周长最小值．【答案】详见解析【解析】解： （1）对于直线122y x =+， 令0x =，得到2y =；令0y =，得到4x =-，(4,0)A ∴-，(0,2)B ，即4OA =，2OB =， 则224225AB =+=；（2）过D 作DE x ⊥轴，过C 作CF y ⊥轴，四边形ABCD 为正方形，AB BC AD ∴==，90ABC BAD BFC DEA AOB ∠=∠=∠=∠=∠=︒，90FBC ABO ∠+∠=︒，90ABO BAO ∠+∠=︒，90DAE BAO ∠+∠=︒，FBC OAB EDA ∴∠=∠=∠，()DEA AOB BFC AAS ∴∆≅∆≅∆，2AE OB CF ∴===，4DE OA FB ===，即426OE OA AE =+=+=，246OF OB BF =+=+=，则(6,4)D -，(2,6)C -；（3）如图所示，连接BD ，找出B 关于y 轴的对称点B '，连接DB '，交x 轴于点M ，此时BM MD DM MB DB +=+'='最小，即BDM ∆周长最小，(0,2)B ，(0,2)B ∴'-，设直线DB '解析式为y kx b =+，把(6,4)D -，(0,2)B '-代入得：642k b b -+=⎧⎨=-⎩，解得：1k =-，2b =-，∴直线DB '解析式为2y x =--，令0y =，得到2x =-，则M 坐标为(2,0)-， 此时MDB ∆的周长为21062+．【备注】本题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，勾 股定理，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，对称性质，以及一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握 性质及定理是解本题的关键（二）一次函数线段差最大值问题【例题讲解】★★☆例题1．已知，如图点(1,1)A ，(2,3)B -，点P 为x 轴上一点，当||PA PB -最大时，点P的坐标为( )A ．1(,0)2B ．5(,0)4C ．1(,0)2-D ．(1,0)【答案】A【解析】解：作A 关于x 轴对称点C ，连接BC 并延长交x 轴于点P ， (1,1)A ，C ∴的坐标为(1,1)-，连接BC ，设直线BC 的解析式为：y kx b =+，∴123k b k b +=-⎧⎨+=-⎩， 解得：21k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为：21y x =-+， 当0y =时，12x =， ∴点P 的坐标为：1(2，0)，当B ，C ，P 不共线时，根据三角形三边的关系可得：||||PA PB PC PB BC -=-<，∴此时||||PA PB PC PB BC -=-=取得最大值．故选：A ．【备注】此题考查了轴对称、待定系数法求一次函数的解析式以及点与一次函数的关系．此题难度较大，解题的关键是找到P 点，注意数形结合思想与方程思想的应用．★★☆练习1．平面直角坐标系中，已知(4,3)A 、(2,1)B ，x 轴上有一点P ，要使PA PB -最大，则P 点坐 标为【答案】(1,0)【解析】解：(4,3)A 、(2,1)B ，x 轴上有一点P ，||PA PB AB ∴-，∴当A ，B ，P 三点共线时，PA PB -最大值等于AB 长，此时，设直线AB 的解析式为y kx b =+，把(4,3)A 、(2,1)B 代入，可得3412k b k b =+⎧⎨=+⎩， 解得11k b =⎧⎨=-⎩， ∴直线AB 的解析式为1y x =-，令0y =，则1x =，P ∴点坐标为(1,0)，故答案为：(1,0)． 【备注】本题主要考查了坐标与图形性质，利用待定系数法求得直线AB 的解析式是解决问题的关键． ★★☆练习2．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0,4)，点B 的坐标为(6,0)，点P 在一次函数1322y x =+的图象上运动，则PB PA -的最大值为( )A ．2B ．233C ．4D ．143【答案】C【解析】解：如图，作点A 关于直线1322y x =+的对称点K ，连接AK 交直线于H ，连接PK ．AK PH ⊥，(0,4)A ，∴直线AK 的解析式为24y x =-+，由132224y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩， (1H ∴，20，AH KH =，(2,0)K ∴．PB PA PB PK KB ∴-=-，∴当点P 在BK 的延长线上时，P B P K BK '-'=的值最大，最大值为624-=，故选：C ．【备注】本题考查一次函数图象上的点的特征、轴对称等知识，解题的关键是学会利用对称解决最值问题 属于中考常考题型．【题型知识点总结】一次函数最短路径问题注意事项：1. 根据“和小异，差大同”判断是否需要作对称；2. 作对称时注意要选取动点运动的直线为对称轴作某一定点的对称点。
初中几何中线段和差的最大值与最小值典型分析(最全)
初中几何中线段和差的最大值与最小值典型分析(最全)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。
基本图形解析：（对称轴为：动点所在的直线上）一）、已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。
2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。
（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧： （3）两个点都在内侧：mm A Bm B mA Bmnmnnmn（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.填空：最短周长=________________变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：n点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ）1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：m nmnmnmmm三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。
(原理用平移知识解)（1）点A 、B 在直线m 两侧：过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。
线段和差最值问题之对称,中考复习专题附练习题含参考答案
中考复习专题之线段(和差)最值问题之对称对称问题，指的是通过对称的方式求得线段(和差)最值的问题类型，包含一次对称即将军饮马问题、二次对称、过河修桥问题等. 1.将军饮马问题“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。
而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
如图，将军在图中点A 处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？如图，在直线上找一点P 使得PA+PB 最小？这个问题的难点在于PA+PB 是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．作点A 关于直线的对称点A'，连接PA'，则PA'=PA ，所以PA+PB=PA'+PB当A'、P 、B 三点共线的时候，PA'+PB =A'B ，此时为最小值（两点之间线段最短） 作端点（点A 或点B ）关于折点（上图P 点）所在直线的对称，化折线段为直线段．2.二次对称问题在OA 、OB 上分别取点M 、N ，使得△PMN 周长最小．AB 将军军营河此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OA （折点M 所在直线）、OB （折点N 所在直线）的对称点，化折线段PM +MN +NP 为P'M +MN +NP ’’，当P'、M 、N 、P''共线时，△PMN 周长最小． 3.过河修桥问题已知人在图中点A 村庄，现要过河去往B 村，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？考虑MN 长度恒定，只要求AM +NB 最小值即可．问题在于AM 、NB 彼此分离，所以首先通过平移，使AM 与NB 连在一起，将AM 向下平移使得M 、N 重合，此时A 点落在A ’位置．问题化为求A'N +NB 最小值，显然，当A'、N 、B 共线时，AM+MN+BN 的值最小，并得出桥应建的位置． 【问题扩展1】已知将军在图中点A 处，现要过两条河去往B 点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？BB考虑PQ 、MN 均为定值，所以路程最短等价于AP +QM +NB 最小，对于这彼此分离的三段，可以通过平移使其连接到一起．AP 平移至A'Q ，NB 平移至MB ’，化AP +QM +NB 为A'Q +QM +MB'．当A'、Q 、M 、B ’共线时，A'Q +QM +MB'取到最小值，再依次确定P 、N 位置． 【问题扩展1】如图，将军在A 点处，现在将军要带马去河边喝水，并沿着河岸走一段路，再返回军营，问怎么走路程最短？已知A 、B 两点，MN 长度为定值，求确定M 、N 位置使得AM +MN +NB 值最小？【分析】考虑MN 为定值，故只要AM +BN 值最小即可．将AM 平移使M 、N 重合，AM =A'N ，将AM +BN 转化为A'N +NB ．构造点A 关于MN 的对称点A''，连接A''B ，可依次确定N 、M 位置，可得路线．军营BBB军营河练习题1.如图，点P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB =30°，OP =8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为___________．2.如图，正方形ABCD 的边长是4，M 在DC 上，且DM =1， N 是AC 边上的一动点，则△DMN 周长的最小值是___________．3.如图，在Rt △ABO 中，∠OBA =90°，A （4,4），点C 在边AB 上，且AC :CB =1:3，点D 为OB 的中点，点P 为边OA 上的动点，当点P 在OA 上移动时，使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为( ) A ．(2,2)B ．5(2，5)2C ．8(3，8)3D ．(3,3)4.如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，点D 在BC 上，BD =3，DC =1，点P 是AB 上的动点，则PC +PD 的最小值为( ) A ．4B ．5C ．6D ．75.如图，在等边△ABC 中，AB =6， N 为AB 上一点且BN =2AN ， BC 的高线AD 交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，连结BM ，MN ，则BM +MN 的最小值是___________．6.如图，在Rt △ABD 中，AB =6，∠BAD =30°，∠D =90°，N 为AB 上一点且BN =2AN ， M 是AD 上的动点，连结BM ，MN ，则BM +MN 的最小值是___________．7.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6．AB =12，AD 平分∠CAB ，点F 是AC 的中点，点E 是AD 上的动点，则CE +EF 的最小值为( ) A ．3B ．4C．D．8.如图，在锐角三角形ABC 中，BC =4，∠ABC =60°， BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，M 、N 分别是BD ，BC 上的动点，则CM +MN 的最小值是( ) AB ．2C．D ．49.如图，在菱形ABCD 中，AC=BD =6，E 是BC 的中点，P 、M 分别是AC 、AB 上的动点，连接PE 、PM ，则PE +PM 的最小值是( )A ．6B．C．D ．4.5P OBAMNNMD CBAPDCBAA BCDMNN M D BAE AFCDBNM DCBA10.如图，矩形ABOC 的顶点A 的坐标为（-4,5），D 是OB 的中点，E 是OC 上的一点，当△ADE 的周长最小时，点E 的坐标是( ) A ．4(0,)3B ．5(0,)3C ．(0,2)D ．10(0,)311.如图，在矩形ABCD 中，AB =6，AD =3，动点P 满足13PAB ABCD S S ∆=矩形，则点P 到A 、B 两点距离之和P A +PB 的最小值为( )A．B．C．D12.如图，矩形ABCD 中，AB =10，BC =5，点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 各边上，且AE =CG ，BF =DH ，则四边形EFGH 周长的最小值为( ) A．B．C．D．13.如图，∠AOB =60°，点P 是∠AOB 内的定点且OPM 、N 分别是射线OA 、OB 上异于点O 的动点，则△PMN 周长的最小值是( )ABC ．6D ．314. 如图，∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合，点P 是OA 上的一动点，点N （3,0）是OB 上的一定点，点M 是ON 的中点，∠AOB =30°，要使PM +PN 最小，则点P 的坐标为 ． 15.如图，已知正比例函数y =kx （k >0）的图像与x 轴相交所成的锐角为70°，定点A 的坐标为（0，4），P 为y 轴上的一个动点，M 、N 为函数y =kx （k >0）的图像上的两个动点，则AM +MP +PN 的最小值为____________．16.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点B 在原点，点A 、C 在坐标轴上，点D 的坐标为（6，4），E 为CD 的中点，点P 、Q 为BC 边上两个动点，且PQ =2，要使四边形APQE 的周长最小，则点P 的坐示应为______________．17.如图，矩形ABCD 中，AD =2，AB =4，AC 为对角线，E 、F 分别为边AB 、CD 上的动点，且EF ⊥AC 于点M ，连接AF 、CE ，求AF +CE 的最小值．EPDCBAMDCBAPHFGEDCB AA BMOPN18.如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB 的直角顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点B的坐标为(3)，点C 的坐标为(12，0)，点P 为斜边OB 上一动点，则PA+PC 的最小值为___________． 19.如图，△ AOB=30 °，点 M 、 N 分别在边 OA 、OB 上，且 OM=1 ，ON=3，点 P 、Q 分别在边 OB 、OA 上，则 MP+PQ+QN 的最小值 _________20.如图，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=8，E 为CD 边的中点．若P ，Q 为BC 边上的两动点，且PQ=2，则当BP=___时，四边形APQE 的周长最小．21.如图在河的两侧有两个村庄，A 离河为60米，B 离河是30米，AB 的水平距离为120米，河的宽度为30米，问桥修在何处会使得从A 经过桥到B 的路程最小，最小值为多少？参考答案1.82.63.C4.B5.6. 7.C 8.C 9.C 10.B 11.A 12.B 13.D14.3(215. 16.8(,0)3 17.520.2+ 21.180A B CDEFMyxPCBAO Q P ED CB A。
初中几何中线段和差的最大值与最小值典型分析(最全)
初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。
基本图形解析：（对称轴为：动点所在的直线上）一）、已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。
2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。
（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：m m mmABmn m nnmn（3）两个点都在内侧：（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.填空：最短周长=________________变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧：nnm Bnn2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。
(原理用平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧：mnmmmmm过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。
（2）点A 、B 在直线m 同侧： 练习题1．如图，∠AOB =45°，P 是∠AOB 内一点，PO =10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值为 ．2、 如图1，在锐角三角形ABC 中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M,N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值为 ． 3、如图，在锐角三角形ABC 中 ，AB=52，∠BAC=45，BAC 的平分线交BC 于D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是多少mABB'EQ PmABQPQ4、如图4所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为.5、如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB 上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．6、如图4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB的最小值为．7、如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为．8、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是9、如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm．10、如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为11、如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB+PE的最小值是12、如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为．13、如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为．14、如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为cm．（结果不取近似值）．15、如图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则PA+PC的最小值是．16、如图8，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为( )(A)2 (B) (C)1 (D)2解答题1、如图9，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A 点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.2、如图，一元二次方程x2+2x-3=0的二根x1，x2（x1＜x2）是抛物线y=ax2+bx+c 与x轴的两个交点B，C的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）．（1）求此二次函数的解析式；（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；（3）在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标．3、如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB的面积是.（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；4．如图，抛物线y ＝35x 2－185x ＋3和y 轴的交点为A ，M 为OA 的中点，若有一动点P ，自M点处出发，沿直线运动到x 轴上的某点（设为点E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F ），最后又沿直线运动到点A ，求使点P 运动的总路程最短的点E ，点F 的坐标，并求出这个最短路程的长．5．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直角梯形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA =AB =2，OC =3，过点B 作BD ⊥BC ，交OA 于点D ．将∠DBC 绕点B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于点E 和F ． （1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式； （2）当BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求CF 的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P 、Q （点Q 在点P 的上方），且PQ ＝1，要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P 、Q 两点的坐标．6．如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，－3），B(4，－1）若C(a，0)，D(a+3，0)是x轴上的两个动点，则当a为何值时，四边形ABDC的周长最短．7、如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x 轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.v1.0 可编辑可修改二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边) 基本图形解析：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA 与PB 的差最大； （1）点A 、B 在直线m 同侧：解析：延长AB 交直线m 于点P ，根据三角形两边之差小于第三边，P ’A —P ’B ＜AB ，而PA —PB=AB 此时最大，因此点P 为所求的点。
线段和差的最值问题解题策略课件
高阶练习题
总结词
挑战综合应用
详细描述
高阶练习题难度较高，需要综合运用线段和 差最值问题的多种解题策略，挑战解题者的 思维深度和广度，培养综合应用能力。
06 问题拓展与思考
相关问题链接
线段和差与面积关系
探讨线段和差与面积的最值问题，如何通过线段和差来求解面积 的最值。
线段和差与其他几何量关系
研究线段和差与周长、体积等其他几何量的最值问题之间的联系。
生产制造中的应用
探讨线段和差最值问题在生产制造、工艺设计和 优化中的实际应用，如何提高生产效率和降低成 本。
THANKS
02 解题策略
代数法
通过代数运算，将问题转化为函数最值问题，利用求导或不 等式性质求解。
代数法是解决线段和差最值问题的基本方法之一。首先，将 问题中的线段长度表示为变量，然后通过代数运算，将问题 转化为一个函数最值问题。接下来，利用求导或不等式性质 ，找到函数的最值点，从而得到线段和差的最值。
几何法
详细描述
解决这类问题需要理解线段的性质和 几何定理，如勾股定理、三角形的三 边关系等。通过这些定理可以推导出 线段和差的最值条件，从而找到解决 问题的关键点。
三角形中的线段和差问题
总结词
三角形中的线段和差问题涉及到三角 形的边长和角度，需要结合三角形的 性质进行求解。
详细描述
解决这类问题需要掌握三角形的边角 关系，如正弦定理、余弦定理等。通 过这些定理可以推导出线段和差与角 度之间的关系，从而找到最值条件。
将参数方程转换为普通方程，便 于计算和比较线段长度。
05 练习题与解析
基础练习题
总结词
掌握基础概念
详细描述
基础练习题主要涉及线段和差最值问题的基本概念和简单应用，适合初学者通过练习理解和掌握基本 解题方法。
线段和差最值问题解题技巧
线段和差最值问题解题技巧
1. 嘿，你知道吗？平移线段有时就像变魔术一样神奇！比如在这个问题里，把这两条线段平移到一起，你看，是不是一下子就找到答案啦！
2. 哇塞，利用对称性质来解决线段和差最值问题，那可真是绝了呀！就像给问题找到了一把万能钥匙。
比如这个图形，通过对称，一下子就柳暗花明了呢！
3. 哎呀呀，有时候转换思维超重要的啦！别死磕一种方法呀，就像走不通的路咱就换一条呗。
像这个例子，转换一下思考角度，答案不就出来啦！
4. 嘿，当遇到难题不要慌，想想三角形三边关系呀！这就好比给你指了一条明路。
比如看到这样的条件，马上想起三边关系，难题迎刃而解咯！
5. 哇哦，构造辅助线简直就是秘密武器呀！就如同给问题搭了一座桥。
像这个情况，构造出合适的辅助线，一下子就突破难关啦！
6. 哈哈，把复杂问题简单化，不就轻松多了吗？就像把一大团乱麻理清楚。
看这个例子，简单化之后，答案显而易见呀！
7. 哟呵，关注特殊点和特殊位置呀，这可是关键呢！如同发现了宝藏的线索。
像这个情况，抓住特殊点，难题瞬间攻克啦！
8. 嘿呀，寻找等量关系也很重要呀，就像在迷宫里找到了正确的路线。
看看这个例子，一旦找到等量关系，答案就水到渠成啦！
9. 最后我想说，掌握了这些解题技巧，遇到线段和差最值问题根本不用怕呀！它们就是我们的得力助手，能让我们在数学的海洋里畅游无阻呀！。
系数非1的线段和差最值问题
系数非1的线段和差问题
1，如图线段OA=4，OB=2，将OB绕点O在平面内旋转360度，AB的最大值是----------，最小值是----------------
2，如图，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD+½PC的最小值和PD-1/2PC的最大值
3 如图，已知正方形ABCD的边长为9圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么，PD+2/3PC的最小值为----------，PD-2/3PC的最大值为-------- 并求出最小值时三角形PCD的面积.
4如图，已知菱形ABCD的边长为4，角B=60度，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD+½ PC的最小值为-------，PD-1/2PC的最大值为---------
5，二次函数y=ax²-2x+c的图像与x轴交于A，C两点，点C（3,0），与y轴交于点B（0，-3）（1）a=-----------，c= ---------
（2）如图，p是x轴上一动点，点D（0,1）在y轴上，连接PD，求PD+PC的最小值
（3）如图2，点M在抛物线上，若三角形MBC的面积等于3，求点M的坐标。
2022年中考复习专题线段和差最值问题之对称
中考复习专题之线段(和差)最值问题之对称对称问题，指的是通过对称的方式求得线段(和差)最值的问题类型，包含一次对称即将军饮马问题、二次对称、过河修桥问题等. 1.将军饮马问题“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。
而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
如图，将军在图中点A 处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？如图，在直线上找一点P 使得PA+PB 最小？这个问题的难点在于PA+PB 是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．作点A 关于直线的对称点A'，连接PA'，则PA'=PA ，所以PA+PB=P A'+PB当A'、P 、B 三点共线的时候，PA'+PB =A'B ，此时为最小值（两点之间线段最短） 作端点（点A 或点B ）关于折点（上图P 点）所在直线的对称，化折线段为直线段．2.二次对称问题在OA 、OB 上分别取点M 、N ，使得△PMN 周长最小．AB 将军军营河A'AP 折点端点A 'P A此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OA （折点M 所在直线）、OB （折点N 所在直线）的对称点，化折线段PM +MN +NP 为P'M +MN +NP ’’，当P'、M 、N 、P''共线时，△PMN 周长最小． 3.过河修桥问题已知人在图中点A 村庄，现要过河去往B 村，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？考虑MN 长度恒定，只要求AM +NB 最小值即可．问题在于AM 、NB 彼此分离，所以首先通过平移，使AM 与NB 连在一起，将AM 向下平移使得M 、N 重合，此时A 点落在A ’位置．问题化为求A'N +NB 最小值，显然，当A'、N 、B 共线时，AM+MN+BN 的值最小，并得出桥应建的位置． 【问题扩展1】已知将军在图中点A 处，现要过两条河去往B 点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？MP'NMBPOOPB考虑PQ 、MN 均为定值，所以路程最短等价于AP +QM +NB 最小，对于这彼此分离的三段，可以通过平移使其连接到一起．AP 平移至A'Q ，NB 平移至MB ’，化AP +QM +NB 为A'Q +QM +MB'．当A'、Q 、M 、B ’共线时，A'Q +QM +MB'取到最小值，再依次确定P 、N 位置． 【问题扩展1】如图，将军在A 点处，现在将军要带马去河边喝水，并沿着河岸走一段路，再返回军营，问怎么走路程最短？已知A 、B 两点，MN 长度为定值，求确定M 、N 位置使得AM +MN +NB 值最小？【分析】考虑MN 为定值，故只要AM +BN 值最小即可．将AM 平移使M 、N 重合，AM =A'N ，将AM +BN 转化为A'N +NB ．构造点A 关于MN 的对称点A''，连接A''B ，可依次确定N 、M 位置，可得路线．军营将军河河QA B MNPB'A'QABMNPPNMBAQA'B'M将军A军营河A'AA''MNAA'练习题1.如图，点P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB =30°，OP =8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为___________．2. 如图，正方形ABCD 的边长是4，M 在DC 上，且DM =1， N 是AC 边上的一动点，则△DMN 周长的最小值是___________．3.如图，在Rt △ABO 中，∠OBA =90°，A （4,4），点C 在边AB 上，且AC :CB =1:3，点D 为OB 的中点，点P 为边OA 上的动点，当点P 在OA 上移动时，使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为( ) A ．(2,2)B ．5(2，5)2C ．8(3，8)3D ．(3,3)4.如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，点D 在BC 上，BD =3，DC =1，点P 是AB 上的动点，则PC +PD 的最小值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7P OBAMNNMD CBAyPO D CBA PDCBA5.如图，在等边△ABC 中，AB =6， N 为AB 上一点且BN =2AN ， BC 的高线AD 交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，连结BM ，MN ，则BM +MN 的最小值是___________．6. 如图，在Rt △ABD 中，AB =6，∠BAD =30°，∠D =90°，N 为AB 上一点且BN =2AN ， M 是AD 上的动点，连结BM ，MN ，则BM +MN 的最小值是___________．7.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6．AB =12，AD 平分∠CAB ，点F 是AC 的中点，点E 是AD 上的动点，则CE +EF 的最小值为( ) A ．3B ．4C ．33D ．238.如图，在锐角三角形ABC 中，BC =4，∠ABC =60°， BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，M 、N 分别是BD ，BC 上的动点，则CM +MN 的最小值是( )A 3B ．2C ．23D ．49.如图，在菱形ABCD 中，AC =62BD =6，E 是BC 的中点，P 、M 分别是AC 、AB 上的动点，N MDBA A BCDMNE AFCDBNMDCBA连接PE 、PM ，则PE +PM 的最小值是( )A ．6B ．33C ．26D ．4.510.如图，矩形ABOC 的顶点A 的坐标为（-4,5），D 是OB 的中点，E 是OC 上的一点，当△ADE 的周长最小时，点E 的坐标是( ) A ．4(0,)3B ．5(0,)3C ．(0,2)D ．10(0,)311.如图，在矩形ABCD 中，AB =6，AD =3，动点P 满足13PAB ABCD S S ∆=矩形，则点P 到A 、B 两点距离之和P A +PB 的最小值为( ) A ．213B ．210C ．35D 4112.如图，矩形ABCD 中，AB =10，BC =5，点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 各边上，且AE =CG ，BF =DH ，则四边形EFGH 周长的最小值为( ) A ．5B ．105C ．103D ．15313.如图，∠AOB =60°，点P 是∠AOB 内的定点且OP =3，若点M 、N 分别是射线OA 、OB 上异EPDCAMEOD C B AyDCBAPH FGEDCB A于点O 的动点，则△PMN 周长的最小值是( )A ．362B ．332C ．6D ．314. 如图，∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合，点P 是OA 上的一动点，点N （3,0）是OB 上的一定点，点M 是ON 的中点，∠AOB =30°，要使PM +PN 最小，则点P 的坐标为 ．15. 如图，已知正比例函数y =kx （k >0）的图像与x 轴相交所成的锐角为70°，定点A 的坐标为（0，4），P 为y 轴上的一个动点，M 、N 为函数y =kx （k >0）的图像上的两个动点，则AM +MP +PN 的最小值为____________．16.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点B 在原点，点A 、C 在坐标轴上，点D 的坐标为（6，4），E 为CD 的中点，点P 、Q 为BC 边上两个动点，且PQ =2，要使四边形APQE 的周长最小，则点P 的坐示应为______________．17.如图，矩形ABCD 中，AD =2，AB =4，AC 为对角线，E 、F 分别为边AB 、CD 上的动点，且EF ⊥AC 于点M ，连接AF 、CE ，求AF +CE 的最小值．ABOPNNMPOBAyPAMN Oy Ey xB ()Q ACD OP18. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB 的直角顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为(3，3 )，点C 的坐标为(12，0)，点P 为斜边OB 上一动点，则PA+PC 的最小值为___________．19.如图，△ AOB=30 °，点M 、 N 分别在边 OA 、OB 上，且 OM=1 ，ON=3，点P 、Q 分别在边 OB 、OA 上，则 MP+PQ+QN 的最小值 _________20.如图，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=8，E 为CD 边的中点．若P ，Q 为BC 边上的两动点，且PQ=2，则当BP=___时，四边形APQE 的周长最小．21.如图在河的两侧有两个村庄，A 离河为60米，B 离河是30米，AB 的水平距离为120米，河的宽度为30米，问桥修在何处会使得从A 经过桥到B 的路程最小，最小值为多少？参考答案1.82.63.C4.B5.276.277.C8.C9.C 10.BAB CDEFMyx PCBAO QPED C BA11.A 12.B 13.D14.3(,3)215.2316.8(,0)317.5 18.3121020.622217+21.180。
线段和差最值问题(新)
专题一.线段和（差）的最值问题【知识依据】1．线段公理——两点之间，线段最短；2．对称的性质——①关于一条直线对称的两个图形全等；②对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线； 3．三角形两边之和大于第三边； 4．三角形两边之差小于第三边； 5、垂直线段最短。
一、已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小；（1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。
2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。
（1）两个点都在直线外侧：mm ABm ABm n mn（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.n mnnnmm二、一个动点，一个定点：（一）动点在直线上运动： 点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ）1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动：点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ）1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：m n Am nm nmmmmA m三、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。
(原理用平移知识解)（1）点A 、B 在直线m 两侧：过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左移动PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。
一次函数背景下的线段和差最值问题的专题学习目标
一次函数背景下的线段和差最值问题的专题学习目标
在学习一次函数背景下的线段和差最值问题专题时，你可以达成以下学习目标：
1. 熟练掌握一次函数的定义和性质，包括斜率、截距、图像等方面的内容。
2. 能够正确地理解线段和差的概念，并能够分析其特点和性质。
3. 掌握求解线段和差最值问题的方法和技巧，包括利用一次函数性质和几何思想来进行分析和推导，并能够合理地应用于具体问题中。
4. 能够在实际问题中准确地把握线段和差的意义和作用，并能够将其运用于实际生活和工作中。
5. 培养对数学思维的发展，提高解决问题的能力和方法，同时也提升对数学知识的掌握和理解。
抛物线与线段和差最值问题(含答案)
抛物线与线段和差最值问题(含答案)线段和差最值问题是数学中常见的优化问题，需要运用一些基本的数学知识和技巧来解决。
下面分别给出四道相关的例题。
一、如图，抛物线$y=\frac{1}{2}x+bx-2$与$x$轴交于$A$、$B$两点，与$y$轴交于点$C$，且$A(-1,\frac{1}{2})$。
1）求抛物线的解析式以及顶点$D$的坐标；2）判断$\triangle ABC$的形状，证明你的结论；3）点$M(m,0)$是$x$轴上的一个动点，当$MC+MD$的值最小时，求$m$的值。
二、如图，在平面直角坐标系中，抛物线$y=ax^2+bx+c$经过$A(-2,-4)$、$B(2,0)$、$O(0,0)$三点。
1）求抛物线$y=ax^2+bx+c$的解析式；2）若点$M$是该抛物线对称轴上的一点，求$AM+OM$的最小值。
三、如图，已知直线$y=\frac{1}{12}x+1$与$y$轴交于点$A$，与$x$轴交于点$D$，抛物线$y=x+bx+c$与直线交于$A$、$E$两点，与$x$轴交于$B$、$C$两点，且$B$点坐标为$(1,0)$。
1）求该抛物线的解析式；2）在抛物线的对称轴上找一点$M$，使$|AM-MC|$的值最大，求出点$M$的坐标。
四、已知抛物线$y=\frac{1}{2}x+bx$经过点$A(4,\frac{5}{2})$，设点$C(1,-3)$，请在抛物线的对称轴上确定一点$D$，使得$AD-CD$的值最大，则$D$点的坐标为。
解题思路：1、对于第一题，先求出抛物线的解析式，再通过求导得到顶点的坐标，最后利用勾股定理求出最小值点的坐标。
2、对于第二题，先利用三点求解得到抛物线的解析式，再通过对称性求出对称轴，最后利用距离公式求解最小值。
3、对于第三题，先求解抛物线的解析式，再通过求导得到对称轴和顶点的坐标，最后利用距离公式求解最大值点的坐标。
4、对于第四题，先求解抛物线的解析式，再通过对称性求出对称轴和顶点的坐标，最后利用距离公式求解最大值点的坐标。
二次函数中线段和、差最值问题
二次函数中线段和、差最值问题姓名：1、如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；并求出周长的最小值；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．2、如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A（-2，0）、B（6，0）、C（0，32-），抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）经过A、B、C三点。
（1）求直线AC的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）若抛物线的顶点为D，在直线AC上是否存一点P，使得△BDP的周长最小，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。
3、如图，已知直线112y x=+与轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线212y x bx c=++与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)。
⑴求该抛物线的解析式；⑵动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标P。
⑶在抛物线的对称轴上找一点M，使||AM MC-的值最大，求出点M的坐标。
4、如图8，对称轴为直线x =2的抛物线经过点A （-1，0），C （0，5）两点，与x 轴另一交点为B ，已知M （0，1），E （a ，0），F （a +1，0），点P 是第一象限内的抛物线上的动点．（1）求此抛物线的解析式．（2）当a =1时，求四边形MEFP 面积的最大值，并求此时点P 的坐标．（3）若△PCM 是以点P 为顶点的等腰三角形，求a 为何值时，四边形PMEF 周长最小请说明理由．图8O A E F B MCPxy备用图A O M C E F xB y P5、如图,已知抛物线 经过A(3，0)，B(0，4)，（1）.求此抛物线解析式（2）若抛物线与x 轴的另一交点为C ，求点C 关于直线AB 的对称点C ’ 的坐标（3） 若点D 是第二象限内点，以D 为圆心的圆分别与x 轴、y 轴、直线AB 相切于点E 、F 、H ，问在抛物线的对称轴上是否存在一点一点P ，使得|PH －PA |的值最大若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由。
八年级下册数学期末专题：两线段或多线段的和差最值问题
两线段或多线段的和差最值问题方法技巧利用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求两线段或多线段的和差最大值或最小值；在平面直角坐标系中，常作一个定点的对称点，然后连接这一对称点与另一定点，求最值.这一方法也叫化折为直.【例3】如图，A(－4，2)，B(－1，1)，在x轴上找一点P，使△P AB的周长最小，求这个最小值及点P的坐标.【例4】如图，A(－4，2)，B(－1，1)，在x轴上找一点P，使|P A－PB|的值最大，并求此时点P的坐标.针对练习21.一次函数y＝k(x－1)＋3k－4的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，则点O到该直线的距离的最大值是_________；2.如图，B(0，3)，点A为x轴上一动点，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得线段AC，连接OC.(1)设A(a，0)，用含a的式子表示点C坐标_________；(2)点C在某一确定的函数图象上运动，其解析式为_________；(3)OC长度的最小值为_________.3.如图，A(0，23)，点B为x轴上一动点，将线段AB绕点A逆时针旋转60°，得线段AC，线段OC的最小值是_________.第2题第3题第4题第5题4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点M为AB的中点，点D是射线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接ME，点D在运动的过程中，ME的最小值为()A.2B.2 2C.4D.4 25.如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝5，点D为线段AC上一动点，将线段BD绕点D逆时针旋转90°，点B的对应点为E，连接AE，则AE的最小值为_________.6.如图，直线y＝x＋4与坐标轴交于点A，B，点C(－3，m)在直线AB上，在y轴上找一点P，使P A＋PC的值最小，求这个最小值及点P的坐标.。
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专题一.线段和（差）的最值问题【知识依据】1．线段公理——两点之间，线段最短；2．对称的性质——①关于一条直线对称的两个图形全等；②对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线；3．三角形两边之和大于第三边；4．三角形两边之差小于第三边；5、垂直线段最短。
一、已知两个定点：1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；（1）点A、B在直线m两侧：（2）点A、B在直线同侧：A、A’是关于直线m的对称点。
2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。
（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：mmABmABmnm（3）两个点都在内侧：（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二、一个动点，一个定点：（一）动点在直线上运动： 点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ）nmnnmm2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动：点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ）1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：三、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。
(原理用平移知识解)（1）点A 、B 在直线m 两侧： m nAmnmnmm m m A m过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左移动PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。
（2）点A 、B 在直线m 同侧：四、求两线段差的最大值问题(运用三角形两边之差小于第三边)1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA 与PB 的差最大； （1）点A 、B 在直线m 同侧：（2）点A 、B 在直线m 异侧：过B 作关于直线m 的对称点B ’,连接AB ’交点直线m 于P,此时PB=PB ’，PA-PB 最大值为AB ’Ⅰ．专题精讲最值问题是一类综合性较强的问题，而线段和（差）问题，要归归于几何模型：（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型． （2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型．Ⅱ．典型例题剖析BmQ一．归入“两点之间的连线中，线段最短”Ⅰ．“饮马”几何模型：条件：如下左图，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使P A＋PB的值最小．模型应用：1．如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB+PE的最小值是．2．如图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则P A+PC的最小值是．3．如图，在锐角△ABC中，AB＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是．第1题第2题第3题第4题4．如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．5．如图，等腰梯形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，∠ABC＝60°，P是上底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB的最小值为．6．如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为．第5题第6题第7题7．已知A(－2，3)，B(3，1)，P点在x轴上，若P A＋PB长度最小，则最小值为．若P A—PB长度最大，则最大值为．8．已知：如图所示，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴的两个交点分别为A(1，0)，B(3，0)．（1）求抛物线的解析式；（2）设点P在该抛物线上滑动，且满足条件S△P AB＝1的点P有几个？并求出所有点P的坐标；（3）设抛物线交y轴于点C，问该抛物线对称轴上是否存在点M，使得△MAC的周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．Ⅱ．台球两次碰壁模型已知点A位于直线m，n的内侧，在直线m、n分别上求点P、Q点，使P A+PQ+QA周长最短.变式：已知点A、B位于直线m，n 的内侧，在直线m、n分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.模型应用：1．如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．2．如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，－3），B(4，－1）设M，N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点M(m，0），N(0，n),使四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出m＝______，n＝______（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由．中考赏析：1．著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB=50km、B到直线X 的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和S1＝P A＋PB，图（2）是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A'，连接BA'交直线X于点P），P到A、B的距离之和S2＝P A＋PB．（1）求S1、S2，并比较它们的大小；（2）请你说明S2＝P A＋PB的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．2．如图，抛物线y ＝35x 2－185x ＋3和y 轴的交点为A ，M 为OA 的中点，若有一动点P ，自M 点处出发，沿直线运动到x 轴上的某点（设为点E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F ），最后又沿直线运动到点A ，求使点P 运动的总路程最短的点E ，点F 的坐标，并求出这个最短路程的长．Ⅲ．已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧，且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得P A +PQ +QB 的值最小．(原理用平移知识解)（1）点A 、B 在直线m 两侧： （2）点A 、B 在直线m 同侧：模型应用：1. 如图，抛物线y ＝－14x2－x 错误!未指定书签。
＋2的顶点为A ，与y 轴交于点B ．(2)若点P 是x 轴上任意一点，求证：P A －PB ≤AB ； (3)当P A －PB 最大时，求点P 的坐标.2. 如图，已知直线y ＝21x ＋1与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ， 抛物线y ＝21x2＋bx ＋c 与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为(1，0)． （1）求该抛物线的解析式；（3）在抛物线的对称轴上找一点M ，使|AM －MC |的值最大，求出点M 的坐标．3. 如图，直线y ＝－3x ＋2与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，点A 为y 轴正半轴上的一点，⊙A 经过点B 和点O ，直线BC 交⊙A 于点D ． （1）求点D 的坐标；（2）过O ，C ，D 三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使线段PO 与PD 之差的值最大？若存在，请求出这个最大值和点P 的坐标．若不存在，请说明理由．yx C B AD OE y4. 已知：如图，把矩形OCBA放置于直角坐标系中，OC＝3，BC＝2，取AB的中点M，连接MC，把△MBC沿x轴的负方向平移OC的长度后得到△DAO．（1）试直接写出点D的坐标；（2）已知点B与点D在经过原点的抛物线上，点P在第一象限内的该抛物线上移动，过点P作PQ⊥x轴于点Q，连接OP．若以O、P、Q为顶点的三角形与△DAO相似，试求出点P的坐标；TO－TB的值最大？若存在，则求出点T点的坐标；若不（3）试问在（2）抛物线的对称轴上是否存在一点T，使得||存在，则说明理由．一．归入“三角形两边之差小于第三边”1.直线2x-y-4=0上有一点P，它与两定点A（4，-1）、B（3，4）的距离之差最大，则P点的坐标是 .2.已知A、B两个村庄的坐标分别为（2，2），（7，4），一辆汽车（看成点P）在x轴上行驶．试确定下列情况下汽车（点P）的位置：（1）求直线AB的解析式，且确定汽车行驶到什么点时到A、B两村距离之差最大？（2）汽车行驶到什么点时，到A、B两村距离相等？好题赏析：原型：已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求P A＋PB＋PC的最小值．例题：如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；（3）当AM＋BM＋CM的最小值为3＋1时，求正方形的边长．变式：如图四边形ABCD是菱形，且∠ABC＝60，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM，则下列五个结论中正确的是（）①若菱形ABCD的边长为1，则AM＋CM的最小值1；②△AMB≌△ENB；③S四边形AMBE=S四边形ADCM；④连接AN，则AN⊥BE；⑤当AM＋BM＋CM的最小值为23时，菱形ABCD的边长为2．A．①②③B．②④⑤C．①②⑤D．②③⑤。